MECANIQUE ANALYTIQUEMECANIQUE ANALYTIQUESMP5SMP5

Professeur de l’enseignement supérieurBureau 37 département de physiqueFaculté des sciencesAgadiremail: r.mesrar@uiz.ac.ma

Rachid MESRARRachid MESRAR

MECANIQUE ANALYTIQUEMECANIQUE ANALYTIQUE

I. Newton (1643-1727)Anglais

A. Einstein (1879-1955)Allemand

MECANICIENS CELEBRES

J.L.Lagrange (1736-1813)Franco-italien

A PROPOS DU COURSA PROPOS DU COURS

11erer support : support : cours polycopicours polycopiéé

22èè support :support :cours diapositivescours diapositives

AmphiAmphiA acheter (chez al maarifa)

Cours dispensé durant le semestre

Fascicule ��������

A acheter (chez Al maarifa)��������

« Les dossiers pédagogiques de la mécanique analytique »

A PROPOS DES TDA PROPOS DES TD

Ce fascicule comporte un résumé de cours, les formules à retenir, des applications pédagogiques et les travaux dirigés de l’année.

CHAPITRE 1CHAPITRE 1: FORMALISME LAGRANGIEN: FORMALISME LAGRANGIENEquations dEquations d’’EulerEuler--Lagrange (EEL)Lagrange (EEL)

CHAPITRE 2CHAPITRE 2: PRINCIPE DES PUISSANCES VIRTUELLES: PRINCIPE DES PUISSANCES VIRTUELLESEquations de Lagrange simples (ELS)Equations de Lagrange simples (ELS)Equations de Lagrange avec multiplicateursEquations de Lagrange avec multiplicateurs (ELM)(ELM)

CHAPITRE 3CHAPITRE 3: INTEGRALES PREMIERES: INTEGRALES PREMIERES

CHAPITRE 4CHAPITRE 4: EQUILIBRE ET STABILITE: EQUILIBRE ET STABILITE

CHAPITRE 5CHAPITRE 5: FORMALISME HAMILTONIEN: FORMALISME HAMILTONIENEquations canoniques de HamiltonEquations canoniques de Hamilton

CHAPITRE 6CHAPITRE 6: VIBRATIONS: VIBRATIONS

PROGRAMMEPROGRAMME

Objectifs pObjectifs péédagogiquesdagogiques

�������� Introduire la notion dIntroduire la notion d’’actionaction

�������� Comprendre le principe de moindre actionComprendre le principe de moindre action

�������� Etablir les Etablir les ééquations dquations d’’EulerEuler--LagrangeLagrange

�������� Etudier les propriEtudier les propriééttéés physiques du lagrangiens physiques du lagrangien

CHAPITRE 1: FORMALISME LAGRANGIENCHAPITRE 1: FORMALISME LAGRANGIEN

Notions abordNotions abordééeses

�������� CoordonnCoordonnéées ges géénnééralisralisééeses

�������� Espace de configurationEspace de configuration

�������� Vitesse gVitesse géénnééralisralisééee

�������� Lagrangien ou fonction de LagrangeLagrangien ou fonction de Lagrange

�������� ActionAction

�������� Principe de moindre action (PMA)Principe de moindre action (PMA)

CHAPITRE 1: FORMALISME LAGRANGIENCHAPITRE 1: FORMALISME LAGRANGIEN

Notions abordNotions abordéées es -- suitesuite

�������� PropriPropriééttéés physiques du lagrangiens physiques du lagrangien

�������� Variable cycliqueVariable cyclique

�������� IntIntéégrale premigrale premièère du mouvementre du mouvement

�������� ThThééororèème de Noetherme de Noether

�������� Impulsion gImpulsion géénnééralisralisééee

CHAPITRE 1: FORMALISME LAGRANGIENCHAPITRE 1: FORMALISME LAGRANGIEN

PLAN DU CHAPITRE 1PLAN DU CHAPITRE 1

11-- CoordonnCoordonnéées ges géénnééralisralisééeses22-- Espace de configurationEspace de configuration33-- Lagrangien dLagrangien d’’un systun systèèmeme44-- Calcul Calcul variationnelvariationnel55-- Action Action -- Principe de moindre actionPrincipe de moindre action66-- Equations dEquations d’’EulerEuler--LagrangeLagrange77-- PropriPropriééttéés physiques du Lagrangiens physiques du Lagrangien88-- SymSyméétries et lois de conservation tries et lois de conservation

CHAPITRE 1: FORMALISME LAGRANGIENCHAPITRE 1: FORMALISME LAGRANGIEN

Notions de base

- Coordonnées généralisées- Vitesses généralisées- Degrés de liberté- Equations de liaison- Espace de configuration- Lagrangien d’un système

§-1-

« Ces notions représentent la pierre angulaire du formalisme lagrangien. D’où l’intérêt de les bien assimiler »

��������

CoordonnCoordonnéées ges géénnééralisralisééesesDegrDegréés de liberts de libertéé dd’’un systun systèèmeme

§-1-1

En mécanique analytique, on ne fait pas de distinction entre les coordonnées de position ((x, y, z) pour un point matériel) et lescoordonnées d’orientation ( pour un solide).On utilise une notation identique pour les deux types de coordonnées, c’est-à-dire, on généralise et on note:

),,( ϕθψ

),...,,( N21 qqq

où N est le nombre de coordonnées généralisées.

N.B��������

Quelques exemples classiques

§-1-2

Nddl = N-r = 6 – 1 = 5

ϕ=q2211 qq ϕϕ == ,

Nddl = 3 – 2 = 1Nddl = 6 – 4 = 2

O x

y

x’

y’

M

Coordonnées physiques(x, y, z)

Equations de liaisonz= 0

axy +−= )tan( θ

Nombre de de degré de liberté3 - 2 = 1

Coordonnée généraliséeq = x’

θ

a X’

Espace de configurationEspace de configuration

Un système matériel est repéré par les N

coordonnées généralisées indépendantes

(q1, q2,…, qN). Ces coordonnées déterminent la

position du système matériel dans un espace

vectoriel de dimension N appelé espace de

configuration. Chaque position du système est

représenté par un point P (q1, q2,…, qN).

Lagrangien d’un système

VTL −=

Energie cinétique Energie potentielleLagrangien

��������

Z = T - VPour la petite histoire Lagrange notait :

L’ élément central du formalisme lagrangien est la fonction de Lagrange notée L et définie par :

Attention

),,( tqqLL ii &=

ii qq &,Les et le temps t sont des variables indépendantes.

Le lagrangien est une fonction d’état��������

��������

tqitqiii

q

Let

q

L

,,&

&∂∂

∂∂

N.B.Pour pouvoir déterminer le lagrangien d’un système mécanique quel qu'il soit , Il est impératif de maitriser le calcul de l’énergie cinétique et celui de l’énergie potentielle.

��������

Faisons le point sur ces deux grandeurs ô combien importantes en mécanique analytique.

Energie cinétique

1

Organigramme de calcul de l’énergie cinétique

Exemple 1: session de rattrapage de mars 2015

Barre de longueur 2a, de masse m et de centre d’inertie G

Calcul effectué en G car le solide n’admet pas de point fixe.��������

Exemple 2: un ancien examen de mécanique du solide(Janvier 2012)

Calcul effectué en O qui est un point fixe.��������

Energie potentielle

2

L'énergie potentielle mécanique est une énergie qui est échangéepar un corps lorsqu'il se déplace tout en étant soumis à une force conservative.Elle est exprimée en joules (c'est-à-dire en newton mètre).Cette énergie potentielle, définie à une constante arbitraire près, ne dépend que de la position du corps dans l'espace. Cette énergie est appelée potentielle car elle peut être emmagasinée par un corps et peut ensuite être transformée par exemple en énergie cinétique lorsquele corps est mis en mouvement.De manière plus précise, la variation d'énergie potentielle d'un corps lorsqu'il se déplace entre deux points est l'opposé du travail fourni par la force à laquelle il est soumis entre ces deux points. Ainsi le travail d'une force conservative vérifie la relation:

Définition et calcul de l’énergie potentielle

dVdW −=

Chaque force conservative donne naissance à une énergie potentielle. On peut ainsi distinguer :

Énergie potentielle de pesanteur,

Énergie potentielle gravitationnelle,

Énergie potentielle élastique,

Énergie potentielle électrostatique,

Énergie potentielle magnétique,

Énergie potentielle de pression

1- Calcul de l’énergie potentielle de pesanteur

↓−↑+

=

+±=

descendantestprojectiondeaxelsimgz

ascendantestprojectiondeaxelsimgz

ctemgzVpes

'

'

θ P

P

O

O

y

y

z

z

l

l

Exemple

θcosmglV −=θ

2- Calcul de l’énergie potentielle élastique

ctellk2

1V 2

0éla +−= )(

Pour calculer l’énergie cinétique élastique, il suffit de déterminerla longueur l du ressort à un instant t donné.

Organigramme de calcul de l’énergie potentielle

Exemple: session de rattrapage de mars 2015

Remarque importante concernant la constante

L'énergie potentielle est définie à une constante additive près. Celle-ci n'a aucune influence sur les résultats puisque l'énergie potentielle est utilisée dans des opérations de dérivation (calcul d'une force conservative) ou de variation (calcul d'un travail). Ces deux opérations faisant disparaître la constante, le choix de cette dernière est donc purement arbitraire et sa détermination se fait généralement de façon à simplifier les calculs.

N.B. En mécanique analytique, on ne se préoccupe pas de la constante sauf mention contraire.

��������

Lagrangien de quelques systèmessimples

§-1-3

Calcul variationnelEquation d’Euler

§-2-

Introduction

§-2-1

Les principes variationnels permettent de considérer l’évolution des phénomènes naturels comme desproblèmes d’optimisation.

Exemple: principe de Fermat (1606-1665)

Fermat a étudié l’optimisation du chemin optique emprunté par un rayon lumineux.

§-2-2

Calcul variationnel

Equation d’Euler

Démonstration

dxyy

fy

y

fdxyyxfdxyyxfI

2

1

2

1

2

1

x

x

x

x

x

x ∫∫ ∫

∂∂+

∂∂=== &

&&& δδδδδ ),,(),,(

)( ydx

d

dx

dyy δδδ =

=&

2

1

x

x

x

x

x

x

x

xy

y

fdxy

y

f

dx

dy

y

f

dxy

f

dx

dy

y

f

dx

dy

y

fdxy

dx

d

y

fy

y

fI

2

1

2

1

2

1

∂∂+

∂∂−

∂∂=

∂∂−

∂∂+

∂∂=

∂∂+

∂∂=⇒

∫

∫∫

δδδ

δδδδδ

&&

&&&)(

(Commutativité de delta avec l’intégration)

(Commutativité de delta avec la dérivation)

Faites bien attention à faire la distinction entre dy et : dy est une variation de y = y(x) due à une variation de x, tandis que est une variation de y au sens où l’on change de fonction: on passe de y(x) à (y + )(x) pour toutes les valeurs de x: cette opération sur y se fait à x constant (voir figure).

)( yδ)( yδ

yδ

CQFD0y

f

dx

d

y

f

0ydxy

f

dx

d

y

fI

0xyxycar0x

xy

y

for

2

1

x

x

21

2

1

=

∂∂−

∂∂

⇒

=

∂∂−

∂∂=⇒

===

∂∂

∫

&

&

&

δδ

δδδ )()(

Equation d’Euler généralisée

Remarque importante

0q

L

dt

d

q

L

ii

=

∂∂−

∂∂

&

∫∫ =⇒= 2

1

2

1

t

t ii

x

x ii tqqLSxyyfI ),,(),,( &&alors, la fonctionnelle I devient:

La nouvelle grandeur notée « S » est appelée « action » ou « actionhamiltonienne ». Dans ce cas l’équation d’Euler s’écrit:

Ces équations sont appelées les équations d’Euler-Lagrange

Supposons qu’on fait le choix des variables suivant:

=→==→=

→

)()(

)()(

tqqxyy

tqqxyy

tx

&&&&

),,(),,( tqqLxyyf iiii && =

Démonstration de la formule de Beltrami

La relation de Beltrami va être utiliser lorsque nous aborderons le chapitre 3 sur les intégrales premières, en particulier lorsque nous étudierons l’intégrale première de Jacobi.

Remarque

2 exemples classiques

§-2-3

Distance minimale entre deux points sur un plan.Géodésique

1

Exemple historiqueLa brachistochrone

2

Le mot brachistochrone vient du grec brakhistos « le plus court » et s'écrit avec un i et non un y, et de chronos« temps ».

Elle fut étudiée et nommée ainsi par Jean Bernoulli en 1718 et Euler en 1736.

Un peu d’ étymologie et d’ histoire

Le mot brachistochrone désigne une courbe dans un plan vertical sur laquelle un point matériel pesant placé dans un champ de pesanteur uniforme, glissant sans frottement et sans vitesse initiale, présente un temps de parcours minimalparmi toutes les courbes joignant deux points fixés : on parlede problème de la courbe brachistochrone.

Principe de moindre actionEquations d’ Euler-Lagrange

§-3-

« Au commencement était l’action»Johann Wolfgang Von Goethe

« La nature agit toujours par les voies les plus courtes»

Pierre de Fermat

Bref historique

Ce principe s’est développé pendant un siècle sur la base de

l’optique et de la mécanique, commençant avec Fermat puis Maupertuis et continuant sur un plan mathématique avec Euler, Lagrange, puis Hamilton (1740-1840).

Il s’est étendu dans la seconde moitié du 19ème siècle àl’hydrodynamique, l’électromagnétisme et la thermodynamique.

Introduction

Principe de moindre action-énoncé

��������

Principe de moindre action-hypothèses

Principe de moindre action - calculs

Ce sont les équations d’Euler-Lagrange

Principe de moindre action - calculs

{ {

0q

L

q

L

dt

d

F

i

p

i

=∂∂−

∂∂&

Equations d’Euler-Lagrange (EEL)

i = 1,…,n

�������� Voir applications pédagogiques

��������

Généralement les équation d’Euler-Lagrange sont mises sous la forme suivante:

Il y a équivalence entre le «PMA » et les «EEL »

PMA EEL

0S =δ 0=∂∂−

∂∂

ii q

L

q

L

dt

d&

Attention

2 exemples classiques

§-3-1

§-3-2

Propriétés physiques du lagrangien

Propriétés physiques du lagrangien

1 Les équations du mouvement ne changent pas si Lest multiplié par une constante

2 La forme de L doit obéir aux symétries du système physique (invariance par translation dans le temps et dans l’espace)

3 Les équations du mouvement restent inchangées si l’on ajoute au lagrangien une dérivée totale d’une fonction des coordonnées et du temps :

4 Le lagrangien de deux systèmes indépendants est égal à la somme de chacun des deux systèmes :

L = L1 + L2

dt

tqdFLL i ),(+=′

§-3-3

Applications pédagogiques

Montrons que si

dt

tqdFLL i ),(+=′

Alors

iiii q

L

q

L

dt

d

q

L

q

L

dt

d

∂∂−

∂∂=

∂′∂−

∂′∂

&&

Non unicité du Lagrangien��������

Application pédagogique 1

Démonstration

0q

L

q

L

dt

d

q

L

q

L

dt

d

vientiltq

tqF

qt

tqFPuisquet

q

tqF

tq

q

tqF

q

L

dt

d

q

tqF

dt

d

q

L

dt

d

q

L

dt

d

q

tqF

q

L

q

Let

t

tqF

qq

q

F

q

L

q

L

t

tqFq

q

tqFtqqL

dt

tqdFtqqLtqqL

iiii

i2

i2

i

ii2

i

i2

i

i

i

iii

i

ii

i

ii2

i

2

ii

ii

i

iii

iiiii

=∂∂−

∂∂=

∂′∂−

∂′∂

∂∂∂=

∂∂∂

∂∂

∂∂+

∂∂+

∂∂=

∂∂+

∂∂=

∂′∂

⇒∂

∂+∂∂=

∂′∂

∂∂

∂∂+

∂∂+

∂∂=

∂′∂

⇒

∂∂+

∂∂+=+=′

&&

&&

&&&&

&

&&&&

:,),(),(

),(),(

),(),(

),(

),(),(),,(

),(),,(),,(

Application pédagogique 2

Symétries et lois de conservationThéorème de Noether

§-4-

Impulsion généralisée-moment conjugué

§-4-1

§-4-2

Variable cyclique – variable cachée

��������

��������

§-4-3

Lagrangien indépendant du tempsSystème fermé

0t

L =∂∂ (système fermé)

Si le lagrangien d’un système est indépendant du temps, alors:

§-4-4

Signification physique de l’hamiltonien H

Théorème de Noether

Naissance 23 mars 1882 � Erlangen (Allemagne). Décès, 14 avril 1935 (à 53 ans)

§-5

Le théorème de Noether exprime l'équivalencequi existe entre les lois de conservation

et l'invariance des lois physiques en ce qui concerne certaines transformations (typiquement appelées symétries).

Établi en 1918 par la mathématicienne Emmy Nöether, ce théorème fut qualifié par AlbertEinstein de « monument de la pensée mathématique » dans une lettre envoyée àDavid Hilbert en vue de soutenir la carrière de la mathématicienne.

Théorème de Noether

Démonstration

L indépendant de s :

CQFD

Moment cinétique(3 quantités conservées)Quantité de mouvement

(3 quantités conservées)

Energie totale(1 quantité conservée)

En résumé

Fiches de synthèse

�������� Ce qu’il faut absolument savoir

Fiche 1

0=∂∂−

∂∂

ii q

L

q

L

dt

d&

VTL −=

∫=2

1

),,(t

t

ii dttqqLS &

0=Sδ

Lagrangien

Action

Principe de moindre action(PMA)

Equations d’Euler-Lagrange(EEL)

Fiche 2

Méthodologie à suivre pour résoudre un problème en utilisant les équations d’Euler-Lagrange (EEL)

(voir TD1)

1- Calculer T

2- Calculer V

3- Construire L

4- Ecrire les EEL

{

0q

L

q

L

dt

d

1

i

3

2

i

=∂∂−

∂∂

43421321&

Les calculs se font de droite à gauche��������

Voir applications pédagogiques��������

Euler Lagrange

0=∂∂−

∂∂

ii q

L

q

L

dt

d&

EEL

Mise en œuvre

TD1

Et maintenant, c’est à vous de jouer

A vos dossiers pédagogiques

MERCI DE VOTRE MERCI DE VOTRE ATTENTIONATTENTION

FIN DU CHAPITRE 1FIN DU CHAPITRE 1

Rachid MESRARRachid MESRARProfesseur de l’enseignement supérieurBureau 37 Département de physiqueFaculté des sciencesAgadir

email: r.mesrar@uiz.ac.ma