Post on 01-Mar-2020
transcript
Bolum 8Hyperbolik Fonksiyonlar
Hiperbolik fonksiyonlar diferensiyel denklemlerin çözümümde önemli rol oy-nar. Trigonometrik fonksiyonları andıran adları vardır. Trigonometrik fonksi-yonların adlarını sonunu h harfi konulur. Ama onlar trigonometrik fonkiyonlar-dan farklıdır. Aynen trigonometrik fonksiyonlarda oldugu gibi, öteki hiperbolikfonksiyonlar su ikisi cinsinden ifade edilir:
cosh x = ex +e−x
2(8.1)
sinh x = ex −e−x
2(8.2)
Burada x degiskendir. ex ve e−x fonksiyonları süreki ve sonsuz ke türe-tilebilir oldugu için coshx ve si nhx fonksiyonları da sonsuz kes stüretilebi-lir sürekli fonksiyonlardır. (8.1) ve (8.2) fonksiyonlarını sag yanları kullanılarakcoshx ve si nhx fonksiyonlarını grafikleri çizilebilir.
Trigonometr,k fonksiyonlarla hiperbolik fonksiyonlar arasındaki benzer-likler çoktur. Onlardan birisi sudur. Sekilden rörüldügü gibi y = tanθ dog-rusu birimçemberi 8cosθ, sinθ) nktasındabirim x32 − y2 = 1 hipebolünü ise(coshθ, sinhθ) noktasında keser. Birim çemberde y = tanθ.x dogrusunun be-lirledigi POQ diliminin alan radyancinsinden θ açısınn iki katıdır. Benzer özelikbirim hiperbol için e geçerlidir. y = tanθx dogrosonun belirlegidigi sag kolakiP’O’Q’ diliminin alanı θ açısının iki katıdır.
140 BÖLÜM 8. HYPERBOLIK FONKSIYONLAR
8.0.1 Öteki Hyperbolic Fonksiyonlar
tanh x = sinh x
cosh x= ex −e−x
ex +e−x (8.3)
coth x = cosh x
sinh x= ex +e−x
ex −e−x (8.4)
sechx = 1
cosh x= 1
ex +e−x (8.5)
cschx = 1
sinh x= 1
ex −e−x (8.6)
ex = cosh x + sinh x (8.7)
e−x = cosh x − sinh x (8.8)
x = 0 konulursa
cosh0 = 1 sinh0 = 0 (8.9)
oldugu tanımlarından çıkar. Ayrıca, su bagıntılar kolayca görülür:
cosh(−x) = 1
2(e−x +ex ) = coshx (8.10)
si nh(−x) = 1
2(e−x −ex ) =−si nhx (8.11)
(8.12)
cosh(x + y) = cosh x.cosh y + sinh x. sinh y (8.13)
sinh(x + y) = sinh x.cosh y +cosh x. sinh y (8.14)
tanh(x + y) = t anhx + tanh y
1+ tanh x. tanh y(8.15)
8.1 Karmasık Sayılar Için Hiperbolik Fonksiyonlar
e i x = cos x + i sin x (8.16)
e i x = cos x − i sin x (8.17)
8.2. HIPERBOLIK ÖZDESLIKLER 141
sinh x =−i sinh(i x) (8.18)
cosh x = cosh(i x) (8.19)
tanh x =−i tanh(i x) (8.20)
coth x = i coth(i x) (8.21)
sechx = sech(i x) (8.22)
sschx = i csch(i x) (8.23)
tanh(i x) = i tan x (8.24)
cosh(x) = cos(i x) (8.25)
tanh x =−i tan(i x) (8.26)
8.2 Hiperbolik Özdeslikler
Hiperbolik özdeslikler rigonometrik özdesliklere benzer, zaten adları da onlargibidir.
sinh(−x) =−sinh x (8.27)
cosh(−x) = cosh x (8.28)
(8.29)
tanh(−x) =− tanh x (8.30)
coth(−x) =−coth x (8.31)
sech(−x) = sechx (8.32)
csch(−x) =−cschx (8.33)
si nhx = 1
2(ex −e−x ) = 1
2ex (e2x −1) = 1
2e−x (1−e−2x ) (8.34)
coshx = 1
2(ex +e−x ) = 1
2ex (e2x +1) = 1
2e−x (1+e−2x ) (8.35)
142 BÖLÜM 8. HYPERBOLIK FONKSIYONLAR
tanh x = sinh x
cosh x= ex −e−x
ex +e−x = e2x −1
e2x +1= 1−e−2x
1+e−2x (8.36)
coth x = cosh x
sinh x= ex +e−x
ex −e−x = e2x +1
e2x −1= 1+e−2x
1−e−2x (8.37)
sechx = 1
cosh x= 2
ex +e−x = 2ex
e2x +1= 2e−x
1+e−2x (8.38)
cschx = 1
sinh x= 2
ex −e−x = 2ex
e2x −1= 2e−x
1−e−2x (8.39)
cosh2 x − sinh2 x = 1 (8.40)
Ispat :
cosh2 − si nh2x = 1
4(ex +e−x )2 − 1
4(ex −e−x )2
= 1
4(e2x +2+e−2x −e2x +2−e−2x )
= 1
4(4)
= 1
ex = cosh x + sinh x (8.41)
e−x = cosh x − sinh x (8.42)
sinh(x + y) = sinh x.cosh y +cosh x. sinh y (8.43)
Ispat:
sinh x.cosh y +cosh x. sinh y
= 1
4(ex −e−x )(e y +e−y )+ 1
4(ex +e−x )(e y −e−y )
= 1
4(ex+y −e−x+y +ex−y −e−x−y +ex + y +e−x+y −ex−y −e−x−y )
= 1
2(ex+y −e−x−y )
= si nh(x + y)
8.2. HIPERBOLIK ÖZDESLIKLER 143
cosh(x + y) = cosh x.cosh y + sinh x. sinh y (8.44)
Ispat: Bunun ispatı önceki gibi yapılır. Bu özdesliklerde y yerine −y ko-nulursa,
sinh(x − y) = sinh x cosh y −cosh x sinh y (8.45)
cosh(x − y) = cosh x cosh y − sinh x sinh y (8.46)
çıkar.
sinh(2x) = 2sinh x cosh x (8.47)
cosh(2x) = cosh2 x − sinh2 x (8.48)
özdeslikleri elde edilir. Trigonometrik fonksiyonlar için x2 + y2 = 1 formülününkarsılıgı
x2 − y2 = 1 (8.49)
dir. Trigonometrik fonksiyonlardaki çember yerini hiperbol almaktadır. Budenklem hiperbolün sag koluna karsılık gelir. Tabii, formülde x ile y nin yerleridegisirse, hiperbolün sol kolu elde edilir. Sekle bakınız. tanh x ve coth x fonksi-yonları tan x ve cot x fonksiyonlarına benzer olarak tanımlanır:
tanh x = sinh x
cosh x= ex −e−x
ex +e−x (8.50)
coth x = cosh x
sinh x= ex +e−x
ex −e−x (8.51)
(8.52)
Aynı sey sechx ve cschx fonksiyonları için de geçerlidir:
sechx = 1
cosh x= 2
ex +e−x (8.53)
cschx = 1
sinh x= 2
ex −e−x (8.54)
cosh(2x) = cosh2x + sinh2 x = 2cosh2 x −1 = 1+2sinh2 x
sinh(2x) = 2sinh x.cosh x tanh(2x) = 2t anhx
1+ tanh2 x
144 BÖLÜM 8. HYPERBOLIK FONKSIYONLAR
cosh2( x
2
)= cosh x +1
2
sinh2( x
2
)= cosh x −1
2
tanh2( x
2
)= cosh x −1
cosh x +1
1 = cosh2−sinh2 x
cosh0 = 1
sinh0 = 0
t anh0 = 0
cosh x +cosh y = 2cosh( x + y
2
).cosh
( x − y
2
)(8.55)
cosh x −cosh y = 2sinh( x + y
2
). sinh
( x − y
2
)(8.56)
sinh x + sinh y = 2sinh( x + y
2
).cosh
( x − y
2
)(8.57)
sinh x − sinh y = 2cosh( x + y
2
). sinh
( x − y
2
)(8.58)
(8.59)
cosh(kx)+ sinh(kx) = (cosh x + sinh x)k (8.60)
cosh(kx)− sinh(kx) = (cosh x − sinh x)k (8.61)
8.3. HIPERBOLIK FONKSIYONLARIN TÜREVLERI 145
8.3 Hiperbolik Fonksiyonların Türevleri
8.3.1 Hiperbolic Fonksiyonların Türevleri
Fonkiyonlrın tanımından ve bölümün türevi kuralından asagıdakiler hemengörülür.
d
d xcoshx = 1
2
d
d x(ex +e−x ) = (ex −e−x ) = si nhx (8.62)
d
d xsi nhx = 1
2
d
d x(ex −e−x ) = (ex +e−x ) = coshx (8.63)
d
d xtanh x = 1− tanh2 x = sech2x = 1
cosh2 x(8.64)
d
d xcoth x = 1−coth2 x = csch2x = −1
sinh2 x(8.65)
d
d xsechx =−sechx. tanh x (8.66)
d
d xcschx =−cschx.coth x (8.67)
Bunların ispatları fonksiyonların tanımından ve bölümün türevi kuralından çı-karılır. Örnek olması için dördüncü esitligi çıkaralım.
d
d xcoth x = d
d x
1
tanh x
= 1
tanh2 x
d
d xtanh x
=− 1
tanh2 xsech2x
=−cosh2 x
sinh2 x
1
cosh2 x
=− 1
sinh2 x=−csch2x
146 BÖLÜM 8. HYPERBOLIK FONKSIYONLAR
8.4 Hiperbolik Fonksiyonların Integralleri
Türevler için buldugumuz esitliliklei kullanarak asagıdaki integral formülleriniyazabiliriz:∫
cosh(ax)d x = 1
asinh(ax)+C (8.68)∫
si nh(ax)d x = 1
acosh(ax)+C (8.69)∫
tanh(x)d x = 1
aln(cosh(ax)+C (8.70)∫
coth(x)d x = 1
aln(sinh(ax)+C (8.71)∫
sech(ax)d x = 1
aar ct an(sinh(ax)+C (8.72)∫
csch(ax)d x = 1
aln
(t anh(
ax
2
)+C (8.73)
= 1
aln(csch(ax)−coth(ax))+C (8.74)∫
sechu. tanhu du =−sechu +C (8.75)∫cschu.cothu du =−cschu +C (8.76)
Problem:
1
2f ′′ = f 3 − f , f (0) = f ′8∞) = 0 (8.77)
baslangıç deger problemini çözünüz.
8.5 Ters Hiperbolik Fonksiyonların Integrali
∫d xpx2 +1
= si nh−1x +C (8.78)
Yöntem 1: Bu bagıntı si nh−1x fonksiyonunun türevinden integral alına-rak hemen yazılabilir.
Yöntem 2: (8.170) integralini degisken degistirerek de çözebiliriz:
x = sinh t , d x = cosh t , t = sinh−1 x (8.79)
8.5. TERS HIPERBOLIK FONKSIYONLARIN INTEGRALI 147
konumuyla,∫d xpx2 +1
=∫
cosh t√sinh2 t +1
=∫
cosh t
cosh td t = t = sinh−1 x +C (8.80)
çıkar. Istersek son terim yerine logaritmik esitligini koyarak,∫d xpx2 +1
= ln(x +
√x2 +1
)+C
esitligini elde edebiliriz.
Buradan görüldügü gibi, (8.170) biçimine dönüstürülebilen integrallerar g si nhu ile ifade edilebilir.
Örnek 8.1
I =∫
d xp9x2 +4
integralini bulunuz.
Çözüm: a = 2, x = 3u konumuyla integral,
I = 1
3
∫dup
u2 +a2
biçimine dönüsür. Buradan,
I = sinh−1 x
a= ln
(x +
px2 +a2
a
)+C = ln(x +
√x2 +a2 − ln a +C
çıkar. u = ax konumuyla bunu bir formül haline getirebiliriz:∫dupu2 +1
= ln(u +√
u2 +a2 (8.81)
Örnek 8.2
I =∫ 3
0
d xpx2 +2
integralini bulunuz.
148 BÖLÜM 8. HYPERBOLIK FONKSIYONLAR
Çözüm: (8.81) formülü kullanlrsa,
I =(ln(x +
√x2 +2
∣∣∣3
0= ln(3+p
11)− lnp
2 = ln3+p
11p2
=≈ 1.5 ■
y = sinh x
fonkiyonunun türevini biliyoruz. O bagıntıdan integral alırsak∫d xpx2 +1
= si nh−1x +C (8.82)
çıkar. Aynı formülü degiskebdegistirerek de elde edebiliriz:
y = cosh−1 x
fonksiyonunun türevinden integral alırsak,∫d xp
x2 −a2= cosh−1(
x
a)+C = ln(x +
√x2 −a2)+C (8.83)
çıkar.
∫d x
a2 −x2 = 1
atanh−1 x
a+C (8.84)
= 1
2aln
a +x
a −x+C (|x| < a) (8.85)
Bu formülü degisken degistirme yöntemiyle de çıkarabiliriz.
x = e y +e−y
e y −e−y (8.86)
⇒ (e y +e−y )x = (e y −e−y ) (8.87)
⇒ ⇒ (e2y +1)x = e2y −1 (8.88)
⇒ e2y +1
e2y −1(8.89)
⇒ (x −1)e2y = (1+x) (8.90)
e2y = x +1
x −1(8.91)
8.5. TERS HIPERBOLIK FONKSIYONLARIN INTEGRALI 149
y = 1
2ln
x +1
x −1= coth−1 x (8.92)
= d
d xcoth−1 x = 1
2
d
d x
(ln
x +1
x −1
)(8.93)
= 1
1−x2 (|x| > 1) (8.94)
x yerine x/a konulursa, istenen formül çıkar.
d x
xp
a2 +x2= 1
acsch−1 |x|
a+C (8.95)
(8.96)
Bu formülü,
d
d xcsch−1 = −1
|x|p
1+x2(x 6= 0) (8.97)
formülünden integral alarak hemen çıkarabiliriz. Ama istersek degisken degis-tirme yöntemini de kullanabiliriz:
y = csch−1x
x = cschy = 1
sinh y
= 2
e y −e−y
= 2e y
e2y −1(u = e y , xu2 −2u −x = 0)
u1,2 = 2±p
4+4x2
2x= 1±
p1+x2
x
e y = 1+p
1+x2
x
⇒ y = ln
(1+
p1+x2
x
)
⇒ y = ln
(1
x+p
1+x2
|x|
)
150 BÖLÜM 8. HYPERBOLIK FONKSIYONLAR
olur. öte yandan,
sinh−1 1
x= ln
(1
x+
√1
x2 +1
)
= ln
(1
x+p
1+x2
|x|
)= csch−1x
elde edilir.
y = cosh−1 x
fonksiyonunun türevinden integral alırsak,∫d xp
x2 −a2= cosh−1(
x
a)+C = ln(x +
√x2 −a2)+C (8.98)
çıkar.
∫d x
a2 −x2 = 1
atanh−1 x
a+C (8.99)
= 1
2aln
a +x
a −x+C (|x| < a) (8.100)
Bu formülü degisken degistirme yöntemiyle de çıkrabiliriz.
x = e y +e−y
e y −e−y (8.101)
⇒ (e y +e−y )x = (e y −e−y ) (8.102)
⇒ ⇒ (e2y +1)x = e2y −1 (8.103)
⇒ e2y +1
e2y −1(8.104)
⇒ (x −1)e2y = (1+x) (8.105)
e2y = x +1
x −1(8.106)
y = 1
2ln
x +1
x −1= coth−1 x (8.107)
= d
d xcoth−1 x = 1
2
d
d x
(ln
x +1
x −1
)(8.108)
= 1
1−x2 (|x| > 1) (8.109)
8.5. TERS HIPERBOLIK FONKSIYONLARIN INTEGRALI 151
x yerine x/a konulursa, istenen formül çıkar.
d x
xp
a2 +x2= 1
acsch−1 |x|
a+C (8.110)
(8.111)
Bu formülü,
d
d xcsch−1 = −1
|x|p
1+x2(x 6= 0) (8.112)
formülünden integral alarak hemen çıkarabiliriz. Ama istersek degisken degis-tirme yöntemini de kullanabiliriz:
y = csch−1x
x = cschy = 1
sinh y
= 2
e y −e−y
= 2e y
e2y −1(u = e y , xu2 −2u −x = 0)
u1,2 = 2±p
4+4x2
2x= 1±
p1+x2
x
e y = 1+p
1+x2
x
⇒ y = ln
(1+
p1+x2
x
)
⇒ y = ln
(1
x+p
1+x2
|x|
)
olur. öte yandan,
sinh−1 1
x= ln
(1
x+
√1
x2 +1
)
= ln
(1
x+p
1+x2
|x|
)= csch−1x
152 BÖLÜM 8. HYPERBOLIK FONKSIYONLAR
elde edilir.
Çözüm: tanh x fonksiyonunun sınır deger problemini sagladıgı kolaycagörülür. O halde çözüm y = tanh x dir.
Sonlu bir [a,b] aralıgında cosh x fonksiyonunun integrali o aralıktaki egriuzunluguna esittir:
Alan= =∫ b
acosh x d x =
∫ b
a
√1+
(d
d xcosh x
)2
d x = arc length
(8.113)
Problem:∫tanh x d x = lncosh x +C (8.114)
dir. Gösteriniz.
Ispat:∫tanh x d x =
∫sinh x
cosh xd x
=∫
d(cosh x
cosh x= lncosh x +C
tanh x fonksiyonu dogrusal olmayan f ′ = 1− f 2 difrensiyel denklemini saglar;yani o denklemin çözümüdür.
8.6 Ters Hiperbolik Fonksiyonlar
Hiperbolik fonksiyonların bire-bir oldugu aralıklarda ters fonksiyonları vardır.Ters foksiyon tanımı uygulanarak hiperbolik fonksiyonların terslei tanımlanır.ters hiperbolik fonksiyonlar fonksiyonları göstermek için farklı simgeler kulla-nılmaktdır:
1. sinh x için sinh−1 x’de oldugu gibi fonksiyon adının üstüne −1 konularak.Bu gösterim f fonksiyonunun tersini göstermek için kullanılan f −1 gös-terimi ile aynı anlamdadır. Çarpımsal ters öge anlamında degildir.
2. ar si nhx gibi fonksiyon adını önüne ar konularak,
3. ar csi nhx gibi fonksiyon adını önüne ar c konularak.
8.7. TERS HIPERBOLIK FONKSYONLARIN LOGARITMIK IFADESI 153
4. ar g si nhx gibi fonksiyon adını önüne ar g konularak.
Bu kitapta bu gösterimler arasından birinci ile sonuncuyu kullanacagız. Dizgikolaylıgı için sonuncu gösterim kitaplsrda çok kullanılır. ar c yerine ar g geldigiiçin trigonometrik foksiyonların tersleri ile karısmaz.
Trigonometrik fonksiyolara benzetilerek, hiperbolik fonksiyonun degis-kenine (argüman) açı denilir. Aslında hiperbolik fonksiyonun degiskeni dereceya da radyan gibi açı ölçü birimi cinsinden olmayan bir sayıdır. Ama birim çem-berde sin ve cos fonksiyonlarının oynadıgı role benzer bir rol, x y = 1 birim hi-perbolünde sinh a ve cosh a fonksiyonları tarafından oynanır.
Hiperbolic fonksiyonlar ve tersleri dogrusal diferensiyel denklem sistem-lerinin çözümlerinde çok geçer.
ar g sechx = ar g cosh1
x(8.115)
ar g cschx = ar g si nh1
x(8.116)
ar g cothx = ar g t anh1
x(8.117)
8.7 Ters Hiperbolik Fonksyonların Logaritmik Ifadesi
ar g si nhx = ln(x +
√x2 +1
)(∞< x <∞) (8.118)
ar g coshx = ln(x +
√x2 −1
)(1 ≤ x <∞) (8.119)
ar g t anhx = 1
2ln
1+x
1−x, (|x| < 1 (8.120)
ar g cothx = 1
2ln
1+x
x −1, |x| > 1 (8.121)
ar g sechx = ln
(1
x+p
1−x2
x
), (0 < x ≤ 1) (8.122)
ar g cschx = ln
(1+x
+
p1+x2
|x| (x 6= 0)
)(8.123)
Ispatlar:
si nh−1x = ln(x +
√1+x2
)(8.124)
154 BÖLÜM 8. HYPERBOLIK FONKSIYONLAR
Ispat:
y = sinh−1 x ⇔ x = sinh y
x = e y −e−y
2(e y = t )
= t − 1t
2
⇒ 2x = t − 1
t
⇒ t1,2 = x ±√
1+x2
e y ≥ 0 oldugundan, köklerden pozitif olanı almalıyız:
e y = e y −e−y
2+ e y +e−y
2= sinh y +cosh y
= sinh y +√
sinh2+1
= x +√
x2 +1
e y = x +√
1+x2
ln(e y ) = y
⇒ y = ln(x +√
1+x2)
çıkar ki bu istenen esitliktir.
cosh−1 x = ln(x +
√x2 −1
)(8.125)
8.7. TERS HIPERBOLIK FONKSYONLARIN LOGARITMIK IFADESI 155
Ispat:
y = cosh−1 x ⇔ x = cosh y
x = e y +e−y
2(e y = t )
= t − 1t
2
⇒ 2x = t − 1
t
⇒ t1,2 = x ±√
x2 −1
e y ≥ 0 oldugundan, köklerden pozitif olanı almalıyız:
e y = t
= x +√
x2 −1 |x| > 1
y = ln(x +
√x2 −1
)Buradan istenen formül çıkar.
tanh−1 x = 1
2ln
1+x
1−x(|x| < 1) (8.126)
= coth−1 1
x(< x| < 1 (8.127)
Ispat:
y = tanh−1 x ⇔ x = tanh y
x = sinh y
cosh y
= e y −e−y
e y +e−y
= e2y −1
e2y +1
156 BÖLÜM 8. HYPERBOLIK FONKSIYONLAR
xe2y +x = e2y −1
(x −1)e2y =−(x −1)
e2y = 1+x
1−x
⇒ ln(e2y ) = ln1+x
1−x
⇒ y = 1
2ln
1+x
1−x
Buradan istenen formül çıkar.
coth−1 x = 1
2ln
x +1
x −1(|x| > 1) (8.128)
= tanh−1 1
x(< x| > 1 (8.129)
Ispat:
y = coth−1 x ⇔ x = coth y
x = cosh y
sinh y
= e y +e−y
e y −e−y
= e2y +1
e2y −1
xe2y −x = e2y +1
(x −1)e2y = (x +1)
e2y = x +1
x −1
⇒ ln(e2y ) = lnx +1
x −1
⇒ y = 1
2ln
x +1
x −1
Buradan istenen formül çıkar. Ikinci esitlik x yerine 1/x konularak benzer yön-
8.7. TERS HIPERBOLIK FONKSYONLARIN LOGARITMIK IFADESI 157
temle elde edileblir:
y = 1
2ln
x+1x
x−1x
= 1
2ln
1+ 1x
1− 1x
= tanh−1 x (|x| > 1)
sech−1x = ln
(1+
p1−x2
x
)(8.130)
= cosh−1 1
x(0 < x ≤ 1) (8.131)
Ispat:
y = sech−1x ⇔ x = sechy
x = 2
e y +e−y
= 2e y
e2y +1
xe2y +x = 2e y
xt 2 −2t +x = 0 (t = e y )
t1,2 = 1±p
1−x2
x
e y > 1 olması için köklerden pozitf olanı seçiyoruz.
e y = 1+p
1−x2
x
y =(
1+p
1−x2
x
)
158 BÖLÜM 8. HYPERBOLIK FONKSIYONLAR
çıkar ve istenenin ilk formülü ispatlanmıs olur. Ikinci esitlik için x yerine 1/xkoyarsak,
cosh−1 1
x= ln
(1
x+
√1
x2 −1
)(8.132)
= ln
1
x+
√1−x2
x2
(8.133)
= ln
(1+
p1−x2
x
)(8.134)
= sech−1x (8.135)
çıkar.
csch−1x = ln
(1+
p1+x2
|x|
)(8.136)
= sinh−1 1
x(x 6= 0) (8.137)
Ispat:
y = csch−1x ⇔ x = cschy
x = 2
e y −e−y
= 2e y
e2y −1
xe2y −x = 2e y
xt 2 −2t +x = 0 (t = e y )
t1,2 = 1±p
1+x2
x
8.8. TERS HIPERBOLIK FONKSIYONLARIN TÜREVLERI 159
e y > 1 olması için köklerden pozitif olanı seçiyoruz.
e y = 1+p
1+x2
x
y = ln
(1+
p1+x2
x
)
ln
(1
x+p
1+x2
|x|
)
çıkar ve istenenin ilk formülü ispatlanmıs olur. Ikinci esitlik için x yerine 1/xkoyarsak,
sinh−1 1
x= ln
(1
x+
√1
x2 +1
)(8.138)
= ln
(1
x+p
1+x2
|x|
)(8.139)
= ln
(1+
p1−x2
x
)(8.140)
= csch−1x (8.141)
çıkar.
8.8 Ters Hiperbolik Fonksiyonların Türevleri
d
d xar g si nhx = 1p
x2 +1(8.142)
d
d xar g coshx = 1p
x−1(8.143)
d
d xar g t anhx = 1
1−x2 (8.144)
d
d xar g cschx = −1
|x|p
1+x2(8.145)
d
d xar g sechx = −1
xp
1−x2(8.146)
d
d xar g cothx = 1
1−x2 (8.147)
160 BÖLÜM 8. HYPERBOLIK FONKSIYONLAR
Ispatlar:
1.Yöntem:
y = ar g si nhx ⇔ x = sinh y
⇒ 1 = cosh y.y ′
⇒ y ′ = 1
cosh y
⇒ y ′ = 1√sinh2+1
⇒ y ′ = 1px2 +1
(8.148)
2.Yöntem:
y = f (x) (8.149)
⇒ Dx f −1(x) = 1
f ′( f −1(x)(8.150)
formülü kullanılırsa,
f (x) = sinh x
Dx sinh−1(x) = 1
f ′( f −1(x))
= 1
cosh(sinh−1 x)
= 1√1+ (sinh(sinh−1 x))2
= 1p1+x2
y = ar g coshx ⇔ x = cosh y
⇒ 1 = sinh y.y ′
⇒ y ′ = 1
sinh y
⇒ y ′ = 1√cosh2+1
⇒ y ′ = 1px2 −1
(|x| > 1) (8.151)
8.8. TERS HIPERBOLIK FONKSIYONLARIN TÜREVLERI 161
y = ar g t anhx ⇔ x = tanh y
⇒ 1 = sech2 y.y ′
⇒ y ′ = 1
sech2 y
⇒ y ′ = 1
1− tanh2 y
⇒ y ′ = 1
1−x2 (−1 < x < 1)
y = ar g cothx ⇔ x = coth y
⇒ 1 =−csch2 y.y ′
⇒ y ′ =− 1
csch2 y
⇒ y ′ = −1
coth2 y −1
⇒ y ′ = −1
x2 −1(|x| > 1)
162 BÖLÜM 8. HYPERBOLIK FONKSIYONLAR
y = ar g sechx ⇔ x = sec y
⇒ 1 = −sinh y
cosh2 y.y ′
⇒ y ′ = −cosh2 y
sinh y
⇒ y ′ = −cosh2 y√cosh2 y −1
⇒ y ′ = − 1x2√
1x2 −1
⇒ y ′ = − 1x2√
1x2 −1
⇒ y ′ = − 1x2
−1|x|
p1−x2
⇒ y ′ = −1
|x|p
1−x2(0 < x < 1)
1− t anh2x = sech2x (8.152)
coth2 x −1 = csch2x (8.153)
8.9. TERS HIPERBOLIK FONKSIYONLARIN INTEGRALI 163
y = ar g cschx ⇔ x = cschy
⇒ 1 =−cschy.coth y.y ′
⇒ y ′ = −1
cschy.coth y
⇒ y ′ = −sinh y
cschy.cosh y
⇒ y ′ = −sinh2 y
cosh y
=⇒ x = 1
sinh y⇔ (sinh2 y = 1
x2 ,
=⇒ 1
cosh y= 1√
sinh2 y +1= 1√
1x2 +1
= |x|px2 +1
⇒ y ′ = −1
|x|p
x2 +1
8.9 Ters Hiperbolik Fonksiyonların Integrali
√x2 +a2,
√x2 −a2
teerimlerini içeren interallerde, köklü ifadeyi yoketmek için x = a sinh t vex = a cosh t konumu yapılır ve ters hiperbolic fonksiyonların türevlerinden in-tegrali alınır ve onların logaritmik eitlikleri kullanılabilir.
∫d xpx2 +1
= si nh−1x +C = ln(x +√
1+x2)+C (8.154)
Yöntem 1: Bu bagıntıdaki ilk esitlik si nh−1x fonksiyonunun türevindenintegral alınarak, ikinci esitlik ise si nh−1x’nin logaritmik ifadesinden çıkar.
Yöntem 2: (8.170) integralini degisken degistirerek de çözebiliriz:
x = sinh t , d x = cosh t , t = sinh−1 x +C = ln(x +√
1+x2) (8.155)
konumuyla,∫d xpx2 +1
=∫
cosh t√sinh2 t +1
=∫
cosh t
cosh td t = t = sinh−1 x +C (8.156)
164 BÖLÜM 8. HYPERBOLIK FONKSIYONLAR
çıkar. Istersek son terim yerine logaritmik esitligini koyarak,∫d xpx2 +1
= ln(x +
√x2 +1
)+C
esitligini elde edebiliriz.
Buradan görüldügü gibi, (8.170) biçimine dönüstürülebilen integrallerar g si nhu ile ifade edilebilir.
∫dup
u2 −a2= cosh−1u +C = ln
(u +
√u2 −1
)+C (8.157)
Yöntem 1: Bu bagıntıdaki ilk esitlik cosh−1x fonksiyonunun türevindenintegral alınarak, ikinci esitlik ise cosh−1x’nin logaritmik ifadesinden çıkar.
(8.173) biçimine dönüstürülebilen integraller (8.173) formülü kullanıla-rak bulunabilecegi gibi, x = cosh t konumuyla da çözülebilir:
I =∫ p
x2 −3
x2 (8.158)
interalini bulunuz.
Çözüm:
x > 0 oldugunu varsayarak x =p3cosh t konumuyla,√
x2 −3 =p3sinh t , d x =p
3cosh t
degisken degistirimi yapılırsa
I =∫
sinh2 t
cosh2 td t =
∫cosh2 t −1
cosh2 td t = t − tanh t +C (8.159)
çıkar. Buradan eriyex degiskenine dönersek,
I = cosh− xp3− tanh
(cosh−1 t
xp3
)+C
= ln(x +√
x2 −3−p
x2 −3
x+C
I =∫
d x
a2 −x2 = 1
atanh−1 x
a+C
= 1
2aln
a +x
a −x+C (|x| < a)
8.9. TERS HIPERBOLIK FONKSIYONLARIN INTEGRALI 165
interalini bulunuz.
Çözüm: Bu integrali bulmanın en kolay yolu tanh−1 x fonksiyonunun in-tegralini almak ve sonra logaritmik ifadesini kullanmaktır. Ama istenirse x =tanh t konumuyla degisken degistirimi ile de çözüm yapılabilir.
I = 1
atanh− x
a+C (8.160)
= 1
2aln
a +x
a −x+C (|x| < a) (8.161)
dir.
sech−1x = ln
(1+
p1−x2
x
)(8.162)
= cosh−1 1
x(0 < x ≤ 1) (8.163)
interalini bulunuz.
Çözüm: Yukarıda söyledigimiz gibi, bu integrali bulmanın en kolay yolutanh−1 x fonksiyonunun integralini almak ve sonra logaritmik ifadesini kullan-maktır. Ama istenirse x = tanh t konumuyla degisken degistirimi ile de çözümyapılabilir.
I =∫
d x
a2 −x2 = 1
acoth− x
a+C (8.164)
= 1
2aln
x +a
x −a+C (|x| > 0) (8.165)
çıkar.
Örnek 8.3
I =∫
d x
1−x2
integralini bulunuz.
Çözüm: Yulkarıdaki formül kullanılabilir ya da x = coth t konumu yapıla-rak degisken degistirilebilir.
I =∫
d x
1−x2 = coth−1 x = 1
1−x2 (|x| > 1) (8.166)
166 BÖLÜM 8. HYPERBOLIK FONKSIYONLAR
bulunur.
I =∫
d x
xp
a2 −x2= 1
asech−1 |x|
a+C (8.167)
=− 1
aln
a +p
a2 −x
|x| +C (0 < x < a) (8.168)
formülünü çıkarınız.
Çözüm: sech−1x fonksiyonunun türevinin interali alınır ve logaritmikesitligi kullanılırsa formül elde edilir.
Örnek 8.4
I =∫
d x
xp
1−x2
integralini bulunuz.
Çözüm: Yulkarıdaki formül kullanılabilir ya da x = secht konumu yapı-larak degisken degistirilebilir.
I =∫
d x
xp
1−x2= sech−1x = ln
1+p
1−x2
x+C (0 < |x| < a) (8.169)
bulunur.
I = d x
|x|p
a2 +x2= csch−1x +C = ln(
1
x+p
1+x2
|x| +C (x 6= 0) (8.170)
formülünü çıkarınız.
Çözüm: csch−1x fonksiyonunun türevinin interali alınır ve logaritmikesitligi kullanıslırsa formül elde edilir.
Örnek 8.5
I =∫
d x
|x|p
1+x2
integralini bulunuz.
Çözüm: Yukarıdaki formül kullanılabilir ya da x = secht konumu yapıla-rak degisken degistirilebilir.
I =∫
d x
|x|p
1+x2= csch−1x +C = ln
(1
|x|p
1+x2
)+C (x 6= 0)
bulunur.