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8/18/2019 Compressed Sensing and Interferometry
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Motivación Descripción del problema Metodoloǵıa Resultados Trabajo futuro Referencias
Reconstrucción de imágenes en Interferometŕıabasada en la teoŕıa de Compressive Sensing
Presentación de avance
Roberto Rojas Pizarro
Facultad de Ciencias F́ısicas y Matemáticas,
Universidad de Chile
October 29, 2015
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Motivación Descripción del problema Metodoloǵıa Resultados Trabajo futuro Referencias
Contenido
1 Motivación
2 Descripción del problema
3 Metodoloǵıa
4 Resultados
5 Trabajo futuro
6 Referencias
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Motivación Descripción del problema Metodoloǵıa Resultados Trabajo futuro Referencias
¿Qué es Interferometŕıa?
Técnica que consiste en la superposición de ondaselectromagnéticas para obtener información acerca de éstas.
Cuando las ondas poseen la misma frecuencia, la ondaresultante es determinada por el desfase de las ondasindividuales.
Figura 1: Interferómetro básico
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Motivación Descripción del problema Metodoloǵıa Resultados Trabajo futuro Referencias
Interferometŕıa en Astronomı́a
Arreglo de antenas que realizan mediciones de a pares, todas
apuntando en la misma dirección.
Obtener intensidad de la fuente en dicha porción de cielo.
Resolución depende de apertura efectiva, no del diámetro dela antena.
Figura 2: Very Large Array (New Mexico), que usa 27 antenas.4 / 2 2
M i i´ D i i´ d l bl M d l ´ R l d T b j f R f i
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Motivación Descripción del problema Metodoloǵıa Resultados Trabajo futuro Referencias
Escenario básico Interferometŕıa
Parámetros relevantes
Vector Pointing s0.Posición σ en región celestial considerada.Baseline Dλ normalizado por λ de onda medida.
Figura 3: Escenario básico Interferometŕıa en Astronoḿıa.5 / 2 2
M ti i´ D i i´ d l bl M t d l ´ R lt d T b j f t R f i
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Motivación Descripción del problema Metodoloǵıa Resultados Trabajo futuro Referencias
Teorema de Van Cittert-Zernike
Para un campo de visión pequeño, dicho teorema relaciona
intensidad I (l, m) de la fuente y su Visibilidad V (u, v).
V (u, v) =
I (l, m)e− j2π(ul+vm) dldm (1)
Figura 4: Relación entre sistemas de coordenadas.6 / 2 2
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Motivacion Descripcion del problema Metodologıa Resultados Trabajo futuro Referencias
Obtención de datos
La ecuación (2) muestra la salida del correlador.
r( Dλ, s0) = ∆ν
4π
A(σ)I (σ)cos
2π Dλ · (s0 + σ)
dΩ (2)
Además, la salida del correlador se relaciona con la Visibilidadmediante la ecuación (3).
r( Dλ, s0) = A0∆ν |V | cos 2π Dλ · s0 − φV (3)
Dada la ecuación (1), basta aplicar F −1[V ] para obtener laseñal deseada.
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Motivacion Descripcion del problema Metodologıa Resultados Trabajo futuro Referencias
Plano de Fourier
Cada V (u, v) medida está determinada por sus frecuencias(u, v). El plano de Fourier grafica las frecuencias medidas.
Las frecuencias medidas dependen de la separación entre elpar de antenas y la dirección de observación s0.
s0 a su vez está determinado por su ángulo horario h ydeclinación δ .
2 modos de medición: Snapshot y uso de la rotación terrestre.
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Motivacion Descripcion del problema Metodologıa Resultados Trabajo futuro Referencias
Plano de Fourier
Trayectorias eĺıpticas si se considera rotación terrestre.
Problema: Cubrir el plano de Fourier en la práctica requiereun proceso de medición exhaustivo.
Figura 5: Plano de Fourier.
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Compressed Sensing
Reconstrucción de señal con una tasa de datos menor a latasa de Nyquist.
Las mediciones se realizan en el dominio de Fourier.Grado de libertad en dominio que promueve sparsidad ydisposición de antenas.
α̂ = argminα
||α||1 s.t. y = AΦα (4)
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ot c o sc pc o p o to o og su t os jo utu o c s
Metodoloǵıa
Obtención de baselines continuos por medio detransformaciones matriciales.
Discretización basada en Teorema del muestreo.
Figura 6: Metodoloǵıa empleada para la reconstrucción de unaimagen en Interferometŕıa, basada en Compressed Sensing.
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p p g j
Metodoloǵıa
Se considera mediciones sin ruido (Basis Pursuit clásico).
No se considera rotación terrestre (Snapshot).
En Figura 7 se aprecia imagen de prueba utilizada.
Original image
Figura 7: Imagen de prueba considerada. Obtenida en observatorioALMA.
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g
Etapa 1
Validación algoritmo/código utilizado para implementar CS.
Código basado en algoritmo Douglas Rachford (Combettes,2007).
Phase Transition, threshold=1e−10
δ =M
N
ρ
=
K M
0.05 0.15 0.25 0.35 0.45 0.55 0.65 0.75 0.85 0.95
0.95
0.85
0.75
0.65
0.55
0.45
0.35
0.25
0.15
0.05
Figura 8: Phase transition obtenido para señal sparse en dominiode los pixeles. Medición aleatoria en Fourier.
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Etapa 2
Figura de mérito: Probabilidad de reconstrucción exitosa
(Fannjiang, 2013).
Imagen puntual de 60 × 60 pixeles.
0 100 200 300 400 500 600 7000
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100PRE v/s sparsity level, umbral: 0.01 , BP
Sparsidad (Cantidad de fuentes puntuales)
P o r c e n t a j e r e c o n s t r u c c i o n e s e x i t
o s a s ( % )
NRA
URA
VLA
freqSelection
Figura 9: Probabilidad de reconstrucción exitosa versus sparsidadde imagen en dominio de los pixeles. Tasa de mediciones: 0.2. 10
realizaciones por punto.14/22
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Etapa 3
PRE versus razón de submuestreo (también llamado uv
coverage ) para NRA, URA y selección aleatoria uniforme defrecuencias, considerando 4 bases de sparsidad distintas:Daubechies 4, Daubechies 8, Coiflet 3 y DCT. 100realizaciones por punto de la curva.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
PRE v/s uv−coverage, umbral: 0.1 , BP
uv coverage (%)
P o r c e n t a j e r e
c o n s t r u c c i o n e s e x i t o s a s ( % )
Db8
Db4
Coif3
DCT
Figura 10: Probabilidad de reconstrucción exitosa versus tasa demediciones para selección aleatoria uniforme de frecuencias. 15/22
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Etapa 3
Para NRA, sobre 30% de submuestreo se tiene PRE igual a 1para todas las bases consideradas.
10 15 20 25 30 35 40 4540
50
60
70
80
90
100
PRE v/s uv coverage eff, NRA, umbral: 0.1 , BP
uv coverage (%)
P o r c e n t a j e r e c o n s t r u c c i o n e s
e x i t o s a s ( % )
Db8
Db4
Coif3
DCT
Figura 11: Probabilidad de reconstrucción exitosa versus tasa demediciones para disposición aleatoria normal de antenas.
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Etapa 3
Resultado similar a NRA, pero las curvas se levantan antes.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
PRE v/s uv coverage eff, URA, umbral: 0.1 , BP
uv coverage (%)
P o r c e n t a j e r e c o n s t r u c c i o n e s e x i t o s a s ( % )
Db8
Db4
Coif3
DCT
Figura 12: Probabilidad de reconstrucción exitosa versus tasa demediciones para disposición aleatoria uniforme de antenas.
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Etapa 3
M
N = 0.1
M
N = 0.2
M
N = 0.3
M
N = 0.4 Original
Figura 13: Reconstrucciones obtenidas con base Daubechies 4. Primerafila: VLA. Segunda fila: selección aleatoria uniforme de frecuencias.Tercera fila: NRA. Cuarta fila: URA.
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Etapa 4
Análisis de compresibilidad.
Comparar con decaimiento en potencia (power law ).
|ck| ≤ C 1i−q, C 1, q > 0 (5)
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000
2
4
6
8
10
12Decaimiento coeficientes según base de sparsidad , ALMA2
k
M
ó d u l o c o e f i c i e n t e s | c k |
DCTdb4
db8
coif3
sym4
Figura 14: Decaimiento módulo coeficientes para distintas bases.
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Etapa 4
Compresible con k 0 (dependen solo de C 1, q ) tal que:
σk(x)2 ≤ C 2k−r (6)
0 10 20 30 40 50 60 70 800
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18Error de aproximación v/s coeficientes significativos , ALMA2
Porcentaje coeficientes significativos (%)
E r r o r d e a p r o x i m a c i ó n | x − x r | / | x |
DCT
db4
db8coif3
sym4
Figura 15: Error de aproximación considerando los coeficientes mássignificativos, para distintas bases.
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Trabajo futuro
Analizar influencia de ángulo horario h en la máscara demedición.
Analizar artefactos en reconstrucciones debido a disposiciónde antenas.
Incorporar al problema información a priori sobre la señal.Model-Based CS (Misra,Parilo, 2015).
Estudiar muestreo estructurado o pseudoaleatorio en CS(Nam Yul Yu, 2013) (Haupt, Applebaum, 2010).
RIPless CS (Candes, 2010).
StRIP o Statistical RIP (Barg, Mazumdar, 2015).
Considerar rotación terrestre.
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Referencias I
[1] Barg, A., Mazumdar, A., and Wang, R.Restricted isometry property of random subdictionaries.
Information Theory, IEEE Transactions on 61, 8 (2015), 4440–4449.
[2] Candes, E. J., and Plan, Y.
A probabilistic and ripless theory of compressed sensing.
Information Theory, IEEE Transactions on 57 , 11 (2011), 7235–7254.
[3] Combettes, P. L., and Pesquet, J.-C.
A douglas–rachford splitting approach to nonsmooth convex variationalsignal recovery.
Selected Topics in Signal Processing, IEEE Journal of 1, 4 (2007), 564–574.
[4] Eldar, Y. C., and Kutyniok, G.
Compressed sensing: theory and applications .
Cambridge University Press, 2012.
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Referencias II
[5] Haupt, J., Applebaum, L., and Nowak, R.
On the restricted isometry of deterministically subsampled fourier matrices.
In Information Sciences and Systems (CISS), 2010 44th Annual Conference on (2010), IEEE, pp. 1–6.
[6] Misra, S., and Parrilo, P. A.
Weighted l1
-minimization for generalized non-uniform sparse model.Information Theory, IEEE Transactions on 61, 8 (2015), 4424–4439.
[7] Thompson, A. R., Moran, J. M., and Swenson Jr, G. W.
Interferometry and synthesis in radio astronomy .
John Wiley & Sons, 2008.
[8] Yu, N. Y., and Li, Y.
Deterministic construction of fourier-based compressed sensing matricesusing an almost difference set.
EURASIP Journal on Advances in Signal Processing 2013 , 1 (2013), 1–14.
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