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Mécanique des solideset des fluides
Prof. Guy WARZEE
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• Bibliographie
• Table des symboles et des unités
• Introduction continuitélois de basedomaines d'application
• Calcul tensoriel scalaire et vecteurtenseur du 2ème ordreopérateurs ( ) théorèmes de Gauss (3D et 2D)
Table des matières
...,,rot,div,grad
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• Les contraintes vecteur contrainterelation de Cauchytenseur des contraintes : définitionlois de changement d'axes
• Dérivée matérielle définitiondérivée matérielle d'une intégrale de volume
• Lois universelles de la mécanique des milieux continus : conservation … de la masse
de la quantité de mouvementdu moment de la quantité de mouvement de l'énergie
Table des matières
résultantecinétique
momentcinétique
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• Propriétés du tenseur des contraintesvaleurs propres et directions principalespropriétés des directions principaleslois de changement d'axes : cercle de Mohr
• Lois constitutives pourquoi en a-t-on besoin ?les solides : élasticité linéaireles fluides : fluide parfait et fluide visqueux newtonien
• Statique des fluideséquations généraleséquations d'équilibrefluides incompressibles Pascal, Archimède
Table des matières
Hooke
Navier-Stokes
FLUIDES
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• Cinématique et dynamique des fluides parfaitséquations du mouvement : Euler, Lambfluides incompressiblesles théorèmes de Bernoulli (1 et 2)
• Cinématique et dynamique des fluides visqueuxintroductioninterprétation physiquele théorème de Bernoulli n°3le théorème de Bernoulli n°4 les pertes de charge
Table des matières
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• F. FreyAnalyse des structures et milieux continus (traité de génie civil) -Presses polytechniques romandes, Lausanne, volume 1 : statique appliquée – 1998volume 2 : mécanique des structures – 2000volume 3 : mécanique des solides – 1998
ces notes sont extraites de :
• G. WarzéeMécanique des milieux continus – 1995Mécanique des solides et des fluides – 2002Presses universitaires de Bruxelles, Bruxelles, 1995
Références bibliographiques
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Symboles et unités
symbole en français … en anglais … S.I.
masse volumique specific mass kg/m3
m masse mass kg
V volume volume m3
(…). dérivée matérielle time derivative s-1
fi force de volume volume load N/m3
Fi force massique mass load N/kg
vi vecteur vitesse velocity m/s
ri vecteur position position m
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Symboles et unités
symbole en français … en anglais … S.I.
ni cosinus directeurs de la normale components of the normal vector -
ij symbole de Kronecker symbol of Kronecker -
vecteur contrainte associé à la normale n
stress vector associated with normal vector n N/m2
ij tenseur des contraintes stress tensor N/m2
I , II contraintes principales principal stress N/m2
n contrainte normale normal stress N/m2
nt contrainte tangentielle shear stress N/m2
C ou M couple ou moment résultant torque or momentum Nm
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Application en génie civil ...
2004bureau d'études Greisch
viaduc de Millau
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Application en génie civil ...
21.653 éléments ; 95.241 ddl
Tour de télécommunications à Namur
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Application en génie civil ...
Stade de France
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Application en génie civil ...Nouveau bâtiment de l'ITC
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Application en mécanique des fluides ...
Effets du ventsur un tablier de pont
simulation numérique
Pont de Tacoma (USA)7 novembre 1940
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Application en mécanique ...
Trent 500 de Rolls Royce
pour les Airbus A340
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Application en mécanique des fluides ...
simulation numérique d'un écoulement subsonique autour d'une configuration simplifiée d'Airbus
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Introduction
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Hypothèses de continuité
• exemple :
Un milieu est continu si on peut définir mathématiquement des densités de propriétés physiques qui sont des fonctions continues des coordonnées spatiales
V
en kg/m3
VMρ lim
0V
masse
volumemassevolumique
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Hypothèses de continuité
• deux points matériels infiniment voisins à l'instant t0 restent infiniment voisins à tout instant t > t0 et réciproquement
• continuité de la transformation par rapport au temps : point P0 ( x0 , y0 , z0 ) à l'instant t0 se déplace en P ( x , y , z ) à l'instant t
les fonctions f , g , h , F , G , H sont uniformes et continues et leurs dérivées partielles premières continues par rapport à l'ensemble des variables dont elles dépendent
x = f ( x0 , y0 , z0 , t )
y = g ( x0 , y0 , z0 , t )
z = h ( x0 , y0 , z0 , t )
ouinversément
x0 = F ( x , y , z , t )
y0 = G ( x , y , z , t )
z0 = H ( x , y , z , t )
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Hypothèses de continuité
Les transformations s'expriment par des fonctions continues ...
OK
NON !
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Notions de base et hypothèses
• la masse est distribuée de façon continue
• la cinématique étudie des points matériels (avec masse)
• les forces
• "à distance" : réparties en volume
• "de contact" : réparties en surface
masse volumique
masse
volume
dVf
dST
VMlim
0Vρ
T dS
f dV
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Les lois de base
• loi de conservation de la masse
• loi de la résultante cinétique(quantité de mouvement)
• loi du moment cinétique(moment de la quantité de mouvement)
• loi de conservation de l'énergie(pas vu dans ce cours)
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• loi de la conservation de la masse
• la masse contenue dans un volume matériel ne varie pas au cours du temps
• loi de la résultante cinétique
• la dérivée par rapport au temps de la résultante cinétique est égale à la somme des forces appliquées
• loi du moment cinétique
• la dérivée par rapport au temps du moment cinétique est égale à la somme des moments des forces appliquées
Les lois de "conservation" ...
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La dérivée matérielle : définition ...
Considérons une grandeur
Par définition, la dérivée matérielle est la dérivée par rapport au temps, prise en suivant la particule dans son mouvement
Si une particule occupe la position à l'instant t et la position ' à l'instant t' = t + dt
on a, par définition :
x x
A• = A(x' , t+ dt) - A (x , t)
dtlimdt 0
A(x , t)
P
P'
(x en t)(x' en t+dt) A• =
DADt
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Conservation de la masse
considérons un volume V contenant une masse M
la conservation de la masse exprime que sa dérivée matérielle est nulle
M • = 0
M = dV V
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Définition de la résultante cinétique
• résultante cinétique ou résultante des quantités de mouvement
quantité de mouvement élémentaire : dVρ.v dm.v
VM
dV.vdm.v ρ
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Loi de la résultante cinétique
• loi de la résultante cinétique
• la dérivée par rapport au temps de la résultante cinétique est égale à la somme des forces appliquées
• résultante cinétique ou résultante des quantités de mouvement
quantité de mouvement élémentaire : dVρ.v dm.v
VM
dV.vdm.v ρ
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Loi de la résultante cinétique
• loi de la résultante cinétique
• la dérivée par rapport au temps de la résultante cinétique est égale à la somme des forces appliquées
SV
dSTdVf
T dS
f dV
VM
dV.vdm.v ρ
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Définition du moment cinétique
• moment cinétique ou moment des quantités de mouvement
par rapport à un point géométrique fixe
dV.vxrdmvxr ρVM
.
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Loi du moment cinétique
• loi du moment cinétique
• la dérivée par rapport au temps du moment cinétique est égale à la somme des moments des forces appliquées
• moment cinétique ou moment des quantités de mouvement
par rapport à un point géométrique fixe
dV.vxrdmvxr ρVM
.
T dS
f dV
x
y
z
r
rr
v
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Loi du moment cinétique
• loi du moment cinétique
• la dérivée par rapport au tempsdu moment cinétique est égale à la somme des moments des forces appliquées
= V
dV + fxr S
dSxrdérivée du
moment cinétiquemoment des forces de volume moment des forces de surface
T
T dS
f dV
x
y
z
r
rr
v
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à suivre ...