Post on 01-Aug-2020
transcript
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего образования
«Сибирский государственный университет геосистем и технологий»
Кафедра высшей математики
СБОРНИК ЗАДАЧ
«ИНТЕГРАЛ»
Сборник задач для контроля самостоятельной работы
студентов 1 и 2 курсов СГУГиТ
Сборник задач составили:
доцент кафедры высшей математики Мартынов Геннадий Павлович,
старший преподаватель кафедры высшей математики Комиссарова Наталья Васильевна
Новосибирск, 2018
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ГЕОСИСТЕМ И ТЕХНОЛОГИЙ»
(СГУГиТ)
Г.П. Мартынов, Н.В. Комиссарова
СБОРНИК ЗАДАЧ
«ИНТЕГРАЛ»
Сборник задач для контроля самостоятельной работы
студентов 1 и 2 курсов СГУГиТ
Новосибирск
СГУГиТ
2018
УДК 517 (075.8)
М 294
Рецензент: кандидат педагогических наук, доцент, НГТУ А.Н. Буров
Мартынов, Г.П.
М 294 Сборник задач «Интеграл» [Электронный ресурс]: сборник за-
дач/ Г.П. Мартынов, Н.В. Комиссарова. – Новосибирск: СГУГиТ, 2018. – 32 с.
Сборник задач составлен доцентом кафедры высшей математики Сибирского
государственного университета геосистем и технологий Г.П. Мартыновым и
старшим преподавателем кафедры высшей математики Новосибирского государ-
ственного технического университета Н.В. Комиссаровой. Сборник предназначен
для контроля самостоятельной работы по теме «Интегральное исчисление функ-
ции одной и нескольких переменных» студентов 1 и 2 курсов всех специальностей
и направлений обучения в СГУГиТ. Он содержит задания для контроля самостоя-
тельной работы студентов по 30 вариантов и примеры решения типовых задач, а
также библиографический список рекомендуемой литературы.
УДК 517 (075.8)
Мартынов Г.П., Комиссарова Н.В., 2018
ОГЛАВЛЕНИЕ
1. Задания для контроля самостоятельной работы студентов …….………….4
1.1.Основные требования к оформлению работы………………………………..4
1.2. Типовые задачи………………………………………………………………..5
2. Примеры решения типовых задач ……………………………………………21
Библиографический список рекомендуемой литературы………………………….32
4
1. Задания для контроля самостоятельной работы студентов
1.1. Основные требования к оформлению работы
Отчетная работа студента по теме «Интеграл» состоит из 7 задач (по 30
вариантов для каждой задачи). Номер варианта, сроки выполнения задания и
срок защиты типового расчёта устанавливаются для студентов преподавателем,
ведущим в группе практические занятия по математике.
Расчётно-пояснительный текст работы выполняется на отдельных лис-
тах формата А-4 чернилами или пастой любого цвета, кроме красного. При вы-
полнении чертежей должны быть использованы необходимые чертёжные инст-
рументы и принадлежности. Чертежи выполняются так, чтобы основная часть
чертежа находилась в центре листа. После окончания работы все листы бро-
шюруются.
Каждая новая задача типового расчёта должна начинаться с новой стра-
ницы, сами же задачи должны располагаться в порядке следования номеров;
решению задачи должно предшествовать условие, которое формулируется не в
общем виде, как в задании, а уже применительно к варианту, по которому рабо-
тает студент. Решение должно сопровождаться подробными выкладками и не-
обходимыми пояснениями. В конце задачи должен быть чёткий ответ.
При невыполнении требований по оформлению работы преподаватель
вправе отказать студенту в приеме работы на проверку и потребовать правиль-
ного оформления работы!
5
1.2. Типовые задачи
Задача 1. Найти неопределенные интегралы. Результаты в пунктах a и b прове-
рить дифференцированием:
Вариант Неопределенные интегралы
1
a).
dxx
x
2510
4
; b). dxxx )1ln( 22 ; c). x
dx
cos43;
d).
3 2
33 xx
dx; e). dx
xx
xxx
23
23
2
22
2
a). dxex x43 ; b). xdxсоsx 22
; c). x
dx2sin51
;
d).
111 3 xx
dx; e). dx
xx
xxx
34
45 23
3
a).
dxx
x4
3
1; b). dxxx 1ln 2 ; c). dx
x
x6
3
cos
sin;
d).
4 3
4
4
1
xx
dxx; e). dx
xxx
xx
23
3
2
14
4
a). dxx
x
13
2
; b). arctgxdxx5 ; c). xx
dx
cossin23;
d).
3 2
1212 xx
dx; e). dx
xx
xxx
23
1333
24
5
a).
dxx
x
2sin54
2cos; b). xdxx 23 ln ; c).
dx
xx
x
cos1sin
sin1 ;
d). xx
dx3
; e).
dxxxx
xxx
144
12832
23
6
a). dxxe x 45
5 ; b). xdxxarctg 2 ; c). xx
dx22 sin3cos2
;
d).
6 53
6 1
xxx
dxx; e). dx
xxx
xxx
44
89323
34
6
7
a).
dxx
xln1; b). xdxx 22 sin ; c).
5sin3cos4 xx
dx ;
d).
3
2
1
1
x
dxxx; e). dx
xx
xxx
23
23 2
8
a).
dxx
xarcctg2
2
91
3; b). dxex x22 ; c).
xx
dx
cos7sin48;
d).
65
3
221
2
xx
dxx; e).
dx
xx
x
65
62
3
9
a).
dxx
x
162; b). xdxx 24 ln ; c).
xx
dx22 sin2cos3
;
d). 14 3x
dxx; e). dx
xx
xxx
23
23 7122
10
a).
dxx
x
3
3ln; b). xdxñîsx 42 ; c).
xx
dx
cos33sin2;
d). 4 11 xx
dx; e). dx
xxx
xxx
23
23
2
342
11
a).
dxx
x2
4
41
2arcsin; b). dxex x35 ; c). dx
x
x
sin
cos5
;
d).
3 51
5
x
dxx; e). dx
xx
xxxx
24
234
5
2082
12
a). xx
dx2ln1
; b). xdxx 4sin2 ; c). 1sin6cos5 xx
dx;
d).
44 3 xxx
dx; e).
dx
xxx
xxx
22
232
23
13
a). dxe
ex
x
1
; b). xdxx 22 cos ; c). 5cos2cos
sin2 xx
xdx;
d).
3 2
6 11
x
dxxx; e).
dx
xx
x
65
22
3
14 a).
dxx
x8
3
1; b). xdxx 2arccos ; c). xdxx 42 cossin ;
7
d).
21
414 x
dxx; e). dx
xx
xxxx
3
234 2592
15
a).
dxx
x3 ln31; b). xdxxarctg2 ; c).
xx
dx
sin4cos3;
d). 3 4
3
11 x
dxx; e). dx
xxx
xxx
23
23
2
342
16
a). xdxe x 3cos3sin ; b). xdxx 25 4 ln ; c). 3sin2cos6 xx
dx ;
d). 112x
xdx; e). dx
xx
xxx
23
23
2
42
17
a).
dxx
x4161
; b). xdxx 6sin2 ; c). 2cos3 x
dx;
d).
6 531
1
xx
dxx; e). dx
xx
xxx
23
45 23
18
a). dxxx
2ln
5; b).
dxexx
22 ; c). 1sin2cos5 xx
dx;
d). 1133 x
dx; e). dx
xxx
xx
44
89323
3
19
a). dxex
exx
x
33
2
; b). xdxxarctg4 ; c). dxxx
4cos
4sin 22
;
d). xx
dx
23 2; e). dx
xxx
xxx
23
23
2
752
20
a). dxx
e xtg
3cos2
3
; b). dxxx )1(ln1 2 ; c). dxx
x6
3
sin
cos;
d).
2
1
xx
dxx; e). dx
xx
xxx
23
24 2
21
a). 5 ln51 xx
dx; b). xdxx 2ln ; c).
xx
dx22 cos5sin2
;
d). 3 11 x
dx; e). dx
xxx
xxx
23
23
2
353
8
22
a). dxx
x 6
2
1; b). xdxx 2sin2 ; c).
xx
dx
cos1sin;
d).
55 2 xxx
dx; e). dx
xx
xxx
54
12742
23
23
a).
dxx
xarctg2
3
41
2; b). xdxx 4arccos ; c). xdx3cos6 ;
d).
dxxx
x3 2
3
; e). dxxx
xxx
5
2083
23
24
a). dxx
e xctg
2sin 2
2
; b). xdxx 23 ln ; c). x
dx
cos53;
d).
dxx
x
14 3; e). dx
xx
xxxx
3
2823
234
25
a). xx
dx2ln1
; b). xdxxarctg3 ; c). 2cossin2 xx
dx ;
d).
36 5
6
4
1
xx
dxx; e). dx
xx
xxx
23
23 722
26
a).
dxx
x2
2
91
3arccos; b). dxex x52 ; c). dx
x
x4cos
2sin;
d).
dx
xxx
x3
3
; e). dxxx
xxx
54
832
23
27
a).
dxx
x41
; b). dxxx )2(ln2 24; c).
xx
dx22 sin2cos9
;
d).
4 33 23 xxx
dx; e).
dx
xx
x
23
12
3
28
a).
dxx
x
2
2ln 3
; b). dxex x23 ; c).
dxx
x2cos41
2sin;
d). dxx
x
3 11
11; e). dx
xx
xxx
2
232
23
9
29
a).
dxe
ex
x
22
2
1; b). arctgxdxx3 ; c). xdxx 310 cossin ;
d).
dxxx
x3 2
; e). dxxxx
xx
23
3
2
104
30
a).
dxx
x3 5cos32
5sin; b). dxxx )1ln(4 ; c).
xx
dx22 sin2cos7
;
d).
dx
x
x
1
13
; e).
dx
xx
x
2
22
3
Вариант Неопределенные интегралы
Задача 2. Вычислить приближенное значение определенного интеграла с по-
мощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Все
вычисления производить с округлением до третьего десятичного знака.
Вариант Определенный
интеграл Вариант
Определенный
интеграл
1 2
0
3sin2
dxx 16 dxxx 1
0
235
2 dxx 1
0
34 17 2
0
3sin1,01
dxx
3 2
0
2sin1,05,0
dxx 18 dxxx 1
0
232
4 dxxx 1
0
234 19
0
cos2 dxx
5 dxx 1
0
3 13 20 dxx 1
0
32
6 2
0
3cos2
dxx 21 dxxx 1
0
2321
7 dxxx 1
0
321 22 2
0
2sin2
dxx
10
8 dxx 1
0
321 23 1
0
34 dxxx
9 2
0
sin2
dxx 24 dxx 1
0
3 4
10 dxxx 1
0
33 25 dxx 1
0
35
11 dxx 1
0
3 43 26
0
sin2 dxx
12
0
2cos2 dxx 27 dxx
1
0
3 1
13 dxx 1
0
35 28 2
0
)2sin(2
dxx
14 dxx 1
0
3 2 29 dxxx 1
0
32
15 2
0
2sin1,01
dxx 30 3
0
2 )3(sin2
dxx
Вариант Определенный
интеграл Вариант
Определенный
интеграл
Задача 3. Вычислить:
Вариант Задание
1 площадь области, ограниченной линиями xxy 22 , xy .
2 площадь фигуры, ограниченной линиями: 4 yx , y = x, x = 4.
3 длину дуги ty 3cos3 , tx 3sin3 , при 2
0 t .
4 площадь фигуры, ограниченной линиями xxy 42 , y = x + 4.
11
5 площадь фигуры, ограниченной линией )cos1(5 r .
6 объем тела образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, огра-
ниченной линиями 2xy , xy .
7 площадь фигуры, ограниченной линиями 4 yx ,.y = 0, x = 1,
x = 4.
8 длину дуги 32 xy от точки А (2; 0) до точки В (6;8).
9 площадь фигуры, ограниченной линиями 2xy , 24 xy , 2x .
10 объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, огра-
ниченной линиями xy sin , xy cos , x = 0.
11 площадь области, ограниченной линиями y2 = 2 x – 1, y = x – 2.
12 длину дуги ty 3cos3 , tx 3sin3 , при 2
0 t .
13 площадь фигуры, ограниченной линиями 13 2 xy , 73 xy .
14 объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, огра-
ниченной линиями 213 xy , yx 1 и осью Oy.
15 площадь области, ограниченной линиями 5 yx , y = x + 6.
16 длину дуги cos12 r .
17 площадь области, ограниченной линиями xy 2 , xey , x = 3.
18 объем тела, образованного вращением вокруг оси Oy фигуры, огра-
ниченной линиями 2xy , xy .
19 площадь области, ограниченной линиями y2 = 2 x + 7, y = x + 2.
12
20 длину дуги 3xy от точки А (0; 0) до точки В (5; 55 ).
21 площадь фигуры, ограниченной линиями xy 42 , x + 3у = 0.
22 площадь фигуры, ограниченной линией 2sin4r .
23 площадь фигуры, ограниченной линиями 723 2 xxy ,
13 xy .
24 объем тела, образованного вращением вокруг оси Oy фигуры, огра-
ниченной линиями 2xy , )1/(2 2xy .
25 площадь фигуры, ограниченной линиями xxy 63 2 , y = x.
26 длину дуги 2sin3r .
27 площадь фигуры, ограниченной линией 3sin2r .
28 длину одной арки циклоиды ttx sin5 , ty cos15 .
29 площадь фигуры, ограниченной линиями: 732 xxy ,
12 xy .
30 длину дуги 3xy от точки А (1; 1) до точки В (3; 33 ).
Вариант Задание
Задача 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной данными линиями:
Вариант Линии
1 ,0222 yyx 0422 yyx 3xy xy 3
2 0422 xyx 0822 xyx 3xy 0y
13
3 0622 yyx 0822 yyx 3xy xy 3
4 0222 xyx 0822 xyx xy 0y
5 0822 yyx 01022 yyx 3xy xy 3
6 0422 xyx 0822 xyx xy 0y
7 0422 yyx 0622 yyx xy 0x
8 0222 xyx 01022 xyx 0y xy 3
9 0622 yyx 01022 yyx xy 0x
10 0222 xyx 0422 xyx 3xy xy 3
11 0222 xyx 0622 xyx 3xy xy 3
12 0222 yyx 0422 yyx 0x xy 3
13 0622 yyx 0422 yyx 0x xy 3
14 0222 xyx 0822 xyx 3xy xy 3
15 0222 yyx 0622 yyx 0x 3xy
16 0222 xyx 0422 xyx 3xy 0y
17 0222 yyx 01022 yyx xy 3 3xy
18 0222 xyx 0622 xyx 3xy 0y
19 01022 yyx 0y4yx 22 xy 3 3xy
20 0222 xyx 0622 xyx 0y xy
14
21 0222 yyx 0422 yyx 0x xy
22 0222 xyx 0422 xyx 0y xy 3
23 0622 yyx 0822 yyx 0x xy
24 0422 xyx 0822 xyx xy 3 xy
25 0422 yyx 0822 yyx 0x xy
26 0422 xyx 0822 xyx xy 3 3xy
27 0222 xyx 0822 xyx 0x 3xy
28 0622 xyx 0822 xyx 0y xy
29 0222 yyx 0822 yyx 0y 3xy
30 0422 yyx 0622 yyx xy 3 0x
Вариант Линии
Задача 5. Изменить порядок интегрирования:
Вариант Интеграл
1
0
1
01
2
0
2
,,yy
dxyxfdydxyxfdy
2
2
1
0
2
1
0
0
2
,,yy
dxyxfdydxyxfdy
3
2
1
2
0
1
0 0
2
,,yy
dxyxfdydxyxfdy
15
4
2
1
2
0
1
0 0
,,yy
dxyxfdydxyxfdy
5
0
1
01
2
0
2
,,2 xx
dyyxfdxdyyxfdx
6 1
21
arccos
0
21
0
arcsin
0
,,yy
dxyxfdydxyxfdy
7
0
1 0
1
2
2
0
,,yy
dxyxfdydxyxfdy
8
e y
y
dxyxfdydxyxfdy1
ln
1
1
0
0
,,
9
0
1 0
1
2
2
0
22
,,xx
dyyxfdxdyyxfdx
10
0
3
0
24
3
2
0
4 22
,,xx
dyyxfdxdyyxfdx
11
e
xx
dyyxfdxdyyxfdx1
1
ln
1
0
1
1
,,2
12
2
1
2
0
1
0 0
,,
3 yy
dxyxfdydxyxfdy
13 2
4
cos
0
4
0
sin
0
,,
yy
dxyxfdydxyxfdy
14
0
1
01
2
0
2 3
,,xx
dyyxfdxdyyxfdx
15 e
y
y
dxyxfdydxyxfdy1
1
ln
1
0 0
,,
16
2
1
0
2
1
0
0
,,yy
dxyxfdydxyxfdy
17
2
1
0
2
1
0
0
2
,,yy
dxyxfdydxyxfdy
18
2
1
2
0
1
0 0
,,
2 yy
dxyxfdydxyxfdy
16
19
2
3
0
4
3
0
0
24 22
,,xx
dyyxfdxdyyxfdx
20
0
1
01
2
0
2 3
,,yy
dxyxfdydxyxfdy
21 e
y
y
dxyxfdydxyxfdy1
1
ln
1
0 0
,,
22
2
1
2
0
1
0 0
22
,,xx
dyyxfdxdyyxfdx
23 2
4
cos
0
4
0
sin
0
,,
xx
dyyxfdxdyyxfdx
24
0
1
01
2
0
2
,,2 yy
dxyxfdydxyxfdy
25
2
1
2
0
1
0 0
),(),(
2 xx
dyyxfdxdyyxfdx
26
2
3
4
0
3
0
42
0
22
,,xx
dyyxfdxdyyxfdx
27
2
1
0
2
1
0
0
,,xx
dyyxfdxdyyxfdx
28
2
1
2
0
1
0 0
2
,,xx
dyyxfdxdyyxfdx
29
2
1
2
0
1
0 0
2
,,yy
dxyxfdydxyxfdy
30
2
1
2
0
1
0 0
,,xx
dyyxfdxdyyxfdx
Вариант Интеграл
17
Задача 6. Найти объем тела, ограниченного данными поверхностями с помо-
щью двойного интеграла:
Вариант Поверхности
1 1822 yx yx 3 yz11
5 0x 0z
2 2
2
1xz 623 yx 0x 0y 0z
3 6 yx yx 3 xz5
4 0z
4 xy 216 xy 2 2 zx 0z
5 222 yx xy xz 15 0y 0z
6 29 xz 632 yx 0y 0z
7 2 yx xy yz 12 0z
8 822 yx xy 2 xz11
15 0y 0z
9 yx 217 yx 22 2
1 zy 0z
10 4 yx xy 2 yz 3 0z
11 222 yx yx yz 15 0x 0z
12 8 yx xy 4 yz 3 0z
13 5022 yx yx 5 yz11
6 0x 0z
14 6 yx xy 3 yz 4 0z
18
15 1822 yx xy 3 xz11
15 0y 0z
16 yx 37 yx 32 3 zy 0z
17 2 yx yx xz5
12 0z
18 yx 216 yx 2 2 zy 0z
19 822 yx yx 2 yz11
30 0x 0z
20 yx 220 yx 25 2
1 zy 0z
21 4 yx yx 2 xz5
3 0z
22 5022 yx xy 5 xz11
3 0y 0z
23 yx 219 yx 24 2 zy 0z
24 222 yx yx yz 30 0x 0z
25 2 yx yx xz 12 0z
26 1822 yx yx 3 yz11
10 0x 0z
27 xy 217 xy 22 2
1 zx 0z
28 822 yx xy 2 xz11
30 0y 0z
29 6 yx yx 3 xz 4 0z
30 24 xz 623 yx 0x 0y 0z
Вариант Поверхности
19
Задача 7. Найти объем тела, ограниченного данными поверхностями, переходя
в сферические или цилиндрические координаты:
Вариант Поверхности
1 229 yxz 22
2
9yxz
2 22
2
15yxz 22
2
17yxz
3 226 yxz 2262 yxz
4 222 yxz xz 22
5 22916 yxz
222 yxz
6 223 yxz
2210 yxz
7 2263 yxz 226 yxz
8 22 yxz yz 22
9 22
2
21yxz 22
2
23yxz
10 2216 yxz
226 yxz
11 22 yxz )(26 22 yxz
12 222 yxz yz 42
13 221 yxz 22
2
3yxz
14 226 yxz 22
2
3yxz
15 2222 yxz 224 yxz
20
16 22 yxz xz 42
17 22144 yxz
2218 yxz
18 22
2
3yxz 22
2
5yxz
19 222 yxz )(
2
3 22 yxz
20 22 yxz )(23 22 yxz
21 2236 yxz
229 yxz
22 229 yxz
2222 yxz
23 22
9
4yxz
22 yxz
24 2212 yxz
2228 yxz
25 2264 yxz
2212 yxz
26 22
2
9yxz 22
2
11yxz
27 224 yxz
223 yxz
28 222 yxz
228 yxz
29 229 yxz
228 yxz
30 223 yxz
224 yxz
Вариант Поверхности
21
2. Примеры решения типовых задач
Пример 2.1. Найти интеграл dxx
x 3
ln. Результат проверить дифференцирова-
нием.
Решение
Применим метод интегрирования по частям и воспользуемся формулой
интегрирования по частям. Так как в данном примере подынтегральная функ-
ция II класса, положим
xU ln , 3x
dxdV .
Первое из этих равенств, продифференцируем, а второе – проинтегриру-
ем. Находим
x
dxdxxdU
ln и 23 2
1
xx
dxdVV ,
а постоянную С здесь брать не обязательно.
Получаем:
x
dx
xx
x
xV
x
dxdV
x
dxdUxU
dUVVUdVU
dxx
x22
23
3 2
1ln
2
1
2
1;
;lnln
22232 4
ln21
4
1
2
ln
22
ln
x
xCC
xx
x
x
dx
x
x .
Сделаем проверку, дифференцируя полученный результат по x:
22
22
2
)ln21(ln21
4
1
4
ln21
x
xxxx
x
xC
344
2 lnln422
4
12)ln21(2
4
1
x
x
x
xxxx
x
xxxx
.
22
Получилась подынтегральная функция, т.е. интеграл найден правильно.
Ответ: 23 4
ln21ln
x
xCdx
x
x .
Пример 2.2. Вычислить приближенное значение определенного интеграла
1
0
3 234 dxx с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на
10 частей. Все вычисления производить с округлением до третьего десятичного
знака.
Решение
По формуле Симпсона при n = 10, a = 0, b = 1 имеем:
975318642100
1
0
4230
1)( yyyyyyyyyyydxxf ,
где 3 234)(iii
xxfy , ixi
1,0 , i = 0, 1, 2, …, 10.
Вычисляем
587,14)0( 3
0 fy , 134)1( 3
10 fy
583,1)1,0(34)1,0( 3 2
1 fy , 571,1)2,0(34)2,0( 3 2
2 fy ,
551,1)3,0(34)3,0( 3 2
3 fy , 522,1)4,0(34)4,0( 3 2
4 fy ,
481,1)5,0(34)5,0( 3 2
5 fy , 429,1)6,0(34)6,0( 3 2
6 fy ,
363,1)7,0(34)7,0( 3 2
7 fy , 276,1)8,0(34)8,0( 3 2
8 fy ,
162,1)9,0(34)9,0( 3 2
9 fy .
140,7нечетн 798,5четн
Тогда 425,1743,4230
1140,74798,521587,1
30
134
1
0
3 2 dxx .
23
Ответ: 425,1341
0
3 2 dxx .
Пример 2.3. Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями
xy
xy
2
4 2
.
Решение
Для нахождения площади использу-
ем формулу нахождения площади в декар-
товых координатах. Построим фигуру
(рис. 2.1) на плоскости Oxy:
24 xy – парабола симметричная отно-
сительно оси Oy ветви вниз,
xy 2 – прямая.
Находим точки пересечения функций
xx 24 2 ,
022 2 xxx , 012 2 xx , 01 2 xx ,
11 x , 22 x ;
Фигура (рис. 2.1) ограниченна сверху 24 xyв , снизу xyн 2 , слева и спра-
ва прямыми: 1нх и 2вх , поэтому
2
1
232
1
2
2
1-
2
232224
xxxdxxxdxxxdxyyS
в
н
x
x
нв
2 5,42
138
2
1
3
122
3
84 ед
.
Ответ: 2 5,4 едS .
Пример 2.4. Вычислить площадь области внутри астроиды
tx
ty3
3
sin3
cos3.
Рис.2.1
24
Решение
Уравнение кривой (рис. 2.2) задано в параметрическом виде; она симмет-
рична относительно осей Oх и Oу. Поэтому
3
0
144 ydxSS .
Полагая:
tx 3sin3 , tdttdx cossin9 2
и находя новые пределы интег-
рирования:
;2
,1sin,sin33,3
;0,0sin,sin30,0
3
3
tttx
tttx
имеем:
2
0
2
0
3
0
2423
1sincos108cossin9cos3444
tdttdttttydxSS
2
0
2
0 2
2cos1
4
2sin108coscossin108
2
22
dttt
tdttt
)2(sin2
1 2cos 2cos2sin
2
272sin
2
27 2
0
2
0
22 tddtttdtttdt
2
0
2
0
2
0 3
2sin
4
274sin
44
27
4
27)2(sin
2
1 2sin
2
27
2
4cos1
2
27 3
2
ttttdtdt
t
233 8
270sin
12
270sin
16
27sin
12
272sin
16
27
24
27ед
.
Ответ: 2
8
27едS .
Пример 2.5. Найти длину дуги кривой xx
y ln2
1
4
2
, при 21 х .
Решение
Рис. 2.2
25
Дуга задана в декартовой системе координат в явном виде
xx
y ln2
1
4
2
, пределы интегрирования заданы 21 х . Используем формулу
длины кривой в декартовых координатах, составим интеграл:
2
1
2
1
222
1
2
2 1
4
11
2
1
21)'(1 dx
x
xdx
x
xdxyL
2
1
22
1
242
1
242 1
2
112
2
1124
2
1dx
x
xdx
x
xxdx
x
xxx
2ln2
1
4
3
2
12ln2
2
1ln
22
12
1
2
x
x.
Ответ: едL 2ln2
1
4
3 .
Пример 2.6. Найти длину дуги одной арки циклоиды
tay
ttax
cos1
sin.
Решение
Кривая (рис. 2.3) задана в
параметрическом виде. Использу-
ем формулу:
22
tytx
22
sincos1 tata
ttta 222 sincoscos21
2
sin4cos12 222 tata .
Когда x пробегает интервал [0, 2πa], параметр t пробегает отрезок [0, 2π].
at
adtt
adtt
adttytxL 82
cos42
sin22
sin4
2
0
2
0
2
0
22
2
0
22
.
Ответ: едaL 8 .
Рис. 2.3
26
Пример 2.7. Найти объем тела, получен-
ного вращением вокруг оси Oх фигуры,
которая ограничена параболами: 23 ху ,
12 ху .
Решение
Построим фигуру (рис. 2.4) на плос-
кости Оxy, она ограничена параболами:
23 ху , 12 ху . Найдем точки пересе-
чения кривых:
22 13 222 ххх 1 12 хх . Тогда 21
VVV ,
где
1
1
22
13 dxxV ,
1
1
22
21 dxxV . Здесь использована формула нахож-
дения объема тела вращения.
имеем
симметриисилу в 3
1
1
22
1 dxxV 1
0
42
1
0
22 69232 dxxxdxx
5
1292
5292
1
0
5
3 x
xx5
72
5
362
;
1
0
351
0
24
1
0
22
1
1
22
23
2
52122121 x
xxdxxxdxxdxxV
15
56
15
282
15
1510321
3
2
5
12
;
3 3
32
15
160
15
56216
15
56
5
72едV
.
Ответ: 3
3
32едV
.
Пример 2.8. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: xyx 22 ,
xyx 222 , 0y , xy 3 .
Решение
Рис. 2.4
27
Построим фигуру (рис. 2.5), огра-
ниченную данными линиями:
xyx 22 , 022 yхx ,
4
1
2
1 2
2
ух – окружность с центром
в точке
0;
2
1, радиусом
2
1;
xyx 222 , 02 22 yхx ,
11 22 ух – окружность с центром в
точке 0;1 , радиусом 1;
0y – ось Oх; xy 3 – прямая.
Найдем уравнения границ, подставив в уравнения окружностей и уравне-
ния прямых формулы перехода в полярную систему координат:
.
sin
cos
rI
ry
rx
xyx 22 cossincos 2222 rrr cos2 rr cosr ;
xyx 222 cos2sincos 2222 rrr cos22 rr cos2r ;
0y 0sin r 0sin 0 ;
xy 3 cos3sin rr 3
.
D :
cos2cos
30
r
.
Тогда по формуле площади в полярных координатах имеем:
Рис. 2.5
28
3
0
2
3
0
22
3
0
cos2
cos
2cos2
cos
3
0
cos2
3 coscos4
2
1
2
dddr
drrdSD
0
2
10
3
2sin
2
1
34
32sin
2
1
4
32cos1
2
1
2
3 3
0
3
0
d
16
33
42
3
4
3
2
1
4
кв. ед.
Ответ: 16
33
4
S кв. ед.
Пример 2.9. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле:
0
4
4
2
0
24
2
0
,,2 хх
dуyxfdхdyyxfdx .
Решение
Строим область интегрирования D (рис. 2.6); она состоит из двух областей
1D и
2D :
024
20
21
yx
xD
и
04
422
yх
xD .
Первоначальное направление про-
хождения области D вдоль оси Оy.
Область 1
D ограничена окружностью
24 2 ху и прямыми: ,0у
,0х 2х .
22 4224 хуху 42422222 ухху – окруж-
ность с центром в точке О (0; –2) и радиусом 2.
Область 2D ограничена прямыми: 4 ху , ,0у 2х , 4x .
Рис. 2.6
29
Теперь входим в область D вдоль оси Оx; находим ун и ув значения на гра-
нице области D : это будут ,0у 2у . Тогда левой границей области будет
окружность 24 2 ху , выразив из этого уравнения х, получим
уух 42 , правая граница ,4 ху дает 4 ух , тогда область
D :
44
02
2 ухуу
у;
и в итоге получаем:
4
4
0
2
0
4
4
2
0
24
2
0 22
,,,
y
yyхх
dxyxfdydуyxfdхdyyxfdx .
Ответ:
4
4
0
2
0
4
4
2
0
24
2
0 22
,,,
y
yyхх
dxyxfdydуyxfdхdyyxfdx .
Пример 2.10. Найти объем тела, ограниченного поверхностями yx 2 ,
yx 2 , 4 zy , 0z с помощью двойного интеграла.
Решение
Тело ограничено параболическими цилиндрами yx 2 , yx 2 и плос-
костями: yz 4 , 0z .
Рис. 2.7
Рис. 2.8
30
Построим тело (рис. 2.7) и его проекцию (рис. 2.8) на плоскость Oху.
Зададим неравенствами область D:
yxy
y
22
40.
dyxydxydyVy
y
y
y
2
2
4
0
2
2
4
0
)4()4( dyyyy 22)4(4
0
4
0
2
5
2
34
0
2
3
2
1
5
2
3
822)4(22 yydyyy
2
5
2
3
45
24
3
822
2210
128
5
64
3
6422
куб.ед.
Ответ: 2210
128V куб.ед.
Пример 2.11. Найти объем тела, ограниченного поверхностями
228 yxz и 222 yxz , переходя в сферические или цилиндрические ко-
ординаты.
Решение
Имеем: 228 yxz – верхняя часть сферы радиуса 8R с центром
в начале координат, 222 yxz – конус с осью симметрии Oz и вершиной в на-
чале координат.
Рис. 2.9
Рис. 2.10
31
Построим тело (рис. 2.9) и его проекцию (рис. 2.10) на плоскость Oху.
Найдём линию пересечения поверхностей:
222
228
yxz
yxz
222
222 8
yxz
yxz 82 2 z 2z ( т. к. 0z )
422 yx – проекция тела на плоскость Oxy.
Поэтому согласно свойствам тройного интеграла:
U
dVV ,
где область U ограничена сверху 228 yxz , снизу 22 yxz .
Область U проектируется на плоскость Oxy в область D – круг радиуса 2.
Поэтому перейдем в тройном интеграле к цилиндрическим координатам, ис-
пользуя формулы:
228 yxz 28 rz ,
22 yxz rz .
Пределы изменения φ, r : 20 , 20 r , так как D – полный круг ра-
диуса 2 с центром в начале координат.
Зададим неравенствами область U:
28
20
20
rzr
r
.
Тогда
2
0
22
2
0
2
0
82
0
2
0
82
0
82
2
drrrrddrzrdrdzdrddVVr
r
r
rU
.
Рассмотрим отдельно интеграл
3222 83
188
2
18 rrdrdrrr ,
тогда
2
0
3
332
0
2
0
332
3
28
3
14
3
1
38
3
1dd
rrV
32
123
3212
3
16
3
168
3
8 2
0
2
0
d куб.ед.
Ответ: 123
32
V куб.ед.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Мартынов, Г.П. Учебно-методический комплекс дисциплины «Мате-
матика» для экологов и картографов [Электронный ресурс]: учебно-
методический комплекс / Г.П. Мартынов. – М.: ИНФОРМРЕГИСТР, 2014. –
1,61 МБ. Режим доступа: http//www.lib/ssga.ru/
2. Мартынов, Г.П. Рабочая программа дисциплины «Математика» [Элек-
тронный ресурс]: методический документ / Г.П. Мартынов. –Москва,
«ИНФОРМИО», 2016 – 18 с. // Свидетельство о публикации в СМИ
«ИНФОРМИО» от 04.07.2016, серия А № 001511/2016 / www.informio.ru.
3. Мартынов, Г.П. «Фонд оценочных средств дисциплины «Математика»
[Электронный ресурс]: методическая разработка / Г.П. Мартынов. – Москва,
«ИНФОРМИО», 2016 – 14 с. // Свидетельство о публикации в СМИ
«ИНФОРМИО» от 15.11.2016, серия А № 002150/2016 / www.informio.ru.
4. Мартынов, Г.П. Организация самостоятельной работы студентов на-
правления подготовки «Картография и геоинформатика» при изучении дисцип-
лины «Математика» [Электронный ресурс]: методическая разработка / Г.П.
Мартынов. – Москва, «ИНФОРМИО», 2016 – 7 с. // Свидетельство о публика-
ции в СМИ «ИНФОРМИО» от 26.07.2016, серия А № 001637/2016 /
www.informio.ru.
5. Мартынов, Г.П. Математика для картографов и экологов–II [Текст]:
учебное пособие / Г.П. Мартынов. – Новосибирск: СГУГиТ, 2017. – 155 с.
6. Вербная, В.П. Математика для дистанционного обучения: учебное по-
собие, издание 2-ое, стереотипное (Рекомендовано СибРУМЦ) / В.П. Вербная,
Г.П. Мартынов, Е.С. Плюснина. – Новосибирск: СГУГиТ, 2016. – 278 с.
7. Вербная, В.П. Математика для дистанционного изучения [Электрон-
ный ресурс]: учебное пособие для вузов (Рекомендовано СибРУМЦ) / В.П.
Вербная, Г.П. Мартынов, Е.С. Плюснина. – М.: ИНФОРМРЕГИСТР, 2013. –
230 с. Режим доступа: http//www.lib/ssga.ru/