Post on 06-Jul-2015
description
transcript
Manual de Matemáticas Financiera
Matemáticas financieras, dirigido tanto a estudiantes universitarios como a
profesionales del sector financiero, que estén interesados en conseguir una base
de conocimiento sólida y extensa de esta materia.
1. Valor temporal del dinero
2. Capitalización simple (I)
3. Capitalización simple: Ejercicios
4. Capitalización compuesta
5. Capitalización compuesta vs capitalización simple
6. Capitalización compuesta: Ejercicios
7. Descuento comercial
8. Descuento comercial: Ejercicios
9. Descuento racional
10. Descuento racional: Ejercicios
11. Descuento compuesto
12. Repaso de los tres tipos de descuento
13. Descuento compuesto: Ejercicios
14. Rentas financieras
15. Renta temporal constante pospagable (I)
16. Renta temporal constante prepagable (II)
17. Renta temporal constante prepagable (I)
18. Renta temporal constante prepagable (II)
19. Renta perpetua constante
20. Renta diferida y anticipada (I)
21. Renta diferida y anticipada (II)
22. Rentas constantes: Ejercicios (I)
23. Rentas variables
24. Rentas con distintos tipos de interés
25. Ejercicios
26. TAE
27. TAE: Ejercicios
28. Descuento bancario de efectos comerciales
29. Descuento bancario y depósito en garantía
30. Descuento por "pronto-pago"
31. Letras del Tesoro
32. Cuenta de crédito
33. Compra-venta de acciones (I)
34. Compra-venta de acciones (II)
35. Préstamos
36. Préstamos con cuotas de amortización constantes (Método francés
37. Préstamos con cuotas de amortización constantes: Ejercicios
38. Présamos con amortización de capital constante
39. Préstamos con amortización de capital constante: Ejercicio
40. Préstamos con amortización única al vencimiento (Método americano
simple)
41. Préstamo con periodo de carencia
42. Préstamo con periodo de carencia: Ejercicios
43. Préstamos con distintos tipos de interés (I)
44. Préstamos con distintos tipos de interés (II)
45. Préstamo con distintos tipos de interés Ejercicios
46. Préstamos hipotecarios
47. Préstamos con intereses anticipados
48. Préstamos con intereses anticipados (II)
49. Valoración de préstamos
50. Empréstitos: Introducción
51. Deuda del Estado
52. Deuda del Estado: Ejercicios
53. Empréstitos con amortizaciones parciales de capital
54. Empréstitos sin vencimiento
55. Empréstitos: amortización por sorteo (I)
56. Empréstitos: amortización por sorteo (II)
57. Emprédtitos: cupón cero (I)
58. Empréstitos: cupón cero (II)
59. Obligaciones convertibles
60. Rentabilidad de un empréstito
61. Obligación con bonificación fiscal
62. Obligación con bonificación fiscal: Ejercicio (I)
63. Obligación con bonificación fiscal: Ejercicio (II)
64. Valoración de una inversión (I)
65. Valoración de una inversión (II)
66. Valoración de una inversión (Ejercicio)
1. Valor Temporal del Dinero
El factor tiempo juega un papel decisivo a la hora de fijar el valor de un capital. No
es lo mismo disponer de 1 millón de pesetas hoy que dentro de un año, ya que el
dinero se va depreciando como consecuencia de la inflación.
Por lo tanto, 1 millón de pesetas en el momento actual será equivalente a 1 millón
de pesetas más una cantidad adicional dentro de un año. Esta cantidad adicional
es la que compensa la perdida de valor que sufre el dinero durante ese periodo.
Hay dos reglas básicas en matemáticas financieras:
Ante dos capitales de igual cuantía en distintos momentos, se preferirá
aquél que sea más cercano
Ante dos capitales en el mismo momento pero de distinto importe, se
preferirá aquel de importe más elevado
Para poder comparar dos capitales en distintos instantes, hay que hallar el
equivalente de los mismos en un mimo momento, y para ello utilizaremos las
formulas de matemática financiera.
Ejemplo: ¿Qué es preferible disponer de 2 millones de pesetas dentro de 1 año o de 4 millones dentro de 5 años?.
Para contestar a esta pregunta hay que calcular equivalentes de ambos importes
en un mismo instante.
Así, por ejemplo, si aplicando las leyes financiera resulta que el primer importe
equivale a 1,5 millones en el momento actual, y el segundo equivale a 1,4 millones,
veremos que es preferible elegir la primera opción.
Hemos calculado los importes equivalentes en el momento actual, pero podríamos
haber elegido cualquier otro instante (dentro de 1 año, dentro de 5 años, etc), y la
elección habría sido la misma.
Las leyes financieras que nos permiten calcular el equivalente de un capital en un
momento posterior, se llaman Leyes de Capitalización, mientras que aquellas que
nos permiten calcular el equivalente de un capital en un momento anterior, se
denominan Leyes de Descuento.
Estas leyes financieras nos permite también sumar o restar capitales en distintos
momentos.
Ejemplo: Si vamos a recibir 1 millón de pesetas dentro de 6 meses y 2 millones dentro de 9 meses, no los podemos sumar directamente, sino que tendremos que hallar sus equivalente en un mismo instante (el momento actual, dentro de 6 meses, 9 meses, etc.) y entonces si se podrán sumar.
2. La Capitalización Simple
La capitalización simple es una formula financiera que permite calcular el
equivalente de un capital en un momento posterior. Es una ley que se utiliza
exclusivamente en el corto plazo (periodos menores de 1 año), ya que para
periodos más largos se utiliza la "Capitalización compuesta", que veremos en la
siguiente lección.
La formula que nos sirve para calcular los intereses que genera un capital
es la siguientes:
X
I = Co * i * t
X
" I " son los intereses que se generan
" Co " es el capital inicial (en el momento t=0)
" i " es la tasa de interés que se aplica
" t " es el tiempo que dura la inversión
X
Veamos un ejemplo: calcular los intereses que generan 5 millones de
pesetas a un tipo del 15% durante un plazo de 1 año.
X
I = 5.000.000 * 0,15 * 1
I = 750.000 ptas.
X
Una vez que hemos calculado el importe de los intereses, podemos calcular
el importe del capital final:
Cf = Co + I
Cf = Co + ( Co * i * t ) (sustituyendo "I" por su equivalente)
Cf = Co * ( 1 + ( i * T )) (sacando factor común "Co")
X x
" Cf " es el capital final
Ejemplo: ¿Cual era el capital final en el ejemplo anterior?
Cf = Co + I
Cf = 5.000.000 + 750.000
Cf = 5.750.000
Hay un aspecto que es importante tener en cuenta: el tipo de interés y el
plazo deben referirse a la misma medida temporal (si el tipo es anual, el
plazo debe de ir en año, si el tipo es mensual, el plazo irá en mesas, etc.).
¿ Como se calcula el tipo de interés equivalente, según distinta unidad de
tiempo ? Muy fácil, lo vamos a ver con un ejemplo: tipos equivalentes a una
tasa anual del 15%.
X
Base temporal Calculo Tipo resultante
X
Año 15 / 1 15 %
Semestre 15 / 2 7,5 %
Cuatrimestre 15 / 3 5 %
Trimestre 15 / 4 3,75 %
Mes 15 / 12 1,25 %
Día 15 / 365 0,041 %
El resultado que se habría obtenido en el anterior ejemplo es independiente
del tipo de base temporal que se hubiera tomado. Eso sí, si el interés va en
base semestral, el plazo irá en semestre, etc.
Base temporal Intereses
X
Año 5.000.000 * 0,15 * 1 = 750.000
Semestre 5.000.000 * 0,075 * 2 = 750.000
Cuatrimestre 5.000.000 * 0,05 * 3 = 750.000
Trimestre 5.000.000 * 0,0375 * 4 = 750.000
Mes 5.000.000 * 0,0125 * 12 = 750.000
Día 5.000.000 * 0,0041 * 365 = 750.000
Veamos ahora un ejemplo:
Ejemplo: calcular los intereses que producen 1 millón de pesetas al 15%
anual durante 3 meses:
X
Si utilizo como base temporal meses, tengo que
calcular el tipo mensual equivalente al 15% anual:
1,25% (= 15 / 12)
Ya puedo aplicar la formula: I = Co * i + t
I = 5.000.000 * 0,0125 * 3 = 187.500
3. Capitalización simple: Ejercicios.
Ejercicio 1: Calcular el interés que generan 500.000 ptas. durante 4 meses
a un tipo de interés anual del 10%.
Ejercicio 2: Calcular el capital final que tendríamos si invertimos 1.000.000
ptas. durante 6 meses al 12%.
Ejercicio 3: Recibimos 500.000 ptas. dentro de 6 meses y 800.000 ptas.
dentro de 9 meses, y ambas cantidades las invertimos a un tipo del 15%.
Calcular que importe tendríamos dentro de 1 año.
Ejercicio 4: ¿ Qué es preferible recibir 500.000 ptas. dentro de 3 meses,
400.000 ptas. dentro de 6 meses, o 600.000 ptas. dentro de 1 año, si estos
importe se pueden invertir al 12% ?
Ejercicio 5: Calcular los tipos anuales equivalentes: a) 4% semestral; b) 3%
cuatrimestral; c) 5% trimestral; d) 1,5% mensual.
SOLUCIONES
Ejercicio 1:
Aplicamos la formula del interés: I = C * i * t
X
Como el tiempo está expresado en meses, tenemos que
calcular el equivalente en base mensual del 15% anual (cuando
se da un tipo de interés y no se indica nada, se sobreentiende
que es anual)
X
Luego, i (12) = 10 / 12 = 0,08333 (es el tipo mensual
equivalente)
X
Se podría también haber dejado el tipo anual, y haber puesto el
plazo (4 meses) en base anual (= 0,33 años). El resultado
habría sido el mismo. Comprobar
X
Una vez que tengo el tipo mensual equivalente, aplico la formula
del interés.
X
Luego, I = 500.000 * 0,0083 * 4
Luego, I = 16.666 ptas.
Ejercicio 2:
La formula del capital final es: Cf = Co + I (capital inicial más
intereses)
X
Tenemos que calcular, por tanto, los intereses I = Co * i * t
X
Luego, I = 1.000.000 * 0,12 * 0,5 (hemos dejado el tipo de
interés en base anual (12%) y hemos expresado el plazo en
años (0,5 años))
Luego, I = 60.000 ptas.
X
Ya podemos calcular el capital final.
X
Luego, Cf = 1.000.000 + 60.000
Luego, Cf = 1.060.000 ptas.
x
Ejercicio 3:
Tenemos que calcular el capital final de ambos importes dentro
de 1 año y sumarlos
X
1er importe: Cf = Co + I
Calculamos los intereses I = Co * i * t
Luego, I = 500.000 * 0,15 * 0,5 (dejamos el tipo de interés en
base anual y expresamos el plazo en año. El plazo son 6 meses
(0,5 años), ya que recibimos el capital dentro de 6 meses y lo
tenemos invertido hasta dentro de 1 año)
Luego, I = 37.500 ptas.
Luego, Cf = 500.000 + 37.500 = 537.500 ptas.
X
2do importe: Cf = Co + I
Calculamos los intereses I = Co * i * t
Luego, I = 800.000 * 0,15 * 0,25 (el plazo es de 3 meses (0,25
años), ya que recibimos el capital dentro de 9 meses y se
invierte hasta dentro de 1 año)
Luego, I = 30.000 ptas.
Luego, Cf = 800.000 + 30.000 = 830.000 ptas.
X
Ya podemos sumar los dos importe que tendremos dentro de 1
año
X
Luego, Ct = 537.500 + 830.000 = 1.367.500 ptas.
x
Ejercicio 4:
Entre la 1ª y 2ª opción (recibir 500.000 ptas. dentro de 3 meses
o 400.000 dentro de 6 meses), está claro que es preferible la
primera, ya que el importe es más elevado y se recibe antes.
X
Por lo tanto, la 2ª opción queda descartada, y sólo habrá que
comparar la 1ª con la 3ª (recibir 600.000 dentro de 1 año).
X
Como estos importes están situados en momentos distintos, no
se pueden comparar directamente, y hay que llevarlos a un
mismo instante. Vamos a calcular los importes equivalentes
dentro de 1 año (se podría haber elegido otro momento, por
ejemplo el momento actual, pero en este caso habría que
aplicar la formula de descuento que todavía no hemos visto).
X
1er importe: Cf = Co + I
Calculamos los intereses I = Co * i * t
Luego, I = 500.000 * 0,15 * 0,75 (el plazo es de 9 meses (0,75
años))
Luego, I = 56.250 ptas.
Luego, Cf = 500.000 + 56.250 = 556.250 ptas.
X
3er importe: Cf = 600.000 (no se calculan intereses, ya que el
importe ya está situado dentro de 1 año)
X
Por lo tanto, la opción 3ª es más ventajosa.
Ejercicio 5:
Vamos a calcular los tipos anuales equivalentes:
X
a) 4% semestral: si i(2) = i / 2 (expresamos por "i(2)" el tipo
semestral y por "i" el anual)
Luego, 4% = i /2
Luego, i = 8% (el tipo anual equivalente es el 8%)
X
b) 3% cuatrimestral: si i(3) = i / 3 (expresamos por "i(3)" el tipo
cuatrimestral y por "i" el anual)
Luego, 3% = i /3
Luego, i = 9% (el tipo anual equivalente es el 9%)
X
c) 5% trimestral: si i(4) = i / 4 (expresamos por "i(4)" el tipo
trimestral y por "i" el anual)
Luego, 5% = i /4
Luego, i = 20% (el tipo anual equivalente es el 20%)
X
d) 1,5% mensual: si i(12) = i / 12 (expresamos por "i(12)" el tipo
mensual y por "i" el anual)
Luego, 1,5% = i / 12
Luego, i = 18% (el tipo anual equivalente es el 18%)
4. Capitalización compuesta.
La capitalización compuesta es otra formula financiera que también permite
calcular el equivalente de un capital en un momento posterior.
La diferencia entre la capitalización simple y la compuesta radica en que en
la simple sólo genera intereses el capital inicial, mientras que en la
compuesta se considera que los intereses que va generando el capital
inicial, ellos mismos van generando nuevos intereses.
Decíamos que la capitalización simple sólo se utiliza en operaciones a corto
plazo (menos de 1 año), mientras que la capitalización compuesta se utiliza
tanto en operaciones a corto plazo, como a largo plazo.
La formula de capitalización compuesta que nos permite calcular los
intereses es la siguiente:
I = Co * ((( 1 + i) ^ t ) - 1 ) (el símbolo " ^ " significa "elevado a
")
" I " son los intereses que se generan
" Co " es el capital inicial (en el momento t=0)
" i " es la tasa de interés que se aplica
" t " es el tiempo que dura la inversión
Veamos un ejemplo: calcular los intereses que generan 2 millones de
pesetas a un tipo del 10% durante un plazo de 1 año.
I = 2.000.000 * (((1 + 0,1) ^ 1) - 1)
I = 200.000 * (1,1 - 1)
I = 20.000 ptas.
Una vez calculado el importe de los intereses, podemos calcular el importe
del capital final:
Cf = Co + I
Cf = Co + Co * (((1 + i) ^ t) - 1) (sustituyendo "I" por su
equivalente)
Cf = Co * (( 1 + i) ^ t) (sacando factor común "Co")
" Cf " es el capital final
Ejemplo: ¿ Cual será el capital final en el ejemplo anterior ?
Cf = Co + I
Cf = 2.000.000 + 20.000
Cf = 2.020.000 ptas.
Al igual que vimos al estudiar la capitalización simple, también en la
capitalización compuesta es importante tener en cuenta que el tipo de
interés y el plazo deben referirse a la misma base temporal.
El calculo de los tipos de interés equivalentes, referidos a distinta base
temporal, es diferente al que vimos en la capitalización simple. La formula
de cálculo es la siguiente:
1 + i = ( 1 + im ) ^ m (m se refiere a la base temporal que se
utiliza)
(m = 1, para años)
(m = 2, para semestres)
(m = 3, para cuatrimestres)
(m = 4, para trimestres)
(m = 12, para meses)
(m = 365, para días)
Veamos, por ejemplo, los tipos equivalentes al 15% anual.
Base temporal Calculo Tipo equivalente
Semestre 1 + 0,15 = (1 + i2) ^ 2 i2 = 7,24 %
Cuatrimestre 1 + 0,15 = (1 + i3) ^ 3 i3 = 4,76 %
Trimestre 1 + 0,15 = (1 + i4) ^ 4 i4 = 3,56 %
Mes 1 + 0,15 = (1 + i12) ^
12 i12 = 1,17 %
Día 1 + 0,15 = (1 + i365) ^
365 i365 = 0,038 %
5. Capitalización compuesta vs capitalización simple
Ambas leyes de capitalización dan resultados diferentes. Vamos a analizar
en que medida la aplicación de una u otra ley en el cálculo de los intereses
da resultados mayores o menores, y para ello vamos a distinguir tres
momentos:
a) Periodos inferiores a la unidad de referencia (en nuestro caso el año): en este
supuesto, los intereses calculados con la ley de capitalización simple son mayores
que los calculados con la ley de capitalización compuesta.
Veamos un ejemplo: calcular los intereses devengados por un capital de 4
millones de pesetas, durante 3 meses, a un tipo de interés del 12%:
a.1.) Capitalización simple
I = Co * i * t
Luego, I = 4.000.000 * 0,12 * 0,25 (hemos puesto tipo y plazo
en base anual)
Luego, I = 120.000 ptas.
a.2.) Capitalización compuesta
I = Co * (((1 + i) ^ t) - 1)
Luego, I = 4.000.000 * (((1 + 0,12) ^ 0,25) - 1)
Luego, I = 4.000.000 * (1,029 - 1)
Luego, I = 116.000 ptas.
Se comprueba, por tanto, como el interés calculado con la formula de la
capitalización simple es superior al calculado con la formula de capitalización
compuesta.
b) Periodos iguales a un año: en estos casos, ambas formulas dan resultados
idénticos.
Veamos un ejemplo: calcular los intereses devengados por un capital de 2
millones de pesetas, durante 1 año, a un tipo de interés del 15%:
a.1.) Capitalización simple
I = Co * i * t
Luego, I = 2.000.000 * 0,15 * 1 (tipo y plazo en base anual)
Luego, I = 300.000 ptas.
a.2.) Capitalización compuesta
I = Co * (((1 + i) ^ t) - 1)
Luego, I = 2.000.000 * (((1 + 0,15) ^ 1) - 1)
Luego, I = 2.000.000 * (1,15 - 1)
Luego, I = 300.000 ptas.
Se comprueba, por tanto, como los intereses calculados con ambas formulas son
iguales.
c) Periodos superiores a un año: en estos casos, los intereses calculados con la
formula de capitalización compuesta son superiores a los calculados con la
formula de capitalización simple.
Veamos un ejemplo: calcular los intereses devengados por un capital de 5
millones de pesetas, durante 2 años, a un tipo de interés del 10%:
a.1.) Capitalización simple
I = Co * i * t
Luego, I = 5.000.000 * 0,10 * 2 (tipo y plazo en base anual)
Luego, I = 1.000.000 ptas.
a.2.) Capitalización compuesta
I = Co * (((1 + i) ^ t) - 1)
Luego, I = 5.000.000 * (((1 + 0,1) ^ 2) - 1)
Luego, I = 5.000.000 * (1,21 - 1)
Luego, I = 1.050.000 ptas.
Se puede comprobar, por tanto, como en este caso el interés calculado con la
formula de capitalización compuesta es más elevado.
No obstante, como ya hemos indicado en lecciones anteriores, la formula de
capitalización simple sólo se utiliza con operaciones de corto plazo (menos de 1
año), mientras que la de capitalización compuesta se puede utilizar en el corto y
en el largo plazo.
6. Capitalización compuesta: Ejercicios.
Ejercicio 1: Calcular el interés de un capital de 5.000.000 ptas. invertidos
durante un año y medio al 16%, aplicando capitalización simple y
capitalización compuesta.
Ejercicio 2: Hallar el equivalente del 16% anual en base: a) mensual; b)
cuatrimestral; c) semestral. Aplicando la formula de capitalización
compuesta.
Ejercicio 3: Se recibe un capital de 1 millón de ptas. dentro de 6 meses y
otro capital de 0,5 millones ptas. dentro de 9 meses. Ambos se invierten al
12% anual. ¿ Que importa se tendrá dentro de 1 año, aplicando
capitalización compuesta ?.
Ejercicio 4: ¿ Qué intereses serían mayor, los de un capital de 600.000
invertidos durante 6 meses al 15% anual, aplicando capitalización simple, o
los de un capital de 500.000 ptas. invertidos durante 8 meses al tipo del
16% en capitalización compuesta ?
Ejercicio 5: ¿ Si un capital de 1 millón de pesetas genera unos intereses
durante 6 meses de 150.000 ptas, qué tipo de interés se estaría aplicando
si se estuviera aplicando la capitalización simple ?, ¿y la capitalización
compuesta ?.
SOLUCIONES
Ejercicio 1:
a) Aplicando la formula de capitalización simple: I = Co * i * t
Luego, I = 5.000.000 * 0,16 * 1,5
Luego, I = 1.200.000 ptas.
b) Aplicando la formula de capitalización compuesta: I = Co *
(((1 + i) ^ t) - 1)
Luego, I = 5.000.000 * (((1 + 0,16) ^ 1,5) - 1)
Luego, I = 5.000.000 * (1,249 - 1)
Luego, I = 1.245.000 ptas.
Ejercicio 2:
Vamos a calcular los tipos equivalentes al 16% anual:
a) En base mensual: 1 + i = (1 + i12) ^ 12 (" i" es la tasa anual)
Luego, 1 + 0,16 = (1 + i12) ^ 12
Luego, (1,16) ^ 1/12 = 1 + i12
Luego, 1,0124 = 1 + i12
Luego, i12 = 0,0124
b) En base cuatrimestral: 1 + i = (1 + i3) ^ 3 (" i" es la tasa anual)
Luego, 1 + 0,16 = (1 + i3) ^ 3
Luego, (1,16) ^ 1/3 = 1 + i3
Luego, 1,0507 = 1 + i3
Luego, i3 = 0,0507
c) En base semestral: 1 + i = (1 + i2) ^ 2 (" i" es la tasa anual)
Luego, 1 + 0,16 = (1 + i2) ^ 2
Luego, (1,16) ^ 1/2 = 1 + i2
Luego, 1,0770 = 1 + i2
Luego, i2 = 0,0770
Ejercicio 3:
Tenemos que calcular el capital final de ambos importes dentro
de 1 año y sumarlos
1er importe: Cf = Co + I
Calculamos los intereses I = Co * (((1 + i) ^ t) - 1)
Luego, I = 1.000.000 * (((1+0,12) ^ 0,5) - 1) (tipo y plazo en base
anual)
Luego, I = 58.301 ptas.
Luego, Cf = 1.000.000 + 58.301 = 1.058.301 ptas.
2do importe: Cf = Co + I
Calculamos los intereses I = Co * (((1 + i) ^ t) - 1)
Luego, I = 500.000 * (((1+0,12) ^ 0,25) - 1) ( tipo y plazo en base
anual)
Luego, I = 14.369 ptas.
Luego, Cf = 500.000 + 14.369 = 514.369 ptas.
Ya podemos sumar los dos importe que tendremos dentro de 1
año
Luego, Ct = 1.058.301 + 514.369 = 1.572.670 ptas.
Ejercicio 4:
a) En el 1º caso, aplicamos la fórmula de capitalización simple: I
= Co * i * t
Luego, I = 600.000 * 0,15 * 0,5 (tipo y plazo en base anual)
Luego, I = 45..000 ptas.
b) En el 2º caso, aplicamos capitalización compuesta: I = Co *
(((1 + i) ^ t) - 1)
Luego, I = 500.000 * (((1 + 0,16) ^ 0,66) - 1) ( tipo y plazo en
base anual)
Luego, I = 500.000 * (1,249 - 1)
Luego, I = 51.458 ptas.
Luego en la 2ª opción los intereses son mayores.
Ejercicio 5:
a) Aplicando la formula de capitalización simple: I = Co * i * t
Luego, 150.000 = 1.000.000 * i * 0,5 (tipo y plazo en base anual)
Luego, i = 150.000 / 500.000
Luego, i = 0,3
Por lo tanto, se está aplicando un tipo de interés anual del 30%
b) Aplicando la formula de capitalización compuesta: I = Co *
(((1 + i) ^ t) - 1)
Luego, 150.000 = 1.000.000 * (((1 + i) ^ 0,5) - 1)
Luego, 150.000 = 1.000.000 * ((1 + i) ^ 0,5) - 1.000.000
Luego, 1.150.000 = 1.000.000 * (((1 + i) ^ 0,5)
Luego, 1.150.000 / 1.000.000 = (1 + i) ^ 0,5
Luego, 1,15 = (1 + i) ^ 0,5
Luego, (1,15) ^ 2 = 1 + i
Luego, 1,322 = 1 + i
Luego, i = 0,322
Por lo tanto, se está aplicando un tipo de interés anual del
32,2%
7. Descuento comercial
La operación financiera de descuento es la inversa a la operación de
capitalización. Con esta operación se calcula el capital equivalente en un
momento anterior de un importe futuro.
Mientras que la ley de capitalización calcula unos intereses que se les
añade al importe principal, compensando el aplazamiento en el tiempo de
su disposición. En las leyes de descuento es justo al contrario: se calculan
los intereses que hay que pagar por adelantar la disposición del capital.
Dentro de las leyes de descuento, se pueden distinguir tres modelos:
Descuento comercial
Descuento racional
Descuento económico
Vamos a empezar con el estudio del descuento comercial.
A) DESCUENTO COMERCIAL
La ley financiera del descuento comercial, que permite calcular el importe
del descuento, es la siguiente:
D = Co * d * t
" D " son los intereses que hay que pagar
" Co " es el capital inicial (en el momento t=0)
" d " es la tasa de descuento que se aplica
" t " es el tiempo que dura la inversión
Veamos un ejemplo: calcular los intereses de descuento que generan 2
millones de pesetas, descontados a un tipo del 15%, durante un plazo de 1
año.
D = 2.000.000 * 0,15 * 1
D = 300.000 ptas.
Una vez que conocemos el importe del descuento, se puede calcular el
capital final (que equivale al capital inicial menos el importe del
descuento):
Cf = Co – D
Cf = Co - ( Co * d * t ) (sustituyendo "D" por su
equivalente)
Cf = Co * ( 1 - ( d * t )) (sacando factor común
"Co")
" Cf " es el capital final
Ejemplo: ¿ Cual era el capital final en el ejemplo anterior ?
Cf = Co – D
Cf = 2.000.000 - 300.000
Cf = 1.700.000 ptas.
Al igual que ya hemos visto con las leyes de capitalización, es importante
tener en cuenta que el tipo de interés y el plazo deben referirse a la misma
medida temporal. El tipo de interés equivalente se calcula tal como visto al
estudiar la capitalización simple.
Recordemos el ejemplo: tipos equivalentes a una tasa anual del 15%.
Base temporal Calculo Tipo resultante
Año 15 / 1 15 %
Semestre 15 / 2 7,5 %
Cuatrimestre 15 / 3 5 %
Trimestre 15 / 4 3,75 %
Mes 15 / 12 1,25 %
Día 15 / 365 0,041 %
Veamos un ejemplo: calcular los intereses de descuento de un capital de
600.000 pesetas al 15% anual durante 3 meses:
Si utilizo como base temporal meses, tengo que
calcular el tipo mensual de descuento equivalente al
15% anual: 1,25% (= 15 / 12)
Ya puedo aplicar la formula: D = Co * d + t
D = 600.000 * 0,0125 * 3 = 22.500 ptas.
La ley de descuento comercial, al igual que la de capitalización simple, sólo
se utiliza en el corto plazo (operaciones a menos de 1 año).
8. Descuento comercial: Ejercicios.
Ejercicio 1: Calcular el descuento por anticipar un capital de 800.000 ptas.
por 7 meses a un tipo de descuento del 12%.
Ejercicio 2: Calcular el capital final que quedaría en la operación anterior.
Ejercicio 3: Se descuentan 200.000 ptas. por 6 meses y 900.000 ptas. por 5
meses, a un tipo de descuento del 15%. Calcular el capital actual total de
las dos operaciones.
Ejercicio 4: ¿ Qué importe actual es más elevado: el que resulta de
descontar 1.000.000 ptas. por 6 meses al 12%, o el de descontar 1.200.000
ptas. por 9 meses al 15% ?
Ejercicio 5: Se descuentan 800.000 ptas. por un plazo de 4 meses, y los
interese del descuento son 40.000 ptas. Calcular el tipo del descuento.
SOLUCIONES
Ejercicio 1:
Aplicamos la formula del interés: D = C * d * t
Como el plazo está expresado en meses, tenemos que calcular
el tipo de descuento en base mensual equivalente al 12% anual.
Luego, d (12) = 12 / 12 = 1,0 (es el tipo de descuento mensual
equivalente)
Se podría también haber dejado el tipo anual, y haber puesto el
plazo (7 meses) en base anual (= 0,583 años). El resultado
habría sido el mismo. Comprobar
Una vez que tengo el tipo mensual equivalente, aplico la formula
del interés.
Luego, D = 800.000 * 0,01 * 7 (un tipo del 1% equivales a 0,01)
Luego, D = 56.000 ptas.
Ejercicio 2:
La formula del capital final es: Cf = Co - D (capital inicial menos
descuento)
Luego, Cf = 800.000 - 56.000
Luego, Cf = 744.000 ptas.
Ejercicio 3:
Tenemos que calcular el capital final de ambas operaciones
1er importe: Cf = Co - D
Calculamos los intereses de descuento D = Co * d * t
Luego, D = 200.000 * 0,15 * 0,5 (dejamos el tipo de interés en
base anual y expresamos el plazo en año: 6 meses equivale a
0,5 años. Hubiera dado igual dejar el plazo en meses y calcular
el tipo de descuento mensual equivalente)
Luego, D = 15.000 ptas.
Luego, Cf = 200.000 - 15.000 = 185.000 ptas.
2do importe: Cf = Co - D
Calculamos los intereses de descuento D = Co * d * t
Luego, D = 900.000 * 0,15 * 0,4166 (5 meses equivale a 0,4166
años).
Luego, D = 56.241 ptas.
Luego, Cf = 900.000 - 56.241 = 843.759 ptas.
Ya podemos sumar los dos importes
Luego, Cf = 185.000 + 843.759 = 1.028.759 ptas.
Ejercicio 4:
1er importe: Cf = Co - D
Calculamos los intereses D = Co * d * t
Luego, D = 1.000.000 * 0,12 * 0,5
Luego, D = 60.000 ptas.
Luego, Cf = 1.000.000 - 60.000 = 940.000 ptas.
2do importe: Cf = Co - D
Calculamos los intereses D = Co * d * t
Luego, D = 1.200.000 * 0,15 * 0,75
Luego, D = 135.000 ptas.
Luego, Cf = 1.200.000 - 135.000 = 1.065.000 ptas.
Por lo tanto, la opción 2ª es mayor.
Ejercicio 5:
Aplicamos la formula del interés: D = C * d * t
Luego, 40.000 = 800.000 * d * 0,333
Luego, d = 40.000 / 266.400 (ya que 266.400 = 800.000 *
0,333)
Luego, d = 0,1502
Por lo tanto, hemos aplicado un tipo anual del 15,02%
9. Descuento racional.
La ley financiera de descuento racional viene definida de la siguiente
manera:
D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t)
" D " son los intereses que hay que pagar
" Co " es el capital inicial (en el momento t=0)
" d " es la tasa de descuento que se aplica
" t " es el tiempo que dura la inversión
Una vez que sabemos calcular los intereses de descuento, podemos ver
como se determina el capital final:
Cf = Co – D
Cf = Co - (( Co * d * t ) / (1 + d * t)) (sustituyendo "D")
Cf = Co * ( 1 - ( d * t ) / (1 + d * t)) (sacando factor
común "Co")
Cf = Co * ( ( 1 + d * t - d * t ) / (1 + d *
t))
(operando en el
paréntesis)
luego, Cf = Co / (1 + d * t) " Cf " es el capital
final
Veamos un ejemplo: Calcular los intereses de descuento por anticipar un
capital de 1.200.000 ptas., durante 8 meses, a un tipo de interés del 14%.
Aplicamos la fórmula D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t)
luego, D = ( 1.200.000 * 0,14 * 0,666 ) / (1 + 0,14 *
0,666)
(0,666 es el equivalente anual de 8 meses)
luego, D = 102.345 ptas.
Podemos ahora calcular el capital final. Lo vamos a
calcular de dos maneras:
a) Aplicando la fórmula Cf = Co - D (capital final es igual
al capital inicial menos los intereses de descuento):
luego, Cf = 1.200.000 - 102.345
luego, Cf = 1.097.655 ptas.
b) Aplicando la fórmula Cf = Co / (1 + d * t)
luego, Cf = 1.200.000 / (1 + 0,14 * 0,666)
luego, Cf = 1.200.000 / 1,09324
luego, Cf = 1.097.655 ptas.
La ley de descuento racional es el equivalente, en sentido inverso, de la ley
de capitalización simple, y, al igual que ésta, sólo se suele utilizar en
operaciones a menos de 1 año. Esta relación de equivalencia no se cumple
con la ley de descuento comercial.
Con el término equivalente nos referimos al hecho de que descontando un
capital a un tipo de interés, y capitalizando el capital resultante con el
mismo tipo de interés, volvemos al capital de partida.
Veamos un ejemplo: Descontar un capital de 1.000.000 ptas., por un plazo
de 6 meses al 10%, y el importe resultante capitalizarlo (capitalización
simple) por el mismo plazo y con el mismo tipo de interés. a) Aplicando el
descuento racional; b) Aplicando el descuento comercial.
a) Aplicando el descuento racional
Primero descuento aplicando la fórmula Cf = Co / (1 + d
* t)
luego, Cf = 1.000.000 / (1 + 0,1 * 0,5)
luego, Cf = 952.381 ptas.
Una vez obtenido el capital descontado, lo capitalizo
aplicando la fórmula de capitalización simple Cf = Co *
(1 + (i * t))
(El capital descontado, 952.381 ptas, pasa a ser ahora
"Co")
luego, Cf = 952.381 * (1 + (0,1 * 0,5))
luego, Cf = 1.000.000 ptas.
Vemos que se ha cumplido la ley de equivalencia, y que
hemos vuelto al capital de partida
b) Aplicando el descuento comercial
Primero descuento aplicando la fórmula Cf = Co * ( 1 -
( d * t ))
luego, Cf = 1.000.000 * (1 - 0,1 * 0,5)
luego, Cf = 950.000 ptas.
Ahora capitalizo Cf = Co * (1 + (i * t))
luego, Cf = 950.000 * (1 + (0,1 * 0,5))
luego, Cf = 997.500 ptas.
No se cumple, por tanto, la relación de equivalencia
Como se ha podido ver en el ejemplo, el descuento que se calcula
aplicando la ley de descuento racional es menor que el que se calcula
aplicando la ley de descuento comercial
10. DESCUENTO RACIONAL:EJERCICIOS
Ejercicio 1: Calcular el descuento por anticipar un capital de 500.000 ptas.
por 4 meses a un tipo de descuento del 12%; a ) aplicando el descuento
racional, b) aplicando el descuento comercial.
Ejercicio 2: Se ha descontado un capital de 1.000.000 ptas. por 3 meses, y
los intereses de descuento han ascendido a 40.000 ptas. Calcular el tipo de
interés aplicado (descuento racional).
Ejercicio 3:Se descuentan 200.000 ptas. al 12% y los intereses de
descuento ascienden a 15.000 ptas. Calcular el plazo del descuento
(descuento racional).
Ejercicio 4: Los intereses de descuento de anticipar un capital por 8 meses,
al 10%, ascienden a 120.000. Calcular el importe del capital inicial
(descuento racional).
Ejercicio 5: Se descuentan 2.000.000 ptas. por un plazo de 4 meses, a un
tipo del 10% (descuento racional). Calcular que tipo habría que aplicar si se
utilizara el descuento comercial, para que el resultado fuera el mismo.
SOLUCIONES
Ejercicio 1:
a) Aplicando el descuento racional: D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t)
X
Luego, D = ( 500.000 * 0,12 * 0,333 ) / (1 + 0,12 * 0,333)
Luego, D = 19.212 ptas.
X
b) Aplicando el descuento comercial: D = Co * d * t
X
Luego, D = 500.000 * 0,12 * 0,333
Luego, D = 19.980 ptas.
Ejercicio 2:
La formula aplicada ha sido D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t)
X
Luego, 40.000 = (1.000.000 * d *0,25 ) / (1 + d * 0,25)
Luego, 40.000 = (250.000 * d) / (1 + d * 0,25)
Luego, 40.000 + 10.000 * d = 250.000 * d
Luego, d = 40.000 / 240.000
Luego, d = 0,1666.
X
Por lo tanto, el tipo de descuento aplicado es el 16,66%
Ejercicio 3:
La formula aplicada ha sido D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t)
X
Luego, 15.000 = (200.000 * 0,12 * t ) / (1 + 0,12 * t)
Luego, 15.000 = (24.000 * t) / (1 + 0,12 * t)
Luego, 15.000 + 1.800 * t = 24.000 * t
Luego, t = 15.000 / 22.200
Luego, t = 0,67567
X
Por lo tanto, el plazo de descuento ha sido 0,67567 años, o lo
que es lo mismo, 8,1 meses.
Ejercicio 4:
La formula aplicada ha sido D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t)
X
Luego, 120.000 = (Co * 0,10 * 0,666 ) / (1 + 0,10 * 0,666)
Luego, 120.000 = (Co * 0,0666) / 1,06666
Luego, Co = 120.000 * 1,06666 / 0,0666
Luego, Co = 1.920.000 ptas.
Ejercicio 5:
Primero vamos a calcular a cuanto ascienden los intereses de
descuento aplicando la fórmula del descuento racional D = ( Co
* d * t ) / (1 + d * t)
X
Luego, D = ( 2.000.000 * 0,1 * 0,333 ) / (1 + 0,1 * 0,333)
Luego, D = 64.516 ptas.
X
Una vez calculado los intereses de descuento, tengo que ver
que tipo de interés tendría que aplicar en el descuento comercial
para obtener el mismo resultado
X
La fórmula del descuento comercial D = Co * d * t
Xx
Luego, 64.516 = 2.000.000 * d * 0,333
Luego, d = 64.516 / 666.666
Luego, d = 0,096774
X
Por lo tanto, el tipo de interés que habría que aplicar en
descuento comercial sería el del 9,6774%.
X
Dado que, para un mismo tipo de interés, el importe de los
intereses del descuento comercial son mayores que los del
racional. Para obtener el mismo resultado, el tipo de interés del
descuento comercial tendrá que ser menor.
11. Descuento compuesto
La ley financiera de descuento compuesto viene definida de la siguiente
manera:
X
D = Co * (1 - (1 + d) ^ -t )
X
El signo " ^ " significa "elevado a". Recordemos que
"(1+d)^-t" es lo mismo que "1/(1+d)^t"
" D " son los intereses de descuento
" Co " es el capital inicial (en el momento t=0)
" d " es la tasa de descuento que se aplica
" t " es el tiempo que dura la inversión
X
El capital final queda definido de la siguiente manera:
X
Cf = Co – D
Cf = Co - ( Co * (1 - (1 + d) ^ -t )) (sustituyendo "D")
Cf = Co * (1 - (1 - (1 + d) ^ -t )) (sacando factor
común Co)
X
luego, Cf = Co * ( 1 + d ) ^ -t
Xx x
Veamos un ejemplo: Calcular los intereses de descuento por anticipar un
capital de 900.000 ptas., durante 8 meses, a un tipo de interés del 14%.
X
Aplicamos la fórmula D = Co * (1 - ((1 + d) ^ -t ))
X
luego, D = 900.000 * (1 - (1,14) ^ -0,666)
(0,666 es el equivalente anual de 8 meses)
luego, D = 900.000 * (1 - 0,9164)
luego, D = 75.281 ptas.
X
Calculamos ahora el capital final, utilizando dos
procedimientos:
X
a) Aplicando la fórmula Cf = Co - D (capital final es igual
al capital inicial menos los intereses de descuento):
X
luego, Cf = 900.000 - 75.281
luego, Cf = 824.719 ptas.
X
b) Aplicando la fórmula Cf = Co * ( 1 + d ) ^ -t
X
luego, Cf = 900.000 * (1,14) ^ -0,666
luego, Cf = 1.200.000 * 0,9164
luego, Cf = 824.719 ptas.
X
La ley de descuento compuesto es inversa de la ley de capitalización
compuesta: si descontamos un capital utilizando el descuento compuesto, y
el importe obtenido lo capitalizamos (capitalización compuesta), aplicando
el mismo tipo de interés y plazo, obtenemos el importe inicial.
Veamos un ejemplo: Descontar un capital de 2.000.000 ptas., por un plazo
de 6 meses al 15%, y el importe resultante capitalizarlo (capitalización
compuesta) por el mismo plazo y con el mismo tipo de interés.
X
Primero descuento aplicando la fórmula Cf = Co * ( 1 +
d ) ^ -t
X
luego, Cf = 2.000.000 * (1 + 0,15) ^ -0,5
luego, Cf = 1.865.010 ptas.
X
Una vez obtenido el capital descontado, lo capitalizo
aplicando la fórmula de capitalización compuesta Cf =
Co * ( 1 + i) ^ t
(El capital descontado, 1.865.010 ptas, pasa a ser
ahora "Co")
X
luego, Cf = 1.865.010 * (1 + 0,15) ^ 0,5
luego, Cf = 1.865.010 * 1,072381
luego, Cf = 2.000.000 ptas.
X
Vemos que se ha cumplido la ley de equivalencia, y que
hemos vuelto al capital de partida
X
El descuento compuesto, al igual que la capitalización compuesta se puede
utilizar tanto en operaciones de corto plazo (menos de 1 año), como de
medio y largo plazo.
En este sentido contrasta con el descuento comercial y el racional, que sólo
se utilizan en operaciones a corto plazo.
12. Repaso de los tres tipos de descuento
Hemos estudiado tres leyes de descuento:
x
a) Ley de descuento comercial
x
Intereses de descuento D = Co * d * t
Capital final Cf = Co * ( 1 - ( d * t ))
x
b) Ley de descuento racional
x
Intereses de descuento D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t)
Capital final Cf = Co / (1 + d * t)
x
c) Ley de descuento compuesto
x
Intereses de descuento D = Co * (1 - (1 + d) ^ -t )
Capital final Cf = Co * ( 1 + d ) ^ -t
x
La ley de descuento comercial y racional sólo se utiliza en operaciones a
corto plazo (menos de 12 meses). Mientras que la ley de descuento
compuesto se puede utilizar en operaciones de corto y largo plazo.
La ley de descuento racional es inversa de la ley de capitalización simple,
mientras que la ley de descuento compuesto es la inversa de la ley de
capitalización compuesta. Es decir, que si se descuenta un capital, y el
importe resultante se capitaliza al mismo plazo y tipo, se vuelve al capital
inicial.
La ley de descuento comercial no cumple esta propiedad.
El resultado de aplicar estas leyes es el siguiente:
x
La mayor carga de intereses Descuento comercial
x
La 2ª mayor carga de intereses Depende del plazo
x
Operaciones < 1 año (*) Descuento racional
Operaciones > 1 año (*) Descuento compuesto
x
La menor carga de intereses
x
Operaciones < 1 año (*) Descuento compuesto
Operaciones > 1 año (*) Descuento racional
xxx X
(*) El plazo de 1 año es en el caso de que se aplique un
mismo tipo de interés anual. Si el mismo tipo de interés
que se aplica es trimestral, entonces el plazo sería 3
meses, y así sucesivamente.
Xx
Veamos un ejemplo: Calcular el importe de los intereses de descontar un
capital de 1.000.000 ptas., a un tipo de interés del 16%, por un plazo de 8
meses.
a) Ley de descuento comercial
x
Intereses de
descuento D = Co * d * t
Luego, D = 1.000.000 * 0,16 * 0,66
Luego, D = 106.007 ptas.
x
b) Ley de descuento racional
x
Intereses de
descuento D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t)
Luego, D =
(1.000.000*0,16*0,66)/(1+0,16*0,66)
Luego, D = 96.386 ptas.
x
c) Ley de descuento compuesto
x
Intereses de
descuento D = Co * (1 - (1 + d) ^ -t )
Luego, Cf = 1.000.000*(1-(1+0,16)^-0,66)
Luego, Cf = 94.209 ptas.
x
¿ Cual de estas leyes se utiliza ?. Se puede utilizar cualquiera, con la
limitación que hemos señalado antes entre operaciones de corto y medio-
largo plazo. Lo importante para el cliente de una entidad financiera es
conocer el importe de los intereses de descuento según la ley elegida, y
decidir si la operación planteada le resulta aceptable o no.
13. Descuento compuesto: Ejercicios
Ejercicio 1: Calcular los intereses de descuento por anticipar un capital de
2.500.000 ptas. por 4 meses a un tipo de descuento del 12%; aplicando a )
descuento comercial, b) descuento racional. c) descuento compuesto
Ejercicio 2: Calcular la misma operación anterior al plazo de 1 año.
Ejercicio 3: Calcular la misma operación anterior a un plazo de 1 año y
medio.
Ejercicio 4: En el ejercicio 1º, calcular los tipos de interés que habría que
aplicar en el descuento racional y en el compuesto para obtener el mismo
resultado que en el descuento comercial.
Ejercicio 5: Los intereses de descontar 2.000.000 ptas. a un tipo del 10%
ascienden a 150.000 ptas. Calcular el plazo de descuento si se ha aplicado
la ley de a) descuento comercial, b) descuento racional, c) descuento
compuesto.
SOLUCIONES
Ejercicio 1:
a) Ley de descuento comercial
x
Intereses de
descuento D = Co * d * t
Luego, D = 2.500.000 * 0,12 * 0,33
Luego, D = 100.000 ptas.
x
b) Ley de descuento racional
x
Intereses de
descuento D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t)
Luego, D =
(2.500.000*0,12*0,33)/(1+0,12*0,33)
Luego, D = 96.154 ptas.
x
c) Ley de descuento compuesto
x
Intereses de
descuento D = Co * (1 - (1 + d) ^ -t )
Luego, Cf = 2.500.000*(1-(1+0,12)^-0,33)
Luego, Cf = 92.679 ptas.
Al ser la operación a menos de 1 año, los intereses del descuento racional son
superiores a los del descuento compuesto.
Ejercicio 2:
a) Ley de descuento comercial
x
Intereses de
descuento D = Co * d * t
Luego, D = 2.500.000 * 0,12 * 1
Luego, D = 300.000 ptas.
x
b) Ley de descuento racional
x
Intereses de
descuento D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t)
Luego, D = (2.500.000*0,12*1)/(1+0,12*1)
Luego, D = 267.857 ptas.
x
c) Ley de descuento compuesto
x
Intereses de
descuento D = Co * (1 - (1 + d) ^ -t )
Luego, Cf = 2.500.000*(1-(1+0,12)^-1)
Luego, Cf = 267.857 ptas.
Al ser la operación a 1 año, coinciden los intereses del descuento racional y los del
descuento compuesto.
Ejercicio 3:
a) Ley de descuento comercial
x
Intereses de
descuento D = Co * d * t
Luego, D = 2.500.000 * 0,12 * 1,5
Luego, D = 450.000 ptas.
x
b) Ley de descuento racional
x
Intereses
de descuento D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t)
Luego, D=(2.500.000*0,12*1,5)/(1+0,12*1,5)
Luego, D = 381.356 ptas.
x
c) Ley de descuento compuesto
x
Intereses
de descuento D = Co * (1 - (1 + d) ^ -t )
Luego, Cf = 2.500.000*(1-(1+0,12)^-1,5)
Luego, Cf = 390.823 ptas.
Al ser la operación a más de 1 año, los intereses del descuento compuesto son
superiores a los del descuento racional.
Ejercicio 4:
En el ejercicio 1, aplicando la ley de descuento comercial, los
intereses de descuento han ascendido a 100.000 ptas. El tipo
de interés ha sido del 12%
X
a) Aplicando la ley de descuento racional
X
Intereses de descuento D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t)
Luego, 100.000 = (2.500.000*d*0,33)/(1+d*0,33)
Luego, 100.000 = 833.333,3*d/(1+d*0,33)
Luego, 100.000+33.333*d = 833.333,3*d
Luego, d=0,125
X
Por lo tanto, el tipo de interés que habría que aplicar con la ley
de descuento racional para obtener el mismo importe de
intereses de descuento que con la ley de descuento comercial,
sería del 12,5%
X
b) Aplicando la ley de descuento compuesto
X
Intereses de descuento D = Co * (1 - (1 + d) ^ -t )
Luego, 100.000 = 2.500.000*(1-(1+d)^-0,33)
Luego, 100.000/2.500.000 = 1-(1+d)^-0,33
Luego, 0,04 = (1-(1+d)^-0,33)
Luego, (1+d)^-0,33 = 0,96
Luego, 1+d = 1,13028
Luego, d = 0,13028
X
Por lo tanto, el tipo de interés que habría que aplicar con la ley
de descuento compuesto para obtener el mismo importe de
intereses de descuento que con la ley de descuento comercial,
sería del 13,028%
Ejercicio 5:
a) Ley de descuento comercial
X
Intereses de
descuento D = Co * d * t
Luego, 150.000 = 2.000.000 * 0,10 * t
Luego, t = 0,75
X
Por lo tanto, el plazo sería de 0,75 años, o lo que es lo
mismo, 9 meses
b) Ley de descuento racional
X
Intereses de
descuento D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t)
Luego, 150.000=(2.000.000*0,10*t)/(1+0,10*t)
Luego, 150.000*(1+0,10*t)=200.000*t
Luego, 150.000+15.000*t=200.000*t
Luego, 150.000=185.000*t
Luego, t = 0,8108
X
Por lo tanto, el plazo sería de 0,8108 años, o sea, 9,7
meses
X
c) Ley de descuento compuesto
X
Intereses
de descuento D = Co * (1 - (1 + d) ^ -t )
Luego, 150.000=2.000.000*(1-(1+0,10)^-t)
Luego, 150.000=2.000.000*(1-(1,1)^-t)
Luego, 150.000/2.000.000=1-(1,1)^-t
Luego, 0,075=1-(1,1)^-t
Luego, (1,1)^-t=0,925
Luego, (1,1)^t =1/0,925
Luego, (1,1)^t =1,08108
Luego, ln (1,1)^t =ln 1,08108 (aplicamos
logaritmos neperianos)
Luego, t= ln 1,08108 / ln 1,1
Luego, t = 0,8180
x
x Por lo tanto, el plazo sería de 0,8180 años, o sea, 9,8
meses
14. Rentas financieras
Una renta financiera es una sucesión de capitales distribuidos a lo largo de
un periodo temporal.
Por ejemplo, un contrato de alquiler de un apartamento, por un periodo de 5 años,
con pagos anuales de 100.000 ptas.
En una renta financiera distinguiremos los siguientes elementos:
a) Termino de la renta: importe del capital que se paga (o se cobra) en cada
momento (en el ejemplo, las 100.000 ptas. de alquiler mensual).
b) Periodo de maduración: cada sub-periodo en el que se realizan los cobros o
pagos (en el ejemplo, es el mes).
c) Duración de la renta: el periodo total de vigencia (en el ejemplo, 5 años).
En la renta financiera se denomina "valor capital", a un importe, en un
momento dado, equivalente al total de la renta:
En el ejemplo anterior (pago mensual de 100.000 ptas. durante un periodo de 5
años), aplicando leyes financieras, puedo calcular que esta renta es equivalente a
un sólo pago de 3.000.000 ptas. en el momento actual.
El "valor capital" de una renta se puedo calcular en cualquier momento:
momento inicial, final, momento intermedio, etc. Los importes calculados
varían según el momento, pero son equivalentes (si se aplican leyes de
descuento o capitalización para llevarlos a un mismo periodo, coinciden).
Cuando se calcula en el momento inicial, se denomina "valor actual".
Cuando se calcula en el momento final, se denomina "valor final".
Dos rentas son equivalentes cuando sus valores de capital son los mismos
en cualquier momento en que se calculen:
Por ejemplo, si el valor capital del alquiler mensual de 100.000 durante 5 años,
coincide en cualquier momento con el de una renta de 240.000 ptas. trimestral
durante 7 años, diríamos que ambas rentas son equivalentes.
Las rentas cumplen las siguientes propiedades:
a) Proporcionalidad del "valor capital": el valor capital de una renta de 200.000
ptas., mensual, durante 5 años, es el doble del de una renta de 100.000 ptas.,
mensual, por el mismo periodo.
b) Adición de rentas: una renta se puede descomponer en varias sub-rentas,
siendo la suma del "valor capital" de las sub-rentas igual al de la renta. (p.e. el
contrato de alquiler de 5 años, se descompone en cinco contratos anuales).
Las rentas se pueden clasificar:
Según la duración de la renta:
Temporales: duración finita
Perpetuas: no tienen fin
Según el importe del término de la renta:
Constantes: siempre es la misma cantidad
Variable: la cantidad puede variar de un periodo a otro
Según los subperiodos en los que se divide:
Discreta: número de periodos finitos
Continua: flujo continuo de capital
Periódica: todos los subperiodos tienen la misma duración
No periódicas: la duración de los subperiodos varia
Según el momento del subperiodo en que se generan el cobro o el pago:
Prepagable: se genera al comienzo del subperiodo (por ejemplo, pago del
alquiler a comienzo de cada mes)
Postpagable: se genera al final de cada subperiodo (por ejemplo, pago del
alquiler a final de cada mes)
15.Renta constante temporal pospagable (I)
Hemos definido como rentas constantes aquellas en las que los importes de
capital (términos de la renta) son siempre iguales.
Dentro de las rentas constantes, vamos a distinguir las siguientes
modalidades:
Renta temporal pospagable
Renta temporal prepagable
Renta perpetua pospagable
Renta perpetua prepagable
Renta diferida
Renta anticipada
Vamos a comenzar con el estudio de la renta temporal pospagable:
RENTA TEMPORAL POSPAGABLE
Es aquella de duración determinada, en la que los importes de capital se
generan al final de cada sub-periodo (p.e. contrato de alquiler por 5 años,
con pago del alquiler al final de cada mes).
Para ver como se calcula su valor ("valor capital") vamos a comenzar por el
caso más sencillo: el importe de capital en cada periodo es de 1 peseta
(renta unitaria). Es decir, tenemos una sucesión finita (de "n" periodos) de
importes de 1 peseta.
Periodo 1 2 3 ..... ..... ..... ..... n-2 n-1 n
Importe (ptas) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Vamos a calcular su valor actual, que representaremos por Ao. Para ello
tenemos que traer cada uno de los importes al momento actual.
Aplicaremos la ley de descuento compuesto:
Cf = Co * ( 1 + d ) ^ -t
que es equivalente a:
Cf = Co / ( 1 + d ) ^ t
Vamos a ir descontando cada importe:
Periodo Importe Importe descontado
1 1 1 / ( 1 + i )
2 1 1 / ( 1 + i )^2
3 1 1 / ( 1 + i )^3
..... ..... .....
..... ..... .....
n-2 1 1 / ( 1 + i )^n-2
n-1 1 1 / ( 1 + i )^n-1
n 1 1 / ( 1 + i )^n
La suma de todos los importes descontados es el valor actual Ao. Si
realizamos esta suma y simplificamos, llegamos a:
Ao = (1 - (1 + i)^-n)/ i
Veamos un ejemplo: Calcular el valor actual de una renta anual de 1 peseta,
durante 7 años, con un tipo de interés del 16%:
Aplicamos la fórmula Ao = (1 - (1 + i)^-n)/ i
luego, Ao = (1 - (1 + 0,16)^-7)/0,16
luego, Ao = 0,6461/0,16
luego, Ao = 4,0386 ptas.
Luego el valor actual de esta renta es 4,04 ptas.
IMPORTANTE: plazo, tipo de interés e importes han de ir referidos a la
misma base temporal. En este ejemplo, como los importes son anuales, hay
que utilizar la base anual. Si, por ejemplo, los importes hubieran sido
trimestrales, el tiempo y el tipo irían en base trimestral.
Para calcular el valor final de esta renta, que denominaremos Sf, hay que
realizar el proceso inverso, es decir, capitalizar todos los importes y
llevarlos al momento final. Para ello utilizaremos la ley de capitalización
compuesta:
Cf = Co * ( 1 + i) ^ t
Veamos el ejemplo:
Periodo Importe Importe capitalizado
1 1 1 * ( 1 + i )^n-1
2 1 1 * ( 1 + i )^n-2
3 1 1 * ( 1 + i )^n-3
..... ..... .....
..... ..... .....
n-2 1 1 * ( 1 + i )^2
n-1 1 1 * ( 1 + i )^1
n 1 1
Sumando los distintos importes capitalizados y simplificando, llegamos a:
Sf = ((1 + i)^n - 1) / i
Veamos un ejemplo: Calcular el valor final de una renta anual de 1 peseta,
durante 7 años, con un tipo de interés del 16%:
Aplicamos la fórmula Sf = ((1 + i)^n - 1) / i
luego, Sf = ((1 + 0,16)^7 - 1) / 0,16
luego, Sf = 1,8262/0,16
luego, Sf = 11,4139 ptas.
Luego el valor final de esta renta es 11,4 ptas.
Podemos ver que relación existe entre el valor inicial Ao y el valor final Sf, y
esto nos viene dado por la siguiente fórmula:
Sf = Ao (1 + i)^n
Veamos si se cumple en el ejemplo que estamos viendo:
Hemos visto que Ao = 4,0386 ptas.
y que Sf = 11,4139 ptas.
Luego 11,4139 = 4,0386* (i+0,16)^7
Luego 11,4139 = 4,0386*2,8262
Luego 11,4139 = 11,4139
Se cumple, por tanto, la relación
16. Renta temporal constante pospagable (II)
Una vez que hemos visto como se valora una renta unitaria, vamos a
estudiar como se valora una renta de importes constantes.
Para ello vamos a aplicar una propiedad que dijimos que cumplían las
rentas: la proporcionalidad.
Si los términos de una renta son "x veces" mayores que los de otra, su valor
capital será también "x veces" superior.
Por lo tanto, el valor de una renta, cuyos términos son de importe "C", será "C
veces" mayor que el de una renta unitaria.
El valor actual "Vo" de una renta temporal de términos constantes de
cuantía "C" será:
Vo = C * Ao
Por lo que:
Vo = C * ((1 - (1 + i)^-n)/ i)
Veamos un ejemplo: Calcular el valor actual de una renta anual pospagable
de 200.000 pesetas, durante 5 años, con un tipo de interés del 12%:
Aplicamos la fórmula Vo = C * ((1 - (1 + i)^-n)/ i)
X
luego, Vo = 200.000 * ( (1 - (1 + 0,12)^-5)/0,12)
luego, Vo = 200.000 * 3,60477
luego, Vo = 720.955 ptas.
X
El valor actual de esta renta es 720.955 ptas.
Para calcular el valor final "Vn" seguimos el mismo razonamiento: el valor
final de una renta de términos constantes "C", será "C veces" superior al de
una renta unitaria
Vn = C * Sf
Por lo que:
Vn = C * (((1 + i)^n - 1) / i)
Veamos un ejemplo: Calcular el valor final de la renta del ejemplo anterior
Aplicamos la fórmula Vn = C * (((1 + i)^n - 1) / i)
X
luego, Vn = 200.000 * ( ((1 + 0,12)^5 - 1) / 0,12)
luego, Vn = 200.000 * 6,3528
luego, Vn = 1.270.569 ptas.
X
Luego el valor final de esta renta es 1.270.569 ptas.
17. Renta constante temporal prepagable (I)
La renta constante temporal prepagable es aquella de duración determinada, en la
que los importes de capital se generan al comienzo de cada sub-periodo (p.e.
contrato de alquiler por 5 años, con pago del alquiler al comienzo de cada mes).
Para ver como se calcula su valor capital vamos a comenzar, nuevamente, por
estudiar el caso de la renta unitaria (importes de 1 pta. en cada periodo)
Periodo
1 2 3 ..... ..... ..... ..... n-2 n-1 n
Importe (ptas)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Vamos a calcular su valor actual, que representaremos por Äo. Como vimos en el
caso de la renta pospagable, se aplica la ley de descuento compuesto.
Vamos descontando cada importe:
Periodo
Importe
Importe descontado
1 1 1
2 1 1 / ( 1 + i )
3 1 1 / ( 1 + i )^2
..... ..... .....
..... ..... .....
n-2 1 1 / ( 1 + i )^n-3
n-1 1 1 / ( 1 + i )^n-2
n 1 1 / ( 1 + i )^n-1
La suma de todos los importes descontados es el valor actual Äo. Si realizamos
esta suma y simplificamos, llegamos a:
Äo = (1 + i) * ((1 - (1 + i)^-n)/ i)
Veamos un ejemplo: Calcular el valor actual de una renta anual de 1 peseta,
durante 4 años, con un tipo de interés anual del 16%:
Aplicamos la fórmula Äo = (1 + i) * ((1 - (1 + i)^-n)/ i)
l
luego, Äo = (1 + 0,16) * ((1 - (1 + 0,16)^-4) / 0,16)
luego, Ao = 1,16 * 2,7982
luego, Ao = 3,246 ptas.
Luego el valor actual de esta renta es 3,246 ptas.
IMPORTANTE: plazo, tipo de interés e importes han de ir referidos a la misma
base temporal. En este ejemplo, como los importes son anuales, hay que utilizar la
base anual.
Este valor actual Äo guarda la siguiente relación con el valor actual Ao de una
renta pospagable:
Äo = (1 + i) * Ao
Para demostrarlo, vamos a suponer que en el ejemplo anterior la renta era
pospagable:
Aplicamos la fórmula Ao = (1 - (1 + i)^-n)/ i
luego, Ao = (1 - (1 + 0,16)^-4)/ 0,16
luego, Ao = 2,7982 ptas.
Hay que demostrar que Äo = (1 + i) * Ao
luego, Äo = 1,16 * 2,7983
luego, Äo = 3,246 ptas. (coincide con el valor que habíamos calculado)
Vemos, por tanto, como se cumple la relación
Para calcular el valor final de esta renta, que denominaremos S¨f, se utiliza la ley
de capitalización compuesta. Empezamos analizando el caso de una renta unitaria:
Periodo
Importe
Importe capitalizado
1 1 1 * ( 1 + i )^n
2 1 1 * ( 1 + i )^n-1
3 1 1 * ( 1 + i )^n-2
..... ..... .....
..... ..... .....
n-2 1 1 * ( 1 + i )^3
n-1 1 1 * ( 1 + i )^2
n 1 1 * ( 1 + i )
Sumando los distintos importes capitalizados y simplificando, llegamos a:
S¨f = (1 + i) * (((1 + i)^n - 1) / i)
Veamos un ejemplo: Calcular el valor final de la renta del ejemplo anterior:
Aplicamos la fórmula S¨f = (1 + i) * (((1 + i)^n - 1) / i)
luego, S¨f = (1 + 0,16) * (((1 + 0,16)^4 - 1) / 0,16)
luego, Sf = 1,16 * 5,0664
luego, Sf = 5,877 ptas.
Luego el valor final de esta renta es 5,877 ptas.
La relación entre S¨f y el valor final de una renta pospagable Sf es la siguiente:
S¨f = (1 + i) * Sf
(Realizar la misma comprobación que hemos realizado con el valor incial)
Por otra parte, la relación entre el valor inical Aö y su valor final S¨f es:
S¨f = (1 + i)^n * Äo
Vamos a comprobarlo siguiendo el ejemplo que venimos utilizando:
Hemos visto que Äo = 3,246 ptas.
y que S¨f = 5,877 ptas.
Hay que demostrar que 5,877 = 3,246 * (i+0,16)^4
Luego 5,877 = 3,246 * 1,8106
Luego 5,877 = 5,877
Se cumple, por tanto, la relación
18. Renta temporal constante prepagable (II)
Una vez que hemos visto como se valora una renta unitaria, veremos como
se valora una renta de importes constantes.
El valor actual "Vo" de una renta temporal prepagable de términos
constantes de cuantía "C" será:
Vo = C * Äo
Por lo que:
Vo = C * (1 + i) * ((1 - (1 + i)^-n)/ i)
Veamos un ejemplo: Calcular el valor actual de una renta semestral
prepagable de 500.000 pesetas, durante 5 años, con un tipo de interés
anual del 12%:
Como los importes son semestrales tendremos que
utilizar la base semestral
X
Tipo de interés semestral: 1 + i = (1 + i2)^2
Luego, 1 + 0,12 = (1 + i2)^2
Luego, i2 = 5,83%
X
Una vez que tenemos el tipo de interés semestral,
vamos a aplicar la fórmula del valor actual, Vo = C * (1
+ i2) * ((1 - (1 + i2)^-n)/ i2)
luego, Vo = 500.000*(1 + 0,0583)*((1 - (1 + 0,0583)^-
10)/0,0583)
"n" es 10, ya que 5 años tienen 10 semestres (todo va
en base semestral).
luego, Vo = 3.926.151 ptas.
X
El valor actual de esta renta es de 3.926.151 ptas.
Para calcular el valor final "Vn"
Vn = C * S¨f
Por lo que:
Vn = C * (1 + i) * (((1 + i)^n - 1) / i)
Veamos un ejemplo: Calcular el valor final de la renta del ejemplo anterior:
Aplicamos la fórmula Vn = C * (1 + i2) * (((1 + i2)^n - 1) /
i2)
X
luego, Vn = 500.000*(1+0,0583)*(((1 + 0,0583)^10 - 1) /
0,0583)
luego, Vn = 500.000 * 13,8384
luego, Vn = 6.919.185 ptas.
X
Luego el valor final de esta renta es 6.919.185 ptas.
19. Renta perpetua constante
La renta perpetua constante es aquella de duración infinita, en la que los
importes de capital son siempre iguales (p.e. un título de deuda pública a
perpetuidad a tipo fijo).
Al igual que las rentas temporales, las rentas perpetuas pueden ser
pospagables (los importes se originan al final de cada subperiodo) o
prepagables (se originan al principio de los subperiodos).
A) RENTAS PERPETUAS POSPAGABLES
Comenzaremos viendo el caso más sencillo, el de las rentas unitarias:
Periodo 1 2 3 4 5 ..... ..... ..... ..... .....
xx
Importe (ptas) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Vamos a calcular su valor actual, que representaremos por APo. Vamos
descontando cada importe:
Periodo Importe Importe descontado
x x X
1 1 1 / ( 1 + i )
2 1 1 / ( 1 + i )^2
3 1 1 / ( 1 + i )^3
4 1 1 / ( 1 + i )^4
5 1 1 / ( 1 + i )^5
..... 1 1 / ( 1 + i )^....
..... 1 1 / ( 1 + i )^....
..... 1 1 / ( 1 + i )^....
La suma de todos los importes descontados es el valor actual APo. Si
realizamos esta suma y simplificamos, llegamos a:
APo = 1 / i
Veamos un ejemplo: Calcular el valor actual de una renta perpetua anual
pospagable de 1 peseta, con un tipo de interés anual del 16%:
Aplicamos la fórmula APo = 1 / i
X
luego, APo = 1 / 0,16
luego, APo = 6,25 ptas.
Si en lugar de una renta unitaria, estamos analizando una renta de importe
constante "C", entonces la fórmula del valor actual será:
Vo = C * APo = C / i
Veamos un ejemplo: Calcular el valor actual de una renta perpetua
semestral pospagable de 1.000.000 ptas., con un tipo de interés anual del
10%:
Como los importes son semestrales tendremos que
utilizar la base semestral
X
Tipo de interés semestral: 1 + i = (1 + i2)^2
Luego, 1 + 0,10 = (1 + i2)^2
Luego, i2 = 4,88%
x
Aplicamos ahora la fórmula de valor actual, Vo = C / i
luego, Vo = 1.000.000 / 0,0488
luego, Vo = 20.491.803 ptas.
En las rentas perpetuas no se puede calcular valor final (ya que nunca
finalizan).
B) RENTAS PERPETUAS PREPAGABLES
Calculamos el valor actual de una renta unitaria, que representaremos por
ÄPo.
Periodo Importe Importe descontado
x x x
1 1 1
2 1 1 / ( 1 + i )
3 1 1 / ( 1 + i )^2
4 1 1 / ( 1 + i )^3
5 1 1 / ( 1 + i )^4
..... 1 1 / ( 1 + i )^....
..... 1 1 / ( 1 + i )^....
..... 1 1 / ( 1 + i )^....
Si realizamos esta suma y simplificamos, llegamos a:
ÄPo = (1 + i) / i
Veamos un ejemplo: Supongamos una renta perpetua anual prepagable de
1 peseta, con un tipo de interés anual del 16%:
Aplicamos la fórmula ÄPo = (1 + i) / i
x
luego, ÄPo = (1 + 0,16) / 0,16
luego, ÄPo = 7,25 ptas.
Si la renta es de importe constante "C", entonces la fórmula del valor actual
será:
Vo = C * ÄPo = C * (1 + i) / i
Veamos un ejemplo: Calcular el valor actual de una renta perpetua
semestral prepagable de 1.000.000 ptas., con un tipo de interés anual del
10%:
Aplicamos la fórmula de valor actual, Vo = C * (1 + i) / i
luego, Vo = 1.000.000 * 1,0488 / 0,0488
luego, Vo = 21.491.803 ptas.
La relación entre el valor actual de una renta perpetua pospagable APo y el
de una renta perpetua prepagable ÄPo es la siguiente:
ÄPo = (1 + i) * APo
Comprobar esta relación con el ejemplo de la renta unitaria.
20. Renta diferida y anticipada (I)
La renta diferida es aquella cuyo valor inicial se calcula con anterioridad al
comienzo de la renta.
Por ejemplo: calculo hoy el valor de un contrato de alquiler que se va a poner en
vigor dentro de 6 meses.
La renta anticipada es aquella en la que se calcula su valor final en un
momento posterior a la finalización de la renta.
Por ejemplo: calculo hoy el valor de una serie de depósitos mensuales que fui
realizando en un banco y que finalicé hace unos meses.
En la modalidad de renta diferida, lo que varía respecto a los modelos que
hemos venido analizando es el calculo del valor inicial, ya que el valor
final coincide con la terminación de la renta (al igual que en los modelos
que hemos visto).
En la renta anticipada, la peculiaridad está en el cálculo del valor final, ya
que el valor inicial coincide con el comienzo de la renta .
Estas modalidades de renta diferida o anticipada pueden darse en los
distintos supuestos de renta constante que hemos estudiado:
Una renta diferida puede ser una renta temporal (prepagable o pospagable), o una
renta perpetua (también prepagable o pospagable).
Por su parte, la renta anticipada sólo puede darse en rentas temporales, nunca en
el supuesto de rentas perpetuas, ya que estas no terminan nunca.
Vamos a analizar ahora en que medida estas peculiaridades afectan al
cálculo del valor actual de la renta.
A) RENTA DIFERIDA
Vamos a suponer que entre el momento de la valoración y el momento del
inicio de la renta transcurren "d" periodos.
Luego la diferencia con los modelos que hemos analizado, en los que se
descontaban los importes hasta el momento de inicio de la renta, está en
que en el caso de la renta diferida hay que descontar cada importe "d"
periodos adicionales.
Veamos un ejemplo con una renta unitaria pospagable:
Periodo Importe descontado Importe
descontado
X (Renta normal) (Renta diferida)
X
1 1 / ( 1 + i ) 1 / ( 1 + i )^1+d
2 1 / ( 1 + i )^2 1 / ( 1 + i )^2+d
3 1 / ( 1 + i )^3 1 / ( 1 + i )^3+d
..... ..... .....
..... ..... .....
n-2 1 / ( 1 + i )^n-2 1 / ( 1 + i )^n-2+d
n-1 1 / ( 1 + i )^n-1 1 / ( 1 + i )^n-1+d
n 1 / ( 1 + i )^n 1 / ( 1 + i )^n+d
Luego, el valor actual sería el siguiente:
x Renta normal Renta diferida
x
Valor actual Ao = (1 - (1 + i)^-n)/ i Ao = (1+i)^-d * ((1 - (1 + i)^-
n)/ i)
Este mismo razonamiento se aplica en todos los caso. En el siguiente
cuadro se presentan las fórmulas del valor inicial de una renta diferida en
los distintos supuesto: Tipo de
renta Renta normal Renta diferida
x
Temporal
pospagable Ao = (1 - (1 + i)^-n)/i d/Ao = (1+i)^-d * ((1 - (1 + i)^-n)/ i)
x
Temporal
prepagable Äo = (1 + i) * ((1 - (1 + i)^-n)/ i) d/Äo = (1+i)^-d+1 * ((1 - (1 + i)^-n)/i)
x
Perpetua
pospagable APo = 1 / i d/APo = (1+i)^-d / i
x
Perpetua
prepagable ÄPo = (1 + i) / i d/ÄPo = (1+i)^-d+1 / i
x
Ejemplo: Calcular el valor actual de una renta perpetua anual pospagable
de 300.000 pesetas, con un tipo de interés anual del 16%, y que se
encuentra diferida 2 años:
x
Aplicamos la fórmula Vo = C * d/APo
x
luego, Vo = 300.000 * (1+0,16)^-2 / 0,16
luego, Vo = 1.393.430 ptas.
Ejemplo: Calcular el valor actual de una renta semestral prepagable de
1.000.000 ptas. durante 7 años, con un tipo de interés anual del 8%, y que
se encuentra diferida 3 años:
Como los importes son semestrales tendremos que
utilizar la base semestral
x
Tipo de interés semestral: 1 + i = (1 + i2)^2
luego, 1 + 0,08 = (1 + i2)^2
luego, i2 = 3,92%
x
Aplicamos ahora la fórmula de valor actual, Vo = C
*d/Äo
x
luego, Vo = C * (1+i2)^-d+1 * ((1 - (1 + i2)^-n)/i2)
luego, Vo = 1.000.000*(1,0392)^-6+1 * ((1 - (1,0392)^-
14)/0,0392)
(los periodos van expresados en semestres)
luego, Vo = 1.000.000*0,825*10,619
luego, Vo = 8.760.783 ptas.
21. Renta diferida y anticipada (II)
B) RENTA ANTICIPADA
Comentamos en la lección anterior que en las rentas anticipadas, lo que
varía respecto a los modelos normales que hemos analizado es el cálculo
del valor final, ya que el cálculo del valor inicial es el mismo.
Vamos a suponer que entre el momento final y el de la valoración
transcurren "k" periodos.
La diferencia en el cálculo del valor final está en que en los modelos
normales los importes se capitalizan hasta el momento final de la renta,
mientras que en la renta anticipada cada importe hay que capitalizarlo "k"
periodos adicionales.
Veamos un ejemplo con una renta unitaria pospagable:
Periodo Importe capitalizado Importe
capitalizado
X (Renta normal) (Renta anticipada)
X
1 1 * ( 1 + i )^n-1 1 * ( 1 + i )^n-1+k
2 1 * ( 1 + i )^n-2 1 * ( 1 + i )^n-2+k
3 1 * ( 1 + i )^n-3 1 * ( 1 + i )^n-3+k
..... ..... .....
..... ..... .....
n-2 1 * ( 1 + i )^2 1 * ( 1 + i )^2+k
n-1 1 * ( 1 + i )^1 1 * ( 1 + i )^1+k
N 1 1 * ( 1 + i )^k
Luego, el valor final sería el siguiente:
x Renta normal Renta anticipada
x
Valor
final Sf = ((1 + i)^n - 1) / i k/Sf = (1 + i)^k*(((1 + i)^n - 1) / i)
Este mismo razonamiento se aplica también en el caso de la renta
prepagable:
x Renta normal Renta anticipada
x
Valor
final S¨f = (1 + i) * (((1 + i)^n - 1) / i) k/S¨f = (1 + i)^1+k * (((1 + i)^n - 1)/i)
Hemos comentado en la lección anterior, que la modalidad de renta
anticipada sólo se puede dar en las rentas temporales, pero no en las
rentas perpetuas, ya que estas no finalizan, por lo que no se puede calcular
un valor final.
Ejemplo: Calcular el valor final de una renta perpetua anual pospagable de
500.000 pesetas, de 6 años de duración, con un tipo de interés anual del
12%, y que se encuentra anticipada 4 años:
x
Aplicamos la fórmula del valor final Vn = C * k/Sf
x
luego, Vn = C * (1 + i)^k*(((1 + i)^n - 1) / i)
luego, Vn = 500.000 * (1+0,12)^4 * (((1,12)^6 -1)/0,12)
luego, Vn = 500.000 * 1,5735 * 8,1152
luego, Vn = 6.384.625 ptas.
Ejemplo: Calcular el valor final de una renta trimestral prepagable de
150.000 ptas. durante 5 años, con un tipo de interés anual del 12%, y que
se encuentra anticipada 2 años y medio:
Como los importes son trimestrales tendremos que
utilizar la base trimestral
x
Tipo de interés trimestral: 1 + i = (1 + i4)^4
luego, 1 + 0,12 = (1 + i4)^4
luego, i4 = 2,874%
x
Aplicamos ahora la fórmula de valor final, Vn = C * k/S¨f
x
luego, Vn = C * (1 + i)^1+k * (((1 + i)^n - 1)/i)
luego, Vn = 150.000*(1,02874)^1+10 * (((1,02874)^20 -1 )/ 0,02874)
(los periodos van expresados en trimestres)
luego, Vn = 150.000*1,3657*26,5286
luego, Vn = 5.434.521 ptas.
22. Rentas constantes: Ejercicios (I)
Ejercicio 1: Tenemos una renta pospagable de 500.000 ptas. semestrales,
durante 4 años, y se le aplica un tipo de interés del 10% anual.
Calcular el valor actual
Calcular el valor final
Ver la relación entre valor actual y valor final
Ejercicio 2: El mismo ejercicio anterior, pero suponiendo que la renta es
prepagable.
Ejercicio 3: Calcular el valor inicial de una renta perpetua pospagable de
100.000 ptas. mensual, aplicando un tipo de interés anual del 8% anual.
Ejercicio 4: Tenemos una renta trimestral de 200.000 ptas., prepagable, con
una duración de 4 años, y se le aplica un tipo de interés anual del 10%. La
renta se encuentra diferida 2 años.
Calcular el valor inicial
Calcular el valor final
SOLUCIONES
Ejercicio 1:
A) Valor inicial
x
Como la renta es semestral, hay que utilizar la base
semestral
X
Tipo de interés semestral: 1 + i = (1 + i2)^2
luego, 1 + 0,1 = (1 + i2)^2
luego, i2 = 4,881%
X
Aplicamos la fórmula Vo = C * ((1 - (1 + i)^-n)/ i)
luego, Vo = 500.000 * (1 - (1,04881)^-8) / 0,04881)
luego, Vo = 500.000 * 6,4944
luego, Vo = 3.247.209 ptas.
X
B) Valor final
Aplicamos la fórmula Vn = C * (((1 + i)^n - 1) / i)
X
luego, Vn = 500.000 * (((1,04881)^8- 1) / 0,04881)
luego, Vn = 500.000 * 9,5086
luego, Vn = 4.754.281 ptas.
C) Relación entre el valor inicial y el valor final
Tenemos que verificar la fórmula Sf = Ao (1 + i)^n
X
luego, 4.754.281 = 3.247.209 * 1,464
luego, 4.754.281 = 4.754.281
X
Por lo tanto, se verifica la relación
X
Ejercicio 2: Vamos a suponer ahora que la renta es prepagable
A) Valor inicial
X
Aplicamos la fórmula Vo = C * (1 + i) * ((1 - (1 + i)^-n)/ i)
X
luego, Vo = 500.000 * 1,04881 * ((1 - (1,04881)^-8) / 0,04881
luego, Vo = 3.405.705 ptas.
X
B) Valor final
x
Aplicamos la fórmula Vn = C * (1 + i) * (((1 + i)^n - 1) / i)
X
luego, Vn = 500.000 * (1 + 0,04881) * (((1 + 0,04881)^8 - 1) /
0,04881)
luego, Vn = 500.000 * 1,04881 * 9,5086
luego, Vn = 4.986.336 ptas.
X
C) Relación entre el valor inicial y el valor final
x
Tenemos que verificar la fórmula S¨f = (1 + i)^n * Äo
X
luego, 4.986.336 = 3.405.705 * 1,464
luego, 4.986.336 = 4.986.336
X
Por lo tanto, se verifica la relación
X
Ejercicio 3:
Como la renta es mensual, hay que utilizar la base mensual
X
Tipo de interés mensual: 1 + i = (1 + i12)12
luego, 1 + 0,08 = (1 + i12)^12
luego, i12 = 0,643%
X
Aplicamos ahora la fórmula de valor actual, Vo = C / i
X
luego, Vo = 100.000 / 0,00643
luego, Vo = 15.552.100 ptas.
X
Ejercicio 4:
A) Valor inicial
X
Como los importes son trimestrales tendremos que utilizar la
base trimestral
X
Tipo de interés semestral: 1 + i = (1 + i4)^4
luego, 1 + 0,1 = (1 + i4)^4
luego, i4 = 2,411%
X
Aplicamos ahora la fórmula de valor actual, Vo = C *d/Äo
X
luego, Vo = C * (1+i4)^-d+1 * ((1 - (1 + i4)^-n)/i4)
luego, Vo = 200.000 * (1,02411)^-8+1 * ((1 - (1,02411)^-
16)/0,02411)
(los periodos van expresados en trimestres)
luego, Vo = 200.000 * 0,8464 * 13,146
luego, Vo = 2.225.325 ptas.
X
B) Valor final
Xx
El valor final de una renta diferida coincide con el de una
renta normal, en este caso, con el correspondiente a una
renta prepagable
Xx
Aplicamos la fórmula Vn = C * (1 + i4) * (((1 + i4)^n - 1) / i4)
Xx
luego, Vn = 200.000 * (1 + 0,02411) * (((1 + 0,2411)^16 - 1) /
0,02411)
luego, Vn = 200.000 * 1,02411 * 19,246
luego, Vn = 3.941.958 ptas.
23. Rentas variables
Los términos de las rentas variables son diferentes, por lo que no se puede
aplicar ninguna fórmula de simplificación.
El método que se utilizará es el de descontar cada uno de estos términos al
momento inicial (calculo del valor inicial) o al momento final (cálculo del
valor final).
Dentro de estas rentas variables se podrán presentar cada una de las
modalidades que hemos estudiado:
Prepagable
Pospagable
Anticipadas
Diferidas
Ejemplo: Calcular el valor actual de una renta semestral, prepagable, con
un tipo anual del 12%. Los términos de la renta son los siguientes:
Periodo Término (ptas.)
X
1º sem. 100.000
2º sem. 200.000
3º sem. 150.000
4º sem. 300.000
5º sem. 100.000
6º sem. 400.000
xx
1º) se calcula el tipo de interés semestral equivalente:
x
1 + i = (1 + i2)^2 (siendo i2 el tipo semestral equivalente)
1 + 0,12 = (1 + i2)^2
luego, i2 = 5,83%
Xx
2º) Se descuenta cada término al momento inicial:
X
Periodo Término
(ptas.)
Factor de
Descuento
Término
descontado
x
1º sem. 100.000 1 100.000
2º sem. 200.000 (1 + 0,0583)^-
1 188.980
3º sem. 150.000 (1 + 0,0583)^-
2 133.935
4º sem. 300.000 (1 + 0,0583)^-
3 253.110
5º sem. 100.000 (1 + 0,0583)^-
4 79.720
6º sem. 400.000 (1 + 0,0583)^-
5 301.312
x
Suma de los términos descontados 1.357.057
Xx
Por lo tanto, el valor actual de esta renta es de 1.357.057 ptas.
Ejemplo: Calcular el valor final de una renta trimestral pospagable que se
encuentra anticipada dos años, aplicando un tipo de interés anual del 9%.
Los términos de la renta son los siguientes:
Periodo Término (ptas.)
X
1º trim. 100.000
2º trim. 200.000
3º trim. 300.000
4º trim. 400.000
Xx
1º) se calcula el tipo de interés trimestral equivalente:
X
1 + i = (1 + i4)^4 (siendo i4 el tipo trimestral equivalente)
1 + 0,09 = (1 + i4)^4
luego, i4 = 2,178%
Xx
2º) Se capitaliza cada término al momento final de la renta:
X
Periodo Término
(ptas.)
Factor de
Capitalización
Término
capitalizado
X
1º trim. 100.000 (1 +
0,02178)^3 106.677
2º trim. 200.000 (1 +
0,02178)^2 208.807
3º trim. 300.000 (1 +
0,02178)^1 306.534
4º trim. 400.000 1 400.000
X
Suma de los términos capitalizados 1.022.018
Xx
De esta manera se ha calculado el valor final de esta renta en el
momento final (vencimiento del 4º término), pero esta renta se
encuentra anticipada 2 años.
X
3º) El valor final calculado se capitaliza 2 años:
X
Vk = Vn (1 + i )^2 (se utiliza el tipo anual, ya que la base temporal
es el año)
Vk = 1.022.018 (1 + 0,09 )^2
Vk = 1.214.260 ptas.
Por lo tanto, el valor final de esta renta diferida (Vk) es de
1.214.260 ptas.
24. Rentas con distintos tipos de interés
Hay rentas a las que se aplican distintos tipos de interés según los periodos:
Por ejemplo: Una renta de 3 años de duración a la que se aplican los siguientes
tipos: 8% en el 1er año; 9% en el 2º año y 10% en el 3er año.
En estos casos hay que valorar cada tramo de forma independiente y
sumar luego los valores obtenidos de cada tramo.
Ejemplo: Calcular el valor inicial de una renta anual pospagable de
1.000.000 ptas. y de 9 años de duración, a la que se le aplica el 5% en los 3
primeros años, el 6% en los 3 siguientes y el 7% en los 3 últimos:
Hay que calcular el valor inicial de cada tramo y sumarlo:
1º) El primer tramo comprende 3 años y en el cálculo de su valor
inicial se puede seguir el modelo de una renta normal
pospagable:
X
Por lo tanto se aplica la fórmula Vo = C * ((1 - (1 + i)^-n)/ i)
luego, Vo = 1.000.000 * ((1 - (1 + 0,05)^-3)/ 0,05)
luego, Vo = 1.000.000 * 2,7232
luego, Vo = 2.723.248 ptas.
X
Por lo tanto, el valor actual de la renta de este primer tramo es de
2.723.348 ptas.
Xx
2º) Para el 2º tramo se calcula su valor actual al comienzos de
dicho periodo (comienzos del 4º año) y luego se descuenta hasta
el momento 0.
X
Se aplica la misma formula que en el caso anterior para calcular
el valor actual a comienzos del 4º año:
X
luego, Vo = C * ((1 - (1 + i)^-n)/ i)
luego, Vo = 1.000.000 * ((1 - (1 + 0,06)^-3)/ 0,06)
luego, Vo = 2.673.012 ptas.
X
El valor así calculado se descuenta 3 años (periodo diferido),
pero en este descuento se aplica el tipo de interés del 1er
periodo (5%), ya que es el tipo vigente en esos años
X
luego, Vk = 2.673.012 * (1 + 0,05)^-3
luego, Vk = 2.309.038 ptas.
X
Por lo tanto, el valor en el momento 0 de las rentas
correspondientes al 2º tramo es de 2.309.038 ptas.
X
3º) En el 3º tramo se aplica el mismo método: se calcula su valor
actual al comienzo de dicho periodo (comienzos del 7º año) y
luego se descuenta por el periodo diferido.
X
Cálculo de su valor actualizado a comienzos del 7º año:
X
luego, Vo = C * ((1 - (1 + i)^-n)/ i)
luego, Vo = 1.000.000 * ((1 - (1 + 0,07)^-3)/ 0,07)
luego, Vo = 2.624.316 ptas.
X
Este valor se descuenta 6 años (periodo diferido): los 3 primeros
aplicando el tipo del primer tramo (5%), y en los 3 siguientes, el
del 2º tramo (6%).
X
luego, Vk = 2.624.316 * (1 + 0,05)^-3 * (1 + 0,06)^-3
luego, Vk = 1.903.264 ptas.
X
El valor en el momento 0 de las rentas correspondientes al 3º
tramo es de 1.903.264 ptas.
X
4º) Una vez calculado el valor actual de los tres tramos se suman
y se obtiene el valor actual de toda la renta.
X
luego, Vo = 2.723.248 + 2.309038 + 1.903.264
luego, Vo = 6.935.550 ptas.
X
Por lo tanto, el valor actual de toda la renta es de 6.935.550
ptas.
En este tipo de renta en la que se aplican diversos tipos de interés resulta
interesante conocer el tipo medio resultante.
Para ello se aplica la formula como si se tratara de una renta normal, con
un sólo tipo de interés, y se despeja de la formula este tipo de interés medio:
luego, Vo = C * ((1 - (1 + i)^-n)/ i)
luego, 6.935.550 = 1.000.000 * ((1 - (1 + im)^-9)/ im) (donde im es
el tipo medio)
X
El cálculo de im exige una calculadora financiera, o se puede
hacer por tanteo
X
luego im = 5,555% (calculado por tanteo)
X
Por lo tanto, la renta que hemos visto con tres tipos de interés diferentes es
equivalente a una renta de igual duración y con los mismo términos de 1.000.000
ptas., con un tipo de interés constante del 5,555%.
25. Ejercicios
Ejercicio 1: Calcular el valor final de una renta prepagable trimestral, que se
encuentra anticipada un año y medio, aplicando un tipo de interés del 10%.
Los términos son:
Periodo Término (ptas.)
x
1º trim. 500.000
2º trim. 600.000
3º trim. 700.000
4º trim. 800.000
5º trim. 900.000
6º trim. 1.000.000
Ejercicio 2: Calcular el valor inicial de una renta anual pospagable, diferida
6 meses, aplicando un tipo de interés del 8%. Los términos son:
Periodo Término (ptas.)
x
1º año 600.000
2º año 400.000
3º año 200.000
4º año 400.000
5º año 600.000
Ejercicio 3: A una renta semestral de 300.000 ptas., pospagable, y de 3
años de duración, se le aplican dos tipos de interés: el 3% para los tres
primeros semestres y el 12% para los tres siguientes. La renta se encuentra
diferida 1 años. Calcular:
El valor inicial
El tipo medio equivalente
Ejercicio 4: Una renta semestral de 6 términos de 200.000 ptas., prepagable,
se le aplica el 8% en el 1er año, el 9% en el 2º año y el 10% en el 3er año.
Esta renta se encuentra anticipada 2 años. Calcular el valor final.
SOLUCIONES
Ejercicio 1:
1º) se calcula el tipo de interés trimestral equivalente:
X
1 + i = (1 + i4)^4 (siendo i4 el tipo trimestral equivalente)
1 + 0,10 = (1 + i4)^4
luego, i4 = 2,411%
Xx
2º) Se capitaliza cada término al momento final:
X
Periodo Término (ptas.) Factor de
Capitalización
Término
capitalizado
x
1º sem. 500.000 (1 + 0,02411)^6 576.832
2º sem. 600.000 (1 + 0,02411)^5 675.903
3º sem. 700.000 (1 + 0,02411)^4 769.989
4º sem. 800.000 (1 + 0,02411)^3 859.270
5º sem. 900.000 (1 + 0,02411)^2 943.921
6º sem. 1.000.000 (1 + 0,02411) 1.024.110
x
Suma de los términos descontados 4.850.025
xx
3º) El importe obtenido se capitaliza por el periodo anticipado:
xx
Luego, Vn = 4.850.025 * (1 + 0,1)^1,5 (tipo de interés anual; la base temporal
es el año)
Luego, Vn = 5.595.424 ptas.
xx
Por lo tanto, el valor final de esta renta es de 5.595.424 ptas.
Ejercicio 2:
1º) Se descuenta cada término al momento inicial:
x
Periodo Término (ptas.) Factor de
Descuento
Término
capitalizado
X
1º año 600.000 (1 + 0,0)^-1 555.540
2º año 400.000 (1 + 0,0)^-2 342.920
3º año 200.000 (1 + 0,0)^-3 158.760
4º año 400.000 (1 + 0,0)^-4 294.000
5º año 600.000 (1 + 0,0)^-5 408.350
X
Suma de los términos descontados 1.759.570
Xx
2º) El importe obtenido se descuenta por el periodo diferido:
Xx
Luego, Vo = 1.759.570 * (1 + 0,08)^-0,5
Luego, Vo = 1.693.147 ptas.
xx
Por lo tanto, el valor inicial de esta renta es de 1.693.147 ptas.
x
Ejercicio 3:
1º) Cálculo del valor inicial:
X
Se calculan los valores iniciales de cada tramo como si se
tratarán de dos rentas independientes, y se suman los valores
obtenidos.
X
a.1.- Calculo del valor inicial del primer tramo:
X
Primero se calcula el tipo semestral equivalente
X
1 + i = (1 + i2)^2 (siendo i2 el tipo semestral equivalente)
1 + 0,10 = (1 + i2)^2
luego, i2 = 4,881%
X
Luego se aplica la fórmula Vo = C * ((1 - (1 + i)^-n)/ i) xx
Luego, Vo = 300.000 * ((1 - (1 + 0,04881)^-3/ 0,04881) xx
Luego, Vo = 818.800 ptas. xx
X
a.2.- Calculo del valor inicial del segundo tramo:
X
Se calcula el tipo semestral equivalente, i2 = 5,830%
X
Luego se aplica la fórmula Vo = C * ((1 - (1 + i)^-n)/ i) xx
Luego, Vo = 300.000 * ((1 - (1 + 0,0583)^-3/ 0,0583) xx
Luego, Vo = 804.432 ptas. (valor inicial al comienzo del 2º
tramo)xx
X
Este valor se descuenta tres semestres hasta el momento inicial
de la renta xx
X
Luego, Vo = 804.432 * (1 + 0,04881)^-3 (se aplica el tipo del
primer periodo)
Luego, Vo = 697.267 ptas. xx
X
a.3.- Calculado el valor inicial de los dos tramos se suman:
X
Luego, Vo = 818.800 + 697.267 xx
Luego, Vo = 1.516.067 ptas. xx
X
Por lo tanto, el valor inicial de la renta es de 1.516.067 ptas.
X
2º) Cálculo del tipo medio equivalente:
X
Se aplica la fórmula Vo = C * ((1 - (1 + i)^-n)/ i) (donde im es el tipo
medio)
luego, 1.516.067 = 300.000 * ((1 - (1 + im)^-6/ im)
X
luego im = 5,12% (calculado por tanteo)
x
Ejercicio 4:
Se calculan de manera independiente los valores finales de cada
tramo.
X
a.1.- Calculo del valor final del primer tramo:
X
Primero se calcula el tipo semestral equivalente, i2 = 3,923%
X
Luego se aplica la fórmula Vn = C * (1 + i) * ((1 + i)^n - 1)/ i)
Luego, Vn = 200.000 * (1 + 0,03923) * ((1 + 0,03923)^2 - 1)/
0,03923)
Luego, Vn = 423.846 ptas. (valor en el momento final del tramo
primero)
X
Este valor obtenido, se capitaliza hasta el momento final de la
renta
X
Luego, Vn = 423.846 ptas. * (1 + 0,09) * (1 + 0,10)
Luego, Vn = 508.191 ptas.
X
a.2.- Calculo del valor final del segundo tramo:
X
Se calcula el tipo semestral equivalente, i2 = 4,403%
X
Se aplica la fórmula Vn = C * (1 + i) * ((1 + i)^n - 1)/ i)
Luego, Vn = 426.806 ptas. (valor en el momento final del tramo
segundo)
X
Este valor se capitaliza hasta el momento final de la renta
X
Luego, Vn = 426.806 ptas. * (1 + 0,10)
Luego, Vn = 469.486 ptas.
X
a.3.- Calculo del valor final del tercer tramo:
X
Se calcula el tipo semestral equivalente i2 = 4,881%
X
Luego se aplica la fórmula Vf = C * (1 + i) * ((1 + i)^n - 1)/ i)
Luego, Vn = 429.762 ptas.
X
a.4.- Los valores finales de los tres tramos se suman y se obtiene
el valor final de la renta:
X
Luego, Vn = 508.191 + 469.486 + 429.762
Luego, Vn = 1.407.439 ptas.
X
a.5.- El valor obtenido se capitaliza dos años (periodo
anticipado)
X
Luego, Vn = 1.407.439 * (1 + 0,10)^2
Luego, Vn = 1.703.001 ptas.
Por lo tanto, el valor final de esta renta, tras el periodo
anticipado, es de 1.703.001 ptas.
26. TAE
En toda operación financiera se produce un intercambio de prestaciones
dinerarias: una parte anticipa un capital y recibe a cambio pagos futuros. A
lo largo de la vida de la operación, en diversos momentos pueden darse
movimientos de capital en una u otra dirección.
El tipo de interés efectivo de una operación es aquel que iguala el valor
actual de las prestaciones y de las contraprestaciones.
Si se actualiza al momento inicial, por una parte los pagos y por otra parte los
cobros, el tipo de interés efectivo es aquel que iguala estos dos valores iniciales.
El Banco de España establece que en toda operación financiera, la entidad
de crédito tiene que comunicar el tipo TAE (Tasa Anual Equivalente).
El TAE es el tipo de interés efectivo, expresado en tasa anual, pospagable.
Es decir, para calcular el TAE:
a) Se calcula el tipo de interés efectivo de la operación
b) Conocido este tipo efectivo, se calcula el tipo anual, pospagable (TAE)
equivalente
El tipo TAE, al venir siempre expresado como tasa anual, pospagable,
permite comparar el coste real o rendimiento real de diversas operaciones,
en aquellos casos en que sus tipos de interés nominales no son
directamente comparable:
Por ejemplo: si el tipo de interés de un crédito viene expresado en tasa trimestral,
y el de otro crédito en tasa semestral, estos tipos no son directamente
comparables. Pero si calculamos sus TAEs, ya sí se pueden comparar.
Cuando la entidad financiera calcula el TAE de una operación, en la parte
de ingresos incluye no sólo los derivados del tipo de interés, sino también
los ingresos por comisiones y cualquier otro tipo de ingreso derivado de la
operación.
EJEMPLO: Se solicita un crédito de 1.000.000 ptas. que hay que devolver
en 2 pagos semestrales de 550.000 ptas. Calcular el TAE:
Los flujos de capital son los siguientes:
x
Meses Flujo
0 +1.000.0000
6 -500.000
12 -500.000
x 6
Se analiza la operación desde el punto de vista del cliente. Los
importes que recibe van con signos positivo, y los que paga van
con signos negativo. Se podría haber realizado desde el punto
de vista del banco, cambiando los signos
x
1.- Se calcula el tipo de interés efectivo
x
Luego, 1.000.000 = 550.000 * (i + i2)^-1 + 550.000* (i + i2)^-2
Luego, i2 = 6,596 % (i2 es el tipo de interés efectivo semestral)
x
2.- Calculado el tipo de interés efectivo, se calcula su
equivalente TAE:
X
Se aplica la fórmula, (1 + i) = (1 + i2)^2 (donde i es el tipo TAE)
Luego, (1 + i) = (1 + 0,06596)^2
Luego, i = 13,628%
X
Por lo tanto, la tasa TAE de esta operación es el 13,628%
27. TAE: Ejercicios
Ejercicio 1: Se deposita en un banco 550.000 ptas. el 1 de enero, y otras
550.000 ptas. el 1 de julio. A final de año se recibe del banco 1.200.000
ptas. Calcular el TAE de la operación.
Ejercicio 2: Una entidad financiera concede un crédito de 1.000.000 ptas., a
un plazo de 1 año. El tipo de interés del crédito es del 10% anual,
realizándose el pago de los intereses a principio de cada trimestre. La
entidad cobra una comisión de estudio de 25.000 ptas. Calcular el TAE de
la operación.
SOLUCIONES
Ejercicio 1:
a) Los flujos de capital son los siguientes:
x
Meses Flujo
0 -550.000
6 -550.000
12 +1.200.000
x 6
Se analiza la operación desde el punto de vista del cliente. Los
importes que recibe van con signo positivo y los que paga con
signo negativo.
x
b) Se calcula el tipo de interés que iguala el valor en el momento
inicial de la prestación y de la contraprestación:
x
Luego, 550.000 + 550.000 * (i + i2)^-1 = 1.200.000 * (1 + i2) ^-2
Despejando, i2 = 5,9429 % (i2 es el tipo de interés efectivo
semestral)
x
c) Conocido el tipo de interés efectivo, se calcula su equivalente
TAE:
x
Se aplica la fórmula, (1 + i) = (1 + i2)^2 (donde i es el tipo TAE)
Luego, (1 + i) = (1 + 0,059429)^2
Luego, i = 12,239%
x
Por lo tanto, la tasa TAE de esta operación es el 12,239%
x
Ejercicio 2:
a) Calculamos el importe de las liquidaciones
trimestrales
x
Se calcula el tipo de interés trimestral equivalente al 10% anual:
x
luego, (1 + i) = (1 + i4)^4
luego, (1 + 0,1) = (1 + i4)^4
luego, i4 = 2,4114%
x
Por lo tanto la liquidación trimestral será: I = 1.000.000 *
0,024114
luego, I = 24.114 ptas.
x
b) Ya podemos detallar el flujo de la operación:
x
Meses Principal Intereses Comisiones
0 +1.000.000 -24.114 -25.000
3 -24.114
6 -24.114
9 -24.114
12 -1.000.000
x 6
Se analiza la operación desde el punto de vista del cliente. Los
importes que recibe van con signo positivo y los que paga con
signo negativo.
x
c) Se calcula el tipo de interés que iguala el valor en el momento
inicial de la prestación y de la contraprestación:
x
Luego, 1.000.000 = 24.114 + 25.000 + 24.114 * (1 + i4) ^-1 +
24.114 * (1 + i4) ^-2+ 24.114 * (1 + i4) ^-3 + 1.000.000 * (1 + i4) ^-4
(la base temporal es el trimestre)
Despejando, i4 = 3,1625 (i4 es el tipo de interés efectivo
trimestral)
x
d) Conocido el tipo de interés efectivo, se calcula su equivalente
TAE:
x
Se aplica la fórmula, (1 + i) = (1 + i4)^4 (donde i es el tipo TAE)
Luego, (1 + i) = (1 + 0,031625)^4
Luego, i = 13,26%
x
Por lo tanto, la tasa TAE de esta operación es el
13,26%
28. Descuento bancario de efectos comerciales
En este tipo de operaciones la entidad financiera anticipa al cliente el
importe de una letra de cambio que éste trae al descuento, liquidando por
anticipado los intereses de la operación.
Suelen ser operaciones a corto plazo, por lo que se aplica la ley de
descuento comercial (en el supuesto de que fuera una operación a largo
plazo se aplicaría la ley de descuento compuesto).
Para calcular el importe efectivo que la entidad financiera entrega al cliente
se aplica la siguiente ley:
E = Co * ( 1 - d * t ) - ( Co * g )
x
E es el importe efectivo que recibe el cliente
Co es el importe nominal del efecto
d es el tipo de descuento aplicado
t es el plazo de la operación
g es el % de comisiones que se cobra
x
Por lo tanto, el paréntesis Co * (1 - d * t ) calcula el importe final,
descontado los intereses.
El paréntesis ( Co * g ) calcula las comisiones que cobra la
entidad financiera y que se suelen establecer como un
porcentaje del importe nominal del efecto.
Veamos un ejemplo:
Un cliente descuenta en una entidad financiera un efecto de 600.000 ptas. a 90
días, y se le aplica un tipo de interés del 12% anual. Se le cobran también
comisiones equivalentes al 0,5% del valor nominal del efecto.
a) Calcular el importe efectivo que recibe el cliente:
x
Se aplica la fórmula E = Co * ( 1 - d * t ) - ( Co * g )
Luego, E = 600.000 * ( 1 - 0,12 * 0,246 ) - ( 600.000 * 0,005 )
(Como se utiliza el tipo de interés anual, el plazo se pone en
base anual: 90 días = 0,246 años)
Luego, E = 579.247 ptas.
x
Por lo tanto, el cliente recibe 579.247 ptas.
x
b) Calcular el tipo efectivo de la operación
x
Recordemos que el tipo efectivo es aquel que iguala en el
momento inicial el valor de la prestación y de la contraprestación.
x
Luego, 579.247 = 600.000 * ( 1 - ie * t ) (siendo ie el tipo efectivo)
x
¿Qué estamos haciendo?: estamos llevando al momento inicial
la prestación (lo que cobra el cliente, que como lo recibe en el
momento 0 no hay que descontarlo) y la contraprestación (lo que
paga el cliente: como la letra de cambio vence a los 90 días hay
que descontarla).
x
ATENCION: tal como indicábamos, como es una operación a
corto plazo para calcular el tipo efectivo se aplica la ley de
descuento comercial. Si fuera a largo plazo se aplicaría la ley de
descuento compuesto.
x
Luego, ie = 14,03%
x
Se observa como la tasa de descuento efectivo (14,03%) es
superior a la tasa nominal (12,0%), lo que se explica por el fuerte
impacto que tienen las comisiones.
x
c) Calcular el TAE de la operación
x
El TAE siempre se calcula aplicando la ley de capitalización o
descuento compuesto (son leyes equivalentes), con
independencia de que la operación sea a plazo largo o corto.
x
Por lo tanto, se aplica la fórmula 579.247 = 600.000 * ( 1 + ie )^t
luego, 579.247 = 600.000 * ( 1 + ie )^0,246
luego, ie = 15,345%
X
El TAE de la operación es 15,345%, superior al tipo nominal y al
tipo efectivo.
29. Descuento bancario y depósito en garantía
Hace unos años era muy frecuente que cuando el cliente descontaba un
efecto comercial (letra de pago) en el banco, éste le exigiera que dejara un
porcentaje del importe recibido (5-10%) depositado en el banco (depósito
que a veces era remunerado).
La justificación que solía dar la banca para esta operatoria era que este
depósito quedaba como garantía para el supuesto de que algún efecto
viniera impagado (éste se cobraría con cargo al depósito del cliente).
No obstante, había otro motivo menos "confesable", y es que con este
depósito (aún en el supuesto de que fuera remunerado) el banco
aumentaba la rentabilidad que obtenía en la operación de descuento.
Veamos un ejemplo:
Un cliente descuenta en un banco una letra de cambio de 800.000 ptas., por un
plazo de 100 días, y con un tipo de interés anual del 9%. El banco cobra una
comisión de estudio del 0,4% sobre el valor nominal el efecto.
Vamos a calcular el tipo efectivo y el TAE de la operación en dos supuestos:
a) Si el banco no exige ningún depósito.
b) Si el banco exige la constitución de un depósito por el 10% del importe efectivo,
que remunera al 5% anual.
Hipótesis 1: El banco no exige ningún depósito.
x
a) Se calcula el importe efectivo que recibe el cliente
X
La fórmula es: E = Co * ( 1 - d * t ) - ( Co * g ) (se aplica la ley de
descuento comercial)
Luego, E = 800.000 * ( 1 - 0,09 * 0,274 ) - ( 800.000 * 0,004 )
(0,274 es el plazo, 100 días, expresado en año)
Luego, E = 777.074 ptas.
X
b) Se calcula el tipo de interés efectivo
X
Se aplica la fórmula, 777.074 = 800.000 * ( 1 - ie * 0274 ) (ie es
el tipo efectivo)
Luego, ie = 10,46%
X
c) Se calcula el TAE de la operación
X
Se aplica la fórmula 777.074 = 800.000 * ( 1 + ie )^0,274 (ie es el
tipo TAE)
luego, ie = 11,20%
x
Hipótesis 2: El banco sí exige la constitución de un depósito
x
a) Se calcula el importe efectivo
X
El importe efectivo que recibe el cliente es el mismo (777.074
ptas.), con la diferencia de que ahora puede disponer en el
momento inicial de tan sólo 699.367 (90% del importe efectivo),
ya que el 10% restante (77.707 ptas.) queda depositada en el
banco).
X
Al cabo de los 100 días, podrá disponer de las 77.707 ptas.
depositadas, más de los intereses que haya generado:
X
Estos intereses se calcularán: I = Co * i * t
luego, I = 77.707 * 0,05 * 0,274
luego, I = 1.064,6 ptas.
X
b) Se calcula el tipo de interés efectivo
X
Igualamos en el momento inicial el valor de la prestación (lo que
recibe el cliente) y la contraprestación (lo que paga)
X
luego, 699.367 + 78,771,6 * ( 1 - ie * 0274 ) = 800.000 * ( 1 - ie *
0274 )
X
¿Cual es la prestación? las 699.367 que recibe en el momento
inicial (no hay que descontarla), más el importe del depósito y de
sus intereses (78.771,6 = 77.707 + 1.064,6) que recibe en el
momento final (y que hay que descontar)
X
¿Y cual es la contraprestación? el importe del efecto (800.000)
que el banco podrá cobrar en el momento final (y que hay que
descontar)
X
Luego, ie = 11,063%
X
Por lo tanto, el tipo de interés efectivo se eleva al 11,063%,
superior al que calculamos en la Hipótesis 1.
X
c) Se calcula el TAE de la operación
X
La fórmula es, 699.367 + 78,771,6 * ( 1 + ie )^0,274 = 800.000 * ( 1
+ ie )^0,274
luego, ie = 11,89%
X
El TAE de la operación es 11,89%, superior igualmente al que
vimos en la hipótesis anterior.
X
Por lo tanto, la constitución del depósito ha encarecido la
operación para el cliente, ya que la remuneración que obtiene
(5%) es inferior al tipo del descuento (9%).
30. Descuento por "pronto-pago"
En las operaciones comerciales de compra-venta es frecuente que el pago
no se realice al contado, sino que el vendedor conceda al comprador un
aplazamiento sin coste alguno, que suele estar entre 90 y 120 días.
También resulta frecuente que el vendedor conceda al comprador un
descuento si realiza el pago al contado (descuento por "pronto-pago").
Es interesante calcular el % máximo que puede ofrecer el vendedor por
"pronto-pago", así como a partir de que tipo de descuento le puede convenir
al comprador acogerse al mismo.
a) Descuento máximo por "pronto pago" que puede ofrecer el vendedor.
Este descuento máximo estará determinado por el coste de su financiación.
Al obtener el pago al contado, el vendedor se ahorra tener que acudir a la
financiación bancaria durante el periodo de aplazamiento.
Por lo tanto, el vendedor podrá ofrecer un tipo de descuento que será como
máximo igual al coste de su financiación, ya que si fuera mayor le
resultaría más ventajoso esperar a que se cumpla el aplazamiento dado al
vendedor y financiarse mientras por el banco.
Para poder comparar el coste de su financiación con el descuento ofrecido,
tendrá que calcular el tipo anual equivalente de dicho descuento. La fórmula
empleada es la siguiente :
i = d * 365 / t
x
dónde "i" es el tipo anual equivalente
"d" es la tasa de descuento ofrecida
"t" es el periodo de aplazamiento concedido
Ejemplo: Una empresa concede aplazamientos por 90 días y su coste de
financiación bancaria es del 10%. Calcular el descuento por "pronto-pago"
máximo que podrá ofrecer:
Aplicamos la fórmula, i = d * 365 / t
luego, i = 0,10 * 365 /
90
luego, i = 2,466%
x
Por lo tanto, el descuento máximo que podrá ofrecer es del
2,466% (equivalente a un 10% anual). No podrá ofrecer
descuentos mayores ya que le resultaría más rentable esperar
los 90 días del aplazamiento y mientras financiarse en el banco.
b) Descuento mínimo por "pronto pago" que resultará interesante al comprador.
El razonamiento es similar: el ahorro que obtenga por el descuento tendrá
que ser mayor que el coste de su financiación: si la empresa paga al
contado dispondrá de unos fondos que tendrá que financiar, sólo si con el
pago al contado consigue un ahorro superior al coste de su financiación, le
resultará interesante.
Si el descuento que obtiene es inferior al coste de su financiación, preferirá
acogerse al aplazamiento del pago.
Al igual que en el caso anterior, y para poder comparar la tasa de
descuento con el coste de su financiación, habrá que calcular el tipo anual
equivalente de dicho descuento, aplicando la misma fórmula que en el caso
anterior.
Ejemplo: una empresa compradora se financia en su banco al 12%. En una
operación de compra-venta, el vendedor le ofrece un pago aplazado de 120
días o un descuento por "pronto-pago" del 3%. Ver si el conviene acogerse
a este "pronto-pago".
Se calcula el tipo anual equivalente al descuento ofrecido:
Se aplica la fórmula, i = d * 365 / t
luego, i = 0,12 * 365 /
120
luego, i = 9,125%
x
Vemos que que el descuento que le ofrecen por pronto-pago es
inferior al coste de su financiación, por lo que no le conviene
acogerse al mismo.
x
¿Y si el descuento ofrecido es del 5%?
x 6
Se vuelve a calcular el tipo anual equivalente, i = 0,05 * 365 /
120
luego, i = 15,7%
x
En este caso sí le convendría acogerse al pago al contado
31. Letras del Tesoro
Las Letras del Tesoro son títulos de Deuda Pública emitidos por el Estado
para su financiación. Su plazo de vencimiento suele ser inferior a 18 meses
y presentan la peculiaridad de que se emiten a descuento.
Es decir, el suscriptor al comprar paga menos que el valor nominal del título,
mientras que en el momento del vencimiento recibe dicho valor nominal. Este
menor precio en el momento de la compra es la rentabilidad que ofrece el título.
Para calcular la rentabilidad que obtiene el inversor hay que distinguir entre
Letras con vencimiento a menos de 1 año y a más de 1 año:
a) Si vence antes de 1 año, se aplica la ley de capitalización simple
P (1 + i * t) = N
Siendo "P" el precio que paga por la
Letra
"N" el valor nominal de la letra (importe que recibe al
vencimiento)
b) Si vence a más de 1 año se aplica la ley de capitalización compuesta
P (1 + i )^t = N
Al suscribir y al vencer la Letra, la entidad financiera suele cobrar
comisiones, que en el primer caso incrementan el precio de compra y en el
segundo caso disminuyen el importe recibido en el reembolso.
Estas comisiones hay que incorporarlas en las fórmulas anteriores para
calcular la rentabilidad de las letras. Por tanto:
a) Vencimiento a menos de 1 año:
(P + Cc) * (1 + i * t) = N - Cv
Siendo "Cc" la comisión de compra
"Cv" la comisión de venta
b) Vencimiento a más de 1 año:
X
(P + Cc) * (1 + i )^t = N - Cv
Ejemplo: Se suscribe una Letra del Tesoro de 1.000.000 ptas. con
vencimiento a 6 meses. El precio de compra es de 950.000 ptas., con una
comisión de 5.000 ptas. En el momento del reembolso se aplica otra
comisión de 4.000 ptas. Calcular la rentabilidad efectiva para el cliente: Al ser una operación a menos de 1 año se aplica la ley de capitalización
simple
X
Por lo tanto, (P + Cc)* (1 + i * t) = N - Cv
(Hay que despejar "i" que nos da la rentabilidad efectiva para el
cliente
luego, (950.000 + 5.000) * (1 + i * 0,5) = 1.000.000 - 4.000
( plazo en base anual)
luego, i = 8,586%
X
Por lo tanto, la rentabilidad (anual) que obtiene el inversor en
esta operación es del 8,586%
¿Y si el vencimiento de esta letra fuera a 15 meses?:
En este caso, al ser una operación a más de 1 año, se aplica la ley de
capitalización compuesta
X
Por lo tanto, (P + Cc)*(1 + i )^t = N - Cv
luego, (950.000 + 5.000) * (1 + i )^1,25 = 1.000.000 - 4.000
luego, i = 3,42%
X
Por lo tanto, la misma operación que en el caso anterior, pero a
un plazo de 15 meses, estaría dando una rentabilidad del 3,42%
El comprador puede vender la Letra antes de su vencimiento. Para calcular
la rentabilidad obtenida se aplicaría la misma fórmula, ajustando el tiempo
al periodo en que ha sido titular de la Letra.
Ejemplo: en el caso anterior (Letra con vencimiento a 15 meses) el
comprador la vende transcurrido únicamente 7 meses, por un precio de
975.000 ptas. En esta venta no paga comisiones. Calcular la rentabilidad
obtenida: Como el plazo en que ha mantenido la Letra ha sido inferior al año, se aplica
la ley de capitalización simple.
X
Por lo tanto, (P + Cc) * (1 + i * t) = N - Cv
Luego, (950.000 + 5.000) * (1 + i * 0,5833) = 975.000 - 0
luego, i = 3,59%
X
Por lo tanto, la rentabilidad (anual) que obtiene el inversor en
este caso es del 3,59%
32. Cuenta de crédito
En la cuenta de crédito la entidad financiera pone a disposición del cliente
un límite máximo de endeudamiento, del que éste irá disponiendo en
función de sus necesidades.
La cuenta de crédito funciona como una cuenta corriente: el cliente podrá
disponer, pero también podrá ingresar; de hecho, el saldo puede ser
ocasionalmente a su favor.
El banco establece dos tipos de interés: uno que aplica a los saldos
deudores, y otro inferior, similar al de las cuentas corrientes, con el que
remunera los saldos acreedores.
El banco puede admitir que el cliente en ocasiones puntuales pueda
disponer por encima del límite autorizado, pero en estos casos le aplicará
un tipo de penalización durante el tiempo en que el crédito se encuentre
excedido.
Las cuentas de crédito suelen llevar comisiones, destacando la comisión de
apertura (entorno al 0,5% del límite concedido) y la comisión por límite no
dispuesto (por ejemplo: si se solicita un crédito de 5 millones ptas. y el
saldo medio utilizado es de 3 millones, esta comisión se aplica sobre los 2
millones restantes).
Ejemplo:
Un cliente apertura una cuenta de crédito con un límite de 3.000.000 ptas. y
vencimiento a 1 año. El banco establece un tipo del 12% para los saldos deudores,
del 24% para los saldos excedidos, y remunera con el 3% los saldos acreedores.
El banco aplica una comisión de apertura del 0,5% y una comisión sobre límite no
dispuesto del 0,25%.
Transcurrido el primer trimestre, el saldo medio dispuesto ha sido de 2.500.000
ptas., ha habido un saldo medio excedido de 200.000 ptas., y un saldo medio
acreedor de 300.000 ptas.
Calcular la liquidación de la cuenta de este primer trimestre, así como el tipo TAE
de este periodo. a) Liquidación de la cuenta (se aplica la ley de capitalización simple I = C * i * t)
X
Comisión de apertura 3.000.000 * 0,005 = - 15.000
Intereses deudores
(ordinarios) 2.500.000 * 0,12 * 0,25 = - 75.000
(se utiliza la base anual: un trimestre es igual a 0,25 años)
Intereses deudores
(excedidos) 200.000 * 0,24 * 0,25 = - 12.000
Intereses acreedores 300.000 * 0,03 * 0,25 = + 2.250
Comisión s/saldo medio
no disp. 500.000 * 0,0025= - 1.250
X
Total liquidación - 101.000
X
b) TAE de la operación
X
Se calcula el tipo efectivo para el trimestre; para ello se suman
los intereses y las comisiones pagadas, y se divide entre el saldo
medio deudor
X
La comisión de apertura se divide entre 4 trimestres (duración de
la operación), asignándole a este primer trimestre una cuarta
parte.
X
Por lo tanto, ie = (75.000 + 12.000 + 3.750 + 1.250)/( 2.500.000 +
200.000)
"ie" es el tipo efectivo
3.750 ptas. corresponden a la comisión de apertura (una cuarta
parte de 15.000 ptas.)
No consideramos ni el saldo medio acreedor, ni los intereses
pagados al cliente
luego, ie = 3,4074%
X
Por lo tanto, el tipo de interés efectivo de la operación durante el
primer trimestre ha sido del 3,407%
X
Una vez calculado el tipo efectivo, se calcula su tipo anual
equivalente (TAE)
X
luego, 1 + i = (1 + i4)^4 (siendo "i" el tipo TAE)
luego, i = 14,34%
X
El TAE de este crédito durante el primer trimestre ha sido del
14,34%
33. Compra-venta de acciones (I)
Cuando se compran acciones el importe efectivo que se paga por ellas
viene determinado por la fórmula:
Ic = (Nc * Pc) + Cc
X
Siendo " Ic" el importe efectivo de la
compra
" Nc" el número de acciones
adquiridas
" Pc" el precio pagado por acción
" Cc" las comisiones pagadas en la
compra
Ejemplo: se adquieren 1.000 acciones de Telefónica que cotizan en ese
momento a 3.000 ptas. Se pagan unas comisiones de 15.000 ptas. Calcular
el importe de la adquisición.
Ic = (Nc * Pc) + Cc
Luego, Ic = (1.000 * 3.000) + 15.000
Luego, Ic = 3.017.000 ptas.
Durante el tiempo en que se mantienen las acciones se irán recibiendo
dividendos, pero también habrá que pagar comisiones de custodia.
Cuando se venden las acciones el importe recibido viene determinado por
la siguiente fórmula:
Iv = (Nv * Pv) - Cv
X
Siendo " Iv" el importe efectivo de la venta
" Nv" el número de acciones que se venden
" Pv" el precio de venta por acción
"Cc" las comisiones pagadas en la venta
Ejemplo: las acciones que compramos en el ejemplo anterior se venden 9
meses después a 3.150 ptas. cada acción. Las comisiones de venta
ascienden a 12.000 ptas. Calcular el importe ingresado por la venta.
Iv = (Nv * Pv) - Cv
Luego, Iv = (1.000 * 3.150) - 12.000
Luego, Iv = 3.138.000 ptas.
Para calcular la rentabilidad que se obtiene en este tipo de inversiones hay
que distinguir:
a) Operaciones a corto plazo (< 12 meses) se aplica la ley de capitalización simple.
b) Operaciones a largo plazo (> 12 meses) se aplica la ley de capitalización
compuesta.
OPERACIONES A CORTO PLAZO
En este tipo de operaciones, para calcular la rentabilidad que se obtiene, se
aplica la siguiente fórmula:
r = (D - Cm + Iv - Ic) * (1 - t) / Ic
X
Siendo " r " la rentabilidad obtenida en la operación
" D " los dividendos percibidos
" Cm" las comisiones de custodia pagadas
" Iv " el importe de la venta
" Ic" el importe de la compra
" t " el tipo impositivo marginal que paga el inversor
Analicemos la fórmula anterior:
El paréntesis (D - Cm + Iv - Ic) determina el ingreso bruto
que percibe el inversor.
X
No obstante, el inversor tiene que pagar impuestos por
los beneficios obtenidos, por lo que su beneficio neto
viene determinado por el beneficio bruto multiplicado por
(1 - t).
Ejemplo: en el ejemplo anterior, el inversor recibe durante los 9 meses que
ha mantenido las acciones, dividendos por 100.000 ptas. y ha pagado
comisiones de custodia por 20.000 ptas. Su tipo impositivo marginal es el
30%. Calcular la rentabilidad obtenida:
r = (D - Cm + Iv - Ic) * (1 " – t) / Ic
luego, r = (100.000 - 20.000 + 3.138.000 - 3.017.000) (1 - 0,3) /
3.017.000
luego, r = 4,66%
X
Esta rentabilidad la ha obtenido el inversor en un plazo de 9
meses. Su equivalente anual sería r = 4,66 * 12 / 9 = 6,21%
34. Compra-venta de acciones (II)
OPERACIONES A LARGO PLAZO
Para calcular la rentabilidad de este tipo de operaciones se aplica la ley de
equivalencia financiera:
La rentabilidad de la operación es el tipo de interés que iguala en el momento
inicial la prestación (importe de la adquisición) y la contraprestación (importe de la
venta y dividendos percibidos durante ese periodo de tenencia, menos las
comisiones de custodia pagadas).
Supongamos que una inversión en acciones origina los siguientes flujos
monetarios durante el periodo de tenencia:
Periodo Tipo de flujo Comisión de
custodia
X
año 0 Compra de las acciones - Ic
año 1 Se cobran dividendos y se paga comisión de
custodia + D1 - Cm1
año 2 Se cobran dividendos y se paga comisión de
custodia + D2 - Cm2
... ....... ...
año (n-2) Se cobran dividendos y se paga comisión de
custodia + Dn-2 - Cmn-2
año (n-1) Se cobran dividendos y se paga comisión de
custodia + Dn-1 - Cmn-1
año (n) Se cobran dividendos, se paga comisión de
custodia y se venden las acciones + Dn - Cmn + Iv
X
Siendo " Ic " el precio pagado por la compra (incluyendo comisiones)
Siendo " D1 " los dividendos percibidos el primer año
Siendo " Cm1 " la comisión de custodia pagada el primer año
Siendo " Iv " el precio de venta (descontando las comisiones pagadas)
Todos estos flujos se descuentan al momento inicial y se iguala prestación
con contraprestación. El tipo " ie " nos da la rentabilidad anual efectiva de la
operación. Periodo Prestación Contraprestación
(Valor en el momento
0) (Valor en el momento 0)
X
año 0 - Ic
año 1 + ((D1 - Cm1) * (1 -t)) / (1 + ie)
año 2 + ((D1 - Cm1) * (1 -t)) / (1 + ie)^2
... ...
año (n-2) + ((D1 - Cm1) * (1 -t)) / (1 + ie)^n-2
año (n-1) + ((D1 - Cm1) * (1 -t)) / (1 + ie)^n-1
año (n) + ((D1 - Cm1) * (1 -t)) / (1 + ie)^n
+ (Iv - (Iv - Ic) * (1-t)) / (1 + ie)^n
¿Que hemos hecho?
Hemos llevado al momento 0 todos los flujos. La prestación (la compra de las
acciones) no se ha descontado ya que se encontraba en el momento inicial.
Cada flujo de la contraprestación (beneficios = dividendos - comisiones pagadas)
se ha multiplicado por (1 - t) para depurar el efecto del pago de impuestos.
El último año hemos descontado, por una parte, el dividendo menos las
comisiones, y por otra, los ingresos por la venta. A estos ingresos por venta le
hemos restado los impuestos que se producen por las plusvalías obtenidas (Iv -
Ic).
Ejemplo: Se adquieren 1.000 acciones de Telefónica por 3.000 ptas. cada
una. Se paga una comisión de compra de 15.000 ptas. Estas acciones se
venden 3 años más tarde por 3.150 ptas. cada acción. Las comisiones de
venta ascienden a 12.000 ptas.
Durante este periodo se han cobrado los siguientes dividendos y se han pagado
las siguientes comisiones de custodia:
Periodo Dividendos Comisión de
custodia
x
1º año +50.000 -12.000
2º año +60.000 -15.000
3º año +70.000 -18.000
Calcular la rentabilidad de la operación:
Se aplica la ley de equivalencia financiera
x
luego, Prestación = Contraprestación
3.017.000 ((50.000-12.000)*(1-0,3)/(1+ie)) +
((60.000-15.000)*(1-0,3)/(1+ie)^2) +
((70.000-18.000)*(1-0,3)/(1+ie)^3) +
+ (((3.138.000)+(3.138.000-
3.017.000)*(1-0,3))/(1 + ie)^3))
x
luego, ie = 3,2412%
x
Por lo tanto, la rentabilidad anual obtenida en esta operación ha
sido de 3,24%
35. Préstamos
El préstamo es una operación financiera en la que el Banco entrega al
cliente un importe y este se compromete a devolverlo en uno o varios pagos.
Los préstamos suelen ser operaciones a largo plazo.
En el préstamo se puede distinguir:
C0: Importe inicial de la operación.
Ms: Cuota de amortización. Es la cantidad que periódicamente se irá pagando.
Este importe puede ser constante o puede ir variando. El subíndice "s" indica el
periodo de la vida del préstamo al que corresponde dicha cuota.
Ss: Es el saldo pendiente de capital, es decir, la parte del importe inicial que aún
no se ha amortizado hasta el momento "s".
CA s: Capital amortizado. Es la parte del importe inicial que se ha amortizado
hasta el momento "s".
Entre estos conceptos se pueden establecer una serie de relaciones:
Cuota
periódica
Ms= AMs + Is La cuota que se paga
periódicamente está formada
por dos componentes: AMs es
la devolución de principal que
se realiza en ese periodo; Is
son los intereses que se pagan
correspondientes a ese
periodo.
Intereses
del periodo
Is = Cs-1 * i * t Los intereses del periodo "s"
son iguales al saldo de la
operación al comienzo del
periodo, por el tipo de interés y
por la duración del periodo.
Capital
inicial
Co = S AMk El capital inicial es igual a la
suma de todas las
amortizaciones parciales de
capital que se van a realizar a
lo largo de la vida de la
operación.
Saldo vivo
de la
operación
en el
momento
"s"
Ss= S Mk (1+i)^k-s
El saldo vivo de la operación en
el momento "s" es igual a la
suma de todas las cuotas
periódicas pendientes de
vencer, descontadas a esa
fecha.
Ss= Co - S AMk También se puede calcular
restando al importe inicial de la
operación las amortizaciones
de capital que ya se hayan
realizado.
Capital
amortizado
CAs = S AMk El capital amortizado
CAs = Co- Ss
También se puede calcular
como la diferencia entre el
capital inicial y el saldo
pendiente de amortizar al
momento "s".
En las operaciones de préstamos se pueden distinguir algunos casos
particulares que estudiaremos en las próximas lecciones:
a) Préstamo con cuota de amortización constante
b) Préstamo con devolución de principal constante
c) Préstamo con una sola devolución de principal al vencimiento
d) Préstamo con periodo de carencia
e) Préstamo con diferentes tipos de interés a lo largo de la vida de la operación
f) Préstamo con intereses anticipados.
36. Préstamos con cuotas de amortización constante (Método francés)
Este tipo de préstamo se caracteriza por tener cuotas de amortización
constante a lo largo de la vida del préstamo. También se considera que el
tipo de interés es único durante toda la operación.
El flujo de capitales del préstamo será:
Periodons MS" Prestamo Cuotas de
amortización
año 0 + Co
año 1 - M
año 2 - M
... ...
año (n-2) - M
año (n-1) - M
año (n) - M
Siendo Co el importe del préstamo y M el importe constante de
la cuota de amortización
El valor actual de las cuotas de amortización sigue una estructura similar a
la de una renta constante, temporal, pospagable.
luego, Co = M * Ao (siendo Ao el valor actual de una renta
unitaria pospagable, de duración igual a la del préstamo)
luego, Co = M * (1 - (1 + i)^-n)/ i
Por lo que se puede calcular fácilmente el importe de la cuota constante de
la amortización:
M = Co / Ao
Ejemplo: Calcular la cuota constante de amortización de un préstamo de
3.000.000 ptas. a plazo de 5 años, con un tipo de interés del 10%.
Calculamos el valor de Ao (valor actualiza de una renta
constante, pospagable, de 5 años de duración):
Ao = (1 - (1 + i)^-n)/ i
luego, Ao = (1 - (1 + 0,1)^-5)/ 0,1
luego, Ao = 3,7908
Una vez conocido el valor de Ao, se calcula el valor de la cuota
constante
luego, M = 3.000.000 / 3,7908
luego, M = 791.392 ptas.
Por lo tanto, la cuota constante anual se eleva a 791.392 ptas.
Una vez que se conoce el importe de la cuota constante, podemos ver que
parte de misma corresponde a amortización de principal y que parte
corresponde a intereses:
a ) Amortización de Principal: Calculamos la correspondiente al
primer periodo
Sabemos que I1 = Co * i * t
luego, I1 = 3.000.000 * 0,1 * 1
luego, I1 = 300.000 ptas.
Ya podemos despejar As de la fórmula Ms = AMs - Is
luego, AMs = Ms- Is
luego, AM1 = 791.392 - 300.000
luego, AM1 = 491.392 ptas.
El resto de las amortizaciones de capital se pueden calcular aplicando la siguiente
fórmula:
AMk = AM1 * (1 + i)^k-1
Por lo tanto:
Amort. de capital
AM1 491.392 491.392
AM2 491.392 * (1,1) 540.531
AM3 491.392 * (1,1)^2 594.584
AM4 491.392 * (1,1)^3 654.043
AM5 491.392 * (1,1)^4 719.447
Suma 3.000.000
Se comprueba como la suma de todas las amortizaciones de capital coincide con
el importe inicial del préstamo.
El importe que representan los intereses dentro de cada cuota de amortización se
calcula de manera inmediata, ya que:
Partiendo de la fórmula Ms = AMs + Is
se despeja Is = Ms - AMs
Por lo tanto:
Periodo Ms AMs Is
1 791.392 491.392 300.000
2 791.392 540.531 250.861
3 791.392 594.584 196.808
4 791.392 654.043 137.349
5 791.392 719.447 71.945
Conociendo el importe de las amortizaciones de principal, se calcula fácilmente el
saldo vivo del préstamo en cada periodo, así como el capital ya amortizado: Ss= Co - S AMk Siendo Ss el saldo vivo en el momento "s" y S AMk la
suma de todas las amortizaciones de capital realizadas
hasta ese momento
CAs = S AMk Siendo CAs el capital amortizado hasta el momento "s"
Luego:
Periodo Saldo vivo Capital amortizado
0 3.000.000 0
1 2.508.608 491.392
2 1.968.077 1.031.923
3 1.373.493 1.626.507
4 719.450 2.280.550
5 0 3.000.000
37. Préstamos con cuotas de amortización constantes: Ejercicios
Ejercicio 1: Una entidad financiera concede un préstamo de 6.000.000 ptas.,
por un plazo de 5 años, con cuotas de amortización semestrales y con un
tipo de interés anual del 12%.
Calcular:
a) Cuota constante de amortización
b) Importe que corresponde a la amortización de capital y a los intereses
c) Evolución del saldo vivo y del capital amortizado
SOLUCION
1.- Cuota constante de amortización
Primero se calcula el tipo semestral equivalente:
(1 + i) = (1 + i2)^2
luego, i2 = 5,83%
Una vez conocido el tipo semestral, pasamos a calcular el valor de Ao
(valor actual de una renta unitaria, pospagable, de 10 semestre de
duración, con un tipo de interés semestral del 5,83%)
Ao = (1 - (1 + i)^-n)/ i
luego, Ao = (1 - (1 + 0,0,583)^-10)/ 0,0583
luego, Ao = 7,4197
A continuación se calcula el valor de la cuota constante
luego, M = 6.000.000 / 7,4197
luego, M = 808.655 ptas.
Por lo tanto, la cuota constante anual se eleva a 808.655 ptas.
2.- Parte de la cuota correspondiente a amortización de principal y a
intereses:
Comenzamos calculando la amortización de capital correspondiente al
primer periodo
Sabemos que I1 = Co * i * t
luego, I1 = 6.000.000 * 0,0583 * 1
luego, I1 = 349.800 ptas.
Ya podemos despejar AM1 de la fórmula AM1 = M1 - I1
luego, AM1 = 808.655 - 349.800
luego, AM1 = 458.855 ptas.
El resto de las amortizaciones de capital se pueden calcular aplicando la
siguiente fórmula:
AMk = AM1 * (1 + i)^k-1
También vamos a calcular el importe que representan los intereses
dentro de cada cuota:
Partiendo de la fórmula Ms = AMs + Is
se despeja Is = Ms - AMs
Periodo Amort. de capital Intereses
1º semestre 458.855 349.800
2º semestre 485.606 323.049
3º semestre 513.917 294.738
4º semestre 543.878 264.777
5º semestre 575.587 233.068
6º semestre 199.512
7º semestre 644.656 163.999
8º semestre 682.240 126.415
9º semestre 722.014 86.641
10º semestre 764.108 44.547
Suma 6.000.000
La suma de todas las amortizaciones de capital coincide con el importe
inicial del préstamo. Por otra parte, la suma en cada periodo de la parte
de amortización de capital y de los intereses coincide con el importe de
la cuota constante.
3.- Saldo vivo del préstamo y capital ya amortizado en cada periodo:
Se aplican las fórmulas:
Ss= Co - S Ak
CAs = S Ak
Periodo Saldo vivo Capital amortizado
Periodo 0 6.000.000 0
1º semestre 5.541.145 458.855
2º semestre 5.055.539 944.461
3º semestre 4.541.622 1.458.378
4º semestre 3.997.744 2.002.256
5º semestre 3.422.157 2.577.843
6º semestre 2.813.014 3.186.986
7º semestre 2.168.358 3.831.642
8º semestre 1.486.118 4.513.882
9º semestre 764.108 5.235.896
10º semestre 0 6.000.000
38. Préstamos con amortización de capital constante
Este tipo de préstamo se caracteriza porque la amortización de capital es
constante en todas las cuotas del préstamo. También, y a efectos de
simplificar, vamos a considerar que el tipo de interés es constante durante
toda la operación, aunque este requisito no es necesario.
En este tipo de préstamo se calcula fácilmente el importe de la amortización
de capital constante, basta con dividir el importe del préstamo por el
número de periodos.
AMs = Co / n
(Siendo "Co" el importe del préstamo y "n" el número de
periodos)
Una vez conocido el importe de la amortización constante de capital, se
puede conocer como evoluciona el saldo vivo del préstamo, así como el
capital amortizado:
Ss= Co - S
AMk
Siendo Ss el saldo vivo en el momento "s" y S
AMk la suma de todas las amortizaciones de
capital realizadas hasta ese momento
CAs = S AMk Siendo CAs el capital amortizado hasta el
momento "s"
Para calcular la cuota periódica del préstamo partimos de la fórmula:
Ms = AMs + Is
(Siendo "Ms" la cuota correspondiente al periodo "s" y "Is" el
importe de los intereses de dicho periodo)
Como ya conocemos AMs, sólo nos falta calcular el importe de los intereses
para poder conocer el importe de la cuota periódica. El importe de los
intereses de cada periodo se calcula aplicando la siguiente fórmula:
Is = Ss-1 * i * t
(Siendo "Is" los intereses del periodo "s", "Ss-1" el saldo vivo al
final del periodo anterior; "i" el tipo de interés aplicado y "t" la
duración del periodo)
Las cuotas periódicas de este tipo de préstamo son decrecientes, ya que
mientras que la parte correspondiente a amortización de capital es
constante, los intereses van disminuyendo, ya que el saldo vivo se va
reduciendo.
Veamos un ejemplo:
Un banco concede un préstamo de 7.000.000 ptas., a un plazo de 7 años, con un
tipo de interés constante del 10%. En las cuotas periódicas, la amortización de
capital es constante durante toda la vida de la operación.
Calcular:
a) Importe de la amortización de capital constante
b) Evolución del saldo vivo y del capital amortizado
c) Importe de los intereses
d) Cuota de amortización
SOLUCION
a ) Importe correspondiente a la devolución de principal:
Aplicamos la fórmula AMs = Co / n
luego, AMs = 7.000.000 / 7
luego, AMs = 1.000.000
Por lo tanto, la amortización de capital en cada periodo,
durante toda la operación, es de 1.000.000 ptas.
b) Evolución del saldo vivo y del capital amortizado:
Periodo Saldo vivo Capital amortizado
0 7.000.000 0
1 6.000.000 1.000.000
2 5.000.000 2.000.000
3 4.000.000 3.000.000
4 3.000.000 4.000.000
5 2.000.000 5.000.000
6 1.000.000 6.000.000
7 0 7.000.000
c ) Importe de los intereses en cada cuota periódica:
Aplicamos la fórmula Is = Ss-1 * i * t
Periodo Intereses
1 700.000
2 600.000
3 500.000
4 400.000
5 300.000
6 200.000
7 100.000
d ) Cuotas periódicas:
Aplicamos la fórmula Ms = AMs + Is
Periodo Cuota
1 1.700.000
2 1.600.000
3 1.500.000
4 1.400.000
5 1.300.000
6 1.200.000
7 1.100.000
39. Préstamos con amortización de capital constante: Ejercicio
EJERCICIO
Un banco concede un préstamo de 10.000.000 ptas., a 4 años, con cuotas
semestrales, y con un tipo de interés anual del 12%. La amortización de
capital es constante durante toda la vida del préstamo.
Calcular:
a) El importe constante de la amortización de capital
b) Evolución del saldo vivo y del capital amortizado
c) Importe de los intereses en cada periodo
d) Importe de la cuota en cada periodo
SOLUCION
a ) Importe constante de la amortización de capital:
Aplicamos la fórmula AMs = Co / n
luego, AMs = 10.000.000 / 8 (el plazo lo ponemos en base
semestral)
luego, AMs = 1.250.000
Por lo tanto, la amortización de capital en cada semestre es de
1.250.000 ptas.
b) Evolución del saldo vivo y del capital amortizado:
Periodo Saldo vivo Capital amortizado
0 10.000.000 0
1 8.750.000 1.250.000
2 7.500.000 2.500.000
3 6.250.000 3.750.000
4 5.000.000 5.000.000
5 3.750.000 6.250.000
6 2.500.000 7.500.000
7 1.250.000 8.750.000
8 0 10.000.000
c ) Importe de los intereses en cada cuota periódica:
Aplicamos la fórmula Is = Ss-1 * i * t
Pero, primero, tenemos que calcular el tipo semestral
equivalente:
Aplicamos la fórmula 1 + i = (1 + i2)^2
luego, i2 = 5,83%
Periodo Intereses
1 583.000
2 510.125
3 437.250
4 364.375
5 291.500
6 218.625
7 145.750
8 72.875
d ) Cuotas periódicas:
Aplicamos la fórmula Ms = AMs + Is
Periodo Cuota
1 1.833.000
2 1.760.125
3 1.687.250
4 1.614.375
5 1.541.500
6 1.468.625
7 1.395.750
8 1.322.875
40. Préstamos con amortización única al vencimiento (Método americano simple)
Este tipo de préstamos se caracteriza por:
a) Sólo se realiza una amortización de capital al vencimiento del préstamo, por el
total del mismo.
b) En las demás cuotas periódicas tan sólo se pagan los intereses del periodo.
En este tipo de préstamos, las cuotas periódicas hasta el periodo (n-1)
serán:
Ms = Is
Los intereses de cada periodo se calculan:
Is = Ss-1 * i * t
(Siendo Ss-1 el saldo vivo al final del periodo anterior)
La última cuota de amortización será:
Mn = Co + In
(Siendo Co el capital inicial del préstamo y In los intereses del
último periodo)
Ejemplo:
Un banco concede un préstamo de 3.000.000 ptas., según el método americano
simple, con un tipo de interés del 15% y a un plazo de 5 años:
Calcular:
a) Importe de los intereses en cada periodo y de la cuota periódica.
b) Saldo vivo y capital amortizado a lo largo de la vida del préstamo.
SOLUCION
a ) Importe de los intereses y de la cuota periódica:
Aplicamos la fórmula Is = Ss-1 * i * t
Periodo Intereses Amortización
capital Cuota
1 450.000 0 450.000
2 450.000 0 450.000
3 450.000 0 450.000
4 450.000 0 450.000
5 450.000 3.000.000 3.450.000
b ) Evolución del saldo vivo y del capital amortizado:
Periodo Saldo vivo Capital amortizado
0 3.000.000 0
1 3.000.000 0
2 3.000.000 0
3 3.000.000 0
4 3.000.000 0
5 0 3.000.000
41. Préstamo con periodo de carencia
En algunos préstamos se pacta un periodo inicial de carencia, con el que se
pretende conceder al prestatario un plazo para que la inversión que ha
financiado con dicho préstamo comience a generar ingresos con los que
poder hacer frente a la amortización del mismo.
El periodo de carencia puede ser de dos tipos:
a) Carencia en la amortización del capital, aunque haciendo frente al pago de
intereses.
b) Carencia total. El prestatario no realiza ningún pago durante este periodo.
A.- CARENCIA EN LA AMORTIZACIÓN DEL CAPITAL
Durante el periodo de carencia, el prestatario paga cuotas constantes
equivalentes a la liquidación de los intereses periódicos:
Ms = Co * i * t
(Siendo Co el importe del capital inicial del préstamo)
Una vez finalizado este periodo, el préstamo se desarrolla como un
préstamo normal (del tipo que sea: cuota constante, amortización al
vencimiento, etc).
Ejemplo: un banco concede un préstamo de 10.000.000 ptas., a un plazo
de 5 años, con pagos semestrales y tipo de interés del 8%. Se conceden 2
años de carencia, durante el cual sólo se pagan intereses. Transcurrido
este periodo, el préstamo se amortiza con cuotas constantes.
a) calcular las cuotas que se pagan durante el periodo de
carencia.
Se aplica la fórmula (Ms = Co * i * t), pero, primero, se calcula
el tipo de interés semestral equivalente:
1 + i = (1 + i2)^2
luego, i2 = 3,923%
Luego, Ms = 10.000.000 * 0,03923 * 1
Luego, Ms = 392.300 ptas.
Por lo tanto, durante el periodo de carencia el prestatario
tendrá que pagar cuotas semestrales de 392.300 ptas.,
correspondientes a los intereses.
b) Transcurrido los 2 primeros años, el préstamo tendrá un
desarrollo normal
Luego, Co = Ms * Ao (siendo Ao el valor actual de una renta
pospagable de 6 semestres de duración, con un tipo de interés
del 3,923%)
Despejando, Ms = Co / Ao
Ao = (1 - (1 + 0,03923)^-6) / 0,03923
Luego, Ao = 5,2553
Por lo tanto, Ms = 10.000.000 / 5,2553
Luego, Ms = 1.902.840 ptas.
La cuota semestral constante que se tendrá que pagar cada
semestre, tras el periodo de carencia y hasta el vencimiento,
será de 1.902.840 ptas.
B.- CARENCIA TOTAL
En este supuesto, el prestatario no realiza ningún pago durante el periodo
de carencia, por lo que el importe del principal irá aumentando, acumulando
los interese de este periodo.
Ejemplo: continuamos con el supuesto anterior, suponiendo que hay
carencia total de pago.
a) Importe del principal al finalizar los dos años de carencia
Cd = Co * (1 + i2 )^4 (siendo "Cd" el importe del préstamo tras el
periodo de carencia)
luego, Cd = 10.000.000 * ( 1 + 0,03923)^4
luego, Cd = 11.663.978 ptas.
Por lo tanto, transcurrido el periodo de carencia, el importe del
préstamo asciende a 11.663.978 ptas.
b) Desarrollo normal del prestamos (durante los 3 años que van
desde el final del periodo de carencia hasta el vencimiento del
préstamo)
En este periodo, el prestatario tendrá que hacer frente a cuotas
semestrales constantes:
Luego, Ms = 11.663.978 / 5,2553
Luego, Ms = 2.219.468 ptas.
42. Préstamo con periodo de carencia: Ejercicios
Ejercicio: Un banco concede un préstamo de 8.000.000 ptas., por un plazo de 8
años (3 de ellos de carencia) y tipo de interés fijo del 10%. Una vez cumplido el
periodo de carencia, el préstamo se desarrolla con amortización de capital
constante.
Calcular las cuotas de amortización de toda la vida del préstamo, suponiendo:
a) Periodo de carencia con pago de intereses
b) Periodo de carencia total
Solución
a) Periodo de carencia con pago de intereses
Durante el periodo de carencia (hasta el final del tercer año), el
prestatario pagará los intereses correspondientes:
Ms = Co * i * t (siendo Mo el importe de la cuota periódica)
luego, Ms = 8.000.000 * 0,1 * 1
luego, Ms = 800.000 ptas.
A partir del 4º año, el préstamo tendrá un desarrollo normal, con
amortización de capital constante:
La amortización del principal se calcula con la fórmula AMs = Co /
n
Luego, AMs = 8.000.000 / 5 (se divide por 5, ya que son los años
hasta el vencimiento)
Luego, AMs = 1.600.000 ptas.
Para calcular el importe de los intereses periódicos se aplica la
siguiente fórmula, Is = Ss-1 * i * t
Para ello, vamos a ir viendo como evoluciona el saldo vivo del
préstamo:
Periodo Saldo vivo Intereses
Momento 0 8.000.000 0
Año 1 8.000.000 800.000
Año 2 8.000.000 800.000
Año 3 8.000.000 800.000
Año 4 6.400.000 800.000
Año 5 4.800.000 640.000
Año 6 3.200.000 480.000
Año 7 1.600.000 380.000
Año 8 0 160.000
La cuota de amortización periódica será Ms = Ams + Is. Luego, ya
podemos completar el cuadro con todas las cuotas:
Periodo Amortización
principal Intereses Cuota
Año 1 0 800.000 800.000
Año 2 0 800.000 800.000
Año 3 0 800.000 800.000
Año 4 1.600.000 800.000 2.400.000
Año 5 1.600.000 640.000 2.240.000
Año 6 1.600.000 480.000 2.080.000
Año 7 1.600.000 320.000 1.920.000
Año 8 1.600.000 160.000 1.760.000
b) Periodo de carencia total
Durante los tres primeros años del préstamo no se pagan
intereses, por lo que estos se van acumulando al importe del
principal.
Al final de estos 3 años, el importe acumulado de los intereses
ascenderá:
I = Co * ((1 + i)^3 -1) (siendo I el importe acumulado de los
intereses)
luego, I = 8.000.000 * ((1 + 0,1)^3 -1)
luego, I = 2.648.000 ptas.
Por lo tanto, el importe del principal del préstamo al final del 3º
años, será:
Cd = Co + I (siendo Cd el importe del principal al final del periodo
de carencia)
luego, Cd = 8.000.000 + 2.648.000
luego, Cd = 10.648.000 ptas.
A partir del 4º año, el préstamo tendrá un desarrollo normal, con
amortización de capital constante:
Luego, AMs = 10.648.000 / 5
Luego, AMs = 2.129.600 ptas.
Para calcular el importe que suponen los intereses periódicos se
aplica la fórmula, Is = Ss-1 * i * t
Para ello, vamos a ir viendo como evoluciona el saldo vivo del
préstamo:
Periodo Saldo vivo Intereses
Momento 0 8.000.000 0
Año 1 8.800.000 0
Año 2 9.680.000 0
Año 3 10.648.000 0
Año 4 8.518.400 1.064.800
Año 5 6.388.800 851.840
Año 6 4.259.200 638.880
Año 7 2.129.600 425.920
Año 8 0 212.960
Y la cuota de amortización periódica será Ms = AMs + Is. El cuadro
con todas las cuotas será:
Periodo Amortización
principal Intereses Cuota
Año 1 0 0 0
Año 2 0 0 0
Año 3 0 0 0
Año 4 2.169.600 1.064.800 3.194.400
Año 5 2.169.600 851.840 2.981.440
Año 6 2.169.600 638.880 2.768.480
Año 7 2.169.600 425.920 2.555.520
Año 8 2.169.600 212.960 2.342.560
43. Préstamos con distintos tipos de interés (I)
En algunos préstamos se establecen distintos tipos de interés según el
periodo:
Por ejemplo: 8% durante los dos primeros años, 9% durante el 3º y 4º año, y 10%
durante los dos últimos años.
Suelen ser operaciones a largo plazo, en las que el tipo de interés va
aumentando a medida que se incrementa el plazo.
Aparte de esta peculiaridad, estos préstamos pueden seguir el desarrollo de
algunos de los modelos que hemos analizado (cuotas periódicas constantes,
amortización de principal constante, etc.). Vamos a ver un ejemplo de un
préstamo que sigue el modelo de cuotas constantes.
a) Préstamos con distintos tipos de interés y cuotas constantes
Supongamos que se han establecido 2 tramos: uno que va desde el inicio
hasta el periodo "s", con un tipo de interés "i1", y un segundo tramo que va
desde el periodo s+1 hasta el vencimiento, con un tipo de interés "i2".
Entonces:
Co = (AMs * Ao) + (AMs * (1 + i1)^-s *A1)
Donde AMs es el valor de la cuota periódica constante y Co es
el importe inicial del préstamo
Donde (AMs * Ao) es el valor actualizado del primer tramo (Ao
es el valor actual de una renta pospagable, constante, de "s"
periodos de duración y con tipo de interés i1)
Donde (AMs * (1 + i1)^-s *A1) es el valor actualizado del
segundo tramo (A1 es el valor en el momento "s" de una renta
pospagable constante, desde el periodo "s+1" hasta el periodo
"n", y con tipo de interés i2)
Como A1 es el valor en el momento "s", hay que actualizarlo
hasta el momento 0, de ahí el paréntesis (1 + i1)^-s
Es interesante ver como para descontar este segundo termino
hasta el momento "0" se aplica el tipo de interés del primer
tramo, ya que es el que está vigente entre el momento 0 y el
momento "s"
Ejemplo:
Calcular la cuota periódica constante y el cuadro de amortización de un préstamo
de 4.000.000 ptas., a 6 años, con un tipo de interés del 9% durante los 3 primeros
años y del 10% durante los 3 restante:
Aplicamos la fórmula, Co = (AMs * Ao) + (AMs * (1 + i1)^-s *A1)
luego, 4.000.000 = (AMs * ((1 - (1+0,09)^-3)/0,09)) + (AMs * (1+0,09)^-3* ((1 -
(1+0,1)^-3)/ 0,1))
luego, AMs = 898.555 ptas.
Por lo tanto, la cuota anual constante durante los 6 años será de
898.555 ptas.
Para calcular que parte de la cuota periódica corresponde a amortización de
capital, procedemos de la siguiente manera:
Se calculan los intereses que incluye la primera cuota y por diferencia, la parte de
la cuota que corresponde a devolución de capital:
M1 = AM1 + I1 (es decir, la cuota periódica es la suma de
devolución de capital y de pago de intereses). Despejando, AM1
= A1 - I1
I1 lo podemos calcular: I1 = Co * i1 * t
luego, I1 = 4.000.000 * 0,09 * 1
luego, I1 = 360.000 ptas.
Por lo tanto, AM1 = 898.555-360.000
luego, AM1 = 538.555 ptas.
Conociendo la devolución de principal del primer periodo se puede calcular el
resto de devoluciones de principal aplicando la siguiente fórmula:
AMs = AM1 * (1 + i1)^s-1
Lo único que ocurre es que esta ley se cumple mientras no cambia el tipo de
interés. En el momento en que se inicia el 2º periodo ya no podemos seguir
aplicando esta ley.
Vamos a calcular la devolución del principal del 2º y 3º periodo (no la del 4º porque
ya cambia el tipo de interés):
Periodo Devolución de principal
año 2 AM2 = AM1 * (1 + 0,09) = 587.025 ptas.
año 3 AM3 = AM1 * (1 + 0,09)^2 = 639.857 ptas.
Para calcular la devolución de principal en la 1º cuota del segundo tramo (la
correspondiente al 4º año), hay que empezar por calcular los intereses que incluye
esa cuota:
Aplicamos la fórmula: I4 = S3 * i2 * t
Tenemos todos los datos menos el saldo vivo al final del 3º periodo. Este saldo
vivo lo podemos calcular:
Aplicamos la fórmula: S3 = C0 - AM1 - AM2 - AM3
luego, S3 = 4.000.000 - 538.555 - 58.025 - 639.857
luego, S3 = 2.234.563 ptas.
Ya se pueden calcular los intereses del 4º periodo:
Aplicamos la fórmula: I4 = S3 * i2 * t
luego, I4 = 2.234.563 * 0,1 * 1
luego, I4 = 223.456 ptas.
Una vez calculado los intereses del 4º periodo, por diferencia podemos calcular la
parte de la cuota que corresponde a amortización de capital:
AM4 = A4 - I4
luego, M4 = 898.555 - 223.456
luego, M4 = 675.099 ptas.
El resto de amortizaciones de capital del 2º tramo, se calcula aplicando la formula
que conocemos:
AMs = AM4 * (1 + i2)^s-4 (tomamos como punto de partida el
año 4)
Por lo tanto:
Periodo Devolución de principal
año 5 AM5 = AM4 * (1 + 0,10) = 742.609 ptas.
año 6 AM6 = AM4 * (1 + 0,10)^2 = 816.870 ptas.
De esta manera, ya conocemos la devolución de principal de todos los periodos.
Por diferencia, se calcula la parte de intereses de cada cuota y también es fácil ver
como evoluciona el saldo vivo y el capital amortizado.
La tabla de amortización del préstamo quedaría:
Periodo Saldo vivo Amortización
de capital Intereses
Cuota
periódica
Capital
amortizado
año 0 4.000.000 0 0 0 0
año 1 3.461.445 538.555 360.000 898.555 538.555
año 2 2.874.420 587.025 311.530 898.555 1.125.580
año 3 2.234.563 639.857 258.698 98.555 1.765.437
año 4 1.559.464 675.099 223.456 898.555 2.440.536
año 5 816.870 742.609 155.946 898.555 3.183.145
año 6 0 816.870 81.685 898.555 4.000.000
44. Préstamos con distintos tipos de interés (II)
b) Préstamos con distintos tipos de interés y devolución de principal constante
En este tipo de préstamos se amortiza el mismo capital en todos los
periodos, con independencia del tipo de interés vigente en ese momento.
Ejemplo:
Calcular la amortización de capital constante y el cuadro de amortización de un
préstamo de 4.000.000 ptas., a 6 años, con un tipo de interés del 9% durante los 3
primeros años y del 10% durante los 3 restante:
El importe constante de la amortización de capital se calcula a
partir de la fórmula AMs = C0 / n (siendo "n" el número de
periodos)
Por lo tanto, AMs = 4.000.000 / 6
luego, AMs = 666.666 ptas.
La amortización anual de capital durante cada uno de los seis
años de vida del préstamo va a ser de 666.666 ptas.
Conociendo el importe de la amortización de capital, es inmediato ver la evolución
del saldo vivo y del capital amortizado:
Ss = C0 - S AM (es decir, el saldo vivo So es igual al capital
inicial menos la suma de las amortizaciones de capital
realizadas hasta ese momento)
CAs = S AM (siendo CAs el capital amortizado)
Una vez que sabemos la evolución del saldo vivo, se calcula fácilmente el importe
de los intereses de cada cuota:
Is = Ss-1 * i * t
En cada periodo se aplica el tipo de interés vigente en ese momento.
De esta manera se puede completar el cuadro de amortizaciones:
Periodo Saldo vivo Amortización
de capital Intereses
Cuota
periódica
Capital
amortizado
año 0 4.000.000 0 0 0 0
año 1 3.333.333 666.666 360.000 1.026.666 666.666
año 2 2.666.666 666.666 300.000 966.666 1.333.333
año 3 2.000.000 666.666 240.000 906.666 2.000.000
año 4 1.333.333 666.666 200.000 866.666 2.666.666
año 5 666.666 666.666 133.333 800.000 3.333.333
año 6 0 666.666 66.666 733.333 4.000.000
45. Préstamo con distintos tipos de interés: Ejercicios
Ejercicio:
Un banco concede un préstamo de 5.000.000 ptas. a 6 años, aplicando un 10% en
los 2 primeros años, un 12% en el 3ª y 4ª año, y un 14% en los 2 últimos años.
Calcular el cuadro de cuotas de amortización, suponiendo que el préstamo es del
tipo de cuotas constantes.
Solución
Comenzamos calculando el importe de la cuota periódica constante:
Aplicamos la fórmula, Co = (AMs * Ao) + (AMs * (1 + i)^-2 * A1) + (AMs * (1 + i)^-4 * A2)
(siendo (AMs * Ao) el valor actualizado de las cuotas de los 2 primeros
años)
(siendo (AMs * (1 + i)^-2 * A1) el valor actualizado de las cuotas de los
años 3º y 4º)
(siendo (AMs * (1 + i)^-4 * A2) el valor actualizado de las cuotas de los
años 5º y 6º)
luego, 5.000.000 = (AMs * ((1 - (1+0,10)^-2)/0,1)) + (AMs * (1+0,1)^-2* ((1 - (1+0,12)^-
2)/0,12)) + (AMs * (1+0,1)^-2*(1+0,12)^-2 *((1 - (1+0,14)^-2)/0,14))
(Al actualizar las cuotas del 2º tramo, se multiplica por (1+0,1)^-2 para
traerlo al momento cero. En este paréntesis se utiliza el tipo de interés
del primer tramo, ya que es el tipo vigente entre el año 2 y el momento
inicial).
(Lo mismo ocurre al actualizar el valor de las cuotas del 3º tramo. En este
caso se multiplica por (1+0,12)^-2, que nos permite pasar del año 4º al
año 2º, y por (1+0,10)^-2, para pasar del año 2 al momento inicial).
luego, AMs = 1.185.633 ptas.
Por lo tanto, la cuota anual constante durante los 6 años será de
1.185.633 ptas.
Calculamos ahora la parte de la cuota que corresponde a amortización de
principal. Empezamos por la 1ª cuota y para ello hay que conocer
previamente el importe de los intereses de este periodo:
I1 = Co * i1 * t
luego, I1 = 5.000.000 * 0,10 * 1
luego, I1 = 500.000 ptas.
Por lo tanto, AM1 = 1.185.633-500.000
luego, AM1 = 685.633 ptas.
La amortización de capital del 2º periodo se calcula aplicando la siguiente
fórmula:
AMs = AM1 * (1 + i1)^s-1
luego, AM2 = AM1 * (1 + i1)
luego, AM2 = 685.633 * (1 + 0,1)
luego, AM2 = 754.196 ptas.
Para la del 3º periodo no se puede aplicar la misma fórmula ya que ha
cambiado el tipo de interés. Por lo tanto, hay que comenzar calculando el
importe de los intereses de esta cuota:
I3 = S2 * i1 * t
El saldo vivo al final del 2º periodo: S2 = C0 - AM1 - AM2
luego, S2 = 5.000.000 - 685.633 - 754.196
luego, S2 = 3.560.171 ptas.
Por lo tanto, I3 = 3.560.171 * 0,12 * 1
luego, I3 = 427.221 ptas.
La amortización de capital del 3º periodo será: AM3 = M3 - I3
luego, AM3 = 1.185.633 - 427.221
luego, AM3 = 758.412 ptas.
Para calcular la amortización de capital del 4 año se vuelve a utilizar la
fórmula de antes (ya que no cambia el tipo):
AM4 = AM3* (1 + 0,12)
luego, AM4 = 849.421 ptas.
Para la del 5º periodo, como nuevamente cambia el tipo de interés, hay que
comenzar calculando los intereses:
I5 = S4 * i5 * t
El saldo vivo al final del 4º periodo: S4 = C0 - AM1 - AM2 - AM3 -
AM4
luego, S4 = 5.000.000 - 685.633 - 754.196 - 758.412 - 849.421
luego, S4 = 1.952.338 ptas.
Por lo tanto, I5 = 1.952.338 * 0,14 * 1
luego, I5 = 273.327 ptas.
La amortización de capital del 5º periodo será: AM5 = M5 - I5
luego, AM5 = 1.185.633 - 273.327
luego, AM5 = 912.311 ptas.
Por último, la amortización de capital del 6º periodo se calcula aplicando
nuevamente la formula (ya que no hay cambio de tipo de interés respecto al
periodo anterior):
AM6 = AM5* (1 + 0,14)
luego, AM6 = 1.040.035 ptas.
Ya podemos completar el cuadro de amortización:
Periodo Saldo vivo Amortización
de capital Intereses
Cuota
periódica
Capital
amortizado
año 0 5.000.000 0 0 0 0
año 1 4.314.367 685.633 500.000 1.185.633 685.633
año 2 3.560.171 754.196 431.437 1.185.633 1.439.829
año 3 2.801.759 758.412 427.221 1.185.633 2.198.241
año 4 1.952.338 849.421 336.212 1.185.633 3.047.662
año 5 1.040.035 912.311 273.327 1.185.633 3.959.973
año 6 0 1.040.035 145.598 1.185.633 5.000.000
46. Préstamos hipotecarios
Los préstamos hipotecarios son operaciones para financiar la adquisición
de una vivienda. Son préstamos a largo plazo, entre 15 y 30 años, con tipo
de interés que suele ser variable (referenciado a algún tipo de mercado, por
ejemplo euribor a 1 año, y con revisión anual).
Las cuotas de amortización son constantes en el periodo que va entre cada
revisión de tipos.
Cuando se va a solicitar un préstamo hay que conocer a cuanto asciende la
cuota mensual. Esta va a depender del importe del préstamo, de su
duración y del tipo de interés aplicado.
El importe de la cuota mensual se puede calcular haciendo la suposición de
que el tipo de interés no variará durante toda la vida de la operación. Se
pueden calcular unas tablas que determinan el importe de la cuota mensual
por cada millón de pesetas, según el tipo y el plazo.
Para calcular el importe mensual por cada millón de pesetas se aplica la
siguiente fórmula:
Co = AM * Ao
luego, 1.000.000 = AM * Ao (siendo AM la cuota mensual por
millón y A0 el valor actual de una renta pospagable)
luego, 1.000.000 = AM * ((1 - (1 + i)^-n)/i)
El tipo de interés que se aplica en esta fórmula es el tipo mensual, ya que
estamos calculando el importe de la cuota mensual.
Tan sólo con multiplicar la cuota mensual por millón por el número de
millones que se pretende solicitar, se calcula el importe total de la cuota
mensual del préstamo.
En el cuadro siguiente se ha calculado el importe de la cuota mensual por
cada millón de pesetas, según diversas hipótesis de plazo y el tipo:
Cuota mensual por millón (ptas.)
5 años 10 años 15 años 20 años 25 años 30 años
4% (*) 18.384 10.091 7.361 6.022 5.239 4.733
6% 19.259 11.022 8.353 7.073 6.346 5.894
8% 20.143 11.986 9.396 8.192 7.534 7.144
10 % 21.036 12.978 10.484 9.366 8.785 8.459
12% 21.936 13.995 11.610 10.586 10.082 9.816
(*) El tipo de interés que aparece es el anual, pero para calcular el importe de las
cuotas mensuales se calcula el tipo mensual equivalente.
47. Préstamos con intereses anticipados
En este tipo de préstamos los intereses se pagan al comienzo de cada
periodo. De hecho, el efectivo inicial que recibe el prestatario será el
importe del préstamo menos los intereses del 1er periodo:
Por ejemplo: préstamo de 1.000.000 ptas., a 5 años, con tipo de interés del 10% y
pago de intereses anticipados.
El prestatario recibe en el momento inicial 900.000 ptas. (1.000.000 ptas. del
préstamo, menos los intereses de 100.000 ptas. del primer año).
La cuota periódica, que se sigue pagando a final de cada periodo, se
compone de la amortización de capital de dicho periodo, más los intereses
del periodo siguiente.
Estos préstamos pueden ofrecer diversas modalidades, entre las que
destacamos:
a) Cuota de amortización constante
b) Amortización de capital constante
Cuota de amortización constante
Cumplen la siguiente ley de equivalencia financiera, que permite calcular el
importe de la cuota constante:
Co = Ms * (1 - (1 - i)^n/ i)
(Siendo C0 el importe del préstamo y Ms la cuota periódica
constante)
Para calcular que parte de la cuota corresponde a devolución de principal,
se comienza por la del último periodo. En este caso, como los intereses de
dicho periodo se pagaron por anticipado, la cuota incluye únicamente
devolución de capital:
An = Ms (siendo An la amortización de capital del último
periodo)
Para calcular las amortizaciones de capital del resto de los periodos se
aplica la siguiente fórmula:
As = An * (1 - i)^n-s
Conocida la parte que corresponde a devolución de principal, por diferencia
se calcula el importe de los intereses:
Ms = AMs + Is
luego, Is = Ms - AMs
Asimismo, también se puede calcular la evolución del saldo vivo y del
capital amortizado:
Saldo vivo Ss = Co - S AM
Capital amortizado CAs = S AM
Ejemplo:
Un banco concede un préstamo de 6.000.000 ptas. a 4 años, con tipo de interés
del 12%. Los intereses se pagan por anticipado y las cuotas son constantes.
Calcular el importe de la cuota, así como la parte que corresponde a amortización
de capital y a intereses:
Solución:
La cuota constante se calcula Co = Ms * (1 - (1 - i)^n/ i)
Luego, 6.000.000 = Ms * (1 - (1 - 0,12)^4/ 0,12)
Luego, Ms = 1.798.630 ptas.
Para calcular que parte de la cuota corresponde a amortización
de capital, se comienza por la del último periodo. En este caso
AMn = Mn
Luego, AM4 = 1.798.630 ptas.
El resto de los importes correspondientes a amortización de
principal se calcula aplicando la fórmula: As = An * (1 - i)^n-s
Luego, A1 = 1.798.630 * (1-0,12)^3 = 1.225.716 ptas.
Luego, A2 = 1.798.630 * (1-0,12)^2 = 1.392.859 ptas.
Luego, A3 = 1.798.630 * (1-0,12) = 1.582.794 ptas.
La parte que corresponde a pago de intereses se calcula por
diferencia. No obstante, ya en el momento inicia hay que pagar
intereses:
I0 = 6.000.000 * 0,12 = 720.000 ptas. (en este caso se calcula
multiplicando el importe del préstamo por el tipo de interés)
I1 = 1.798.630 - 1.225.716 = 572.914 ptas.
I2 = 1.798.630 - 1.392.859 = 405.771 ptas.
I3 = 1.798.630 - 1.582.794 = 215.836 ptas.
I4 = 1.798.630 - 1.798.630 = 0 ptas.
Podemos completar ya el cuadro de amortizaciones:
Periodo Amortización
de capital Intereses
Cuota
periódica Saldo vivo
Capital
amortizado
año 0 0 720.000 720.000 6.000.000 0
año 1 1.225.716 572.914 1.798.630 4.774.284 1.225.716
año 2 1.392.859 405.771 1.798.630 3.381.425 2.618.575
año 3 1.582.794 215.836 1.798.630 1.798.630 4.201.369
año 4 1.798.630 0 1.798.630 0 6.000.000
48. Préstamos con intereses anticipados (II)
Cuota de amortización constante
En este tipo de préstamos se mantiene constante la amortización de capital
que se realiza en cada periodo. La cuota periódica, por su parte, va
variando ya que el importe de los intereses va disminuyendo.
El importe de la amortización constante de capital se calcula con la
siguiente fórmula:
AMs = Co / n
(Siendo C0 el importe del préstamo y n el número de
periodos)
Conociendo el importe de la amortización de capital, se calcula fácilmente
la evolución del saldo vivo y del capital amortizado
Saldo vivo Ss = Co - S AM
Capital amortizado CAs = S AM
El importe de los intereses de cada periodo se deduce a partir de la
evolución del saldo vivo y se calcula aplicando la siguiente fórmula:
Is = S * i * t
(Siendo S el saldo vivo del periodo)
Conocido el importe de la devolución de capital y de los intereses, se
deduce el importe de la cuota de cada periodo:
Ms = AMs + Is
Ejemplo:
Un banco concede un préstamo de 6.000.000 ptas. a 4 años, con tipo de interés
del 12%. Los intereses se pagan por anticipado y las amortizaciones de capital
son constantes.
Calcular el importe de la cuota, así como la parte que corresponde a amortización
de capital y a intereses:
Solución:
La amortización de capital constante se calcula AMs = Co / n
Luego, AMs = 6.000.000 / 4
Luego, AMs = 1.500.000 ptas.
De esta manera podemos conocer como evoluciona el saldo
vivo y el capital amortizado
Periodo Saldo vivo Capital amortizado
año 0 6.000.000 0
año 1 4.500.000 1.500.000
año 2 3.000.000 3.000.000
año 3 1.500.000 4.500.000
año 4 0 6.000.000
El importe de los intereses se calcula aplicando la fórmula: Is =
S * i * t
Periodo Intereses
año 0 6.000.000 * 0,12 720.000
año 1 4.500.000 * 0,12 540.000
año 2 3.000.000 * 0,12 360.000
año 3 1.500.000 * 0,12 180.000
año 4 0 * 0,12 00
Con estos datos podemos completar ya el cuadro de
amortización:
Periodo Amortización
de capital Intereses
Cuota
periódica
Saldo
vivo
Capital
amortizado
año 0 0 720.000 720.000 6.000.000 0
año 1 1.500.000 540.000 2.040.000 4.500.000 1.500.000
año 2 1.500.000 360.000 1.860.000 3.000.000 3.000.000
año 3 1.500.000 180.000 1.680.000 1.500.000 4.500.000
año 4 1.500.000 0 1.500.000 0 6.000.000
49. Valoración de los préstamos
La valoración de un préstamo permite calcular el valor de este activo en
cualquier momento de la vida de la operación. Es decir, determina el precio
al que la entidad financiera tenedora del préstamo estaría dispuesta a
venderlo.
El valor del préstamo varía a lo largo de la vida de la operación,
dependiendo fundamentalmente de su saldo vivo en ese momento, así
como del tipo de interés vigente en el mercado para operaciones similares.
Cuando cambian las condiciones de mercado y los tipos de interés para
operaciones similares son diferentes a los del préstamo, el valor de éste se
modifica y no coincide con el importe de su saldo vivo.
La regla que se cumple es la siguiente:
a) Si los tipos de interés para préstamos similares son superiores a los del
préstamo, su valor será inferior al importe de su saldo vivo.
b) Si los tipos de mercado son inferiores, su valor será superior al importe de su
saldo vivo.
¿A qué responde esta relación?:
Si los tipos de mercado son superiores a los del préstamo, la entidad financiera
está teniendo un coste de oportunidad, ya que podría obtener la misma cuota
periódica prestando menos dinero.
Si los tipos de mercado fueran inferiores a los del préstamo, la entidad financiera
le estaría obteniendo una rentabilidad más elevada que la que podría obtener
concediendo un préstamo similar en las nuevas condiciones de mercado.
¿Cómo se calcula el valor de un préstamo?
Se actualizan al momento de la valoración todas las cuotas periódicas que quedan
pendientes de vencer, aplicando el tipo de interés vigente en ese momento en el
mercado para préstamos de las mismas características.
Veamos un ejemplo:
Un banco concede un préstamo de 7.000.00 ptas. a 7 años, con un tipo de interés
fijo del 10% y con amortización de principal constante.
Su cuadro de amortización es el siguiente:
Periodo Amortización
de capital Intereses
Cuota
periódica Saldo vivo
año 0 0 0 0 7.000.000
año 1 1.000.000 700.000 1.700.000 6.000.000
año 2 1.000.000 600.000 1.600.000 5.000.000
año 3 1.000.000 500.000 1.500.000 4.000.000
año 4 1.000.000 400.000 1.400.000 3.000.000
año 5 1.000.000 300.000 1.300.000 2.000.000
año 6 1.000.000 200.000 1.200.000 1.000.000
año 7 1.000.000 100.000 1.100.000 0
Vamos a calcular el valor del préstamo al final del año 3. El saldo vivo es entonces
de 4.000 000 ptas.
a) Si el tipo de interés de mercado para préstamos similares fuera en ese
momento del 15% (superior al 10% del préstamo):
Actualizamos al final del año 3 todas las cuotas pendientes de pago: V(3)= 1.400.000/(1,15) + 1.300.000/(1,15)^2 + 1.200.000/(1,15)^3 +
1.100.000/(1º,15)^4
V(3)= 3.618.326 ptas.
El valor del préstamo sería de 3.618.326 ptas., inferior a su saldo vivo (4.000.000
ptas.). Esta situación se da siempre que el tipo de mercado sea superior al del
préstamo.
b) Si el tipo de interés de mercado fuera del 8%:
V(3)= 1.400.000/(1,08) + 1.300.000/(1,08)^2 + 1.200.000/(1,08)^3 +
1.100.000/(1,08)^4
V(3)= 4.454.049 ptas.
El valor del préstamo sería ahora de 4.454.049 ptas., superior a su saldo vivo.
Esta situación se da siempre que el tipo de mercado sea inferior al del préstamo.
c) Si el tipo de interés de mercado fuera del 10%:
V(3)= 1.400.000/(1,10) + 1.300.000/(1,10)^2 + 1.200.000/(1,10)^3
+ 1.100.000/(1,10)^4
V(3)= 4.000.000 ptas.
En este caso el valor del préstamo coincidiría con el importe de su saldo vivo.
50. Empréstitos: Introducción
El empréstito es una modalidad de financiación por la que una entidad
(empresa, organismo público, etc.) que necesita fondos, acude
directamente al mercado, en lugar de ir a una entidad financiera.
La entidad divide el préstamo en un gran número de pequeñas partes
iguales (participaciones), que coloca entre multitud de inversores. Estas
partes del empréstito vienen representadas por "títulos-valores".
Todos los "títulos-valores" correspondientes a una misma emisión presentan
las mismas características: importe, tipo, vencimiento, etc.
La entidad que emite los títulos se denomina "emisor", mientras que el
inversor que los suscribe se denomina "obligacionista".
Los "títulos-valores" ofrecen al inversor los siguientes derechos:
a) Recibir periódicamente intereses por los fondos prestados
b) Recuperar los fondos prestados al vencimiento del empréstito
Los empréstitos se clasifican según diversos criterios:
a) Según el emisor: deuda pública (emitida por entidades públicas) y deuda
privada (emitida por empresas).
b) Según el vencimiento: deuda amortizable (si tiene vencimiento) y deuda
perpetua (no tiene vencimiento; no obstante, el emisor se suele reservar el
derecho de amortizarla cuando lo considere oportuno).
c) Según la modalidad de amortización: con vencimientos periódicos parciales (en
cada periodo se amortizan, bien un número determinado de títulos, bien una parte
de todos los títulos) y con una única amortización al vencimiento.
d) Según el valor de emisión de los títulos: títulos emitidos a la par (se emiten por
su valor nominal), títulos bajo la par (se emiten a un precio inferior a su valor
nominal) y títulos sobre la par (se emiten a un precio superior a su valor nominal).
e) Según su valor de amortización: reembolsables por el nominal (su precio de
amortización coincide con su valor nominal) y reembolsables con prima de
amortización (su precio de amortización es superior a su valor nominal).
f) Según el pago de intereses: pago de intereses periódicos (periódicamente el
inversor va recibiendo sus intereses) y "cupón cero" (un único pago de intereses
en la fecha de vencimiento final del empréstito).
g) En función de la duración del empréstito: Pagarés (vencimiento inferior a 18
meses), Bonos (vencimiento entre 2 y 5 años) y obligaciones (vencimiento
normalmente a más de 5 años).
51. Deuda del Estado
El Estado utiliza como fuente de financiación la emisión de títulos-valores a
medio y largo plazo:
Bonos del Estado (vencimiento a 3-5 años)
Obligaciones del Estado (vencimiento a 10-30 años)
Estos títulos presentan entre otras las siguientes características:
a) Su valor nominal suele ser constante (actualmente 10.000 ptas.)
b) Se suscriben mediante subasta, adjudicándoselo aquel inversionista que ofrece
un precio más elevado
c) Pago de intereses anuales pospagables
d) Amortización a la par
La colocación de estos valores se realiza con anterioridad a la emisión de
los mismos:
Por ejemplo: unas obligaciones a 10 años que se van a emitir el 10 de enero del
año 2000, comienzan a colocarse entre los inversores a partir de junio/99.
En el momento de la colocación el inversor desembolsa ya el importe de la
adquisición, pero el título no comienza a generar intereses hasta que no se emite.
Este plazo transcurrido entre colocación y emisión hay que tenerlo en cuenta a la
hora de calcular la rentabilidad efectiva del título.
Ejemplo: El Estado emite bonos a 5 años, con fecha de emisión 1/01/00. El
nominal de cada título es de 10.000 ptas y ofrece un tipo de interés del
6,5%. El inversor los suscribe el 31/09/99 al 102% de su valor (es decir,
paga 10.200 ptas. por cada título). Calcular su rendimiento efectivo:
Fecha Suscripción Intereses Amortización
31/09/99 - 10.200
01/00/00 (Emisión)
31/12/00 + 650
31/12/01 + 650
31/12/02 + 650
31/12/03 + 650
31/12/04 + 650 + 10.000
(Con signo negativo los pagos que realiza el inversor y con
signo positivo los ingresos que recibe)
Los intereses de cada periodo se han calculado aplicando la fórmula:
I = Co * i * t
Luego, I = 10.000 * 0,065 * 1 = 650 ptas.
Para calcular el rendimiento efectivo de este título se aplica la fórmula de
equivalencia financiera:
Pc = (I * Ao + Pa (1 + ie) ^-n) * (1 + ie)^-t
Siendo, Pc: precio de compra del título (en el ejemplo,
10.200 ptas.)
Siendo, I: intereses periódicos (en el ejemplo: 650 ptas.)
Siendo, Ao: valor actual de una renta unitaria, pospagable:
Ao = (1 - (1 + ie)^-n)/ ie
Siendo, ie: el tipo de interés efectivo de la operación. Su
valor se obtiene como solución de la ecuación de
equivalencia financiera
Siendo, Pa: el precio de amortización (en el ejemplo: 10.000
ptas.)
Siendo, n: el plazo de duración de los títulos emitidos (en el
ejemplo: 5 años)
Siendo, t: el tiempo transcurrido entre la suscripción
(momento en el que el inversor desembolsa el dinero) y la
emisión del título (en el ejemplo, 0,25 años)
El paréntesis (I * Ao + Pa (1 + ie) ^-n) calcula el valor actual
de los ingresos que recibe el inversionista, actualizados al
momento de emisión del título.
El paréntesis (1 + ie)^-t descuenta el valor calculado en el
paréntesis anterior, desde el momento de la emisión hasta
el momento de la suscripción.
Resolvemos la ecuación:
10.200 = ((650 * (1 - (1+ie)^-5)/ ie) + (10.000*(1 + ie)^-5)) *
(1+ie) ^-0,25
ie = 5,694 %
Por lo tanto, la rentabilidad efectiva que proporciona este
título (en las condiciones que se ha adquirido) es del
5,694%, inferior al 6,5% nominal que ofrece.
¿Por qué esta menor rentabilidad?.
Básicamente por dos motivos: primero, por que se ha
pagado por el título más que su valor nominal (10.200 ptas.
vs 10.000 ptas.) y segundo, por que se ha desembolsado su
importe 3 meses antes que su fecha de emisión.
52. Deuda del Estado: Ejercicios
Ejercicio
El Tesoro Público emite obligaciones a 10 años, con fecha de emisión 01/07/00. El
valor nominal de los títulos es de 10.000 ptas., con un tipo de interés del 7,0% y
amortización a la par. Estas obligaciones se han suscrito el 01/01/00.
Calcular el rendimiento efectivo de estos títulos:
a) Si el precio de suscripción ha sido del 101,5%
b) Si el precio de suscripción ha sido del 98,5%
Solución:
a) Precio de suscripción del 101,5%
Comenzamos por definir la tabla de flujos monetarios que genera esta operación
Fecha Suscripción Intereses Amortización
01/01/00 - 10.150
01/07/00 (Emisión)
01/07/01 + 700
01/07/02 + 700
01/07/03 + 700
01/07/04 + 700
01/07/05 + 700
01/07/06 + 700
01/07/07 + 700
01/07/08 + 700
01/07/09 + 700
01/07/10 + 700 +10.000
El precio pagado por cada título ha sido: 10.000 * 101,5% = 10.150 ptas.
Los intereses de cada periodo se han calculado aplicando la fórmula:
I = Co * i * t
Luego, I = 10.000 * 0,07 * 1 = 700 ptas.
Para calcular el rendimiento efectivo se aplica la fórmula de equivalencia
financiera:
Pc = (I * Ao + Pa (1 + ie) ^-n) * (1 + ie)^-t
Resolvemos la ecuación:
10.150 = ((700 * (1 - (1+ie)^-10)/ ie) + (10.000*(1 + ie)^-10)) *
(1+ie) ^-0,5
ie = 6,354 %
Por lo tanto, la rentabilidad efectiva que proporciona cada
título (en las condiciones que se han adquirido) es del
6,354%, inferior al 7,0% nominal que ofrece.
b) Precio de suscripción del 98,5%
La tabla de flujos monetarios es igual que la anterior, sólo cambia el precio pagado
en la compra del título:
Fecha Suscripción Intereses Amortización
01/01/00 - 9.850
01/07/00 (Emisión)
01/07/01 + 700
01/07/02 + 700
01/07/03 + 700
01/07/04 + 700
01/07/05 + 700
01/07/06 + 700
01/07/07 + 700
01/07/08 + 700
01/07/09 + 700
01/07/10 + 700 +10.000
El precio pagado por cada título ha sido: 10.000 * 98,5% = 9.850 ptas.
Resolvemos la ecuación:
9.850 = ((700 * (1 - (1+ie)^-10)/ ie) + (10.000*(1 + ie)^-10)) *
(1+ie) ^-0,5
ie = 6,751 %
Por lo tanto, la rentabilidad efectiva que proporciona cada
título (en las condiciones que se han adquirido) es del
6.751%.
53. Empréstitos con amortizaciones parciales de capital
Este tipo de empréstitos se va amortizando con reducciones parciales de
capital.
Dentro de esta categoría, el caso más frecuente es aquél en el que las
amortizaciones de capital son constantes a lo largo de la vida de la
operación.
Las amortizaciones parciales de capital se calculan:
AMs = Co / n
Siendo, Co: el importe inicial del empréstito
Siendo, n: el número de periodos
Asimismo, es fácil calcular la evolución del saldo vivo y del capital
amortizado:
Saldo vivo Ss = Co - S AM
Capital amortizado CAs = S AM
La carga de intereses de cada periodo se calcula aplicando la siguiente
fórmula:
Is = Ss-1 * i * t
Siendo, Ss-1: el saldo vivo al final del periodo anterior
Siendo, t: la duración del periodo
Conocido el importe que se amortiza en cada periodo, así como los
intereses, se conoce el importe de la cuota periódica:
Ms = AMs + Is
La cuota periódica Ms es una cuota decreciente, ya que AMs es constante,
pero el importe de los intereses Is va disminuyendo.
Ejemplo:
Se emite un empréstito de 10.000 millones de pesetas, representados por 1 millón
de títulos de 10.000 ptas. de valor nominal cada uno. El plazo es de 5 años y cada
año se amortiza el mismo importe de principal. El tipo de interés es el 8%.
Calcular el cuadro de amortización:
Solución:
Cada año se amortiza:
AMs = 10.000 / 5 = 2.000 millones de ptas.
El cuadro de amortización es el siguiente:
Periodo Saldo
vivo
Amortización
de capital
Capital
amortizado Intereses Cuota
Nº de
títulos
Valor
nominal
de
cada
título
(Millones
ptas)
(Millones
ptas.)
(Millones
ptas.)
(Millones
ptas.)
(Millones
ptas.) (ptas.)
año 0 10.000 0 0 0 0 1.000.000 10.000
año 1 8.000 2.000 2.000 800 2.800 1.000.000 8.000
año 2 6.000 2.000 4.000 640 2.640 1.000.000 6.000
año 3 4.000 2.000 6.000 480 2.480 1.500.000 4.000
año 4 2.000 2.000 8.000 320 2.320 1.000.000 2.000
año 5 0 2.000 10.000 160 2.160 0 0
54. Empréstitos sin vencimiento
Estos empréstitos no tienen vencimiento, son perpetuos. No obstante, las
entidades públicas (que son las únicas que los emiten) se suelen reservar
el derecho de poder amortizarlos en cualquier momento futuro.
La cuota periódica está integrada exclusivamente por los intereses, ya que
no hay amortización de principal:
Ms = Is
Siendo Ms la cuota periódica y Is los intereses del periodo
La carga de los intereses será siempre la misma, ya que el saldo vivo no
varía (suponiendo, también, un tipo de interés constante durante toda la
vida de la operación).
Is = Co * i * t
Siendo Co el importe inicial del empréstito
Ejemplo: Se realiza una emisión de obligaciones de 50.000 millones de
ptas., sin vencimiento, con tipo de interés anual del 7%. Calcular el importe
de la cuota periódica:
Ms = Is
Siendo, Is = Co * i * t
Luego, Is = 50.000 * 0,07 * 1
Luego, Is = 3.500 millones ptas.
Por lo tanto, Ms = 3.500 millones ptas.
El valor de mercado de este tipo de empréstito, en cualquier momento su
vida, viene determinado por la siguiente fórmula:
Vm = Is / im
Siendo, Vm el valor del empréstito
Siendo, im el tipo de mercado para emisiones de
características similares en el momento de la valoración.
Ejemplo: transcurridos 3 años de la anterior emisión, el tipo de interés para
emisiones similares ha subido al 8%. Calcular el valor actual de este
empréstito:
Vm = Is / im
Luego, Vm = 3.500 / 0,08 = 43.750 millones ptas.
Por lo tanto, el valor del empréstito es ahora de 43.750
millones ptas., significativamente menor que su valor
nominal (50.000 millones ptas.)
55. Empréstitos: amortización por sorteo (I)
En este tipo de empréstitos, muy utilizados, se realizan periódicamente
amortizaciones de un número determinado de títulos, que son elegidos por
sorteo.
Las cuotas periódicas incluyen, por tanto, dos conceptos:
- El pago de los intereses del periodo
- La amortización de aquellos títulos seleccionados
a) Pago periódico de intereses y cuotas periódicas constantes
Dentro de este tipo de empréstitos, destaca un modelo particular que se
caracteriza porque las cuotas periódicas son constantes durante toda la
vida del empréstito (por simplificar, vamos a considerar que el tipo de
interés también es constante durante toda la operación).
Para calcular el importe de la cuota periódica se aplica la ley de
equivalencia financiera:
Co = Ms * Ao
Siendo Co el importe inicial del empréstito
Siendo Ms el importe de la cuota periódica
Siendo Ao el valor actual de una renta constante,
pospagable
De aquí podemos despejar el valor de Ms. Para calcular que parte de esta
cuota periódica corresponde a amortización de capital se calcula la
correspondiente al primer periodo:
M1 = (Co * i * t) + (A1 * Vn)
El primer paréntesis (Co * i * t) corresponde a los intereses
del periodo, mientras que el segundo paréntesis (A1 * Vn)
corresponde a la amortización de capital (siendo A1 el
número de títulos que se amortiza y Vn el valor nominal de
cada título)
El importe de los intereses se puede calcular directamente, y a continuación
se puede deducir el importe de la amortización de capital (y con ella, el
número de títulos amortizados).
A partir del número de títulos que se amortiza en el primer periodo, se
puede calcular el calendario de amortizaciones:
As = Ai * (1 + i)^s-1
Siendo As el número de títulos que se amortiza en el
periodo s
La parte de cada cuota periódica que corresponde a intereses se calcula
aplicando la fórmula:
Ms = AMs + Is
Por lo que, Is = Ms - AMs
Ejemplo: Se realiza una emisión de obligaciones de 20.000 millones ptas.,
distribuida en 1.000.000 de títulos de 20.000 ptas. de nominal cada uno, a
un plazo de 5 años y tipo de interés del 8%. Las cuotas son anuales y
constantes.
Calcular el cuadro de amortizaciones:
Solución:
Se comienza por calcular el importe constante de la cuota periódica
Co = Ms * Ao
luego, Co = Ms * ((1 - (1 + i)^-n) / i)
luego, 20.000 = Ms * ((1 - (1 + 0,08)^-5) / 0,08)
luego, Ms = 5.009,13 millones ptas.
A continuación se calcula el número de títulos que se amortiza en el primer
periodo:
Ms = (Co * i * t) + (A1 * Vn)
luego, 5.009,13 = (20.000*0,08*1) * (A1 * 0,02) (el valor
nominal del título está expresado en millones de ptas.)
luego, A1 = 170.456 títulos
Ya podemos hallar el número de títulos que se amortiza en cada uno de los
periodos: A2 170.456 * (1 + 0,08) 184.092 títulos
A3 170.456 * (1 + 0,08)^2 198.820 títulos
A4 170.456 * (1 + 0,08)^3 214.725 títulos
A5 170.456 * (1 + 0,08)^4 231.904 títulos
Conociendo el número de títulos amortizados, simplemente se multiplican por su
valor nominal para ver el importe del empréstito amortizado en cada periodo.
Los intereses se calculan por diferencia: Is = Ms - AMs
Ya se puede completar el cuadro de amortizaciones:
Nº de títulos Cuota periódica Saldo vivo
del
empréstito Periodo Vivos
Amortizados
en periodo
Amortiz.
acumulados
Amortiz.
de capital Intereses
Cuota
periódica
(Millones
ptas.)
(Millones
ptas.)
(Millones
ptas.)
(Millones
ptas.)
año 0 1.000.000 0 0 0 0 0 20.000
año 1 829.544 170.456 170.456 3.409,12 1.600,00 5.009,13 16.590,88
año 2 645.452 184.092 354.548 3.681,84 1.327,29 5.009,13 12.909,04
año 3 446.632 198.820 553.368 3.796,40 1.032,73 5.009,13 8.932,64
año 4 231.904 214.725 768.093 4.294.50 714,63 5.009,13 4.638,08
año 5 0 231.904 1.000.000 4.638,08 371,05 5.009,13 0
56. Empréstitos: amortización por sorteo (II)
b) Pago periódico de intereses y amortización de capital constante
Esta es otra modalidad de empréstitos muy utilizada.
El número de títulos que se amortiza en cada periodo viene determinado
por la fórmula:
A = n / p
Siendo A el número de títulos que se amortiza en cada
periodo
Siendo n el número total de títulos emitidos
Siendo p el número de periodos
Conociendo el número de títulos que se amortiza en cada periodo, es
inmediato ver como evoluciona el número de títulos en circulación y con ello
el saldo vivo del empréstito.
El importe de los intereses de cada periodo viene determinado por:
Is = Ss-i * i * t
Siendo Ss-1 el saldo vivo del empréstito al final del periodo
anterior
Y el importe de la cuota periódica:
Ms = (A * Vn) + Is
Siendo Vn el importe nominal de cada título
Veamos un ejemplo:
Se emiten obligaciones por 30.000 millones de pesetas, a 5 años y con un tipo de
interés del 7%. La emisión se compone de 1.000.000 de títulos, con un valor
nominal de 30.000 ptas. cada uno. Se amortiza el mismo número de títulos en
cada periodo.
Calcular el cuadro de amortizaciones:
Nº de títulos Cuota periódica
Saldo vivo
del
empréstito Periodo Vivos
Amortizados
en periodo
Amortiz.
acumulados
Amortiz.
de
capital Intereses
Cuota
periódica
(Millones
ptas.)
(Millones
ptas.)
(Millones
ptas.)
(Millones
ptas.)
año 0 1.000.000 0 0 0 0 0 30.000
año 1 800.000 200.000 200.000 6.000 2.100 8.100 24.000
año 2 600.000 200.000 400.000 6.000 1.680 7.680 18.000
año 3 400.000 200.000 600.000 6.000 1.260 7.260 12.000
año 4 200.000 200.000 800.000 6.000 840 6.840 6.000
año 5 0 200.000 1.000.000 6.000 420 6.420 0
57. Empréstitos: cupón cero (I)
En algunos tipos de empréstitos se realiza un único pago de intereses en el
momento de amortización de los títulos. Estas emisiones se denominan de
"cupón cero".
Dentro de esta categoría se distinguen diversas variantes, destacando:
a) Cuotas periódicas constantes
b) Amortización del mismo número de títulos en cada periodo
Cuotas periódicas constantes
El esquema es similar al de los empréstitos con pago de intereses
periódicos y cuota constante. La diferencia está en que en aquel modelo, la
cuota periódica incluía intereses sobre el saldo vivo, mientras que ahora
(cupón cero) sólo incluye los intereses acumulados de los títulos que se
amortizan en ese periodo.
A efectos de simplificar, consideraremos que el tipo de interés es constante
durante toda la vida del empréstito.
La cuota periódica se calcula:
Co = M * Ao
Siendo Co el importe inicial del empréstito
Siendo M el importe de la cuota periódica
Siendo Ao el valor actual de una renta constante,
pospagable
De aquí se despeja M.
Para calcular el número de títulos que se amortiza en cada periodo,
empezamos por conocer los del primer periodo:
M = (A1 * Vn) + (1 + i)
Siendo A1 el número de títulos amortizados en el primer
periodo
Siendo Vn el valor nominal de cada título
Los títulos que se amortizan en periodos sucesivos se calculan con la
siguiente fórmula:
As = A1 * (1 + i)^-(s-1)
Siendo As el número de títulos que se amortiza en el
periodo s
La parte de la cuota periódica que corresponde a intereses de los títulos
amortizados se calcula fácilmente:
Is = Ms - (A1 * Vn)
Siendo Is los intereses que se pagan en ese periodo
Conociendo este dato, ya se puede completar el cuadro de amortización.
Veamos un ejemplo:
Se emiten obligaciones por 50.000 millones de ptas. (1.000.000 de títulos, con un
valor nominal de 50.000 ptas. cada uno). La duración es de 5 años y tipo de
interés constante del 6%. Las cuotas anuales son constantes y los interese se
pagan en el momento de amortización de cada título.
Calcular el cuadro de amortizaciones:
La cuota periódica se calcula:
Co = M * Ao
Luego, Co = M * ((1 - (1 + i)^-n) / i)
Luego, 50.000 = M * 4,2123
Luego, M = 11.869,82 millones ptas.
A continuación se calcula el número de títulos que se amortiza en el
primer periodo:
M = (A1 * Vn) * (1 + i)
Luego, 11.869,82 = (A1 * 0,05) + (1 + 0,06) (el valor nominal
del título está expresado en millones de ptas.)
Luego, A1 = 223.959 títulos
Ya se puede calcular el resto del calendario de amortización: A2 223.959 * (1 + 0,06)^-1 211.282 títulos
A3 223.959 * (1 + 0,06)^-2 199.323 títulos
A4 223.959 * (1 + 0,06)^-3 188.040 títulos
A5 223.959 * (1 + 0,06)^-4 177.396 títulos
Y se puede completar el cuadro de amortizaciones:
Nº de títulos Cuota periódica
Saldo vivo
del
empréstito Periodo Vivos
Amortizados
en periodo
Amortiz.
acumulados
Amortiz.
de
capital Intereses
Cuota
periódica
(Millones
ptas.)
(Millones
ptas.)
(Millones
ptas.)
(Millones
ptas.)
año 0 1.000.000 0 0 0 0 0 50.000
año 1 776.041 223.959 223.959 11.197,9 671,9 11.869,8 38.802,1
año 2 564.759 211.282 435.241 10.564,1 1.305.7 11.869,8 28.238,0
año 3 365.436 199.323 634.564 9.966,1 1.903,6 11.869,8 18.271,9
año 4 177.396 188.040 822.604 9.402,0 2.467,8 11.869,8 8.869,8
año 5 0 177.396 1.000.000 8.869,8 3.000,0 11.869,8 0
58. Empréstitos: cupón cero (II)
Amortización del mismo número de títulos en cada periodo
En este tipo de empréstitos en cada periodo se amortiza el mismo número
de títulos:
A = n / p
Siendo A el número de títulos que se amortiza en cada
periodo
Siendo n el número total de títulos emitidos
Siendo p el número de periodos
Conociendo este dato, se conoce el calendario de amortización y la
evolución del saldo vivo del empréstito.
Y el importe de la cuota periódica se calcula:
Ms = (A * Vn) * (1 + i)^s
Si a la cuota del periodo se le resta la parte de amortización de capital (A *
Vn) hallamos los intereses pagados en ese periodo.
Veamos un ejemplo:
Se emiten obligaciones por 50.000 millones de ptas. (1.000.000 de títulos, con un
valor nominal de 50.000 ptas. cada uno). La duración es de 5 años y el tipo de
interés es el 6%. Se amortiza el mismo número de títulos en cada periodo y los
intereses se pagan en el momento de amortización de cada título.
Calcular el cuadro de amortizaciones.
El número de títulos que se amortiza en cada periodo:
A = n / p
luego, A = 1.000.000 / 5
luego, A = 200.000 títulos en cada periodo
Veamos el cuadro de amortizaciones:
Nº de títulos Cuota periódica
Saldo vivo
del
empréstito Periodo Vivos
Amortizados
en periodo
Amortiz.
acumulados
Amortiz.
de
capital Intereses
Cuota
periódica
(Millones
ptas.)
(Millones
ptas.)
(Millones
ptas.)
(Millones
ptas.)
año 0 1.000.000 0 0 0 0 0 50.000
año 1 800.000 200.000 200.000 10.000 600 10.600 40.000
año 2 600.000 200.000 400.000 10.000 1.236 11.236 30.000
año 3 400.000 200.000 600.000 10.000 1.910 11.910 20.000
año 4 200.000 200.000 800.000 10.000 2.625 12.625 10.000
año 5 0 200.000 1.000.000 10.000 3.382 13.382 0
59. Obligaciones convertibles
Son aquellas obligaciones que permiten al inversor (obligacionista) decidir
en un momento futuro entre mantener dichas obligaciones o convertirlas en
acciones de la sociedad.
En el momento de emitir estas obligaciones se fija el sistema que se
utilizará para determinar la relación de conversión (es decir, número de
acciones a recibir por cada obligación), así como en que momento(s)
futuro(s) el obligacionista podrá optar por acudir a la conversión.
La relación de conversión se determina:
Valor de conversión de la obligación / valor de la acción
a) Valor de conversión de la obligación: suele ser su valor nominal.
b) Valor de la acción: se suele fijar el precio medio de la acción durante un número
determinado de días antes de la fecha de conversión. A efectos de hacer la
conversión más atractiva para el inversor, a este precio medio se le suele aplicar
un descuento (10-20%).
Para ver si interesa o no acudir a la conversión hay que comparar los dos
valores siguientes:
a) Valor de mercado de la obligación en la fecha de la conversión
b) Valor de transformación: es el valor de mercado en dicha fecha del número de
acciones que se recibe por cada obligación.
Si el valor de mercado de la obligación es mayor, no interesa acudir a la
conversión. Si es menor, si interesa acudir.
La diferencia entre el valor de mercado de la obligación y el valor de
transformación se denomina "prima de conversión".
Ejemplo:
Se emiten obligaciones convertibles de 10.000 ptas de nominal cada título, a un
plazo de 5 años. Se establece la posibilidad de convertirlas en acciones al final del
1º año. La relación de conversión será:
Obligación: por su valor nominal
Acción: cotización media del último trimestre, con descuento del 15%.
Llegado el 31 de diciembre, la cotización media de la acción en el último trimestre
ha sido de 150 ptas. (su cotización al 31/12 es de 180 ptas.). Por su parte, el valor
de mercado de la obligación asciende a 11.150 ptas.
Determinar:
a) Relación de conversión
b) Prima de conversión
c) ¿Interesa acudir a la conversión?
Solución:
a) Relación de conversión:
Valor de conversión de la obligación / valor de la acción
Luego, Relación de intercambio = 10.000 / (150 * 0,85)
Luego, Relación de intercambio = 78,43 acciones
Es decir, por cada obligación se recibirán 78,43 acciones.
b) Prima de conversión:
Valor de transformación (180 * 78,43) = 14.117,4 ptas.
Valor de mercado de la obligación = 11.150,0 ptas.
Prima de conversión = 2.967,4 ptas.
c) Como la prima de conversión es positiva, conviene acudir a la misma.
60. Rentabilidad de un empréstito
La rentabilidad efectiva de una obligación para el obligacionista (inversor)
es el tipo de interés que iguala en el momento inicial el valor de la
prestación (precio pagado por dicho título) y el valor de la contraprestación
(intereses recibidos y amortización final).
En aquellas obligaciones que se amortizan por sorteo y que presentan
distintos tipos de ventajas (primas de emisión, de amortización, etc.), la
rentabilidad efectiva va a depender del momento en que se amortice cada
título.
Normalmente, la rentabilidad será superior en aquellos títulos que se amorticen
antes, ya que el efecto positivo de las distintas primas de emisión y/o de
amortización será más significativo.
En inversor no va a saber a priori cual será la rentabilidad efectiva de sus
títulos, pero si puede conocer como evolucionará ésta en función de en qué
momento sean amortizados.
Para calcular la rentabilidad de un título se aplica la ecuación de
equivalencia financiera:
Pc = (Vn * i *Ao) + (Pa * (1 + ie)^-k)
Siendo Pc el precio de compra del título
Siendo (Vn * i *Ao) el valor actualizado de los intereses
recibidos del empréstito
Siendo ie la tasa de rentabilidad efectiva
Siendo Pa el precio de amortización
Ejemplo:
Se emiten obligaciones de 10.000 ptas. cada título, con el 7% de interés y
vencimiento en 5 años. Tiene un descuento en la suscripción del 5% (se compran
los títulos por 9.500 ptas.) y una prima de amortización del 2% (se cobra en el
vencimiento 10.200 ptas. por cada título). Los títulos se amortizan mediante
sorteos anuales.
Calcular el rendimiento efectivo de esta obligación.
Solución:
Se aplica la fórmula de equivalencia financiera:
Pc = (Vn * i *Ao) + (Pa * (1 + ie)^-k)
Luego, 9.500 = (10.000 * 0,07 * Ao) + (10.200 * (1+ie)^-k)
Si la obligación se amortizara en el primer año, la ecuación de equivalencia
financiera sería:
9.500 = (10.000 * 0,07 * ((1 - (1 + ie)^-1)/ie)) + (10.200 * (1 +
ie)^-1)
Si la obligación se amortizara en el 2 año. esta ecuación quedaría de la forma:
9.500 = (10.000 * 0,07 * ((1 - (1 + ie)^-2)/ie)) + (10.200 (1 +
ie)^-2)
Y así sucesivamente, hasta el año 5. Podemos completar el siguiente cuadro,
indicando como evoluciona la rentabilidad efectiva según el momento de
amortización de los títulos:
Periodo Rentabilidad efectiva
año 1 14,737%
año 2 10,863%
año 3 9,603%
año 4 8,980%
año 5 8,609
La rentabilidad calculada es bruta (no considera el coste impositivo). Para tener en
cuenta esto, sólo hay que sustituir los ingresos brutos por los ingresos netos
(después de impuestos).
61. Obligación con bonificación fiscal
Algunas obligaciones incorporan ventajas fiscales (bonificaciones). Estas
bonificaciones fiscales funcionan de la siguiente manera:
La retención fiscal que se aplica por el cobro de intereses (25% en España) se
reduce sustancialmente (se aplica tan sólo un 1,25%).
Sin embargo, cuando el obligacionista realiza su declaración de impuestos se
considera como si se le hubiera retenido el 25% ordinario.
Se denomina rentabilidad financiera-fiscal a la rentabilidad que tendría que
ofrecer una obligación de similares características, pero sin bonificación
fiscal, para que el inversor obtuviera la misma rentabilidad efectiva.
En este tipo de obligaciones bonificadas el inversor tiene dos fuentes de
beneficios:
El cobro periódico de sus intereses
El ahorro fiscal que obtiene
Este ahorro impositivo se produce aproximadamente un año después del
cobro de los intereses, ya que la declaración de impuestos se realiza al año
siguiente (en España),
Para calcular la rentabilidad efectiva de este tipo de obligaciones, se aplica
la ecuación de equivalencia financiera:
Pc = ((1 - rb) * I * Ao) - ((t - ro) * I * d/Ao) + (C * (1 + ie)^-n)
Siendo Pc el precio de adquisición de la obligación
Siendo rb el tipo de retención bonificado que se aplica
Siendo I el importe de los intereses periódicos que se
perciben
Siendo Ao el valor actual de una renta pospagable
Siendo t el tipo impositivo del obligacionista
Siendo r0 el tipo ordinario de retención (25% en España)
Siendo d/Ao el valor actual de una renta pospagable diferida
un periodo
Siendo C el importe de amortización de la obligación
Siendo ie el tipo de rentabilidad efectiva
La variable que hay que estimar y que resuelve esta ecuación es "ie", que
es la rentabilidad efectiva que obtiene el inversor en la operación.
El término (1 - rb) * I * Ao determina el valor actual de los intereses recibidos,
deducida la retención efectuada.
El término (t - ro) * I * d/Ao determina el valor actual de los impuestos que tiene que
pagar el obligacionista por los intereses percibidos. Se calcula multiplicando el
importe de los intereses por la diferencia entre su tipo impositivo (t) menos la
retención ordinaria (ro = 25%). Esta serie está diferida 1 año, ya que la
declaración de impuestos se realiza al año siguiente.
La expresión C * (1 + ie)^-n determina el valor actual del importe percibido en la
amortización del título.
Una vez calculada la rentabilidad efectiva "ie" de la obligación bonificada, se
calcula su rentabilidad financiera-fiscal resolviendo la siguiente ecuación:
Pc = ((1 - ro) * I * Ao) - ((t - ro) * I * d/Ao) + (C * (1 + ie)^-n)
Se trata de calcular la rentabilidad nominal que tendría que ofrecer una
obligación de las mismas características, que no ofreciera ventaja fiscal,
para que el inversor obtuviera la misma rentabilidad efectiva que en el caso
de la obligación subordinada.
En la ecuación anterior se aplica el mismo "ie" que se ha obtenido en la obligación
bonificada. En esta ecuación la variable a despejar es I (o sea, los intereses que
tendría que percibir para obtener la rentabilidad efectiva "ie").
62. Obligación con bonificación fiscal: Ejercicio (I)
Ejemplo:
Calcular la rentabilidad financiera-fiscal de una obligación de 10.000 ptas. de
nominal y plazo de 5 años, con un tipo de interés del 8%, si se le aplica una
retención del 1,25%, en lugar del 25% ordinario.
El tipo impositivo del obligacionista es del 38%.
Solución:
Se calcula la rentabilidad efectiva de esta obligación bonificada:
Pc = ((1 - rb) * I * Ao) - ((t - ro) * I * d/Ao) + (C * (1 + ie)^-n)
Luego, 10.000 = ((1 - 0,0125) * 800 * Ao) - ((0,38 - 0,25) * 800 *
d/Ao) + (10.000 * (1 + ie)^-5)
Los intereses (800) se han calculado multiplicando el nominal
(10.000) por el tipo de interés (8%)
Ao es igual a (1 - (1 + ie)^-5) / ie
d/Ao es igual a (1 + ie)^-1 * ((1 - (1 + ie)^-5)/ ie)
Luego, ie = 6,927%
Por lo tanto, la rentabilidad efectiva de esta obligación
bonificada es del 6,927%
A continuación se calcula su rentabilidad financiera-fiscal:
Pc = ((1 - ro) * I * Ao) - ((t - ro) * I * d/Ao) + (C * (1 + ie)^-n)
Luego, 10.000 = ((1 - 0,25) * I * Ao) - ((0,38 - 0,25) * I * d/Ao) +
(10.000 * (1 + 0,06927)^-5)
Hay que despejar el valor de I que resuelve esta ecuación
luego, I = 1.102,29 ptas.
Por lo tanto, para que una obligación de similares
características, pero sin bonificación fiscal, ofrezca la misma
rentabilidad efectiva (6,927%), tiene que ofrecer unos intereses
anuales de 1.102,29 ptas., por lo que su tipo de interés nominal
tiene que ser del 11,02% (= 1.102,29 / 10.000)
En definitiva, la rentabilidad financiera-fiscal de la obligación
bonificada es del 11,02% (muy superior a su tipo nominal del
8%).
63. Obligación con bonificación fiscal: Ejercicio (II)
Ejemplo:
Se adquiere una obligación de 20.000 ptas. de nominal y plazo de 8 años, con un
tipo de interés del 9% y retención del 1,25% (en lugar del 25% ordinario).
Calcular su rentabilidad financiera-fiscal si:
a) El tipo impositivo del obligacionista es del 30%.
b) El tipo impositivo del obligacionista es del 40%.
Solución:
a) Tipo impositivo del 30%.
Se calcula la rentabilidad efectiva de esta obligación bonificada:
Pc = ((1 - rb) * I * Ao) - ((t - ro) * I * d/Ao) + (C * (1 + ie)^-n)
Luego, 20.000 = ((1 - 0,0125) * 1.800 * Ao) - ((0,30 - 0,25) *
1.800 * d/Ao) + (20.000 * (1 + ie)^-8)
Los intereses (1.800) se han calculado multiplicando el nominal
(20.000) por el tipo de interés (9%)
Luego, ie = 8,473%
Por lo tanto, la rentabilidad efectiva de esta obligación
bonificada es del 8,473%
A continuación se calcula su rentabilidad financiera-fiscal:
Pc = ((1 - ro) * I * Ao) - ((t - ro) * I * d/Ao) + (C * (1 + ie)^-n)
Luego, 20.000 = ((1 - 0,25) * I * Ao) - ((0,30 - 0,25) * I * d/Ao) +
(20.000 * (1 + 0,08473)^-8)
Hay que despejar el valor de I que resuelve esta ecuación
luego, I = 2.407,32 ptas.
Por lo tanto, para que una obligación de similares
características, pero sin bonificación fiscal, ofrezca la misma
rentabilidad efectiva (8,473%), tiene que ofrecer unos intereses
anuales de 2.407,32 ptas., por lo que su tipo de interés nominal
tiene que ser del 12,04% (= 2.407,32 / 20.000)
En definitiva, la rentabilidad financiera-fiscal de la obligación
bonificada es del 12,04% (muy superior a su tipo nominal del
9%).
b) Tipo impositivo del 40%.
Se calcula la rentabilidad efectiva de esta obligación bonificada:
20.000 = ((1 - 0,0125) * 1.800 * Ao) - ((0,40 - 0,25) * 1.800 *
d/Ao) + (20.000 * (1 + ie)^-8)
Luego, ie = 7,633%
A continuación se calcula su rentabilidad financiera-fiscal:
Luego, 20.000 = ((1 - 0,25) * I * Ao) - ((0,40 - 0,25) * I * d/Ao) +
(20.000 * (1 + 0,07633)^-8)
luego, I = 2.500,01 ptas.
Por lo tanto, para que una obligación de similares
características, pero sin bonificación fiscal, ofrezca la misma
rentabilidad efectiva (7,633%), tiene que ofrecer unos intereses
anuales de 2.501,01 ptas., por lo que su tipo de interés nominal
tiene que ser del 12,50% (= 2.501,01 / 20.000)
En este supuesto, la rentabilidad financiera-fiscal de la
obligación bonificada es del 12,50% (muy superior a su tipo
nominal del 9%).
64. Valoración de una inversión (I)
Una inversión es una operación financiera definida por una serie de
desembolsos que se estima que van a generar una corriente futura de
ingresos. Existen diferentes métodos para valorar el atractivo de un
proyecto de inversión, entre los que vamos a estudiar los siguientes:
VAN: Valor actual neto
Relación entre VAN e inversión
TIR
Pay back
Pay back con flujos actualizados
a) VAN
Mide el valor actual de los desembolsos y de los ingresos, actualizándolos
al momento inicial y aplicando un tipo de descuento en función del riesgo
que conlleva el proyecto.
Por ejemplo: no se asume el mismo riesgo invirtiendo en Deuda del Estado, en
una compañía eléctrica o en una nueva empresa de Internet. Por lo tanto, para
valorar estos tres proyectos hay que utilizar tasas de descuentos diferentes que
reflejen los distintos niveles de riesgo.
Como las inversiones son normalmente a largo plazo, para actualizar los
distintos flujos al momento inicial se utiliza la ley de descuento compuesto.
Si el VAN obtenido es positivo el proyecto es interesante de realizar. Por el
contrario, si el VAN es negativo, el proyecto hay que descartarlo.
Ejemplo: Un proyecto de inversión exige un desembolso inicial de 10
millones ptas. y se espera que va a generar beneficios entre el 1º y el 6º
año. El tipo de descuento que se aplica a proyectos de inversión con
riesgos similares es del 10%. Calcular el VAN:
Año Desembolso Ingresos Flujo
descontado
0 -10,000 0 - 10,000 -10,000
1 0 0,600 600* (1,1)^-1 0,545
2 0 1,000 1,000* (1,1)^-2 0,826
3 0 2,000 2,000* (1,1)^-3 1,502
4 0 4,000 4,000* (1,1)^-4 2,732
5 0 7,000 7,000* (1,1)^-5 4,346
6 0 3,000 3,000* (1,1)^-6 1,693
VAN 1,646
El VAN es positivo (1,646 millones de pesetas), luego la inversión es
aceptable.
Cuando hay varios proyectos alternativos de inversión se elige aquel que
presenta el VAN más elevado, siempre y cuando sean proyectos que
conlleven inversiones similares, ya que si los importes de las inversiones
fueran muy diferentes, el criterio VAN es poco operativo, ya que no mide la
rentabilidad obtenida por cada peseta invertida.
b) Porcentaje VAN / Inversión
Este método mide la rentabilidad que se obtiene por cada peseta invertida,
con lo que soluciona la limitación que hemos señalado en el método VAN.
Se elegirá aquel proyecto que presente este ratio más elevado.
Ejemplo: Hallar el ratio "VAN/Inversión" del ejemplo anterior
Ratio = Van / Inversión = 1,646 / 10,0 = 16,46%
Por lo tanto, se obtiene una rentabilidad del 16,46% (es decir, 0,1646 ptas.
de VAN por cada peseta invertida).
c) Tasa de rendimiento interno (TIR)
Este método consiste en calcular la tasa de descuento que hace cero el
VAN. Un proyecto es interesante cuando su tasa TIR es superior al tipo de
descuento exigido para proyectos con ese nivel de riesgo.
Ejemplo: Calcular la tasa TIR del ejemplo anterior y ver si supera la tasa de
descuento del 10% exigible a proyectos con ese nivel de riesgo.
VAN = 0
Luego, -10.000 + 0,600/(1+ie) + 1.000/(1+ie)^2 + 2.000/(1+ie)^3
+4.000/(1+ie)^4 +7.000/(1+ie)^5 +3.000/(1+ie)^6 = 0
Luego, ie = 14,045%
Luego la tasa TIR de esta operación es el 14,045%, superior al 10%, luego
este proyecto de inversión es interesante de realizar.
Entre varios proyectos alternativos de inversión se elegirá aquel que
presente la tasa TIR más elevada. De todos modos, si los diversos
proyectos analizados presentan niveles de riesgos muy diferentes, primero
hay que ver hasta que nivel de riesgo se está dispuesto a asumir, y a
continuación, entre los proyectos seleccionados, se elige el que presente la
tasa TIR más elevada.
65. Valoración de una inversión (II)
d) Pay-back
Mide el número de años que se tarda en recuperar el importe invertido. Se
trata de calcular en que momento los ingresos percibidos cubren los gastos
realizados.
Ejemplo: Calcular el pay-back en el ejemplo que venimos analizando
Año Desembolso Ingresos
0 -10,000 0
1 0 0,600
2 0 1,000
3 0 2,000
4 0 4,000
5 0 7,000
6 0 3,000
El pay-back es de 5 años (a lo largo de este año se llega a recuperar los 10
millones invertidos).
Este método de valoración presenta dos limitaciones muy importantes:
a) No se actualizan los flujos de dinero (no tiene en cuenta el valor temporal del
dinero), por lo que da el mismo tratamiento a cualquier importe con independencia
de en qué momento se genera.
b) Además, el Pay-back sólo se fija en los beneficios que hacen falta hasta cubrir
el importe de la inversión, sin valorar los ingresos que se pueden producir después.
Ejemplo: Se analizan 2 proyectos de inversión de 5 millones cada uno. El
flujo de beneficios que genera cada proyecto se recoge en el siguiente
cuadro. Aplicando el método del "pay back" ver cual sería el proyecto más
interesante.
Periodo Proyecto A Proyecto B
0 -5,000 -5,000
1 2,000 0,500
2 2,000 1,000
3 2,000 1,500
4 2,000 2,000
5 4,000
6 8,000
Aplicando este método habría que elegir el proyecto A (se recupera el
importe de la inversión más rápidamente), sin embargo el total de ingresos
es notablemente superior en el proyecto B.
De hecho, si se analiza el VAN (aplicando una tasa de descuento del 10%)
y el TIR de ambos proyectos, el proyecto B es preferible:
Proyecto A Proyecto B
VAN 1,340 5,773
TIR 21,86% 30,57%
e) Pay-back (con actualización)
El funcionamiento es el mismo que en el método del Pay-back, con la
diferencia de que se actualizan los importes, superando, de esta manera,
una de las limitaciones que presenta el método del "pay back".
Sin embargo, sigue manteniendo la limitación de no valorar los ingresos
que se originan después de haber recuperado el importe de la inversión.
Ejemplo: Veamos el ejemplo anterior, aplicando una tasa de descuento del
10%:
Año Proyecto A Proyecto B
Importes Importes
actualizados Importes
Importes
actualizados
0 -5,000 -5,000 -5,000 -5,000
1 2,000 1,818 0,500 0,455
2 2,000 1,653 1,000 0,826
3 2,000 1,503 1,500 1,127
4 2,000 1,366 2,000 1,366
5 4,000 2,484
6 8,000 4,516
En el proyecto A se alcanza el pay back al comienzo del 4º año, mientras
que en el proyecto B se alcanza a mitad del 5º año.
66: Valoración de una inversión: Ejercicio
Ejercicios:
Se analizan 3 proyectos alternativos de inversión cuyos flujos de capitales
se recogen en el siguiente cuadro:
Año Proyecto A Proyecto B Proyecto C
0 -10,000 -30,000 -15,000
1 +1,000 +10,000 +5,000
2 +2,000 +10,000 +10,000
3 +2,000 +10,000 -5,000
4 +2,000 +12,000 +2,000
5 +3,500 +5,000
6 +5,000 +2,000
7 +6,500
Las tasas de descuento estimadas para estos proyectos son las siguientes:
Proyecto A Proyecto B Proyecto C
Tasa de
descuento 10% 14% 15%
Valorar y ordenar por preferencia estos proyectos utilizando los distintos
métodos analizados.
Solución:
Los resultados que se obtienen aplicando los distintos métodos de
valoración son los siguientes:
Proyecto A Proyecto B Proyecto C
VAN +0,426 +0,321 +0,559
VAN / Inversión 4,26% 1,07% 3,73%
TIR 11,15% 14,51% 16,36%
Pay back 4,9 años 3 años 5,6 años
Pay back
(acualizado) 5,8 años 3,9 años 6,8 años
Se puede ver como los ordenes de preferencia son diferentes:
Proyecto A Proyecto B Proyecto C
VAN 2º 3º 1º
VAN / Inversión 1º 3º 2º
TIR Cumple Cumple Cumple
Pay back 2º 1º 3º
Pay back
(acualizado) 2º 1º 3º
El proyecto de inversión más interesante es el Proyecto A, ya que la
relación VAN / Inversión es la más elevada (damos preferencia a este
método de valoración).