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Autores:
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JoaqunCarlosATarsicioEnriqueMarcoLuisGuilErnesto
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ContrerasLpezlbertoJnezFerrAudifredHurtadVillalobosVelzntonioNavarretllermoGonzlezAlberto
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n
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DIRECTORIO
M.C.JoaqunContrerasLpez
Director
M.I.TarsicioAudifredHurtadoSolrzano
SecretarioAcadmico
M.A.EnriqueVillalobosVelzquez
SecretarioAdministrativo
Dr.CarlosAlbertoJnezFerreira
CoordinadorAcadmicodelCursodeInduccin2015
Direccin:
AvenidaFranciscoJ.MjicaS/N,EdificioCPlantaBaja,CiudadUniversitaria,C.P.58030,Morelia,Michoacn.
Telfonos:
(443)3223500extensiones1133,1134y1135(443)3167205Fax(443)3167229
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CONTENIDO
PRESENTACIN.. 3
1 LGEBRA. 4
2TRIGONOMETRA................................................................
25
3 GEOMETRAANALTICA........................................... 49
4 FSICA.... 66
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PRESENTACIN
Laingenieraes,sinduda,unadelasprofesionesmsantiguas,locualsepruebacuandoanenla
actualidad sepuedenobservarvestigiosde civilizaciones como laegipcia, la romanay lamaya,
entreotras,quienesaplicaronsusconocimientosenlaconstruccindesistemasderiego,grandes
monumentosycaminos.
La ingeniera, en lo general, es una actividad profesional que usa el mtodo cientfico para
transformar,deunamanera racional, econmica yptima, recursosnaturalesen formastiles
paraelusodelhombreyeldesarrollode las sociedades.Enparticular, la ingeniera civilaplica
conocimientosdematemticas, fsica,qumicaygeologa,entreotrasreas,para laplaneacin,
construccin, operacin y mantenimiento de obras como presas, caminos, edificacin popular,
residencial,comercial,escolar,delasalud,industrial,urbanizacin,vasfrreas,puentes,sistemas
deriego,redesdeaguapotableyalcantarillado,entreotras.
Lasfuncionesprincipalesdelaingenieracivilson:desarrollodeproyectos,construccin,control,
operacin,mantenimiento,administracine investigacin.Tambincomprendeeldesarrollode
planesdeorganizacinterritorial,prevencindedesastres,controldetrficoytransporte,manejo
de recursos hdricos, servicios pblicos, tratamiento de residuos slidos y todas aquellas
actividades que garantizan el bienestar de la humanidad que requiere de las obras civiles
construidasyoperadasporingenieros.
Laspresentesnotaspretendenproporcionar,deunamaneraaccesible,partedelosconocimientos
bsicosquerequieren losaspirantesa ingresara laFacultadde IngenieraCivilde laUniversidad
Michoacana de San Nicols de Hidalgo. Contar con bases slidas, en lo que respecta a estos
conocimientos,permite cursardemaneraefectivadiferentesasignaturasque formanpartedel
Plan de Estudios vigente, lo que esperamos incida en un mejor aprovechamiento y, por
consiguiente,reducirelndicedereprobacinenlosprimerossemestresdelacarrera.
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LGEBRA
Quaprenders?
Recordars y manejars con fluidez los principales conceptos del lgebra: nmeros reales,expresiones algebraicas, exponentes, operaciones fundamentales con expresiones algebraicas,factorizacinysolucindeecuaciones.
Paraquteservir?
El adquirir conocimientos de conceptos y tcnicas del lgebra te permitir la simplificacin,planteamientoysolucindeproblemasquesepresentanen lasmateriasde lasdiferentesreasdeformacindelIngenieroCivil(matemticas,topografa,cienciasde losmateriales,estructuras,hidrulica,vasterrestres,etc.).
1.1 Conceptosfundamentales
El lgebra es la rama de las matemticas que estudia todas las cuestiones que se pueden
proponersobre lascantidades,enotraspalabras,es laramade lasmatemticasquetienecomo
objetodeestudio lageneralizacindelclculoaritmticomedianteexpresionescompuestaspor
constantes,parmetrosyvariables.
Unnmerosepuedeconceptualizarcomolaexpresindeunacantidad.Siaybdenotanelmismonmero,escribimosa=b,queseleeaesigualabysellamaigualdad.Lanotacina bsepuedeleercomoanoesigualaboaesdiferentedeb.Lanotacin sepuedeleercomoaesmayorqueb.Lanotacin sepuedeleercomoaesmenorqueb.Paraindicarqueunnmeroxespositivoseusalanotacin 0>x yparaindicarquexesnegativo
seescribe 0
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El conjuntode todos losnmeros sepuede clasificar,demanerageneral,ennmeros reales ynmeroscomplejos.EnlaFigura1.1semuestralaclasificacindelosnmerosreales.
Figura1.1Clasificacindelosnmerosreales
Nmero racional: es todo nmero que puede expresarse en la forma, en donde a y b son
nmerosenterosyb 0.Lasrepresentacionesdecimalesparanmerosracionalessonfinitas,ono
finitas pero repetitivas. Por ejemplo, 2, 1.25 y 3.218 3.218181818, son
nmerosracionales.
Enterospositivosonmerosnaturales:1,2,3,...
Enterosnegativos:1,2,3,...
Nmeropar:esunnmeroquealdividirseentre2elcocienteesunnmeroenteroyelresiduoes
cero.
Nmeroimpar:esunnmeroquealdividirseentre2elcocienteesunnmeroenteroyelresiduoes1.
Sia,bycsonnmerosenterosyc=ab,entoncesaybsonfactoresydivisoresdec.
Ejemplo1.1Culessonlosfactoresodivisoresdelnmero6?Solucin:Puestoque6=(2)(3)=(2)(3)=(1)(6)=(1)(6),entonceslosnmeros1,1,2,2,3,3,6y6sonfactoresydivisoresde6.
Nmeroprimo:esunnmeronaturalpdiferentede1cuyosnicosfactoresodivisoresson1yp.Porejemplo:7,13,23.
Nmeroscompuestos:sonlosnmerosnaturalesdiferentesde1yquenosonnmerosprimos.
Nmeros irracionales: son los nmeros reales que no son racionales, las representacionesdecimales de los nmeros irracionales son siempre infinitas y no repetitivas, por ejemplo, unnmeroirracionalcomnes 3.141592653589793
Nmeros
reales
Racionales
Enteros
Positivos(nmerosnaturales)
ParImpar
Primo
Compuesto
0
NegativosFracciones
Irracionales
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Si representaunnmeroreal,entonces:Unmonomioenesunaexpresinde la forma,endondeyn sonnmeros reales.Porejemplo,2,5y sonmonomios.Unbinomioeslasumadedosmonomios,porejemplo,2 .Untrinomioeslasumadetresmonomios,porejemplo,2 5.Unpolinomioenes lasumadecualquiernmerodemonomiosen.Acadaexpresinde laformatambinseleconocecomotrminoalgebraico.Unaexpresinalgebraicaesunacombinacindeliteralesynmerosligadosporlossignosdelasoperacionesdeadicin,sustraccin,multiplicacin,divisinypotenciacin.Elvalordeunaexpresinalgebraicaeselnmerorealqueresultaalsustituir las literalespornmerosrealesespecficosyrealizarlasoperacionesindicadas.Eldominiodeunaexpresinalgebraicaest formadoportodos losnmerosrealesquepueden
serasignadosalasliterales,detalformaquealrealizarlasoperacionesindicadasseobtengacomoresultadounnmeroreal.
Ejemplo1.2
Encontrarelvalordelaexpresinalgebraica 5 cuando 4eindicarsudominio.Solucin. 4 54 6 4 2 0 3 4 7, mientras que su dominio es el conjunto de todos losnmerosrealespositivos,esdecir,elconjuntodetodoslosnmerosrealestalesque 0.
1.2 Exponenciacin
Exponentesnaturales
Siesunnmeronaturalmayorque1, lanotacin ,representaelproductodelnmerorealmultiplicadovecesporsmismo.Laexpresinse leecomolaala.Alnmero natural se le llama exponente y al nmero real se le llama base. Las siguientesexpresionesejemplificanloanterior:
5 5 5 5 5 5 5 3 3337 777777
12 12
12
12
12
12
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Leyesdelosexponentes
Ley Ejemplo
1. 1si 0 3 12. 5 3. 22 2 2 1284. 3 3 3 7295. 2 3 2 3 8 2 7 2 1 6
6.
7.
,
2 2 4
7. ,
8.
9.
Laexpresin denotalarazensimaprincipaldelnmeroreal.Alnmerorealselellamaradicandoyelnmeronaturalesel ndicee indicaelordendelradical.Elsmbolo eselsignoradical.
Definicinde Seanunnmeronaturalmayorque1yunnmeroreal.1.Si 0 ,entonces 0.2.Si 0 ,entonces eselnmerorealpositivotalque .3.a)Si 0yes impar,entonces eselnmerorealnegativotalque .3.b)Si 0yespar,entonces noesunnmeroreal.
Exponentes
racionales
Sea un nmero racional positivo, donde es un nmero naturalmayorque 1. Si esunnmero real talque esunnmero real,entonces
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Leyesdelosexponentesfraccionariosoradicales
Ley Ejemplo
1. 5 52.
50 2 5 2 25 2 5 2 5 23.
4. 64 64 64 2 2
1.3 Simplificacinde
expresiones
Unade lasaplicacionesms importantesde las leyesde losexponenteses la simplificacinde
trminos y expresiones algebraicas donde aparecen fracciones. Simplificar un trmino o una
expresindondehayexponentesenterosdenmerosreales,significacambiarloporotroenelque
cadanmerorealapareceslounavezytodoslosexponentessonpositivos.
Ejemplo1.3
Simplificarlostrminosoexpresionessiguientes:
1 2 2 Delaley9delosexponentestenemos 2 Elevandonumeradorydenominadoralcubo
8 Efectuandooperacionesresulta2)
Sedisponencocientesdemodoquelosexponentesnegativosaparezcanenunafraccin
yaplicandoley9paraexponentesnegativos
84 Seaplicaley3deexponentesyseefectanoperaciones
2
Resultado3)320 6 4 5 Factorizandoelradicando
4 5 Delaley2delosradicales 4 5 Alaplicarlaley1obtenemos
4 5 Resultado
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Ejercicios
1. Simplificalostrminosoexpresionessiguientes
a)
3
22
63
4
32
4
30
15
2
ca
b
b
ca
Respuesta. 36cb
b)
2
2
324
3
43
2
8
2
a
ca
c
ba
Respuesta.6
1612
c
ba
c) ( ) ( )423235
yxyx
Respuesta.142yx
d) 21
53
4
8
ba
ba
Respuesta. 7
42
b
a
e)4
5
3
2
2
5
32
18
6
ba
cba
Respuesta.4
17
2
5
3
4
3b
ca
f)
2
33
329
cx
bx
Respuesta.66
10
81 cb
x
g)
2
1
2
1
2
1
42
1
23
3
22
1
z
yx
zx
zyx
Respuesta. 23
2
3
3
2yx
h)
aa
a
xx
bx2
4
1
412
3
1
3
9 Respuesta.
16227 bx a
i)5 592
5 1127
9
384
zyx
zyx
Respuesta. 523
42
y
z
y
xz
1.4 Operacionesconexpresionesalgebraicas
Sedicequeuntrminoalgebraicoessemejanteaotro,siambostienenexactamente lasmismasvariables elevadas exactamente a los mismos exponentes y solamente pueden diferir en losnmerosconocidosqueaparecencomocoeficientesendichostrminos.Se dice que un trmino algebraico es igual a otro, si ambos tienen exactamente las mismasvariableselevadasexactamentea losmismosexponentesy losnmerosconocidosqueaparecencomocoeficientesendichostrminostambinsoniguales.
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Jerarquadelasoperacionesentreexpresionesalgebraicas
En una expresin algebraica se efectan primero las operaciones entre parntesis, luego lasmultiplicacionesydivisiones,yfinalmentelassumasylasrestas.
Ejemplo1.4Simplificarlaexpresin 3 5 4 6 2 3 Solucin. 3 5 4 6 2 3 3 4 4 9 2 3 4 4 9 2 1 2 2 Ejemplo1.5Simplificarlaexpresin3 5 4 6 3 4 Solucin.3 5 4 6 3 4 36 4 3318 4 922 9
1.4.1 Adicinysustraccin
Para sumardosoms expresiones algebraicas,es recomendableobservar sistas tienenono
trminossemejantesoigualesyenelcasodequelostengansesumanentresdichostrminossi
tienensignosigualesyserestansitienensignosdiferentesy,elresultadollevaelsignodelmayor,
lostrminosnosemejantesseescribensinmodificacinalguna,alaplicarlasleyesopropiedades
adecuadas, se obtiene de esta manera la nueva expresin que llamaremos la suma de las
expresionesdadas.
Ejemplo1.6
Realizaremoslassiguientessumasoadiciones:
1) 2 3 2 2 3 2 Eliminandoparntesis 2 Sumandotrminossemejantes
2) 2 5 23 2 5 2 3 Eliminandoparntesisinteriores 2 2 3 Efectuandolasoperacionesdentrodecorchetes
2 2 3 Eliminandocorchetes 2 Efectuandooperacionescontrminossemejantes
3)
4 3 4 3 4 3 4 3
4 3 4 3 4 3 4 3Eliminandoparntesisinteriores
4 3 8 6 4 3 Efectuandolasoperacionesdentrodelossignosdeagrupacincorchetes
4 3 8 6 4 3 Eliminandocorchetes 4 4 3 3 Efectuandooperacionesdentrodelossignosdeagrupacinllaves 4 4 3 3 Eliminandollaves 0 Efectuandooperacionescontrminossemejantes
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1.4.2 Multiplicacin
Paramultiplicardosexpresionesalgebraicaspodemosutilizarlasmismasleyesdelasoperaciones
connmerosreales,ascomolasdelosexponentes.
Ejemplo1.7
Realizaremoslassiguientesmultiplicaciones:
1) Aplicandolaleydistributivaresulta2)4 53 2 43 42 53 52 Porlaleydistributiva
12 8 1 5 1 0 Delasleyesdeexponentes
12
7 1 0 Sumandotrminossemejantes.
3) Aplicandolaleydistributivaresulta Delasleyesdelosexponentes Simplificandolaexpresin
Existen ciertos productos que aparecen con mucha frecuencia y, por tanto, merecen especial
atencin,estosproductossonconocidoscomoproductosnotables.
Productosnotables
Diferenciadecuadrados 2 Binomioalcuadrado 2 3 3 Binomioalcubo
3
3
Diferenciadecubos Sumadecubos
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1.4.3 Divisin
Enmuchasocasionesesnecesariodividirunaexpresinentreotra,estosepuedehacerusandoun
algoritmoparecidoalqueseutilizaparadividirnmerosnaturalespero tomandoencuenta las
leyeso reglasde losexponentes.AldividirunaexpresinAentreotraB,haydiversas formasen
quepodemosdenotarestaoperacin:
i) ii) A/B
iii)
iv) B A
Cuando la expresin algebraica entre la que se divide (divisor) es un monomio, la forma ms
simplededividir,esusandolanotaciniii)ylasleyesdelosexponentesvistasconanterioridad.
Ejemplo1.8
Realizarlassiguientesdivisiones:
1)2 Dividiendounmonomioentreunmonomio,expresamosladivisinenlanotaciniii) 2 Aplicandoleyesdelosexponentes
2)
Dividiendocadatrminodelpolinomioentreelmonomio3 2 5 Aplicandoleyesdelosexponentes
Cuandolaexpresinalgebraicaentrelaquesedivide(divisor)esunbinomio,laformamssimple
dedividir,esusandolanotaciniv)ylasleyesdelosexponentesvistasconanterioridad.
Ejemplo1.9
Realizarladivisin
,utilizandoladivisinlarga
3 3 1 Sedivideelprimertrminodeldividendoentreelprimertrminodeldivisorparaobtenerelprimertrminodelcociente
1 4 6 4 1
Semultiplica
por
1 3 Seefectalarestacorrespondienteyseobtieneelsegundotrminodelcociente
3 3 Semultiplica3por 1 3 Seefectalarestacorrespondienteyseobtieneeltercer
trminodelcociente
3 3 Semultiplica3por 1 Seefectalarestacorrespondienteyseobtieneelcuarto
trminodelcociente
1 Semultiplica1por 1 0 seobtieneelresiduo0alefectuarlarestayseterminael
procesodedivisin
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Paraobtenerelprimer trminodelcociente,sedivideelprimer trminodeldividendoentreelprimertrminodeldivisorysealineaconel trminosemejante.Acontinuacinsemultiplicaeltrmino colocado en el cociente por el divisor y el resultado se anota abajo del dividendo
alineando trminos semejantes. Se efecta la resta correspondiente para obtener un nuevodividendo.Serepitenlospasosanterioreshastaobtenerelresiduoiguala0ounaexpresincongrado menor al grado del divisor. Si el residuo es cero, se dice que la divisin es exacta y eldividendosepuedeexpresarenlaforma(Dividendo)=(Cociente)(Divisor)
Cuandolaexpresinalgebraicaentrelaquesedivide(divisor)esuntrinomio,laformamssimple
dedividir,esusandolanotaciniv)ylasleyesdelosexponentesvistasconanterioridad.
Ejemplo1.10
Realizarladivisin ,utilizandoladivisinlarga
2 1 Sedivideelprimertrminodeldividendoentreelprimertrminodeldivisorparaobtenerelprimertrminodelcociente
2 1 4 6 4 1 2 Semultiplicapor 2 1
2 5 Seefectalarestacorrespondienteyseobtieneelsegundotrminodelcociente
2 4 2 Semultiplica2por 2 1 2 Seefectalarestacorrespondienteyseobtieneeltercertrminodelcociente 2 1 Semultiplica1por 2 1
0 Se obtiene el residuo 0 al efectuar la resta y se termina elprocesodedivisin
Puesto que la divisin es exacta, el dividendo se puede expresar en la forma(Dividendo)=(Cociente)(Divisor)
Dividendo Cociente Divisor Residuo 4 6 4 1 2 1 2 1 0
Ejercicios
1)Encuentralasumadelasexpresiones 5 3 3 , 4 Respuesta. zyx 7
4
9
3
16+
2)Restalaexpresin 5 3 3 delaexpresin 4 Respuesta. zyx
4
15
3
14
3)Alaexpresin 5 3 3 rstalelaexpresin 4
Dividendo Cociente Divisor Residuo 4 6 4 1 3 3 1 1 0
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Respuesta. zyx ++4
15
3
14
4)Elevaalcuadradolaexpresin
Respuesta.
2222 2 ybabxyxa ++
5)Elevaalcuadradolaexpresin Respuesta. 2222 2 ybabxyxa + 6)Elevaalcuadradolaexpresin3 5 Respuesta. 4248 25309 bbaa + 7)Realizalasiguientemultiplicacin .Respuesta.
22 )( beyxybcaeacx +++
8)Realizalasiguientemultiplicacin 3 3. Respuesta. 410 9yx 9)Elevaalcubolaexpresin Respuesta. 3223 33 yxyyxx + 10)Efectalasiguientemultiplicacin .Respuesta. 33 yx + 11)Dividelaexpresin4 entreelmonomio2. Respuesta. 42x 12)Divideelpolinomio
410
512
1215entre
3.
Respuesta.ax
4
3
5
3
13++
13)Divide4 6 4 993 4 2 entre.Respuesta. 124399464 223223 ++++ hxhxhxhxhhxx
14) Divide el polinomio de cuarto grado 46 4 1 entre el binomio de primergrado 1. Respuesta.
1
1615115 23
++++
xxxx
15)Divideelpolinomiode cuartogrado 46 4 1entreel trinomiode segundogrado
2 1. Respuesta.
12
1632176
2
2
+
+++
xx
xxx
16) Divide el polinomio de cuarto grado 46 4 1 entre el trinomio de tercergrado3 1. Respuesta.
13
2531
23
2
+
++++
xx
xxx
17)Divideelbinomiodetercergrado entreeltrinomiodesegundogrado .Respuesta. yx 18)Divideelbinomiodetercergrado entreelbinomiodeprimergrado .Respuesta.
22yxyx +
1.5 Factorizacin
Alprocesodeexpresarunasumadetrminoscomounproductodepolinomios irreductiblesse
llamafactorizacin.
Ejemplo1.11
Factorizarelbinomiox29.
Solucin.
9 3 3 , pueslosbinomios 3y 3sonfactoresde 9.
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La factorizacin desempea un importante papel en matemticas porque permite reducir el
estudiodeunaexpresincomplicadaaldevariasexpresionesmssencillas.Las frmulasde los
productosnotablesresultanmuytilescuandoseefectalafactorizacin.
Ejemplo1.12
Factorizarcadaunadelassiguientesexpresiones:
1 25 49 5 7 Expresando comoladiferenciadedoscuadrados 5 7 5 7 Delafrmuladeunadiferenciadecuadrados
tenemos
2 8 27 2 3 Expresando comoladiferenciadedoscubos2 34 6 9 Aplicandolafrmuladeunadiferenciadecubos
3 3 2 1 2 8 3 2 128 Agrupandotrminos 3 2 432 Encontrandofactorescomunes 43 2 Expresandocomofactores 2 2 3 2 Aplicandolafrmuladediferenciadecuadrados
Alrealizarlafactorizacindeuntrinomiodelaforma ,donde, y ,sonnmerosenteros,sedebeconsiderarsieltrinomiocuadradoesperfectoonoloes,siloes,sefactorizaen
unbinomioalcuadrado,encasocontrariosefactorizaenunproductodedosbinomiosdistintos
deprimerorden.
Paraobteneruntrinomiocuadradoperfectoenprimerainstanciasedebeobtenerlarazcuadrada
tantodelprimer trmino comodel tercerodel trinomio, los cuales sernelprimery segundo
trminodelbinomioalcuadrado,posteriormentesedebemultiplicarpordoselresultadode las
raices del primer y tercer trmino del trinomio, el cual debe ser el mismo valor del segundo
trminodel trinomioparaque seacompletado, finalmenteel signodelbinomio serpositivo si
ambossignosdelsegundoytercertrminosdeltrinomiosontambiensonpositivos,ynegativoen
casodequeelsignodelsegundotrminodeltrinomioseanegativo.
Ejemplo1.13
Factorizareltrinomio
9
3025.
Solucin. 9 3025 3 5
En caso de que el trinomio cuadrado no sea perfecto, existen dos formas muy utilizadas para
factorizar,unaescuandoelcoeficientedelprimertrminodeltrinomioesdevalor1.Ahoraserequiere buscar dos valores que, multiplicados entre s, proporcionen el valor del tercer
coeficientedeltrinomio,esdecir,yquelasumadeambosvaloresdecomoresultadoelmismovalordelsegundocoeficientedeltrinomio,estoes.Posteriormentesecoloca lavariablecomoprimertrminodecadabinomio,losdosvaloresencontradosserepartencomosegundotrmino
de cadabinomio. Los signosde estos valores seobtienende la siguientemanera, el signodel
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segundotrminodeltrinomioeselsignodelprimervalordelbinomioyporlasleyesdelossignos
al multiplicarse los signos del segundo y tercer trminos del trinomio se obtiene el signo del
segundobinomio.
Ejemplo1.14
Factorizareltrinomio 7 1 2.Solucin.
7 1 2 4 3Otro caso es cuando el coeficiente 1, ahora se trata de multiplicar los valores y deltrinomioy coneste resultado sedebernencontrardos factoresque sumadosproporcionenel
valordelsegundotrminodeltrinomio,queesyquemultiplicadosresulteenelvalordeltercertrmino del trinomio. Posteriormente se coloca el primer trmino del trinomio como primer
trminodecadabinomio,losdosvaloresencontradosserepartencomosegundotrminodecadabinomio, los signosde estos valores seobtienende forma similar a ladescrita anteriormente.
Finalmentesesimplificaelproducto.Sedebetomarencuentaquealfactorizar lostrinomiosen
realidad lo que se requiere encontrar son las races de polinomios por lo que la ecuacin es
igualadaacero.
Ejemplo1.15
Factorizareltrinomio6 7 3.Solucin.
63 18
6 962
Semultiplicaprimerytercertrmino
6 7 3 2 331 Sesimplificaelproducto.
Ejercicios
1. Factorizarysimplificar,siesposible,cadaunadelassiguientesexpresiones.
1 49 Respuesta. ( )( )yxyx 3232 + 2)416 Respuesta. ( )22 44 yx +
3 4
129 Respuesta. ( )232 yx
4)4 1616 Respuesta. ( )242 yx+ 5 827 Respuesta. ( )( )22 96432 yxyxyx ++ 6 827 Respuesta. ( )( )22 96432 yxyxyx ++ 7 1681 Respuesta. ( )( )( )22 943232 yxyxyx ++ 8 6128 Respuesta. ( ) 32yx 9 5 1 3 6 Respuesta. 5 35 2
10 Respuesta.
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11 Respuesta.
12
Respuesta.13
Respuesta.
1.6 Planteamientoysolucindeecuacioneslinealesconunaincgnita
Unaecuacineselenunciadoenelquedoscantidadesoexpresiones,dondeaparecenunaomsliteralesconocidascomoincgnitas,soniguales,esdecir
dcxqpx +=+
Sienunaecuacinsloapareceunaincgnitaystatienecomoexponente1,sellamaecuacinlinealconunaincgnita.Unaecuacinlinealconunaincgnitasepuedeescribirenlaforma
0,dondeysonnmerosrealescon 0.La solucin de una ecuacin lineal es un nmero tal que produce una igualdad correcta alsustituirloporlaincgnitadelaecuacinyrealizarlasoperacionescorrespondientes.Resolveruna
ecuacinlinealensignificahallarelvalordequehaceverdaderalaigualdaddelaecuacin.Al sumar, restar, multiplicar o dividir una cantidad o expresin a ambos miembros de unaecuacin, se obtiene una ecuacin equivalente. Una forma de resolver una ecuacin esencontrando ecuaciones equivalentes cada vez ms sencillas de resolver, siempre que lassoluciones de stas sean las mismas que para la ecuacin original. Si obtenemos ecuaciones
equivalentesde laecuacin 0, llegamosaque ,siempreque 0,portanto,unaecuacinlinealtieneexactamenteunasolucin.
Ejemplo1.16Resolverlassiguientesecuaciones:
1)6 7 2 5 6 7 7 2 5 7 Sumando7aambosmiembrosdelaecuacin6 2 1 2 Simplificando
6 2 2 1 2 2 Restando2aambosmiembrosdelaecuacin4 1 2 Simplificando44
124 Dividiendoentre4
3 Simplificando
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2) 8 23 4 4 361 24 3 2 6 8 2 4 4 1 8 3 Efectuandomultiplicaciones
24 2 6 8 2 4 1 4 3 Simplificando24 2 6 8 2 4 24 1 4 3 2 4 Restando24aambosmiembrosdelaecuacin
2 6 8 1 4 3 Simplificando2 6 8 1 4 1 4 3 1 4 Restando14
1 2 8 3 Simplificando 1 2 8 8 3 8 Sumando8
1 2 5 Simplificando1212
512 Dividiendoentre12
Simplificando
3)
1 3
2 2 1 2 6
2 2 Multiplicandopor 2
3 2 6 Simplificandosi 2 03 4 Quitandoparntesisysimplificando
3 4 Restandox2 4 Simplificando22
42 Dividiendoentre2ysimplificando
2
Alsustituir 2 enlaecuacinoriginalseobtienendenominadoresigualacero,porlotanto,elnmero2noessoluciny
laecuacindadanotienesolucin.Cuandoestoocurresediceque el2esunarazosolucinextraa.
Ejemplo1.17Cincoveceselpesodeunacolumnadeconcretoparaciertaobraportuariadebeserigualacuarentayochotoneladasmselpesodeunacolumna.Encontrarelpesodeunacolumnadeconcreto.Solucin.Seaelpesodeunacolumnadeconcreto,entonces:
xx += 485 484 =x 1 2 ton
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Ejemplo1.18Enelmomentodeescribiresteproblema,laedadactualdelpuentedeCuitzeomseltripledelaedadquetenahacecatorceaosesigualaltripledesuedadactualmenostres,cuntosaostieneahoraelpuente?Solucin.
Sealaedadactualdelpuente,entonces:( ) 33143 =+ xxx 34234 = xx 3 9aos
Ejemplo1.19Lasumadedosnmerosnaturalesconsecutivosestrece.Encontrarlosdosnmeros.Solucin.Seany 1,losnmerosnaturalesbuscados,entonces:
( ) 131 =++ xx 122 =x
716 =+= xyx
Ejemplo1.20Lasumadedosnmerosnaturalesparesconsecutivosestreintaycuatro.Encontrarlosdosnmeros.Solucin.Sean2y2 2,losnmerosnaturalesbuscados,entonces:
( ) 34222 =++ xx 324 =x
1822162 =+= xyx
Ejemplo1.21Elmayordedosnmerosnaturales imparesconsecutivoses igualacatorcemenosunterciodelmenorde
ellos.Encontrardichosnmeros.Solucin.Sean2 1y2 3,losnmerosnaturalesbuscados,entonces:
( )123
11432 +=+ xx
124296 =+ xx 328 =x
4=x 1132912 =+=+ xyx
Ejemplo1.22
Antoniovendivarillacorrugadaparaconstruirelalmacenprincipaldeuna fbrica textil.El lunesvendiciertacantidaddevarillas,elmartesladuplic,elmircoleslatriplicyeljueveslacuadruplic.SiAntoniovendi untotaldeochentavarillas,cuntasvendicadaunodelosdasmencionados?Solucin.SeaelnmerodevarillasvendidasporAntonioeldalunes,entonces:
80432 =+++ xxxx 8010 =x
8=x 324243,162,8 ==== xyxxx
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Ejemplo1.23Cincoveceslacantidaddelitrosconsumidosdeaguaenciertaobrahidrulicadebeseriguala48litrosmslacantidaddelitrosconsumidos.Encontrarlacantidaddelitrosconsumidosdeagua.Solucin.
Sealacantidaddelitrosconsumidosdeagua,entonces:5 4 8 4 4 8 1 2litrosEjemplo1.24Lasumadedosnmerosenterosparesconsecutivosesmenostreintaycuatro.Encontrarlosnmeros.Solucin.Sean2y2 2losnmerosenterosbuscados,entonces:
( ) 34222 =++ xx 364 =x
1622182 =+= xyx
Ejemplo1.25Elmayordedosnmerosenteros imparesconsecutivoses igualamenosdieciochomenosun terciodelmenordeellos.Encontrardichosnmeros.Solucin.Sean2 1y2 3losnmerosnaturalesbuscados,entonces:
( )123
11832 +=+ xx
125496 =+ xx 648 =x
8=x
13321512 =+=+ xyx
Ejercicios
1) Resuelvecadaunadelassiguientesecuaciones.
3 18 Respuesta. 9=x 2 18 48 Respuesta. 15=x 6746 3 0 8 6746 50 Respuesta. 86=x
3 50 850 Respuesta. 200=
x
6 59 78 4 Respuesta.10
19=x
2 25 8 1 0 8 6 2 Respuesta.19
98=x
2)Resuelvecadaunodelossiguientesproblemas.
a)ElaeropuertodelaCiudaddeMxicotieneeldobledeedadqueeldeMonterreymsdieciochoaos,si laedaddelaeropuertode laCiudaddeMxicoesdecuarentayochoaos, cules laedaddelaeropuertodeMonterrey?Respuesta:LaedaddelaeropuertodeMonterreyesde15aos.
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b) Encontrar un nmero tal que si se le suma dieciocho el resultado queda igual al triple delnmero.Respuesta.Elnmerobuscadoes9.
c)LaedadactualdelacarreteradePatzcuaroesigualaldoblequeladeQuiroga.Hace15aoslaedadde lacarreteraaPatzcuaroeraeltripleque ladeQuiroga.Encuentra laedadactualde lasdos carreteras. Respuesta.La carretera a Quiroga tiene actualmente 30 aos, mientras que lacarreteraaPatzcuarotiene60aos.
d)Un grupode catorceobreros tuvieronunpequeoaccidenteen la construccin,por loquetenanun ligeroadeudoconlacompaa.Dosdeellosnotraandineroenesemomento,asquepara cubrir el dao causado por todos, acordaron que doce de ellos pagaran lo que lescorresponde pagar a cada uno ms $300. Cunto es lo que debera pagar cada obreroindividualmentealpatrn?Respuesta.$1,800pesos.
e)Hallartresnmerosenterosconsecutivoscuyasumaseamenossetentaycinco.Respuesta.Losnmerosbuscadosson26,25y24.
f)Tressociosdeunamicroempresadelramodelaconstruccinrecibenelpagoporunproyectogubernamentalde6mesesdeacuerdoa sus serviciosde ingeniera,el cual fue repartidode lasiguiente manera: el primero recibi cierta cantidad, el segundo recibi seis mil setecientoscuarentayseispesosmsqueelprimero,eltercerorecibicincomildoscientospesosmsqueelsegundo. Si el monto total por el proyecto fue de cuatrocientos treinta y un mil pesos y seentregaron ciento veintitrs milpesos por impuestos al fisco, cunto recibi elprimer socio?Respuesta.Recibi$96,436pesosdesalarionetolibredeimpuestos.
g) Suponiendo que el tiempo de fraguado de una columna de concreto en condicionesambientalesdelcentrode laRepblicaenprimaveraesdeunterciodeunacolumnadelmismomaterialen lacostadeGuerrero,ysi lasumade lostiemposdefraguadodeambascolumnasesdetreintaydosdas,cuntotardacadacolumnaenfraguar?Respuesta.Laprimercolumnatarda8dasylasegunda24das.
1.7 Planteamientoysolucindeecuacionesdesegundogradoconunaincgnita.
Cualquierecuacinequivalenteaunadelaforma:
0en laque, y representannmeros reales,donde 0, se le llama ecuacinde segundogradoconunaincgnitaconcoeficientesreales.
Teoremadelfactorcero Siysonexpresionesalgebraicas,entonces 0siyslosi 0 obien 0
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Las soluciones de una ecuacin de segundo grado con una incgnita se pueden encontrar
mediante el uso de la factorizacin, utilizando el teorema del factor cero, completando el
cuadradoodirectamenteusando la frmulacuadrtica,obtenidaalcompletarelcuadradoen la
ecuacin 0.Frmulacuadrtica Si 0, lasracesosolucionesde 0estn
dadaspor
42
42
Elnmero 4se llamadiscriminantede laecuacincuadrticaysirveparadeterminar lanaturalezadelasracesosolucionesdelaecuacin.Valordeldiscriminante
Naturalezadelasracesde
Valorpositivo
Cero
Valornegativo
Dosracesrealesydiferentes
Unarazdemultiplicidad2,esdecir, Nohayrazreal
Ejemplo1.26Resolverlassiguientesecuaciones:
1)3 1 0 Resolviendoporfactorizacin3 1 0 1 0 1 0
Sumando 1 03 1 0 0
Simplificando
3 5 2 0Factorizando
3 5 0, 2 0 Porelteoremadelfactorcero ,
2
Despejandoobtenemoslassoluciones
2) 5 3 0 Resolviendocompletandoelcuadrado 5 3 3 0 3 Restando3 5 3 Simplificando
5 52 352
Completandoelcuadradosumando
aamboslados
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52 134 Factorizandoysimplificando
Sacandorazcuadradaaambosmiembros
Sumando
Simplificando
,
Soluciones
Ejercicios
1)Resolvercadaunadelassiguientesecuaciones.
a) 4 4 42 192 Respuesta. 12,8 21 == xx b) 7 1 2 0 Respuesta. 8,15 21 == xx c) 1 2 1 0 Respuesta. 14,15 21 == xx d)7 0 1 0 0 13000 Respuesta. 30,200 21 == xx
e) Respuesta.
32
95313,
32
9531321
+=
= xx
Ningunodelosdosesnmeroreal.
2)Resolverlossiguientesproblemas.
a)Lasumadeunnmeroysuinversomultiplicativoes6
13.Culeselnmero?
Respuesta.Existendosnmerosquesatisfacenlosolicitado,stosson:3
2y
2
3.
b)Uningenierocivilconstruyunabardaperimetralenunafincarectangularquetiene750m2dereay110mdepermetro.Culessonlasdimensionesdelafinca?
Respuesta.Ancho=25m,Largo=30m
c)Un topgrafoes contratadoporunejidatariopara realizareldeslindedeun terreno con lassiguientescaractersticas:ellargodelterrenoes40mmslargoqueelancho, luegoelejidatariodecidetriplicarelreadefinidainicialmente,porlotanto,compra40mmsdeanchoy80mmsdelargo.Culessonlasdimensionesfinalesdelterrenocompradoporelejidatario?
Respuesta.Ancho=100m,Largo=180m
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d) La suma de los primeros n nmeros naturales est dada por la frmula2
)1( +=
nnS .
Cuntosnmerosnaturales consecutivos, iniciando conel1,hayque sumarparaque la suma
resultanteseaiguala465?Respuesta.Sedebensumarlosprimeros30nmerosnaturales.
e) Se sabeque la sumadedosnmeros realesesuno yqueelproductode sus cuadrados estambinuno,hallartalesnmeros.
Respuesta.Losnmerosbuscadosresultanser2
51+y
2
51
f)Paracalcularlacantidaddevarillasnecesariasparareforzarunavigadeconcretodeunedificio,lacualseencuentrasujetaaflexinsimple,esnecesarioencontrarelmenorvalorpositivoparaen la expresin 0.152410.59, este resultado se debe multiplicar por 96.4286 paraobtenerelreadeacero,en,necesariapara reforzar lavigaencuestin.Cuntareadeaceroesnecesariaparareforzar laviga?SiunavarillaNo.6(3/4)aporta2.85 yunavarillaNo.8(1)aporta5.07 Cuntasvarillasydequnmeroutilizarasparareforzarlaviga?Respuesta.16.30
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2
TRIGONOMETRA
Quaprenders?
Losconceptosbsicosdelatrigonometra.
Paraqutevaaservir?
Manejaradecuadamenteconceptosdelatrigonometratepermitirresolverunagrancantidadde
situaciones que se presentan en reas del desempeo de la ingeniera civil tales como la
Topografaylas VasTerrestres,entreotras.
La trigonometra es la ramade lasmatemticasqueestudia las relacionesentre los ladosy los
ngulosde lostringulos.Lasprimerasaplicacionesde losconocimientosde latrigonometrase
hicieronenelarte,laingenieramilitar,lanavegacin,laconstruccindecaminos,laagrimensuraylaastronoma,enlasqueelprincipalproblemaeradeterminarunadistanciaounnguloqueno
podansermedidosdeformadirecta.Otrasaplicacionessepuedenencontrarenlafsicayencasi
todas las ramas de la ingeniera. En el campo de la ingeniera civil, la trigonometra es de
fundamental importancia en reas como la Topografa, la cual proporciona herramientas para
representarydescribirlasuperficiedeunterreno.
2.1ngulos
Elconceptotrigonomtricodenguloesfundamentalenelestudiodelatrigonometra.Unngulo
trigonomtricosegeneraconunradioquegira.LosradiosOAyOB,mostradosenlaFigura2.1,se
consideran inicialmentecoincidentesconOA.ElradioOBgirahastasuposicinfinal.Elnguloesentonceslaaberturaqueexisteentrelosdosradios.
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Figura2.1Representacindeunngulo.
Lamedidadeunngulosereporta,convencionalmente,conunnmeropositivosisegenerancon
unradioquegiraenelsentidocontrarioalasagujasdelreloj,yunnmeronegativosilarotacin
esenelsentidodelasagujasdelreloj(verFigura2.2).
Figura2.2Convencindesignosenmedidasdengulos.
En lamedidadengulos,seempleanvariostiposdeunidades,sibien lamsutilizadaen lavida
cotidianaeselGradoSexagesimal(unacircunferenciasedivideen360),enmatemticasesmuy
utilizado el Radin (en una circunferencia completa hay 2 radianes, recordando que valeaproximadamente3.141592654),ysedefinecomolaunidadnaturalparamedirngulos.
2.1.1Gradossexagesimales
Como se ha mencionado, las unidades de medida de ngulos ms conocidas son los Grados
Sexagesimales,seexpresancomoDEGoDenlascalculadoras,ysepuedenrepresentarpormediodeGrados(),Minutos(,)ySegundos(,,),porejemplo,201535.Estetipodemedidasestbasadoen ladivisinen360partes igualesdeunacircunferencia.Enadelante,por simplicidad,llamaremos solamentegradosa losgrados sexagesimales.En laFigura2.3 semuestranalgunosnguloscomunesconmedidasengradossexagesimales.
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Figura2.3Medidasdenguloscomunesengradossexagesimales.
Ejercicios
1)Losngulos interioresdeuncuadriltero suman360.Siunode susngulosmide128,otromidelacuartapartedestey untercerngulomide93,cuntomideelngulofaltante?Respuesta.Seaelngulofaltante,entonces 1 0 7 .2)Dosngulosestnenrazn6a7.Sielmenormide30,cuntomideelotrongulo?Respuesta.Seaelotrongulo,entonces 3 5 .3) Los ngulos interiores de un tringulo suman 180. Si uno de los ngulos interiores de untringulomide25yotromideeldobledeste,cuntomideelngulointeriorfaltante?Respuesta.Sea
elngulointeriorfaltante,entonces
1 0 5 .
4)Dosngulossuplementariossonaquelloscuyasumaesiguala180.Encuentralamedidadedosngulossuplementariossisesabequeestnenunaraznde5a7.
Respuesta.Sean y losngulossuplementariosmencionados, 7 5 y 1 0 5 .5)Dosnguloscomplementariossonaquelloscuyasumaes iguala90.Encuentra lamedidadedosnguloscomplementariossistosestnenunaraznde2a3.
Respuesta. Sean y los ngulos complementarios mencionados, entonces: 3 6 y 5 4 .
6)Sisesabequeunode losngulos interioresdeuntringulomide20,cuntomidecadaunodelosotrosdos,sieldobledeunomenoselotroesiguala50?
Respuesta.Sean y losngulosdesconocidos,entonces: 7 0 y 9 0 .7)Si, y sonlosngulosinterioresdeuntringuloysesabequeeldoblede ms esiguala145 y el ngulo es igual a ms 5, Cunto mide cada uno de los ngulos interiores deltringulo?Respuesta. 3 5 , 7 0 y 7 5 .
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2.1.2 Radianes
Existeotramedidapara losngulos llamadaRadin (rad) yes launidaddenguloplanoenel
Sistema Internacional de Unidades (SI), que se expresa como RAD o R en las calculadoras. ElRadinsedefinecomolaunidaddemedidadelngulocentralsubtendidoporunarcodelongitudigualalradiodelacircunferencia.As,sielarcoABdelaFigura2.4,tieneunalongitudigualqueelradiordelacircunferenciadada,entoncessedicequeelngulo tienelamedidadeunradin(1rad).
Figura2.4Representacingrficadeunradin.
EnlaFigura2.5semuestranalgunosnguloscomunesconmedidasenradianes.
Figura2.5Medidasdenguloscomunesenradianes.
La medida de cualquier ngulo expresada en radianes est dada por la longitud del arco decircunferenciaquelosubtiende,divididoporlalongituddelradio,esdecir
(2.1)donde es lamedidadelnguloen radianes subtendidoporelarcode circunferencia, Ses lalongituddeestearcoyreslalongituddelradio(verFigura2.6).
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Figura2.6Longituddearcodeunacircunferencia
Conbaseen loanterior, sepuede calcular la longituddeunarcode circunferencia; slobastamultiplicar la longitud del radio por la medida del ngulo en radianes, lo que a partir de laecuacin(2.1)sepuedeexpresarcomo
S r (2.2)Ejemplo2.1Calcularlalongituddelarcodeunacircunferenciaconradiode4cm,limitadoporunngulo 2.5 rad.Solucin.Utilizandolaecuacin(2.2)ysustituyendosetieneque
S 4.002.50 10.00 cmEjemplo2.2Calcularelnguloentre losdosradiosquesubtiendenunarcode30cmde largodeunacircunferenciaderadiode25cm.Solucin.Utilizandolaecuacin(2.1)ysustituyendosetieneque
30.0025.00 1.20 radTambin,sepuededeterminarelreadeunsectorcircular(Figura2.7)apartirdelalongituddesu radioy lamedidaexpresadaen radianesdelnguloquedeterminadichosectormediante lasiguienterelacin:
A r (2.3)DondeA es el readel sector circular, r es la longituddel radio de la circunferencia y es lamedidaexpresadaenradianesdelnguloquedeterminaelsectorcircular.
Figura2.7readeunsectorcircular.
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Ejemplo2.3Calcularelreadelsectorcirculardeunacircunferenciacon radiode20cm,determinadaporunngulo 3.1416 rad.Solucin.
Utilizandolaexpresin(2.3)ysustituyendovalores,setiene
12 203.1416 628.32
Ejercicios
1)Encuentralalongituddearcoyelreadelsectorcircularparacadaunodeloscasossealados.
a)r=20cm, 3.5 rad. Respuesta.70cmy700cm2b)r=12km, 4 rad. Respuesta.3 kmy18 kmc)r=200m,
2 rad. Respuesta.
100my
10000 m
2)Si se conoce la longituddelarcoyel radiode lacircunferencia,calculaelngulomedidoenradianesparacadaunodeloscasossealadosacontinuacin:
a) r=25cm,S=10cm. Respuesta. 0.40 rad.b) r=15m,S=90cm. Respuesta. 0.06 rad.c) r=2km,S=6283m. Respuesta. 3.1415 rad.
3) Lospuntos A yB estnubicados en la superficiede la Tierra. Si el dimetrodelplaneta esaproximadamentede12754km,determina ladistanciaentreAyB, sielngulo formadoporestospuntosyelcentrodelaTierratienelassiguientesmedidas:
a) 3 rad. Respuesta.S 6677.98 km.b) 0.017 rad. Respuesta.S 108.41 km.c) 6 rad. Respuesta.S 3338.99 km.
2.1.3 Relacinentregradossexagesimalesyradianes
Si,en laexpresin(2.1),Ssesustituyeporelpermetrode lacircunferencia,esdecirporS 2 r,seconcluyeque lamedidaenradianesdelngulocorrespondienteaungirocompletodelradiodeunacircunferenciaestdadopor
2rr 2 radEntonces, 2 rad corresponde a la medida del ngulo de un giro completo del radio de unacircunferencia,de lamismamaneraque360 correspondea lamedidadedichongulo,por lotanto
2 rad360 (2.4)
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Aldividir360entre2sepuedeverqueunradinesaproximadamente57.2958.Enaplicacionesprcticassetomanlassiguientesaproximaciones
1rad=57.3 (2.5)1=0.01745rad (2.6)
2.1.4 Conversindengulos
Comosemencionanteriormente,unamaneradeexpresar lamedidadeunnguloesmediantelos grados sexagesimales (grados, minutos y segundos), por ejemplo, un ngulo expresado engrados,minutosysegundoses154030.Esnecesariomencionarqueungradocontiene60minutos y a su vezunminuto contiene 60 segundos. El ngulode ejemplo, tambin sepuedeexpresarnicamenteengrados,entalcaso,losminutosylossegundosseconviertenendecimalesrepresentandolafraccindegradoquecorresponda.Deestamanera,elngulo
154030se
puedeexpresarcomo15.675haciendolassiguientesoperaciones:1. Sedividenlossegundosentre60yelresultadosesumaalosminutos.2. Sedividenlosminutosresultantesdelaoperacinanteriorentre60yelresultadosesuma
alosgrados.
Ejemplo2.4Convertiragradoselngulo=1401536Solucin.Dividimoslos36entre60
36/60=0.6
Esteresultadosesumaalos15
15+0.6=15.6
Ahoraelnguloquedaexpresado14015.6.Dividimoslos15.6entre60
15.6/60=0.26
Esteresultadosesumaalos140quedandofinalmente
=140.26
Paraconvertirdegradosagrados,minutosysegundosseprocedecomosigue:
1. Setomalaparteenteracomogrados2. Semultiplicanlosdecimalespor60ylaparteenteradelresultadoseexpresaenminutos.3. Losdecimalesqueresultarondelamultiplicacindelpasoanteriorsevuelvenamultiplicarpor60yelresultadoseexpresaensegundos.
Ejemplo2.5Convertiremosagrados,minutosysegundos =143.685Solucin.Escribimoslosenteroscomogrados,esdecir143ymultiplicamoslosdecimalespor60
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(0.685)(60)=41.1
Escribimos los enteros del paso anterior como minutos 143 41, posteriormente, multiplicamos losdecimalespor60
(0.1)(60)=06
Escribimoselresultadodelpasoanteriorcomosegundos,quedandofinalmente
=1434106
Losgradossexagesimalesylosradianessonunidadesangularesdiferentes,perosepuedehacerlaconversin de unos a otros. Los ingenieros y tcnicos utilizan ms los grados, mientras que lamedidaenradianesseusaenreascomoenelclculo,debidoalamayorsimplicidaddeciertosresultados.
Para cambiar un ngulo expresado en grados a radianes o viceversa, se pueden realizar lassiguientesoperaciones:
1. Degradosaradianessemultiplicapor
2. Deradianesagradossemultiplicapor
Ejemplo2.6Convertir=90aradianesSolucin.
90 1.57 radEjemplo2.7Convertir=571745aradianesSolucin.Primeroconvertir571745agradoscondecimales
45/60=0.755717.75
17.75/60=0.2958=57.2958
Ahorayapodemosconvertir57.2958aradianes
57.2958 rad180 1.00 radEjemplo2.8Convertir=0.2748radianesagradosSolucin.
0.2748 rad 180 rad15.7449Ejemplo2.9Convertir=3.655radianesagrados,minutosysegundosSolucin.
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Primeroconvertiremosagrados
3.655 rad 180
rad209.416
Paradespusconvertirstosagradosminutosysegundos,segnseexplicanteriormente:
2092457.60
Ejercicios
1)Convierteagrados,minutosysegundoslossiguientesngulosexpresadosenradianes.
a)
3.1416 rad. Respuesta.
1800001
b) 0.75 rad. Respuesta.425818.60c) 0.0625 rad. Respuesta.33451.55d) 5.2865 rad. Respuesta.3025338.90
2)Conviertearadianeslossiguientesngulosexpresadosengrados,minutosysegundos.
a)374100. Respuesta. 0.6577 radb)1152627. Respuesta. 2.0148 radc)2883952. Respuesta. 5.0381 radd)830018. Respuesta. 1.4487 rad
3)Encuentralalongituddearcoyelreadelsectorcircularparacadaunodeloscasossealados.
a)r=20cm, =2.5rad. Respuesta.S=50cmyA=500cm2b)r=12km, =17.256. Respuesta.S=3.61kmyA=21.68km2c)r=200m, =3052503. Respuesta.S=1066.11myA=106611m2
4)Si se conoce la longituddelarcoyel radiode la circunferencia, calculaelnguloengrados,minutosysegundosparacadaunodeloscasossealadosacontinuacin:
a)r=25cm,S=75cm. Respuesta.1715314.42b)r=15m,S=75cm. Respuesta.25153.24c)r=2km,S=12566.37m. Respuesta.
3595959.94
5) Lospuntos A yB estnubicados en la superficiede la Tierra. Si el dimetrodelplaneta esaproximadamentede12754km,determina ladistanciaentreAyB, sielngulo formadoporestospuntosyelcentrodelaTierratienelassiguientesmedidas:
a) 60. Respuesta.S 6677.98 km.b) 1 . Respuesta.S 111.30 km.c) 4 5 . Respuesta.S 5008.48 km.
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34
2.2Razonestrigonomtricas
Enprimerlugar,conbaseenlaFigura2.8,debemosrecordarlossiguientesconceptos:
Untringulorectnguloesuntringuloquetieneunngulorecto,esdecir,unnguloquemide90.
Enuntringulorectngulo,elladomsgranderecibeelnombredehipotenusaylosotrosdosladossellamancatetos.
TeoremadePitgoras:Enuntringulorectngulo,elcuadradodelahipotenusaesigualalasumadeloscuadradosdeloscatetos,esdecirr x y.
Figura2.8Tringulorectngulo.
LasRazonesTrigonomtricassonvaloressinunidadesquedependendelamedidadeunngulo.Estas razones se pueden definir a partir de un tringulo rectngulo, como el de la Figura 2.8,obtenindoseseisrazonesentre los ladosde lostringulosmostrados:y r ,x r ,y x ,x y ,r x yr y .Cadaunadeestasrazonestieneunnombre:seno,coseno,tangente,cotangente,secanteycosecante,respectivamente.Deestamanera,lasrazonestrigonomtricasquedandefinidascomo:
Seno:
senyr (2.7a) Cosecante:
cscry (2.7d)
Coseno: cos xr (2.7b) Secante: secrx (2.7e)
Tangente: tan yx (2.7c) Cotangente:
cot xy (2.7f)En laFigura2.9semuestran losngulosdedostringuloscomunes,porejemplo,si 4 5 ,deacuerdocon laexpresin (2.7a)setienequesen451 2 ;ysi 6 0 ,deacuerdocon laexpresin(2.7c)setienequetan60 3 1 3.
Figura2.9ngulosdetringuloscomunes.
En laTabla2.1sepuedenobservaralgunosvaloresde lasprimerastresrazonestrigonomtricasparangulosfrecuentementeutilizados(notables).
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35
Tabla2.1.Valoresdesen(),cos()ytan()paraalgunosvaloresde.
Grados 0 30 45 60 90 120 135 150 180
radianes 0 /6 /4 /3 /2 2/3 3/4 5/6 sen() 0 1/2 2/2
3/2 1 3/2 2 /2 1/2 0
cos() 1 3/2 2/2
1/2 0 1/2 2 /2 3/2 1
tan() 0 3/3 1 3 ND 3 1 3/3 0
En laFigura2.10semuestraunamaneradedeterminarelsignode losvaloresde las funcionestrigonomtricas:Sielnguloseencuentraenel intervalo0 9 0 (primercuadrante)todaslasfuncionestrigonomtricasadquierenvalorespositivos;sielnguloseencuentraenelintervalo9 0 1 8 0 (segundo cuadrante), todas las funcionesadquierenvaloresnegativos,exceptosenycsc.Sielngulo seencuentraenel intervalo1 8 0 2 7 0 (tercercuadrante),todossonnegativosexceptotanycotyporltimo,sielnguloseencuentraenelintervalo2 7 0 3 6 0 (cuartocuadrante),todossonnegativosexceptocosysec.
Figura2.10Signodelosvaloresdelasfuncionestrigonomtricas.
Lasfuncionescuyosvaloresserepitenenintervalosregularessellamanperidicas.Lasfuncionestrigonomtricassonperidicasyelperodoparasen,cos,secycsces2(o360);paratanycot es(o180).Porejemplo,
sen0sen360sen2=0cos 4 cos 4 2 cos9 4 =0.7071tan30 tan210 tan 6 tan 6 tan7 6 =0.5773Deestamanera,elperodoeselmenorintervalodeldominio,luegodelcualelvalordelafuncinperidicasevuelvearepetir.Laamplitudeselvalorabsolutodelamitaddeladiferenciaentreel
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valor mximo y el valor mnimo que tiene la funcin. La Figura 2.11, ejemplifica estos dosconceptos.
Figura2.11Perodoyamplituddeunafuncintrigonomtrica.
Cuando se representan las funciones trigonomtricas en el plano coordenado, usualmente sedenotalavariableindependienteconenvezde,aunqueseconservanlasmedidasenradianes.LaFigura2.12muestralasgrficasdelasseisfuncionestrigonomtricaselementales,enlascuales
se pueden identificar tanto el perodo y los valores mximos y mnimos que adquieren estasfunciones.
Estasrazonestienenunaaplicacinmuy importanteen latrigonometra,yaqueseutilizanen ladeterminacindeloselementosdeuntringulorectngulo,locualresultamuytilpararesolverproblemasrelacionadosconlaingeniera.
Ejemplo2.10
SabiendoquesenA ,calcularlasdemsrazonestrigonomtricasdelnguloA.Solucin.De la informacindada,referidaauntringulorectngulo,seconcluyequeelcatetoopuestoalnguloAmide4unidades,mientrasquelahipotenusadeltringulomide5unidades.UsandoelteoremadePitgorasseencuentraqueelcatetoadyacentealnguloAmide3unidades,luegoentonces
senA , cosA , tanA , cscA , secA , cotA Ejemplo2.11
SabiendoquetanA ,calcularlasdemsrazonestrigonomtricasdelnguloA.Solucin.De la informacindada,referidaauntringulorectngulo,seconcluyequeelcatetoopuestoalnguloAmide3unidades,mientrasqueelcatetoadyacenteadichongulomide8unidades.Usandoelteoremade
Pitgorasseencuentraquelahipotenusadeltringuloencuestinmide73unidades,luegoentonces
senA , cosA , tanA , cscA , secA , cotA
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a)fxsenx b)fxcosx
c)
fxtanx d)
fxcotx
e)fxsecx f)fxcscxFigura2.12Grficasdefuncionestrigonomtricascircularesdirectas.
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Ejemplo2.12Elcordeldeunpapaloteseencuentratensoyformaunngulode46con lahorizontal.Encontraremos laalturadelpapaloteconrespectoalsuelosielcordelmide9.2metrosyelextremo inferiorde lacuerdase
sostienea1.25metrosarribadeunpisohorizontal.
Figura2.13Ejemplo2.12.
Solucin.Sea h la altura del papalotemedida a partir del punto que se encuentra a 1.25 m del suelo, entonces,partiendodeladefinicin(2.7a)setieneque
46 9.2 9.2 46 6.62 1.25 6.62 7.87 Ejemplo2.13DesdeunpuntoAenlaorilladeunroseveunrboljustoenfrenteenlaotraorilla.Sisecamina105mroabajo,por laorillarectadelro, llegamosaunpuntoBdesdeelqueseveelrbolformandounngulode33conestaorilla.Calcularemoselanchodelro.Solucin.Seahelanchodelro,entonces,partiendodeladefinicin(2.7c)setieneque
33 105 105 33 68.19 Ejercicios
1)Siladistanciadeunpuntodelpisoalabasedeunedificioesde13m,yelngulodeelevacinalapartemsaltadelaconstruccinesde44,determinarlaalturadeledificio.
Respuesta. m55.12
Piso
h
46
9.2 m
1.25 m
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2)Dngu
3)Dequelcon
4)Duna
post
5)De
dista
6) CubicseesylapfuedA,B
ngude4altura)Lateodsem
sdeunpunlodeelevaci
sdeelpuesosnguloslfarosond
terminarlaistanciade
esde30.
sdeunator
ncia
de
la
to
ando se pdoenelputacionayseartemsalte3150.ACestne
loqueexist12;enesqueenlalongituddellito
y
la
verestraenla
todelpisonde48
odeobseredepresin28y55r
altura(L)d25mapart
ede35md
rre
se
encue
esentan diftoA,alavnivelaelapadelcerro.50metrosunmismoentrelahota segundastacinA,psegmentotical
CF,
conFigura2.14.
Figura
lejadode lqudistan
acindeun(haciadebspectivame
unpostedirdelabase
ealtura,un
ntra
dicho
o
icultades prticalCFquaratoenelLamedidadelaestaciplanoverticrizontalylaestacinsearalocualsF,
esdecir,lsiderando
u
2.14Esquem
Respuest
39
basedeuiaestlato
farode35jodelahornte.Calcula
eenergaeldelpostee
hombreobs
bjeto?
ra determipasaporeuntoAyseenguloprnA,sobreeal,semarcpartemsaprocurquecolocunaalturah.bna
altura
de
adelcorted
a.a)h=219.
atorrederredelpunt
dealturaizontal)dedladistanci
ctricaapalnguloent
ervaunobj
ar la distalpuntomsmideelnmedioobtlmismoalinelpuntoBltadelcerroquedaraemiraenun)Ladistancil
aparato
de
uncerrodel
5m;b)dH=
70metrosodeobserv
Resp
sobreelnivosbarcos,squesepara
Resp
rtirdelasigreelsuelo
Resp
toinclinand
Resp
ncia horizoaltodeunculoqueexinidadelaseamiento,edondeseecuyopromlanteojodlugarinterahorizontal
1.58
metro
ejercicio6.
352.84mc)
dealtura,scin?
esta. 0.153
ldelmar,situadosenlaambosba
esta. 31.41
uienteinforlapartesu
esta. 43.14
osuvista5
esta. 37.29
tal dH delerro(verFigteentrelamedicionessdecir,cuidtacionysdio,enestelaparatoaedioM.DedHqueexists.
c)
El
valor
H=220.63m
mideun
m
eobservanearectarcos.
m
acin:aperiordel
.Aqu
teodolito,ura2.14),orizontalealizadasandoquemidielcaso,fuelamismaterminar:eentreelde
H
que
.
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2.3 Identidadestrigonomtricas
En matemticas, las identidades trigonomtricas son igualdades que involucran razonestrigonomtricas,verificablesparacualquiervalordelasvariablesqueseconsideren.
2.3.1 IdentidadesTrigonomtricasFundamentales
1. tan 2. cot 3.sec 4.csc 5. cot 6. sen sen 7. cos 8. tan tan 9. sen
10. cos
11. tan 2.3.2 IdentidadesPitagricas
1. 1 2. 1 3. 1 2.3.3 Identidadesdefuncionestrigonomtricasconsumayrestadengulos
1. 2. 3. 4. 5. 6.
2.3.4 Identidadesdefuncionestrigonomtricasconngulosdobles
1. 2 2 2.2 3. 2 2 1 4.2 2.3.5 Identidadesdeproductosdefuncionestrigonomtricas
1. 2 2. 23. 2
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4. 5.
6. 2.3.6 Identidadesdesumasyrestasdefuncionestrigonomtricas
1. 2 2.
2
3. 2 4. 2
Ejemplo2.14Sisen()=4/5y esunnguloagudo,hallaremoslosvaloresexactosdesen(2)ycos(2).Solucin.Si seconsideracomounnguloagudodeuntriangulorectngulo,seobtienecos()=3/5.Acontinuacinsesustituyeenlasfrmulasdengulodoble.
sen(2)=2sen()cos()=2
5
3
5
4=
25
24
cos(2)=cos2()sen
2()=
25
7
5
4
5
322
=
Ejemplo2.15Demostrarquetan(a)+cot(a)=sec(a)csc(a)Demostracin.
=+ )cot()tan( aa =+
=+)()cos(
)(cos)(
)(
)cos(
)cos(
)( 22
asena
aasen
asen
a
a
asen)csc()sec(
)()cos(
1aa
asena=
Ejemplo2.16Demostrarquesec(a) cos(a) = sen(a)tan(a)Demostracin.
= )cos()sec( aa ==
=)cos(
)(
)cos(
)(cos1)cos(
)cos(
1 22
a
asen
a
aa
a)tan()(
)cos(
)(
1
)(aasen
a
asenasen=
Ejemplo2.17Demostrarquesec
2(a)+csc
2(a) = sec
2(a)csc
2(a)
Demostracin.
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=+ )(csc)(sec 22 aa
=+
=+)()(cos
)(cos)(
)(
1
)(cos
122
22
22asena
aasen
asena)(csc)(sec
)()(cos
1 2222
aaasena
=
EjerciciosDemostrarsisecumplenlassiguientesidentidadestrigonomtricas
1) ( ) ( ) 22 sectan1 =+
2) ( )
( )( )( ) 1cos
1cos
sec1
sec1
+=
+
3) ( ) ( ) ( ) 442 cos12 = sensen
4) [ ] [ ] ( ) 2)cos(1)cos(1 sen=+
5) ( )
( )( )( )
1sec
cos
csc=+
sen
2.4Ecuacionestrigonomtricas
Una ecuacin trigonomtrica es cualquier ecuacin o igualdad que contiene expresionestrigonomtricas.Siunaecuacin trigonomtricanoes identidad,amenudosehallansoluciones
aplicandotcnicassemejantesa lasusadasparaecuacionesalgebraicas.Ladiferenciaprincipales
queprimeroseresuelve laecuacintrigonomtricapara )cos( , )(sen o )tan( ,y luegose
hallanlosvaloresde quelasatisfagan.Lassolucionessepuedenexpresarenradianesogrados.
Ejemplo2.18
Encontrarlosvaloresde queresuelvanlaecuacintrigonomtrica 2/1)( =sen para 1800 Solucin.
Sesabeque 2/1)30()6/( ==senradsen (vertabla2.1),por lotanto, == 306/ rad ,esunasolucindelaecuacintrigonomtrica.Elrazonamientoanteriorsepuedeexpresarcomo
2/1)( =sen
)2/1(arcsen= rad6/=
La expresin arcsen
2
1 se interpreta como el ngulo cuyo seno es . (nota: las calculadoras
manejan el arcsen(x) como sen1(x)). Cabe mencionar que tambin las otras razonestrigonomtricascuentanconexpresionesequivalentes.Con el auxilio de la identidad , enlistadaanteriormente,sepuedeobservarengeneralque:
180180180
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Delatabla2.1,setieneque1800y1801,luegoentonces:180
Dedondesedesprendequesi esunasolucindelaecuacindada,tambinloser180sison grados sexagesimales y en radianes. Por este motivo, la solucin encontrada en elejemplo 2.18 no es nica, pues es fcil darnos cuenta que ( )
2
1
6
5150 =
= radsensen
tambin,luegoentoncesotrasolucindelaecuacindadaresultaser rad6
5= .
Ejemplo2.19
Encontrarunvalorde queresuelvalaecuacintrigonomtrica 2/1)cos( = ,para 1800 .Solucin.
Sesabeque 2/1)60cos()3/cos( ==rad (vertabla2.1),por lotanto, == 603/ rad ,es lasolucindelaecuacintrigonomtricadada.Elrazonamientoanteriorsepuedeexpresarcomo
2/1)cos( =
)2/1arccos(=
rad3/=
Enestecasolasolucinesnica,puesnoexisteotronguloentre0y180cuyocosenotambinseaiguala,puesenlaFigura2.10seobservaqueelcosenotomavalorespositivossielnguloesmayoroigualque0ymenorde90,mientrasquesielnguloesmayorde90ymenoroigualde180susignoesnegativo.
Ejemplo2.20
Los ladosadyacentesdeunrectngulomiden22.9my30.2mrespectivamente.Determinarcuntomidecadaunodelosngulosqueformaunadelasdiagonalesdelrectnguloconcadaunodelosladosdeste,ascomolalongituddecualquieradeladiagonales.Solucin.
Sean ylosngulosagudos formadospor ladiagonalydosde los ladosadyacentesdel rectngulo,entonces
2.30
9.22)tan( =
=
= 17.37
2.30
9.22arctan
9.22
2.30
)tan( =
=
= 83.52
9.22
2.30arctan
( ) ( ) md 9.372.309.22 22 =+=
Ejemplo2.21EncontrarelngulodeelevacindelSolsiunhombrede1.74mdeestaturaproyectaunasombrade80cmdelongitudenunpisohorizontal.Solucin.
Sea elngulodeelevacin,entonces
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8.0
74.1)tan( =
=
=
31.658.0
74.1
arctan
Ejercicios
1)Enuntringulorectngulo,unodelosngulos interioresmide63.Cuntomidecadaunodelosotrosdosngulosinteriores?
Respuesta.Sean y losotrosdosngulosinteriores,entonces: = 27 y = 90 .
2) Resuelve cada una las siguientes ecuaciones (los ngulos deben estar el intervalo 0 180)a) ( ) 012 =sen Respuesta. == 150,30 21 b) ( ) ( ) 022 = sensen Respuesta. 0, 180
2.5 Leydelossenos
Laleydelossenosesunarelacindetresigualdadesquesecumpleentrelos ladosyngulosdeuntringulo,yqueestilpararesolverciertostiposdeproblemasrelacionadoscontringulos.
Laleydesenosdicequelaraznentrelalongituddecadaladoyelsenodelnguloopuestoalenuntringuloesconstante.
SiobservamoslaFigura2.15,laleydesenosseescribecomosigue:
)()()( sen
c
sen
b
sen
a== (2.8)
Figura2.15Tringulodereferenciaparalaleydelossenosylaleydeloscosenos.
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ResolucindetringulosmediantelaLeydelossenos
Resolveruntringulosignificaobtenerelvalordelalongituddesustresladosylamedidadesustresngulos internos.Pararesolvertringulosquenosontringulosrectngulosresultamuytilusarlaleydesenos,principalmentecuandoseconocendosdesusladosyelnguloopuestoaunodeelloso cuando se conocendosngulosy cualquier lado.Teniendocuidadoalaplicarlaenel
casodetringulosobtusngulos,puesrecordemosque ( ) sensen = )180( .
Ejemplo2.25Resolvereltringulodelqueseconocenlossiguientesdatosa=9.30m,b=5.40my =30.80Solucin.
DeacuerdoalaLeydelossenos
)()( sen
b
sen
a= ,
Esdecir,)(
4.5
)8.30(
3.9
sensen= ;
3.9
)8.30(4.5)(
sensen = ; =17.30
Comolostresngulosinternosdecualquiertringulosuman180,
+ + =180;30.80+17.3+ =180; =131.90
yutilizandonuevamentelaLeydelossenos,)()( sen
c
sen
a=
)9.131()8.30(
3.9
sen
c
sen= ;
)8.30(
)9.131(3.9
sen
senc= ; c=13.52m
Enresumen:a=9.30m,b=5.40m,c=13.52m, =30.80, =17.30y =131.90.
Ejemplo2.26Resolveruntringulodelcualseconocenlossiguientesdatosa=21cm, =35y =64Solucin.
DeacuerdoalaLeydelossenos)()( sen
b
sen
a= ,
Esdecir,)64()35(
21
sen
b
sen= ;
)35(
)64(21
sen
senb= ;b=32.90cm
Comolostresngulosinternosdecualquiertringulosuman180, + +=180;35+64+=180; =81
yutilizandonuevamentelaleydelossenos,)()( sen
c
sen
a =
)81()35(
21
sen
c
sen= ;
)35(
)81(21
sen
senc= ;c=36.16cm
Enresumen:a=21.00cm,b=32.90cm,c=36.16cm, =35, =64y =81.
Ejemplo2.27UngloboseencuentraentredospuntosAyBcuyaseparacinesde16metros.ElglobosepuedeobservardesdeelpuntoAconunngulodeelevacinde56ydesdeelpuntoBconunngulodeelevacinde82.DeterminaremosladistanciaquehaydesdeelglobohastaelpuntoAyhastaelpuntoB.Solucin.
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SeaaladistanciaentreelgloboyelpuntoB,ybladistanciaentreelgloboyelpuntoA,entonces
( ) ( )16
4256 =
sen
a
sen
;
( )( )
msen
sena 82.19
42
5616=
=
( ) ( )16
4282 = senb
sen
;
( )( )
msen
senb 68.23428216 =
=
Ejemplo2.28EnlaFigura2.16seilustraunpanelsolarde3mdeanchoquedebeinstalarsesobreuntechoquetieneunainclinacinde25respectoalahorizontal.Calcularemoslalongitudquerequieretenerlabarraparaqueelpaneltengaunainclinacinde45conlahorizontal.
Figura2.16Panelsolar
Solucin.
( ) ( )x
sensen =
20
3
115;
( )( )
msen
senx 13.1
115
203=
=
Ejemplo2.29Desdeunpuntoenlacalleseobservaelextremosuperiordeunedificiocuyapartemsaltaformaconelsuelounngulodeelevacinde55.Sielpuntodeobservacinsealeja35m,elnguloformadoresultaserde45.Calcularlaalturadeledificio.Solucin.Seah laalturadeledificio,d ladistanciadelprimerpuntodeobservacinhastaelextremo superiordeledificioyxladistanciaexistenteentreelpuntodelsueloenelcualelngulodeelevacinesde55ylabasedeledificio,entonces
x
h=)55tan( ;
35)45tan(
+=
x
h;
( ) mx 75.81
155tan
35=
=
( ) mmh 75.116)55tan(75.81 == ;( ) ( )
= 4510
35sen
dsen
( )( )
msen
send 52.142
10
4535=
=
25
barra
3 m
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Ejercicios
Resolver,utilizandolaLeydelossenos,lostringulosdeacuerdoalossiguientesdatos:
1) = 41 , = 77 y a=10.5cm Respuesta. = 62 ; 5945.15=c ; 1313.14=b
2) = 20 , = 31 y b=210m Respuesta. = 129 ; 2328.316=c ; 1668.477=a 3) = 17.42 ,a=5.01mm y b=6.12mm
PrimeraRespuesta. = 0919.55 ; = 7381.82 ; 4029.7=c
SegundaRespuesta. = 9081.124 ; = 9219.12 ; 6688.1=c
4) '5050= , '3070= y c=537pies
Respuesta. '20121= ; 6765.441=b ; 5922.486=a
5) '2053= ,a=140cm y c=115cm
PrimeraRespuesta. = 5535.77 ; = 1131.49 ; 3878.108=b
SegundaRespuesta. = 4465.102 ; = 2201.24 ; 8165.58=b
2.6 Leydeloscosenos
LaleydeloscosenosesunaextensindelteoremadePitgorasyaquestapuedeseraplicableacualquier tipo de tringulo y no solamente a los tringulos rectngulos. La ley de los cosenospuedeenunciarsede lasiguientemanera:el cuadrado de un lado de un tringulo es igual a lasuma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos dos lados
multiplicadoporelcosenodelnguloqueforman.SiaplicamosesteteoremaaltringulodelaFigura2.15seobtienentresrelaciones:
2 (2.9a) 2 (2.9b) 2 (2.9c)Estaleyresultamuytilpararesolvertringuloscuandoseconocendosdesus ladosyelnguloentreellosocuandoseconocensustreslados.
Ejemplo2.30Resolvereltringulodelqueseconocenlossiguientesdatosa=5m,c=8my =77.Solucin.
De acuerdo a la ley de los cosenos, ( )cos2222 accab += , es decir,( )77cos)8)(5(285 222 +=b ; b=71m2; b=8.43m
ParaconocerotrodelosngulosusamoslaLeydelossenos,( ) ( ) sen
b
sen
a=
( ) ( )7743.85
sensen=
;
( )43.8
775sensen = ; =35.32
Comolostresngulosinternosdecualquiertringulosuman180, + + =180;35.32+77+ =180; =67.68
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48
Ejemplo2.31Resolvereltringulodelqueseconocenlaslongitudesdesustreslados:a=15m,b=12m y c=6m.Solucin.
DeacuerdoalaLeydeloscosenos, )cos(2
222
bccba +=
bc
acb
2)cos(
222 += ;
)6)(12(2
15612)cos(
222 += ; cos()=0.3125
)3125.0arccos(= ; =108.21
UsandonuevamentelaLeydeloscosenos, )cos(2222 accab +=
46.49;65.0)6)(15(2
12615
2)cos(
222222
==+
=+
= ac
bca
Comolostresngulosinternosdecualquiertringulosuman180, + + =180;108.21+49.46+ =180; =22.33
Ejemplo2.32Doscorredorespartendeunmismopunto.Unosalehaciaelsuresteconunngulode60conrespectoaladireccinsur,yelotrosaleendireccinsur.Sielprimeromantieneunavelocidadde8km/hyelotrounavelocidad de 10 km/h, determinaremos la distancia entre los dos corredores despus de 3 horas derecorrido.Solucin.Seadladistanciaqueseparaalosdoscorredores3horasdespusdeiniciadosurecorrido,entonces
( ) ( ) ( )( ) )60cos(302423024 222 +=d ; 7562 =d ; kmd 5.27=
Ejercicios
Resolverutilizandolaleydeloscosenoslostringulosdeacuerdoalossiguientesdatos:
1) = 60 ,b=20cm y c=30cm.
Respuesta. 26.46 cm; = 89.40 ; = 11.79 2) '10115= ,a=1.10m y b=2.10m.
Respuesta.c 2.75 m; = 19.21 ; = 64.43 3) '5073= ,a=87mm y c=14mm.
Respuesta. 84.18 ;96.9755; = 1911.9 4)a=20m, b=20m y c=10m.
Respuesta.
75.5225;
75.5225; = 9550.28
5)a=2pies, b=3pies y c=4pies.
Respuesta.28.9550;46.5675; = 4775.104
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49
3
GEOMETRAANALTICA
Quaprenders?
Conceptosbsicosde lageometraanaltica,comopunto,segmento, lnea recta,circunferencia,ascomoelclculodepermetrosyreasdepolgonos.
Paraqutevaaservir?
Manejar adecuadamente los conceptos tratados en la geometra analtica tepermitir resolver
unagrancantidaddesituacionesquesepresentanen laTopografaoen lasVasTerrestres,as
como para modelar situaciones de la vida diaria en las que se encuentran relacionadas dos
cantidades, donde los valores de una dependen de los de la otra, que son casos que puede
enfrentarelIngenieroCivil.
Lageometra
analtica, es la parte de las matemticas que establece una conexin entre el
lgebra y la geometra euclidiana, y en la cual se estudian figuras referidas a un sistema de
coordenadas.
3.1Distanciaentredospuntos
Ladistancia ABd entredospuntos( )11,yxA y ( )22,yxB olalongituddelsegmentoAB ,puede
sercalculadamediantelafrmula:
( ) ( )2122
12 yyxxdAB += (3.1)
Ejemplo3.1
Calcularladistanciaalaqueseencuentranlospuntos ( )2,3A y ( )4,7B .Solucin.
Aplicandolafrmulaanteriorsetiene: ( ) ( ) 52202437 22 ==+=ABd
Ejercicios
1)Hallarlaslongitudesdelosladosdeltringuloconvrtices2, 3,6,1y2,5.Respuesta. 8,8 0 45,8 0 45.
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2)Serequierecolocarunposteparainstalarenlapartesuperiordelunalmparaqueilumineun
jardnquetieneformatriangularydondesesabequelasesquinasdeljardn,referidasauncierto
sistemadecoordenadascartesiano,selocalizanenlospuntos )0,3(A , )7,0(B y )4,7(C .a)Culessonlascoordenadasdelpuntodeljardn,endondedebecolocarseelposteparaquela
lmparaqueestaren lapartesuperiordeste,se localicea igualdistanciadecadaunode los
vrticesmencionados?
Respuesta. ( )2,2 .
b)Qudistanciaexisteentreelpostemencionadoycadaunodelosvrticesdeljardn?
Respuesta. mm 385.529
3.2Divisindeunsegmentoenunarelacindada
Puntodedivisineselquedivideaunsegmentoenunarelacindada.Consideremoslospuntos, y , y la recta que determinan. Sea , un tercer punto que divida alsegmento en la relacin
. Como y son del mismo sentido, dicha relacin es
positiva.Sielpuntodedivisin,estuvierasituadoenlaprolongacindelsegmento,aunouotro lado del mismo, la relacin
sera negativa, ya que y tendran sentidos
opuestos.
Figura3.1
Divisindeunsegmento
TeniendoencuentalostringulossemejantesdelaFigura3.1, .
Despejando, . (3.2)
Anlogamente,
. (3.3)
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Enelcasoparticularenque,eselpuntomediodelsegmentodirigido,es 1demaneraque
,
.
Ejemplo3.2Hallarlascoordenadasdeunpunto,quedividaalsegmentodeterminadopor1,7y 6,3enlarelacin 2 / 3.Solucin.Comolarelacinespositiva,yhandeserdelmismosentidoy,portanto,elpunto ,estarsituadoentrelospuntosdadosexternosdelsegmento.
23
1 1 6
1 3 ;
1 7 3
1 3
Elpuntobuscadoes(3,3).
Ejercicios
1)Hallarlascoordenadasdeunpunto,quedividaalsegmentodeterminadopor2,1y3,4enlarelacin 8 / 3.Respuesta. (6,7)
2) El extremodeundimetrodeuna circunferenciade centro4,1 es2,6.Hallar lascoordenadas
,delotroextremo.
Respuesta.(10,4)
3) Hallar las coordenadasde los vrticesdeun tringulo sabiendoque las coordenadasde lospuntosmediosdesusladosson(2,1),(5,2)y(2,3).Respuesta.(1,6),(9,2),(5,4).
3.3Clculodepermetrosyreasdepolgonos
Paradeterminarelpermetrodeunpolgono,sesumanlaslongitudesdecadaunodesuslados.Si
n es elnmerode ladosdelpolgono y id es la longituddel lado i,entonces elpermetrodel
polgono, polp ,estdadopor:
(3.4)Paracalcularelreadepolgonosdenlados,quenoseentrelazan,ycuyosvrticesselocalizanen
lospuntos ( )111 ,yxA y ( )222 ,yxA ,, ( )nnn yxA , ,sepuedeutilizarelsiguienteresultado:
( ) ( )111
1
112
1xyyxxyyxA nn
n
i
iiiipol +
=
=++
(3.5)
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Odemaneraequivalenteyparafinesprcticos,medianteelsiguienteprocedimiento:
Seescribeunacolumnaparalasabscisas(valoresde)yotraparalasordenadas(valoresde),repitiendoalfinaldecadacolumnalascoordenadasdelprimervrticeconsiderado. Semultiplican losvaloresde lascoordenadasdemaneracruzada.Si lamultiplicacinesdeizquierdaaderechaelproductonosufrecambiodesigno.Silamultiplicacinesdederechaaizquierda,elproductocambiadesigno.
Se realiza la sumade todos losproductos (con los signos resultantes). Seobtiene el valorabsolutodelresultado,y
Elreadelpolgonoesigualaunmediodelresultadoanterior.
x1 y1x2 y2x3 y3
xn1 yn1xn ynx1 y1
Figura3.2Productosdemaneracruzada.
Ejemplo3.3Hallar el permetro y el rea de un predio cuyas coordenadas de sus vrtices, obtenidas mediante unlevantamientotopogrfico,aparecenenlasiguientetabla.VerFigura3.3.
VRTICE COORDENADAx COORDENADAy
V1 20 30V2 30 60V3 60 40
V4 50 20V5 30 10
Solucin.Primeramente,localizaremos, enunsistemadecoordenadascartesiano,losvrticesdelpredioytrazaremoslossegmentosquerepresentensuslados,siguiendoelordenapartirdelafiguracalcularemoslalongituddecadaunodelosladosdelpredio.
( ) ( ) md VV 62.3110103060203022
21=+=
( ) ( ) md VV 06.3613106040306022
32=+=
( ) ( ) md VV 36.225104020605022
43=+=
( ) ( ) md VV 36.225102010503022
54=+=
( ) ( ) md VV 36.225101030302022
15=+=
Porlotantoelpermetrodelpolgonoresultaser:
mppol 76.13453013101010 ++=
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Figura3.3Polgonodelpredio.
Paracalcularelreaharemoselarreglorectangularylosproductoscruzados
1200+1200+1200+500+900 900 3600 2000 600 200= 2300
Deloanteriorseconcluyequeelreadelpolgonoes:
211502
2300mApol =
=
Ejemplo3.4
SepretendevenderunprediocercadocomoelmostradoenlaFigura3.4(unidadesdelongitudenmetros).
Sesabequeenlazonadondeseencuentraubicado,elpreciopormetrocuadradoesde$1,500.00pesos.El
preciodecercaperimetralesde$100.00pesosporcadametrolineal.Elpreciodeventatotalestformado
porelpreciodelasuperficiedelterrenomselpreciodelacercaperimetral.Determinarelpreciototaldel
predio.
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X
0.00
414.90
Y
138.25
0.00
1
2
3
5
4
Vrtice
49.27
167.25
569.24
262.73
2
632.26 299.93
3
4
5
1
Figura3.4PolgonodelEjemplo3.3.
Solucin.
Clculodelrea
Vrtices Productos
0.00 138.25 +
414.90 0.00 0.00 57359.93
299.93 632.26 262324.674 0.00
49.27 569.24 170732.15 31151.45
167.25 262.73 12944.71 95205.39
0.00 138.25 23122.31 0.00
469123.84 183716.77469123.84 183716.77=285407.07
254.1427032
07.285407mA ==
Clculodelpermetro
( ) ( ) md 33.43707.19125525.1380090.414 2221 ==+=
( ) ( ) md 63.642026.63290.41493.299 2232 =+=
( ) ( ) md 46.25826.63224.56993.29927.49 2243 =+=
( ) ( ) md 43.32824.56973.26227.4925.167
22
54 =+=
( ) ( ) md 49.20825.13873.262025.167 2215 =+= mP 34.1875=
Preciodelterreno ( ) 00.310055214$54.1427031500 22
=
= m
m
pesos
Preciodelacerca ( ) 00.534187$34.1875100 =
= m
m
pesos
Preciototaldeventa 00.844,242'214$=
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Ejercicios
1)Un cuadriltero tiene tresde susvrticesen lospuntos )2,0(P , )0,2(
Q y )1,3(
R y se
sabequesucuartovrticeselocalizaenelpunto ),( yxT pertenecientealprimercuadrante,que
talpuntoesequidistantealospuntosPyR,yqueeltringulo PRTformadotieneunreaiguala
ladeltringuloPQR.
a)Encuentraelpermetroyelreadelcuadriltero PQRT .
Respuestas. 2627 +=P ,A=12.
b) Encuentra las coordenadas de los puntos medios de los lados del cuadriltero PQRT
mencionadoynelosmediantesegmentosderectadetalformaquesegenereotrocuadriltero,
qu nombre recibe el cuadriltero resultante? Cul es el rea y el permetro del nuevo
cuadriltero?
Respuestas.Paralelogramo,2
14626 +=P ,A=6.
2)Enlatabladevaloresqueapareceacontinuacinsemuestranlascoordenadasdelosvrtices
deunterrenoquetienelaformadeuncuadriltero.Dibuja,aescala,elcuadrilteromencionadoy
calculaelpermetroyelreadelmismo.
VRTICE COORDENADAx(Enmetros)
COORDENADAy(Enmetros)
V1 96 91V2 96 75
V3 67 75V4 78 97
Respuestas. mP 57.87= , 2463 mA= .
3.4Lnearecta
3.4.1Pendienteyngulodeinclinacindelalnearecta
Consideremoseltrazodeuncaminodesdeelpunto
( )2,3A hastaelpunto
( )4,7B ,seobserva
que hay una elevacin (cambio vertical) de 2 unidades y un avance (cambio horizontal) de 4unidades.Lapendientedeunalnearectaestdadaporlaraznqueresultaaldividirlaelevacin
entreelavance,porloquelalneaconsideradaenelejemplotieneunapendientede .
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Figura3.5LnearectaquepasaporlospuntosAyB.
Siuna lnea rectapasapor lospuntos ( )11,yxA y ( )22,yxB ,entonces lapendientede la lnearecta,seencuentramediantelafrmula:
12
12
xx
yymAB
=
(3.6)
Figura
3.6Pendiente
yngulo
de
inclinacin
EnlaFigura3.6,sepuedeobservarque,elvalordelatangentedelngulo,eselmismoqueeldelapendiente m ,esdecirque ( )tan=m ,mientrasqueelngulodeinclinacindelalnearectaestdadopor:
( ) 0,arctan = msim
( ) 0,180arctan
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Ejemplo3.5
Calcularlapendienteyelngulodeinclinacindelalnearectaquepasaporlospuntos ( )2,3A y ( )4,7B .Solucin.
Aplicandolafrmuladada,setieneque:
2
1
37
24=
=ABm
Mientrasque
= 565.26
2
1arctan
Dos lneas rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente o el mismo ngulo deinclinacin,assim1eslapendientedeunadelasrectasym2eslapendientedelaotra,entonces
secumpleque 21 mm = .Dos lneas rectassonperpendicularescuandoalcruzarse formanngulosde90oelngulode
inclinacindeunadeellases90mayorqueeldelaotra,enestecasosim1eslapendientedeunadelasrectasym2eslapendientedelaotra,entoncessecumpleque 121 = mm ,odemanera
equivalente2
1
1
mm = .
Ejercicio
El campen nacional de ciclismo de montaa del ao 2000, Ziranda Madrigal, originario de
Michoacn,siguiunarutaquetienetramoscondiferentespendientescomolomuestralaFigura
3.7.
Figura3.7Trayectoriadeunacarreraciclista
a)Culestramosdelarutatienependientepositiva?
Respuesta.a) .,, FGyEFBCAB
b)Culestramosdelarutatienependientenegativa?Respuesta. GHyDE
c)Cultramodelarutatienependientecero?
Respuesta. CD
d)Culfueeltramoconvalordelapendientemsgrandeyporlotantorequirimsfuerzaen
laspiernasparapedalear?
Respuesta.EF
A
B
C
D
E
F G
H
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3.4.2Ecuacionesdeunalnearecta
Algunasformasdeescribirlaecuacindeunalnearectason:
a.Usandolapendiente(m)ylascoordenadasdeunpunto ( )11,yxA pordondepasa
( )11 xxmyy = (3.7)
Sedicequeestaecuacintienelaformapuntopendiente.
b.Usandolapendiente(m)ylaordenadaalorigen(b)
bmxy += (3.8)
Sedicequeestaecuacintienelaformapendienteordenadaalorigen.
c.Cuandolalnearectanopasaporelorigendelsistemadecoordenadas,seusanlaabscisa(a)ylaordenadaalorigen(b),paraescribir
1=+b
y
a
x
(3.9)
Aestaecuacinselellamaecuacinsimtrica,cannicaoreducida.
d.Cuandolaecuacindeunalnearectaseescribecomo
0=++ CByAx (3.10)
Astaselellamaformageneraldelaecuacin.
Ejemplo3.6Hallar la ecuacin de la lnea recta de pendiente 3 que pasa por el punto de coordenadas (1,2) y lagraficaremos.Solucin.Puestoqueenestecaso seconoce lapendiente y lascoordenadasdeunpuntopordondepasa la lnea
recta,setieneque:
( )13)2( = xy;
( )132 =+ xy;
53 = xy; 15
3
5 =
+ yx
;053 =yx
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Figura3.8Lnearectadelejemplo3.6.
Ejemplo3.7Hallarlaecuacindeunalnearectaquepasaporelpunto(2,1)yesparalelaalalnearectadescritaporlaecuacin2x3y=6.Solucin.
Puestoque lapendiente de la lnea rectaperteneciente a la ecuacindada es3
2=m , se tiene que la
ecuacinsolicitadaresultaser:
( )23
21 =+ xy
; 3
7
3
2= xy
;0732 = yx
;
1
3
7
2
7 =+
yx
Ejemplo3.8Hallarlaecuacindeunalnearectaquepasaporelpunto(2,1)yesperpendicularalalnearectadescritaporlaecuacin2x+3y=6.Solucin.
Puestoque lapendientede la lnearectapertenecientea laecuacindadaes3
2=m ,se tieneque la
ecuacinsolicitadaresultaser:
( )223
1 =+ xy ; 42
3
= xy ; 0823 = yx ; 143
8 =+
yx
Ejemplo3.9
Laecuacindeuna lnearectaestdadapor 3+= kykx ,determinarelvalordekparaqueelpunto(3,7)pertenezcaadichalnearecta.Solucin.
373 += kk ; 102 =k ; 5=k 85 =yx ; 085 =yx ;
85 = xy ; 185
8 =
+ yx
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Ejemplo3.10Eltotaldeventasdeunaempresaquefabricaconcreto,enlosdosprimerostrimestresdelaofueron540y560millonesdepesos,respectivamente.Calcular,demaneraaproximada,lasventasenelltimotrimestre
delaoconsiderandoquesucomportamientoeslineal.
Solucin.Seaxelnmerodeltrimestreconsideradoyyeltotaldelasventasrealizadas,enelsemestrex.
2012
540560=
=m
;)1(20540 = xy ; 52020 += xy
Six=4: y=20(4)+520=600
Loque significaque al finaldelltimo trimestre las ventas seran aproximadamentede600millonesdepesos.
Ejemplo3.11Unaretroexcavadoracuesta$120000.00dlaresycadaaosedevalael8%desucostooriginal.EncontrarunafrmulaparaelvalorV delaretroexcavadoradespusdet aos.
Solucin.Seateltiempotranscurrido,enaos, desdequeseefectolacompra,entonces:
tV 9600120000 =
Ejemplo3.12Unacasafuevaluadaen$300,000.00pesoshacediezaos.Eldadehoyfuevendidaen$550,000.00pesosyseconsideraquesuprecioaumentalinealmente.Determinarunafrmulaquerelacioneelvalordelacasaconeltiempotranscurridodesdequeserealizelavaloyestimarelvalorquetendrdichacasadentrode5aos.
Solucin.Seateltiempotranscurrido,enaos, desdequeseavalu,entonces:
25000010
300000550000=
=m
30000025000 += ty
Si 15=t 675000300000)15(250000 =+=y Loquesignificaqueelvalordelacasaserade675000pesos.
Ejercicios
1) Hallarlaecuacindelarectaquepasapor4,3ytieneunapendiente.Respuesta. 2 1 0 0.2) Hallarlapendienteylaordenadaalorigendelarecta2 3 7 0.Respuesta.pendiente
yordenadaalorigen
.
3) Hallarlaecuacindelarectaquepasaporelpunto2,3yesparalelaalarectaqueunelospuntos4,1y2,2.Respuesta. 6 1 6 0.
4) Hallar laecuacinde larectaquepasaporelpunto2,3yesperpendiculara larecta2 3 6 0.Respuesta.3 2 0.
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5)Grafica la lnea rectacorrespondientea laecuacin4
32 =
xy .Encuentra supendiente, su
ngulodeinclinacinysuordenadaalorigen.
Respuesta.2
1=m , = 565.26 ,
4
3=b .
Figura3.9Grficade4
32 =
xy .
6)Imaginaquerealizasunacaminata,enlnearecta,desdeelpuntodecoordenadas )1,1( yque
elcaminotieneunapendientede2.
a)Determinalaecuacindelalnearectaquedescribetucaminoandado.
Respuesta. 12 = xy .
b)Usandolaecuacinquedeterminasteencuentralascoordenadasdetrespuntos,queestn
sobreelcaminorecorrido.
Respuesta. ( )3,1 , ( )5,2 , ( )7,3 .
c)Estelpuntodecoordenadas ( )3,2 ,sobreelcaminorecorrido?
Respuesta.No.
7)Setieneuna lminatriangulardeespesoruniformecuyosvrtices,respectodeciertosistema
decoordenadasselocalizanenlospuntos ( )4,1A , ( )3,2 B y ( )2,3 C .
a)Encuentralasecuacionesdelaslneasrectasquepasanporlospuntosmediosdelossegmentos
AB,BCyACy losvrticesopuestosa los ladoscorrespondientesaestossegmentos.Calcula
las coordenadas del punto comn a estas lneas rectas. En una cartulina dibuja, a escala, el
tringulomencionado y recrtalo, colocndolohorizontalmenteponleun soporte verticalenelpuntocomna las lneasrectas trazadasyobserva loqueocurre,qunombre recibeelpunto
comnaestaslneasrectas?
Respuestas.3
1
9
5= xy , 3
1
3
13= xy , 3
1
3
4= xy ;
3
1,0 ,baricentro,centroide,centro
degravedad,puntomedianoogravicentro.
Baricentro.eselpuntoenelcualsecortanlasmedianasdeuntringulo.
Mediana.Esunsegmentoquevadeunvrticedeltringuloalpuntomediodelladoopuestoal
ngulocorrespondientealvrticeconsiderado.
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b) Encuentra las ecuaciones de las lneas rectas que contienen las alturas del tringulo ABC
correspondientesalosladosAB,BCyAC.Calculalascoordenadasdelpuntocomnaestaslneas
rectas.Qunombrerecibeelpuntocomnaestaslneasrectas?
Respuestas.7
11
7
1= xy , 15 = xy , 3
5
3
2= xy ;
17
27,17
2,ortocentro.
Altura.Eselsegmentoperpendicularaunodelosladosdeltringuloyquevadedicholado(ola
prolongacindeste)asuvrticeopuesto.
Ortocentro.Eselpuntocomndelosrayosquepartendecadaunodelosvrticesdeuntringulo
yque sonperpendiculares a los ladosoprolongacionesde stos,que se localizan frente a los
nguloscorrespondientesalosvrticesconsiderados.
c)Calculaelpermetroyelreadeltringulo.
Respuestas. 171322625 =++= AyP
3.4.3Distanciadeunpuntoaunalnearecta
Paracalcular ladistanciaentreunalnearectadeecuacingeneral 0=++ CByAx yunpunto,
nopertenecienteaella,decoordenadas( )11,yx ,sepuedeusarlafrmula:
22
11
BA
CByAxd
+
++=
(3.11)
Ejemplo3.13
Calcularladistanciaalaqueseencuentraelpunto ( )2,3A delalnearectadependiente3quepasaporelpuntodecoordenadas(1,