Post on 20-Jun-2020
transcript
บทที่ 7
ส่วนตกค้างก าลังสอง (Quadratic residue)
การศึกษาการหาผลเฉลยของสมภาคเชิงเส้นที่มีหนึ่งตัวแปรที่กล่าวมาแล้วในบทที่
3 ในบทนี้จะเป็นการศึกษาการหาผลเฉลยของสมภาคก าลังสองที่มีหนึ่งตัวแปรซึ่งมีรูปทั่วไป
เป็น 2ax bx c 0 mod m ในกรณีเฉพาะที่จ านวนเต็ม b เท่ากับศูนย์ เราจะ
เรียก สมภาคนี้ว่า สมภาคก าลังสองแท้ (pure quadratic congruence) เราจะแสดงว่า
สมภาคก าลังสองในรูป 2ax bx c 0 mod p เมื่อ p เป็นจ านวนเฉพาะคี่ สมมูล
กับสมภาคก าลังสองแท้และสมภาคเชิงเส้น เราพบว่าสมภาคก าลังสองแท้อาจจะมีหรือไม่มี
ผลเฉลย แต่สมภาคเชิงเส้นจะมีผลเฉลยถ้าสมภาคก าลังสองมีผลเฉลย ดังนั้นสมภาคเชิงเส้น
2ax bx c 0 mod p จะมีผลเฉลยก็ต่อเมื่อ สมภาคก าลังสองแท้มีผลเฉลย ผู้ที่
ศึกษาสมภาคชนิดนี้ได้แก่ คาร์ล ฟรีดริช เกาส์ (Johann Carl Friedrich Gauss)
ในบทที่ 7 นี้ เราจะกล่าวถึงสมภาคก าลังสอง สัญลักษณ์เลอฌ็องดร์ ก าหนดโดย
อาเดรียง มารี เลอฌ็องดร์ (Adrien-Marie Legendre, ค.ศ. 1752-1833) กฎส่วนกลับ
ก าลังสอง และสัญลักษณ์จาโคบี ซึ่งสัญลักษณ์ดังกล่าวจะช่วยให้การหาส่วนตกค้างก าลัง
สองได้สะดวกขึ้น
7.1 สมภาคก าลังสอง
การหาผลเฉลยของสมการก าลังสอง 2ax bx c 0 เมื่อ a,b และ c เป็น
จ านวนจริง และ a 0 ผลเฉลยคือ
2b b 4acx
2a ซึ่งเป็นที่คุ้นเคยกันดี ใน
หัวข้อนี้จะกล่าวถึงลักษณะของก าลังสองอีกแบบหนึ่งซึ่งก็คือสมภาคก าลังสอง เราจะ
พิจารณาหาผลเฉลยของสมภาคก าลังสองในมอดุโล p เมื่อ p เป็นจ านวนเฉพาะ ซึ่งเขียน
ในรูปดังนี้
2ax bx c 0 mod p 7.1.1
194 ทฤษฎีจ านวน
โดยที่ p | a หรือ a,p 1 ในกรณี p 2 เราพิจารณาหาผลเฉลยของ 7.1.1 ได้
โดยง่าย โดยการพิจารณาว่า x 0 หรือ x 1 เป็นผลเฉลยหรือไม่ ดังนั้น เราจะ
พิจารณาเฉพาะกรณีท่ี p เป็นจ านวนเฉพาะคี่ โดยที่ p | 4a หรือ 4a,p 1 ดังนั้นสม
ภาค 7.1.1 สมมูลกับ
24a ax bx c 0 mod p
2 24a x 4bx 4c 0 mod p
2
2 22ax 2 2ax b b b 4ac mod p
2 22ax b b 4ac modp
โดยให้ y 2ax b และ 2d b 4ac สามารถเปลี่ยนให้อยู่ในรูป
2y d modp 7.1.2
ดังนั้นเป็นการเพียงพอที่จะศึกษาเฉพาะการหาผลเฉลยของสมภาค 2y d modp
ดังตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่าง 7.1.1 จงหาผลเฉลยของสมภาคก าลังสอง 22x 3x 1 0 (mod5)
วิธีท า จาก 22x 3x 1 0 (mod5)
คูณสมภาคด้วย 8 จะได้
216x 24x 8 0 (mod5)
หรือ
2
24x 3 3 8 (mod5)
ให้ y 4x 3 เราหาผลเฉลยของสมภาค
2y 1(mod5)
ได้ y 1,4(mod5) เป็นผลเฉลยของ 2y 1 mod5
ต่อไปหาผลเฉลยของสมภาคเชิงเส้น y 1(mod5) และ y 4(mod5)
แทนค่า y 4x 3
บทที่ 7 ส่วนตกค้างก าลังสอง 195
จะได้ 4x 3 1(mod5)
หรือ 4x 2(mod5)
เนื่องจาก 2 8(mod5)
จะได้ 4x 8(mod5)
ดังนั้น x 2(mod5)
จะได้ว่า 2 เป็นผลเฉลยของ 4x 3 1(mod5)
และ 4x 3 4(mod5)
หรือ 4x 1(mod5)
เนื่องจาก 1 16(mod5)
จะได้ 4x 16(mod5)
ดังนั้น x 4(mod5)
จะได้ว่า 4 เป็นผลเฉลยของ 4x 3 4(mod5)
นั่นคือ x 2,4 mod5 เป็นผลเฉลยของ 22x 3x 1 0 (mod5)
การใช้ Wolfram Alpha เพ่ือหาผลเฉลยของสมภาคก าลังสอง
22x 3x 1 0 (mod5) ดังภาพที่ 7.1.1
ผลลัพธ์ x 2 และ x 4
ภาพที่ 7.1.1 ผลเฉลยของสมภาคก าลังสอง 22x 3x 1 0 (mod5)
จากตัวอย่าง 7.1.1 จะเห็นว่า ถ้าต้องการหาผลเฉลยของสมภาคก าลังสอง
7.1.1 สามารถเปลี่ยนให้อยู่ในรูปสมการก าลังสอง 7.1.1 มาเป็นสมภาคก าลังสองที่
solve 2x^2+3x+1 congruent 0 mod 5
196 ทฤษฎีจ านวน
อยู่ในรูป 7.1.2 แล้วหาค่า y จากนั้นแทนค่า y กลับไปเป็นค่า x ดังนั้นสมภาคก าลัง
สองท่ีเราสนใจก็คือสมภาคก าลังสองที่อยู่ในรูป
2x a modp 7.1.3
เมื่อ p เป็นจ านวนเฉพาะคี่และ a เป็นจ านวนเต็ม ถ้า p a แล้ว 7.1.3 มีผลเฉลยคือ
x 0 modp เป็นผลเฉลยเดียว
ปัญหาที่ส าคัญที่เราจะศึกษาต่อไปคือ การหาเงื่อนไขที่จะพิจารณาว่าเมื่อไรสมภาค
มีผลเฉลย ดังบทนิยามต่อไปนี้ (จิราภา ลิ้มบุพศิริพร, 2555, น. 185; สมจิต โชติชัยสถิตย์,
2540, หน้า 43; สมใจ จิตพิทักษ์, 2547, น. 197; Burton, D. M., 2007, p. 171)
บทนิยาม 7.1.1
ก าหนดให้ p เป็นจ านวนเฉพาะคี่และ a เป็นจ านวนเต็ม ซึ่ง a,p 1 ถ้า
2x a (modp) มีผลเฉลยแล้ว จะเรียก a ว่าเป็นส่วนตกค้างก าลังสองของ p
(quadratic residue of p ) และ ถ้า 2x a (modp) ไม่มีผลเฉลย จะเรียก a
ว่าไม่เป็นส่วนตกค้างก าลังสองของ p (quadratic nonresidue of p )
จากตัวอย่าง 7.1.1 จะได้ว่า 2y 1 mod5 มีผลเฉลยคือ 1 และ 4 ดังนั้น 1
และ 4 เป็นส่วนตกค้างก าลังสองของ 5
ตัวอย่าง 7.1.2 จงพิจารณาจ านวนเต็มบวกท่ีน้อยกว่า 13 ว่ามีจ านวนใดบ้างที่เป็นส่วน
ตกค้างก าลังสองของ 13 และ มีจ านวนใดบ้างที่ไม่เป็นส่วนตกค้างก าลังสองของ 13
วิธีท า ในการหาส่วนตกค้างก าลังสองของ 13 เราจะหาจ านวนเต็ม a ซ่ึง 1 a 12
และท าให้สมภาค 2x a (mod13) มีผลเฉลยเนื่องจาก
2 21 12 1 mod13
2 22 11 4 mod13
2 23 10 9 mod13
2 24 9 3 mod13
บทที่ 7 ส่วนตกค้างก าลังสอง 197
2 25 8 12 mod13
2 26 7 10 mod13
เพราะฉะนั้น จ านวนเต็ม a ที่มีสมบัติดังกล่าวคือ 1,3,4,9,10,12 ดังนั้นจ านวนเต็มซึ่งเป็นส่วนตกค้างก าลังสองของ 13 คือ 1,3,4,9,10,12 และจ านวนเต็ม a ซึ่งไม่เป็นส่วนตกค้างก าลังสองของ 13 คือ 2,5,6,7,8,11
จากตัวอย่าง 7.1.2 เราพบว่าจ านวนเต็มซึ่งอยู่ระหว่าง 1 ถึง 12 จะแบ่ง ออกเป็น 2 กลุ่มเท่า ๆ กัน ระหว่างส่วนตกค้างก าลังสองและไม่เป็นส่วนตกค้างก าลังสอง ออยเลอร์ได้พบเกณฑ์ง่าย ๆ ที่ใช้ในการตรวจสอบว่าจ านวนเต็มที่ก าหนดให้เป็นส่วนตกค้างก าลังสองของจ านวนเฉพาะหรือไม่ ดังรายละเอียดในทฤษฎีบทต่อไปนี้ (จิราภา ลิ้มบุพศิริพร, 2555, น. 186; สมจิต โชติชัยสถิตย์, 2540, หน้า 44; สมใจ จิตพิทักษ์, 2547, น. 198;
Burton, D. M., 2007, p. 171)
ทฤษฎีบท 7.1.1 เกณฑ์ของออยเลอร์ (Euler’s criterion)
ก าหนดให้ p เป็นจ านวนเฉพาะคี่และ a เป็นจ านวนเต็มที่ a,p 1 จะได้ว่า a
เป็นส่วนตกค้างก าลังสองของ p ก็ต่อเมื่อ
p 12a 1 modp
บทพิสูจน์
สมมติให้ a เป็นส่วนตกค้างก าลังสองของ p
ดังนั้น สมภาค 2x a (modp) มีผลเฉลย ให้เป็น 0
x
เนื่องจาก a,p 1 ดังนั้น 2
0x a (modp)
จะได้ 2
0x ,p 1 หรือ 0
x ,p 1 โดยทฤษฎีบท 3.6.1
ทฤษฎีบทเล็กของแฟร์มา จะได้
2
0 0
p 1p 1p 122a x x 1 modp
เพราะฉะนั้นจะได้
p 12a 1 modp
198 ทฤษฎีจ านวน
สมมติให้
p 12a 1 modp จะแสดงว่า a เป็นส่วนตกค้างก าลังสอง
ของ p
ก าหนดให้ r เป็นรากปฐมฐานของ p
ดังนั้น ka r modp ส าหรับจ านวนเต็ม k บางตัวที่
1 k p 1
ดังนั้น
k p 1 p 1
2 2r a 1 modp โดยทฤษฎีบท 6.1.1
อันดับของ r คือ p 1 จะได้
k p 1p 1
2
จะได้ว่า k ต้องเป็นจ านวนคู่ ให้ k 2j เพราะฉะนั้น
2
j 2j kr r r a modp
ได้ว่า jr เป็นผลเฉลยของสมภาค 2x a (modp)
นั่นคือ a เป็นส่วนตกค้างก าลังสองของ จ านวนเฉพาะ p
ถ้า p เป็นจ านวนเฉพาะคี่และ a,p 1 แล้ว
p 1 p 1p 12 2a 1 a 1 a 1 0 modp
ดังนั้น
p 12a 1 modp เป็นส่วนตกค้างก าลังสอง หรือ
p 12a 1 modp
ไม่เป็นส่วนตกค้างก าลังสอง อย่างใดอย่างหนึ่ง
ตัวอย่าง 7.1.3 จงพิจารณาว่า 2 และ 3 เป็นส่วนตกค้างก าลังสองของ 13 หรือไม่
วิธีท า จาก
13 1
622 2 64 1 mod13
เพราะฉะนั้น 2 ไม่เป็นส่วนตกค้างก าลังสองของ 13
หรือ 2x 2 (mod13) ไม่มีผลเฉลย
จาก
13 1
622 3 729 1 mod13
บทที่ 7 ส่วนตกค้างก าลังสอง 199
เพราะฉะนั้น 3 เป็นส่วนตกค้างก าลังสองของ 13
หรือ 2x 3 (mod13) มีผลเฉลย
และจากการแทนค่าจะเห็นว่า 4 เป็นผลเฉลยของ 2x 3 (mod13)
นั่นคือ 4 และ 9 เป็นผลเฉลยของ 2x 3 (mod13)
7.2 สัญลักษณ์เลอฌ็องดร์
การศึกษาส่วนตกค้างก าลังสองของจ านวนเฉพาะ p ในระดับที่ลึกลงไปจะยุ่งยากซับซ้อนมากหาไม่มีสัญลักษณ์ช่วย นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสชื่อ อาเดรียง มารี เลอฌ็องดร์ (Adrien-Marie Legendre, ค.ศ. 1752-1833) ได้ก าหนดสัญลักษณ์ขึ้นมาเพ่ือช่วยในการศึกษาดังกล่าวให้ง่ายขึ้น และที่ส าคัญก็คือ สัญลักษณ์นี้เกี่ยวพันถึงเรื่องกฎภาวะส่วนกลับก าลังสอง ซึ่งจะกล่าวถึงในหัวข้อต่อไป สัญลักษณ์ที่จะกล่าวถึงนี้เรียกตามผู้คิดขึ้นใช้ว่า “สัญลักษณ์เลอฌ็องดร์” ดังบทนิยามต่อไปนี้ (จิราภา ลิ้มบุพศิริพร, 2555, น. 189; สมจิต โชติชัยสถิตย์, 2540, หน้า 45; สมใจ จิตพิทักษ์, 2547, น. 202; Burton, D. M.,
2007, p. 175)
บทนิยาม 7.2.1 สัญลักษณ์เลอฌ็องดร์(Legendre symbol)
ก าหนดให้ p เป็นจ านวนเฉพาะคี่และ a เป็นจ านวนเต็มที่ a,p 1 สัญลักษณ์
เลอฌ็องดร์ (Legendre symbol)
a
p นิยามดังนี้
a
p
ในบางครั้งก าหนดสัญลักษณ์เลอฌ็องดร์เป็น a p หรือ a / p ส าหรับ a จะ
เรียกว่า ตัวเศษ (numerator) และ p เรียกว่า ตัวส่วน (denominator) ของสัญลักษณ์
a
p
1 ถ้า a เป็นส่วนตกค้างก าลังสองของ p
1 ถ้า a ไม่เป็นส่วนตกค้างก าลังสองของ
200 ทฤษฎีจ านวน
ทฤษฎีบทต่อไปจะเกี่ยวกับสมบัติเบื้องต้นของสัญลักษณ์เลอฌ็องดร์ (จิราภา ลิ้ม
บุพศิริพร, 2555, น. 190; สมจิต โชติชัยสถิตย์, 2540, หน้า 46; สมใจ จิตพิทักษ์, 2547,
น. 202-203; Burton, D. M., 2007, p. 176)
ทฤษฎีบท 7.2.1
ก าหนดให้ p เป็นจ านวนเฉพาะคี่ a และ b เป็นจ านวนเต็มที่ a,p b,p 1
จะได้ว่า
1
11
p
2
p 1
21
1p
3
p 1
2a
a modpp
4
2a
1p
5
ab a b
p p p
6
2ab a
p p
7 ถ้า a b modp แล้ว
a b
p p
บทพิสูจน์ ก าหนดให้ p เป็นจ านวนเฉพาะคี่ a และ b เป็นจ านวนเต็มที่ a,p b,p 1
1 3 เป็นผลโดยตรงจากทฤษฎีบท 7.1.1 เกณฑ์ของออยเลอร์ร่วมกับ
บทนิยาม 7.2.1 สัญลักษณ์เลอฌ็องดร์
1 ถ้า p 1 mod4
1 ถ้า p 3 mod4
บทที่ 7 ส่วนตกค้างก าลังสอง 201
4 เนื่องจาก a เป็นผลเฉลยของ 2 2x a (modp)
ดังนั้น
2a
1p
5 จากข้อ 1 จะได้
p 1 p 1 p 1
2 2 2ab a b
ab a b modpp p p
เนื่องจากสัญลักษณ์เลอฌ็องดร์ มีค่าเป็นไปได้ 2 ค่าคือ 1 หรอื 1
พิจารณาถ้า
ab a b
p p p
จะได้ 1 1 modp ซึ่งขัดแย้งกับ p เป็นจ านวนเฉพาะคี่
ซึ่งเป็นไปไม่ได้เพราะ p 2 ดังนั้น
ab a b
p p p
6 จากข้อ 4 และ ข้อ 5
จะได้
2 2ab a b a
p p p p
ดังนั้น
2ab a
p p
7 ถ้า a b modp
พิจารณากรณีท่ี
a1
p นั่นคือ 2x a (modp) มีผลเฉลย
ให้เป็น 0
x ดังนั้น 0
x a (modp) จาก a b modp จะได้
2
0x b (modp) นั่นคือ
0x เป็นผลเฉลยของ 2x b (modp)
จะได้ว่า 2x b (modp) มีผลเฉลยเพราะฉะนั้น
b1
p
202 ทฤษฎีจ านวน
พิจารณากรณีท่ี
a1
p นั่นคือ 2x a (modp) ไม่มีผลเฉลย
จาก a b modp จะได้ 2x b (modp) ไม่มีผลเฉลย
ดังนั้น
a1
p นั่นคือ
a b
p p
ตัวอย่าง 7.2.1 จงพิจารณาว่า 2x 334(mod31) มีผลเฉลยหรือไม่
วิธีท า จาก
2334 24 6 2 6 2 3
31 31 31 31 31 31
จาก
31 1 3 315 5 322 2 2 32 1 1 mod31
เพราะฉะนั้น
21
31
จาก
31 1 5 515 323 3 3 4 1024 1 mod31
เพราะฉะนั้น
31
31
นั่นคือ
3341 1 1
31 หรือ 2x 334(mod31) ไม่มีผลเฉลย
ทฤษฎีบทต่อไปนี้กล่าวถึงเงื่อนไขที่เพียงพอซึ้งใช้ในการพิจารณาว่าจ านวนเต็มที่
ก าหนดให้เป็นส่วนตกค้างก าลังสองหรือไม่ (จิราภา ลิ้มบุพศิริพร, 2555, น. 194; สมใจ จิต
พิทักษ์, 2547, น. 205-206; Burton, D. M., 2007, pp. 179-180)
ทฤษฎีบท 7.2.2 บทตั้งของเกาส์ (Gauss’ s lemma)
ก าหนดให้ p เป็นจ านวนเฉพาะคี่และ a เป็นจ านวนเต็มที่ a,p 1 ถ้า n แทน
จ านวนของจ านวนเต็มในเซต
p 1S a,2a, , a
2
ซึ่งเศษเหลือได้จากการหาร p ด้วย p
2 แล้ว
na1
p
บทที่ 7 ส่วนตกค้างก าลังสอง 203
บทพิสูจน์
เนื่องจาก a,p 1 เราพบว่าจ านวนเต็ม 2 จ านวนใด ๆ ที่แตกต่างกันในเซต
S จะไม่สมภาคมอดุโล p และไม่มีจ านวนเต็มใด ๆ ในเซต S สมภาคกับศูนย์
ให้ 1 2 mr , r , , r เป็นเศษเหลือที่ได้จากการหารด้วย p ที่
j
p1 r
2 และ
1 2 ns , s , , s เป็นเศษเหลือที่
i
pp s
2 แล้ว
p 1
m n2
และจ านวนเต็ม
1 2 m 1 2 nr , r , , r ,p s ,p s ,p s
เป็นจ านวนเต็มบวกและน้อยกว่า p
2
ในการพิสูจน์ว่าจ านวนเต็มเหล่านี้แตกต่างกันทั้งหมดเป็นการเพียงพอที่จะพิสูจน์ว่า ไมม่ี
ip s ตัวใดเท่ากับ
jr ใด ๆ สมมติในทางตรงข้ามว่า
i jp s r
ส าหรับจ านวนเต็ม i และ j บางตัว จะมีจ านวนเต็ม u และ v ที่
p 11 u,v
2 โดยที่
i
s ua modp และ jr va modp
เพราะฉะนั้น
i j
u v a s r p 0 modp
แต่ a,p 1 จะได้ u v 0 modp แต่สมภาคนี้จะเป็นจริงไม่ได้
เพราะว่า 1 u v p 1 เนื่องจาก
p 1m n
2 ดังนั้น
1 2 m 1 2 nr , r , , r ,p s ,p s ,p s
คือจ านวนเต็ม p 11,2, ,
2 โดยที่ล าดับไม่จ าเป็นต้องตรงกัน ผลคูณของจ านวน
เต็มเหล่านี้คือ p 1!
2
1 m 1 n
1 m 1 nn
1 m 1 n
p 1! r r p s p s
2r r s s modp
1 r r s s modp
204 ทฤษฎีจ านวน
แต่จากท่ีเราทราบว่า 1 2 m 1 2 nr , r , , r , s , s , , s สมภาคมอดุโล p กับ
p 1a,2a, , a
2 ในล าดับใดล าดับหนึ่ง ดังนั้น
np 1 p 1! 1 a 2a a modp
2 2
p 1n 2 p 1
1 a ! modp2
เนื่องจาก p 1!
2 เป็นจ านวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ p จะได้
p 1n 21 1 a modp
โดยการคูณ n
1 จะได้
p 1n2a 1 modp
โดยใช้ทฤษฎีบท 7.2.1 ข้อ 3 จะได้
p 1n2a
a 1 modpp
เพราะว่า
a
p
มีค่าเป็น 1 หรือ 1 เท่านั้น
นั่นคือ
na1 modp
p
ตัวอย่าง 7.2.2 ก าหนดให้ p 13 และ a 5 จงหา
a
p โดยใช้บทตั้งของเกาส์
วิธีท า จาก
p 1 13 16
2 2 เพราะฉะนั้นเราจะก าหนดให้
S a,2a,3a,4a,5a,6a 5,10,15,20,25,30
พิจารณาเศษเหลือที่ได้จากการหารจ านวนเต็มใน S ด้วย 13 ดังนี้
5mod13 5 10mod13 10 15mod13 2 20mod13 7 25mod13 12 30mod13 4
บทที่ 7 ส่วนตกค้างก าลังสอง 205
จะเห็นว่าจ านวนเต็มในเซต S ที่หารด้วย 13 แล้วมีเศษเหลือมากกว่า
p 13
6.52 2
มีทั้งหมด 3 จ านวนคือ 10,20, และ 25
จากบทตั้งของเกาส์จะได้ว่า
3a 51 1
p 13
จากทฤษฎีบท 7.2.2 จะได้ผลตามมาที่น่าสนใจหลายประการ ประการแรกท่ีเราจะ กล่าวในทฤษฎีบทต่อไปนี้จะบอกว่าจ านวนเฉพาะตัวใดบ้างที่มี 2 เป็นส่วนตกค้างก าลังสอง (สมจิต โชติชัยสถิตย,์ 2540, หน้า 50; สมใจ จิตพิทักษ์, 2547, น. 207; อัจฉรา หาญชูวงศ,์ 2542, น. 199; Burton, D. M., 2007, p. 180; Rosen, K. H., 2005, p.
408)
ทฤษฎีบท 7.2.3
ก าหนดให้ p เป็นจ านวนเฉพาะคี่ แล้ว
2
p
บทพิสูจน์
จากทฤษฎีบท 7.2.2 จะได้ว่า n2
1p
โดยที่ n เป็นจ านวนของจ านวน
เต็มในเซต
p 1S 1 2,2 2, , 2
2
ซึ่งเมื่อหารด้วย p แล้วเหลือเศษเหลือเกิน p
2 สมาชิกทุกจ านวนในเซต S
จะน้อยกว่า p ดังนั้นจึงเป็นการเพียงพอที่จะนับว่ามีกี่จ านวนที่เกิน p
2 ส าหรับ
p 11 k
2
เรามี p
2k2
ก็ต่อเมื่อ pk
4
ถ้า แทนฟังก์ชันจ านวนเต็มมากสุดแล้ว จะมีจ านวนเต็มใน S
1 ถ้า p 1 mod8 หรือ p 7 mod8
1 ถ้า p 3 mod8 หรือ p 5 mod8
206 ทฤษฎีจ านวน
ที่น้อยกว่า p
2 อยู่ p
4
เพราะฉะนั้น
p 1 pn
2 4
เป็นจ านวนของจ านวนเต็มที่เกิน p
2
เนื่องจาก p เป็นจ านวนเฉพาะคี่ p อาจจะอยู่ในรูปใดรูปหนึ่ง คือ
8k 1, 8k 3, 8k 5 หรือ 8k 7 จากการค านวณง่าย ๆ ดังนี้
ถ้า p 8k 1 แล้ว
8k 1 1 8k 1 1
n 4k 2k2 4 4
4k 2k 2k
ถ้า p 8k 3 แล้ว
8k 3 1 8k 3 3
n 4k 1 2k2 4 4
4k 1 2k 2k 1
ถ้า p 8k 5 แล้ว
8k 5 1 8k 5 1n 4k 2 2k 1
2 4 4
4k 2 2k 1 2k 1
ถ้า p 8k 7 แล้ว
8k 7 1 8k 7 3n 4k 3 2k 1
2 4 4
4k 3 2k 1 2k 2
ดังนั้นเมื่อ p อยู่ในรูป 8k 1 หรือ 8k 7 แล้ว n เป็น คู่ และ 21
p
และ
เมื่อ p อยู่ในรูป 8k 3 หรือ 8k 5 แล้ว n เป็น คี่ และ 21
p
บทที่ 7 ส่วนตกค้างก าลังสอง 207
สังเกตว่าถ้าจ านวนเฉพาะ p อยู่ในรูป 8k 1 นั่นคือ p 1 mod8
หรือ p 7 mod8 แล้ว
2
2 22
8k 1 1p 1 64k 16k8k 2k
8 8 8
เป็นจ านวนเต็มคู่ ในกรณีนี้เราได้
2p 1
82
1 1p
และถ้าจ านวนเฉพาะ p อยู่ในรูป 8k 3 นั่นคือ p 3 mod8 หรือ
p 5 mod8 แล้ว
2
2 22
8k 3 1p 1 64k 84k 88k 6k 1
8 8 8
เป็นจ านวนเต็มคี่ ในกรณีนี้เราได้
2p 1
82
1 1p
จากข้อสังเกตนี้เราสามารถสรุปเป็นบทแทรกได้ดังนี้ (สมจิต โชติชัยสถิตย,์ 2540,
หน้า 51; สมใจ จิตพิทักษ์, 2547, น. 208; Burton, D. M., 2007, p. 181)
บทแทรก 7.2.1
ก าหนดให้ p เป็นจ านวนเฉพาะคี่ แล้ว
2p 182
1p
ตัวอย่าง 7.2.3 จงพิจารณาว่า 2x 89 mod13 มีผลเฉลยหรือไม่
วิธีท า จาก 89 2 1 2
13 13 13 13
จาก 13 1
211 1
13
และ
13 122
1 113
208 ทฤษฎีจ านวน
เพราะฉะนั้น จะได้ว่า 89
1 1 113
นั่นคือ 2x 89 mod13 ไม่มีผลเฉลย
7.3 กฎส่วนกลับก าลังสอง
เมื่อก าหนดให้ p และ q เป็นจ านวนเฉพาะคี่ที่แตกต่างกัน ซึ่งเมื่อเขียนสัญลักษณ์
เลอฌ็องดร์ ปัญหานี้ก็คือความสัมพันธ์ระหว่าง p
q
และ q
p
นักคณิตศาสตร์ในปลาย
ศตวรรษที่ 18 ได้ให้ความสนใจสัญลักษณ์ทั้งสองนี้ว่ามีความสัมพันธ์กันอย่างไร ในปี ค.ศ.
1785 เลอฌ็องดร์ p
q
และ q
p
สัมพันธ์กันโดยสูตร p 1 q 1
2 2p q
1q p
สูตรนี้รู้จักกันดีในชื่อว่า กฎส่วนกลับก าลังสอง (Quadratic Reciprocity Law)
แต่มีหลักฐานทางตัวเลขระบุว่า ออยเลอร์ได้พบผลลัพธ์แบบเดียวกันใน ปี ค.ศ. 1783 เกาส์
เป็นบุคคลแรกที่สามารถพิสูจน์กฎส่วนกลับก าลังสองได้อย่างสมบูรณ์ เมื่อเกาส์อายุได้เพียง
19 ปี คือ ปี ค.ศ. 1796 กฎส่วนกลับก าลังสองจะกล่าวดังทฤษฎีบทต่อไปนี้ (สมจิต โชติ
ชัยสถิตย์, 2540, หน้า 54; สมใจ จิตพิทักษ์, 2547, น. 214; อัจฉรา หาญชูวงศ์, 2542, น.
102; Burton, D. M., 2007, p. 176; Raji, W., 2013, pp. 114; Rosen, K. H.,
2005, p. 417)
ทฤษฎีบท 7.3.1 กฎส่วนกลับก าลังสอง (quadratic reciprocity law)
ก าหนดให้ p และ q เป็นจ านวนเฉพาะคี่ท่ีแตกต่างกัน จะได้ว่า
p 1 q 1
2 2p q
1q p
บทพิสูจน์
พิจารณาสี่เหลี่ยมด้านขนานในระนาบ xy โดยมีจุดยอดอยู่ที่จุด
p q
0,0 , ,0 , 0,2 2
และ p q,
2 2
ให้ R เป็นบริเวณภายในสี่เหลี่ยมรูปนี้โดยไม่รวมเส้นขอบ
บทที่ 7 ส่วนตกค้างก าลังสอง 209
จะเรียกจุดที่มีพิกัดเป็นจ านวนเต็มว่าจุดแลตทิช (lattice)
เราต้องการนับจ านวนแลตทิชในบริเวณ R
เนื่องจาก p และ q ต่างก็เป็นจ านวนเฉพาะ จุดแลตทิชใน R
ประกอบด้วยจุด m,n ซ่ึง p 11 n
2
และ q 1
1 m2
ดังนั้นจ านวนจุดทั้งหมดจะเท่ากับ p 1 q 1
2 2
เส้นทแยงมุม D จาก 0,0 ไปยัง p q,
2 2
มีสมการเป็น qy x
p
หรือ
py qx เพราะว่า p,q 1 ดังนั้นไม่มีจุดแลตทิชภายใน R อยู่บน D
เพราะถ้ามีจุดแลตทิช m,n บน D ดังนั้น pn qm นั่นคือ p m และ
q n ซึ่งเป็นไปไม่ได้ เพราะว่า 1 m p และ 1 n q
สมมติให้ 1
T แทนส่วนของ R ที่อยู่ใต้เส้นทแยงมุม D
และ 2
T แทนส่วนของ R ที่อยู่เหนือเส้นทแยงมุม D
การนับจุดแลตทิชใน R จึงเท่ากับการนับจุดในแลตทิชภายในสามเหลี่ยมสองรูปนี้
จ านวนของจ านวนเต็มในช่วง kq0 y
p คือ kq
p
ดังนั้น ส าหรับ
p 11 k
2
จะมีจุดแลตทิชที่อยู่เหนือจุด k,0 ไปยัง kq
k,p
จะมีทั้งหมดเท่ากับ kq
p
เพราะฉะนั้น จ านวนแลตทิชที่อยู่ใน 1
T เท่ากับ
k 1
p 12 kq
p
210 ทฤษฎีจ านวน
ภาพที่ 7.2.1 แสดงจ านวนจุดแลตทิชในบริเวณ R
การค านวณในท านองเดียวกัน โดยการสับเปลี่ยนบทบาทของ q และ p จะได้ว่า
จ านวนจุดแลตทิชทั้งหมดใน 2
T เท่ากับ
j 1
q 12 jp
q
ดังนั้นจ านวนจุดแลตทิชทั้งหมดใน R เท่ากับ
k 1 j 1
p 1 q 12 2p 1 q 1 kq jp
2 2 p q
โดยทฤษฎีบท 7.2.2 จะได้
j 1 k 1
q 1 p 12 2p q jp kq
1 1q p q p
j 1 k 1
q 1 p 12 2jp kq
1q p
p 1 q 1
2 21
0,0
q0,
2
2T
D p q
,2 2
kqk,
p
k,0 p,0
2
1T
บทที่ 7 ส่วนตกค้างก าลังสอง 211
ผลจากทฤษฎีบท 7.3.1 จะท าให้สามารถสรุปกฎส่วนกลับก าลังสองในรูปแบบ
อ่ืน ๆ ได้ดังบทแทรก 7.3.1 ต่อไปนี้ (สมจิต โชติชัยสถิตย์, 2540, หน้า 56; สมใจ จิตพิทักษ์
, 2547, น. 216; Burton, D. M., 2007, p. 188)
บทแทรก 7.3.1
ก าหนดให้ p และ q เป็นจ านวนเฉพาะคี่ท่ีแตกต่างกัน จะได้ว่า
p q
q p
บทพิสูจน์
เพราะว่า p 1 q 1
2 2
เป็นจ านวนคู่ ก็ต่อเมื่อ p 4k 1
หรือ q 4k 1 โดยทฤษฎีบท 7.3.1 จึงได้ว่า p q1
q p
เพราะว่า p 1 q 1
2 2
เป็นจ านวนคี่ ก็ต่อเมื่อ p 4k 3
หรือq 4k 3 โดยทฤษฎีบท 7.3.1 จึงได้ว่า p q1
q p
จากบทแทรก 7.3.1 เมื่อน า q
p
คูณทั้งสองข้างของสมการและใช้ 2
q1
p
จะได้บทแทรก 7.3.2 ดังต่อไปนี้ (สมจิต โชติชัยสถิตย์, 2540, หน้า 56; สมใจ จิตพิทักษ์,
2547, น. 216; Burton, D. M., 2007, p. 188)
บทแทรก 7.3.2
ก าหนดให้ p และ q เป็นจ านวนเฉพาะคี่ท่ีแตกต่างกัน จะได้ว่า
p q
q p
1 ถ้า p 1 mod4 หรือ q 1 mod4
1 ถ้า p q 3 mod4
q
p
ถ้า p 1 mod4 หรือ q 1 mod4
q
p
ถ้า p q 3 mod4
212 ทฤษฎีจ านวน
บทพิสูจน์
ให้ p 1 mod4 หรือ q 1 mod4 โดยบทแทรก 7.3.1
จะได้ p q1
q p
ดังนั้น
2p q q
q p p
เนื่องจาก
2q
1p
เพราะฉะนั้น p q
q p
ให้ p q 3 mod4 โดยบทแทรก 7.3.1 จะได้ p q1
q p
ดังนั้น 2
p q q
q p p
เนื่องจาก
2q
1p
เพราะฉะนั้น p q
q p
ตัวอย่าง 7.3.1 จงพิจารณาว่า 2x 559(mod53) มีผลเฉลยหรือไม่
วิธีท า จาก 2559 29 53 24 2 3 2 2 3
53 53 29 29 29 29 29 29 29
จาก 2 29 1
129 2 2
และ 3 29 2 1
129 3 3 3
ดังนั้น 559
1 1 153
นั่นคือ 2x 559(mod 53) มีผลเฉลย
ตัวอย่าง 7.3.2 จงพิจารณาว่า 2x 1763(mod997) มีผลเฉลยหรือไม่
วิธีท า จาก 1763 231 1 3 7 11
997 997 997 997 997 997
จาก 997 1 mod4 , 3 3 mod4 , 7 3 mod4
และ 11 3 mod4
บทที่ 7 ส่วนตกค้างก าลังสอง 213
จะได้ 11
997
3 997 11
997 3 3
7 997 3 7 11
997 7 7 3 3
11 997 7 11 41
997 11 11 7 7
ดังนั้น 1763
1 1 1 1 1997
นั่นคือ 2x 1763(mod997) มีผลเฉลย
กฎส่วนกลับก าลังสองมีบทประยุกต์เป็นจ านวนมาก หนึ่งในจ านวนนั้นคือการ
พิสูจน์การเป็นจ านวนเฉพาะของแฟร์มา ดังทฤษฎีบทต่อไปนี้ (วสันต์ จินดารัตนาภรณ์, น.
209; อัจฉรา หาญชูวงศ์, 2542, น. 109; Rosen, K. H., 2005, p. 425)
ทฤษฎีบท 7.3.2 การทดสอบของเปอแปง (Pepin’s test)
ส าหรับจ านวนเต็ม n 1 จ านวนแฟร์มา n
n2F 2 1 เป็นจ านวนเฉพาะก็ต่อเมื่อ
nF 1
2n
3 1 modF
บทพิสูจน์
สมมติ n
n2F 2 1 เป็นจ านวนเฉพาะ
เนื่องจาก n 1 ดังนั้น nF 1 mod4
และเนื่องจาก 22 4 1 mod3
ดังนั้น n 1n 222 2 1 mod3
ท าให้ n
n2F 2 2 mod31
โดยทฤษฎีบท 7.3.1 จะได้ n
n
F3 21
F 3 3
214 ทฤษฎีจ านวน
โดยทฤษฎีบท 7.2.2 บทตั้งของเกาส์ จึงได้ว่า
n
nn
F 123
1 3 modFF
สมมติว่า nF 1
2n
3 1 modF
ดังนั้น nF 1
n3 1 modF
และ n3,F 1
ให้ p เป็นจ านวนเฉพาะที่ n
p F ดังนั้น 3,p 1 จะได้ว่า
nF 1
23 1 modp
และ nF 13 1 modp
นั่นคือ อันดับของ 3 มอดุโล p คือ n
F 1
โดยทฤษฎีบทเล็กของแฟร์มาและทฤษฎีบท 6.1.1 จะได้ว่า
nF 1 p 1 ท าให้ได้ว่า
nF p แต่เนื่องจาก
np F
จึงได้ด้วยว่า n
p F ดังนั้น n
F p เป็นจ านวนเฉพาะ
ตัวอย่าง 7.3.3 จงแสดงว่า 3
3 82F 2 1 2 1 257 เป็นจ านวนเฉพาะ
วิธีท า จาก 3F 1 257 1
1282 2
และ
3
3 27 0 mod257
5
3 81 3 243 14 mod257
210
3 14 mod257196 16
20 2
3 3721 123 mod25716
40 2
3 123 15129 223 34 mod257
80 2
3 34 1156 128 mod257
120 40 80
3 3 3 34 128 4352 240 17 mod257
128 3 5 120
3 3 3 3 27 17 14 6426 1 mod257
จะได้ว่า 3F 1
23
3 1 modF
บทที่ 7 ส่วนตกค้างก าลังสอง 215
นั่นคือ 3
F เป็นจ านวนเฉพาะ
7.4 สัญลักษณ์จาโคบี
เราได้ศึกษาสัญลักษณ์เลอฌ็องดร์และทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้องมาแล้วในหัวข้อนี้จะ
ขยายสัญลักษณ์เลอฌ็องดร์เป็นรูปทั่วไปได้เป็นสัญลักษณ์จาโคบี ดังบทนิยามต่อไปนี้
(จิราภา ลิ้มบุพศิริพร, 2555, น. 220-221; อัจฉรา หาญชูวงศ์, 2542, น. 111; Raji, W.,
2013, pp. 116; Rosen, K. H., 2005, p. 430)
บทนิยาม 7.4.1
ก าหนดให้ n เป็นจ านวนเต็มบวกค่ีซึ่งสามารถเขียนอยู่ในรูปผลคูณของจ านวนเฉพาะ 1 2 rk k k
1 2 rn p p p และ a เป็นจ านวนเต็มที่ a,n 1 สัญลักษณ์จาโคบี (Jacobi
symbol) a
n
ก าหนดโดย
1 2 rr
i 1 i 1 2 r
i k k kka a a a a
n p p p p
ตัวอย่าง 7.4.1
1 2
55
เพราะว่า 55 5 11 เพราะฉะนั้น
2 2 2
1 1 155 5 11
2 109
385
เพราะว่า 385 5 7 11 เพราะฉะนั้น
109 109 109 109 109
385 5 7 11 5 7 11
4 4 10
5 7 11
216 ทฤษฎีจ านวน
2 22 2 10
5 7 11
1 1 1 1
จากบทนิยามของสัญลักษณ์เลอฌ็องดร์ เราได้ว่า ส าหรับจ านวนเต็ม a ที่
a,p 1 ถ้า 2x a modp มีผลเฉลยก็ต่อเมื่อ a1
p
แต่ส าหรับสัญลักษณ์
จาโคบี สัญลักษณ์จาโคบีจะมีสมบัติเหมือนกับสมบัติของสัญลักษณ์เลอฌ็องดร์ ดังทฤษฎีบท
ต่อไปนี้ (วสันต์ จินดารัตนาภรณ์, น. 212; อัจฉรา หาญชูวงศ์, 2542, น. 111; Rosen,
K. H., 2005, p. 431)
ทฤษฎีบท 7.4.1
ก าหนดให้ n และ m เป็นจ านวนเต็มบวกค่ี a และ b เป็นจ านวนเต็มที่เป็นจ านวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ n และ m จะได้ว่า
1 ถ้า a b modn แล้ว a b
n n
2 ab a b
n n n
3 a a a
nm n m
บทพิสูจน์ ให้ n เขียนในรูปผลคูณของจ านวนเฉพาะได้เป็น 1 2k k kr
1 2 rn p p p และ 1 2e e e1
s2 sm q q q
1 จาก a,n 1 จึงได้ว่า ia,p 1 ส าหรับ 1 i r
เนื่องจาก a b modn จึงได้ว่า ia b modp
โดยทฤษฎีบท 7.2.1 จึงได้ว่า i i
a b
p p
ส าหรับ 1 i r
ดังนั้น i ik k
r r
i 1 i 1i i
a a b b
n p p n
บทที่ 7 ส่วนตกค้างก าลังสอง 217
2 จาก a,n 1 จึงได้ว่า ia,p 1 ส าหรับ 1 i r
โดยบทนิยาม 7.4.1 และทฤษฎีบท 7.2.1 จึงได้ว่า ir
i 1 i
kab ab
n p
i ir
i 1 i i
k ka b
p p
i ir r
i 1 i 1i i
k ka b
p p
a b
n n
3 จาก a,n 1 จึงได้ว่า i ja,p a,q 1 ส าหรับ 1 i r
และ 1 i s โดยบทนิยาม 7.4.1 และทฤษฎีบท 7.2.1 จึงได้ว่า
ir
i 1 i 1i i
ik esa a a a a
nm p q n m
ทฤษฎีบท 7.4.2
ก าหนดให้ n เป็นจ านวนเต็มบวกค่ี โดยที่ n 2 จะได้ว่า
1 n 121
1n
2 2n 182
1n
บทพิสูจน์
ให้ n เขียนในรูปผลคูณของจ านวนเฉพาะได้เป็น 1 2k k kr
1 2 rn p p p
1 จาก a,n 1 จึงได้ว่า ia,p 1 ส าหรับ 1 i, j r
218 ทฤษฎีจ านวน
โดยทฤษฎีบท 7.2.1 ข้อ 2 จะได้
i ii
k p 1r
i 1 i
r rii
i 1 i 1
kk
p 12 21 1
1 1n p
สามารถเขียน n ได้ใหม่ในรูป
r
ii 1
ik
n 1 p 1
เพราะว่า i
p 1 เป็นจ านวนคู่ จึงได้ว่า
ik
i i i1 p 1 1 k p 1 mod4
และ
i i j j i i j j1 k p 1 1 k p 1 1 k p 1 k p 1 mod4
ดังนั้น
r
i ii 1
n 1 k p 1 mod4
จะได้ว่า
ri i
i 1
k p 1n 1mod2
2 2
และจาก i i
kr
i 1 i
r iii
i 1
p 1r
i 1
k kp 12 21 1
1 1n p
นั่นคือ n 121
1n
2 จาก a,n 1 จึงได้ว่า ia,p 1 ส าหรับ 1 i, j r
โดยบทแทรก 7.2.1 จะได้ว่า
2 2i2i i i iir r
i 1 i 1i
ir r
i 1 i 1
kk p 1 k p 1p 18 88
k
2 21
n p1 1
บทที่ 7 ส่วนตกค้างก าลังสอง 219
จากข้อ 1 จะได้ว่า
r
2 2
ii 1
ik
n 1 p 1
เพราะว่า 2
ip 1 0 mod8 เราจะได้ว่า
ik
2 2
i i i1 p 1 1 k p 1 mod64
และ
2 2 2 2
i i j j i i j j1 k p 1 1 k p 1 1 k p 1 k p 1 mod64
ดังนั้น
r
2 2
i ii 1
n 1 k p 1 mod64
จะได้ว่า
22 ri i
i 1
k p 1n 1mod8
8 8
และจาก
2 2i2i i i iir r
i 1 i 1i
ir r
i 1 i 1
kk p 1 k p 1p 18 88
k
2 21
n p1 1
นั่นคือ 2n 1
82
1n
ตัวอย่าง 7.4.2 จงหาค่า 111
1001
วิธีท า เนื่องจาก 1001 1 mod4
ดังนั้น 111 1001
1001 111
แต่ 1001 2 mod111 และ
111 1 mod8
220 ทฤษฎีจ านวน
โดยทฤษฎีบท 7.4.2 จึงได้ว่า
111 1001 2
1001 111 111
2111 1
154081 1 1
ทฤษฎีบทต่อไปจะกล่าวถึงกฎส่วนกลับก าลังสองส าหรับสัญลักษณ์จาโคบี (จิราภา
ลิ้มบุพศิริพร, 2555, น. 225; วสันต์ จินดารัตนาภรณ์, น. 215; อัจฉรา หาญชูวงศ์, 2542,
น. 111; Rosen, K. H., 2005, p. 433)
ทฤษฎีบท 7.4.3
ก าหนดให้ n และ m เป็นจ านวนเต็มบวกค่ี ซึ่ง m,n 1 จะได้ว่า
n 1 m 12 2n m
1m n
บทพิสูจน์ ให้ 1 2 sa a
1 2asm p p p เมื่อ
1 2 sp ,p , ,p เป็นจ านวนเฉพาะคี่
และ 1 2 rb b
1 2
brn q q q เมื่อ
1 2 rq ,q , ,q เป็นจ านวนเฉพาะคี่
ดังนั้น
i i j
r rj
i 1 i 1 j 1j i
b b as pm m
n q q
และ
j j i
ri
j 1 j 1 i 1j j
a a bs s qn n
m p p
ดังนั้น
S
j i
i 1 j 1 j j
j ia br p qm n
n m q p
โดยทฤษฎีบท 7.3.1 ส าหรับทุก 1 i r และ 1 j s จะได้
บทที่ 7 ส่วนตกค้างก าลังสอง 221
j i
p 1 q 1j i 2 2
i j
p q1
q p
ดังนั้น
j i
j ip 1 q 1S2 2
i 1 j 1
a brm n
1n m
j i
j i
p 1 q 1S2 2
i 1 j 1
a br
1
j i
r
ii 1 j 1
p 1 q 1
2 2j bs
a1
เราจะได้
r
j ij i
i 1 j 1
p 1 q 1a b
2 2
sm n
1n m
7.4.1
จะได้ r s s r
j j jij i j i
i 1 j 1 j 1 i 1
p 1 p 1 q 1q 1a b a b
2 2 2 2
โดยทฤษฎีบท 7.4.2 ข้อ 1
s
j
jj 1
p 1 m 1a mod2
2 2
และ
r
j
ii 1
q 1 n 1b mod2
2 2
ดังนั้น
r s
j ij i
i 1 j 1
p 1 q 1 m 1 n 1a b mod2
2 2 2 2
7.4.2
จาก 7.4.1 และ 7.4.2 สรุปได้ว่า
n 1 m 12 2n m
1m n
222 ทฤษฎีจ านวน
ตัวอย่าง 7.4.3
2 1 2
143 143 143
2143 1 143 1
2 21 1 1 1 1 1
15 1 2261 1
415 2261
12261 15
11 1 15 1
411 15
1 115 11
24 2
1 1 1 111 11
ในบทที่ 7 ได้กล่าวถึงการหาผลเฉลยของสมภาคก าลังสอง ส่วนตกค้างก าลังสอง
สัญลักษณ์เลอฌ็องดร์ ซ่ึงก าหนดโดย อาเดรียง มารี เลอฌ็องดร์ กฎส่วนกลับก าลังสอง และ
สัญลักษณ์จาโคบี ซึ่งเกี่ยวข้องกับส่วนตกค้างก าลังสองของจ านวนเฉพาะ โดยการก าหนด
สัญลักษณ์ดังทีก่ล่าวมานั้นจะช่วยให้การหาส่วนตกค้างก าลังสองได้สะดวกขึ้น
แบบฝึกหัดบทท่ี 7
1. จงหาส่วนตกค้างก าลังสองทั้งหมดของ
1.1 3 1.2 5
1.3 13 1.4 19 2. จงหาผลเฉลยของสมภาคก าลังสองต่อไปนี้
22.1 x 7x 10 0 mod11
22.2 3x 9x 7 0 mod13
22.3 5x 6x 1 0 mod23
บทที่ 7 ส่วนตกค้างก าลังสอง 223
3. จงหาผลเฉลยทั้งหมดของสภาค 2x 1 mod15
4. จงหาค่าของสัญลักษณ์เลอฌ็องดร์ j
5
เมื่อ j 1,2,3,4
5. จงหาค่าของสัญลักษณ์เลอฌ็องดร์ต่อไปนี้
25.1
29
195.2
23
235.3
59
725.4
131
6. จงใช้บทตั้งของเกาส์หาค่าสัญลักษณ์เลอฌ็องดร์ต่อไปนี้ นั่นคือ หาจ านวนเต็ม n
ซ่ึง na
1n
86.1
11
56.2
19
116.3
23
66.4
31
7. จงใช้กฎส่วนกลับก าลังสองแสดงว่า ถ้า p เป็นจ านวนเฉพาะคี่แล้ว
7.1 3
1p
ถ้า p 1 mod12
7.2 31
p
ถ้า p 5 mod12
8. ถ้า p เป็นจ านวนเฉพาะคี่แล้ว จงแสดงว่า
8.1 3
1p
ถ้า p 1 mod6
8.2 3
1p
ถ้า p 1 mod6
9. จงหาค่าของสัญลักษณ์จาโคบี
9.1 5
21
9.2 27
101
9.3 111
1001
224 ทฤษฎีจ านวน
9.4 1009
2307
9.5 2663
3299
9.6 10001
20003
10. จงใช้การทดสอบของเปอแปงแสดงว่า จ านวนแฟร์มาต่อไปนี้เป็นจ านวนเฉพาะ
110.1 F 5
410.2 F 65537
11. จงหาจ านวนเต็มบวก n ซึ่งเป็นจ านวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ 15 ที่ท าให้
สัญลักษณ์จาโคบี 151
n
12. จงพิจารณาโดยใช้สัญลักษณ์จาโคบีว่าสมภาคก าลังสองต่อไปนี้ มีผลเฉลยหรือไม่
212.1 x 39 mod77
212.2 x 2 mod35