Politecnico di Milano – III Facoltà di IngegneriaCorso di Laurea Specialistica in Ingegneria Nucleare

Anno Accademico 2004-2005

Chaos and Nonlinear Dynamics in Financial and Nonfinancial Time Series: Evidence from Finland

Mattia GazzolaMatricola: 666333Corso di Caos Deterministico e sue Applicazioni

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INTRODUZIONE

SCOPO DELL’ARTICOLO:

Analisi di 10 serie temporali di natura economica per rilevare la presenza di eventuali non linearità.

CONTENUTI:

•Sguardo ai dati utilizzati nell’analisi

•Breve presentazione delle statistiche discriminanti utilizzate

•Risultati ottenuti sulle singole serie in questione (modelli univariati)

•Analisi di cross-correlazione fra i diversi momenti delle serie (modelli multivariati)

•Conclusioni

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I DATI

Le osservazioni di tutte le serie sono state registrate mensilmente in Finlandia tra il 1922 e il 1994 per un totale di 893 osservazioni per ogni serie.

LE DIECI SERIE:•Industrial production•Bankruptcies•Terms of trade•Real exange rate index•Yeld on long term government bonds•Consumer price index•Wholesale price index•Banks’ total credit supply•Narrow money•UNITAS (Helsinki) stock exange index

Reali

Nominali

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I DATI

NOTE:

•La qualità generale delle serie è nel complesso buona

•Solo le serie n° 5 e 9 sono in qualche modo deficienti: nella nona alcuni dati sono frutto di stime, mentre nella quinta i tassi, per alcuni periodi sono stati fissati amministrativamente e dunque non riflettono genuinamente l’andamento del mercato

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LE STATISTICHE TEST

Oltre a tutta una serie di statistiche “tradizionali” nell’analisi si farà uso delle seguenti statistiche discriminanti:

THE BDS TEST FOR CHAOTIC PROCESS

Il test è stato originalmente costruito per evidenziare la presenza di caos deterministico, ma risulta molto efficace anche per testare la presenza di altre forme di non linearità.

DEFINIZIONE DI DIMENSIONE DI CORRELAZIONE:

La dimensione di correlazione è una stima della dimensione frattale e fornisce informazioni sulle caratteristiche topologiche della serie.

Data una serie temporale di dati Y=(y(0), y(1), …. , y(N)) ed una dimensione di embedding m si costruisce la serie vettoriale delle uscite ritardate

X=(…, xm,t-1, xm,t)

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LE STATISTICHE TEST

dove xm,t è il vettore delle uscite ritardate così definito

xm,t=(y(t), y(t-1), … , y(t-m+1))

Si definisce inoltre la grandezza

dove T=N-m+1. Se per piccolo

Cm( ) d

Allora d è la dimensione di correlazione che viene così definita:

jmimjmim

Tm xxctxxcoppie

TC ,,,,2

..),(1

lim)(

)log(

)(loglim)(

0

mCmd

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LE STATISTICHE TEST

Variabile puramente casuale

Caos deterministico

d cresce monotonicamente con m. Cioè d invade tutto lo spazio di embedding

d si mantiene costante

Quindi posso valutare d(m) al variare di m e vedere se la dimensione di correlazione si mantiene costante.

In alternativa posso effettuare il TEST BDS

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LE STATISTICHE TEST

IPOTESI NULLA: xt,m è indipendentemente e identicamente distribuita

STATISTICA DISCRIMINANTE:

(m,) = stima della deviazione std

),(

)()(

),(

^

1

^

m

CC

TmBDS

m

m

Se BDS “grande” rifiuto l’ipotesi nulla

Infatti sotto l’ipotesi nulla, fissati m ed :

Cm,T() C1()m, per T

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LE STATISTICHE TEST

DIFFICOLTA’:

•La potenza del test dipende in modo cruciale da

•Cm() satura per troppo grande

•Cm()0 per 0 in quanto la serie non è infinita

•La serie è affetta da rumore

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LE STATISTICHE TEST

Mappa logistica

Vs

Rumore Bianco

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LE STATISTICHE TEST

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LE STATISTICHE TEST

THE HURST EXPONENT:

Permette di classificare una serie in termini di persistenza (“antipersistenza”) dei meccanismi di generazione dei dati, quindi distingue tra serie casuali e non casuali.

COME SI CALCOLA:

•Si valuta la deviazione cumulativa Xt, su periodi:

dove: ei=afflusso all’anno i

M=la media ricorsiva di ei su periodi

Nt

MeXt

iit

,....,2,1

)(1

,

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LE STATISTICHE TEST

•Si calcola il range tra il massimo ed il minimo di Xt, :

R=max(Xt, )-min(Xt, )

•Dal seguente modello “range riscalato” si ricava H:

dove: S=deviazione standard delle osservazioni originali

=costante

HNS

R

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LE STATISTICHE TEST

Se H=0.5

Se H0.5

La serie è random walk

Le osservazioni non sono più indipendenti, cioè posseggono memoria degli eventi precedenti

In particolare:

H<0.5

H>0.5

Il sistema è antipersistente, cioè alti valori nel periodo precedente preludono con alta probabilità bassi valori nel successivo

Il sistema è persistente, cioè “trend-enforcing”

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LE STATISTICHE TEST

THE RAMSEY IRREVERSIBILITY TEST:

L’irreversibilità nel tempo è un concetto che è utile nell’analisi di possibili asimmetrie (nonlinearità)

STATISTICA DISCRIMINANTE:

Kk

xxxxT

GT

t

ikt

jt

jkt

it

kji

,...,2,1

)()()()(1

1,

Se 0, kjiG La serie è reversibile

K=ampiezza massima dell’intervallo di dati considerato

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RISULTATI SULLE SERIE

•L’analisi statistica tradizionale non supporta l’ipotesi di modelli lineari

•L’analisi della dimensione di correlazione non è consistente con un comportamento caotico di bassa dimensione

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RISULTATI SULLE SERIE

•BDS risulta invece molto alto suggerendo che il meccanismo di generazione dei dati sia nonlineare. L’ipotesi nulla è respinta in tutti i casi.

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RISULTATI SULLE SERIE

•La stima di H, ben al di sopra di 0.5, ci dice che i dati contengono alcune proprietà di memoria. A conferma di ciò mischiando casualmente i dati questa memoria si perde e H0.5

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RISULTATI SULLE SERIE

•Si può anche stimare quanto sia “lunga” la memoria dei dati a partire dal cambio di pendenza di R/S

Cambio di pendenza

Forte persistenza per circa 200 punti (16 anni) poi cambio di pendenza con H0.5

•Anche il test di irreversibilità di Ramsey evidenzia segni di nonlinerità in tutte le serie

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ANALISI DI CROSS CORRELAZIONE

Lo scopo di questa analisi è unicamente quello di evidenziare eventuali correlazioni esistenti fra le diverse variabili attraverso la statistica di Portmanteau

RISULTATI:

In accordo con i risultati ottenuti con i modelli univariati anche in questo caso il test suggerisce la presenza di fenomeni di lunga memoria applicati ai co-movimenti di differenti variabili, sia nominali che reali.

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CONCLUSIONI

•Le analisi empiriche evidenziano chiaramente la presenza di nonlinearità sia nel caso univariato che multivariato

•Il caos deterministico non appare una probabile spiegazione per queste nonlinearità

•Sembrano emergere alcune differenze tra variabili nominali e reali

•Emergono alcune differenze tra comportamento nel lungo e breve periodo

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BIBLIOGRAFIA

•Kari Takala, Matti Virén

Chaos and nonlinear dynamics in financial and nonfinancial time series: Evidence from Finland

European Journal of Operational Research 93 (1996) 155-172