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Limite e continuidade de funcoes
Limite e continuidade de funcoes
Ana Carolina Boero
E-mail: ana.boero@ufabc.edu.brPagina: http://professor.ufabc.edu.br/~ana.boero
Sala 512-2 - Bloco A - Campus Santo Andre
Ana Carolina Boero Bases Matematicas
Limite e continuidade de funcoes
Aula 17Aula 18Aula 19Aula 20Aula 21Aula 22Aula 23
A ideia de limite num exemplo
Considere a funcao f : R→ R dada por f (x) = 2x − 1.
O que ocorre com f (x) para x proximo, porem diferente, de 3?
Temos que f (x) fica arbitrariamente proximo de 5 sempre que x ∈ dom f ,x 6= 3, esta suficientemente proximo de 3.
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A ideia de limite num exemplo
O que significa “f (x) fica arbitrariamente proximo de 5 sempre quex ∈ dom f , x 6= 3, esta suficientemente proximo de 3”?
Dado um intervalo arbitrario centrado em 5, (5− ε, 5 + ε), e possıvelencontrar um intervalo centrado em 3, (3− δ, 3 + δ), de modo que, paratodo x ∈ dom f , x ∈ (3− δ, 3 + δ) e x 6= 3⇒ f (x) ∈ (5− ε, 5 + ε).
Em outras palavras, para cada ε > 0, e possıvel encontrar δ > 0 tal que,para todo x ∈ dom f , 0 < |x − 3| < δ ⇒ |f (x)− 5| < ε.
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A ideia de limite num exemplo
• Para ε = 1, temos que δ = 0, 5 e tal que 0 < |x − 3| < δ ⇒ |(2x − 1)− 5| < ε.Note que, neste caso, qualquer δ < 0, 5 positivo tambem serviria.
• Para ε = 0, 5, temos que δ = 0, 25 e tal que 0 < |x − 3| < δ ⇒ |(2x − 1)− 5| < ε.Neste caso, novamente, qualquer δ < 0, 25 positivo tambem serviria.
• Para ε = 0, 2, temos que δ = 0, 1 e tal que 0 < |x − 3| < δ ⇒ |(2x − 1)− 5| < ε.Mais uma vez: neste caso, qualquer δ < 0, 1 positivo tambem serviria.
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A ideia de limite num exemplo
De modo geral, seja ε > 0 arbitrario. Temos que
|f (x)− 5| < ε ⇔ |(2x − 1)− 5| < ε⇔ |2x − 6| < ε⇔ |2(x − 3)| < ε⇔ 2|x − 3| < ε⇔ |x − 3| < ε
2
Tomando δ = ε2 , por exemplo, temos que para todo x ∈ dom f ,
0 < |x − 3| < δ ⇒ |f (x)− 5| < ε.
Isto significa quelimx→3
(2x − 1) = 5.
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Limite de funcoes
Seja x0 ∈ R e seja f uma funcao de uma variavel real a valores reaisdefinida numa vizinhanca de x0 (isto e, num intervalo aberto ao qual x0
pertence), exceto possivelmente em x0.
Dizemos que um numero real L e limite de f (x) quando x tende a x0 separa cada ε > 0 e possıvel encontrar δ > 0 tal que, para todo x ∈ dom f ,0 < |x − x0| < δ ⇒ |f (x)− L| < ε.
Notacao: limx→x0
f (x) = L
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Observacoes
• Observe que se limx→x0
f (x) = L1 e limx→x0
f (x) = L2, entao L1 = L2.
• Observe, ainda, que:
I x0 pode ou nao pertencer a dom f ;I se x0 ∈ dom f , pode-se ou nao ter lim
x→x0
f (x) = f (x0).
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Exemplos
(1) Considere g : R− {3} → R dada por g(x) = 2x2−7x+3x−3 .
Temos que
g(x) = 2x2−7x+3x−3 = (2x−1)(x−3)
x−3 = 2x − 1
para todo x 6= 3. Logo, limx→3
g(x) = limx→3
(2x − 1) = 5.
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Exemplos
(2) Considere h : R→ R dada por
h(x) =
2x2−7x+3
x−3 se x 6= 3
4 se x = 3
Temos que limx→3
h(x) = limx→3
2x2−7x+3x−3 = 5.
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Outros exemplos
(1) limx→x0
(ax + b) = ax0 + b
(2) limx→2
(x2 − 3) = 1
(3) limx→4
√x = 2
(4) limx→0
sen x = 0
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Limites laterais
Sejam x0 ∈ R e f uma funcao de uma variavel real a valores reais definidanum intervalo aberto nao-degenerado do qual x0 e extremo da direita.
Dizemos que L e o limite a esquerda de f (x) quando x tende a x0 se paracada ε > 0 e possıvel encontrar δ > 0 tal que, para todo x ∈ dom f ,x ∈ (x0 − δ, x0)⇒ |f (x)− L| < ε.
Notacao: limx→x−0
f (x) = L
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Limites laterais
Sejam x0 ∈ R e f uma funcao de uma variavel real a valores reais definidanum intervalo aberto nao-degenerado do qual x0 e extremo da esquerda.
Dizemos que L e o limite a direita de f (x) quando x tende a x0 se paracada ε > 0 e possıvel encontrar δ > 0 tal que, para todo x ∈ dom f ,x ∈ (x0, x0 + δ)⇒ |f (x)− L| < ε.
Notacao: limx→x+
0
f (x) = L
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Exemplos
(a) limx→0+
|x | = 0 e limx→0−
|x | = 0
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Exemplos
(b) limx→0+
|x |x
= 1 e limx→0−
|x |x
= −1
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Exemplos
(c) limx→0+
e−1x = 0, mas nao existe o limite a esquerda de e−
1x no 0.
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Exemplos
(d) Nao existem os limites a esquerda e a direita de sen
(1
x
)no 0.
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Limite versus limites laterais
Seja x0 ∈ R e seja f uma funcao de uma variavel real a valores reaisdefinida numa vizinhanca de x0, exceto possivelmente em x0.
Proposicao
limx→x0
f (x) = L se, e somente se, limx→x+
0
f (x) = L e limx→x−0
f (x) = L.
Exemplos:
(a) limx→0|x | = 0, pois lim
x→0−|x | = 0 e lim
x→0+|x | = 0.
(b) Nao existe o limite de |x|x quando x tende a 0.
(c) Nao existe o limite de e−1x quando x tende a 0.
(d) Nao existe o limite de sen(
1x
)quando x tende a 0.
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Exercıcio resolvido
Determine c de modo que exista o limite de f (x) quando x tende a 2,onde
f (x) =
{−2x + 5 se x > 2x2 + c se x < 2
Solucao:
Temos que
limx→2+
f (x) = limx→2+
(−2x + 5) = 1 e limx→2−
f (x) = limx→2−
(x2 + c) = 4 + c .
Portanto, o limite de f (x) quando x tende a 2 existira se, e somente se,1 = 4 + c , ou seja, se, e somente se, c = −3.
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Funcoes contınuas
Seja f uma funcao de uma variavel real a valores reais e seja x0 ∈ dom f .
Dizemos que f e contınua em x0 se para cada ε > 0 e possıvel encontrarδ > 0 tal que, para todo x ∈ dom f , |x − x0| < δ ⇒ |f (x)− f (x0)| < ε.
Observacoes:
• Se f nao e contınua em x0, dizemos que f e descontınua em x0.
• Nao faz sentido falar em “continuidade de f em x0” se x0 6∈ dom f .
• Se f esta definida numa vizinhanca de x0, entao f e contınua em x0
se, e somente se, limx→x0
f (x) = f (x0).
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Funcoes contınuas
Seja f uma funcao de uma variavel real a valores reais.
Dizemos que f e uma funcao contınua se f e contınua em todos oselementos de seu domınio.
Exemplos:
(a) As funcoes afins sao contınuas.
Em particular, as funcoes constantes e a identidade sao contınuas.
(b) A funcao modulo e contınua.
(c) As funcoes exponenciais sao contınuas.
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Outros exemplos
(a) A funcao f : R→ R dada por
f (x) =
{−1 se x 6= 0
1 se x = 0
nao e contınua em 0, mas o e em qualquer outro numero real.
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Outros exemplos
(b) A funcao g : R→ R dada por
g(x) =
1 se x > 00 se x = 0−1 se x < 0
nao e contınua em 0, mas o e em qualquer outro numero real.
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Outros exemplos
(c) A funcao h : R− {0} → R dada por h(x) =1
xe contınua.
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Calculo de limites
Proposicao
Seja x0 ∈ R e sejam f e g funcoes de uma variavel real a valores reaisdefinidas numa vizinhanca de x0, exceto possivelmente em x0. Selimx→x0
f (x) = L1 e limx→x0
g(x) = L2, entao:
(1) limx→x0
(f + g)(x) = L1 + L2
(2) limx→x0
(f − g)(x) = L1 − L2
(3) limx→x0
(fg)(x) = L1L2
(4) limx→x0
(f /g)(x) = L1/L2, se L2 6= 0
Observacao: O mesmo vale substituindo x → x0 por x → x+0 ou x → x−0 .
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Calculo de limites
Corolario
Seja x0 ∈ R e sejam f e g funcoes de uma variavel real a valores reais.Se f e g sao contınuas em x0, entao:
(1) f + g e contınua em x0
(2) f − g e contınua em x0
(3) fg e contınua em x0
(4) f /g e contınua em x0, se g(x0) 6= 0
Exemplos:
(a) Funcoes polinomiais sao contınuas.
(b) Funcoes racionais sao contınuas.
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Exemplos
(a) limx→2
(3x2 − 5x + 2) = 4
(b) limx→−1
x2+2x−34x−3 = 4
7
(c) limx→1
x4−2x+1x3+3x2+1 = 0
(d) limx→2
x2−4x2−2x = 2
(e) limx→1
2x3+x2−4x+1x3−3x2+5x−3 = 2
(f) limx→1
3x3−4x2−x+22x3−3x2+1 = 5
3
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Limite da composta
Questao: Calcular limx→4
e20−5x .
• Sabemos que limx→4
(20− 5x) = 0.
• Sabemos tambem que limu→0
eu = 1.
Podemos concluir que limx→4
e20−5x = 1? Sim!!!
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Limite da composta
Proposicao
Seja x0 ∈ R e sejam f e g funcoes de uma variavel real a valores reaistais que im f ⊂ dom g e f esta definida numa vizinhanca de x0, excetopossivelmente em x0. Se
(i) limx→x0
f (x) = L e
(ii) g e contınua em L
entao limx→x0
g(f (x)) = g(L) = g
(limx→x0
f (x)
).
Observacao: O mesmo vale substituindo x → x0 por x → x+0 ou x → x−0 .
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Limite da composta
Corolario
Seja x0 ∈ R e sejam f e g funcoes de uma variavel real a valores reaistais que im f ⊂ dom g . Se f e contınua em x0 e g e contınua em f (x0),entao g ◦ f e contınua em x0.
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Limite da composta
Proposicao
Sejam x0, L ∈ R e sejam f e g funcoes de uma variavel real a valoresreais tais que im f ⊂ dom g , f esta definida numa vizinhanca de x0,exceto possivelmente em x0, e g esta definida numa vizinhanca de L,exceto possivelmente em L. Se
(i) limx→x0
f (x) = L,
(ii) limu→L
g(u) = L e
(iii) f (x) 6= L numa vizinhanca de x0, exceto possivelmente em x0
entao limx→x0
g(f (x)) = L.
Exemplos:
(a) limx→0
cos x = 1. Note que cos(x) = 1− 2 sen2(x2
).
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Exemplos
(a) limx→3
√1+x−2x−3 = 1
4
(b) limx→3
√∣∣∣ x2−9x−3
∣∣∣ =√
6
(c) limx→1
√x−1√
2x+3−√
5=√
52
(d) limx→2
3√x− 3√2x−2 =
3√26
(e) limx→1
(3−x)4−16x3−1 = − 32
3
(f) limx→π
cos2 x+3 cos x+2cos x+1 = 1
(g) As funcoes seno e cosseno sao contınuas.
Consequentemente, as funcoes trigonometricas sao contınuas.
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Teorema do confronto (ou do sanduıche)
Proposicao
Seja x0 ∈ R e sejam f , g e h funcoes de uma variavel real a valores reaisdefinidas numa vizinhanca de x0, exceto possivelmente em x0. Se
(i) f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) para todo x 6= x0 numa vizinhanca de x0 e
(ii) limx→x0
f (x) = L = limx→x0
h(x)
entao limx→x0
g(x) = L.
Observacao: O mesmo vale substituindo x → x0 por x → x+0 ou x → x−0 .
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Exemplos
(a) limx→0
x2 · sen(
1x
)= 0
(b) limx→0
x · sen(
1x
)= 0
Se limx→x0
f (x) = 0 e g e limitada numa vizinhanca de x0, entao limx→x0
f (x)g(x) = 0.
(c) (Limite Fundamental) limx→0
sen xx = 1
(d) (Limite Fundamental) limx→0
cos x−1x = 0
(e) limx→0
sen(5x)5x = 1
(f) limx→0
sen(2x)5x = 2
5
(g) limx→0
sen(2x)sen(5x) = 2
5
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Continuidade da inversa
Proposicao
Sejam I um intervalo e f : I → R uma funcao crescente (ou decrescente).A imagem de f e um intervalo J e sua inversa, f −1 : J → I , e contınua.
Exemplos:
(a) As funcoes “raiz n-esima”sao contınuas.
(b) As funcoes logarıtmicas sao contınuas.
(c) As funcoes trigonometricas inversas sao contınuas.
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Limites infinitos
Sejam x0 ∈ R e f uma funcao de uma variavel real a valores reais definidanum intervalo aberto ao qual x0 pertence, exceto possivelmente em x0.
Dizemos que o limite de f (x) quando x tende a x0 e +∞ se para cadaN > 0 e possıvel encontrar δ > 0 tal que, para todo x ∈ dom f ,0 < |x − x0| < δ ⇒ f (x) > N.
Notacao: limx→x0
f (x) = +∞
Dizemos que o limite de f (x) quando x tende a x0 e −∞ se para cadaN > 0 e possıvel encontrar δ > 0 tal que, para todo x ∈ dom f ,0 < |x − x0| < δ ⇒ f (x) < −N.
Notacao: limx→x0
f (x) = −∞
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Exemplos
(1) limx→1
1(x−1)2 = +∞
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Exemplos
(2) limx→0− 1|x| = −∞
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Limites laterais infinitos
Sejam x0 ∈ R e f uma funcao de uma variavel real a valores reais definidanum intervalo aberto nao-degenerado do qual x0 e extremo da direita.
Dizemos que o limite a esquerda de f (x) quando x tende a x0 e +∞ separa cada N > 0 e possıvel encontrar δ > 0 tal que, para todox ∈ dom f , x ∈ (x0 − δ, x0)⇒ f (x) > N.
Notacao: limx→x−0
f (x) = +∞
Dizemos que o limite a esquerda de f (x) quando x tende a x0 e −∞ separa cada N > 0 e possıvel encontrar δ > 0 tal que, para todox ∈ dom f , x ∈ (x0 − δ, x0)⇒ f (x) < −N.
Notacao: limx→x−0
f (x) = −∞
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Limites laterais infinitos
Sejam x0 ∈ R e f uma funcao de uma variavel real a valores reais definidanum intervalo aberto nao-degenerado do qual x0 e extremo da esquerda.
Dizemos que o limite a direita de f (x) quando x tende a x0 e +∞ separa cada N > 0 e possıvel encontrar δ > 0 tal que, para todox ∈ dom f , x ∈ (x0, x0 + δ)⇒ f (x) > N.
Notacao: limx→x+
0
f (x) = +∞
Dizemos que o limite a direita de f (x) quando x tende a x0 e −∞ separa cada N > 0 e possıvel encontrar δ > 0 tal que, para todox ∈ dom f , x ∈ (x0, x0 + δ)⇒ f (x) < −N.
Notacao: limx→x+
0
f (x) = −∞
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Limite e continuidade de funcoes
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Exemplos
(1) limx→0+
1x = +∞ e lim
x→0−
1x = −∞
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Limite e continuidade de funcoes
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Exemplos
(2) limx→3+
2−xx−3 = −∞ e lim
x→3−
2−xx−3 = +∞
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Limites no infinito
Seja f uma funcao de uma variavel real a valores reais definida num intervalo (a,+∞), para alguma ∈ R.
Dizemos que o limite de f (x) quando x tende a +∞ e L se para cada ε > 0 e possıvel encontrarM > 0 tal que, para todo x ∈ dom f , x > M ⇒ |f (x)− L| < ε.
Notacao: limx→+∞
f (x) = L
Dizemos que o limite de f (x) quando x tende a +∞ e +∞ se para cada N > 0 e possıvelencontrar M > 0 tal que, para todo x ∈ dom f , x > M ⇒ f (x) > N.
Notacao: limx→+∞
f (x) = +∞
Dizemos que o limite de f (x) quando x tende a +∞ e −∞ se para cada N > 0 e possıvelencontrar M > 0 tal que, para todo x ∈ dom f , x > M ⇒ f (x) < −N.
Notacao: limx→+∞
f (x) = −∞
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Limites no infinito
Seja f uma funcao de uma variavel real a valores reais definida num intervalo (−∞, a), paraalgum a ∈ R.
Dizemos que o limite de f (x) quando x tende a −∞ e L se para cada ε > 0 e possıvel encontrarM > 0 tal que, para todo x ∈ dom f , x < −M ⇒ |f (x)− L| < ε.
Notacao: limx→−∞
f (x) = L
Dizemos que o limite de f (x) quando x tende a −∞ e +∞ se para cada N > 0 e possıvelencontrar M > 0 tal que, para todo x ∈ dom f , x < −M ⇒ f (x) > N.
Notacao: limx→−∞
f (x) = +∞
Dizemos que o limite de f (x) quando x tende a −∞ e −∞ se para cada N > 0 e possıvelencontrar M > 0 tal que, para todo x ∈ dom f , x < −M ⇒ f (x) < −N.
Notacao: limx→−∞
f (x) = −∞
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Limite e continuidade de funcoes
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Exemplos
(1) limx→+∞
xn = +∞
(2) limx→−∞
xn =
{+∞ se n e par−∞ se n e ımpar
(3) limx→+∞
ax =
{+∞ se a > 1
0 se 0 < a < 1
(4) limx→−∞
ax =
{0 se a > 1
+∞ se 0 < a < 1
(5) limx→+∞
loga(x) =
{+∞ se a > 1−∞ se 0 < a < 1
(6) limx→0+
loga(x) =
{−∞ se a > 1+∞ se 0 < a < 1
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Limite e continuidade de funcoes
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Calculo de limites
No que segue:
• ∗ ∈ {x0, x−0 , x
+0 ,+∞,−∞}
• O sımbolo “?” indica que ha uma indeterminacao.
limx→∗
f (x) a a a +∞ −∞ +∞ −∞limx→∗
g(x) b +∞ −∞ +∞ −∞ −∞ +∞limx→∗
(f + g)(x) a + b +∞ −∞ +∞ −∞ ? ?
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Calculo de limites
limx→∗
f (x) a a > 0 a < 0 +∞ +∞ −∞ −∞ 0 ±∞limx→∗
g(x) b ±∞ ±∞ +∞ −∞ +∞ −∞ ±∞ 0
limx→∗
(fg)(x) ab ±∞ ∓∞ +∞ −∞ −∞ +∞ ? ?
Observacoes:
• (Diferenca) f (x)− g(x) = f (x) + (−1)g(x)
• (Quociente) f (x)g(x) = f (x) · 1
g(x)
limx→∗
1
g(x)=
1/b se limx→∗ g(x) = b 6= 00 se limx→∗ g(x) = ±∞+∞ se limx→∗ g(x) = 0 e g(x) > 0 numa vizinhanca perfurada de ∗−∞ se limx→∗ g(x) = 0 e g(x) < 0 numa vizinhanca perfurada de ∗
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Limite e continuidade de funcoes
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Exemplos
(1) limx→+∞
(5x4 + x) = +∞ e limx→−∞
(5x4 + x) = +∞
(2) limx→+∞
(−2x3 + 4x − 3) = −∞ e limx→−∞
(−2x3 + 4x − 3) = +∞
(3) limx→±∞
3x3 − x2 + 4x + 2
x3 − x2 + x − 1= 3
(4) limx→±∞
30x3 + 8x + 1
x300 − 20x + 10= 0
(5) limx→+∞
x99 − x20 + 400
2x80 + 200x= +∞ e lim
x→−∞
x99 − x20 + 400
2x80 + 200x= −∞
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Limite e continuidade de funcoes
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Limite da composta
Proposicao
Sejam f e g funcoes de uma variavel real a valores reais tais queim f ⊂ dom g e f esta definida num intervalo (a,+∞) para algum a ∈ R.Se
(i) limx→+∞
f (x) = L e
(ii) g e contınua em L
entao limx→+∞
g(f (x)) = g(L) = g
(lim
x→+∞f (x)
).
Observacao: O mesmo vale substituindo (a,+∞) por (−∞, a) e +∞ por −∞.
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Limite da composta
Proposicao
Sejam ∗ ∈ {x0, x−0 , x
+0 ,+∞,−∞} e ? ∈ {L,+∞,−∞} e sejam f e g
funcoes de uma variavel real a valores reais tais que im f ⊂ dom g e festa definida numa vizinhanca perfurada de ∗.
(i) Se limx→∗
f (x) = +∞ e limu→+∞
g(u) = ?, entao limx→∗
g(f (x)) = ?.
(ii) Se limx→∗
f (x) = −∞ e limu→−∞
g(u) = ?, entao limx→∗
g(f (x)) = ?.
Por vizinhanca perfurada de ∗ entendemos:
• (x0 − δ, x0 + δ)− {x0} para algum δ > 0, se ∗ = x0
• (x0 − δ, x0) para algum δ > 0, se ∗ = x−0
• (x0, x0 + δ) para algum δ > 0, se ∗ = x+0
• (a,+∞) para algum a ∈ R, se ∗ = +∞• (−∞, a) para algum a ∈ R, se ∗ = −∞
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Limite da composta
Proposicao
Sejam ∗ ∈ {x0, x−0 , x
+0 ,+∞,−∞}, L ∈ R e f e g funcoes de uma
variavel real a valores reais tais que im f ⊂ dom g , f esta definida numavizinhanca perfurada de ∗ e g esta definida numa vizinhanca perfuradade L.
(i) Se limx→∗
f (x) = L, limu→L
g(u) = +∞ e f (x) 6= L numa vizinhanca
perfurada de ∗, entao limx→∗
g(f (x)) = +∞.
(ii) Se limx→∗
f (x) = L, limu→L
g(u) = −∞ e f (x) 6= L numa vizinhanca
perfurada de ∗, entao limx→∗
g(f (x)) = −∞.
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Exemplos
(1) limx→±∞
3√x4 − x + π = +∞
(2) limx→±∞
ln(1 +√
25 + x2) = +∞
(3) limx→3−
e1
x−3 = 0 e limx→3+
e1
x−3 = +∞
(4) limx→1
7x10+4
(x−1)2x = +∞
(5) limx→+∞
−3x5 + 2x − 8√x6 + x + 1
= −∞
(6) limx→−∞
(√x2 + 9 + x + 3) = 3
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Teorema do confronto (ou do sanduıche)
Proposicao
Sejam f , g e h funcoes de uma variavel real a valores reais definidas numintervalo (a,+∞) para algum a ∈ R. Se
(i) f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) para todo x > a e
(ii) limx→+∞
f (x) = L = limx→+∞
h(x)
entao limx→+∞
g(x) = L.
Observacao: O mesmo vale substituindo (a,+∞) por (−∞, a), > por < e +∞ por −∞.
Exemplos:
(a) limx→±∞
sen x
x= 0
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Teorema do confronto (ou do sanduıche)
Proposicao
Seja ∗ ∈ {x0, x−0 , x
+0 ,+∞,−∞} e sejam f e g funcoes de uma variavel
real a valores reais definidas numa vizinhanca perfurada de ∗. Se
(i) g(x) ≥ f (x) para todo x numa vizinhanca perfurada de ∗ e
(ii) limx→∗
f (x) = +∞
entao limx→∗
g(x) = +∞.
Observacao: O mesmo vale substituindo ≥ por ≤ e +∞ por −∞.
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Limite e continuidade de funcoes
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Exemplos
(1) (Limite Fundamental) limx→+∞
(1 +
1
x
)x
= e
(2) (Limite Fundamental) limx→−∞
(1 +
1
x
)x
= e
(3) limx→0
(1 + x)1x = e
(4) limx→0
ex − 1
x= 1
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Teorema do Valor Intermediario
Teorema do Valor Intermediario
Seja f : [a, b]→ R uma funcao contınua. Se γ e um numero real entref (a) e f (b), entao existe c ∈ [a, b] tal que f (c) = γ.
Teorema do Anulamento
Seja f : [a, b]→ R uma funcao contınua. Se f (a) e f (b) tem sinaiscontrarios, entao existe c ∈ [a, b] tal que f (c) = 0.
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Aplicacoes
(1) A funcao f : R→ R dada por f (x) = tem raiz real.
(2) O polinomio x3 − 4x − 2 tem exatamente tres raızes reais distintas.
(3) Todo polinomio com coeficientes reais de grau ımpar tem pelo menosuma raiz real.
(4) A equacao cos x = x tem uma solucao entre 0 e 1.
(5) A equacao ln x = e−x tem uma solucao entre 1 e 2.
(6) A equacao arctg x = 1− x tem solucao em R.
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