Modeles non-lineaires Changements de Regime Modelisation.

transcript

Modeles non-lineaires

Changements de Regime

Modelisation

Probleme

• Les marches financiers peuvent se trouver dans des regimes differents:– Bull and bear markets– Volatilite forte ou faible– Changement dans les correlations

• Probleme de definition d’un regime• Spurious Regimes• Modelisation et test• Exemple: Contagion Financiere

Modelisation

• Modele lineaire pour chaque regime • Les parametres varient entre regime 1 et 2

• Specifier les processus de changment de regime– Les regimes sont caracterises par variables

observables: SETAR, STAR– Regimes non observables: Modele de Markov

1,2ipour )N(0, avec

2 Regime

1 Regime

• Self-Exciting Threshold AutoRegressive Model

• Flexibilite: skewness, kurtosis,multi-modalite pour y 21

)()](1[

1,2ipour )N(0, avec

tttttt

ecqIxcqIxy

• Smooth Threshold AutoRegressive Model• Transition graduelle entre plusieurs regimes

0,))(exp(1

),;()],;(1[21

ecqGxcqGxy

tttttt

Markov-Switching Model

• Regime non observe:

• Markov: Le regime en t est uniquement fonction du regime en t-1

• Transition:

• Probabilites inconditionelles:

Estimation

• Estimer: Phi, sigma, matrice de transition et estimation des probabilites a chaque periode

• Les probabilites de transition sont fixes• La probabilites des regime varient par periode• Algorithme EM (Hamilton 1994) • Methode de maximisation de la fonction de log-vraisemblance• Complique, recursif• Details dans Kim et Nelson (1999) “State Space Models with

Regime Switching”

Illustration

Danger

• Spurious Regime: Detection d’un changement de regime meme lorsqu’il n’y en a pas eu

• Correlation Breakdown: Les correlations sont plus fortes en periode de baisse de marches (bear markets)

• Implication: Les gains de diversification sont exageres si l’on ne prend pas en compte le fait que les correlations augmentent en periode de crise

• Longin et Solnik (2001) Journal of Finance• Ang et Chen (2002): les asymetries sont plus marquees

pour les petites firmes, “value” stocks, et les perdants• Forbes et Rigobon (1999)

U shape

Boyer, Gibson, Loretan (1997)

Volatilite

• Ensemble des mois tels que le ratio de la variance mensuelle

de x est superieure a la variance totale

Exceedance Correlations

Longin et Solnik (2001) Ang et Chen (2002)

A Retenir

• Dangereux de detecter des changements de regime uniquement sur la base d’une partition des rendements realises

• Necessaire d’avoir une idee de la distribution sous jacente des rendements pour tester si le changement observe > ce que l’on attend

Methodes de Simulation

Bootstrap, Jacknife

Introduction

• Econometrie: Un seul echantillon historique

• Impossible de repeter des donnees en construisant des experiences (physique)

• Efron (1979): considerer l’echantillon observe comme population

• Re-echantilloner l’echantillon

The Central Limit Theorem

Illustration CLT

• Choisir une distribution de probabilite

• Choisir nombre de groupes N

• Choisir R echantillons

• Histogramme des moyennes et ecarts type

Exemple Matlabn=[3,10,100];mea=[];

for ni=1:1:3; si=n(ni); rn=[];for z=1:1:500; rn=[rn,chi2rnd(2,si,1)];end

mea=[mea;mean(rn)];end

for z=1:1:3; subplot(3,1,z); hist(mea(z,:),40); axis( [min(mea(1,:)) max(mea(1,:)) 0 50] )end

Boucle sur N

Boucle sur R

Application

• Distribution: chi-deux[2]

• Somme au carre de deux variables N(0,1)

• Z=X12+X22

Vraie moyenne = 2,

Varie variance = 4

• Groupes: 3, 10, 100

• Echantillons: R = 500

Moyenne

1 2 3 4 5 60

Variance

10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

-2 -1 0 1 2 3 4 5 60

-2 -1 0 1 2 3 4 50

-3 -2 -1 0 1 2 30

VVNr /)(

Bootstrap – Efron (1979)

• Baron de Munchhausen: “Pulling oneself up by one’s bootstraps”

• Approche non-parametrique d’inference statistique

• Utiliser simulations plutot que des hypotheses sur la distribution sous-jacente

• Objctifs: Estimer les ecarts type, intervalle de confiance et formuler tests sur une distribution

Avantages

• Large applicabilite

• Gain de precision

• Cout informatique reduit

Objectifs

inconnueest F lorsque Meme

)F(.,G notee T de cumulativeon distributi laestimer d'permet Bootstrap

),....(TT :eStatistiqu

}....1,{X :Donnees

F cumulativeon distributi Vraie

Procedure Standard

• 1. Population=echantillon• 2. Tirer des echantillons aleatoires avec

remplacement: taille m<n

Pseudo echantillons bootstrap 1bootstrap 2etc…

},...1,{ niXXin

}7,9,2,4,5,3,3,1{

}10,9,8,7,6,5,4,3,2,1{

},...1,{ **

miXX in

• 3. Pour chaque pseudo-echantillon, calculer la statistique d’interet

• 4. Utiliser la distribution empirique de la statistique T pour examiner les caracteristiques de la distribution

),....(TT *1

Exemple

• Taux de rendement CAN/USD dpuis 1986

• Quel est l’ecart type?

• Std(Returns)*sqrt(48)=4.43%

• Obtenir intervalle de confiance?

Matlabretu=diff(log(cana));stat_boot=[];

boot=5000;nb=size(retu,1);Lo=5/100;Up=95/100;

for b=1:1:boot; R = UNIDRND(nb,nb,1); boot_sample=retu(R,1); stat_boot=[stat_boot; std(boot_sample)*sqrt(48)];end

hist(stat_boot,40);sam_sort=sort(stat_boot);ind_conf=ceil([Lo; Up]*boot);Conf_int=sam_sort(ind_conf);

Histogramme

0.038 0.04 0.042 0.044 0.046 0.048 0.05 0.0520

Ecart Type des Rendements Annualises Intervalle de Confiance

std(5%)=4.22%std(95%)=4.64%

Block Bootstrap

• Si dependence dans le temps entre observations

• Tirer des echantillons individuels avec remplacement detruit la structure temporelle

• Solution: Block Bootstrap de Kunsch

• Tirer des echantillons de taille k

• {1,2,3}, {6,7,8}, {3,4,5}

Sieve Bootstrap

• Si le modele statistique sous-jacent est connu: X=ARMA(p,q)

• Estimer le modele pour obtenir residus

• Re-echantilloner les residus

• Generer pseudo-donnees X* recursivement

• Re-estimer le modele

Simulation AR(1)

%--------------------------------------------------------% Generer une serie AR(1)

n=500;y(1,1)=0;

for i=2:1:n; y(i,1)=-0.2+0.6*y(i-1,1)+normrnd(0,1);endplot(y);%--------------------------------------------------------

% Premiere etape: Estimation du coefficient xx=[ones(500,1), lag(y)];

y_reg=ols(y,xx);prt(y_reg);

Reg_prem=y_reg.beta; % CoefficientReg_resid=y_reg.resid; % Residus

Simulation de la serie

Estimation sur l’echantillonentier

Simulation AR(1)% Simulations

nboot=1000;

ar_coff=[];

for nb=1:1:nboot;

new_samp=y(1,1);

R=unidrnd(n,n,1);

resid_resamp=Reg_resid(R,1);

for ii=2:1:n;

new_samp(ii)=Reg_prem(1)+Reg_prem(2)*new_samp(ii-1)+resid_resamp(ii,1);

new_samp1=new_samp';

xx1=[ones(500,1), lag(new_samp1)];

boot_reg=ols(new_samp1,xx1);

Boot_coeff=boot_reg.beta; % Coefficient

ar_coff=[ar_coff; Boot_coeff(2)];

Boucle Bootstrap

Pseudo-echantillon

Resultats

0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.80

Coefficient AR(1)

Moyenne=0.655Ecart Type=+-0.0322

Coefficient Observe0.66

Stationary Bootstrap

• Les donnees re-echantillonnees ne sont pas stationaires

• Solution: Politis et Romano (1994): Stationary bootstrap

• Block bootstrap avec des blocs de taille aleatoire

• Donnees resultantes sont stationaires

Probleme 4

• Quelle taille?

• La taille de l’echantillon doit augmenter avec n pour rendre l’estimation fiable

• Hall (1995)

g)|TP(| doubleon distributiestimer pour 1/5r

g)P(T simpleon distributiestimer pour 1/4r

eou varianc biaisestimer pour 1/3r avec

Cas Pratique

• Modelisation ECM de AUD/EUR• 200 observations seulement

Exemple - Suite

• Objectifs: Comparer performance du modele ECM avec modele monetaires

• Meese et Rogoff (1983): Les modeles monetaires n’arrivent pas a battre le modele Random Walk

• Statistique d’interetMesure de predictabilite relative

Application

• Predictabilite des Taux de Change

Intervalles de Confiance

• Distribution Normale

• DecilesExemple– Intervalle a 95% : trier les donnees par ordre

croissant– Bas = 0.025 x statistiques bootstrapees– Haut = 0.975 x statistiques bootstrapees

Variations

• Modele de Regression Lineaire: • Statistique d’interet beta1• 1) Premiere Regression pour obtenir residus • 2A) BOOTSTRAP NON-PARAMETRIQUE• Re-Echantilloner les residus

– Fixer les X, Y*=Y+U** est la nouvelle variable dependente – Regresser Y* et X– Sauver le coefficient

• 2B) BOOTSTRAP PARAMETRIQUE• Tirage de U** a partir de la distribution Normale

– Meme procedure

)N(0, Uavec 2

10 UXY

Autres Methodes

• Jackknife (take one out)

• S={X1,X2,...Xn}

• Tirer un echantillon de taille n-1

• S(i)=S-{Xi}

• Estimer

• Calculer ))(( iS

Modeles non-lineaires Changements de Regime Modelisation.

Documents