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© Roland Angst, 2010 Institute of Visual Computing
Determinanten
Roland Angst, 30.11.2010
© Roland Angst, 2010 Institute of Visual Computing
Organisatorisches
Ersatz für Prof. PollefeysRoland Angst (rangst@inf.ethz.ch)
CAB G 89
Website: http://www.inf.ethz.ch/personal/rangst/
Sprache: Deutsch? Englisch?
Bei UnklarheitenBitte meldet euch!
Ich versuche mich an Skript zu halten (auch mit Notation)
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Themen
QR-Zerlegung
DeterminantenMotivation
Transpositionen, Permutationen
Definition der Determinante
Eigenschaften der Determinante
Berechnungsmöglichkeiten
Rechenregeln
Anwendungen
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QR Zerlegung
Final Call!Unklarheiten, Fragen?
Testfrage: welche zwei Möglichkeiten kennt ihr, um Least Squares Probleme zu lösen?Normalengleichungen
QR-Zerlegung
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Determinanten: Motivation
Cramer Regel Tool zur analytischen Untersuchung von Lösungen
eines linearen Gleichungssystems
Transformation von Integrationsgrenzen: Determinante der Jacobimatrix
Siehe später in Analysisvorlesung (hoffentlich!)
Rank-Constraint für Matrizen Z.B. Multiple View Geometry für 3D
Rekonstruktionen
Grassmann Koordinaten Rechnen mit Unterräumen (Subspaces)
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Determinanten: Motivation
Charakteristisches Polynom Determinante der Matrix
Polynom in einer Unbekannten
Nullstellen entsprechen den Eigenwerten einer Matrix
Siehe nächstes Kapitel...
Merke: Determinante stellt ein nützliches
analytisches Werkzeug dar
Aber für numerische Berechnungen eher ungeeignet
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Determinanten: benötigte Vorkenntnisse
Permutation von n Elementen Eineindeutige Abbildung (eine Bijektion)
der Menge auf sich selbst:
Menge der Permutationen von n Elementen wird mit bezeichnet
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Symmetrische Gruppe
Permutationen sind Funktionen und können daher zusammengesetzt werden:Zusammensetzung zweier Bijektionen ist
wiederum eine Bijektion p ist auch eine Permutation
Symmetrische Gruppe Menge aller Permutationen von n Elementen
Funktionszusammensetzung ist Gruppenoperation
Neutralelement ist Identität:
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Symmetrische Gruppe
Wieviele Elemente besitzt die symmetrische Gruppe (Satz 8.1)?
Beweis mittels Induktion Induktionsverankerung:
n = 1: Menge enthält lediglich Identität e:
Induktionsschritt: Zusätzliches n-tes Element kann auf n Arten
zwischen n-1 gegebene Elemente eingefügt werden
Induktionsvoraussetzung besagt, dass n-1 Elemente auf Arten angeordnet werden können
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Transpositionen
Transposition Eine Permutation, bei der nur zwei Elemente
vertauscht werden
Satz 8.2: Für n>1: Jede Permutation kann als Produkt von Transpositionen benachbarter Elemente dargestellt werden: Darstellung ist i.A. nicht eindeutig
Aber Anzahl Transpositionen ist entweder für alle möglichen Darstellungen immer gerade oder immer ungerade Das Signum ist eindeutig für eine
Permutation p
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Transpositionen
Beweis von Satz 8.2 1. Teil: Darstellung als Produkt von Transpositionen benachbarter
Elemente
Mittels Induktion
Induktionsverankerung für n=2 ist trivial
Induktionsschritt: ähnliche Argumentation wie in Beweis von Satz 8.1
2. Teil: Eindeutigkeit von
Für beliebiges sei:
Gemäss Darstellung der Permutation als Zusammensetzung von Transpositionen benachbarter Elemente gilt: Das Vorzeichen hängt nur von Anzahl Transpositionen benachbarter Elemente ab!
Zwei Darstellungen derselben Permutation seien:
Also gilt:
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Determinante
Die Determinante einer n-by-n Matrix ist definiert als die Summe über die n! Permutationen
Jeder Summand enthält genau ein Element aus jeder Zeile und jeder Kolonne
Liefert einfache Formeln für n < 4 Beispiele: siehe Tafel...
Für n = 3: Formel bekannt unter Namen Regel von Sarrus
Selbst für moderate n ist diese Formel für numerische Zwecke unbrauchbar da Aufwand O(n!)
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Determinanten von Dreiecksmatrizen
Alle Summanden ausser einem reduzieren sich auf 0 Beispiel: p: (1,2,3,4) = (2,3,1,4)
p(1) = 2 Elemente der ersten Zeile und der zweiten Spalte sind „gestrichen“
Wir sehen bereits: Irgendwann müssen wir ein verbleibendes Element der ersten Spalte wählen!
p(2) = 3 Elemente der zweiten Zeile und der dritten Spalte werden gestrichen
p(3) = 1 Hier wählen wir ein Element das gleich Null istX X XX XXX
X X
XX X XX XX XX
X X
X
X
X X XX XX XX
X X
X
X
X X XXXX
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Determinanten von Dreiecksmatrizen
Alle Summanden ausser einem reduzieren sich auf 0
Welche Permutation liefert nicht-Null Summand?
Also: Determinante von Dreiecksmatrix ist gleich dem Produkt ihrer Diagonalelemente ( )
XaX X
XXX
XaX XX XX
X XX X
XaX XX XX
XX XX X X
XaX XX XX
XX XX X X
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Eigenschaften der Determinanten
Satz 8.6: Die folgenden 3 Eigenschaften sind charakteristisch für die Determinante D.h. die Determinante ist das einzige auf
definierte Funktional mit folgenden 3 Eigenschaften (Satz 8.3)
i) Linear in jeder Zeile
ii) Alternierend: werden zwei Zeilen in vertauscht, so wechselt das Vorzeichen von
iii) Skalierung:
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Beweis Satz 8.3
Erfüllt unsere Definition diese 3 Eigenschaften (Beweis von Satz 8.3)?
i) Einsetzen in Definition liefert Linearitätseigenschaft:
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Beweis Satz 8.3
Erfüllt unsere Definition diese 3 Eigenschaften (Beweis von Satz 8.3)?
ii) Vertauschen zweier Zeilen entspricht einem Produkt einer ungeraden Anzahl an Transpositionen benachbarter Elemente:
i-te Zeile
j-te Zeile
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Beweis Satz 8.3
Erfüllt unsere Definition diese 3 Eigenschaften (Beweis von Satz 8.3)?
ii) Vertauschen zweier Zeilen entspricht einem Produkt einer ungeraden Anzahl an Transpositionen benachbarter Elemente:
i-te Zeile
j-te Zeile
Anzahl benötigter Transpositionen benachbarter Elemente:
Ungerade Anzahl!
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Beweis Satz 8.3
Erfüllt unsere Definition diese 3 Eigenschaften (Beweis von Satz 8.3)?
ii) Vertauschen zweier Zeilen entspricht einem Produkt einer ungeraden Anzahl an Transpositionen benachbarter Elemente: Zeilenvertauschung kann durch Kombination jeder
Permutation mit dieser Transposition kompensiert werden:
Vorzeichenwechsel, da jeder Term der Summe das Vorzeichen wechselt:
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Beweis Satz 8.3
Erfüllt unsere Definition diese 3 Eigenschaften (Beweis von Satz 8.3)?
iii) Identität ist Spezialfall einer Dreiecksmatrix Determinante ist gleich dem Produkt der
Diagonalelemente
Satz 8.3 ist somit bewiesen Beweis von Satz 8.6 folgt später
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Folgerungen aus den 3 charakteristischen Eigenschaften Aus den 3 charakteristischen Eigenschaften (Satz 8.3)
folgen 6 weitere wichtige Eigenschaften (Satz 8.4): Hat eine Zeile aus lauter Nullen, so ist
Hat zwei gleiche Zeilen, so ist
Wird zu einer Zeile von ein Vielfaches einer anderen Zeile von addiert, so ändert sich der Wert von nicht.
Die Determinante einer Diagonalmatrix ist gleich dem Produkt ihrer Diagonalelemente
Die Determinante einer Dreiecksmatrix ist gleich dem Produkt ihrer Diagonalelemente
Beweis siehe Tafel Erfolgt lediglich unter Verwendung der charakteristischen
Eigenschaften i),ii),iii)
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Gauss-Algorithmus zur Berechnung der Determinanten
Eigenschaft vii) bedeutet, dass Gauss-Algorithmus die Determinante nicht verändert! Gauss-Algorithmus addiert Vielfaches der Pivotzeile zu
den anderen Zeilen!
Daraus folgt Satz 8.5: Für jede Matrix gilt:
Sei . Dann ist gleich dem Produkt der Pivotelemente des Gauss-Algorithmus multipliziert mit , wobei die Anzahl der ausgeführten Zeilenvertauschungen bezeichnet:
Andernfalls und
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Gauss-Algorithmus zur Berechnung der Determinanten
Algorithmus 8.1: Wende Gauss Algorithmus auf Matrix
an
Falls , dann liefert Gauss-Algorithmus obere Dreiecksmatrix und benötigte Anzahl an Zeilenvertauschungen. Dann ist:
Schnellste Methode zur Berechnung der Determinante Aber: an Prüfung könnte Anwendung der
Eigenschaften i) bis ix) schneller ans Ziel führen
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Beweis von Satz 8.6
Siehe Tafel
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Determinantenrechenregeln
Matrizenprodukt (Satz 8.7): SeienDann gilt:Beweisskizze:
Definiere Funktional und zeige, dass alle Eigenschaften i), ii), und iii) erfüllt
Matrixinverse (Satz 8.8):Beweis:
Beispiel: LR-Zerlegung
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Determinantenrechenregeln
Matrixtransposition (Satz 8.9):
Beweisidee: Wende auf Produktregel 8.7 an.
Somit kann überall zuvor „Zeile“ durch „Kolonne“ ersetzt werden, die daraus resultierenden Eigenschaften gelten auch dann!
Beispiel: Determinante einer unitären Matrix.
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Kofaktoren einer Matrix
Sei die Untermatrix von , welche durch Streichen der k-ten Zeile und l-ten Kolonne resultiert.
Der Kofaktor von ist definiert als:
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Determinantenberechnung
Der Kofaktor von ist definiert als
Lemma 8.12: Es sein eine Matrix, in deren l-ter Kolonne lediglich das Element ist. Dann gilt:
Beweis: Bringe Element durch Kolonnen- und
Zeilenvertauschungen an Indexposition (1,1).
Determinante ändert sich dabei um , da Transpositionen benachbarter Zeilen und Spalten nötig sind.
Resultierende Matrix erfüllt bereits erster Eliminationsschritt des Gauss-Algorithmus mit Pivot , d.h.
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Entwicklung nach Zeile oder Kolonne
Alternative rekursive Methode zur Determinantenberechnung Meist ineffizient
In Spezialfällen interessant (und effizient) kann für Prüfung wichtig sein!
Entwicklung nach k-ter Zeile:
Entwicklung nach l-ter Kolonne:
Beweis: siehe Tafel.
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Determinanten von Blocksmatrizen
Achtung:
Aber für Blocksdreiecksmatrizen gilt (Korollar 8.14): Die Determinante von
Blocksdreiecksmatrizen ist gleich dem Produkt der Determinanten der diagonalen Blöcke.Beweis siehe Skript
Beispiel:
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Anwendungen
Die folgenden Anwendungen stellen keinen prüfungsrelevanten Stoff dar Sie sollen zeigen, wie die Theorie der
Determinante an realen Beispielen zur Anwendung kommt
Falls eine Anwendung nicht komplett verstanden wird, so ist das kein Problem!
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Anwendungen: Cramer Regel
Analytische Lösung eines linearen Gleichungssystems
Für numerische Berechnung ungeeignet, da Rechenaufwand zu hoch
Beweisidee: Definiere:
Dann:
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Anwendungen: Rang-Bedingung für Multiple View Geometry
Für virtuelle 3D Rekonstruktionen basierend auf Bildern muss Folgendes berechnet werden: Positionen der Kameras
Positionen von 3D Punkten
Bekannte Daten 2D Punkte in den Bildern der 3D Punktes (die Projektionen der 3D
Punkte in die Kameraebenen)
http://www.youtube.com/watch?v=p16frKJLVi0
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Anwendungen: Rang-Bedingung für Multiple View Geometry
Projektion eines 3D Punktes in eine Kameraebene Koordinatentransformation der globalen Punktkoordinaten
in lokale Kamerakoordinaten:
Projektion der lokalen Punktkoordinaten in Kamerebene Strahlensatz:
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Anwendungen: Rang-Bedingung für Multiple View Geometry
Bekannt seien Projektionen desselben 3D Punktes in zwei verschiedenen Kameras und
Gegeben mehrere Punktkorrespondenzen (die Beobachtungen) , Determinantenbedingung erlaubt Berechnung von Kameramatrizen und