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1
Jean-Pierre Richard
Centrale Lille
UMR
Equipe-Projet
jean-pierre.richard@ec-lille.fr
Master SMaRT – septembre 2016
http://researchers.lille.inria.fr/~jrichard
pdf disponible sur : http://chercheurs.lille.inria.fr/~jrichard/enseignement.htm
© J.P. RICHARD 2016
voir aussi le livre en téléchargement https://hal.inria.fr/hal-00519555/
About CRIStAL...
[CRIStAL, May 2016]
approx. 450 people
organized in 9 Groups
UMR 9189
+Inocs
(today)
team
CFHPjoint team
DEFROSTteam
SYNER
G T C O 2
‘A’
joint
project-
team
NON-A
Presently
3 teams :■ Symbolic computation, high performance [CFHP] F. Boulier
■ Soft robots [DEFROST - Inria] C. Duriez
■ Hybrid, nonlinear, delay systems [SYNER & NON-A – Inria] L. Belkoura
29 perm.staff [3DR+7PU, 7CR+9MC, 3 IR]
31 non perm. [23 PhD, 6 Post-Doc, 2 Ingés]
Recent staff movements (2016) :
■ +2 perm.
o 1 researcher (CR2 Inria)
o 1 engineer (IR Inria)
■ +3 PhD std
o 2 defenses in 2016
o 5 starting 2016-2017
■ -2 post-doc
o 3 out
o 1 in
People & structure
3 teams :■ Symbolic computation, high performance [CFHP] F. Boulier
■ Soft robots [DEFROST - Inria] C. Duriez
■ Hybrid, nonlinear, delay systems [SYNER & NON-A – Inria] L. Belkoura
29 perm.staff [3DR+7PU, 7CR+9MC, 3 IR]
31 non perm. [23 PhD, 6 Post-Doc, 2 Ingés]
People & structure
Key strengths and expertise:
■ Interdisciplinarity challenge: [auto + info + maths] for dynamical systems
o robust control and estimation, finite-time convergence
o real-time modeling for control of deformable robots
o symbolic computation, high performance computing, parameter estimation
■ Broad range of application fields:
o Cyber-physical systems, communication, computing: embedded/networked, IoT, crypto, exascale...
o Robotics: soft robots, collaboration, interaction, surgery, handicap, teleoperation
o Fluid mechanics and micro/nano-tech: boundary layer control (Onera-LML-IEMN)
o Biology and information: biologial modelling, ‘living sensors’
o Electrical engineering: power converters, sensorless control…
3 teams :■ Symbolic computation, high performance [CFHP] F. Boulier
■ Soft robots [DEFROST - Inria] C. Duriez
■ Hybrid, nonlinear, delay systems [SYNER & NON-A – Inria] L. Belkoura
28 perm.staff [3DR+7PU, 6CR+9MC, 3 IR]
24 non perm. [17 PhD, 6 Post-Doc, 2 Ingés]
People & structure
Key strengths and expertise:
■ Interdisciplinarity challenge: [auto + info + maths] for dynamical systems
o robust control and estimation, finite-time convergence
o real-time modeling for control of deformable robots
o symbolic computation, high performance computing, parameter estimation
■ Broad range of application fields:
o Cyber-physical systems, communication, computing: embedded/networked, IoT, crypto, exascale...
o Robotics: soft robots, collaboration, interaction, surgery, handicap, teleoperation
o Fluid mechanics and micro/nano-tech: boundary layer control (Onera-LML-IEMN)
o Biology and information: biologial modelling, ‘living sensors’
o Electrical engineering: power converters, sensorless control…
model analysis,
exact manipulation,
exact resolution
offline / before of after
« control »
plan and track some trajectory
online / real-time
« soft sensors »
obtain unmeasured data
online / real-time
num. simulation
inversion output input
online / real time
Collaborative SLAM (2014) Autonomous wheelchair (2013) Soft robot 3D (2015)
Online estimation (2014) 4 cops and 1 thief (2013) Teleoperation over IP (2012)
Internet of Oysters (2015) Eliminate/Integrate over Maple Nonlinear underactuated (2007)
Active flow control (ongoing) HMI (ongoing) Indoor blimp (ongoing)
Surveillance of area (2015)
Assistance to person (2016) Drones under perturb. (ongoing) xxx
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Jean-Pierre Richard
Centrale Lille
UMR
Equipe-Projet
jean-pierre.richard@ec-lille.fr
Master SMaRT – septembre 2016
http://researchers.lille.inria.fr/~jrichard
pdf disponible sur : http://chercheurs.lille.inria.fr/~jrichard/enseignement.htm
© J.P. RICHARD 2016
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PLAN D’ENSEMBLE
1. Introduction
2. Basic notions
3. Stability
4. Controllability
5. Observability
6. Delay systems
7. Distributions
© J.P. RICHARD 2016
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Plan plus détaillé…1. Introduction- various examples, including chaotic systems, delay systems…
2. Basic notions- definitions of solutions, flows, transients and invariant solutions, phase portrait
- equilibrium points, periodic solutions, limit cycles
- Lipschitz systems and existence/uniqueness of solutions
- autonomous/time-varying, linear/nonlinear models
- Lie brackets and commutativity of flows
3. Stability- Lyapunov stability, attractivity, attractivity does not imply stability
- exponential stability, stability of linear systems
- absolute stability, BIBO stability
- different criteria of stability of linear systems in different norms (continuous / discrete time)
- Aizerman's conjecture in the nonlinear case
- 1st Lyapunov method, limitations, center manifold theorem
- 2nd Lyapunov method, Lyapunov functions for stability and instability, Chetaev function
4. Controllability- general definition
- linear case, verification for linearization, nonlinear case, accessibility
- difference between controllability and stabilizability
5. Observability- see next page…
© J.P. RICHARD 2016
J.P. Richard 8h cours
+ C. Fiter 4h TD
D. Efimov
0h cours + 2h TD
C. Fiter
6h cours + 4h TD
13
Plan plus détaillé…
5. Observability- general notions: state, input, parameters
- model-based vs model-free techniques (geometric vs algebraic frameworks)
- linear systems: definitions (observability, detectability...), full and reduced order observers
- nonlinear case by linearization
- observability, distinguishability and identifiability in nonlinear case
- observer design for nonlinear systems: high-gain, finite-time observer via homogeneity
- adaptive observers
- differentiation algorithms
6. Delay systems- examples, motivation from networked control systems and (a)periodic sampling problems
- Lipschitz conditions in the delayed case
- analysis of FDE: operators, geometry, algebra formalisms
- Smith predictor
- stability, Lyapunov-Krasovskii and Lyapunov-Razumikhin approache
7. Distributions- mathematical tools, applications
© J.P. RICHARD 2016
D. Efimov
10h cours + 2h TD
C. Fiter
2h Cours + 2h TD
J.P. Richard
2h cours
L. Belkoura 4h Cours
© J.P. RICHARD 2016
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1- Introduction :
15
Petit rappel sur les systèmes lagrangiens…
1- Introduction : exemple mécanique 1
d frottement
l longueur
m masse
u couple moteur
q angle
g gravité
g
m
u
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16
1- Introduction : exemple mécanique 1
NB : inversible etc.
exempleacadémique,et... inutile ?
G
M
m
F
x
2l
© J.P. RICHARD 2016
17
B2, projet IMARA, juin 2003
G
M
m
F
x
2l
mais aussi… (2010)
Puma 2009 (GM)
2003
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1- Introduction : exemple mécanique 3
x 1
x 2 ò
u2
u1
Monocycle simplifié : entrées = vitesses (pas d’inertie), pas de glissement…(modèle cinématique, pas modèle dynamique)
on
modélise
ça…
mais pas
ça
© J.P. RICHARD 2016
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1- Introduction : exemple mécanique 3bis
Monocycle simplifié (modèle cinématique, entrées = vitesses)
v1v2
x2
x1
q
u1
u1=1/2(v1+v2)u2=1/2(v1 -v2)2005
© J.P. RICHARD 2016
2004
20
1- Introduction : exemple mécanique 4
q
u1 u2
Tricycle (simplifié)
x2
x1
© J.P. RICHARD 2016
21
1- Introduction : exemple électrique 1
Moteur Courant Continu (sortie = position)
courant rotorique (armature)
vitesse angulaire (armature)
position angulaire
flux inducteur (stator)
tension rotorique (armature)
gain moteur («fem/vitesse»)
inertie, frot. charge
résist., self rotoriques
© J.P. RICHARD 2016
22
1- Introduction : exemple électrique 2
Moteur Shunt x1 position angulaire
x2 vitesse angulaire
x3 courant armature
© J.P. RICHARD 2016
23
1- Introduction : exemple électrique 3
Moteur Pas-à-Pas (modélisé dans le repère de Park)
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1- Introduction : exemple en GdP
© J.P. RICHARD 2016
24
S
cA cB
25
Autres exemples …
© J.P. RICHARD 2016
Site JPR pictures/video movies
Boston Dyn.
BigDog
DARPA
Jap-Fr
HRP2 2006
(planif !)
Boston Dyn.
Atlas 2015
DARPA
Boston Dyn.
Atlas 2016
DARPA
Boston Dyn.
Spot 2016
DARPA
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1- Introduction : exemple en écologieProies-Prédateurs (Lotka-Volterra)
Nbre Herbivores : x seuls : dx/dt = ax, (a > 0)
Nbre Carnivores : y seuls : dy/dt = - by , (b > 0)
Herbivores
Carnivores
ensemble dx/dt = ax - cxy (a,b,c,d > 0)
dy/dt = -by + dxy
Vito Volterra (1860-1940), mathématicien, fondateur de l’analyse fonctionnelle, systèmes héréditaires.
Alfred James Lotka, chimiste : « Elements of Physical Biology », 1925.
NB : Volterra avait remarqué que
(simu)… sacré Vito !… sacré Vito !
x
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27
x
h y
1- Introduction : exemple en écologie (suite)
Modèle proies-prédateurs à 3 espèces :
Plants d’herbe : h seuls :
Gazelles : x seuls :
Lions : y seuls : simu…(herbe seule)
saturationanalyse ?
ensemble
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© J.P. RICHARD 201628
1- Introduction : exemple en météorologie
Mêmes CI xyz (t0 ≠)Credit: W. Perruquetti
Sensibilité aux C.I. pressentie vers 1875 par James Clerk Maxwell (1831-1879) puis Henri Poincaré.
Lorenz (Edward Norton Lorenz, météorologiste, 1917- ?) étudie en 1963 l’équation déterministe :
(modèle très simplifié desécoulements dans l’atmosphère)
Chaos : pour C.I. , solutions
pas de cycle limite !
Même t0CI xyz #
29
1- Introduction : attracteur étrange issu du chaos
Section de Poincaré d’un attracteur étrange (ici, cas d’un pendule forcé) :
La permanence d’une même structuration à différentes échelles signe un objet fractal.
(a) Représentation globale de l’attracteur : structure feuilletée et repliements.
(b) Agrandissement de la partie encadrée : topologie semblable à celle de l’attracteur dans sa totalité.
© J.P. RICHARD 2016
30
1- Introduction : un autre exemple de chaos
Attracteur de Rösler :
Question: à partir de quel ordre d’équation différentielle peut-on rencontrer ce type de comportement ?
dx/dt = - x - y
dy/dt = x + 0.2y
dz/dt = 0.2 - 5.8z + xz
© J.P. RICHARD 2016
rythme gouttes d’eau, rythmes cardiaques, etc.
31
1- Introduction : un autre exemple de chaos
Système scalaire discret :
Pour quelles valeurs de aa-t-on un phénomène de chaos ?
(click me…)
Valeurs d’adhérence xi
(oh, click me again…)
x densité de population
en début d’année n
f facteur de fécondité,
r ressources nutritives
x(n +1) = f r x(n)
r = r (x) = k (1 - x)
« FONCTION LOGISTIQUE »
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a
Nbre val.adh.
mi
d'après le nom du physicien-mathématicien Mitchell Jay Feigenbaum, PhD MIT 1970 (Feigenbaum = figuier en allemand)
Nombre de Feigenbaum : les mi étant les a de bifurcation, on a une constante d
qui s’avère commune à d’autres systèmes, comme
=
4,66920160910299067185320382…
« arbre de Feigenbaum »
32
Un ptit dernier ?
moteurtension u angle mesuré x
angle
voulu
x = 0
+-
écart
e = 0 – x
© J.P. RICHARD 2016
© J.P. RICHARD 201633
Un ptit dernier ? (suite)
moteur embarqué
(satellite)
u angle mesuré x(t)
+-
ligne de com. retard h/2
ligne de com. retard h/2
angle
voulu
xc = 0
angle transmis x(t-h/2)
e
commande
transmise e(t-h/2)
simu
h =1.5
et un lien chaos-retard
© J.P. RICHARD 2016
34
simu
Retard : un vieux sujet ? (1)(S
pringer,
2006)
voir aussi http://www.journals.elsevier.com/automatica/most-downloaded-articles
PhD en cours (Feingesicht + Polyakov, Kerhervé, Richard + IEMN, LML, Onera, LAMIH, etc.)
estimation
algorithmPROCESSse
nso
rs
modelling
errorsmeasurement
noises
actu
ato
rs
control
algorithm
Desired behavior
Modèles ?
- Navier Stokes...
- non linéaire + retard(s)
Retard : un vieux sujet ? (2)
37
2 EDO : Équations Différentielles Ordinaires
Équations différentielles ordinaires (EDOs) :
(E)
* f continue intégrale classique
f mesurable intégrale au sens de Lebesgue ( dérivée de p.p.)
intervalles de IR et de IRn
© J.P. RICHARD 2016
E
Problème de Cauchy (PC) :
intervalle centré en t0
38
(2- EDO, suite)
(E)
Définition :On appelle solution de (E) passant par x0 à t0 toute fonction :
- définie sur un intervalle non vide contenant t0 :
- absolument continue* (dérivable presque partout),
- vérifiant (E) presque partout sur
- et telle que : .
On la notera aussi, plus simplement, .
*
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39
(2- EDO, suite)
Cas « standard » :
Théorème local : valable pour un intervalle de temps centré sur t0Énoncés plus complets et preuves : cf. [RIC02] p. 176-178.
Preuves basées sur approximations des solutions par des suites. © J.P. RICHARD 2016
40
(2- EDO, suite)
Définitions d’ensembles particuliers :
Point d’équilibre :
soit, si unicité de solution :
Ensemble invariant[positivement] :
« J’y suis, j’y reste. » Marie Edmé Patrice Maurice de Mac-Mahon, 1808-1893
« Ce n’est rien, j’y suis, j’y suis toujours… » Jean Nicolas Arthur Rimbaud, 1854-1891
© J.P. RICHARD 2016
41
(2 Outils Mathématiques : EDO, suite)
Question subsidiaire : comment voit-on que
ce comportement n’estpas linéaire ?
Exemple 1 :
! xe = 0oui, mais prouvez-le…
(simu1)
(simu2)
© J.P. RICHARD 2016
42
Exemple 2 :
(2 Outils Mathématiques : EDO, suite)
Remarque : non lipschitzienne pour (essayer ).
Essayer les solutions, :
t0
© J.P. RICHARD 2016
43
Classification des EDO
Non linéaire, Non stationnaire
Non linéaire, Stationnaire Linéaire, Stationnaire (LTI)
Linéaire, Non stationnaire
« stationnaire » = « autonome » = « time invariant »
Périodique si
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Cas particulier NL1 – équations linéaires
44© J.P. RICHARD 2016
Solution ?
sauf si… ?
Cas particulier NL2 – équat. de Lagrange, de Clairaut
45
(d/dt puis dm/dt)
© J.P. RICHARD 2016
© J.P. RICHARD 2016
46
Cas particulier NL3 – équation de Bernouilli
© J.P. RICHARD 2016
47
Cas particulier 3 – équation de Riccati
48
2 Outils mathématiques pour EDO : flot
(un point un point sur la traj.)|
© J.P. RICHARD 2016
Propriétés :Définition :
Exemple :
49
2 Outils Mathématiques : flot, non commutativité
cas linéaire :
Composition de flots : non commutativité
© J.P. RICHARD 2016
on va définir le « commutateur » des flots, ou
crochet de Lie
qui s’annule lorsqu’il y a commutativité.
50
2 Outils mathématiques : crochet de Lie(Lie bracket)
* Marius Sophus Lie, 1842-1899, Norvégien, théorie des groupes continus
*
f,g analytiques
© J.P. RICHARD 2016
51
2 Outils mathématiques : crochet de Lie (suite)
Une interprétation du crochet de Lie en termes de commande :Système affine en la commande et « sans dérive » :
proof?wait a mn!
© J.P. RICHARD 2016
52
2 Outils mathématiques : crochet de Lie (suite)
Cas particulier : système linéaire sans dérive
xç = b1u1 + b2u2
g1 = b1
g2 = b2
© J.P. RICHARD 2016
© J.P. RICHARD 201653
2 Outils mathématiques : crochet de Lie (suite)
?proof?do it
yourself!
CQFD53
2 Outils mathématiques : crochet de Lie (suite)
?proof?
do it yourself! CQFD
xç = g1(x)
© J.P. RICHARD 201654
2 Outils mathématiques : crochet de Lie (suite)
Propriétés de
© J.P. RICHARD 201655
2 Outils mathématiques : crochet de Lie (suite)
© J.P. RICHARD 201656
2 Outils mathématiques : crochet de Lie (suite)
Juste pour l’entrainement…
? ?
© J.P. RICHARD 201657
2 Outils mathématiques : crochet de Lie (suite)
Encore un p’tit, pour la route ?
Satellite sous-actionné
© J.P. RICHARD 201658
Pour que la commande soit « reconfigurable »
quel que soit l’actionneur en panne, il faudra(it) et suffira(it) que :
Remarque sur
© J.P. RICHARD 201659
- 3 -
Comportements asymptotiques :
stabilité, attractivité
© J.P. RICHARD 201660
3 Définitions : stabilité, attractivité
et (globalement) asymptotiquement stables’il est stable et attractif.
© J.P. RICHARD 201661
3 Stabilité (définitions, suite)
attractif stable
?
trop facile…
© J.P. RICHARD 201662
3 Stabilité (définitions, suite)
(simu) (CI auto)
attractif stable
?
… et sans simulation ?
… étudier ?
© J.P. RICHARD 201663
3 Stabilité (définitions, suite)
Définition (suite) :
Le point d’équilibre
est localement attractif si :
exponentiellement stable (localement pour ) si :
© J.P. RICHARD 201664
3 Stabilité (définitions, suite)
Définition (suite) :
© J.P. RICHARD 201665
3 Stabilité (définitions, suite)Exemple 1 :
dx/dt = x - x y
dy/dt = - y + x y
Herbivores
Carnivores
Équation de Lotka-Volterra
Exemple 2 :
Équation… de l’herbe ? dx/dt = x ( 1 - x )
x
t 0
1
© J.P. RICHARD 201666
0
3 Stabilité (définitions, suite)
Équation de Van der Pol
Exemple 3 :
est …
est ... ?
est …
globalement asympt. stable,
localement asympt. stable.
instable, non attractif,
© J.P. RICHARD 201667
Définition (suite) : stabilité absolue
3 Stabilité (définitions, suite)
DéfinitionLe système (1) est absolument stable si, pour tout gain de la famille ,l’équilibre est globalement asymptotiquement stable.
© J.P. RICHARD 201668
(2)
Définition Le système (2) est BIBO-stable si, pour toute entrée u bornée,
la sortie y reste bornée :
Définition (suite) : stabilité BIBO (bounded input, bounded output)
3 Stabilité (définitions, suite)
Cas linéaire :
Pour A, B, C des matrices constantes bornées,
si le spectre de A est dans le demi-plan Re (l) < 0,alors le système (3) est BIBO stable.
(3)
Autrement dit : en linéaire, si y converge vers 0 pour u = 0, alors BIBO OK. Question : est-ce général ? Réponse : …
≠ stabilité « interne »
© J.P. RICHARD 201669
stabilité BIBO (suite)
3 Stabilité (définitions, suite)
Et en non linéaire ? Exemple : (E. Sontag)
(2)
(4)
Donc ici : y converge vers 0 pour u = 0, mais pas BIBO pour autant...
(ici, u tend même vers 0 quand t augmente)
Pas toujours !
© J.P. RICHARD 201670
Stabilité - rappel en linéaire :
Systèmes en temps continu
© J.P. RICHARD 201671
Exemples
Stabilité - rappel en linéaire (suite)
-1
0
© J.P. RICHARD 201672
3. Stabilité (linéaire continu, suite)
(éq. Lyapunov cont.)
© J.P. RICHARD 201673
3. Stabilité (linéaire, suite)
a ii
Ci
a jj
aij
i=j
Cj
Ck
Im
Re0
Pour rappel, critère des cercles de Gershgorine :
© J.P. RICHARD 201674
Stabilité - rappel en linéaire :
Systèmes en temps discret
© J.P. RICHARD 201675
3. Stabilité (linéaire discret, suite)
© J.P. RICHARD 201676
3. Stabilité : problème en NL
Stabilité en NL : mais pourquoi tant de théorie ?
1) La résolution ?
2) La simulation ?
3) La linéarisation ?
© J.P. RICHARD 201677
3. Stabilité : problème en NL (suite)
Conjecture d’Aizerman
Contre-exemple (Pliss, 1956)
© J.P. RICHARD 201178
Alexander Mikhaïlovich
1ère méthode de Lyapunov
Équivalences linéaires locales
2ème méthode de Lyapunov
Méthodes de comparaison
Stabilité : méthodes d’étudenonlinear is kharacho*…
* Le non-linéaire, c’est wonderful…
Mathématicien et physicien russe, membre de l’Académie des sciences.
Après des études à l’université de Saint-Pétersbourg, il est assistant puis
professeur à l’université de Kharkov. En 1902, il est nommé professeur à
l’université de Saint-Pétersbourg. Élève de P. L. Tchebychev, il élabore
dans sa thèse (1892) une méthode générale pour la solution des
problèmes de stabilité. Avant lui, les problèmes de stabilité étaient
habituellement résolus en linéarisant les équations différentielles et en
négligeant tout ce qui était d’ordre supérieur.
© J.P. RICHARD 201679
3. Stabilité : 1ère méthode de Lyapunov
(linéarisé en 0)
© J.P. RICHARD 201680
3. Stabilité (1ère m.L., suite)
Exemple
(’tite simu)
© J.P. RICHARD 201681
3. Stabilité (1ère m.L., suite)
Limites de la 1ère m. L ?
1) Cas critique ( juste stable) non considéréA
1) Théorèmes d’équivalence locale2) 2nde méthode de Lyapunov
1) Cas critique ( juste stable) non considéré
2) Aspect qualitatif seul : sert à «trier» les pts d’équilibre
© J.P. RICHARD 201682
3. Stabilité :
équivalence locale à un champ linéaire
Exemple 1
© J.P. RICHARD 2016
83
3. Stabilité :
équivalence locale à un champ linéaire
Exemple 2
© J.P. RICHARD 201684
3. Stabilité (équiv. locale, suite)Structure d’un flot en linéaire
© J.P. RICHARD 201685
3. Stabilité (équiv. locale, suite)Structure d’un flot en NON linéaire
© J.P. RICHARD 201686
3. Stabilité (équiv. locale, suite)Structure d’un flot en NON linéaire
Théorème 1 : (cas hyperbolique) (1964)
© J.P. RICHARD 201687
3. Stabilité (équiv. locale, suite)Structure d’un flot en NON linéaire
Théorème 2 : (cas hyperbolique)
© J.P. RICHARD 201688
3. Stabilité (équiv. locale, suite)Structure d’un flot en NON linéaire
Théorème 3 : (cas non hyperbolique, enfin !)
Théorème 4 : (toujours le cas non hyperbolique)
??
© J.P. RICHARD 201689
3. Stabilité (équiv. locale, suite)Exemple
Linéarisé :pas de conclusion par la 1ère M.L. (E)
Variété centre :
développement en série de Taylor :
© J.P. RICHARD 201690
3. Stabilité (équiv. locale, suite)Exemple (suite)
Dynamique «réduite» à la variété centre :
Variété centre :
Linéarisé :pas de conclusion par la 1ère M.L. (E)
asymptotiquement stable
(non exponentiellement)
© J.P. RICHARD 201691
3. Stabilité (équiv. locale, suite)Exemple (interprétation)
(E)
Linéarisé, variété centre, système réduit…
Mais, que diable, n’aurait-on pas pu faire plus simple ?
« Ceci est une loupe » (R. Magritte)
asymptotiquement stable(non exponentiellement)
© J.P. RICHARD 201692
3. Stabilité :
2ème méthode de Lyapunov (« méthode directe »)
Étudier la convergence de
sans résoudre cette équation ?xç = f (x); x(0) = x0
Utiliser une « distance » de à l’équilibre , pour se ramener à un système scalaire plus simple (syst. de comparaison).
x(t) xe
© J.P. RICHARD 201693
3. Stabilité (2ème M.L., suite)Principe des « fonctions de Lyapunov »
connu connu
inconnu
© J.P. RICHARD 201694
v(x)=cte
x=0
v(x)=0
3. Stabilité (2ème M.L., suite)Principe des « fonctions de Lyapunov »
vç = grad v(x)[ ]T
f (x; t)Interprétation de
x(t)grad v(x)
© J.P. RICHARD 201695
3. Stabilité : Théorèmes
Notations
Définitions
«définie négative»… c’est pareil dans
l’autre sens.
© J.P. RICHARD 201696
3. Stabilité simple : Théorème
Démonstration ?
(S)
© J.P. RICHARD 201697
3. Stabilité asymptotique : Théorème
Théorème : stabilité asymptotique (Lyapunov, 1892)
L’équilibre du système (S) est asymptotiquement stable s’il existe une
fonction définie positive dont la dérivée (à droite le cas échéant) le
long des traj. (S) soit définie négative.
Démonstration ?
v(x; t )
x = 0
vç(x; t )
v(x(t )) positive, décroissante, ne peut «s’arrêter» ( ) qu’en .vç(x(t )) = 0 x = 0
v(x(t); t ) = v( x ( t0 ) ; t0 ) + Rt0
tvç ( x ( ò) ; ò) dò v( x ( t0 ) ; t0 )
ôR
t 0
tw(x(ò))dò
t > t 0;
x(t )6= 0;
ú
(S)
© J.P. RICHARD 201698
3. Stabilité asymptotique globale : Théorème
x1
x2
(S)
© J.P. RICHARD 201699
3. Stabilité asymptotique exponentielle : Théorème
(S)
© J.P. RICHARD 2016100
3. Stabilité : Fonction de Lyapunov
© J.P. RICHARD 2016101
3. Stabilité : Théorème d’instabilité
x = 0
v(x)=0
v(x)=0
x = 0
v(x)=0
v(x)=0
v<0
v>0
v<0
v>0
v<0
v<0
v<0
v<0
(S)
Démonstration : premier cas évidentdeuxième cas plus amusant
© J.P. RICHARD 2016102
3. Stabilité : principe d’invariance de LaSalle
© J.P. RICHARD 2016103
3. Stabilité locale : domaine d’attraction
Estimation du domaine d’attraction d’un équilibre :(exemple dit « très important »)
(système mécanique à frottement non linéaire)
1ère m.L. As. stable pour .
Points d’équilibre ?
Stabilité ?
Stab. globale ? 2è m.L.
© J.P. RICHARD 2016104
3. Stabilité locale : domaine d’attraction (suite)(suite de l’exemple dit « très important »)
?
00
© J.P. RICHARD 2016105
3. Stabilité locale : Théorème d’estimation du domaine d’attraction
© J.P. RICHARD 2016106
Un petit résumé de la démarche « classique »
© J.P. RICHARD 2016107
3. Stabilité : fonctions candidates
Recherche de fonctions de Lyapunov
fonctions « candidates »
dérivable p.p., à sauts bornés
© J.P. RICHARD 2016108
3. Stabilité : fonctions candidates quadratiques
équation de Lyapunov
Fonctions candidates quadratiques
© J.P. RICHARD 2016109
3. Stabilité : fonctions candidates Holder 1
Max des sommes en colonnes < 0
indice ligne
Norme de Holder 1 (de la somme)
*
*
© J.P. RICHARD 2016110
indice de colonne
3. Stabilité : fonctions candidates de Holder
Norme de Holder (du max)
Max des sommes en lignes < 0
3. Stabilité : exemples
111
Exemple 1
© J.P. RICHARD 2016
© J.P. RICHARD 2016112
3. Stabilité : exemplesExemple 2
CS de stab. asympt. glob. :
Exemple 3
Exemple 4
1
1-1
-1
2-2
-2
2
(inst.)
(inst.)
© J.P. RICHARD 2016113
3. Stabilité : exemplesExemple 5 (pendule sans friction)
(penser énergie…)