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MotivationSupport Vector MachinesBilderkennung (Beispiel)

Einfuhrung in Support Vector Machines (SVM)

Till Kroeger

Januar 31, 2011

Till Kroeger Einfuhrung in Support Vector Machines (SVMs)

Table of contents

Motivation

Support Vector Machines

Bilderkennung (Beispiel)

VektorreprasentationKlassifikation

Outline

Motivation

Vektorreprasentation

I Datenpunkte (Dokumente, Bilder, Suchanfragen, etc) konnenals Vektoren dargestellt werden.

I Einzelne Features entsprechen den numerischen Werteneinzelner Komponenten des Vektors.z.B.:v = (3, 2, 5, . . . , 9)v = (3 ∗ oil, 2 ∗ iraq, 5 ∗ bush, . . . , 9 ∗ war)

I Einzelne Features entsprechen den numerischen Werteneinzelner Komponenten des Vektors.

z.B.:v = (3, 2, 5, . . . , 9)v = (3 ∗ oil, 2 ∗ iraq, 5 ∗ bush, . . . , 9 ∗ war)

I Einzelne Features entsprechen den numerischen Werteneinzelner Komponenten des Vektors.z.B.:v = (3, 2, 5, . . . , 9)v = (3 ∗ oil, 2 ∗ iraq, 5 ∗ bush, . . . , 9 ∗ war)

Vektorreprasentation - 2

Klassifikation von Datenpunkten

I Datenpunkte als Tupel (xi, yi ), i = 1, ...,N, xi ∈ Rm

I mit Klassen yi ∈ −1, 1 (fur binare Klassifikation)

Wozu dient diese Formalismus?

1. Aufteilung meiner Datenbasis in Ubungs- und Testdaten.

2. Jeder Datenpunkte bekommt eine Klasse zugewiesen (imTraining bekannt, im Testing unbekannt).

3. Lerne Classifier

4. Klassifiziere Testdaten auf Basis der Information aus denbisher gesehen Trainingsdaten.

Klassifikation von Datenpunkten

I Datenpunkte als Tupel (xi, yi ), i = 1, ...,N, xi ∈ Rm

I mit Klassen yi ∈ −1, 1 (fur binare Klassifikation)

Wozu dient diese Formalismus?

1. Aufteilung meiner Datenbasis in Ubungs- und Testdaten.

2. Jeder Datenpunkte bekommt eine Klasse zugewiesen (imTraining bekannt, im Testing unbekannt).

3. Lerne Classifier

4. Klassifiziere Testdaten auf Basis der Information aus denbisher gesehen Trainingsdaten.

Figure: http://learning.cis.upenn.edu/cis520_fall2009/index.

php?action=home

Klassifikation

Wie kann ich entscheiden ob ein neuer Datenpunkt zu +1 oder −1gehort?

Ahnlichkeitsmaß fur Vektoren:

〈a,b〉 =N∑i=1

aibi = ‖a‖‖b‖cos(γ)

Wann das Skalarprodukt null? Wann ist es Maximal?Minimal: 〈a,b〉 = 0 =⇒ a ⊥ bMaximal: a ‖ b , γ = 0

Klassifikation

Wie kann ich entscheiden ob ein neuer Datenpunkt zu +1 oder −1gehort?Ahnlichkeitsmaß fur Vektoren:

〈a,b〉 =N∑i=1

Klassifikation

〈a,b〉 =N∑i=1

Wann das Skalarprodukt null? Wann ist es Maximal?

Minimal: 〈a,b〉 = 0 =⇒ a ⊥ bMaximal: a ‖ b , γ = 0

Klassifikation

〈a,b〉 =N∑i=1

Klassifikation - 2

Klassifikationsmoglichkeiten:

I Clustering und Mittelwertbildung auf Trainingsdaten.Vergleiche neue Datenpunkte mittels Skalarprodukt mit demClustercenter.

I Naıve Bayes: arg maxy p(x , y) ≈ p(y) ∗∏i p(xi |y)

I Perceptron: Finde eine Hyperebene welche die Trainingsdatenbestmoglich teilt.

I (SVMs)

Klassifikation - 2

I (SVMs)

Klassifikation - 2

I (SVMs)

Klassifikation - 2

I (SVMs)

Klassifikation - 2

I (SVMs)

Hyperebene

Hyperebene: lineare, Entscheidungsgrenze im Feature Space.

“Entscheidungsgrenze”: Definition der Hyperebene:

〈w, x〉+ b = 0

und einer Entscheidungsfunktion

y = sgn(〈w, x〉+ b)

Im n-dim. Raum: n − 1 dim. Hyperebene

Hyperebene

〈w, x〉+ b = 0

y = sgn(〈w, x〉+ b)

Hyperebene

〈w, x〉+ b = 0

y = sgn(〈w, x〉+ b)

Hyperebene - 2

Figure: http://en.wikipedia.org/wiki/File:

Svm_max_sep_hyperplane_with_margin.png

Hyperebene - 3

“Linearitat”: vollstandig linear separierbar sind Daten genau dannwenn es kein x gibt fur das gilt:

y (〈w, x〉+ b) < 0

Das heißt, es gibt keinen Datenpunkt, der auf der falschen Seiteder Hyperebene liegt, welche durch einen konstanten Vektordefiniert wird.

Perceptron

http://isl.ira.uka.de/neuralNetCourse/2004/VL_11_5/

Perceptron.html

Figure: Linear Separierbar

Perceptron - 2

Figure: Nicht linear separierbar

Demonstration SVM, LIBSVM

http://www.csie.ntu.edu.tw/~cjlin/libsvm/

Figure: nicht linear separierbar, in SVM

Input Space vs. Feature SpaceKernelResultat

Outline

Motivation

Input Space vs. Feature Space

I Fur nicht linear separierbareDaten: keine Hyberebene imFeature Space!

I Losung: Transferiere Daten inhoher-dimensionalen Featuremittels Φ und finde Hyberebenein H.

Φ : X → H, x → φ(x)

I Ab jetzt: unterscheide zw. InputSpace und Feature Space! a

aScholkopf, Smola, Learning with

kernels, Cambridge (Mass.), London 2002,p. 16.

Input Space vs. Feature Space - 2

Wie sieht so eine Abbildung aus?

z.B.:Φ : R2 → R3

(x1, x2) 7→ (x1, x2, x1x2)

x ′ = (2, 2), Φ(x ′) = (1, 2, 4)

Wie sieht so eine Abbildung aus?z.B.:

Φ : R2 → R3

(x1, x2) 7→ (x1, x2, x1x2)

x ′ = (2, 2), Φ(x ′) = (1, 2, 4)

Wie sieht so eine Abbildung aus?z.B.:

Φ : R2 → R3

(x1, x2) 7→ (x1, x2, x1x2)

x ′ = (2, 2), Φ(x ′) = (1, 2, 4)

Figure: Hyperebene im Feature Space und im Input Space.1

1Scholkopf, Smola, Learning with kernels, p. 29.

Definition eines Kernels

I Entscheidungsfunktion im Feature Raum:

y = sgn(〈w, φ(x)〉+ b), w, φ(x) ∈ H

I Die funktion y ist linear in H, aber nicht (immer) linear in X!

I Da wir w im Feature Raum nicht direkt berechnen wollen,definieren wir uns eine Hilfsfunktion:Definiere Kernel (Skalarprodukt im Feature Space) :

k(x , x ′) = 〈φ(x), φ(x ′)〉

Definition eines Kernels

I Entscheidungsfunktion im Feature Raum:

y = sgn(〈w, φ(x)〉+ b), w, φ(x) ∈ H

I Die funktion y ist linear in H, aber nicht (immer) linear in X!

I Da wir w im Feature Raum nicht direkt berechnen wollen,definieren wir uns eine Hilfsfunktion:Definiere Kernel (Skalarprodukt im Feature Space) :

k(x , x ′) = 〈φ(x), φ(x ′)〉

Definition eines Kernels - 2

Wir konnen als Kernel mehrere (pos. def.) Ahnlichkeitsmaßeauswahlen:

I Linear kernel:k(x, x′) = 〈x, x′〉

I Polynomial kernel:

k(x, x′) = (γ 〈x, x′〉+ coef )p

I Radial Basis Function kernel:

k(x, x′) = exp(−γ (x− x′)2)

I Sigmoid Kernel:

k(x, x′) = tanh(γ 〈x, x′〉+ coef )

Was konnen wir damit erreichen?

I Wir konnen 〈w, φ(x)〉 in der Entscheidungsfunktion y durchdie Kernel Funktion k(x, x′) ersetzen:

y(x) =N∑

αnynk(xn, x) + b

I D.h. die Klasse eines Testpunktes x kann durch die lineareKombination der Trainingspunkte bestimmt werden!

I Die Abbildung Φ ist hier nicht mehr enthalten!

y(x) =N∑

αnynk(xn, x) + b

y(x) =N∑

αnynk(xn, x) + b

y(x) =N∑

αnynk(xn, x) + b

Herleitung - Kurzfassung

Wir wahlen (im Feature Space) unser w so, dass

〈w, xn〉+ b = +1, fur ein Beispiel der Klasse +1

〈w, xn〉+ b = −1, fur ein Beispiel der Klasse -1

w ist Hyperebene und lineare Entscheidungsgrenze!

Maximiere den den Abstand der Datenpunkte welche am nahstenan w liegen. Wahle d− = d+ = 1

‖w‖ und minimiere ‖w‖.

Herleitung - Kurzfassung

Wir wahlen (im Feature Space) unser w so, dass

〈w, xn〉+ b = +1, fur ein Beispiel der Klasse +1

〈w, xn〉+ b = −1, fur ein Beispiel der Klasse -1

w ist Hyperebene und lineare Entscheidungsgrenze!

Maximiere den den Abstand der Datenpunkte welche am nahstenan w liegen. Wahle d− = d+ = 1

‖w‖ und minimiere ‖w‖.

Herleitung - Kurzfassung - 2

Constraint Optimization Problem:

Minimiere

arg minw,b1

2‖w‖2

unter den Bedingungen

yn(〈w, xn〉+ b) ≥ 1 , ∀n

Kann mittels Lagrange Multiplikatoren gelost werden.

Lagrange Multiplikatoren

Finde das Minimum der Lagrange Funktion:

L(w, b, α) =1

2‖w‖2 −

N∑i=1

αi [yi (〈w, xi〉+ b)− 1]

...(Partielle Ableitungen + Dunkle Magie)...

Resultat: Alle Datenpunkte xi tauchen im Resultat nur imSkalarprodukt mit anderen Datenpunkten auf. Der Kernel k(x , x ′)kann anstelle dieses Produktes verwendet werden. DerHyperebenvektor w wird nicht gebraucht!

Lagrange Multiplikatoren

Finde das Minimum der Lagrange Funktion:

L(w, b, α) =1

2‖w‖2 −

N∑i=1

αi [yi (〈w, xi〉+ b)− 1]

...(Partielle Ableitungen + Dunkle Magie)...

Resultat: Alle Datenpunkte xi tauchen im Resultat nur imSkalarprodukt mit anderen Datenpunkten auf. Der Kernel k(x , x ′)kann anstelle dieses Produktes verwendet werden. DerHyperebenvektor w wird nicht gebraucht!

Resultat

y(x) =N∑

αnynk(xn, x) + b

I Die αn werden mittels der Lagrange Funktion berechnet(quadratisches Optimierungsproblem)

I Wir brauchen den Hyperebenvektor w nicht!

I Wir mussen die Abbildung φ nicht kennen. Sie wird implizit“mitberechnet”!

Resultat

y(x) =N∑

αnynk(xn, x) + b

Resultat

y(x) =N∑

αnynk(xn, x) + b

LIBSVM LibraryWahl des Kernels und ParameterResultat

Outline

Motivation

Das bag of feature Model

I Wir nehmen an, dass jedes Objekt als eine Menge(ungeordneter) Features aus einem gemeinsamen Vokabularreprasentiert werden kann.

I Jedes Objekt wird als Vektor dargestellt.

I Die Komponenten des Vektors reprasentieren die Frequenzeneinzelner Features. z.B.:

Nti(:, 1) = [4, 8, 0, 0, 4, 13, ..., 14] (apple)

Nti(:, 13) = [2, 0, 0, 6, 0, 0, ..., 6] (swan)

Das bag of feature Model

Apple Logos vs. Schwane

Implementierung

Implementierungsschritte

I Unterteilung in Test-, und Trainingsdaten, Crossvalidation

I Extraktion von SIFT Features fur jedes Bild

I Durchschnittlich 65000 Interest Points im Vokabular

I Quantisierung der Features um die Vokabulargroße zureduzieren mittels KMeans (k=100)

Aufgabe: Vergleiche Naıve Bayes Classification mit SVMClassification

Implementierung

LIBSVM Bibliothek

LIBSVM, Version 3.0, Sep. 2010,2

Von Chih-Chung Chang, Chih-Jen Lin, Chih-Wei Hsu,National Taiwan University,

I C++ Bibliothek mit wrapper for Matlab

I Unterstutzung fur lineare, polynomiale, rbf, sigmoid Kernels.

I Syntax Beispiel fur Training:model = svmtrain(labels, data,′−t 0′); (linear kernel)

I Syntax Beispiel fur Testing:[predictlabel , accuracy , decvalues] =svmpredict(testlabels, testdata,model);

I Freie Parameter: Skalierung der Daten, Wahl des Kernels,Kernelparameter

2http://www.csie.ntu.edu.tw/~cjlin/libsvm/

LIBSVM Bibliothek

Wahl des Kernels und Parameter

Evaluierung des Kernels (Linear, Polynomial, Rbf, Sigmoid)

I ’Brute-force’ Suche im Parameterraum

I Beste Parameter geben hohsten Genauigkeitswert imCrossvalidation.

I Suche uber exponentielle Parameterverteilung (2x)

I Der polynomiale, rbf, sigmoid Kernel hat zwei Parameter undder lineare Kernel hat einen Parameter.

1. Linearer Kernel: k(x, y) = xTy

Parametersuche fur C = 2−20, ..., 215

Bestes Ergebnis: C = 1

2. Polynomialer Kernel: k(x, y) = (γ xTy + coef )p

Suche im Parameterraum uber coef 0 = 2−15, ..., 210 andγ = 2−25, ..., 25

Bestes Resultat: γ = 23 and coef = 2−5

3. Radial Basis Function kernel: exp(−γ (x− y)2)

Suche im Parameterraum uber C = 2−15, ..., 225 andγ = 2−25, ..., 210

Bestes Resultat: γ = 2−2 and C = 25, Bestes Gesamtergebnis !

4. Sigmoid Kernel: tanh(γ xTy + coef )

Suche im Parameterraum uber coef = 2−25, ..., 20 andγ = 2−10, ..., 210

Bestes Resultat: γ = 2−3 and coef = 2−13

Resultat

Vergleich: Naıve Bayes Classification vs. SVM Classification

I Losung mit Naıve Bayes: 12/20 Apple Logos und 12/16 Schwane richtigerkannt. (Durschn. Genauigkeit: 66 %)

I SVM Classification mit rbf Kernel: 18/20 Apple Logos und 14.5/16Schwane richtig erkannt. (Durschn. Genauigkeit: 90.27 %)

Fragen

Fragen?

Referenzen

I Scholkopf, Smola, Learning with kernels, Cambridge (Mass.),London 2002.

I Weston, Jason, Extensions to the Support Vector Method,PhD Thesis, University of London, 1999.

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