A seminar about RMAWGEN

transcript

Introduction Theory RMAWGEN content Example Conclusions References

RMAWGEN: A software project for a dailyMulti-Site Weather Generator with R

RMAWGEN Daily Weather Generator

Emanuele Cordano, Emanuele Eccel

CRI - Fondazione Edmund Mach San Michele all’Adige (TN), Italy

September 26, 2012Emanuele Cordano, Emanuele Eccel RMAWGEN Daily Weather Generator

OutlineIntroduction

MotivationA Daily Weather Generator

TheoryVector Auto-Regressive ModelsGaussianization

RMAWGEN contentWeather Variables and Generation Flowcharts

ExampleDatasetPrecipitation GenerationTemperature Generation with Precipitation as an exogenouspredictor

Emanuele Cordano, Emanuele Eccel RMAWGEN Daily Weather Generator

Motivation

I Understanding the effects of climate change on phenologicaland agricultural processes in Trentino, an alpine region, Italy.

I Need of daily time-series of temperature and precipitationcorresponding to climate projections at several sites!

I Development of generation algorithms with R platform

Motivation

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Courtesy of Riccardo De Filippi

I Downscaling climate predictions from Global Climate Models(GCM), mean monthly climatology is obtained for several sitesin the Trentino region and its neighborhood.

I RMAWGEN aims to generate randomly daily time series fromthe obtained monthly climatology in each site.

Motivation

Hydrologic Modelling (water cycle), on going ...

Hydrologic models needdaily or hourly weathertime series

In collaboration with Fabio Zottele, Daniele Andreis and www.geotop.org

A Daily Weather Generator

I A weather generator (WG) aims togenerate weather time series withthe same statistical patterns of theobserved ones.

I This presentation shows in detailhow to calibrate a WG andgenerate series with RMAWGEN .

I Currently RMAWGEN generates daily maximum and minimumtemperature and precipitation.

I Major details are explained going on with the presentation!

Vector Auto-Regressive Models

Theory: Vector Auto-Regressive Model (VAR)

A VAR(K ,p)) is:

xt = A1 · xt−1 + ...+ Ap · xt−p + ut (1)

where xt is a K -dimensional vector representing the set of weathervariables generated at day t by the model, called ”endogenous”variables, Ai is a coefficient matrix K × K for i = 1, ..., p and ut isa K -dimensional stochastic process. xt and ut are usuallynormalized to have a null mean. ut is a Standard White Noise[Luetkepohl, 2007,def. 3.1].

Theory: VAR with exogenous variable

xt = A1 · xt−1 + ...+ Ap · xt−p + ut

ut = C · dt + B · εt (2)

Here, ut is a process described by (2) where dt is a set of knownK -dimensional processes, whose components are called”exogenous” variables, and εt is a K -dimensional uncorrelatedstandard white noise, i.e. E[εt · εT

t ] = Σεt = IK, C and B are therespective coefficient matrices and IK is the K -dimensional identitymatrix. The process dt is a generic, previously generated, knownmeteorological variable that works as a predictor vector for thestochastic generation of xt.Emanuele Cordano, Emanuele Eccel RMAWGEN Daily Weather Generator

VAR Coefficient Estimation

Model Calibration:

I Method of Moments (based on Yule-Walker Equations);

I Method of Maximum Likelihood;

I Method of Least Squares (OLS) (vars and RMAWGEN usethis!!

Model Diagnostic, once calibrated VAR:

I Multivariate Portmanteau and Breusch-Godfrey(Lagrange Multiplier) test, seriality tests on residuals;

I Jarque-Bera multivariate skewness and kurtosis test,normaility tests on residuals

Gaussianization

Theory: 1D Marginal GaussianizationIt is based on quantile transformation:

x = F−1G (Fz(z)) (3)

where Fz(z) is cumulate distributionprobability of z , FG (x) is the Gaussiancumulative function with zero mean andstandard deviation equal to 1.

Histogram of z

Frequency

0 5 10 15 20

Histogram of x

Frequency

-4 -2 0 2 4

Histogram of z1

Frequency

0 5 10 15 20

library(RMAWGEN)

set.seed(123456)

z <- rexp(10000,rate=0.5)

x <- normalizeGaussian(x=z,data=z)

normalizeGaussian(x=x,data=z,inverse=TRUE)

#-- Plot probability histogram of z, x

and z1

zhist <-

hist(z,probability=TRUE,breaks=50)

xhist <-

hist(x,probability=TRUE,breaks=50)

z1hist <-

hist(z1,probability=TRUE,breaks=50)

zhist$counts <- zhist$density

xhist$counts <- xhist$density

z1hist$counts <- z1hist$density

def.par <- par(no.readonly = TRUE) #

save default, for resetting...

par(mfrow=c(1,3),oma=c(15.0,0.0,15.0,0.0))

plot(zhist)

plot(xhist)

plot(z1hist)

par(def.par)

Gaussianization

Theory: Monthly 1D Marginal Gaussianization

-10 0 10 20

Tn [degC]

JanFebMarAprMayJunJulAugSepOctNovDec

The gaussianizationtransformation can bedifferent for each month.

library(RMAWGEN)

data(trentino)

col <- rainbow(n=12,start=0.1,end=0.9)

col[6:1] <- col[1:6]

col[7:12] <- col[12:7]

plot sample(x=TEMPERATURE MIN$T0090,

sample="monthly",

origin="1958-1-1",axes=FALSE,xlab="Tn

[degC]",ylab="x",abline=NULL,col=col)

Gaussianization

Theory: Multi-Dimensional Gaussianization (1)

Similarly to the 1D case, it is intuitive that an invertible functionexists between any multi-dimensional random variable and aGaussian variable with the same dimensions [Chen and Gopinath,2000]. Recently, Laparra et al. [2009] proposed an iterative methodbased on Principal Component Analysis (PCA):

I One-dimensional Gaussianization of each marginal variable(component of x), i.e. Marginal Gaussianization;

I Orthonormal transformation of the coordinates based on theeigenvector matrix of the covariance matrix according to PCAanalysis.

Details about convergence of the method are given in Laparraet al. [2009].

Gaussianization

Theory: Multi-Dimensional Gaussianization (2)

The PCA Gaussianization (G-PCA) is described by the followingmathematical formulation (Laparra et al. [2009]).

x(k+1) = B(k) ·Ψ(k)(x(k)) (4)

where x(k) and x(k+1) are the vector random variable at the k-thand the k + 1-th iteration level, Ψ(k)(x(k)) is the marginal

Gaussianization of each component of random variable x(k)

performed by applying (3), B(k) is the PCA transform matrix, i.e.the orthonormal eigenvector matrix of the covariance matrix ofΨ(k)(x(k)).

Weather Variables and Generation Flowcharts

Representation of a Weather Variable: defining zt

I Temperature Generation: → preliminary deseasonalization

(Txt + Tnt

2− Txst + Tnst

2|Txt − Tnt

I Txt : daily maximum temperatureI Tnt : daily minimum temperatureI Txst : daily maximum spline-interpolated temperature (from

”monthly climatology”)I Tnst : daily minimum spline-interpolated temperature (from

”monthly climatology”)

I Precipitation Generation: zt is equal to daily precipitation

I Marginal Gaussianization for both temperature orprecipitation case =⇒ xt = Gm (zt)

Calibration of a VAR for weather generationfrom observed data

A VAR model is calibrated from observed weather data accordingto the following algoritm

daily weather variable time series (observed)

PCA Gaussianization (multi-variate) of data

PCA Gaussianization (multi-variate) of residuals

monthly sampling and Marginal Gaussianization

VAR calibration

daily time series (observed) of exogenous variables (e. g.another weather variable)

Stochastic weather generation by a previously created VARInversely, once calibrated the VAR model, weather data aregenerated as follows:

random generation of N(0,1) normally distributed values

Execution of the VAR model: generation of "x"

Inverse PCA Gaussianization of "x"

Marginal gaussianization and deseasonalization: "z"

Daily weather variable time-series

Inverse PCA Gaussianization of residuals

daily time series of exogenous variables

VAR model

GPCA parameters for "x"

monthly mean value of daily weather variable

GPCA parameters for residuals

Dataset

Daily Temperature and Precipitation in trentino dataset[Eccel et al., 2012]

See file trentino map.R in the doc/example directory ofRMAWGEN package source code.Emanuele Cordano, Emanuele Eccel RMAWGEN Daily Weather Generator

Precipitation Generation

Let’s start with a precipitation generation

4 different models with different auto-regression order and with orwithout GPCA are considered.

rm(list=ls())

library(RMAWGEN) # Call RMAWGEN

set.seed(1222) # Set the seed for random generation

data(trentino) # Load the dataset

# Two stations where to work!

station <- c("T0090","T0083")

4 VAR models for Precipitation Generation

I Precipitation Generation with auto-regression order p = 3 andPCA Gaussianization (P03GPCA)

I Precipitation Generation with auto-regression order p = 1 andPCA Gaussianization (P01GPCA)

I Precipitation Generation with auto-regression order p = 3 andwithout PCA Gaussianization (P03)

I Precipitation Generation with auto-regression order p = 1 andwithout PCA Gaussianization (P03)

Precipitation VAR Model Diagnostic

R> serial test(generationP03GPCA prec$var)

R> normality test(generationP03GPCA prec$var)

Normality Test Serial Test

P01 Unsuccessful Unsuccessful

P03 Unsuccessful Successful

P01GPCA Successful Successful

Table 1: Test results on VAR residuals (precipitation generation).

Q-Q plots for daily precipitation (generated vs observed) atT0090 in DJF and MAM)

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prec P03GPCA T0090 1 days DJF

observed

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observed

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0 50 100 150

prec P03 T0090 1 days DJF

observed

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prec P03GPCA T0090 1 days MAM

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prec P03 T0090 1 days MAM

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edEmanuele Cordano, Emanuele Eccel RMAWGEN Daily Weather Generator

Q-Q plots for daily precipitation (generated vs observed) atT0090 in JJA and SON

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prec P03 T0090 1 days SON

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Q-Q plots for LAG 2 daily precipitation (generated vsobserved) at T0090 in DJF and MAM)

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Q-Q plots for LAG 2 daily precipitation (generated vsobserved) at T0090 in JJA and SON

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●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●

●●●●●●●

●●●●●

●● ● ● ●

● ●

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observed

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●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

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●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

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observed

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●●●●●●●●●●●●●●●●

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●●●●●●●●

●●●●●●●

●●●●●

●● ● ● ●

● ●

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observed

Auto-Correlation Function at T0090 and T0083

0 2 4 6 8 10

T0090 & T0083

−10 −8 −6 −4 −2 0

T0083 & T0090

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Auto-CorrelationFunction ofOBSERVED dailyprecipitation values.

0 2 4 6 8 10

T0090 & T0083

−10 −8 −6 −4 −2 0

T0083 & T0090

0 2 4 6 8 10

Auto-CorrelationFunction ofP03GPCAGENERATED dailyprecipitation values.

DiscussionThe shown tests and Q-Q plots illustrate the VAR model goodness:

I the Q-Q plots (observed vs generated) show results, especiallyfor the lower precipitation values (<20 mm) in MAM,JJA andSON seasons and for P03GPCA case;

I probability values of no precipitation occurrence (observed vsgenerated) are well reproduced:

The P03GPCA VAR model is accepted for stochastic precipitationgeneration according to diagnostic test results.Problems to be solved:

I maximum values of precipitation are underestimated,especially in DJF:

I the temporal auto-correlation is underestimated (see LAG 2Q-Q plots and auto-correlation function plots)

Temperature Generation with Precipitation as an exogenous predictor

4 VAR models for Temperature Generation

I Launching a Temperature Generation with auto-regressionorder p = 10 and PCA Gaussianization (P10GPCA)

I Launching a Temperature Generation with auto-regressionorder p = 1 and PCA Gaussianization (P01GPCA)

I Launching a Temperature Generation with auto-regressionorder p = 10 and without PCA Gaussianization (P10GPCA)

I Launching a Temperature Generation with auto-regressionorder p = 1 and without PCA Gaussianization (P01GPCA)

In all 4 approaches, daily temperature is modeled usingprecipitation data as exogenous predictors: Observed andP03GPCA generated data.

Temperature VAR Model Diagnostic

R> serial test(generationP10GPCA temp$var)

R> normality test(generationP10GPCA temp$var)

Normality Test Serial Test

P01GPCA Successful Unsuccessful

Table 2: Test results on VAR residuals (temperature generation).

Q-Q plots for daily maximum temperature (generated vsobserved) at T0090 in DJF and MAM.

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●●●●●●●●●●●●●●

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●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

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Tx P10GPCA T0090 DJF

observed

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Tx P01GPCA T0090 DJF