Post on 30-Dec-2019
transcript
GRA�EVINSKI FAKULTET 26.10.2018.UNIVERZITETA U BEOGRADU
Matematiqka analiza 1 – Prvi kolokvijum (A)
1. Izraqunati:
a) limn→∞
1− 4 + 16− · · ·+ (−1)n4n
1− 2 + 4− · · ·+ (−1)n2nb) lim
n→∞
(2√n+ 3
2√n
) 1√n+1−
√n
(3 poena)
2. Ispitati konvergenciju niza:
xn =sin2 1
2+
sin2 2
22 + ln 2+
sin2 3
23 + ln 3+ · · · + sin2 n
2n + lnn. (1 poen)
3. Ispitati konvergenciju redova:
a)∞∑n=1
2 · 5 · 8 · · · · · (3n− 1)
(2n+ 2)!!b)
∞∑n=1
(26n2 + 26n+ 1
10n2 + 10n+ 1
)2018n2+20n+1
(3 poena)
4. Ispitati konvergenciju reda
∞∑n=1
(1− a2)n
n3 + 2n+ 2
u zavisnosti od realnog parametra a. (3 poena)
GRA�EVINSKI FAKULTET 26.10.2018.UNIVERZITETA U BEOGRADU
Matematiqka analiza 1 – Prvi kolokvijum (B)
1. Izraqunati:
a) limn→∞
1 + 22 + 23 + · · ·+ 2n−1
1 + 42 + 43 + · · ·+ 4n−1b) lim
n→∞
(3√n
3√n+ 2
) 1√n+1−
√n
(3 poena)
2. Ispitati konvergenciju niza:
xn =cos2 1
3+
cos2 2
32 + ln 2+
cos2 3
33 + ln 3+ · · · + cos2 n
3n + lnn. (1 poen)
3. Ispitati konvergenciju redova:
a)∞∑n=1
(2n+ 4)!!
2 · 5 · 8 · · · · · (3n− 1)b)
∞∑n=1
1 + 2 + · · · + n
n√n
(3 poena)
4. Ispitati konvergenciju reda
∞∑n=1
(4− b2)n
n3 + n+ 3
u zavisnosti od realnog parametra b. (3 poena)
GRA�EVINSKI FAKULTET 26.10.2018.UNIVERZITETA U BEOGRADU
Matematiqka analiza 1 – Prvi kolokvijum (V)
1. Izraqunati:
a) limn→∞
√3n2 + 1
1− 2 + 3− 4 + · · · − 2nb) lim
n→∞
(n4 − n+ 1
n4 + n+ 1
)12+22+ ···+n2
(3 poena)
2. Izraqunati:
limn→∞
n
√sin(π4+ 1)sin
(π
4− 1
2
)sin
(π
4+
1
3
)· · · sin
(π
4+
(−1)n−1n
). (1 poen)
3. Ispitati konvergenciju redova:
a)∞∑n=1
ln
(2− 3
√1− sin
1
n3
)b)
∞∑n=1
n arccos1
n3(3 poena)
4. Ispitati konvergenciju reda
∞∑n=2018
8n
(n+ 2018)pn
u zavisnosti od realnog parametra p. (3 poena)
GRA�EVINSKI FAKULTET 26.10.2018.UNIVERZITETA U BEOGRADU
Matematiqka analiza 1 – Prvi kolokvijum (G)
1. Izraqunati:
a) limn→∞
1− 2 + 3− 4 + · · · − 2n√5n2 + n+ 1
b) limn→∞
(n4 + n+ 1
n4 − n+ 1
)12+22+ ···+n2
(3 poena)
2. Izraqunati:
limn→∞
n
√cos(π4+ 1)cos
(π
4− 1
2
)cos
(π
4+
1
3
)· · · cos
(π
4+
(−1)n−1n
). (1 poen)
3. Ispitati konvergenciju redova:
a)∞∑n=1
ln
(2− 5
√1− tg
2
n4
)b)
∞∑n=1
arctg n
n2 + n+ 1(3 poena)
4. Ispitati konvergenciju reda
∞∑n=2018
qn
(2018n+ 1)8n
u zavisnosti od realnog parametra q. (3 poena)
GRA�EVINSKI FAKULTET 30.11.2018.UNIVERZITETA U BEOGRADU
MATEMATIQKA ANALIZA 1Drugi kolokvijum
Grupa A
1. Izraqunati limx→0
(sinx+ cosx)1√
x+2−√2 . (2)
2. Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije f(x) =ln |x|+ 1
ln |x| − 1. (5)
3. Napisati Maklorenov polinom M6(x) funkcije f(x) =ln(1− x2)
ex2 . (2)
4. Odrediti parametre a i b tako da funkcija
f(x) =
{x+ a2 , x < 0
a cosx+ b sinx , x ≥ 0
bude diferencijabilna u taqki x0 = 0. (1)
GRA�EVINSKI FAKULTET 30.11.2018.UNIVERZITETA U BEOGRADU
MATEMATIQKA ANALIZA 1Drugi kolokvijum
Grupa B
1. Izraqunati limx→0
(cosx− sinx)1√
x+3−√3 . (2)
2. Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije f(x) =ln |x| − 1
ln |x|+ 1. (5)
3. Napisati Maklorenov polinom M9(x) funkcije f(x) =ln(1− x3)
ex3 . (2)
4. Odrediti parametre a i b tako da funkcija
f(x) =
{x− a2 , x < 0
a cosx− b sinx , x ≥ 0
bude diferencijabilna u taqki x0 = 0. (1)
GRA�EVINSKI FAKULTET 30.11.2018.UNIVERZITETA U BEOGRADU
MATEMATIQKA ANALIZA 1Drugi kolokvijum
Grupa V
1. Izraqunati limx→0
(ex + ln(1 + x))1√
2−√x+2 . (2)
2. Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije f(x) =|x|
ln |x| − 1. (5)
3. Napisati Maklorenov polinom M6(x) funkcije f(x) =sinx2
√1− x2
. (2)
4. Odrediti vrednost parametra a tako da funkcija
f(x) =
{(x− 1) arctg 1
x−1 , x 6= 1
a , x = 1
bude diferencijabilna u taqki x0 = 1. (1)
GRA�EVINSKI FAKULTET 30.11.2018.UNIVERZITETA U BEOGRADU
MATEMATIQKA ANALIZA 1Drugi kolokvijum
Grupa G
1. Izraqunati limx→0
(ex − ln(1− x))1√
3−√x+3 . (2)
2. Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije f(x) =|x|
ln |x|+ 1. (5)
3. Napisati Maklorenov polinom M9(x) funkcije f(x) =cosx3
√1− x3
. (2)
4. Odrediti vrednost parametra a tako da funkcija
f(x) =
{(x+ 1) arctg 1
x+1, x 6= −1
a , x = −1
bude diferencijabilna u taqki x0 = −1. (1)
GRA�EVINSKI FAKULTET 28.12.2018.UNIVERZITETA U BEOGRADU
MATEMATIQKA ANALIZA 1Tre�i kolokvijum
Grupa A
1. Izraqunati integrale:
a)∫
sinx+ cosx
sin3 x+ cos3 xdx b)
∫x2 arctg
x+ 1
x− 1dx (4)
2. Izraqunati integral∫
(x+ 1)√1 + x+ x2 dx . (2)
3. Izraqunati povrxinu figure ograniqene linijama
y = earcsinx, x = 0, x = 1 i y = −1 . (3)
4. Pokazati da za a ∈ R va�i∫ a
0
f(x) dx =
∫ a
0
f(a − x) dx. Koriste�i se ovom
formulom izraqunati integral∫ π/2
0
x(sinx+ cosx)
sin3 x+ cos3 xdx . (1)
GRA�EVINSKI FAKULTET 28.12.2018.UNIVERZITETA U BEOGRADU
MATEMATIQKA ANALIZA 1Tre�i kolokvijum
Grupa B
1. Izraqunati integrale:
a)∫
sinx− cosx
sin3 x− cos3 xdx b)
∫x2 arcctg
x− 1
x+ 1dx (4)
2. Izraqunati integral∫
(x− 1)√1− x+ x2 dx . (2)
3. Izraqunati povrxinu figure ograniqene linijama
y = earccosx, x = 0, x = 1 i y = −1 . (3)
4. Pokazati da za a ∈ R va�i∫ a
0
f(x) dx =
∫ a
0
f(a − x) dx. Koriste�i se ovom
formulom izraqunati integral∫ π/2
0
x(sinx− cosx)
sin3 x− cos3 xdx . (1)
GRA�EVINSKI FAKULTET 28.12.2018.UNIVERZITETA U BEOGRADU
MATEMATIQKA ANALIZA 1Tre�i kolokvijum
Grupa V
1. Izraqunati integrale:
a)∫
sinx cosx
sin4 x+ cos4 xdx b)
∫xearcctg x
(1 + x2)3/2dx (4)
2. Izraqunati integral∫
x√1 + 2x− x2 dx . (2)
3. Izraqunati povrxinu figure ograniqene linijama
y = arctg x, y = −x2 − 2, x = −1 i x = 0 . (3)
4. Pokazati da za a ∈ R va�i∫ a
0
f(x) dx =
∫ a
0
f(a − x) dx. Koriste�i se ovom
formulom izraqunati integral∫ π/2
0
x sinx cosx
sin4 x+ cos4 xdx . (1)
GRA�EVINSKI FAKULTET 28.12.2018.UNIVERZITETA U BEOGRADU
MATEMATIQKA ANALIZA 1Tre�i kolokvijum
Grupa G
1. Izraqunati integrale:
a)∫
sin 2x
sin4 x+ cos4 xdx b)
∫xearcsinx√1− x2
dx (4)
2. Izraqunati integral∫
x√1− 2x− x2 dx . (2)
3. Izraqunati povrxinu figure ograniqene linijama
y = arctg x, y = x2+2, x = 1 i x = 0 . (3)
4. Pokazati da za a ∈ R va�i∫ a
0
f(x) dx =
∫ a
0
f(a − x) dx. Koriste�i se ovom
formulom izraqunati integral∫ π/2
0
x sin 2x
sin4 x+ cos4 xdx . (1)
GRA�EVINSKI FAKULTET 19.1.2019.UNIVERZITETA U BEOGRADU
MATEMATIQKA ANALIZA 1
1. Izraqunati graniqne vrednosti:
a) limn→∞
n
√cos 1 cos
1
3cos
1
32· · · · · cos 1
3nb) lim
n→∞
(n
2019
)n−2019 (20)
2. Ispitati konvergenciju reda u zavisnosti od realnih parametara a i p.∞∑n=1
(a2 − 1)n
np, a, p ∈ R. (20)
3. Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije f(x) =x+ 1√
x2 + 2x− 3. (30)
4. a) Izraqunati integral∫
cosx dx
sin4 x− sin3 x− sinx+ 1. (10)
b) Izraqunati povrxinu figure odre�ene relacijama:
x2 + y2 ≤ 4x , |y| ≥√3 . (20)
GRA�EVINSKI FAKULTET 19.1.2019.UNIVERZITETA U BEOGRADU
MATEMATIQKA ANALIZA 1
1. Izraqunati graniqne vrednosti:
a) limn→∞
n
√cos 1 cos
1
3cos
1
32· · · · · cos 1
3nb) lim
n→∞
(n
2019
)n−2019 (20)
2. Ispitati konvergenciju reda u zavisnosti od realnih parametara a i p.∞∑n=1
(a2 − 1)n
np, a, p ∈ R. (20)
3. Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije f(x) =x+ 1√
x2 + 2x− 3. (30)
4. a) Izraqunati integral∫
cosx dx
sin4 x− sin3 x− sinx+ 1. (10)
b) Izraqunati povrxinu figure odre�ene relacijama:
x2 + y2 ≤ 4x , |y| ≥√3 . (20)
GRA�EVINSKI FAKULTET 8.2.2019.UNIVERZITETA U BEOGRADU
MATEMATIQKA ANALIZA 1
1. Izraqunati graniqne vrednosti:
a) limn→∞
(2√n− 1
2√n
)n(√4n−1−2
√n)
b) limn→∞
(3√8n3 + 3n2 − 1−
√4n2 + 3n+ 1
)(20)
2. Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije f(x) = arccos1− x
1− 2x. (30)
3. Odrediti Maklorenov polinom qetvrtog stepena za funkciju f(x) = cos(tg x) .Primenom dobijenog razvoja izraqunati graniqnu vrednost
limx→0
cos(tg x)−√1− x2
x4. (20)
4. a) Izraqunati integral∫
cos5 x
sin3 x+ 1dx . (15)
b) Deo krive y =1
x2 + 3, gde je x ∈ [1,
√3 ] rotira oko x-ose. Izraqunati
zapreminu tako dobijenog rotacionog tela. (15)
GRA�EVINSKI FAKULTET 8.2.2019.UNIVERZITETA U BEOGRADU
MATEMATIQKA ANALIZA 1
1. Izraqunati graniqne vrednosti:
a) limn→∞
(2√n− 1
2√n
)n(√4n−1−2
√n)
b) limn→∞
(3√8n3 + 3n2 − 1−
√4n2 + 3n+ 1
)(20)
2. Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije f(x) = arccos1− x
1− 2x. (30)
3. Odrediti Maklorenov polinom qetvrtog stepena za funkciju f(x) = cos(tg x) .Primenom dobijenog razvoja izraqunati graniqnu vrednost
limx→0
cos(tg x)−√1− x2
x4. (20)
4. a) Izraqunati integral∫
cos5 x
sin3 x+ 1dx . (15)
b) Deo krive y =1
x2 + 3, gde je x ∈ [1,
√3 ] rotira oko x-ose. Izraqunati
zapreminu tako dobijenog rotacionog tela. (15)
GRA�EVINSKI FAKULTET 16.3.2019.UNIVERZITETA U BEOGRADU
MATEMATIQKA ANALIZA 1
1. Ispitati konvergenciju redova:
a)∞∑n=1
1n√n!
b)∞∑n=1
2nn!
nnc)
∞∑n=1
(−1)n√√
n+ 1−√n (20)
2. Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije
f(x) =3
√x2
x+ 1. (30)
3. Odrediti Maklorenov razvoj petog stepena za funkciju
f(x) =1 + x− x2
1 + x+ 2x2. (20)
4. Izraqunati integrale:
a)
∫ln(√x+ 1 +
√x ) dx b)
∫ π/2
0
dx
(2 + cos x)2(30)
GRA�EVINSKI FAKULTET 16.3.2019.UNIVERZITETA U BEOGRADU
MATEMATIQKA ANALIZA 1
1. Ispitati konvergenciju redova:
a)∞∑n=1
1n√n!
b)∞∑n=1
2nn!
nnc)
∞∑n=1
(−1)n√√
n+ 1−√n (20)
2. Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije
f(x) =3
√x2
x+ 1. (30)
3. Odrediti Maklorenov razvoj petog stepena za funkciju
f(x) =1 + x− x2
1 + x+ 2x2. (20)
4. Izraqunati integrale:
a)
∫ln(√x+ 1 +
√x ) dx b)
∫ π/2
0
dx
(2 + cos x)2(30)
GRA�EVINSKI FAKULTET 8.6.2019.UNIVERZITETA U BEOGRADU
MATEMATIQKA ANALIZA 1
1. Ispitati konvergenciju redova:
a)∞∑n=1
(n!)3
(3n)!b)
∞∑n=1
√n
n+ lnnc)
∞∑n=2
ln
(1 +
(−1)n√n
)(20)
2. Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije
f(x) =|x− 1|3
(x+ 1)2. (30)
3. Odrediti realnu konstantu c i prirodan broj n tako da va�i:√1− 2x− 3
√1− 3x = cxn + o(xn) , x→ 0 .
Ako je f(x) =√1− 2x− 3
√1− 3x, odrediti f (n)(0). (20)
4. Izraqunati integrale:
a)
∫arccosx
x2dx b)
∫ 3/4
0
dx
(x+ 1)√1 + x2
(30)
GRA�EVINSKI FAKULTET 8.6.2019.UNIVERZITETA U BEOGRADU
MATEMATIQKA ANALIZA 1
1. Ispitati konvergenciju redova:
a)∞∑n=1
(n!)3
(3n)!b)
∞∑n=1
√n
n+ lnnc)
∞∑n=2
ln
(1 +
(−1)n√n
)(20)
2. Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije
f(x) =|x− 1|3
(x+ 1)2. (30)
3. Odrediti realnu konstantu c i prirodan broj n tako da va�i:√1− 2x− 3
√1− 3x = cxn + o(xn) , x→ 0 .
Ako je f(x) =√1− 2x− 3
√1− 3x, odrediti f (n)(0). (20)
4. Izraqunati integrale:
a)
∫arccosx
x2dx b)
∫ 3/4
0
dx
(x+ 1)√1 + x2
(30)
GRA�EVINSKI FAKULTET 29.6.2019.UNIVERZITETA U BEOGRADU
MATEMATIQKA ANALIZA 1
1. Ispitati konvergenciju redova:
a)∞∑n=1
(n!)2
(2n)!!b)
∞∑n=1
(−1)n n2
lnn 3c)
∞∑n=1
arctg(−1)n (20)
2. Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije
f(x) =3√x2 (x+ 1)3 . (30)
3. Ispitati neprekidnost i diferencijabilnost funkcije:
f(x) =
{arctg x , |x| ≤ 1 (20)π4sgnx+ x−1
2, |x| > 1
4. Izraqunati integrale:
a)
∫sinx cosx
sin4 x+ cos4 xdx b)
∫ π
0
e−x cosnx dx , n ∈ N . (30)
GRA�EVINSKI FAKULTET 29.6.2019.UNIVERZITETA U BEOGRADU
MATEMATIQKA ANALIZA 1
1. Ispitati konvergenciju redova:
a)∞∑n=1
(n!)2
(2n)!!b)
∞∑n=1
(−1)n n2
lnn 3c)
∞∑n=1
arctg(−1)n (20)
2. Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije
f(x) =3√x2 (x+ 1)3 . (30)
3. Ispitati neprekidnost i diferencijabilnost funkcije:
f(x) =
{arctg x , |x| ≤ 1 (20)π4sgnx+ x−1
2, |x| > 1
4. Izraqunati integrale:
a)
∫sinx cosx
sin4 x+ cos4 xdx b)
∫ π
0
e−x cosnx dx , n ∈ N . (30)
GRA�EVINSKI FAKULTET 25.8.2019.UNIVERZITETA U BEOGRADU
MATEMATIQKA ANALIZA 1
1. Odrediti graniqne vrednosti:
a) limn→∞
(−2)n − 3 · 5n
5n+1 − (−2)nb) lim
n→∞
1 + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) + · · ·+ (1 + 2 + · · ·+ n)
n3(20)
2. Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije
f(x) = arctgx− 1
x+ 1. (30)
3. Odrediti Maklorenove polinome qetvrtog stepena za funkcije f(x) = ecosx ig(x) = e
√1−x2. Zatim izraqunati:
L = limx→0
ecosx − e√1−x2
x4. (20)
4. Izraqunati integrale:
a) I =
∫arcsin2 x dx b) Jn =
∫ +∞
1
dx
xn√x− 1
, n ∈ N . (30)
GRA�EVINSKI FAKULTET 25.8.2019.UNIVERZITETA U BEOGRADU
MATEMATIQKA ANALIZA 1
1. Odrediti graniqne vrednosti:
a) limn→∞
(−2)n − 3 · 5n
5n+1 − (−2)nb) lim
n→∞
1 + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) + · · ·+ (1 + 2 + · · ·+ n)
n3(20)
2. Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije
f(x) = arctgx− 1
x+ 1. (30)
3. Odrediti Maklorenove polinome qetvrtog stepena za funkcije f(x) = ecosx ig(x) = e
√1−x2. Zatim izraqunati:
L = limx→0
ecosx − e√1−x2
x4. (20)
4. Izraqunati integrale:
a) I =
∫arcsin2 x dx b) Jn =
∫ +∞
1
dx
xn√x− 1
, n ∈ N . (30)
GRA�EVINSKI FAKULTET 12.9.2019.UNIVERZITETA U BEOGRADU
MATEMATIQKA ANALIZA 1
1. Ispitati apsolutnu i uslovnu konvergenciju redova:
a)∞∑n=2
(−1)nlnn+ arctg( 1
n)
n, b)
∞∑n=1
(p2 − 8)n
2n+ 3, p ∈ R. (20)
2. Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije
f(x) = ln
∣∣∣∣x− 1
x+ 1
∣∣∣∣ . (30)
3. Koriste�i se Maklorenovim razvojima izraqunati:
limx→0
1− cosx√cosx 4
√cosx
x2. (20)
4. Izraqunati integrale:
a)
∫sin4 x cosx
(1 + sin x)3dx b)
∫ +∞
0
e−nx sin2 2x dx , n ∈ N . (30)
GRA�EVINSKI FAKULTET 12.9.2019.UNIVERZITETA U BEOGRADU
MATEMATIQKA ANALIZA 1
1. Ispitati apsolutnu i uslovnu konvergenciju redova:
a)∞∑n=2
(−1)nlnn+ arctg( 1
n)
n, b)
∞∑n=1
(p2 − 8)n
2n+ 3, p ∈ R. (20)
2. Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije
f(x) = ln
∣∣∣∣x− 1
x+ 1
∣∣∣∣ . (30)
3. Koriste�i se Maklorenovim razvojima izraqunati:
limx→0
1− cosx√cosx 4
√cosx
x2. (20)
4. Izraqunati integrale:
a)
∫sin4 x cosx
(1 + sin x)3dx b)
∫ +∞
0
e−nx sin2 2x dx , n ∈ N . (30)
GRA�EVINSKI FAKULTET 19.1.2019.UNIVERZITETA U BEOGRADU
Matematiqka analiza 1 - Popravni kolokvijumi
1. Izraqunati:
a) limn→∞
(3√1 + n2 +
3√1− n2
)b) lim
n→∞n
√cos 1 cos
1
3cos
1
32· · · cos 1
3n(4)
2. Ispitati konvergenciju redova:
a)∞∑n=1
sin 120191
·sin 1
220192
· · · ·sin 1
n2019n
b)∞∑n=1
(a2 − 1)n
n3, a ∈ R (5)
3. Dokazati da red∞∑n=1
1
ndivergira. (1)
4. Izraqunati: limx→0
4√cos 3x− 3
√cos 4x
x2. (2)
5. Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije f(x) =x+ 1√
x2 + 2x− 3. (4)
6. Odrediti Maklorenov polinom qetvrtog stepena za funkciju f(x) = esinx, azatim izraqunati
limx→0
ex − esinx − x3
6
x4. (3)
7. Dokazati da za x 6= 0 va�i: arctg x+ arctg1
x=π
2· sgnx . (1)
8. Izraqunati integrale:
a)∫ex ln
1− ex
1 + exdx b)
∫cosx dx
sin4 x− sin3 x− sinx+ 1(5)
9. Izraqunati povrxinu figure odre�ene relacijama:
x2 + y2 ≤ 4x , |y| ≥√3 . (4)
10. Na�i rekurentnu formulu za raqunanje integrala
In =
∫ π/4
0
tg2n xdx , n ∈ N . (1)