Post on 01-Jul-2015
description
transcript
Laplace
Ari Fadli, S.T.Department of Electrical Engineering and Information TechnologyFaculty of TechnologyPost Graduate Gadjah Mada University, Indonesiafadli_te.unsoed@yahoo.com
OUTLINES
Sekilas Info Definisi Sifat-sifat Transformasi Laplace Transformasi Laplace
Sekilas Info
Pierre-Simon LAPLACE
1749 – 1827
Ahli Matematika dari Perancis
Definisi
js
dsesXj
tx
dtetxsX
j
j
st
st
).(2
1)(
).()(0
Pasangan transf Laplace dua-sisi:
Variabel komplex
Sifat2 Transformasi Laplace
Linearitas Penggeseran waktu Penggeseran frekuensi Pengubahan skala Diferensiasi dlm lingkup waktu & frek Integrasi dlm lingkup waktu & frekuensi Keberkalaan waktu Teorema nilai awal & nilai akhir Konvolusi dlm lingkup waktu & frekuensi
Transf Laplace dr Sinyal2 Umum
Transfomasi Laplace dari sinyal undak sinyal landai sinyal waktu pangkat n: tn sinyal impuls sinyal impuls yang tergeser sinyal eksponensial sinyal eksponensial yang dikali tn sinyal sinusoidal: sinus & cosinus sinyal sinusoidal yang dikali eksponensial
Transf Laplace dr Glmbang2 Umum Transformasi Laplace dari bentuk-gelombang pulsa kotak bentuk-gelombang landai yang tergeser bentuk-gelombang segitiga bentuk-gelombang kotak yang periodik bentuk-gelombang sinus yang disearahkan
sebagian
Transformasi Laplace
x(t) X(s) ROC
δ(t) 1 Semua s
u(t) Re(s)>0
tn u(t)Re(s)>0
e-at u(t) Re(s)+Re(a)>0
u(t) Cos ω0tRe(s)>0
u(t) Sin ω0tRe(s)>0
s1
1
!ns
n
as 1
20
2 s
s
20
20
s
Sifat-sifat Transformasi Laplace
Sifat x(t) X(s)
Kelinearan a x(t) + b y(t) a X(s) + b Y(s)
Penskalaan x(at)
Geseran waktu x(t-a) e-sa X(s)
Geseran frekuensi e-at x(t) X(s+a)
Konvolusi waktu x(t) * y(t) X(s) Y(s)
a
sX
a
1
Sifat-sifat Transformasi Laplace
Sifat x(t) X(s)
Konvolusi frekuensi (modulasi)
x(t) y(t)
Diferensiasi frekuensi
(-t)n x(t)
Diferensiasi waktu
Untuk TL dua sisi
)(*)(2
1sYsX
j
)(sXds
dn
n
)(txdt
dn
n
1
0
)()0(
1)(n
k
kknn xssXs
)(sXsn
Sifat-sifat Transformasi Laplace
Sifat x(t) X(s)
Integrasi waktu
Teorema nilai awal
Teorema nilai akhir
0
)( dttxs
sX )(
dttx )(
0
)(1)(
dttxss
sX
)(lim0
txt
)(lim ssXs
)(lim0
ssXs
)(lim txt
Persamaan differensial penyelesaian yang mengandung beberapa konstanta integrasi anu (unknown) A,B,C,dst. syarat dan ketentuan berlaku
Metode lebih sederhana transformasi Laplace.
Jika f(x) adalah suatu pernyataan dalam x yang terdefinisi untuk x ≥ 0, maka transformasi Laplace dari f(x), dinotasikan dengan L{f(x)} didefinisikan sebagai :
s : variabel yang nilainya dipilih agar integral semi infinit selalu konvergen.
Transformasi Laplace dari f(x) = 2 untuk x ≥ 0?
s < 0 e-sx → ∞ ketika x → ∞
s = 0 L{2} tidak terdefinisi
maka :
Jika k adalah sembarang konstanta maka :
Bagaimana transformasi Laplace dari f(x) = e-kx, x ≥ 0 di mana k adalah konstanta ?
Karena :
Jika s + k > 0 s > - k
Transformasi Laplace Transformasi Laplace InversInvers
tidak ada definisi integral yang sederhana dari transformasi invers, jadi anda harus bekerja dari belakang ke depan :
Kemampuan untuk mencari transformasi Laplace dari suatu pernyataan dan kemudian menginverskannya inilah yang membuat transformasi Laplace sangat berguna untuk menyelesaikan persamaan differensial.
Apakah transformasi Laplace invers dari
Ingat :
dapat dikatakan bahwa :
maka ketika k = -1;
Rangkuman
1. Transformasi Laplace dari f(x), dinotasikan dengan L{f(x)}, didefinisikan sebagai :
2. Jika F(s) adalah transformasi Laplace dari f(x) maka f(x) adalah transformasi Laplace invers dari F(s).
s suatu variabel yang nilainya dipilih sedemikian rupa sehingga integral semi infinitnya konvergen
Tidak ada definisi integral yang sederhana dari transformasi invers Tabel transformasi Laplace
Pecahan Parsial X(s) Akar-akar Q(s) berbeda, tidak ada yang sama
nk
sXpsA
ps
A
ps
A
ps
AsX
pspsps
sPsX
kps
k
n
n
n
k
,...2,1
)().(lim
)(...
)()()(
))...()((
)()(
2
2
1
1
21
tpn
tptp neAeAeAtx ...)( 2121
x(t) menjadi :
Pecahan Parsial X(s) Q(s) mempunyai akar rangkap
kk
k
ps
rk
pslr
lr
kl
kps
k
n
n
rr
nr
sXpsds
d
lrA
sXpsA
ps
A
ps
A
ps
A
ps
A
ps
AsX
pspsps
sPsX
)(.)(lim)!(
1
)().(lim
)(...
)(
)(...
)()()(
))...(()(
)()(
2
2
1
12
1
12
1
11
21
Sistem LTI dengan penyelesaian Pers Diferensial koefisien konstan
Sistem mempunyai hubungan
Sistem LTISistem LTISistem LTISistem LTI x(t) y(t)
j
jm
jj
n
ii
i
i
m
m
mm
m
m
n
n
nn
n
n
dt
xdb
dt
yda
atau
bdt
dxb
dt
xdb
dt
xdb
adt
dya
dt
yda
dt
yda
00
011
1
1
011
1
1
...
...
Sistem LTI dengan Pers Diferensial
Supaya dapat diselesaikan, sistem harus diketahui
1. x(t) untuk t>0
2. y(0-),y´(0-),...,y(n-1)(0-)
3. x(0-),x´(0-),...,x(m-1)(0-)
Secara fisis butir 3 sulit dipenuhi, oleh karena itu hanya dipakai keadaan awal x(0),x´(0)... Walaupun ini juga beresiko menyebabkan hasil tidak tepat 100%.
Transformasi Laplace
Contoh soal
0
2)(
32
2
1)(
2
1
3)2)(1(
4
22)3)(1(
4
2
3
1)3)(2(
4
321)(
)3)(2)(1(
4)(
3212
23
21
23
3
2
1
321
t
eeetx
ssssX
sss
sA
sss
sA
sss
sA
s
A
s
A
s
AsX
sss
ssX
ttt
Transformasi Laplace
Contoh soal
12
12
1
)22(
2)2()()(
)22(
)()22()(
22)(
)22(
1)(
3
2
1
2131
221
232
21
2321
2
A
A
A
sss
AsAAsAAsX
sss
AsAsssAsX
ss
AsA
s
AsX
ssssX
Transformasi Laplace
0
)()()(
1)1(
1
2
1
1)1(
1
2
1)(
1)1(
2
2
1)(
22
1)(
21
21
21
22222
1
222
1
221
21
t
tSinetCosetx
ss
s
ssX
s
s
ssX
ss
s
ssX
tt
Transformasi Laplace
0
2)(
)2(
2
2
1
1
1)(
221)!22(
1
12)1(
1
21)!12(
1
11)2(
)2(21)(
)2)(1()(
22
2
12
211
21
212111
2
t
teeetx
ssssX
ss
sA
ssss
s
ds
dA
ss
sA
s
A
s
A
s
AsX
ss
ssX
ttt