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Aplicaçõesda Derivada

4.1 A DERIVADA COMO UMATAXA DE VARIAÇÃO

O conceito de velocidade no movimento retilíneo corresponde ao conceitomais geral de taxa de variação instantânea. Por exemplo, se uma partículase move ao longo de uma linha reta de acordo com a equação de movimentos = f(1), sabemos que a velocidade da partícula em t unidades de tempo édeterminada pela derivada de s em relação a t. Desde que a velocidade podeser interpretada como uma taxa de variação da distância por unidade devariação no tempo, vemos que a derivada de s em relação a t é a taxa devariação de s por unidade de variação em t.

De maneira análoga, se uma quantidade y é uma função de umaquantidade x, podemos expressar a taxa de variação de y por unidade devariação em x. A discussão é semelhante às discussões sobre declividades deuma reta tangente a um gráfico e a velocidade instantânea de uma partículaque se move ao longo de uma reta.

Se a relação funcional entre x e y é dada por

Y = f(x)

e se x varia do valor x 1 a x 1 + ár, então y varia de f(x l ) a f(x, + ix).Assim, a variação em y que podemos denotar por Ay será f(x, + áx) - f(xi),quando a variação em x for Ax. Então, a taxa média de variação dey por unidade de variação em x, quando x varia de x 1 a x 1 + áx será

f(x, + áx) - f(x,) áy(1)

Se o limite deste quociente existir quando Ax O, este limite será o queintuitivamente consideramos a taxa de variação instantânea de y por uni-dade de variação de x em x 1 . Por conseguinte, temos a seguinte definição.

4.1.1 Definição Se y = f(x), a taxa de variaçdo instantânea de y por unidade de variaçãode x em x 1 é f'(x l ) ou seja, a derivada de y em relação a x em x 1 , seesta existir aí.

A taxa de variação instantânea de y por unidade de variação em xpode ser interpretada como a variação em y causada por uma unidade devariação em x se a taxa de variação permanecer constante. Para ilustraristo geometricamente, seja f'(x i ) a taxa de variação instantânea de y por

144 APLICAÇÕES DA DERIVADA

O

unidade de variação de x em x 1 . Então, se multiplicarmos f'(x 1 ) porAz. (a variação em x) temos a variação que ocorreria em y se o ponto(x, y) se movesse ao longo da reta tangente em (x 1 , y i ) ao gráfico dey f(x). Veja a Fig. 4.1.1. A taxa de variação média de y por unidade devariação em x é dada pela fração na Eq. (1), e se isto for multiplicado poráx, teremos

áy• áx = áy

que é a variação real em y causada por uma variação de áx em x quando >X

o ponto (x, y) se mover ao longo do gráfico.

Ax

y

Figura 4.1.1

EXEMPLO 1: Seja V centí-metros cúbicos o volume deum cubo de e centímetros dearesta. Encontre a taxade variação média do vo-lume por variação de centí-metro no comprimento daaresta quando e varia de(a) 3 a 3,2 (b) 3 a 3,1 (c)3 a 3,01 (d) Qual é a taxade variação instantánea dovolume por variação decentímetro no comprimentoda aresta quando e = 3?

[(3) = 27

Portanto, quando o comprimento da aresta do cubo for de 3 ce ntímetros,a taxa de variação instantânea do volume será de 27 centímetros cúbicospor variação de centímetro no comprimento da aresta.

SOLUÇA-0: Desde que a fórmula do volume de um cubo é V = e3 , seja fa função definida por f(e) = e3 . Então a taxa de variação média de V porunidade de variação em e, quando e varia de e, a e 1 + Ae seráe, + áe será:

f(e, + Ae) - f(e,)áe

e 1 = 3, áe = 0,2, e f (3 '2) f(3 ) (3 , 2 )3 - 3 3 5,768-0,2 0,2 0 2 =28,84

f(3 , 1 ) -f(3) (330), 31 - 33 .= 7_1;913 27,91e l = 3, áe = 0,1, e =-

0,1

(c) e, = 3, áe = 001 e f(3,01) - f(3) (3,01) 3 - 3 30,2709 0,01 0,01 0,01

27 ,09

Na parte (a) vemos que quando o comprimento da aresta do cubo varia de3 a 3,2 centímetros, a variação no volume será de 5,768 centímetros cúbi-cos e a taxa de variação média do volume será de 28,84 centímetros cúbi-cos por variação de centímetro no comprimento da aresta. Nas partes(b) e (c) apresentamos interpretações semelhantes.

(d) A taxa de variação instantânea de V por unidade de variação dee em 3 é f'(3).

f '(e) = 3e2

Portanto

SOLUÇÃO: (a) em 19 de janeiro de 1972, t = 2. Logo, encontramosDrp quando t = 2.

D,p = t+22 Drpi = g- 4- 2 =- 3,61=2

Assim, em 19 de janeiro de 1972, o rendimento bruto cresceu à razão de3,6 milhões de cruzeiros por ano.(b) Em 19 de janeiro de 1976, t = 6 e

EXEMPLO 2.. O rendimentobruto anual de uma empresaparticular, t anos depois de 19de janeiro de 1970, é p mi-

. lhões de cruzeiros e

p t2 2t + 10

4.1 A DERIVADA COMO UMA RAZÃO DE VARIAÇÃO 145

Encontre: (a) a taxa segundo

a qual o rendimento bruto cres-ceu em 19 de janeiro de 1972.(b) A taxa segundo a qual orendimento bruto aumentouem 19 de janeiro de 1976.

Dtpl = 231 + 2 = 6,8

Conseqüentemente, em 19 de janeiro de 1976 o rendimento bruto cresceu

à taxa de 6,8 milhões de cruzeiros por ano.

4.1.2 Definição

Os resultados do Exemplo 2 são significativos somente quando compa-rados com o real rendimento da empresa. Por exemplo, se em 19 de janeirode 1971 encontrou-se que o rendimento da empresa para o ano de 1970 foi3 milhões de£ruzeiros, então a taxa de crescimento em 19 de janeiro de1972, de 3,4f Milhões de cruzeiros anuais teria sido excelente. Contudo, se orendimento em 1970 tivesse sido 300 milhões de cruzeiros, então a taxa decrescimento em 19 de janeiro de 1972 teria sido muito pequena. A medidaempregada para se comparar a taxa de variação com o montante da quan-tidade que está sendo alterada denomina-se taxa relativa.

Se y = f(x) a taxa de variação relativa de y por unidade de variação de x

em x i é dada por f'(x t )1f(x t ), ou então por Dxyly calculada em x = xl.Se a taxa de variação relativa for multiplicada por 100, teremos a

taxa de variação percentual.

EXEMPLO 3: Encontre a taxade crescimento relativa dorendimento bruto em 19 dejaneiro de 1972 e 19 dejaneiro de 1976, para aempresa do Exemplo 2.

SOLUÇÃO: (a) Quando t = 2, p (4) + 2(2) + 10 = 15,6. Então, em19 de janeiro de 1972, a taxa de crescimento relativa do rendimento brutoanual da empresa foi

13,p1 = 3,6 = 0

'231 = 23,1%

p 1,2 — 15,6

(b) Quando t = 6, p = 5 (36) + 2(6) + 10 = 36,4. Portanto, em 19de janeiro de 1976, a taxa de crescimento relativa do rendimento brutoanual da empresa deveria ser

L±tpl = 68 =J 0

'187 = 18,7%

p I=6 36,4

Note que a taxa de crescimento de 6,8 milhões de cruzeiros para 19 dejaneiro de 1976 é maior que 3,6 milhões de cruzeiros para 19 de janeirode 1972. Entretanto, a taxa de crescimento relativa de 18,7% para19 de janeiro de 1976 é menor que a taxa de crescimento relativa de23,1% para 19 de janeiro de 1972.

Exercícios 4.1

Se A cm 2 é a área de um quadrado e s cm é o comprimento do lado do quadrado, encontre a taxa de variação média deA em relação a s quando s varia de (a) 4 a 4,6; (b) 4 a 4,3; (c) 4 a 4,1. (d) Qual é a taxa de variação instantânea de Aem relação a s, quando s é 4?

Suponha que um cilindro reto de base circular tenha altura constante igual a 10 cm. Se V cm 3 é o volume desse cilindro e

r cm o raio de sua base, encontre a taxa de variação média de V em relação a r quando r varia de (a) 5 a 5,4; (b) 5 a 5,1,(c) 5 a 5,01. (d) Encontre a taxa de variação instantânea de V em relação a r quando r é 5.

146 APLICAÇÕES DA DERIVADA

Seja r o inverso de um número n. Encontre a taxa de variação instantânea de r em relação a n e a taxa de variaçãorelativa de r por unidade de variação em n, quando n for (a) 4 e (b) 10.

Seja s a raiz quadrada de um número x. Encontre a taxa de variação instantânea de s cm relação a x e a taxa de variaçãorelativa de s por unidade de variação em x quando x for (a) 9 e (b) 4.

Se a água de uma piscina está sendo escoada e V litros é o volume de água na piscina t min após o escoamento ter começado, onde V = 250(40 — t) 2 , encontre (a) a taxa de variação média a que a água escoa da piscina durante os primeiros5 min, e (b) com que velocidade a água flui da piscina 5 min após o escoamento ter começado.

A equação de oferta dc um certo tipo de lápis é x 3p2 + 2p onde p centavos é o preço de cada lápis, quando 1 000xlápis são ofertados. (a) Encontre a taxa dc variação média da oferta por 1 centavo dc variação no preço quando o preçoaumenta de 10 a 11 centavos. (b) Encontre a taxa de variação instantânea (ou marginal) da oferta por 1 centavo devariação no preço, quando o preço é de 10 centavos.

O lucro de um depósito de retalhos é de 100y cruzeiros quando x cruzeiros são gastos diariamente em propaganda ey 2500 + 36x — 0,2x 2 . Use a derivada para determinar se seria vantajoso que o orçamento diário de propaganda fosseaumentado se o orçamento diário atual da propaganda é (a) Cr$ 60,00 e (b) Cr$ 100,00.

Um balão mantém a forma de uma esfera quando é inflado. Encontre a taxa dc variação da área da superfície em relaçãoao raio no instante em que o raio é igual a 6 cm.

Em um circuito elétrico, se E volts é a força eletromotriz, R ohms é a resistência, e I amperes é a corrente, a lei de Ohmafirma que IR = E. Admitindo que E seja constante, mostre que R decresce a uma taxa proporcional ao inverso do quadrado de I.quadrado de

A lei de Boyle para a expansão de um gás é PV C, onde P é o número dc ncwtons por unidade quadrada de pressão,V é o número de unidades cúbicas no volume do gás, e C é constante. Encontre a taxa de variação instantânea do volumepela variação de um newton por unidade quadrada de pressão quando P = 4 c V = 8.

Um bombardeiro está voando paralelo ao chão a uma altitude de 2 km com uma velocidade 4 km/min. Se o bombardeirovoa diretamente sobre o alvo, a que taxa varia a linha de vôo entre o bombardeiro e o alvo 20 seg depois?

Às 8 horas um barco navegando para o norte a 24 nós (milhas náuticas por hora) está num ponto P. Às 10 horas um segun-do barco navegando para leste a 32 nós está em P. A que taxa está variando a distância entre os dois barcos (a) às 9 horas e(b) às II horas?

Íi

4.2 TAXAS RELACIONADAS Existem muitos problemas relacionados com a taxa de variação de duas oumais variáveis em relação ao tempo, nas quais não é necessário expressarcada uma destas variáveis diretamente como função do tempo. Por exemplo,suponhamos uma equação envolvendo as variáveis x e y, e que x e ysejam funções de uma terceira variável t, onde t seg denota o tempo. Então,desde que a taxa de variação de x em relação a t e a taxa de variação dey em relação a t sejam dadas por D tx e Dty, respectivamente derivamosambos os membros da equação dada em relação a t, aplicando a regra dacadeia e procedemos do seguinte modo.

I!

IÍ

EXEMPLO 1: Uma escada de 5metros de altura está apoiadanuma parede vertical. Se a baseda escada é arrastada horizon-talmente da parede a 3 m/seg,a que velocidade desliza aparte superior da escada aolongo da parede, quando abase se encontre a 3 m daparede?

SOLUÇÃO: Seja t = o número de segundos transcorridos desde que aescada começou a deslizar na parede.

y = o número de metros desde o piso até a partesuperior da escada em t seg.

x = o número de metros desde a base da escada àparede em t seg.

Veja a Fig. 4.2.1. Como a base da escada é arrastada horizontalmenteda parede a 3 m/seg, D tx .= 3. Queremos encontrar Dty quando x = 3.Do teorema de Pitágoras, temos

y 2 = 25 - X 2 •

(1)Como x e y são funções de t, derivamos ambos os membros da Eq. (1) emrelação a t e obtemos

2yDty = -2xDrx