Hotelling Modelle Lineares Hotelling Preismodell · Monopol Duopol Supply Chains Strategische...

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Monopol

Duopol

Supply Chains

StrategischeLagerhaltung

Anreize fürManager

Terminmärkte

HotellingLineares Hotelling Modell

Kreis Hotelling Modell

Sequentieller Markteintritt

Hotelling ModelleLineares Hotelling Preismodell

Abdolkarim Sadrieh Unternehmensinteraktion 188

Monopol

Duopol

Supply Chains

Anreize fürManager

Terminmärkte

AnnahmenI Die Nachfrage für ein homogenes Gut stammt

aus einer linearen StadtI Länge: L > 0I An jeder Stelle der Stadt x ∈ [0,L] befindet sich

genau ein KonsumentI Jeder Konsument fragt genau eine Einheit nach

I 2 Anbieter (A und B)I Vorgegebene Lokationen a und L−bI Es gilt a und (L−b) ∈ [0,L]I Symmetrische Kostenstruktur beider Anbieter

Ki = k ∗qi + F und i ∈ [A,B]

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Terminmärkte

Annahmen

I Um zu Anbieter A zu gelangen, muss Konsument xdie Strecke |x−a| zurücklegen

I Um zu Anbieter B zu gelangen die Strecke|x− (L−b)|

I Es entstehen lineare Entfernungskosten in Höhevon t ∗ z

I Wobei t den Entfernungskostenfaktor und z dieEntfernung darstellt

Monopol

Duopol

Supply Chains

Anreize fürManager

Terminmärkte

Annahmen

I Lösung durch RückwärtsinduktionI Stufe 2: Kunden wählen den Anbieter bei dem sie

das Gut kaufen möchtenI Dabei berücksichtigen sie die Preise beider

Anbieter und die Entfernungskosten

I Stufe 1: Die Anbieter wählen ihre Preise, um ihrenGewinn zu maximieren

Monopol

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Terminmärkte

Stufe 2

I Die Nutzenfunktion des Konsumenten x ist

{−pA− t |x−a| , falls x bei A kauft−pB− t |x− (L−b)| , falls x bei B kauft

I Konsument x ist zwischen A und B indifferentI Es gilt:

−pA− t(x−a) =−pB− t(L−b− x)

I Wenn sich A und B an der gleichen Stelle befindensetzt ein extremer Preiswettbewerb ein

I Es wird im Folgenden angenommen, dass A und B„weit genug“ voneinander entfernt sind

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Terminmärkte

Stufe 1

I Alle Kunden „links“ von x werden bei A kaufen,alle „rechts“ von x werden bei B kaufen

I Durch Umformen der Indifferenzbedingung ergibtsich die Nachfrage für A

qA = x =pB−pA

L−b + a2

I Entsprechend ergibt sich die Nachfrage für B

qB = L− x =pA−pB

L + b−a2

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Terminmärkte

Stufe 1I Maximierung der Gewinnfunktion für Anbieter A:

(pB−pA

L−b + a2

)(pA−k)−F

I Notwendige Bedingung:

0 =pB−2pA + k

L−b + a2

I Reaktionsfunktion von Anbieter A

pA (pB) =pB + k

(L−b + a) t2

I Analog wird die Reaktionsfunktion für Anbieter Bermittelt

pB (pA) =pA + k

(L + b−a) t2

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Terminmärkte

Stufe 1

I Gleichgewicht im Schnittpunkt derReaktionsfunktionen

I Preise der Anbieter

pA =(3L−b + a) t

3+ k ; pB =

(3L + b−a) t3

I Gleichgewichtsmengen

qA = x =3L−b + a

6; qB = L− x =

3L + b−a6

I Gleichgewichtsgewinn

πA =t (3L−b + a)2

18−F ; πB =

t (3L + b−a)2

18−F

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Terminmärkte

Diskussion

I Der gleichgewichtige Gewinn von A steigt,I je höher die Entfernungskosten t sind,I je kleiner b istI je größer a ist.

I Das gilt analog für den Gewinn von Anbieter BI Die hergeleiteten Gleichgewichte gelten nur,

I wenn Lokationen exogen vorgegeben sind undI wenn Entfernungskosten linear sind.

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Endogene Lokationswahl

I Es wird weiterhin ein lineares Hotelling Preismodellangenommen

I Bei endogener Lokationswahl optimiert derAnbieter seinen Gewinn in zwei Stufen

I Erste Stufe: Wahl der LokationenI Zweite Stufe: Preissetzung

I Bei linearen Entfernungskosten gibt es keinGleichgewicht in reinen Strategien

I Wenn die Lokationen nahe aneinander liegen,haben die Anbieter Anreize auseinander zu gehen

I Wenn die Lokationen weit von einander entferntsind, haben die Anbieter Anreize aufeinander zuzugehen

I Bei quadratischen Entfernungskosten wird derhöchste Grad der Differenzierung gewählt

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Terminmärkte

Annahmen

I Im gegensatz zu dem linearen Hotelling Modell istdie Anzahl der Anbieter (N) endogen

I Alle Anbieter 1...N sind symmetrischI Symmetrische Kostenfunktion

Ki = k ∗qi + F und i ∈ [0...N]

I Anbieter sind gleichmäßig auf einem Kreis verteiltI Der Kreisumfang ist 1I Der Abstand zwischen zwei Anbietern ist 1

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Terminmärkte

AnnahmenI Es entstehen für den Kunden lineare

Entfernungskosten in Höhe von t ∗ zI Wobei t den Entfernungskostenfaktor und z die

Entfernung darstelltI Die Konsumenten sind gleichmäßig auf dem Kreis

vertreiltI Jeder Konsument fragt genau eine Einheit nachI Aufgrund der Symmetrie kann angenommen

werden, dass p2 = pN = p

pN= p p2 = p

Käufer von Anbieter 1

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Terminmärkte

Annahmen

I Lösung durch RückwärtsinduktionI Stufe 3: Kunden wählen den Anbieter bei dem sie

das Gut kaufen möchtenI Dabei berücksichtigen sie die Preise der Anbieter

und die Entfernungen

I Stufe 2: Die Anbieter wählen ihre Preise, um ihrenGewinn zu maximieren

I Stufe 1: Markteintrittsentscheidung der AnbieterI Es werden so viele Anbieter in den Markt

eintreten, bis der Gewinn gleich 0 ist

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Terminmärkte

Stufe 3

I Der Kunde x wird ermittelt, der zwischen Anbieter1 und Anbieter 2 indifferent ist

I Für den indifferenten Kunden x gilt:

p1 + t x = p + t(1N− x).

I Daraus folgt:

x =p−p1

I Alle Kunden links von x kaufen von Anbieter 1, alleKunden rechts von x kaufen bei Anbieter 2

I Analog kann der indifferente Kunde für alleAnbieter ermittelt werden

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Terminmärkte

Stufe 2

I Anbieter 1 bedient sowohl Kunden die links alsauch Kunden die rechts von ihm liegen

I Die Nachfrage von Anbieter 1 ergibt sich als:

q1(p1,p) = 2x =p−p1

I Der Anbieter wählt seinen Preis

π1 = (p1−k)(p−p1

I Notwendige Bedingung

0 =p−2p1 + k

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Terminmärkte

Stufe 2

I In einem symmetrischen Gleichgewicht gilt:

p1 = p2 = ... = pN = p.

I Einsetzten in die notwendige Bedingung ergibt:

p = k +tN.

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Terminmärkte

Stufe 1

I Im Gleichgewicht werden genau so vieleAnbieter in den Markt eintreten, dass alle AnbieterNullgewinne generieren

I Solange positive Gewinne generiert werdenkönnen, treten weitere Marktteilnehmer ein

I Bei negativen Gewinnen werden Anbieter ausdem Markt austreten

I Bei Nullgewinnen besteht weder ein Anreiz ausdem Markt auszutreten noch in den Markteinzutreten

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Terminmärkte

Stufe 1I Die optimale Anzahl an Unternehmen wird

ermittelt indem der Gewinn eines einzelnenAnbieters i nullgesetzt wird

πi = (p−k)1N−F =

tN2 −F !

I Damit ergibt sich die optimale Anzal vonAnbietern N als:

√tF.

I Das resultiert in folgenden gleichgewichtigenPreisen und Mengen:

p = k +√

tF , q =tF

− 12

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Terminmärkte

Wohlfahrtseffekte

I Die optimale Anbieteranzahl N aus demHotelling-Modell übersteigt dieWohlfahrtsmaximierenden Anzahl

I Um die Wohlfahrt zu maximieren wird die Summeaus den Transportkosten des durchschnittlichenKunden 1

4N und der insgesamt anfallendenFixkosten L minimiert

L(F , t ,N) = N ∗F +t

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Terminmärkte

Wohlfahrtseffekte

I Notwendige Bedingung

0 = F − t4N2

I Daraus folgt, dass die WohlfahrtsmaximierendeAnzahl an Anbieter N kleiner ist als dieAnbietermenge N im Gleichgewicht des linearenHotelling Modells

√tF<

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Terminmärkte

Hotelling Modell mit sequentiellem Markteintritt

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Terminmärkte

Annahmen

I Preise sind gleich und fix vorgegebenI Zur Vereinfachung wird p = 1 angenommen

I 3 Anbieter befinden sich in einer linearen StadtI Länge der Stadt = 1I Sequentielle Positionswahl der Anbieter

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Terminmärkte

Annahmen

I Lösung per RückwärtsinduktionI Stufe 3: Anbieter 3 Entscheidet über seine PositionI Stufe 2: Anbieter 2 Entscheidet über seine PositionI Stufe 1: Anbieter 1 Entscheidet über seine Position

I Zur Vereinfachung wird angenommen, dassAnbieter 1 die Position x1 = 1

4 wählt

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Terminmärkte

Stufe 3

I Die Entscheidung von Anbieter 2 kann in 3Intervallen liegen:

1. x2 = 14 − ε

2. 14 < x2 < 3

43. x2 ≥ 3

I Für jedes Intervall ergibt sich eineBeste-Antwort-Funktion für Anbieter 3

BA(Intervall1) : x3 =14

BA(Intervall2) : x3 = x2 + ε

BA(Intervall3) : x3 =x2−x1

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Terminmärkte

Stufe 2

x1x2 x3

π ≈ 334

π ≈1.

x1 x2 2

−π ≈ 3 21 xπ ≈ −

x1 x22 3

2 2x x1 x

π ≈ − +2

−π ≈

1/4 2 23/4

I Gegeben der Reaktion von Anbieter 3 wähltSpieler 2 seine Position

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Terminmärkte

Stufe 2

I Anbieter 2 wählt Intervall 3I Gewinn von Anbieter 2 in Intervall 3:

π2 = 1−x2 +x2−x3

I Innerhalb dieses Intervalls wählt Anbieter 2 diePosition

x2 =34

Monopol

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Terminmärkte

Gleichgewicht

I Im Gleichgewicht gilt:

x1 =14, π1 =

x2 =34, π2 =

x3 =12, π3 =

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