07 การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์...

transcript

คมอประกอบสอการสอน วชาคณตศาสตร

เรอง

การใหเหตผลและตรรกศาสตร (เนอหาตอนท 1) การใหเหตผล

โดย

อาจารย ดร.จณดษฐ ละออปกษณ

สอการสอนชดน เปนความรวมมอระหวาง คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย กบ

ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน (สพฐ.) กระทรวงศกษาธการ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

สอการสอน เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร สอการสอน เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร มจ านวนตอนทงหมดรวม 9 ตอน ซง

ประกอบดวย

1. บทน า เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร 2. เนอหาตอนท 1 การใหเหตผล

- การใหเหตผลแบบอปนย - การใหเหตผลแบบนรนย

3. เนอหาตอนท 2 ประพจนและการสมมล - ประพจนและคาความจรง - ตวเชอมประพจน - การสมมล

4. เนอหาตอนท 3 สจนรนดรและการอางเหตผล - เอกลกษณในการเชอมประพจน - สจนรนดร

5. เนอหาตอนท 4 ประโยคเปดและวลบงปรมาณ - การอางเหตผล - ประโยคเปด - วลบงปรมาณ

6. แบบฝกหด (พนฐาน) 7. แบบฝกหด (ขนสง) 8. สอปฏสมพนธ เรอง หอคอยฮานอย 9. สอปฏสมพนธ เรอง ตารางคาความจรง

คณะผจดท าหวงเปนอยางยงวา สอการสอนชดนจะเปนประโยชนตอการเรยนการสอนส าหรบคร และนกเรยนทกโรงเรยนทใชสอชดนรวมกบการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร นอกจากนหากทานสนใจสอการสอนวชาคณตศาสตรในเรองอนๆทคณะผจดท าไดด าเนนการไปแลว ทานสามารถดชอเรอง และชอตอนไดจากรายชอสอการสอนวชาคณตศาสตรทงหมดในตอนทายของคมอฉบบน

เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร (การใหเหตผล) หมวด เนอหา ตอนท 1 (1/4) หวขอยอย 1. การใหเหตผลแบบอปนย 2. การใหเหตผลแบบนรนย จดประสงคการเรยนร เพอใหผเรยน

1. มความเขาใจในความหมาย ความเหมอน ความแตกตาง ขอด ขอจ ากดของการใหเหตผลแบบอปนยและนรนย

2. สามารถน าการใหเหตผลแบบอปนยและนรนยไปใชได

ผลการเรยนรทคาดหวง ผเรยนสามารถ 1. ใหความหมายของการใหเหตผลแบบอปนยได 2. น าการใหเหตผลแบบอปนยไปใชได 3. ใหความหมายของการใหเหตผลแบบนรนย 4. ระบขอด ขอจ ากดของการใหเหตผลแบบอปนยและนรนยได 5. ใชแผนภาพในการตรวจสอบความสมเหตสมผลของการอางเหตผลแบบนรนยได

เนอหาในสอการสอน

เนอหาทงหมด

1. การใหเหตผลแบบอปนย

ในหวขอนผเรยนจะไดทราบถงรปแบบของการใหเหตผลทางคณตศาสตร และไดศกษาเกยวกบความหมายของของการใหเหตผลแบบอปนย ตลอดจนทราบถงขอดและขอจ ากดของการใหเหตผลแบบอปนย

เนอหาในสอจะเรมตนดวยการยกตวอยางการเตมตวเลขลงในแผนปาย เพอใหนกเรยนไดเหนวาภายใตการดนเดาอยางอสระนน การสงเกตสามารถชวยใหไดค าตอบทเปนระบบมากขน ในการนผสอนสามารถยกตวอยางอนๆ เพมเตม เชน

2 4 8 16 32 ..... (64 128) 100 95 90 85 80 ..... (75 70) 9 99 999 9999 99999 999999 ..... (9999999 99999999) -7 14 -21 28 -35 42 ….. (-49 56)

เมอผเรยนเรมเขาใจกบกระบวนการการคาดเดาโดยอาศยแบบรปแลว ผสอนจงน าเสนอบทนยามของการใหเหตผลแบบอปนย ดงน

ผสอนอาจเสนอตวอยางเพมเตม หรอน าเสนอในลกษณะของใบงาน โดยมตวอยางเชน

1. 4 × 8 = 32 4 × 88 = 352

4 × 888 = 3,552 4 × 8,888 = 35,552

................................................... 4 × 88,888 = 355,552 2. 9 × 1 = 9

9 × 12 = 108

9 × 123 = 1,107 9 × 1,234 = 11,106 ................................................... 9 × 12,345 = 111,105

3. 6 × 6 = 36 66 × 6 = 396

666 × 6 = 3,996 6,666 × 6 = 39,996 ................................................... 66,666 × 6 = 399,996

4. 7 × 77 = 539 7 × 777 = 5,439

7 × 7,777 = 54,439 7 × 77,777 = 544,439

................................................... 7 × 777,777 = 5,444,439

5. (3 × 9) + 3 = 30 (3 × 99) + 3 = 300

(3 × 999) + 3 = 3,000 (3 × 9,999) + 3 = 30,000

................................................... (3 × 99,999) + 3 = 300,000

ตวอยางนสะทอนใหเหตวา การคาดเดาและความสามารถในการเตมรปตอไปได อาจไมเพยงพอเมอตองจดการกบรปในล าดบไกลๆ หากแตสามารถน าการใหเหตผลแบบอปนยมาชวยในการนบได ในทนผสอนควรอธบายเพมเตมวารปสามเหลยมทตองการนบ คอรปสามเหลยมทมยอดแหลมลงทมส

รปสามเหลยมลกษณะตามตวอยางมชอเรยกเฉพาะ ตามนกคณตศาสตรชาวโปแลนด คอ Waclaw Sierpinski และเรยกรปสามเหลยมลกษณะนวา รปสามเหลยมเซยพนสก

ในทนผสอนอาจก าหนดใหผเรยนหาจ านวนรปสามเหลยมในกรณอนๆ เชน

1. จ านวนรปสามเหลยมทมยอดแหลมลงทงหมด ในรปสามเหลยมล าดบ 7 (364) 2. จ านวนรปสามเหลยมทมยอดแหลมลงทงหมด ในรปสามเหลยมล าดบ 8 (1093) 3. จ านวนรปสามเหลยมทมยอดแหลมลงทงหมด ในรปสามเหลยมล าดบ 8

ในรปผลบวกของเลขยกก าลง (30 + 31 + 32 + + 36) 4. จ านวนรปสามเหลยมทมยอดแหลมลงทงหมด ในรปสามเหลยมล าดบ n

ในรปผลบวกของเลขยกก าลง (30 + 31 + 32 + + 3n-2) 5. จ านวนรปสามเหลยมทมยอดแหลมขนทงหมด(นบเฉพาะชองเดยวทไมมส)

ในรปสามเหลยมล าดบ 2 (3) 6. จ านวนรปสามเหลยมทมยอดแหลมขนทงหมด ในรปสามเหลยมล าดบ 3 (9) 7. จ านวนรปสามเหลยมทมยอดแหลมขนทงหมด ในรปสามเหลยมล าดบ 4 (27) 8. จ านวนรปสามเหลยมทมยอดแหลมขนทงหมด ในรปสามเหลยมล าดบ n (3n-1)

หลงจากทไดเขาใจในนยามของการใหเหตผลแบบอปนย รวมทงประโยชนและวธการใชประโยชนจากการใหเหตผลแบบนแลว ในขนตอไปจะเปนการน าเสนอขอจ ากดของการใหเหตผลแบบอปนย ซงประการส าคญคอ ขอสรปของการใหเหตแบบอปนย เปนเพยงผลสรปทอาจจะเปนไปไดเทานน

ตวอยางนสะทอนใหเหนวา การใหเหตผลแบบอปนยไมจ าเปนตองสรปค าตอบไดเพยงค าตอบเดยว ค าตอบของแผนปายจะเปน 8 หรอ 10 ขนกบกระบวนการคด

แบบฝกหดเพมเตม เรอง การใหเหตผลแบบอปนย

1. จงหาจ านวน a จากแบบรปของจ านวนทก าหนดให โดยใชการใหเหตผลแบบอปนย

1.1 12, 10, 8, 6, a 1.2 -5, -3, -1, 1, a 1.3 1, 2, 5, 14, 41, a 1.4 10, 5, 2, 1, 2, 5, 10, a

2. จากแบบรปของสมการทก าหนดใหจงหาสมการถดไป โดยใชการใหเหตผลแบบอปนยพรอมตรวจสอบความถกตองของค าตอบดวยวธการค านวณ 2.1 (1 × 8) + 1 = 9

(12 × 8) + 2 = 98 (123 × 8) + 3 = 987 ........................................ = ........................................

2.2 35 × 35 = 1225

335 × 335 = 112225 3335 × 3335 = 11122225 ........................................ = ........................................

2.3 5 × 5 = 25

15 × 15 = 225 25 × 25 = 625

35 × 35 = 1225 ........................................ = ........................................

2.4 (8 × 1) – 1 = 7 (8 × 21) – 1 = 167 (8 × 321) – 1 = 2567 (8 × 4321) – 1 = 34567 ........................................ = ........................................

2.5 12 × 12 = 144

112 × 112 = 12,544 1,112 × 1,112 = 1,236,544 11,112 × 11,112 = 123,476,544 ........................................ = ........................................

3. พจารณาผลคณตอไปน

3 × 3 = 9 3 × 13 = 39 3 × 23 = 69 3 × 33 = 99

3.1) มขอสงเกตอยางไรเกยวกบตวคณและผลคณขางตน 3.2) หาผลคณทมคาเทากบ 129, 159, 189 โดยใชการใหเหตผลแบบอปนย

4. จงหาวา ผลคณของจ านวนนบสองจ านวนทเปนจ านวนคกบจ านวนค จะไดผลออกมาเปนจ านวนคหรอจ านวนค โดยการใหเหตผลแบบอปนย

5. จากรปแบบตอไปน โดยการใหเหตผลแบบอปนย 3a – 2b + c มคาเทากบขอใดตอไปน

6 12 18 60 1 10 1 3 9 4 5 8 9 a b c

6. จากขอสรปตอไปน ขอสรปใดเปนจรง ถาไมเปนจรงใหยกตวอยางคานเพอแสดงใหเหนวาไมเปนจรง 6.1) ก าลงสองของจ านวนนบใดๆ จะเปนจ านวนคเสมอ 6.2) จ านวนใดๆ ทคณดวยจ านวนคจะหารดวย 2 ลงตวเสมอ

7. จากแบบรปทก าหนดให จงเขยนรปทอยถดไป …….…………….

2. การใหเหตผลแบบนรนย

ในหวขอนผเรยนจะไดศกษาถงความหมายขอการใหเหตผลแบบนรนย ขอด ขอจ ากดของการใหตผลแบบนรนย ตลอดจนวธ การวาดแผนภาพเพอตรวจสอบความสมเหตสมผล

หลงจากทเขาใจในความหมายของการใหเหตผลแบบนรนย และการตรวจสอบความสมเหตสมผลเบองตนแลว จงถงขนตอนของการน าแผนภาพมาชวยในการตรวจสอบ

ในการวาดแผนภาพแทนเหตทง 6 แบบน ผสอนควรเนนใหเหนความแตกตางของแผนภาพ 1 - 4 และ แผนภาพ 5 – 6 และประการส าคญคอ เมอไรจงควรแทนดวย วงกลม เมอไร จงควรแทนดวย จด ซงอาจกลาวโดยสรปไดคอ แผนภาพวงกลมจะใชแทนกลม สภาพ หรอ เซต ทสามารถมสมาชกทอยภายในได หากแต จด มกใชแทน สมาชกหนงสมาชกซงมหนงเดยว ไมมสมาชกอนอยในสมาชกนน

ผสอนอาจยกตวอยางเพมเตมดงน เหต 1) นกเรยนโรงเรยนชายลวนทกคนเปนเพศชาย

2) รมเกลา เปนนกเรยนโรงเรยนชายลวน ผล รมเกลาเปนผชาย เพศชาย นกเรยนโรงเรยนชายลวน รมเกลา

จากแผนภาพ ผลสรปทกลาววา รมเกลาเปนผชาย สมเหตสมผล

ผสอนอาจยกตวอยางเพมเตมโดยเสรมขนตอนการเขยนแผนภาพ และเนนทการเขยนแผนภาพตามเหตอาจ

ท าไดหลายแบบ ดงน เหต 1) คณหมอทกคนเปนคนด

2) ปกรณ เปนคนด ผล ปกรณเปนหมอ เขยนแผนภาพแทนเหตไดสองแบบ

คนด คนด หมอ หมอ ปกรณ ปกรณ จากแผนภาพทางขวา ปกรณไมใชเปนหมอ หรอกลาวไดวาผลสรปทวาปกรณเปนหมอ ไมสมเหตสมผล

ผสอนอาจยกตวอยางเพมเตม โดยเสรมขนตอนการเขยนแผนภาพ ดงน

เหต 1) ศลปนทชอบเลนกตารบางคนชอบเลนกลองชด 2) ศลปนทชอบเลนกลองชดบางคนชอบเลนเปยโน

ผล มศลปนทชอบเลนกตารบางคนชอบเลนเปยโน

ขนแรก เขยนแผนภาพแทนศลปนทชอบเลนกตารบางคนชอบเลนกลองชด ศลปนทชอบเลนกตาร ศลปนทชอบเลนกลองชด ขนสอง เขยนแผนภาพศลปนทชอบเลนกลองชดบางคนชอบเลนเปยโนไดอยางนอยสองแบบดงน ศลปนทชอบเลนกตาร ศลปนทชอบเลนกลองชด ศลปนทชอบเลนเปยโน

ศลปนทชอบเลนกตาร ศลปนทชอบเลนเปยโน

ศลปนทชอบเลนกลองชด

จากแผนภาพทสอง พบวาไมศลปนทชอบเลนกลองชดชอบเลนกตารเลย ดงนน ผลสรปท กลาววา มศลปนทชอบเลนกตารบางคนชอบเลนเปยโน ไมสมเหตสมผล

ผสอนควรเนนย าวา ในการใหเหตผลแบบนรนยนน จ าเปนตองยอมรบวาเหตทก าหนดใหเปนจรง แมวาจะ

เปนขอความทขดแยงกบขอเทจจรงทางโลกกตาม โดยในการพจารณาเพอปองกนความสบสน อาจแทนชอเหลานนดวย สญลกษณอน เชน A, B, C เปนตน

แบบฝกหดเพมเตม เรอง การใหเหตผลแบบนรนย

จงตรวจสอบวาผลสรปตอไปนสมเหตสมผลหรอไม โดยใชแผนภาพ

1. เหต 1) นกกฬาทกคนมสขภาพด 2) รฐภาค เปนนกกฬา ผล รฐภาคมสขภาพด

2. เหต 1) กระตายบางตวมตาสแดง 2) ลลลเปนกระตายของเชาเชา

ผล ลลลมตาสแดง

3. เหต 1) กงกอทกตวม 100 ขา 2) ไมมสตวทม 100 ขาตวใดทบนได

ผล ไมมกงกอตวใดบนได

4. เหต 1) หมบางตวมสองขา 2) คนทกคนมสองขา

ผล คนบางคนเปนหม

5. เหต 1) คนทกคนเปนคงคอง 2) คงคองทกตวเปนหนนา

ผล คนทกคนเปนหนนา

6. เหต 1) คนทชอบเรยนคณตศาสตรบางคนชอบเรยนวชาไฟฟา 2) คนทชอบเรยนวชาไฟฟาบางคนชอบเรยนเครองกล ผล มคนทชอบเรยนคณตศาสตรบางคน ชอบเรยนเครองกล

สรปสาระส าคญประจ าตอน

ภาคผนวกท 1 แบบฝกหด/เนอหาเพมเตม

แบบฝกหดระคน

จงพจารณาวาขอใดตอไปนถกตอง 1. (7 × 3) + 1 = 22

(7 × 33) + 1 = 232 (7 × 333) + 1 = 2,332 (7 × 3,333) + 1 = 23,332 จากแบบรปขางตน (7 × 333,333) + 1 เทากบขอใดตอไปน

ก. 233,332 ข. 2,333,332 ค. 23,333,332 ง. 233,333,332

2. จากแบบรป 1, 3, 9, 19, a, 51 โดยการใหเหตผลแบบอปนย a เทากบขอใดตอไปน

ก. 11 ข. 22 ค. 33 ง. 44

3. จากแบบรปตอไปน โดยการใหเหตผลแบบอปนย a + b เทากบขอใดตอไปน

45 40 35 5 100 1 20 81 1 19 64 1 18 a 1 b

ก. -16 ข. 12 ค. 14 ง. 16

4. พจารณาขอความตอไปน a) ก าลงสองของจ านวนนบใดๆ จะเปนจ านวนคเสมอ b) จ านวนใดๆ ทคณดวย 9 จะหารดวย 3 ลงตวเสมอ ขอสรปในขอใดเปนจรง

ก. ขอ a ถก b ถก ข. ขอ a ถก b ผด ค. ขอ a ผด b ถก ง. ขอ a ผด b ผด

5. พจารณาแบบรป รปในล าดบท 4 ตรงกบขอใดตอไปน

ข. ค. ง.

ก. ข. ค. ง.

8. โดยการใหเหตผลแบบอปนยจ านวนลงทายของ 22554 คอจ านวนในขอใดตอไปน ก. 0 ข. 2 ค. 4 ง. 8

9. จากแผนภาพตอไปน ผลสรปในขอใดสมเหตสมผล

ผชาย หลอ เตา

ก. เตาเปนผชายทไมหลอ ข. เตาเปนผชายทหลอ ค. ผชายทกคนหลอและเตากเปนคนหลอดวย ง. เตาเปนคนหลอแตไมใชผชาย

10. จากแผนภาพตอไปน ผลสรปในขอใดไมสมเหตสมผล

นกวง แขงแรง ตวสง

ก. คนทแขงแรงทกคนเปนนกวง ข. คนทตวสงทกคนไมแขงแรง ค. นกวงบางคนแขงแรงแตตวไมสง ง. นกวงทตวไมสงทกคนแขงแรง

11. จากแบบรป -1, a, 3, 5, 7, 9, b คาของ 2 2a b เทากบขอใดตอไปน ก. -120 ข. 120 ค. -121 ง. 121

จากแผนภาพขางตนถานบจ านวนของจดแตละบรรทดลงมาเรอยจนถงบรรทดท 10 จะมจดทบรรทดท 10 ทงหมดกจด ถาใหแถวแรกม 1 จด แถวทสองม 2 จดและแถวทสามม 4 จดตามล าดบ ก. 512 จด ข. 1,024 จด ค. 1,023 จด ง. 2,047 จด

13. จากการสงเกตนกเรยนหองหนงพบวา

1) นกเรยนทกคนทปวย จะขาดเรยน 2) นกเรยนทขาดเรยนทกคน จะถกหกคะแนนการเขาหองเรยน

ขอสรปในขอใดตอไปนทท าใหการอางเหตผลสมเหตสมผล ก. นกเรยนทกคนทขาดเรยนเปนเพราะปวย ข. นกเรยนทกคนทมาเรยน จะถกหกคะแนนการเขาหองเรยน ค. นกเรยนทกคนทปวย จะถกหกคะแนนการเขาหองเรยน ง. นกเรยนทกคนทมาเรยน จะไมถกหกคะแนนการเขาหองเรยน

14. พจารณาเหตตอไปน เหต 1) คนชลบรทกคนวายน าเปน

2) คนทวายน าเปนทกคนเปนคนสขภาพด 3) นายกบวายน าเปน

ขอสรปในขอใดตอไปนทท าใหการอางเหตผลสมเหตสมผล ก. มคนสขภาพดทวายน าเปน ข. นายกบเปนคนสขภาพไมด ค. นายกบเปนคนชลบร ง. มคนวายน าเปนทเปนคนสขภาพไมด

15. พจารณาขอความตอไปน

1) คนเลนบาสเกงทกคนเปนคนทกระโดดไดด 2) คนทชทบาสไดระยะ 3 แตมบางคนกระโดดไดด 3) สมชายเลนบาสเกงแตชทบาสระยะ 3 แตมไมได

แผนภาพในขอตอไปน มความเปนไปไดทสอดคลองกบขอความทงสามขางตนเมอจดแทนดวยสมชาย ก.

ค. ง.

ภาคผนวกท 2 เฉลยแบบฝกหด

เฉลยแบบฝกหด

เรอง การใหเหตผลแบบอปนย

1. ตอบ 1.1 a = 4 1.2 a = 3 1.3 a = 122 1.4 a = 17 2. ตอบ 2.1 (1,234 × 8) + 4 = 9,876 2.2 33,335 × 33,335 = 1,111,222,225 2.3 45 × 45 = 2,025 2.4 (8 × 54321) – 1 = 434 ,567 2.5 111,112 × 111,112 = 12,345,876,544

3. ตอบ 3.1 หลกหนวยจะเปนเลข 9 เสมอ สวนเลขขางหนา 9 จะแปรผนไปตามการคณดวย 3 เปน

ล าดบเลขคณต 3, 6, 9, … , 3n 3.2 ใชการใหเหตผลแบบอปนยเพอหาผลคณทมคาเทากบ 129, 159, 189, 219 จะไดวา

3 × 43 = 129 3 × 53 = 159 3 × 63 = 189

4. ตอบ พจารณาผลคณตอไปน 2 × 1 = 2 4 × 1 = 4 6 × 1 = 6 8 × 1 = 8 2 × 3 = 6 4 × 3 = 12 6 × 3 = 18 8 × 3 = 24 2 × 5 = 10 4 × 5 = 20 6 × 5 = 30 8 × 5 = 40 2 × 7 = 14 4 × 7 = 28 6 × 7 = 42 8 × 7 = 56 2 × 9 = 18 4 × 9 = 36 6 × 9 = 54 8 × 9 = 72 จากการหาผลคณของจ านวนนบทเปนจ านวนคขางตน และใชวธการสงเกตจะพบวา ผล

คณทไดจะเปน จ านวนค สรปวา ผลคณของจ านวนนบสองจ านวนทเปนจ านวนคกบจ านวนคจะเปนจ านวนคโดยการให

เหตผลแบบอปนย

5. ตอบ 155 สงเกตล าดบ 6, 12, 18, … , 60 จะเหนวา 60 คอล าดบตวท 10

หา a ใหสงเกตล าดบ 1, 3, 5, … โดยการใหเหตผลแบบอปนยตวท 10 คอ 19 ดงนน a = 19 หา b ใหสงเกตล าดบ 10, 9, 8, ... โดยหลกอปนยตวท 10 คอ 1 ดงนน b = 1 หา c ใหสงเกตล าดบ 1, 4, 9, … โดยหลกอปนยตวท 10 คอ 100 ดงนน c = 100 เพราะฉะนน 3a – 2b + c = 3(19) – 2(1) + 100 = 155

6. ตอบ 6.1 เปนเทจเพราะวา 22 = 4 เปนจ านวนค จงท าใหขอความ “ก าลงสองของจ านวนนบ ใดๆ จะเปนจ านวนคเสมอ” เปนเทจ

6.2 เปนจรง

7. ตอบ

เฉลยแบบฝกหด

เรอง การใหเหตผลแบบนรนย

1. สมเหตสมผล 2. ไมสมเหตสมผล 3. สมเหตสมผล 4. ไมสมเหตสมผล 5. สมเหตสมผล 6. ไมสมเหตสมผล

เฉลยแบบฝกหดระคน 1. ข

2. ค

3. ง

4. ค

5. ง

6. ก

7. ง

8. ค

9. ข

10. ง

11. ก

12. ก

13. ค

14. ก

15. ง

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน

เรอง ตอน

เซต บทน า เรอง เซต

ความหมายของเซต

เซตก าลงและการด าเนนการบนเซต

เอกลกษณของการด าเนนการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร

สอปฏสมพนธเรองแผนภาพเวนน-ออยเลอร

การใหเหตผลและตรรกศาสตร บทน า เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร

การใหเหตผล

ประพจนและการสมมล

สจนรนดรและการอางเหตผล

ประโยคเปดและวลบงปรมาณ

สอปฏสมพนธเรองหอคอยฮานอย

สอปฏสมพนธเรองตารางคาความจรง

จ านวนจรง

บทน า เรอง จ านวนจรง

สมบตของจ านวนจรง

การแยกตวประกอบ

ทฤษฏบทตวประกอบ

สมการพหนาม

อสมการ

เทคนคการแกอสมการ

คาสมบรณ

การแกอสมการคาสมบรณ

กราฟคาสมบรณ

สอปฏสมพนธเรองชวงบนเสนจ านวน

สอปฏสมพนธเรองสมการและอสมการพหนาม

สอปฏสมพนธเรองกราฟคาสมบรณ

ทฤษฎจ านวนเบองตน บทน า เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน

การหารลงตวและจ านวนเฉพาะ (การหารลงตวและตวหารรวมมาก) ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย

ความสมพนธและฟงกชน บทน า เรอง ความสมพนธและฟงกชน

ความสมพนธ

เรอง ตอน ความสมพนธและฟงกชน โดเมนและเรนจ

อนเวอรสของความสมพนธและบทนยามของฟงกชน

ฟงกชนเบองตน

พชคณตของฟงกชน

อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส

ฟงกชนประกอบ

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม บทน า เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

เลขชก าลง

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

ลอการทม

อสมการเลขชก าลง

อสมการลอการทม

ตรโกณมต บทน า เรอง ตรโกณมต

อตราสวนตรโกณมต

เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต และวงกลมหนงหนวย

ฟงกชนตรโกณมต 1

กฎของไซนและโคไซน

กราฟของฟงกชนตรโกณมต

ฟงกชนตรโกณมตผกผน

สอปฏสมพนธเรองมมบนวงกลมหนงหนวย

สอปฏสมพนธเรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต

สอปฏสมพนธเรองกฎของไซนและกฎของโคไซน

ก าหนดการเชงเสน บทน า เรอง ก าหนดการเชงเสน

การสรางจ าลองทางคณตศาสตร

การหาคาสดขด

ล าดบและอนกรม บทน า เรอง ล าดบและอนกรม

ล าดบ

การประยกตล าดบเลขคณตและเรขาคณต

ลมตของล าดบ

ผลบวกของยอย

อนกรม

ทฤษฎบทการลเขาของอนกรม

เรอง ตอน

การนบและความนาจะเปน .

บทน า เรอง การนบและความนาจะเปน

การนบเบองตน

การเรยงล าดบ

การจดหม

ทฤษฎบททวนาม

การทดลองสม

ความนาจะเปน 1

ความนาจะเปน 2

สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เรอง สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เนอหา

แนวโนมเขาสสวนกลาง 1

การกระจายของขอมล

การกระจายสมบรณ 1

การกระจายสมพทธ

คะแนนมาตรฐาน

ความสมพนธระหวางขอมล 1

ความสมพนธระหวางขอมล 2

โปรแกรมการค านวณทางสถต 1

โปรแกรมการค านวณทางสถต 2

โครงงานคณตศาสตร การลงทน SET50 โดยวธการลงทนแบบถวเฉลย

ปญหาการวางตวเบยบนตารางจตรส

การถอดรากทสาม

เสนตรงลอมเสนโคง

กระเบองทยดหดได

07 การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์...

Documents