Fisica 1 ByG Primer Cuatrimestre 2007 Clase 1. Revelaciones 1: Pensar en el espacio adecuado...

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Fisica 1 ByG Primer Cuatrimestre 2007

Clase 1

Revelaciones 1: Pensar en el espacio adecuado

Revelaciones 3: El esqueleto de las formas.

Revelaciones 2: Conocimiento implícito de leyes de la física

Otras historias de la gallinita que dijo Eureka

One percent of women at age forty who participate in routine screening have breast cancer. Eighty percent of the women with breast cancer will have a positive mammogram. Of the women without breast cancer, 9.6% will also have a positive mammogram. A woman in this age group had a positive mammogram in a routine screening. What is the probability that she actually has breast cancer? ___%

Gigerenzer, G. & Hoffrage, U. (1995): How to improve Bayesian reasoning without instruction: Frequency formats. Psychological Review, 102:4,

Respuestas correctas: Médicos 10 %Estudiantes de Medicina 18%

El beneficio de la educación!!

Revelaciones 1; Pensar en el espacio (NO) adecuado

One percent of women at age forty who participate in routine screening have breast cancer. Eighty percent of the women with breast cancer will have a positive mammogram. Of the women without breast cancer, 9.6% will also have a positive mammogram. A woman in this age group had a positive mammogram in a routine screening. What is the probability that she actually has breast cancer? ___%

p(cancer| 40 años) = 1%p(positivo| cancer) = 80%p(positvo| no cancer) = 9.6%p(cancer | positivo) = ????

Revelaciones 1; Pensar en el espacio (NO) adecuado

p(cancer | positivo) = ????

Respuestas correctas: Médicos 47 %Estudiantes de Medicina 56%

Revelaciones 1; Pensar en el espacio adecuado

p(cancer | positivo) = ????

De 1000 mujeres estudiadas 103 dan positivas, de las cuales 8, tiene cáncer

Revelaciones 1; Pensar en el espacio adecuado (con redundancia)

Revelaciones 2: El esqueleto de las formas

Proximidad

Similaridad

Buena Continuacion

Las reglas de asociación Gestaltianas

Un modelo del sistema visual:El canal de los espiritus visuales

fro m Hub e l & Wie se l (1968) . 195: 215-243. J . Physio l

Un modelo del sistema visual: Los segmentos son el sustrato de las formas..

Los segmentos son una base natural del espacio de formas

Ad a p te d fro m Fie ld , DJ , e t a l. (1993) Vis Re s. 33: 173-193.

The perception of good continuation

Ad a p te d fro m Fie ld , DJ , e t a l. (1993) Vis Re s. 33: 173-193.

The perception of good continuation

“Fisica Intuitiva”

“Fisica Correcta”

Study Reveals: Babies are StupidThe Onion, May 21st, 1997

Alison GopnikLos bebes desarrollan y cambian teorías

intuitivas de manera muy similar a los científicos.

¿Los bebes son o no son idiotas?

Developmental Science 2:3 (1999), pp 339±362

Perception and understanding of effects of gravity and inertia on object motion

In-Kyeong Kim1 and Elizabeth S. Spelke2

Elizabeth S. Spelkehttp://www.wjh.harvard.edu/~lds/sexsci/

"Sex & Science" webpage

Entendimiento “temprano” de la gravedad y la inercia.

La sorpresa de pasar a un mundo con una física distinta(medida en la permanencia de la mirada)

Developmental Science 2:3 (1999), pp 339±362

Perception and understanding of effects of gravity and inertia on object motion

In-Kyeong Kim1 and Elizabeth S. Spelke2

El ejemplo mas concreto del conocimiento implícito de la física

http://difusion.df.uba.ar/sabermas/HOMBRE/futbol.html

(La pelota si dobla)

Algunos conceptos abstractos

importantes 1. Dimensionalidad: Numero de variables “independientes”

de un espacio

Algunos conceptos abstractos importantes

1. Dimensionalidad: Numero de variables “independientes” de un espacio

2. Coherencia: Objetivo general de la física como un programa de búsqueda de coherencia (de correlación, de causalidad, de interacción)

3. Espacios unidimensionales: El tiempo y la línea espacial.

4. Medida en espacios unidimensionales: • Conteo de eventos periódicos (numero de oscilaciones,

grano).• Probabilidad de extinción (exponenciales) • Concatenación de medidas (escaleo)• Medidas Relativas y Medidas absolutas (el

interferómetro)• Reglas lineales (grano constante) o logarítmicas.

Programa de la Clase de Hoy

1. Dimensionalidad: Otras propiedades fundamentales de un espacio: METRICA y CARDINALIDAD

2. Coherencia: Funciones, como objetos que relacionan variables aparentemente independientes.

3. Espacios unidimensionales: Relación entre el tiempo y el espacio. Movimiento. El tiempo como referencia.

4. Medida en espacios unidimensionales: • Conteo de eventos periódicos (numero de oscilaciones,

grano) y probabilidad de extinción (exponenciales) Exponenciales y oscilaciones como formas canónicos del movimiento. Convergencia y equilibrio.

PLAN DE RUTA

1. Funciones y Cardinalidad: El numero de elementos, una primera relación establecida por una función entre dos conjuntos.

2. Funciones y Dimensionalidad: Aspectos generales de funciones del tiempo en el espacio (R -> R2) y del espacio en un escalar (por ejemplo la temperatura)

3. Formas canónicas del movimiento: Oscilaciones, exponenciales y puntos fijos. La fauna de soluciones ordenadas, estacionarias y no divergentes.

4. Espacios métricos: Como asignar una medida a una variedad de espacios relevantes. Cuantificar la similitud o diferencia de medidas experimentales en una funcion de distancia. Neuronas, genes, imágenes, caras y terremotos.

•Una función relaciona elementos entre dos conjuntos (A y B)

•La función es inyectiva si dos elementos de A no van a parar a un mismo elemento de B: #(A) ≤ #(B) (A puede inyectarse en B)

•La función es sobreyectiva si su imagen (todos los elementos que son función de alguien) corresponde a #(A) ≥ #(B) (A puede llenar B)

•La función es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva. Es decir si existe un mapeo “uno a uno” #(A) = #(B) (A es “equivalente” a B)

•UNA PRIMER MEDIDA DE COHERENCIA ENTRE DOS ESPACIOS DETERMINADA POR UNA FUNCION ES LA DE CARDINALIDAD

Funciones y Cardinalidad

Sobreyectiva, no inyectiva

Inyectiva, no sobreyectiva

No sobreyectivano inyectiva Biyectiva

En análisis y en la gran parte de este curso trabajaremos con conjuntos continuos (y no discretos como en el ejemplo anterior) e infinitos.

Algunos espacios infinitos relevantes (de dimensión 1) son:

Cardinalidad en Conjuntos Infinitos

1 2 3 4 5 6 7 8

Los Naturales La Recta Real

El Intervalo (I1) El Circulo (S1)

1 2 3 4 5 6 7 0 1

Discreto,No acotado

ContinuoNo Acotado

ContinuoAcotado

ContinuoAcotadoSin Bordes

Son todos los infinitos igual de grandes?

I. Hay más racionales que naturales?

1/1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 ...2/1 2/2 2/3 2/4 2/5 2/6 ...3/1 3/2 3/3 3/4 3/5 ...4/1 4/2 4/3 4/4 …5/1 5/2 5/3 …6/1 6/2 …7/1 ...

I. Los racionales NO SON MAS que los naturales:

Q= NxN

II. Tal vez simplemente los infinitos son todos infinitosy, por lo tanto, igual de grandes: Hay más naturales o puntos en la recta?

I. Los puntos en I1 NO SON CONTABLES (i.e. son “mas” que los naturales)

r1 = 0 . 5 1 0 5 1 1 0 ... r2 = 0 . 4 1 3 2 0 4 3 ... r3 = 0 . 8 2 4 5 0 2 6 ... r4 = 0 . 2 3 3 0 1 2 6 ... r5 = 0 . 4 1 0 7 2 4 6 ... r6 = 0 . 9 9 3 7 8 3 8 ... r7 = 0 . 0 1 0 5 1 3 5 ...

DEMOSTRACION DE CANTOR

•Suponemos que el intervalo [0,1] es infinito numerable. •Podríamos elaborar una secuencia (suryectiva) de los números, ( r1, r2, r3, ... ) •Los reales entre 0 y 1 pueden ser representados escribiendo sus decimales.

I. Los puntos en I1 NO SON CONTABLES (i.e. son “mas” que los naturales)

r1 = 0 . 5 1 0 5 1 1 0 ... r2 = 0 . 4 1 3 2 0 4 3 ... r3 = 0 . 8 2 4 5 0 2 6 ... r4 = 0 . 2 3 3 0 1 2 6 ... r5 = 0 . 4 1 0 7 2 4 6 ... r6 = 0 . 9 9 3 7 8 3 8 ... r7 = 0 . 0 1 0 5 1 3 5 ...

DEMOSTRACION DE CANTOR

• Dada CUALQUIER función r, podemos construir un numero N(r) que no esté en la imagen de R, eligiendo para cada decimal un valor distinto al de la diagonal.•Por ejemplo el numero 0,7256389… Siendo la Diagonal: 0,5140235 …

PLAN DE RUTA

Funciones y Dimensionalidad

•Formalmente la Cardinalidad de R y RN (n>1) es la misma y por lo tanto puede definirse una biyección entre ellas.

•En la practica, las funciones de Rm en Rn suelen presentar cierta característica (por la conservación de la dimensionalidad) según si m < n, m = n o m > n.

Funciones de R en R2: UN MARCO CONCEPTUAL UTIL PARA PENSAR ESTAS FUNCIONES ES LA IDEA DE INMERSION.

f: t [x( t) , y(t)]

A cada tiempo corresponde un punto en el plano. El conjunto de estos puntos (la imagen de la función, o trayectoria) define una curva que corresponde a la inmersión de t (que puede pertenecer a I1 o a R1) en el plano.

Curvas que llenan el plano (Peano, Hilbert)

Inmersión del tiempo en el espacio:

Trayectorias

-5000 0 5000

-1000-500

El ejemplo canónico de tiro oblicuo:

Tiempo (ms) Función de Movimiento

Espacio,R2, (mm)

0 1000

Notar que en la trayectoria (inmersión)del tiempo, se ha perdido la nociónde temporalidad. No esta descrito

en que orden temporal se recorrió esta trayectoria.

Trayectorias

Espacio,R3, (t,mm,mm)

0 1000

Para resolver esto es necesario incorporar otra dimension, ya que la funcion corresponde a puntos en el

espacio de [t, x(t), y(t)] es decir en R3.La tercera dimension puede

representarse en una escala de color.

-5000 0 5000

-1000-500

Trayectorias

Espacio,R3, (t,mm,mm)

0 1000

Una representacion equivalente pero menos inteligible. Relevancia de

encontrar buenas representaciones:

0 2000 40000

Funciones y Dimensionalidad (II)

Funciones de R en R2: UN MARCO CONCEPTUAL UTIL PARA PENSAR ESTAS FUNCIONES ES LA IDEA DE INMERSION (curvas en R3).

Hemos visto hasta ahora:

Funciones de R2 en R: DOS MARCO CONCEPTUALES UTILES PARA PENSAR ESTAS FUNCIONES SON: MAPA ESCALAR (temperatura, altura) representadas como superficies en R3 y PROYECCIONES (ej angulo)

f:[x, y] T

f: t [x( t) , y(t)]

Mapas Escalares: La anatomía de la función abs(xy)

-50 0 50-50

-50 0 500

-50 0 50-50

-50 0 50

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Imagenes del mapa A lo largo de curvas En coordenadas polares

PLAN DE RUTA

Trayectoria Acotada en Tiempo Infinito

En este ejemplo, la trayectoria es acotada porque para algún tiempo la partícula toca el

piso a partir del cual cambia la física del problema: En este caso concreto la partícula se pega al piso. En muchos problemas es de

interés estudiar el comportamiento para tiempos infinitos (tiempo no acotado o por lo

menos tiempos “muy largos”.

Una primer pregunta relevante es si la trayectoria correspondiente a este tiempo

infinito es o no acotada.

En el ejemplo del pingüino, en ausencia de piso, la trayectoria diverge (aunque en

realidad, sin piso tampoco hay gravedad)

Existen trayectorias acotadas para tiempos infinitos?

Trayectoria Acotada en Tiempo Infinito Primer aproximación (equivocada) al problema: Monotonía.

Si una función siempre crece o decrece entonces la trayectoria diverge (es decir no esta acotada)

Contraejemplo x(t)=e-(t/150)

Es estrictamente decreciente pero siempre positiva.

Como se vería el grafico de esta función si se grafica los x correspondientes a los tiempos de 1000 a 2000 segundos?

0 500 10000

Trayectoria Acotada en Tiempo Infinito

Contraejemplo x(t)=e-(t/150)

Es estrictamente decreciente pero siempre positiva.

Se ve EXACTAMENTE IGUAL. La función e-(t/150) puede “leerse” como la concatenación de la siguiente operación: cada 150 segundos, divido por e. Nótese “la razón” de su invarianza en el tiempo.

1000 1500 20000

1.5x 10

Trayectoria Acotada en Tiempo Infinito Segunda aproximación (correcta) al problema: Extremos.

Si el movimiento de una partícula esta dado por funciones [x(t),y(t)] la trayectoria esta acotada si estas funciones tienen máximo y mínimo (no infinito) es decir, si la función toma valores acotados de manera

independiente de los valores de t.

Algunas funciones acotadas son:Seno, Coseno, Exponencial(-t), 1/(1+t)

0 500 1000-1

Coseno

0 500 10000

0 500 1000-0.5

xSeno*Coseno

0 500 10000

Seno*Coseno

Posibles estados estacionarios:

oscilaciones y puntos fijos

0 500 1000-1

Coseno

0 500 10000

0 500 1000-0.5

Seno*Coseno

0 500 10000

Seno*Coseno

Oscilan (y entre una y otra cambia el periodo)

Convergen (y entre una y otra cambia el ritmo de convergencia)

-1 0 1-1

-1 -0.5 0 0.5 1-1

0 0.5 10

Convergencia a un punto fijo: X= [e-(t/150), e-(t/150)]

Oscilaciones: X=[cos(t),sen(t)]

Las representacionesmas informativas.

Bases del Movimiento •Los puntos fijos y las oscilaciones son dos ingredientes canónicos del movimiento.

•El estudio del movimiento (y muchos otros problemas dinámicos, es decir, que evolucionan en el tiempo) se descomponen en el estudio de estados transitorios y estados estacionarios.

•Los estados estacionarios – como las oscilaciones o los puntos fijos- presentan cierta invarianza temporal. Oscilaciones y puntos fijos son además soluciones “ordenadas” y acotadas.

•El movimiento de una bola en un billar es un ejemplo de solución estacionaria “no ordenada”. La posición de una galaxia es una solución (tal vez) estacionaria, ordenada y (tal vez) no acotada:

•En la practica, uno suele ver (medir) los estados estacionarios (o de equilibrio).

PLAN DE RUTA

Otras propiedades del espacio: Métrica

1 2 3 4 5 6 7 8

Los Naturales El Plano El Intervalo (I1) El Circulo (S1)

D =abs(m-n)

Dist(x2,x1) 212

212 yyxx D = abs(x2-x1) D=abs(θ1 – θ2)

D es cualquier función que satisface:

D(a,a)=0;D(a,b) > 0 (a distinto de b)D(a,b) = D(b,a)D(a,c) < D(a,b) + D(b,c)

Dada la métrica, existen vecindades

1 2 3 4 5 6 7 8

Dist(3,3) < 2 Dist(0.5) < 0.25 Dist(π) < π/2dist(5) < 3

De lo abstracto a lo concreto. La métrica determina exactamente la posibilidad de medir (de establecer distancias y por ende similitudes y diferencias) entre los elementos del espacio. Es un problema importante de las ciencias naturales (objeto de investigación moderna) establecer una “buena” métrica para sus espacios.

Propiedades emergentes de la métrica: 1) Continuidad

1 2 3 4 5 6 7 8

Dist(3,3) < 0.5 Dist(0.5) < 0.05 Dist(π) < π/5dist(5) < 0.5

Un mundo sin vecinos (a distancia arbitrariamente pequeña)

Mundos con vecinos arbitrariamente cerca SE PUEDE HACER ANALISIS (Derivar … Integrar …)

Propiedades emergentes de la métrica: 2) Existencia de Bordes

1 2 3 4 5 6 7 8

Dist(x) < 0.0001 Dist(0) < 0.00… Dist(x) < 0.0…dist(1) < 0.00…

Un punto que no tiene (dentro del conjunto, ninguna vecindad, por pequenia que sea)

Todo punto contiene una vecindad

Métricas en Espacios no Euclideos,

funciones, imágenes, genes y neuronas

En general, dadas dos observaciones, un problema típico con el que uno se encuentra es decir si son iguales, si pertenecen a una misma categoría, si se parecen poco o mucho, si a su vez se asemejan mas que a un tercera observación, cuanto varia a medida que uno la repite muchas veces y si uno manipula el sistema. En fin, uno quiere establecer una DISTANCIA entre distintas observaciones. Algunos ejemplos que veremos son distancias en respuestas de neuronas (trenes de espigas) y entre genes.

Distancia en el Espacio de Funciones

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

1 Distancia entre una función lineal y una sinusoidal, marcada por el área gris. Una de las distancias mas simples en el espacio de funciones, dada por la suma de la distancia euclidea en cada punto de la función.

Esta es la idea de cuadrados mínimos, y permite ajustar una función a una serie de datos. La función que “mejor” ajusta los datos (de una familia de funciones) es la que resulta más cercana a los datos originales.

0 5 10 15 20-0.5

0 5 100

Constante ExponencialD

0 5 10 15 20-0.5

0 5 100

Longitud promedio de los segmentos definen la

distancia a la curva

0 5 10 15 20-0.5

0 5 100

Longitud promedio de los segmentos definen la

distancia a la curva

Distancia en el Espacio de Imágenes (Dinámica del trafico de proteínas en la célula)

Meyer et al (2005)

Medida analoga a la distancia entre funciones, la suma del valor absoluto de la luminosidad de todos los pixels.

La importancia de poder cuantificar para establecer modelos correctos. PER y TIM entran juntos al núcleo o por separado?

Un problema con la distancia “euclidea”

en el espacio de imágenes (y de caras)

Una descomposición mas inteligente del espacio de caras: una

base de “caras fundamentales” o auto-caras.

El problema de una distancia dada por la suma de la diferencia de

luminosidad a través de todos los pixels de la imagen es que distintos ángulos de vista, o oclusiones dan

imágenes muy distintas correspondientes al mismo objeto.

La dimensionalidad del espacio de caras, cuantos

numero necesito dar para decir de quien hablo?

Imagen Original

Detección de rasgos por comparación a un marco de referencia

Descripción de una cara en el espacio de rasgos (mucho mas eficiente que el espacio de pixels)

Midiendo distancias entre respuestas neuronales

Supongamos que queremos saber que codifica una neurona.

•Presentamos dos estímulos distintos y medimos la respuesta.

•Que medimos?

•Una posibilidad (la más utilizada) es contar espigas. Esto equivale a establecer una función f que mapea un tren de espigas en un numero. Luego podemos utilizar la distancia en los Naturales. Es decir la distancia (diferencia) entre una respuesta R1 y R2 está dada por: D = abs(N(R1) – N(R2)) donde N es el numero de espigas de R.

•Todo la información que conlleva una neurona es el numero de espigas?

•Acaso importa el tiempo en el que ocurren estas espigas? Vuelta a la oreja del búho.

Midiendo distancias entre respuestas neuronales

fro m Hub e l & Wie se l (1968) . 195: 215-243. J . Physio l

Una distancia clásica:Contar (y luego usar distancia en los naturales)

Midiendo distancias entre respuestas neuronales (del saltamontes)

Respuesta de una neurona (del saltamontes) a distintos olores

Problema (del saltamontes y del investigador): Como reconstruir el olor a partir de la respuesta? En este caso, el conteo de espigas no alcanza…

Macleod, Backer, Laurent (1998)

Una buena métrica en el espacio de

respuestas neuronales

Definir la distancia entre dos secuencias como el numero de operaciones, inserciones, deleciones, traslaciones, necesarias para pasar de una secuencia a la otra.

J Victor (2005)

Midiendo distancias entre respuestas neuronales (del saltamontes)

Respuesta de una neurona (del saltamontes) a distintos olores

Problema (del saltamontes y del investigador): Como reconstruir el olor a partir de la respuesta? En este caso, el conteo de espigas no alcanza…

Una metrica que tiene en cuenta la distancia alcanza para separar cualquier para de olores (tomando la distancia al centro de cada distribucion)

Una manipulacion farmacologica (Picotoxina) que perturba el orden temporal sin modificar la respuesta total (baraja en el tiempo) hace que la respuesta a los olores sea inclasifcable.

Macleod, Backer, Laurent (1998)

Un problema parecido: Similitud entre genes

AGTAAGCTAGCAGCA….

AGTAAGCGGGCAGCA….

La métrica de comparación punto a punto funciona bien en este ejemplo, estas dos secuencias son parecidas y su distancia es corta.

AGTAAGCTAGCAGCA….

XXXAGTAAGCTAGCA ….

La métrica de comparación punto a punto NO FUNCIONA BIEN en este ejemplo, Una traslacion hace que punto a punto niguna base coincida y sin embargo los genes se asemejan.

Métrica en el espacio de terremotos (y

sus ecos) Una pregunta importante en sismología es:

Dado un gran terremoto, cual es la secuencia temporal de terremotos (ecos, rebotes) que le siguen?

LOS DATOSSOLUCION, LA SECUENCIA QUE MINIMIZA LA DISTANCIA A TODAS LAS OBSERVACIONES

Schoenberg and Tranbarger.

FIN DE LA RUTA (y resumen)

Fisica 1 ByG Primer Cuatrimestre 2007 Clase 1. Revelaciones 1: Pensar en el espacio adecuado...

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