Post on 17-Feb-2019
transcript
Probabilità e StatisticaNon faremo una trattazione sistematica di probabilità e statistica(si veda in proposito il corso di Esperimentazioni III)
Richiameremo alcuni argomenti che avete già visto quando necessario
Libri:
G. Cowan, Statistical Data Analysis, Clarendon, Oxford, 1998
S. Brandt, Statistical and Computational Methods in Data Analysis, Springer, New York, 1998
Variabili aleatorie e densità di probabilitàUna variabile aleatoria è un numero assegnato agli elementi di un campione statistico; può essere discreta o continua.Supponiamo che il risultato di un esperimento assuma un valore continuo x
→ f(x) = densità di probabilità - probability density function (pdf)
O nel caso di variabili discrete:
x deve assumere un valore tra ±∞
probability mass function
Istogrammipdf = istrogramma con un campione infinito, canali con larghezza zero e area unitaria
Distribuzioni di più variabili
Risultato dell’esperimento caratterizzato da un vettore con n componenti (x1, ... xn)
pdf congiunta
Normalizzazione:
pdf marginalepdf di alcuni (o di uno solo) dei componenti:
→ pdf marginale
x1, x2 independenti se
i
pdf marginale (2)
pdf marginale ~ proiezione della pdf congiunta sugli assi
Funzione di una variabile aleatoriaUna funzione di una variabile aleatoria è una variabile aleatoriaA function of a random variable is itself a random variable.Se x ha una pdf f(x), consideriamo la funzione a(x).Qual’è la pdf g(a)?
dS = regione del dominio x per cui a è in [a, a+da].Per il caso di una variabile con funzione a(x) invertibile:
→
Funzioni con inversa non unica
Se l’inversa non è unica bisogna includere tutti gli intervalli dx in dS che corrispondono a da:
Esempio:
Funzioni con più di una variabile aleatoria
Consideriamo e una funzione
dS = regione di x compresa tra le (iper)superfici definite da
Trasformazione di variabili
Consideriamo il vettore e la pdf congiunta
Siano n funzioni linearmente indipendetenti
per cui le funzioni inverse esistono.
La pdf congiunta del vettore di funzioni è
dove J è il determinante Jacobiano
Per si deve poi integrare sulle variabili non volute
È una tecnica numerica per calcolare probabilità e altre quantità correlate usando delle sequenze di numeri aleatori (o casuali).Si divide di solito in tre passi:(1) Si genera una sequenza r1, r2, ..., rm uniforme in [0, 1].
(2) Si usa questa sequenza per ottenerne un’altra x1, x2, ..., xn distribuita secondo una qualche pdf f (x) alla quale siamo interessati.(3) Si usano i valori di x per stimare le proprietà di f (x), e.g., la frazione di valori x tali che a < x < b è → calcolo MC = integrazione (almeno formalmente)valori generati dal MC = ‘dati simulati’ → si possono usare per provare dei metodi statistici
Il metodo Monte Carlo
Generatori di numeri aleatoriObiettivo: generare dei valori uniformemente distribuiti in [0, 1].
tiriamo una moneta per tutti i 32 bit di un long integer... troppo faticoso!→ usiamo un generatore di numeri aleatori (random number generator) = algoritmo che genera una sequenza r1, r2, ..., rn semi-aleatoria
Esempio: generatore multiplicativo lineare congruente (MLCG) ni+1 = (a ni) mod m , dove ni = intero a = multiplicatore m = modulo n0 = seme (valore iniziale)
Produce una sequenza di numeri n0, n1, ...
Generatori di numeri aleatori (2)La sequenza è (sfortunatamente) periodica Esempio (Brandt cap. 4): a = 3, m = 7, n0 = 1
← la sequenza si ripete
Si sceglie a, m in modo da ottenere un periodo lungo (max = m − 1); m di solito prossimo al massimo intero che si può rappresentare
Si usa solo un sottinsieme di un singolo periodo della sequenza.
Generatori di numeri aleatori (3)sono in [0, 1] ma quanto sono ‘aleatori’?
Si scelgono a, m in modo che gli ri passino vari test: distribuzione uniforme in [0, 1], i valori sono indipendenti (non ci sono correlazioni tra coppie),e.g. L’Ecuyer, Commun. ACM 31 (1988) 742 suggerisce
a = 40692 m = 2147483399
Esistono algoritmi molto migliori, e.g. TRandom3, periodo
F. James, Comp. Phys. Comm. 60 (1990) 111; Brandt cap 4
Il metodo della trasformataDati r1, r2,..., rn uniformi in [0, 1], si trova la transformazione x (r) tale che x1, x2,..., xn abbiano una pdf f (x) .
Si richiede:
i.e.
Ovvero si pone e si ricava x (r).
Esempio del metodo della trasformataEsponenziale:
Si pone e si trova x (r).
→ pure funziona.)
Metodo di accettazione-reiezione
Racchiudiamo la pdf in un box
(1) Si genera una variabile aleatoria x, uniforme in [xmin, xmax], i.e.r1 è uniforme in [0,1].
(2) Si genera una 2a variabile indipendente u uniformemente distribuita tra 0 e fmax, i.e.
(3) Se u < f (x), si accetta x. Se no, si rigetta x e si ripete.
Esempio con accettazione-reiezione
Se il punto è sotto la curva, si usa x nell’istogramma.
Esempio di fisica: e+e− → µ+µ−