Support Vector Machine - Gráficas, estadística y minería de datos ...

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Support Vector MachineGraficas, estadıstica y minerıa de datos con Python

Miguel Cardenas Montes

Centro de Investigaciones Energeticas Medioambientales y Tecnologicas,Madrid, Spain

miguel.cardenas@ciemat.es

2-6 de Noviembre de 2015

M. Cardenas (CIEMAT) SVM 2-6 de Noviembre de 2015 1 / 31

Tabla de Contenidos

1 Objetivos

2 Support Vector Machine

3 Ejemplo Python

4 Regresion con SVM

5 Ejemplo R

Objetivos

Conocer las diferencias entre los metodos de aprendizaje supervisadoy no supervisados.

Conocer metodos SVM lineales, polinomicos y radiales

Aspectos Tecnicos

scikit-learn API

Support Vector Machine

Support Vector Machine (SVM)es un metodo supervisado declasificacion, aunque tambienpuede utilizarse en regresion.

SVM II

H1 no separa las clases.

H2 y H3 sı separan las clases.

H3 maximiza el margen deseparacion de las clases.

SVM III

Objetivo maximizar la anchura del margen que separa ambas clasesde datos.

SVM IV

Existen conjutos de datos no linealmente separables.

SVM tambien puede tratarlos.

Elementos de SVM I

Un Support VectorMachine (SVM) ejecutauna clasificacion.

Para ello tiene queencontrar el hiperplanoque maximiza el margenentre las dos clases.

Los vectores (casos) quedefinen el hiperplano sedenominan support

vectors.

SVM usa un mapeo no lineal transformando los datos originales enotros de dimensionalidad superior.

En estas nuevas dimensionalidades, SVM busca el hiperplano optimoque separa las clases.

Ejemplo: Python

Ejemplo I

SVM linealmente separable.

import numpy as np

import pylab as pl

from sklearn import svm

# first training set

X = np.r_[’1,2,0’, \

[500, 1000, 2000, 1000, 4000, 4000, 8000], \

[500, 1000, 2000, 4000, 1000, 4000, 2000] ]

Y = [0, 0, 0, 0, 0, \

pl.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=Y, cmap=pl.cm.Paired)

pl.xlabel(’Label A’)

pl.ylabel(’Label B’)

pl.axis(’tight’)

pl.ylim( (0, 8110) )

pl.xlim( (0, 8110) )

pl.show()

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000Label A

Ejemplo II

SVM linealmente separable.

# fit the model and get the separating hyperplane

clf = svm.SVC(kernel=’linear’, C=2.0)

clf.fit(X, Y)

# get the separating hyperplane

w = clf.coef_[0]

a = -w[0] / w[1]

xx = np.linspace(0, 20001)

yy = a * xx - (clf.intercept_[0]) / w[1]

# plot the parallels to the separating hyperplane that pass through the

# support vectors

b = clf.support_vectors_[0]

yy_down = a * xx + (b[1] - a * b[0])

b = clf.support_vectors_[-1]

yy_up = a * xx + (b[1] - a * b[0])

# plot the line, the points, and the nearest vectors to the plane

pl.plot(xx, yy, ’k-’)

pl.plot(xx, yy_down, ’k--’)

pl.plot(xx, yy_up, ’k--’)

pl.scatter(clf.support_vectors_[:, 0], clf.support_vectors_[:, 1], s=80, facecolors=’none’)

pl.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=Y, cmap=pl.cm.Paired)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000Label A

Ejemplo III

Al anadir un nuevo punto se reoganiza el esquema.

Se mantiene que los puntos son linealmente separables (3500, 3500,etiqueta 1).

# Modified training set

X = np.r_[’1,2,0’, \

[500, 1000, 2000, 1000, 4000, 4000, 8000, 3500], \

[500, 1000, 2000, 4000, 1000, 4000, 2000, 3500] ]

Y = [0, 0, 0, 0, 0, \

1, 1, 1]

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000Label A

Ejemplo IV

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000Label A

Ejemplo V

Prediccion de nuevos puntos.

from sklearn import svm

X = [[0, 0], [0.4, 0.5], [1, 1], [2, 2]]

y = [0, 0, 1, 1]

clf = svm.SVC()

clf.fit(X, y)

print clf.predict([[0.5, 1.]])

print clf.predict([[2., 2.]])

print clf.predict([[2., 3.]])

Ejemplo VI

Datos no linealmente separable.Se cambia un punto de etiqueta (2000, 2000, etiqueta 1).El resultado grafico es anomalo si se trata de mantener unaseparabilidad lineal.

# Modified training set

X = np.r_[’1,2,0’, \

[500, 1000, 2000, 1000, 4000, 4000, 8000], \

[500, 1000, 2000, 4000, 1000, 4000, 2000] ]

Y = [0, 0, 1, 0, 0, \

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 90000

Ejemplo VII

Sin embargo, con ecuacion no lineal (polinomica) se podrıan separarlos datos.

clf = svm.SVC(kernel=’poly’, gamma=4)

clf.fit(X, Y)

pl.figure()

pl.clf()

pl.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=Y, zorder=10, cmap=pl.cm.Paired)

pl.axis(’tight’)

x_min = X[:, 0].min()

x_max = X[:, 0].max()

y_min = X[:, 1].min()

y_max = X[:, 1].max()

XX, YY = np.mgrid[x_min:x_max:200j, y_min:y_max:200j]

Z = clf.decision_function(np.c_[XX.ravel(), YY.ravel()])

# Put the result into a color plot

Z = Z.reshape(XX.shape)

pl.pcolormesh(XX, YY, Z > 0, cmap=pl.cm.Paired)

pl.contour(XX, YY, Z, colors=[’k’, ’k’, ’k’], linestyles=[’--’, ’-’, ’--’], levels=[-.5, 0, .5])

pl.show()

1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000500

Tipos de kernel en SVM

Lineal

Polinomico

rbf, radial basis function

sigmoide, tangente hiperbolica

Parametros de SVM

C Penalizacion del termino de error. Este parametro, comun entodos los kernels, es un compromiso entre las clasificacioneserroneas de las tuplas de entrenamiento contra la simplicidadde la superficie de decision. Un valor bajo de ”c” hace lasuperficie de decision suave, mientras que un valor alto tratade clasificar absolutamente todas las tuplas de entrenamientocorrectamente.

kernel Tipo de kernel usado en el algoritmo.

degree Grado de la funcion kernel cuando de tipo polinomico.

gamma Coeficiente del kernel cuando es de tipo rbf.

coef0 Parametro del kernel cuando es de tipo sigmoide.

Multiclases

Para datos no linealmente separable y masde dos clases es posible hacer mapas(mediante prediccion) de las zonas deinfluencia de cada clase.

Complejidad Computacional de SVM

SVM incrementa los requerimientos computacionales con rapidez conel numero de tuplas de entrenamiento.

El nucleo de la librerıa escala como O(nfeatures × n2samples) o como

O(nfeatures × n3samples) dependiendo de la eficiencia del uso y de lasparticularidades de los datos.

Regresion con SVM

Regresion con SVM I

El metodo de SVM puede ser extendida a la resolucion de problemasde regresion.

En SVR la etiqueta categorica tiene que ser cambiada por valorescontinuos.

Regresion con SVM II

import numpy as np

X = np.sort(5 * np.random.rand(40, 1), axis=0)

y = np.sin(X).ravel()

# Add noise to targets

y[::4] += 3 * (0.5 - np.random.rand(10))

# Fit regression model

from sklearn.svm import SVR

svr_rbf = SVR(kernel=’rbf’, C=1e3, gamma=0.1)

svr_lin = SVR(kernel=’linear’, C=1e3)

svr_poly = SVR(kernel=’poly’, C=1e3, degree=2)

y_rbf = svr_rbf.fit(X, y).predict(X)

y_lin = svr_lin.fit(X, y).predict(X)

y_poly = svr_poly.fit(X, y).predict(X)

# look at the results

import pylab as pl

pl.scatter(X, y, c=’k’, label=’data’)

pl.hold(’on’)

pl.plot(X, y_rbf, c=’g’, label=’RBF model’)

pl.plot(X, y_lin, c=’r’, label=’Linear model’)

pl.plot(X, y_poly, c=’b’, label=’Polynomial model’)

pl.legend()

pl.show()

−1 0 1 2 3 4 5 6data

−2.0

−1.5

−1.0

−0.5

Support Vector Regression

Linear modelPolynomial modeldata

Ejemplo: R

Ejemplo (SVM Lineal) I

Ejemplo en R de SVM linealmente separable.

# numero de valores

nn<-100

dim<-2

# valores eje x,y para el primer conjunto

data1<-matrix(c(rnorm(nn,mean=2,sd=0.7),rnorm(nn,mean=1,sd=0.7)),nn,dim)

# valores eje x,y para el segundo conjunto

# construir tabla datos

datos<-rbind(data1,data2)

# generar las etiquetas

y <- matrix(c(rep(1,nn),rep(-1,nn)))

# mostrar los datos

plot(datos,col=ifelse(y>0,1,2))

1 2 3 4 5 6

datos[,1]

Ejemplo (SVM Lineal) II

# leer el paquete kernlab

library(kernlab)

# entrenar el modelo SVM

svp <- ksvm(datos,y,type="C-svc",kernel=’vanilladot’,C=100,scaled=c())

# Sumario de datos

# Atributos disponibles

attributes(svp)

# algunos ejemplos de atributos disponibles

alpha(svp)

alphaindex(svp)

b(svp)

# Usar el modelo para pintar el clasificador

plot(svp,data=datos)

0 1 2 3 4 5

SVM classification plot

Ejemplo (SVM No Lineal: RBF) III

# numero de valores

nn<-100

dim<-2

# valores eje x,y para el primer conjunto

# valores eje x,y para el segundo conjunto

# valores eje x,y para el terce conjunto

data3<-matrix(c(rnorm(nn,mean=-2,sd=0.3),rnorm(nn,mean=-2,sd=0.3)),nn,dim)

# construir tabla datos

datos<-rbind(data1,data2,data3)

y <- matrix(c(rep(1,nn),rep(-1,nn), rep(-1,nn)))

# mostrar los datos

plot(datos,col=ifelse(y>0,1,2))

library(kernlab)

svp <- ksvm(datos,y,type="C-svc",kernel=’rbf’,kpar=list(sigma=1),C=1 )

# Usar el modelo para pintar el clasificador

plot(svp,data=datos)

−1.5

−1.0

−0.5

−2 −1 0 1 2 3 4 5

SVM classification plot

Ejemplo (SVM Lineal) IV

Ejemplo de SVM Lineal con margenes y vectores de soporte:

nn<-40

dim<-2

datos<-rbind(data1,data2)

y <- matrix(c(rep(1,nn),rep(-1,nn)))

# mostrar los datos

#plot(datos,col=ifelse(y>0,1,2), type=’n’)

library(kernlab)

svp <- ksvm(datos,y,type="C-svc",kernel=’vanilladot’,C=100,scaled=c())

ymat<-ymatrix(svp)

plot(c(min(datos[,1]), max(datos[,1])),c(min(datos[,2]), max(datos[,2])),type=’n’,xlab=’x1’,ylab=’x2’)

points(datos[-SVindex(svp),1], datos[-SVindex(svp),2], pch = ifelse(ymat[-SVindex(svp)] < 0, 2, 1))

points(datos[SVindex(svp),1], datos[SVindex(svp),2], pch = ifelse(ymat[SVindex(svp)] < 0, 17, 16))

# Extraer w y b del modelo

w <- colSums(coef(svp)[[1]] * datos[SVindex(svp),])

b <- b(svp)

# Dibujar lineas

abline(b/w[2],-w[1]/w[2])

abline((b+1)/w[2],-w[1]/w[2],lty=2)

abline((b-1)/w[2],-w[1]/w[2],lty=2)

0 1 2 3 4 5

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