Chöông 2: ÑAÏI SOÁ BOOLE – COÅNG LOGIC

I. Caáu truùc ñaïi soá Boole:Laø caáu truùc ñaïi soá ñöôïc ñònh nghóa treân 1 taäp phaàn töû nhò phaân B = {0, 1} vaø caùc pheùp toaùn nhò phaân: AND (.), OR (+), NOT (’).

x y

x . y (x AND y)

0 0 0 1 1 0 1 1

0 0 0 1

x y x + y (x OR y)

0 0 0 1 1 0 1 1

0 1 1 1

x

x’ (NOT x, x )

0 1

1 0

2

1. Caùc tieân ñeà (Axioms):

a. Tính kín (Closure Property) b. Phaàn töû ñoàng nhaát (Identity

Element): x + 0 = 0 + x =

x

x . 1 = 1 . x = x

c. Tính giao hoaùn (Commutative Property):

x + y = y + x

x . y = y .

x d. Tính phaân boá (Distributive Property):

(x + z).(y + z) = x.y + z (cm)

x . ( y + z ) = x . y + x . z

e. Phaàn töû buø (Complement Element):

* Thöù töï pheùp toaùn: theo thöù töï daáu ngoaëc (), NOT, AND, OR

x + x = 1 x . x = 0

3

2. Caùc ñònh lyù cô baûn (Basic Theorems):

b. Ñònh lyù 2: x + x = x x . x = x

c. Ñònh lyù 3: x + 1 = 1 x . 0 = 0

d. Ñònh lyù 4: ñònh lyù haáp thu (Absorption)x + x . y = x

(cm)e. Ñònh lyù 5: ñònh lyù keát hôïp (Associative) x + (y + z) = (x + y) + z x . (y . z) = (x . y) . z

a. Ñònh lyù 1: x = x

f. Ñònh lyù 6: ñònh lyù De Morganx + y = x . y x . y = x + y

Môû roäng: x1 + x2 + .. + xn = x1 . x2 .. xn x1 . x2 .. xn = x1 + x2 + .. + xn

4

II. Haøm Boole (Boolean Function):1. Ñònh nghóa:

* Haøm Boole laø 1 bieåu thöùc ñöôïc taïo bôûi caùc bieán nhò phaân vaø caùc pheùp toaùn

nhò phaân NOT, AND, OR. * Vôùi giaù trò cho tröôùc cuûa caùc bieán, haøm

Boole seõ coù giaù trò laø 0 hoaëc 1. * Baûng giaù

trò:

F (x, y, z) = x . y + x . y . z

x y z F0 0 00 0 10 1 00 1 1

1 0 0 1 0 11 1 01 1 1

01000011

5

2. Buø cuûa 1 haøm:

- Söû duïng ñònh lyù De Morgan:

- Laáy bieåu thöùc ñoái ngaãu vaø laáy buø

caùc bieán: * Tính ñoái ngaãu (Duality): Hai bieåu thöùc ñöôïc goïi laø ñoái ngaãu cuûa nhau khi ta thay pheùp toaùn AND baèng OR, pheùp toaùn OR baèng AND, 0 thaønh 1 vaø 1 thaønh 0.

Buø caùc bieán:

F = x . y + x . y . z

F = x . y + x . y . z = ( x . y ) . ( x . y

. z ) F = ( x + y ) . ( x + y + z )

F = x . y + x . y . z Laáy ñoái ngaãu: ( x + y ) . ( x

+ y + z ) F = ( x + y ) . ( x + y + z )

6

III. Daïng chính taéc vaø daïng chuaån cuûa haøm Boole:1. Caùc tích chuaån (minterm) vaø toång chuaån

(Maxterm): - Tích chuaån (minterm): mi (0 ≤ i ≤ 2n-1) laø caùc soá haïng tích (AND) cuûa n bieán maø haøm Boole phuï thuoäc vôùi quy öôùc bieán ñoù coù buø neáu noù laø 0 vaø khoâng buø neáu laø 1.

- Toång chuaån (Maxterm): Mi (0 ≤ i ≤ 2n-1) laø caùc soá haïng toång (OR) cuûa n bieán maø haøm Boole phuï thuoäc vôùi quy öôùc bieán ñoù coù buø neáu noù laø 1 vaø khoâng buø neáu laø 0.

x y z

0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1

minterm MaxtermM0 = x + y +

zm0 = x y

z m1 = x y z m2 = x y z m3 = x y z m4 = x y z m5 = x y z m6 = x y z m7 = x y z

M1 = x + y + z

M7 = x + y + z

M2 = x + y + zM3 = x + y + zM4 = x + y + zM5 = x + y + zM6 = x + y + z

mi = Mi

7

2. Daïng chính taéc (Canonical Form): a. Daïng chính taéc 1:

laø daïng toång cuûa caùc tích chuaån (minterm) laøm cho haøm Boole coù giaù trò 1

x y z F

0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1

01100111

F(x, y,

z) = + x y

z =

m1 + m2

+ m5

+ m6

+ m7

= Σ m(1, 2, 5,

6, 7)

b. Daïng chính taéc 2: laø daïng tích cuûa caùc toång chuaån (Maxterm) laøm cho haøm Boole coù giaù trò 0

= Σ (1, 2, 5, 6,

7)

x y

z + x y

z + x y

z + x y

z

8

* Tröôøng hôïp haøm Boole tuøy ñònh (don’t

care): Haøm Boole n bieán coù theå khoâng ñöôïc ñònh nghóa heát taát caû 2n toå hôïp cuûa n bieán phuï thuoäc. Khi ñoù taïi caùc toå hôïp khoâng söû duïng naøy, haøm Boole seõ nhaän giaù trò tuøy ñònh (don’t care), nghóa laø haøm Boole coù theå nhaän giaù tri 0 hoaëc 1. x y z F

0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1

X110011X

F (x, y, z) = Π (3, 4) . D (0, 7)

9

3. Daïng chuaån (Standard Form): a. Daïng chuaån 1: laø daïng toång caùc tích

(S.O.P – Sum of Product)

F (x, y, z) = x y + z* F (x, y, z) = x y

+ z

= m6 + m7 + m1 + m5 + m3= Σ (1, 3, 5, 6, 7)

* F (x, y, z) = x y + z = (x + z) (y + z)

= M2 . M0 . M4

= Π (0, 2, 4)

= x y (z + z) + (x + x) (y + y) z= x y z + x y z + x y z + x y z + x y z + x y z

= (x + y y + z) (x x + y + z)

= (x + y + z) (x + y + z) (x + y + z) (x + y + z)

10

= (x + y + z) (x + y + z) (x + y + z)(x + y + z)(x + y + z)(x

+ y + z)

= x y z + x y z + x y z + x y z

b. Daïng chuaån 2: laø daïng tích caùc toång (P.O.S – Product of Sum)

= m4 + m5 + m0

= Σ (0, 4, 5)

= M3 . M1 . M7 . M6 . M2

= Π (1, 2, 3, 6, 7)

F (x, y, z) = (x + z) y

* F (x, y, z) = (x + z) y = x y + y z= x y (z + z) + (x + x) y z

* F (x, y, z) = (x + z) y= (x + y y + z) (x x + y + z

z)

11

x

IV. Coång logic:

1. Coång NOT:

xxx t

2. Coång AND:

xy

z = x.y

x

y

z

Vôùi coång AND coù nhieàu ngoõ vaøo, ngoõ ra seõ laø 1 neáu taát caû caùc ngoõ vaøo ñeàu laø 1

x y z

0 0 0 1 1 0 1 1

0001

12

3. Coång OR:

x y z

0 0 0 1 1 0 1 1

0111

xy

z = x+y

x

y

Vôùi coång OR coù nhieàu ngoõ vaøo, ngoõ ra seõ laø 0 neáu taát caû caùc ngoõ vaøo ñeàu laø 0

z

4. Coång NAND:

xy

z = x.y

x y z

0 0 0 1 1 0 1 1

1110

x

y

z

Vôùi coång NAND coù nhieàu ngoõ vaøo, ngoõ ra seõ laø 0 neáu taát caû caùc ngoõ vaøo ñeàu laø 1

13

5. Coång NOR:

x y z

0 0 0 1 1 0 1 1

1000

x

y

Vôùi coång NOR coù nhieàu ngoõ vaøo, ngoõ ra seõ laø 1 neáu taát caû caùc ngoõ vaøo ñeàu laø 0

z

xy

z = x+y

6. Coång XOR (Exclusive_OR): xy

z = x⊕y

x y z

0 0 0 1 1 0 1 1

0110

x

y

z

Vôùi coång XOR coù nhieàu ngoõ vaøo, ngoõ ra seõ laø 1 neáu toång soá bit 1 ôû caùc ngoõ vaøo laø soá

leûz = x⊕y = x y + x y = (x + y)(x + y)

14

7. Coång XNOR (Exclusive_NOR):

x y z

0 0 0 1 1 0 1 1

1001

x

y

z

Vôùi coång XNOR coù nhieàu ngoõ vaøo, ngoõ ra seõ laø 1 neáu toång soá bit 1 ôû caùc ngoõ vaøo laø soá

chaün

xy

z = x⊕y

z = x⊕y = x y + x y = (x + y)(x + y)

15

V. Ruùt goïn haøm Boole: Ruùt goïn (toái thieåu hoùa) haøm Boole nghóa

laø ñöa haøm Boole veà daïng bieåu dieãn ñôn giaûn nhaát, sao cho:- Bieåu thöùc coù chöùa ít nhaát caùc thöøa soá

vaø moãi thöøa soá chöùa ít nhaát caùc bieán.- Maïch logic thöïc hieän coù chöùa ít nhaát caùc

vi maïch soá. 1. Phöông phaùp ñaïi soá: Duøng caùc ñònh lyù vaø tieân ñeà ñeå ruùt

goïn haøm. F (A, B, C) = Σ (2, 3, 5, 6, 7)

= ABC + ABC + ABC + ABC + ABC

= AB(C + C) + AC(B + B) + AB(C + C)

= AB + AC + AB

= (A + A)B + AC

= B + AC

16

AB

F0 1

0

1

2. Phöông phaùp bìa KARNAUGH:

a. Caùch bieåu dieãn: - Bìa K goàm caùc oâ vuoâng, moãi oâ vuoâng bieåu dieãn cho toå hôïp n bieán. Nhö vaäy bìa K cho n bieán seõ coù 2n oâ. - Hai oâ ñöôïc goïi laø keà caän nhau khi toå hôïp bieán maø chuùng bieåu dieãn chæ khaùc nhau 1 bieán. - Trong oâ seõ ghi giaù trò töông öùng cuûa haøm Boole taïi toå hôïp où. ÔÛû daïng chính taéc 1 thì đñöa caùc giaù trò 1 vaø X leân caùc oâ, khoâng ñöa caùc giaù trò 0. Ngöôïc laïi, daïng chính taéc 2 thì chæ ñöa giaù trò 0 vaø X.

* Bìa 2 bieán:

0

1

2

3

F (A, B) = Σ (0, 2) + d(3) = ∏ (1) . D(3)

AB

F0 1

0

1

1 1

X

AB

F0 1

0

1 0 X

17

* Bìa 3 bieán: AB

C

F

0

1

00

01

11

100

1

2

3

6

7

4

5

ABC

F

0

1

00

01

11

10

F (A, B, C) = Σ (2, 4, 7) + d(0, 1) = ∏ (3, 5, 6) . D(0, 1)

X

X

1

1

1

ABC

F

0

1

00

01

11

10X

X 0

0

0

18

* Bìa 4 bieán: ABCD

F

00

00

01

11

10

011110

0

1

4

5

8

9

3

2

7

6 10

14

15

13

12

11

* Bìa 5 bieán:

30

31

29

28

BCDE

F

00

00

01

11

10

011110

10

00

11

01

A 0 1

0

1

4

5

8

9

3

2

7

6 10

14

15

13

12

11

18

19

17

16

22

23

21

20

26

27

25

24

19

b. Ruùt goïn bìa Karnaugh:

- Lieân keát ñoâi: Khi lieân keát (OR) hai oâ coù giaù trò 1 (OÂ_1) keà caän vôùi nhau treân bìa K, ta seõ ñöôïc 1 soá haïng tích maát ñi 1 bieán so vôùi tích chuaån (bieán maát ñi laø bieán khaùc nhau giöõa 2 oâ). Hoaëc khi lieân keát (AND) hai oâ coù giaù trò 0 (OÂ_0) keà caän vôùi nhau treân bìa K, ta seõ ñöôïc 1 soá haïng toång maát ñi 1 bieán so vôùi toång chuaån (bieán maát ñi laø bieán khaùc nhau giöõa 2 oâ).

* Nguyeân taéc:

ABC

F

0

1

00

01

11

101 1

B C

ABC

F

0

1

00

01

11

100

0

A +B

20

- Lieân keát 4: Töông töï nhö lieân keát ñoâi khi lieân keát 4 OÂ_1 hoaëc 4 OÂ_ 0 keà caän vôùi nhau, ta seõ loaïi ñi ñöôïc 2 bieán (2 bieán khaùc nhau giöõa 4 oâ)

ABC

F

0

1

00

01

11

101

1

1

1

B

ABC

F

0

1

00

01

11

10

0 0 0 0

C

21

- Lieân keát 8: lieân keát 8 oâ keà caän vôùi nhau, ta seõ loaïi ñi ñöôïc 3 bieán (3 bieán khaùc nhau giöõa 8 oâ)

ABCD

F00

01

11

100

0011110

1 1 1

1 1 1

1

1

D

ABCD

F00

01

11

100

0011110

0

0

0

0

0

0 0

0

B

- Lieân keát 2k: khi ta lieân keát 2k OÂ_1 hoaëc 2k OÂ_0 keà caän vôùi nhau ta seõ loaïi ñi ñöôïc k bieán (k bieán khaùc nhau giöõa 2k oâ)

00 01 11 10F

ABCD

00

01

11

10

1 1

00 01 11 10F

ABCD

00

01

11

10 0

0

Các ví dụ về 2 ô kế cận

00 01 11 10F

ABCD

00

01

11

10 0

0

00 01 11 10F

ABCD

00

01

11

10 1 1

00 01 11 10

F ABCD

00

01

11

10

00 01 11 10

FAB

CD00

01

11

10

00 01 11 10

F ABCD

00

01

11

10

00 01 11 10

F ABCD

00

01

11

10

1 1 1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1

1

1

1

DC

DA

DA

DB

Các ví dụ về 4 ô kế cận

00 01 11 10F

ABCD

00

01

11

10

00 01 11 10

F ABCD

00

01

11

10

00 01 11 10

F ABCD

00

01

11

10

00 01 11 10

FAB

CD00

01

11

10

0 0 0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0

0

0

0

DC+

DA+

DA+

DB+

Các ví dụ về 4 ô kế cận

00 01 11 10

F ABCD

00

01

11

10

00 01 11 10

F ABCD

00

01

11

10

00 01 11 10

F ABCD

00

01

11

10

00 01 11 10

F ABCD

00

01

11

10

0 0 0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0

0

0

0

DC +

CA +

DB+

CB+

Các ví dụ về 4 ô kế cận

00 01 11 10

F ABCD

00

01

11

10

00 01 11 10

F ABCD

00

01

11

10

00 01 11 10

FAB

CD00

01

11

10

00 01 11 10

F ABCD

00

01

11

10

1 1 1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1

1

1

1

DC

CA

DB

CB

Các ví dụ về 4 ô kế cận

00 01 11 10

FAB

CD00

01

11

10

00 01 11 10

F ABCD

00

01

11

10

00 01 11 10

F ABCD

00

01

11

10

00 01 11 10

FAB

CD00

01

11

10

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

0 0

0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

C

DD

A

Các ví dụ về 8 ô kế cận

28

* Caùc böôùc thöïc hieän ruùt goïn theo daïng S.O.P:

- Bieåu dieãn caùc OÂ_1 leân bìa Karnaugh - Thöïc hieän caùc lieân keát coù theå coù sao cho caùc OÂ_1 ñöôïc lieân keát ít nhaát 1 laàn; moãi lieân keát cho ta 1 soá haïng tích. (Neáu OÂ_1 khoâng coù keà caän vôùi caùc OÂ_1 khaùc thì ta coù lieân keát 1: soá haïng tích chính baèng minterm cuûa oâ ñoù). - Bieåu thöùc ruùt goïn coù ñöôïc baèng caùch laáy toång (OR) cuûa caùc soá h ng tích lieân keát ạtreân. F(A, B, C) = Σ (0, 1,

3, 5, 6)

ABC

F

0

1

00

01

11

101

1 1

1

1

A C

A B B

C

A B C

= A B + A C + B C + A B C

29

* Caùc böôùc thöïc hieän ruùt goïn theo daïng P.O.S:

- Bieåu dieãn caùc OÂ_0 leân bìa Karnaugh - Thöïc hieän caùc lieân keát coù theå coù sao cho caùc OÂ_0 ñöôïc lieân keát ít nhaát 1 laàn; moãi lieân keát cho ta 1 soá haïng t ng. ổ- Bieåu thöùc ruùt goïn coù ñöôïc baèng caùch laáy tích (AND) cuûa caùc soá h ng t ng lieân ạ ổkeát treân. F(A, B, C, D) = Π (0, 4, 8, 9, 12, 13, 15)

ABCD

F00

01

11

100

0011110

(C + D) (A + C)

(A + B + D)

00

0 0 00

0

= (C + D) (A + C) (A + B + D)

Rut gon ham ́ ̣ ̀sau

00 01 11 10

F ABCD

00

01

11

10

1

11

1

1

1

1

=),,,( DCBAF BA + CB+DCBA

Rut gon ham ́ ̣ ̀sau

∑= )15,14,7,6,5,4,1,0()D,C,B,A(F

00 01 11 10

FAB

CD00

01

11

10

1

1

1

1

1

1

1

1

=)D,C,B,A(F CA + CB

32

* Tröôøng hôïp ruùt goïn haøm Boole coù tuøy ñònh: thì ta coù theå coi caùc OÂ tuøy ñònh naøy laø OÂ_1 hoaëc OÂ_0 sao cho coù lôïi khi lieân keát (nghóa laø coù ñöôïc lieân keát nhieàu OÂ keà caän nhaát)

F(A, B, C, D) = Σ (0, 4, 8, 10) + d (2, 12, 15)

1 1 1

X 1

X

X

ABCD

F00

01

11

100

0011110

C D

B D

= B D + C D

33

F(A, B, C, D) = Π (0, 2, 3, 4, 6, 10, 14) . D (8, 9, 11, 12, 13)

D

(B + C)

0 0 X

0 0

X

X

0

0

X

X

0

ABCD

F00

01

11

100

0011110

= D (B + C)

34

* Chuù yù:

- Öu tieân lieân keát cho caùc oâ chæ coù 1 kieåu lieân keát (phaûi laø lieân keát coù nhieàu oâ nhaát).

- Khi lieân keát phaûi ñaûm baûo coù chöùa ít nhaát 1 oâ chöa ñöôïc lieân keát laàn naøo.

- Ta coi caùc tuøy ñònh nhö laø nhöõng oâ ñaõ lieân keát roài.

- Coù theå coù nhieàu caùch lieân keát coù keát quaû töông ñöông nhau Vd: Ruùt goïn caùc haøm F1(A, B, C, D) = Σ (1, 3, 5, 12, 13, 14, 15) + d (7,

8, 9)

F2(A, B, C, D) = Π (1, 3, 7, 11, 15) . D(0, 2, 5)

F1(A, B, C, D, E) = Σ (1, 3, 5, 7, 12, 14, 29, 31) + d (13, 15, 17, 19, 20, 21, 22, 23) F2(A, B, C, D, E) = Π (0, 8, 12, 13, 16, 18, 28, 30)

. D(2, 6, 10, 14, 15, 24, 26)

35

VI. Thöïc hieän haøm Boole baèng coång logic:

1. Caáu truùc coång AND _ OR: Caáu truùc AND_OR laø sô ñoà logic thöïc hieän cho haøm Boole bieåu dieãn theo daïng toång caùc tích (S.O.P)

F(A, B, C, D) = A B D + C D

F(A, B, C, D)

A

B

C

D

AND 0R

36

2. Caáu truùc coång OR _ AND : Caáu truùc OR_AND laø sô ñoà logic thöïc hieän cho haøm Boole bieåu dieãn theo daïng tích caùc toång (P.O.S).

F(A, B, C, D) = (A + D) (B + C+ D)

OR AND

F(A, B, C, D)

A

B

C

D

37

3. Caáu truùc coång AND _ OR _ INVERTER (AOI): Caáu truùc AOI laø sô ñoà logic thöïc hieän cho haøm Boole bieåu dieãn theo daïng buø (INVERTER = NOT) cuûa toång caùc tích.

F(A, B, C, D) = A D + B C

A

B

C

D

F(A, B, C, D)

AND NOR

38

4. Caáu truùc coång OR _ AND _ INVERTER (OAI): Caáu truùc OAI laø sô ñoà logic thöïc hieän cho haøm Boole bieåu dieãn theo daïng buø cuûa tích caùc toång.

A

B

C

D

F(A, B, C, D)

OR NAND

F(A, B, C, D) = (A + D) (B + C)

39

5. Caáu truùc toaøn coång NAND: Caáu truùc NAND laø sô ñoà logic thöïc hieän cho haøm Boole coù bieåu thöùc laø daïng buø cuûa 1 soá haïng tích.

- Duøng ñònh lyù De-Morgan ñeå bieán ñoåi soá haïng toång thaønh tích. - Coång NOT cuõng ñöôïc thay theá baèng coång NAND

F(A, B, C, D) = A B D + C D

= A B D . C D

A

B

C

D

F(A, B, C, D)

NANDNAND

40

F(A, B, C, D) = (A + D) (B + C+ D)

= A D . B C D

A

B

C

D

F(A, B, C, D)

41

- Trong thöïc teá ngöôøi ta chæ söû duïng 1 loaïi coång NAND 2 ngoõ vaøo; khi ñoù ta phaûi bieán ñoåi bieåu thöùc sao cho chæ coù daïng buø treân 1 soá haïng tích chæ coù 2 bieán

F (A, B, C, D) = A B D . C D

= A B D . C D

A

B

C

D

F(A, B, C, D)

42

6. Caáu truùc toaøn coång NOR: Caáu truùc NOR laø sô ñoà logic thöïc hieän cho haøm Boole coù bieåu thöùc laø daïng buø cuûa 1 soá haïng toång.

- Duøng ñònh lyù De-Morgan ñeå bieán ñoåi soá haïng tích thaønh toång - Coång NOT cuõng ñöôïc thay theá baèng coång NOR

F(A, B, C, D) = (A + D) (B + C+ D)

= (A + D) + (B + C+ D)

A

B

C

D

F(A, B, C, D)

NOR NOR

43

F(A, B, C, D) = A B D + C D

= (A + B + D) + (C + D)

A

B

C

D

F(A, B, C, D)

44

F(A, B, C, D) = (A + D) (B + C) (C + D)

= (A + D) + (B + C) + (C + D)

= (A + D) + (B + C) + (C + D)

A

B

C

D

F(A, B, C, D)