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LECCIONES DEL
CURSO DE MODELACIÓN
MATEMÁTICA Y COMPUTACIONAL POSGRADOS DE
CIENCIAS DE LA TIERRA
Y DE
CIENCIA E INGENIERÍA DE LA
COMPUTACIÓN
UNAM
AUTOR:
ISMAEL HERRERA REVILLA 1
Basado en el Libro
‘‘Mathematical Modeling in
Science and Engineering:
An Axiomatic Approach’’ Por
Ismael Herrera y George F. Pinder
2
3
John Wiley
2012
INTRODUCCIÓN
4
FÍSICA MICROSCÓPICA
Y
FÍSICA MACROSCÓPICA
5
LECCIÓN 1
FORMULACIÓN AXIOMÁTICA DE
LOS MODELOS MATEMÁTICOS
BÁSICOS DE LA FÍSICA
MACROSCÓPICA
6
SECCIÓN 1
CONCEPTOS FUNDAMENTALES
DE LA CINEMÁTICA DE
LOS SISTEMAS CONTINUOS 7
● Los sistemas continuos pueden ser de una fase
(monofásicos) o de varias fases (multifásicos)
● En este primer Capítulo se establece el modelo
matemático general que incluye como casos
particulares tanto a los sistemas monofásicos
como a los multifásicos
● Sin embargo, por razones didácticas la teoría se
desarrolla primero para sistemas monofásicos y
posteriormente se generaliza para sistemas
multifásicos
8
9
CARACTERÍSTICAS DE LOS SISTEMAS MONOFÁSICOS:
Los sistemas continuos de una fase, satisfacen la
siguiente hipótesis: "En cada punto del espacio físico hay
una y sólo una partícula material"
Un cuerpo m
aterial es un conjunto de partículas que en
cada instante ocupa un dominio en el sentido matemático
del espacio físico. Además, en cada dominio del espacío físico
hay un cuerpo material
Los cuerpos ma
teriales llenan completamente
el espacio que ocupan
El conjunto de partículas materiales que forman un
cuerpo se denota por y el dominio del espacio físico que
él ocupa en el tiempo , por Bt t
B
10
NOTACIÓN: Sistemas de Referencia
Los puntos del espacio físico se denotarán por medio de su
vector de posición. Para ellos se reserva la notación
Una forma de identificar a l
x
as partículas materiales es por
medio de la posición que ocupan en algún tiempo, llamado
tiempo de referencia. A menos que se diga otra cosa, el tiempo
de referencia será t = 0. Así, las partículas se denotarán por medio
del vector , el cual corresponde al vector de posición del punto
del espacio físico que ellla ocupaba en el tiempo t = 0
El conjunto de partículas materiales que forman un
cuerpo s
e denota por y el dominio del espacio físico que
él ocupa en el tiempo , por B . Así, con las convenciones que
ya hemos adoptados, se tiene:
B 0
t t
B
B
11
LA FUNCIÓN DE POSICIÓN
12
13
Cuando un cuerpo está en movimiento cada una de sus partículas
describe su propia trayectoria. Es decir, su posición es función
del tiempo. Dada la partícula , escribiremos , para el
vector de la
p t
posición que ella ocupa en el espacio físico, en el
tiempo . Con la notación que hemos adoptado es claro que el
punto del espacio físico está ocupado por la partícula , en el
tiempo , si y sólo
t
x
t
1
si,
, (ver Fig.1.1)
En sentido opuesto, la partícula se encuentra en el punto del
espacio físico, en el tiempo , si y sólo si,
,
x p t ----
x
t
p x t ----
1
(ver Fig.1.2)
Aquí, es la función inversa de . Además :
,0
p p
p
14
15
SECCIÓN 2
PROPIEDADES DE LAS PARTÍCULAS
MATERIALES:
PROPIEDADES INTENSIVAS
16
DEFINICIÓN
Toda función , de las partículas
materiales y del tiempo constituye una
.
t
propiedad intensiva
17
EJEMPLOS
Densidad, temperatura, etc.
REPRESENTACIONES
LAGRANGEANA Y EULEREANA
18
Consideraremos dos formas de especificar las
, en una se especifica el valor de la propiedad en
cada partícula , para cada tiempo , y en la otra el valor de
la propiedad en la p
propiedades
intensivas
t
artícula que ocupa la posición , en el
tiempo . En el primer caso, se usará la notación , y
, en el segundo.
Esto da lugar a dos representaciones de las
: a la función
x
t t
x t
propiedades
intensivas
, se le llama
y a la función , .
Consideraremos sólo para las que su
es integrable.
t representación
Lagrangeana x t representación Eulereana
propiedades intensivas
representación Eulereana
19
A toda función , definida en el espacio y
en el tiempo le corresponde una y sólo una
, , definida por
x t
propiedad intensiva t
DOS FORMAS DE DEFINIR A LAS PROPIEDADES INTENSIVAS
, , ,
COROLARIO
Las propiedades extensivas pueden definirse
univocamente tanto por medio de su representación
Lagrangeana como por su representación Eulereana.
t p t t
20
Considere una , y un punto del espacio físico.
Si en el punto hay una partícula material , entonces se satisface
= ,
Esta ecuación es equvale
propiedad intensiva t x
x
x p t
1
1
nte a
= ,
y el valor de la propiedad intensiva en el punto de espacio físico es
, , . Definimos la de la propiedad
intensiva conisdereda
p x t
x
p x t t representación Eulereana
1
por :
, , ,
En conclusión : La
permite calcular el valor de esa propiedad en cada punto del espacio físico.
P
x t p x t t
'representación Eulereana de una propiedad intensiva'
or otra parte, a la función , se le llamará
y obervamos que ella permite calcular el valor de esa
propiedad en cada partícula del medio contin
t 'representación Lagrangeana
de la propiedad intensiva'
uo.
VELOCIDAD DE LAS PARTÍCULAS
21
22
DEFINICIÓN
, ,
La velocidad es una propiedad intensiva (vectorial).
Esta definición proporciona su representación
Lagrangeana. Su representa
p V t t
t
1
ción Eulereana es :
, , ,
OBSERVE LA NOTACIÓN
x t V p x t t
v
23
RAPIDEZ DE CAMBIO DE
PROPIEDADES INTENSIVAS
LA ‘‘ DERIVADA MATERIAL’’
24
La ‘‘ ’’ (es decir, la derivada con respecto al tiempo)
del valor de una en una partícula , cuando se usa
la es :
rapidez de cambio
propiedad intensiva
representación Lagrangeana
t
, Ec. (1)
Cuando se usa la , dicha
está dada por la ' ', que se define por :
+
Con mayor precisión, cuando
t
representación Eulereana rapidez de cambio
derivada material
D
Dt t
v
la , se evalúa en ,
se obtiene la de la propiedad intesiva en la partícula
material que se encuentra en la posición , en el tiempo . Note que
Dderivada material x t
Dt
rapidez de cambio
x t
, , + , D
x t x t x tDt t
v
EJERCICIO 1
25
Demuestre que :
, = ,
Cuando
= ( , t)
Dt x t
t Dt
x p X
26
SECCIÓN 3
PROPIEDADES DE LOS CUERPOS:
PROPIEDADES EXTENSIVAS
PROPIEDADES DE LOS CUERPOS
27
28
Una noción básica es el concepto de
para las cuales usaremos la notación : , . Note
que esta notación implica que el valor de depende
del cuerpo y del tiempo
'propiedad extensiva'
E t
E
B
B
. La condición para que
una función , constituya una
es que se pueda expresar como una integral
con respecto al volumen sobre el espacio físico ocupado
por el cuerpo. La expres
t
E t propiedad
extensiva
B
ión matemática de esta condición es :
, ,
Aquí, el integrando , es alguna función (integrable).
B tE t x t d x
x t
B
29
NOTA
Para simplificar un poco la notación,
escribiremos solamente , en vez
de ,
E t
E tB
30
RELACIONES ENTRE PROPIEDADES
INTENSIVAS Y EXTENSIVAS
31
, ,
B tE t x t d x
A TODA PROPIEDAD EXTENSIVA LE CORRESPONDE UNA
Y SÓLO UNA INTENSIVA, CUYA
ES EL INTEGRANDO DE SU EXPRESIÓN INTEGRAL.
NOTE QUE ESTA
REPRESENTACIÓN EULEREANA
B
CORRESPONDENCIA ES BIUNÍVOCA.
32
M ,B t
t x t d x
EJEMPLO :
MASA Y DENSIDAD
33
Usando las ecuaciones :
y ,
estableceremos una correspondencia biunívoca
entre propiedades extensivas e intensivas. La ecuación
,lim lim
,0 0
totB t B t
tot tot tot
V t d x E t x t d x
E
y t dE tx t
V V V
nos dice que la asociada es la propiedad
extensiva por unidad de volumen del espacio físico
B t
tot
y
V
propiedad intensiva
34
RAPIDEZ CAMBIO
DE
PROPIEDADES EXTENSIVAS
DEBIDO A UN RESULTADO MATEMÁTICO
35
La ‘‘ ’’ (es decir, la derivada
con respecto al tiempo) de una propiedad
extensiva,
,
Está dada por
B t
B t
rapidez de cambio
E t x t d x
dEt d x
dt t
v
ESTE TEMA SE ESTUDIA EN CÁLCULO
36
Con el título
El resultado es
B t
"derivada de una integral con respecto a un
parámetro cuando el dominio es función del parámetro".
dEt d x
dt t
v
EJERCICIO
37
Demostrar que cuando
,
Se tiene que
B t
B t
E t x t d x
dEt d x
dt t
v
38
LA RAPIDEZ DE CAMBIO DE UNA PROPIEDAD
EXTENSIVA ES OTRA PROPIEDAD EXTENSIVA
LA PROPIEDAD INTENSIVA ASOCIADA A LA
"RAPIDEZ E CAMBIO" ES:
t
v
ACELERACIÓN DE LAS PARTÍCULAS MATERIALES:
REPRESENTACIONES LAGRANGEANA Y EULEREANA
39
2
2
La aceleración de las partículas se define por :
, ,
Su representación Eulereana es
, , ,
pA t t
t
Da x t x t x t
Dt t
v vv v
SECCIÓN 4
ECUACIONES DE BALANCE
40
BALANCES ECONÓMICOS
41
¿Por qué cambia la existencia
de automóviles en nuestro país?
E P I
RESPUESTA
42
PORQUE SE PRODUCEN EN SU
INTERIOR O SE IMPORTAN POR LA
FRONTERA
AXIOMA FUNDAMENTAL DE
LA FÍSICA MACROSCÓPICA
43
PREGUNTA : ¿Por qué cambia el valor de una propiedad
extensiva de un cuerpo?
RESPUESTA : Porque se producen en su interior o se
importan por la frontera
dE P Idt
EXPRESIÓN MATEMÁTICA
DEL AXIOMA FUNDAMENTAL
44
, ,B t B t
dEt g x t dx q x t dx
dt
OTRA EXPRESIÓN PARA EL FLUJO
POR LA FRONTERA
45
El flujo por la frontera , , siempre
admite la expresión :
, , ,
Éste es un resultado matemático.
q x t
q x t = x t n x t
EXPRESIÓN MATEMÁTICA
DEL AXIOMA FUNDAMENTAL
46
, , ,B t B t
dEt g x t dx x t n x t dx
dt
47
APLICACIÓN DEL
TEOREMA DE GAUSS
B t B t
ndx dx
OTRA EXPRESIÓN MATEMÁTICA
DEL AXIOMA FUNDAMENTAL
48
A ECUACIÓN
SE REEMPLAZA POR
L
, , ,
, ,
B t B t
B t
dE t g x t dx x t n x t dx
dt
dE t g x t x t dx
dt
EXPRESIÓN DEL BALANCE
EN TÉRMINOS DE LA
PROPIEDAD INTENSIVA
49
50
A ECUACIÓN
ES EQUIVALENTE A
L
, ,
, ,
o
, , 0
Por lo que se tiene
, , 0
B t
B t B t
B t
dE t g x t x t dx
dt
dx g x t x t dxt
g x t x t dxt
g x t x tt
v
v
v
51
ECUACIÓN DE BALANCE EN TÉRMINOS
DE LA PROPIEDAD INTENSIVA
La ecuación de balance se satisface si y solo
si :
gt
v
SECCIÓN 5
FORMULACIÓN DE
RESTRICCIONES EN EL
MOVIMIENTO
52
MOVIMIENTOS QUE CONSERVAN
EL VOLUMEN DE LOS CUERPOS
53
LA CONDICIÓN ES:
LA RAPIDEZ DE CAMBIO DEL
VOLUMEN ES CERO
54
PRIMER CASO
UN FLUIDO LIBRE
55
56
El volumen de un cuerpo de fluido libre está
dado por
1
Por lo mismo es una propiedad extensiva y
la propiedad intensiva asociada es :
, 1
fB t
V t dx
x t
LA ECUACIÓN DE BALANCE PARA EL VOLUMEN
57
, ,
Donde .
La conservación del volumen da :
0
Luego
, 0 , 0
B t B t
f
f
dEt g x t dx q x t dx
dt
E V
dV t
dt
g x t y q x t
ECUACIÓN DE BALANCE EXPRESADA EN
TÉRMINOS DE LA PROPIEDAD INTENSIVA ES
58
Para el volumen 1, 0 :
1 1 0
Es la condición de incompresibilidad
para un fluido libre
gt
g
t
v
v v
59
El volumen de un cuerpo de fluido libre está
dado por
1
Por lo mismo es una propiedad extensiva y
la propiedad intensiva asociada es :
, 1
Además, en este caso : g ,
fB t
V t dx
x t
x
0 y , 0. Y
la ecuación de balance se reduce a
0
t x t
v
SEGUNDO CASO
UN FLUIDO EN UN MEDIO POROSO
60
61
LA POROSIDAD
62
El volumen del espacio físico es :
El volumen de los poros de un material poroso es una
; es decir, se expresa como una
integral :
,
A
totB t
pB t
V t d x
propiedad extensiva
V t x t d x
la propiedad , se le llama
. Claramente
lim, 1
0
p
tot tot
intensiva asociada,
porosidad
V tx t
V V
63
La ecuación :
, ,
establece una correspondencia entre propiedades
extensivas e intensivas. Además, esa correspondencia es
biunívoca y la ecuación
lim li,
0
B t
f f
E t x t d x
E
E tx t
V V
B
,m
0
nos dice que la asociada es la propiedad
extensiva por unidad de volumen del espacio físico
B t
f f
x t d x
V V
propiedad intensiva
CONDICIÓN DE INCOMPRESBILIDAD DE UN FLUIDO
EN UN MEDIO POROSO SATURADO
64
65
En este caso, el volumen del fluido y es igual
al de los poros; es decir :
,
La propiedad intensiva asociada al volumen
del fluido es :
, ,
En este caso, en la
fB t
V t x t dx
x t x t
ecuación de balance, g , = 0
y , = 0, por lo que :
0
x t
x t
t
v
66
SECCIÓN 6
EL MODELO GENERAL
DE LOS
SISTEMAS MULTIFÁSICOS
DE LA
FÍSICA MACROSCÓPICA
ALCANCES
El modelo general de los sistemas de la Física
Macroscópica que se presenta a continuación,
abarca tanto sistemas de una fase -con una o
varias componentes- como sistemas de varias
‘fases’ en cada una de las cuales puede haber
también más de una ‘componente’
67
¿QUÉ SON LAS FASES?
68
¿QUÉ SON LAS COMPONENTES?
¿QUÉ SON LAS FASES?
Cada fase se mueve con su
propia velocidad
69
¿QUÉ SON LAS COMPONENTES?
Las componentes son las
sustancias disueltas. Cada
componente se mueve con la
velocidad de la fase en que está
disuelta
70
71
CARACTERÍSTICAS DE LOS SISTEMAS MULTIFÁSICOS
Los modelos continuos multifásicos, satisfacen la
siguiente hipótesis: "En cada punto del espacio físico, hay
tantas partículas materiales como fases tiene
el sistema"
Un cuerpo material es un conjunto de partículas que en
cada instante ocupa un dominio en el sentido matemático
del espacio físico. En cada dominio del espacío físico hay
tantos cuerpos mat
eriales como fases tiene el sistema (un
cuerpo de cada fase)
Se usará la notación para el cuerpo de la fase el
cual, en el tiempo , ocupa el dominio B del espacio físico;
1,..., número de f
t t
M
B
ases
72
1
:
;
,..., : ;N
Cada sistema multifásico está definido por
Una familia de fases M número de fases
Una familia de propiedades extensivas E E
Cada una de las propiedades extensivas está asociada
a un
;
a y sólo una fase y
Cada fase se mueve con su propia velocidad
FORMA DE DEFINIR LOS MODELOS
DE LA
FÍSICA MACROSCÓPICA
73
EL MODELO BÁSICO DE LA
FÍSICA MACROSCÓPICA
El ‘modelo matemático básico’ del sistema está
constituido por el sistema de ecuaciones
diferenciales parciales que se obtiene al aplicar
la ecuación general de balance, expresada en
términos de la propiedad intensiva asociada, a
cada uno de los miembros de la familia de
propiedades extensivas
ECUACIONES DE BALANCE PARA UNA
PROPIEDAD INTENSIVA (RECORDATORIO)
74
gt
v
75
RECORDATORIO
SIGNIFICADO DE g Y DE
,B t B t
dEt g x t dx ndx
dt
76
MODELO MATEMÁTICO
BÁSICO
ESTÁ CONSTITUIDO POR LAS
CONDICIONES DE BALANCE DE CADA UNA
DE LAS PROPIEDADES INTENSIVAS
(N en total)
77
EL MODELO GENERAL DE LOS SISTEMAS FÍSICOS MACROSCÓPICOS
, 1,...,
es el número de propiedades propiedades
(o
Las "ecuaciones diferenciales"
g Nt
N
extensivas int
v
) que definen al modelo. ensivas
78
Suponga que un sistema continuo está formado
por fases y componentes. Defina,
1,..., y 1,...,
Entonces otra forma de escribir las ecuaciones
gobernantes del sistema continuo es :
t
, 1,...,
Donde es una función de la forma
:
g N
v
79
EL MODELO GENERAL DE LOS SISTEMAS FÍSICOS MACROSCÓPICOS: OTRA FORMA
, 1,...,
es número de propiedad
Las "ecuaciones diferenciales"
g Nt
N
v
es propiedades
(o ) que definen al modelo.
es la fase asociada a la propiedad
extensivas
intensivas
80
EL MODELO DE PETRÓLEO NEGRO
PARA LA
PREDICCIÓN CIENTÍFICA DEL
COMPORTAMIENTO DE
YACIMIENTOS PETROLEROS
Uno de los primeros modelos que se usó para
predecir el comportamiento de yacimientos
petroleros fue el llamado modelo de petróleo
negro. El sistema continuo correspondiente
consta de tres fases: agua, petróleo (fase líquida
constituida por hidrocarburos) y gas (fase
gaseosa constituida por hidrocarburos). En la
fase petróleo se distinguen dos componentes:
gas disuelto (hidrocarburos volátiles) y aceite
(hidrocarburos no volátiles). En las otras dos
fases no se distinguen componentes.
81
82
11 11 1
22 22 2
33 33 3
44 44 4
,
,
,
,
gt
gt
gt
gt
v
v
v
v