Post on 07-Feb-2018
transcript
1
5º Curso-Tratamiento Digital de Señal
Capítulo 3: Series y Transformada de Fourier17/11/99
Series ySeries y Transformada Transformada de Fourier de Fourier
❒❒ Series de FourierSeries de Fourier
❒❒ TransformadaTransformada de Fourier de Fourier
2
5º Curso-Tratamiento Digital de Señal
Capítulo 3: Series y Transformada de Fourier17/11/99
Series de FourierSeries de Fourier❒ Las series de Fourier describen señales periódicas como una
combinación de señales armónicas (sinusoides).
❒ Con esta herramienta podemos analizar una señal periódica entérminos de su contenido frecuencial o espectro.
❒ Nos permitirá establecer la dualidad entre tiempo y frecuencia,de forma que operaciones realizadas en el dominio temporaltienen su dual en el dominio frecuencial.
❒ Forma trigonométrica de las series de Fourier: se pretendedescribir una función periódica xp(t) de periodo T (frecuenciafundamental f0=1/T, ω0=2π f0).
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )∑∞
=
++=
++++++++=
100
0
0010010
sincos2
sinsincoscos2
)(
kkk
kkp
tkbtkaa
tkbtbtkataa
tx
ωω
ωωωω ����
3
5º Curso-Tratamiento Digital de Señal
Capítulo 3: Series y Transformada de Fourier17/11/99
Series de FourierSeries de Fourier
❒ En forma exponencial:◆ Se ha empleado la ecuación de Euler :
◆ Se demuestra que
❒ Cálculo de los coeficientes
❒ Relación de Parseval
◆ La potencia contenida en una señal puede evaluarse a partir de loscoeficientes de su correspondiente serie de Fourier.
[ ]x t X k jk tp sk
( ) exp( )==−∞
∞
∑ ω 0
e jj± = ±α α αcos sen
[ ] ( )kks jbakX −=2
1
[ ] ( ) dttjktxT
kXT
pS ∫ −= )exp(1
0ω
[ ]PT
x t dt X kx p sk
T= =
= −∞
∞
∑∫1 2 2( )
4
5º Curso-Tratamiento Digital de Señal
Capítulo 3: Series y Transformada de Fourier17/11/99
Series de FourierSeries de Fourier❒ Espectro de señales periódicas : Los coeficientes Xs[k] son los
coeficientes espectrales de la señal xp(t).
❒ La gráfica de esos coeficientes en función del índice armónicok ó de las frecuencias kω0, se denomina espectro.
❒ Hay dos tipos de gráficos, uno de magnitud con los coeficien-tes |Xs[k]| y otro de la fase de Xs[k] .
❒ La función |Xs[k]| así como la fase de Xs[k] son funcionesdiscretas de la frecuencia.
❒ Es importante saber cuantos armónicos serán necesarios parareconstruir una señal dada. Para ello utilizaremos la relaciónde Parseval.
5
5º Curso-Tratamiento Digital de Señal
Capítulo 3: Series y Transformada de Fourier17/11/99
Series de FourierSeries de Fourier❒ Un parámetro importante en la reconstrucción de señales es la
velocidad de convergencia, o lo que es lo mismo la velocidada la cual los coeficientes de Fourier tienden a 0.
❒ Propiedades [ ] [ ][ ]
[ ]
[ ][ ][ ] [ ]
[ ] [ ]{ }
Superposicion
Derivada
Retraso
Escalado x (armonicos en f = kf
x
0
α β α β
π
πα π α
α α
π
x t y t X k Y k
x t jk f X k k
Integral x t dtX k
jk fC (k
x t X k jk f
t X k
t X k X k
Modulacion m f t x t X k m X k m
p p S S
p S
p
t
p S
p S
p S S
p S S
( ) ( )
( ) ( )
( ) )
( ) exp( )
( ) )
( )
cos( ) ( )
*
+ ↔ +
′ ↔ ≠
↔ + ≠
− ↔ −
↔
− ↔ − =
↔ − + +
∫
2 0
20
2
21
21
0
00
0
0
{ } [ ]
[ ] [ ][ ] [ ]
22 0x t x t f X k
Convolucion x t y t X k Y k
t y t X k Y k
p p S
p S S
p S S
( ) ( ) cos( )
( ) ( )
( ) ( )
+ + − ↔
↔ ∗
• ↔
α α π α
p
p x
6
5º Curso-Tratamiento Digital de Señal
Capítulo 3: Series y Transformada de Fourier17/11/99
Series de FourierSeries de Fourier❒ Respuesta de un sistema a entradas periódicas
◆ Tenemos un sistema cuya respuesta a impulso es h(t). Si sometemosesta sistema a una entrada armónica x(t)=exp(jωt), la respuesta y(t)será la convolución de h(t) con x(t):
◆ Como toda señal xp(t) puede ser expresada como una suma infinita dearmónicos y aplicando el principio de superposición:
◆ La respuesta del sistema a una señal periódica es también una señalperiódica de la misma frecuencia que la señal de entrada, pero condiferentes magnitudes y fases.
◆ La respuesta de un sistema a entradas armónicas nos da la respuestaestacionaria del sistema.
{ }y t h j t d j t h j d x t H( ) ( )exp ( ) exp( ) ( )exp( ) ( ) ( )= − = − =−∞
∞
−∞
∞
∫ ∫λ ω λ λ ω λ ωλ λ ω
[ ] [ ] [ ]x t X k jk t y t X k H k jk tp S p Skk
( ) exp( ) ( ) exp( )= ↔ ==−∞
∞
=−∞
∞
∑∑ ω ω ω0 0 0
7
5º Curso-Tratamiento Digital de Señal
Capítulo 3: Series y Transformada de Fourier17/11/99
Series de FourierSeries de Fourier❒ Efecto Gibbs
◆ Para señales discontinuas, su reconstrucción a partir de las series deFourier produce el llamado efecto Gibbs, que consiste en la apariciónde un pico del 9% en el punto de discontinuidad. Este efecto se daincluso cuando se emplea un número grande de armómicos para lareconstrucción.
◆ Si queremos aproximar una función periódica con discontinuidadesque tiene infinitos armónicos, tendremos que truncar la función hastael armónico N. Esto nos va a producir el efecto Gibbs.
◆ Para eliminarlo se utilizan las llamadas ventanas espectrales quesuavizan la reconstrucción de la función. Veremos más acerca de estasventanas en capítulos próximos.
8
5º Curso-Tratamiento Digital de Señal
Capítulo 3: Series y Transformada de Fourier17/11/99
TransformadaTransformada de Fourier de Fourier❒ Queremos ampliar el concepto de series de Fourier a señales
no periódicas. Podemos visualizar una señal no periódicacomo una señal continua de periodo infinito :
◆ El espaciado entre frecuencias se aproxima a 0 y es por tanto unafunción continua.
◆ La señal pasa a ser de potencia a señal de energía.
◆ Los coeficientes Xs[k] son 0. Ya no es un indicador del contenidoespectral de la señal.
❒ Se define la Transformada de Fourier de x(t) como
❒ Relación entre las Series y la Transformada de Fourier:◆ X(ω) es la función envolvente de Xs[k] .
◆ Si muestreamos X(ω) a intervalos f0, la función resultante es elespectro de una señal periódica de periodo T0=1/f0.
( ) [ ]X f T X k x t j ft dtT
S= ⋅ = −→∞
−∞
∞
∫lim ( ) exp( )2π
9
5º Curso-Tratamiento Digital de Señal
Capítulo 3: Series y Transformada de Fourier17/11/99
TransformadaTransformada de Fourier de Fourier◆ Es decir, muestrear en el dominio frecuencial se corresponde con
señales periódicas en el dominio temporal.
◆
◆
❒ Transformada Inversa de Fourier para una función X(ω) :
∫∞
∞−
= dfftjfXtx )2exp()()( π
( ) [ ]ffkS kXTfX
=⋅⋅=
0
[ ] ( )0fkf
S T
fXkX
⋅=
=
10
5º Curso-Tratamiento Digital de Señal
Capítulo 3: Series y Transformada de Fourier17/11/99
TransformadaTransformada de Fourier de Fourier❒ Propiedades de la Transformada de Fourier
{ }{ }{ }{ }{ }
{ }
Superposicion ax t by t aX bY
Derivada x t j X
x t j X
t j tx t X
j t x t X
Integral x t dtj
X X w
Escalado x t X
n n
n n n
t
F
F
F
F
F
F
F
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
+ = +
′ =
=
× − = ′
− =
= +
=
−∞∫
ω ωω ω
ω ω
π π ω
π π ω
ωω π δ
αα
ωα
2 2
2 2
10
1
( ){ } ( )( ){ } ( )
( ) ( ){ } ( ) ( )
( ) ( ){ } ( ) ( )[ ]
( ) ( )
( ) ( )[ ]
Desplazamiento x t e X
e x t X f
Convolucion x t y t X Y
x t y t X Y
Parseval x t dt X d
Teorema
del valorInicial j X
j
j t
x 0+
F
F
F
F
− =
= −
∗ =
= ∗
=
=
−
−∞
∞
−∞
∞
→∞
∫ ∫
α ω
α
ω ω
πω ω
πω ω
ω ω
ωα
πα
ω
2
2 2
1
2
1
lim
11
5º Curso-Tratamiento Digital de Señal
Capítulo 3: Series y Transformada de Fourier17/11/99
TransformadaTransformada de Fourier de Fourier❒ Podemos utilizar la Transformada de Fourier para analizar la
respuesta a sistemas LTI, valiéndonos del hecho de queconvolución en el tiempo equivale al producto en el dominiofrecuencial.
❒ Si la respuesta y(t) a un sistema con una respuesta a impulsoh(t) y entrada x(t) con condiciones iniciales cero es
Aplicando la Transformada de Fourier a ambos miembros,
H(ω)=Y(ω)/X(ω) es la función de Transferencia del sistema. Estanos permite analizar la respuesta frecuencial del sistema.
❒ Como se vió en las Series de Fourier, se puede analizar la respuesta en elestado estacionario del sistema a partir de H(ω).
y t x t h t( ) ( ) ( )= ∗
Y w X H( ) ( ) ( )= ω ω
12
5º Curso-Tratamiento Digital de Señal
Capítulo 3: Series y Transformada de Fourier17/11/99
TransformadaTransformada de Fourier de Fourier❒ Limitaciones de la Transformada de Fourier
◆ El sistema debe tener condiciones iniciales cero.
◆ Entradas que no son señales de energía requieren el uso de impulsos.
❒ Por ello se extiende el concepto de la Transformada deFourier a la Transformada de Laplace.
13
5º Curso-Tratamiento Digital de Señal
Capítulo 3: Series y Transformada de Fourier17/11/99
Espectro de la señal x(t) = rect(t)
-15 -10 -5 0 5 1 0 1 50
0.1
0 .2
0 .3
0 .4
0 .5
0 .6
0 .7
0 .8
0 .9
1
Frecuenc ia (Hz)
14
5º Curso-Tratamiento Digital de Señal
Capítulo 3: Series y Transformada de Fourier17/11/99
Reconstrucción de x(t) (15 armónicos) a partir de muestreos en el espectroMuestreos cada 0.25 Hz
0 1 2 3 4 50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
x(t)
t (s)
15
5º Curso-Tratamiento Digital de Señal
Capítulo 3: Series y Transformada de Fourier17/11/99
Reconstrucción de x(t) (15 armónicos) a partir de muestreos en el espectroMuestreos cada 0.5 Hz
t (s)
x(t)
0 1 2 3 4 5-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
16
5º Curso-Tratamiento Digital de Señal
Capítulo 3: Series y Transformada de Fourier17/11/99
0 5 10 15 20 250
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5Magnitud vs índice k
17
5º Curso-Tratamiento Digital de Señal
Capítulo 3: Series y Transformada de Fourier17/11/99
0 5 10 15 20 25
-150
-100
-50
0
50
100
150
Fase vs k
phase vs k
18
5º Curso-Tratamiento Digital de Señal
Capítulo 3: Series y Transformada de Fourier17/11/99
0 5 10 15 20 250
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
power(o) & cumulative power(*) vs k
19
5º Curso-Tratamiento Digital de Señal
Capítulo 3: Series y Transformada de Fourier17/11/99
0 1 2 3 4-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2Reconstrucciones de un periodo de x(t)
20
5º Curso-Tratamiento Digital de Señal
Capítulo 3: Series y Transformada de Fourier17/11/99
1.2
0 1 2 3 4-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Reconstrucción con 25 armónicos
21
5º Curso-Tratamiento Digital de Señal
Capítulo 3: Series y Transformada de Fourier17/11/99
0 1 2 3 4-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Reconstrucción real (--) y suavizada (--) con 25 armónicos