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8/8/2019 cours-signaux
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Traitement du signalpartie II :
energie, puissance et corrlation
Prlude
Livres conseillsJ. Max & J.-L. Lacoume, Mthodes et techniques de traitement dusignal et applications aux mesures physiques (Masson, 1999)
F. Cottet, Aide-mmoire de traitement du signal (Dunod, 2000)
H. Press et al., Numerical recipes in C (Cambridge Univ. Press, 2007)
Pour me contacterThierry Dudok de Wit
ddwit@cnrs-orleans.fr
Site web :
2
https://sites.google.com/site/telecombba/
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Puissance, Energie
Lnergie (puissance) est une quantit importante dans le
traitement du signalToute transmission dinformation saccompagne de transfertsdnergie
Beaucoup de capteurs physiques mesurent une nergie ou unequantit quadratique
Exempleles capteurs optiques! mesure dune intensit
les bolomtres! mesure dune nergie
compteurs dlectricit! mesure dune nergie
3
W = u(t) i(t) dt = R i2(t) dt
Puissance, Energie
Dfinition : on appelle nergie dinteraction la quantit
et nergie (ou nergie propre) la quantit
Propritslnergie propre est toujours relle et ! 0
lnergie dinteraction peut tre complexe et < 0
ces quantits ne sont pas linaires, en gnral
4
Euv = u(t) v(t) dt
Eu+v = Eu +Ev
Eu = u(t) u(t) dt = |u(t)|2dt
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Identit de Parseval
Une des relations fondamentales en traitement du signal estlidentit de Parseval (ou thorme de Parseval)
Si
Alors
5
x(t) X(f)
Ex =
+
|x(t)|2 dt =
+
|X(f)|2 df
Exy =+
x(t) y
(t) dt =+
X(f) Y
(f) df
Identit de Parseval
Interprtation : Lnergie est un invariant de la transformede Fourier ou encore Lnergie totale sobtient en sommant la
contribution de toutes les harmoniques
6
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Exercice
Que vaut lintgrale
7
+
sinc2(u) du
Identit de Parseval
En raison de lidentit de Parseval, on sintresse souventdavantage la densit spectrale de puissance
quaux transformes de Fourier (X(f), Y(f)) elles-mmes
8
Sx(f) = |X(f)|2
R
Sxy(f) = X(f) Y(f) C
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Exemple
Les 4 satellites CLUSTER de lAgence Spatiale Europenne sontchacune quipes de capteurs magntiques qui mesurent les 3
composantes du champ magntique
Le dbit de transmission vers la Terre est limit ! on ne peutpas tout transmettre. Que choisir ?
9
Bx(t)
By(t)
Exemple
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Spectrogramme du champ lectrique
enregistr par un des satellites Cluster dans la
magntosphre terrestre
Sxx(f,t)
time [hh:mm:ss]
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Exemple
au lieu de transmettre les mesures brutes (Bx(t), By(t), Bz(t)),on effectue la transforme de Fourier
et on ne transmet que la matrice spectrale
qui est estime toutes les 0.1 sec
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Sxx Sxy Sxz
Syx Syy Syz
Szx Szy Szz
Sxx(f )
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Dphasage
La densit spectrale de puissance (ou spectre dinteraction)est utile pour calculer le dphasage entre 2 signaux
Exemple : si
alors
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Sxy = X(f) Y(f) = |Sxy|e
jxy(f)
dphasage
x(t) = A cos(2f0t + 1)
y(t) = B cos(2f0t + 2)
xy(f0) = 1 2
Exercice
La mesure dun dphasage entre deux signaux u(t) et v(t) adonn un dphasage qui vaut
Quel dcalage temporel ya-t-il entre u et v ?
u(t) est-il en avance ou en retard sur v(t) ?
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f [Hz] " [rad]
0.2 0.804
0.4 1.608
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Exemple
15
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75'6
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./012)
*304-
Encore faut-il savoir si, pour une frquencedonne, il existe un lien causal entre u(t) et v(t)! corrlation
16
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Corrlation
Lautocorrlation= comparaison entre un signal et ses copies retardes
= indicateur de la dformation dun signal au cours du temps
Lautocorrlation possde la dimension dune puissance et
17
Cx() =
+
x(t) x(t ) dt
Cx(0) =
+
|x(t)|2
dt = nergie totale
Corrlation
Lautocorrlation satisfait toujours
pour un signal alatoire, elle tend vers 0 pour # grand
et cest une fonction paire
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Cx(0) |Cx()|
Cx() = Cx()
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Energie infinie
Que faire avec un signal dont lnergie diverge (par exemplesignal pridique) ?
Dans ce cas, lautocorrlation ne peut plus tre estime pourtoute valeur de # car
diverge
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|x(t)|2 dt =
Cx() = +
x(t) x(t ) dt
Energie infinie
Dornavant, et sauf mention particulire, nous utiliseronslautocorrlation moyenne
elle possde la dimension dune puissance
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Cx() = limT
1
T
+T2
T
2
x(t) x(t ) dt
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Exercice
calculez lautocorrlation des signaux suivants
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x(t) = A sin(2f0t)
y(t) = B cos(2f0t)
Exemple : sinus
22
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301!
21456789:,-2
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Exercice
calculez lautocorrlation du bruit blanc (processus alatoireavec valeurs successives indpendantes)
23
x(t) = (t) avec N(0,2)
Exemple : bruit blanc
24
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3/
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Exercice
calculez lautocorrlation de
25
x(t) = A sin(2f0t) + (t) avec N(0,2)
Exemple : sinus + bruit blanc
26
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Exemple : signal carr
27
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Priodicit
Bilan : La priodicit de la fonction dautocorrlationest gale celle du signal de dpart
28
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Exemple : ECG
29
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Exemple : un autre signal ECG
30
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15
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Exemple : oscillateur amorti
31
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Exemple : milieu turbulent
32
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Exercice
Quelle est la fonction dautocorrlation du signal priodiquesuivant ?
33
x(t) =
5 (t) si t = kT, k Z0 sinon
Exemple : milieu turbulent
34
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#
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Dure de corrlation
Le temps ncessaire pour que lautocorrlation tende vers 0est appel temps de dcorrlation
Ce temps de dcorrlation illustre la dure au-del de laquellele processus physique na plus de mmoire
35
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3/
0!10456789:+,1
Processus mmoire
Beaucoup de processus physiques sapparentent des chanesmarkoviennes (ou processus de Markov)
Prenons un signal discrtis qui est constitu dune suite de
valeurs
Ces valeurs constituent une chane de Markov si
Chaque valeur est donc uniquement dtermine par celle quila prcde
36
{x(0), x(1), x(2), . . . , x(t)
P
x(t + 1) = a | x(0), x(1), x(2), . . . , x(t)
= P
x(t + 1) = a | x(t)
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Processus mmoire
Parmi les processus mmoire les plus simples il y a lesprocessus dits autorgressifs
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x(t + 1) = x(t) + (t) avec N(0,2)
t 0 1 2 3 4 5
$(t) -0.43 -1.66 0.12 0.29 -1.14 ...
x(t) 0 -0.43 -2.09 -1.97 -1.68
x(t+1) -0.43 -2.09 -1.97 -1.68 -2.82
Exemple : processus Markov(1)
38
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3/0
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a=0.9
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Exemple
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!"!
!&
!
&
"!
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12!3412!35
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!!"" !#"" !$"" " $"" #"" !""!"%#
"
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"%&
"%'
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$
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!
2
)
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34"%55
34"%56
34"%5
34"%7
34"%#
Exercice
Calculez la fonction dautocorrlation associe au processus deMarkov dcrit par
Dterminez successivement Cx(0), Cx(1), Cx(2), .... et trouvez partir de cela lexpression de Cx(#)
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x(t + 1) = a x(t) + (t) N(0, 2)
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Exemple
Fluctuations de temprature dans une soufflerie
41
!!"!#$ !!"!# !!"!!$ ! !"!!$ !"!# !"!#$!
!"%
!"&
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#
!)*+,-.
/0
1!2
!!"!#$ !!"!# !!"!!$ ! !"!!$ !"!# !"!#$#!
!%
#!!#
#!!
!&'()*+
,-
.!/
Exemple
Oscillateur harmonique amorti excit des intervalles detemps irrguliers (cloche frappe alatoirement)
avec comme excitation f(t)
Comment peut-on remonter aux valeurs de % et de &02 ?
42
x(t) + x(t) + 20x(t) = f(t)
0 5 10 15 20 25 30 35 400
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t [sec]
f(t)
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Exemple
Le signal observ a lallure suivante :
Comment dterminer la priode et lamortissement si on neconnat pas lexcitation f(t) ?
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! "! #! $! %! &!!%
!#
!
#
%
'()*+,-
./'0
Exemple
Nous avons
La solution de lquation homogne scrit
On sattend ds lors ce que lautocorrlation dcroisse (pour# petit) comme
44
x(t) + x(t) + 20x(t) = f(t)
x(
t) =
A et/2
cos(0t
+ )
Cx() et/2 cos(0t)
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Exemple
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!!" !#$ !#" !$ " $ #" #$ !"!#
!"%$
"
"%$
#
!&'()*+
,-
.!/.0123456()/
&
&3)(72)
318)5)
Conclusion : lautocorrlation permet de remonter auxparamtres du systme sans mme connatre en dtaillexcitation
Application
Lautocorrlation est utile pour dtecter un signalpriodique noy dans du bruit
Si
Alors
o est nul sauf pour de petits #
Donc pour |#| > #0, on peur poser
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y(t) = x(t) + (t) N(0,2)
Cy() Cx() + C()
C()
Cy() Cx()
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Application
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! "!! #!!! #"!! $!!!$!
!#!
!
#!
$!
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)+,-./0
1%2
!$!! ! $!!!#
!!3"
!
!3"
#
4&%.45*!
60
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*
signal priodique + bruit
Application
48
! "!! #!!! #"!! $!!!!$!
!
#!
!
#!
$!
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)+,-./01%2
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60
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!
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!3#
4&%.45*!
60
1!2
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Intercorrlation
la notion dautocorrlation se laisse aisment gnraliser 2variables
Lintercorrlation (cross-correlation) se dfinit comme
Pour un signal dnergie infinie, on prendra
49
Cxy() =
+
x(t) y(t ) dt
Cxy() = limT
1
T
+T2
T
2
x(t) y(t ) dt
Intercorrlation
Interprtation : Lintercorrlation entre x(t) et y(t) atteint unmaximum pour un retard # si x(t)'y(t-#)
Exemple : deux signaux diffrents, qui se ressemblentnanmoins
50
! "!! #!! $!! %!! &!!!'
!%
!#
!
#
%
()*+,-.
/0(12
30(1
)
)/0(1
30(1
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Intercorrlation
Les signaux se ressemblent le plus quand y(t) est dcal de 12secondes
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!!"" !#$" !#"" !$" " $" #"" #$" !""!"%!
"
"%!
"%&
"%'
"%(
#
!)*+,-.
/0
1!2
!=12 [sec]
Intercorrlation
Confirmation
52
!"" #"" $"" %"" &"" '""!%
!#
"
#
%
()*+,-.
/0(12
30(1
)
)/0(1
30(1
!"" #"" $"" %"" &"" '""!%
!#
"
#
%
()*+,-.
/0
(12
30(1
)
)/0(1
30(1)4,-56,
Signaux initiaux
Idem, avec y(t)
dcal de 12 sec.
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Intercorrlation
Exemple : deux composantes du champ magntique dans lamagntosphre terrestre (donnes du satellite AMPTE)
53
! "! #!! #"! $!! $"!!#!
!"
!
"
#!
%&'()*+
,
'-.+
&
&,
/
,0
!1! !2! !$! ! $! 2! 1!!!32
!!3$
!
!3$
!32
!&'()*+
4,,
5!6'-.$+
Intercorrlation
Question importante : partir de combien la valeur
de lintercorrlation (ou autocorrlation) peut-elletre considre comme significative ?
Ou encore : peut-on normaliser ces quantits ?
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Exercice
On considre les paires de signaux (x,y) et (x,y) avec
Comparez les fonctions dintercorrlation
55
x
(t) = x(t) + a x = 0
y(t) = y(t) + a y = 0
Cxy() Cxy()
Effet de la moyenne
Si on calcule la corrlation de signaux de moyenne non-nulle,alors une constante vient sajouter aux rsultats
Si
Alors
56
x(t) = x(t) + a x = 0
y(t) = y(t) + a y = 0
Cx() = Cx() + a
Cxy() = Cxy() + ab
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Effet de la moyenne
Dans la pratique, avant de calculer la fonction dauto/intercorrlation, on recentre toujours le signal en soustrayant
sa moyenne
Dans ce cas, on peut montrer que linter/autocorrlation
(normalise par la dure) au retard nul est gale la co/variance
57
Cx() Cx() ou x = x x
Cxy() Cxy() ou x = x x, y = y y
Cx(0) = limT
1
T
+T/2T/2
|x(t)|2 dt = 2x
Cxy(0) = limT
1
T
+T/2T/2
x(t)y(t) dt = xy
Normalisation
Dans la pratique, on normalise toujours les auto/intercorrlations pour avoir des valeurs bornes.
Pour lautocorrlation, comme nous avons
on posera
Pour un signal x(t) de moyenne nulle, ceci quivaut
et on a58
|Cx()| Cx(0)
Cx() Cx()
Cx(0)
Cx()
Cx()
2x
0 |Cx()| 1
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Normalisation
Pour lintercorrlation, lingalit de Schwartz implique
et on posera alors
Pour un signal x(t) de moyenne nulle, ceci quivaut
et on a59
|Cxy()|2
Cx(0)Cy(0)
Cxy() Cxy()
Cx(0)Cy(0)
Cxy() Cxy()
xy
0 |Cxy()| 1
Ne les confondez pas !
Corrlation
Convolution
60
Cxy() =
+
x(t) y(t ) dt
(x y)() =
+
x( t) y(t) dt
= +
x(t) y( t) dt
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Application : identification de la rponse impulsionnelle
61
Application : identification de la rponse impulsionnelle
Considrons un systme linaire rgi par lquation
62
x(t)
y(t) = h(t) x(t)
Cxy() =?
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Application : identification de la rponse impulsionnelle
Nous avons
63
Cyx() =
+
y(t) x(t ) dt
=
+
[h(t) x(t)](t) x(t ) dt
= h() +
x(t) x(t ) dt
= h() Cx()
Application : identification de la rponse impulsionnelle
Si le signal dentre est un bruit blanc, alors
64
Cx() = () Cyx() = h()
x(t) = bruit blanc
Cxy() = h()
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Un thorme important
65
Thorme de Wiener-Khintchine
Selon le thorme de Wiener-Khintchine, la transforme deFourier de la fonction dautocorrlation dun processusalatoire est gale sa densit de puissance spectrale
Si
et
alors
66
x(t) X(f)
Cxx() =
x(t)x(t ) dt
Cxx() |X(f)|2
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Exercice
Calculez la fonction dautocorrlation dune suite de variablesalatoires indpendantes (moyenne) nulle
Dterminez ensuite sa densit de puissance spectrale
67