Polynomial Regression on Riemannian Manifolds

Albert Thomas, Florent Renucci

SommaireIntroductionI - Définition d’un polynôme sur une variété riemannienneII – Intégration - Méthode d’EulerIII – Résultats de l’algorithme sur la sphèreIV – Régression polynomialeV – Application à l’évolution d’un crâne de ratConclusion et discussion

IntroductionObjectif : adapter la régression polynomiale paramétrique aux variétés riemanniennes.

Régression : Etablissement d’un lien entre les variables explicatives et la variable à estimer. déterminer la fonction, parmi une classe de fonctions, qui décrive ce lien de manière optimale.

Critère : moindres carrés.

I - Définition d’un polynôme sur une

variété riemannienneUn polynôme de degré k est entièrement caractérisé par la donnée de :

Par analogie, sur une variété riemannienne munie de la dérivée covariante :

II - Intégration

• Pas de formule explicite : calcul numérique

Conditions initiales :

• Schéma d’Euler

II - Intégration

III - Exemple de la sphère

• Géodésique :

IV – Régression polynomiale

• N observations y1, . . . , yN ∈ M aux temps t1,...,tN.

Calcul du polynôme riemannien. γ de degré k.

Déterminer qui minimisent le critère

Minimiser

sous contraintes

IV – Régression polynomiale

Minimiser sous contraintes

Multiplicateurs de Lagrange, minimisation du lagrangien à l’aide de la méthode des variations.

IV – Régression polynomiale

Critère à minimiser :

: écart par rapport à la valeur prédite par une constante

: somme des carrés des écarts

On peut donc définir par analogie :

V - Croissance d’un crâne de rat

• Kendal shape space

R21 = 0.79

R22 = 0.85

R23 = 0.87

ConclusionPoint positifs :• Définition d’une régression polynomiale sur une

variété• Applications

Critiques :• Choix du degré du polynôme• Choix du pas d’intégration