1

पचंबोध कृतींतनू गणित अध्ययन (सकंल्पना- भागाकाराचा अर्थ, व्यावहाररक कृतीच ेगणितीकरि )

[प्रस्ततु लेखन ह ेश्री णिवाजी णिक्षि ससं्र्ा व होमी भाभा णवज्ञान णिक्षि कें द्राच्या सहभागाने अमरावती

येर्े आयोणजत केलले्या ʻचला जािनू घऊे ज्ञानरचना उपागम- ५-बोधप्रक्रिया (five e’s of learning) ʼ या सूत्रावर

आधाररत पररषदेत चचेसाठी घेतलले्या मुद्ांिी संबंणधत रिपि आह.े मुळात ज्ञानरचना अध्ययन किासाठी त े

अध्ययन वातावरिात णवद्ार्थयाथची भूणमका काय असायला हवी यासंबंधीच्या प्रश्ांपासून सुरू केललेी ही चचाथ

अध्यापकांनी उपणस्र्त केलेल्या प्रश्ांच्या वा तयांना ज्ञानरचना उपागमाणवषयी वाििार् या भीतीच्या आधारे पुढे नेली

आह.े या चचेदरम्यान मुलानंा सूत्र तर सांगावंच लागेल... तयात पंच- बोधक्रियांचा संबंध काय असा प्रश् उपणस्र्त

झाला होता. ५-ई या नावे प्रणसद्ध असलेल्या ज्ञानरचना वातावरि उभे करिार् या कृतींचा संच समाणवष्ट असलले्या

आंतरक्रियांचा काही अंि क्रदला आह.े]

प्रास्ताणवक

यापूवीच्या सत्रात आपल्याला तज्जज्ञांनी ज्ञानरचना करताना स्वतःच्या व्यणिमत्त्व णवकास करून घ्यायला

उपयुि अिा पंचबोध ज्ञानरचना प्रक्रियांचा पररचय अनेक पारदर्िथकांच्या आधारे इंग्रजीतून करून क्रदला आह.े

माझ्या सत्रा दरम्यान सवथ चचाथ इंग्रजी-मराठीतूनच झाली. पि मला कोितीही नवी संकल्पना मराठी भाषेत समजून

घेिे सोयीचे, सोपे वािते. माझ्या अनुभवानुसार एखाद्ा संकल्पनेच ेमराठीकरि करण्याच्या प्रयत्नात तया संकल्पनेच े

माझे आकलन वाढत.े यात मला कोिताही न्यूनगडं वाित नाही कारि मराठी भाषेमुळे मी अध्यापन व्यवसाणयकांिी,

व्यावहाररकांिी या संबंधाने सहज णवचारणवणनमय करू िकत.े माझ्यामोर असलेल्या कोिालाही अरेरे, आपि क्रकती

वंणचत आहोत, आपल्या माताणपतयांनी आपल्याला मराठी माध्यमाच्या िाळेत णिकवून आपल्यावर क्रकती अन्याय

केला आह.े.. अस ेवािून घेऊ नये अस ेमला वािते. इंग्रजीच नाही तर अनेक भाषा समजि ंह ेस्वतःच्या व्यणिमत्त्वाची

व्याप्ती वाढवण्यासाठी आवश्यक आह ेव ते प्रयत्नसाध्यही आह ेह ेमात्र खरं आह.े यामुळे आपल्याला अनेक संस्कृतीतील

समव्यावहाररकांिी संवाद साधता येतो पि इंग्रजी न समजि ंहा काही गुन्हा नाही.

खरे पाहता कोितीही संकल्पना समजिे महत्त्वाचे असते, ती कोितया भाषेतून, माध्यमातून, प्रसंगातून वा

मागाथने समजते ह े फारसे महत्त्वाचे नाही. अध्ययन करिारी व्यिी स्वतःच्या पद्धतीन,े िैलीनुसार, स्वतःच्या

वकूबानुसार सतत णिकत असते. णिकण्याच्या णवणवध संकल्पना खरे तर आपल्या जगण्यात... दनैंक्रदन व्यवहारात

वापरतो. तया आपल्या अनुभवांच्या आधारे आपि तयार करतो. काही लोक स्वतः व इतर लोक वापरत असलेल्या

संकल्पनांवर णवचार करतात व तयांचे अतयावश्यक गुिणविे, कळीचे गुिधमथ (critical attributes) णनणित करतात.

एकदा का संकल्पनेचे सवथ अतयावश्यक गुिणविेष, सवथत्र णवखुरलले्या संबंणधत परुाव्यांणनिी, उदाहरिांसह, हाती

आल े की त े व्याख्येच्या स्वरूपात णनणित करून, जाहीर केले जातात, साठवून ठेवल े जातात. यामुळे संबंणधत

2

संकल्पना इतरांनाही उपलब्ध होत े व तयावर णवचारणवणनमय करून संकल्पना सतत अद्ावत ठेवता येत.े

अध्ययनाच्या मनोणवज्ञानानुसार संकल्पना संरणचत वा सापेक्ष असू िकतात असतात. तयांचे आकलन केवळ व्याख्या

वाचून एका दमात होत नाही. तयासाठी अनुभव घणे्याची, संबंणधत माणहतीवर णवणवध स्वरूपाच्या णवचारप्रक्रिया

करण्याची गरज असत.े

आपल्या चचेदरम्यान पचं बोधीय (5-Es of learning) कृती गणितात किा वापरायच्या असा प्रश्

उपणस्र्त झाला होता. या पंचबोधीय प्रक्रियांचे ज्ञान प्रणतरूपि पुढे क्रदल ेआह.े मुलानंा सूते्र तर सांगावी लगतीलच…

तयामुळे तेर्े पंचबोध प्रक्रियांचा प्रश् येतच नाही असे मत, ककंवा अनुभव, असले, कोिीतरी व्यि केला होता.

तयासंदभाथत मी कृती सांणगतली होती. पि मला माहीत आह े की तया कृती प्रतयक्षात किा आिायच्या हा प्रश्

संबंणधत अध्यापकांना पडला असेल. स्वतः कधीही न अनुभवललेी वा कधीही न करून पाणहललेी कृती ऐकून, समजून

घ्यायची व प्रतयक्षात करायची म्हिजे अनेक प्रकारच्या िंकांनी गोंधळून जायला होते. साहणजकच अिा गोंधळामुळे

णनमाथि होिारी चचंता िाळण्यासाठी व्यिी तयासंबंधात णवचार करि ेिाळले जात ेव पररिामी अिा कृती प्रतयक्षात

येण्याची िक्यताच नाहीिी होते. तयामुळे जी कृती मी चचेदरम्यान र्ोडक्यात सांणगतली ती येर्े णवस्तारान ेदणे्याचा

प्रयत्न करिार आह.े

मुलांना णवणवध बोधातमक कृतींत गुंतवण्यासाठी तयांना सुरुवातीला काही वैयणिक वैचाररक कृतीत

गुंतवायचे, नतंर लहानगि कृतीत गुंतवायचे व तयानंतर सवथ णवद्ार्थयाांना सहभागी करून वगथसंवाद उभा करायचा

असा साधारि िम मी वगाथत घेत अस.े कामाच्या सुरुवातीला केलेल्या वैयणिकृत कायाथतून प्रतयेकाजवळ इतरांिी

सहभागी करण्याजोगे णवणवध अनुभव गोळा होतात व तयामुळे लहान गिात व तयानंतर मोठ्या गिात उपयिु

आंतरक्रिया घडून यायला मदत णमळते हा माझा अनुभव मी यरे्े वापरत असे.

बोधप्रक्रियांतील समरसता

Engaging in the

process of

िोध, उलगडा,

अन्वेषि, णचक्रकतसा

Exploration

णविदीकरि,

स्पष्टीकरि

Explanation

आकलन णवस्तारि व

उपयोजन,

नवणनर्मथती

Elaboration

मूल्यमापन,

मूल्यणनधाथरि

Evaluation

अणभव्यिी,

प्रादिथन

Expression,

Performance

3

गणित अध्ययनात मिु वगथ-संवादाची उपयिुता

जॉजथ पोल्या या गणित व णिक्षितज्जज्ञाच्या अभ्यासानुसार वगाथत गणिती कृतींची चचाथ घडवून आिण्याचा

उपागम हा ʻगणित हा सतत रचला जाण्याच्या प्रक्रियेत असललेा मानवी ज्ञानाचा आकृतीबंध आहेʼ या वस्तुणस्र्तीचा

आदर करतो. [Polya, G. (1954). Mathematics and plausible reasoning. Princeton NJ: Princeton

University Press.] म्हिजेच गणिती ज्ञानाला कधीही ‘अंणतम सतयाचे’ स्वरूप प्राप्त होत नाही. मगॅ्दलीन लॅम्पिथ

यांच्या अर्थणनवथचनानुसार एखाद्ा समस्येचे गणिती पद्धतीने णनराकरि करण्यासाठी गणितज्जज्ञ ज्जया स्वरूपाच्या कृती

व कायथ करतात तयाच स्वरूपाच्या कृतींत णवद्ार्ी गुंतल े जायला हवेत असा या अभ्यास णनष्कषाथचा अर्थ होतो.

[Lampert, M. (1990). When the problem is not question and the solution is not the answer:

Mathematical knowing in teaching. American Educational research Journal, (27 (1), 29-63.]

णवणवध रचनांचा िोध घेि,े अनुमान-ेअिकळी बांधिे, प्रयोग करि,े सामान्य तत्त्वे िोधिे, तयांचे समर्थन करि,े

तयासाठी णवणवध पुरावे सादर करिे, णवणवध कृतींचा कायथकारि संबंध प्रस्र्ाणपत करिे, आपल े णवचार व िोध

इतरांसमोर णचक्रकतसेसाठी व परीक्षिासाठी मांडिे इतयादी कृती संवाद प्रक्रियेच्या आधारे व दरम्यान णवद्ार्ी करू

िकतात. यासाठी ‘वगथ’ या अध्ययनिील समूहाच्या, समूह सदस्यांच्या वतथमान संकल्पना व कौिल्ये, भाषेची जाि व

भाषा कौिल्ये, गणिती ज्ञानप्रणतरूपिे, सहभागी गणिती स्मृती महत्त्वाची भूणमका बजावतात.

गणित वगथ सवंादातील सकुरकाची भणूमका व वगथ सवंादाच ेनतेतृव

गणित कौिल्य े प्राप्त करण्याच्या हतेून े आयोणजत करायचा, उतिांत करायचा वगथसंवाद उतपादक

ठरण्यासाठी अध्यापकाला काही खेळी (moves) रचाव्या लागतात. णवद्ार्थयाांना गणिती कृती करिे िक्य व्हावे

यासाठी तयांना काही िोध प्रक्रियेत गुंतवायला हवे. ते तया कृतींत किी गुंतली जातील व बराच काळ गुंतलेली

राहतील ह े पाहायला हवे. ह े करत असताना णवद्ार्थयाांना किा रीतीन े संवादात गुंतवायचे, वगाथत बौणद्धक व

सामाणजक काम किा स्वरूपात चाललेायला हवे यासंबंधीची रचना आकाराला यायला हवी व ह े करण्याची

जबाबदारी अध्यापकावर येत.े ह ेगुंतागुंतीचे काम करण्याच्या हतेूने अध्यापक णिस्तबद्ध अिा वगथसवंाद चाकोर् या –

ताणसका किीबिी संपवण्यासाठी णनयमाने करायचे रिाळ उपिम नाहीत- (class discourse routines)

अणस्ततवात आिून तयांच्या साहाय्याने या कायाथचे व्यवस्र्ापन करतो. गणिती कायाथचे स्वरूप, णवद्ार्थयाांकडून णवचार

करून घेि,े सहभागान े कायथ घडवून आििे या संदभाथतील जबाबदारी यरे्े महत्त्वाची ठरत.े णवद्ार्थयाथच्या

सहभागाची नोंद घेऊन तयाचा पुनरुच्चार होईल, तयाच्या अिंदानाची योग्य प्रकारे घेतल जाईल, अिी पररणस्र्ती

णनमाथि करि,े णवद्ार्थयाांना परस्परांच्या कल्पना समजून घ्यायला मदत देि,े णवद्ार्थयाांना स्वतःची समज व्यि

करायला, स्पष्टीकरि करायला आवाहन करि,े तसे करण्यांचे धाडस करायला मदत करिे, वगथवातावरि णनमाथि

4

करिे, णवद्ार्थयाांच्या णवणवध कल्पनांत सुसंगती प्रस्र्ाणपत करण्याला साहाय्य देि,े संवादाची संरचना स्पष्टपि ेसमोर

येईल ह ेपाहि ेही या चाकोऱयांची काही उदाहरिे अनेकांनी केलेल्या संिोधन दस्ताऐवजांतून पुढे आललेी आहते.

वगथसवंाद उभा… उतिातं (evolve)... करण्यासाठी अध्यापकान े(सकुरकान)े केललेी णवचारप्रक्रिया

पाठ्यिमानुसार ८-९ या वयोगिातील मलुांना दोन संगत चलांतील... क्रकमतींतील... सहसंबंधावर काम

करण्यात गुतंवायचे आह े अिी कल्पना करू या. वगाथतील मुल ं व मी एकाच पररसरात राहतो. या वगाथत

समुद्राकाठच्या कोळी वस्तीतील अनेक मलुं आहते, तसेच कामगार वस्तीतील मलुे आहते. बहुसंख्यांचे आई-वडील

नोकरी वा व्यवसाय करतात. काहींच्या आया ताजे वा सुके मासे णवकतात, तर काहींच्या आया फळे, मोड काढललेी

कडधान्ये व भाज्जया यांची णविी करतात, तर काहींच्या आया पोळ्या, भाकरी-भाजी व इतर खाद् पदार्थ करून

णवकतात. काहीजि घर बसल्या काही वस्तू बनवतात व अर्ाथजथन करतात. ही मलुे स्वतःच्या व्यवसाय करिार् या

वडीलधाऱयांबरोबर बराच वेळ घालणवतात व तयांना तयांच्याबरोबर काही घरकामेही करावी लागतात. पररिामी

तयांना संख्यांचे व्यवहाररक ज्ञान असते. (मी अध्यापन करत असतानाच्या काळात बहुसंख्यांची घर-भाषा पुस्तकी

नव्हती तसेच व्यवहार पुस्तकी साच्या प्रमािे चालत नव्हते. मुलांच्या घरातून प्राप्त केलले्या सहजज्ञानाचा उपयोग

करून मुलांच्या संख्यासंवेदन णवकासात पालकांचीही, घरातील व्यवहाराचीही, दनैंक्रदन व्यवहाराचीही महत्त्वाची

भूणमका असते याचा अनुभव तयांना णमळायला हवा असा णवचार केला.

िाळा, महाणवद्ालयातून तसचे बणहस्र् पद्धतीन े णिकिार् या बहुसंख्य णवद्ार्थयाांना असे वािते की

औपचाररक पद्धतीन े न णिकलेल्या कोितयाही व्यिीला ककंवा तयांच्यापूवी उच्च णिक्षि घतेलले्यांना त े णिकत

असलले्या णवषयाचे काहीही ज्ञान नसत.े या व्यिींनी जर अिा णिकत असिार् या णवद्ार्थयाांना कुतूहलाने वा समजून

घेण्यासाठी काही णवचारल ेतर, ‘तुम्हाला काहीही समजिार नाही’, ‘तुमच्या जुन्या मेंदतू ह ेकाही णिरिार नाही’

अिी तयांची उत्तरे असतात. हा णपढ्याणपढ्यातील अंतराचा पररिाम आह.े अर्ाथत िाळा, महाणवद्ालयात णिकवल्या

जािार् या संकल्पना साततयाने व्यापक व खोल होत असतात व तयांच्या वापर जिील संदभाांत प्रिालीपद्धतीन ेकरावा

लागतो. तरीही संबंणधत संकल्पनांतील काही पायाभूत बदल णिकत असिार् या णवद्ार्थयाांना प्रश् णवचारण्यार् या

व्यिीना समजून देता यिें गरजेचं आह.े तयादषृ्टीने वगाथत णवद्ार्थयांना संप्रेषि कौिल्याचा सराव करण्याच्याही संधी

णमळायला हव्यात.

व्यवहारात संख्या कोठे कोठे व किाप्रकारे वापरल्या जातात ह े पाहण्यासाठी तयांच्या पालकांना मुलांना

बरोबर घऊेन तयांच्या समोर व बरोबरीने णहिेब करण्याची णवनंतीही केली होती. अनेक पालक या कृती

तयापूवीपासून करत होते. खरेतर क्रकतयेक पालकांची, यांना खरेदीचा णहिेब बरोबर समजतो पि पसु्तकातली गणित े

का नाही सोडवता येत अिी तिार होती. तुम्हालाही खरेदी-णविीचे, कामासाठी दाम मोजून घणे्याचे णहिेब बरोबर

येतात पि पुस्तकातील गणित जमत नव्हत ेह ेमी पालकांना सांणगतले. म्हिनूच णिकि ेह ेघरी व िाळेत अस ेदोन्ही

रठकािी घडायला हवे. या पालकांना मलुांिी घरातील खरेदी-णविी व्यवहाराबाबत, तो केला जात असताना

5

बोलण्यास... सांणगतल े होत.े वगाथतील बहुतेक मलुांना वस्तूंची संख्या व तयांच्या संगत क्रकमती यातील संबंध

समजतो. या समजेचा उपयोग करून तयांना या संबंधाचे गणिती प्रणतमान (mathematical model) मांडण्याच्या

खिपिीत गुंतायला मदत द्ायची आह.े व्यवहारातील णवणवध घिकांच्या संबंधाची समज असिे व तयाचा उपयोग

करून गणिती प्रणतमान तयार करिे या ज्ञानरचनेच्या णभन्न पातळ्या आहते ह ेमला लक्षात घ्यायला हवे.

यासाठी मी तयांना स्वतःला हवी ती वस्तू घेऊन तयांची संख्या व तयांच्या संगत क्रकमती यांच्या माणलकांचा

तिा बनवायला सुचवले व तो रचायला मदत क्रदली. यातून तयांची वस्तूंची संख्या व तयांच्या संगत क्रकमती

दाखविारी संख्या यांच्यातील संबंध िोधि े तयांना िक्य होईल असा आडाखा होता. या कामाच्या णनणमत्तान े

णवद्ार्ी िोध-अन्वेषिात (engaging in exploration) समरस व्हावेत अिी अपेक्षा होती.

णवद्ार्थयाांना िोध प्रक्रियते समरसनू (engaging in exploration) जाण्यासाठी प्रसगंाची णनर्मथती करि े

सुकरकः आपि णविीसाठी वस्तू ठेवताना ककंवा वस्तूंची खरेदी करताना तयांचे दर, म्हिजे भाव, णतची ककंमत लक्षात

घेतो. जेव्हा ग्राहक, णगर् हाईके वस्तूचा भाव, ककंवा ककंमत णवचारतात तेव्हा णविेती काय सांगत?े

णवद्ार्ीः पपईसारखे मोठे फळ असेल ककंवा पॉपलेिसारखा मोठा मासा असेल तर तयाची ककंमत नगावर, म्हिजे

एकाची सांणगतली जाते. मग ग्राहक भाव करतो, तो तया वस्तूसाठी तयाची म्हिजे तयाला परवडिारी

ककंमत सांगतो, णविेता तयाला क्रकती क्रकमतीत ती वस्त ूदेि ेिक्य आह ेत ेपाहतो व तसे ग्राहकाला सांगतो.

ग्राहकाला जर ती ककंमत पिली तर तो ती ककंमत देऊन वस्तू खरेदी करतो.

णवद्ार्ीः पालेभाजीच्या जुड्या णमळतात. घोळीची भाजी, िवेग्याची फुलं, हरभर् याचा पाला वाट्यावर णवकतात.

एक वािा घेतल्यास ककंमत वेगळी असत ेव दोन, तीन वािे एकदम घेतल्यास एका वाट्याची ककंमत कमी

होते.

सुकरकः आिखी कोिाचे काही वेगळे णनरीक्षि आह ेकाय?

णवद्ार्ीः काही वेळा वस्तू, णजन्नस, जास्त प्रमािात खरेदी केला की, ककंवा ती मोठ्या बाजारात जाऊन खरेदी केली

की स्वस्तात, कमी क्रकमतीत णमळते. याला ठोक भाव म्हितात. णविते अिी ठोक खरेदी करतात. मग

क्रकरकोळीने णविी करतात. आम्ही िपरीवर णवकण्यासाठी वस्त ू या पद्धीने खरेदी केल्या तरच तयातून

फायदा होतो.

णवद्ार्ीः मी एकदा सुपर माकेिमध्ये गेलो होतो. तेर् े सगळ्या वस्तूंचे वजन करून णपिवीत बंद करून तयावर

क्रकमतींचा कागद णचकिणवलेला असतो. प्रतयेक फळावरही तरे् ेक्रकमतीचा कागद णचकिणवलेला होता. तरे् े

मी कोिालाही भाव करताना पाणहले नाही. आई म्हित ेकी तेर्े प्रतयक्ष णविेता-ग्राहक यांना भावाबाबत

घासाणघस करता येत नाही. याउलि नेहमीच्या मंडईत, बाजारात ही भावाची घासाणघस चालते.

6

णवद्ार्ीः उणिरा बाजारात गलें तर काही वस्तू स्वस्त णमळतात. वस्त ूनाणिवंत असले तर णविेते वस्तू कमी दरात

णवकून मोकळे होतात. काही मासे णवकिार् या त े मासे खराब होऊ नयेत म्हिनू बफथ ठेवलले्या

र्मोकॉलच्या पेिीत ठेवतात.

सुकरकः आपि सवाांनी या सवथ गोष्टींचा अनुभव घेतललेा आह े असं मला वाितं. आपि आता वस्त ूव तयांच्या

क्रकमती यांच्यातील सहसंबंधाचा िोध घिेार आहोत. यासाठी आपि असं मानिार आहोत की या

वस्तूंच्या क्रकमतींबाबत घासाणघस करण्याला कोितीही संधी नाही. तयांचा दर, भाव, हा नेमका ठरललेा

आह.े हा सहसंबंध िोधण्यासाठी आपि ज्जया वस्तूंबाबत णवचार करिार आहोत तयांची संख्या व तयांच्या

संगत क्रकमतींचा तिा बनवू या. तुम्ही तुम्हाला हवी ती वस्तू णवचारात घ्या. आपल्याला आकडेमोड

करण्यात वेळ घालवायचा नाही तर सहसंबंध काय आह ेह ेयाचा णवचार करायचा आह.े तयामुळे क्रकमतीही

सोयीच्या घ्या म्हिजे अपूिाथक, दिांि अपिूाांक अिा संख्या ककंमत म्हिून घऊे नका. ही मांडिी करायला

क्रकती ओळी ककंवा स्तंभ लागतील ते पाहा. आता प्रतयेकाने आपापले काम सुरू करू.

या कामाला पुरेसा वेळ क्रदला पाणहजे. मुल ेह ेकाम करत असताना प्रतयेकाजवळ जाऊन काय केल ेजात आह,े ते कसे

केले जात आह,े तयासाठी काय णवचार केला जात आह ेयाची चाचपिी मलुांिी संवाद साधत अध्यापकान ेकरायला

हवी. जर या संदभाथत काही मुले कृती करण्याची असमर्थता दाखवत असतील तर काम करिार् या इतर असे करू

िकिार् या णवद्ार्थयाांिी तयांची जोडी घालून द्ायला हवी. कधी अिा मुलांना एकत्र घेऊन तयांच्यािी तयांच्या

गरजेनुसार व समजेनुसार... आकलन णस्र्तीनुसार... संवाद साधायला हवा.

सुकरकः आपि दयाने तयार केलेला वस्तू व तयांची ककंमत यांचा तिा अभ्यासूया. एक साबिवडी सहा रुपयांना

णमळते याचा अर्थ काय होतो?

साबि वड्यांची संख्या साबि वड्यांची ककंमत

1 6

2 12

3 18

4 24

5 30

णवद्ार्ीः दोन वड्यांची ककंमत बारा रुपये होत.े

णवद्ार्ीः तीन वड्यांची ककंमत अठरा रुपय ेहोते.

सुकरकः आता आपि आपलं लक्ष वस्तूंच्या संख्येवर कें क्रद्रत करू या. कोिता पाढा म्हिला की तया संख्यांची यादी

आपल्याला णमळत ेआह?े कोि म्हिेल बरं तो पाढा? एकिी रंजू म्हिेल तो पाढा?

णवद्ार्ीः एक एके एक... एक दिुे दोन... एक णत्रक तीन... एक चोक चार...

7

सुकरकः आता वस्तूंच्या क्रकमतींच्या यादीकडे पाहा. कोिता पाढा म्हिल्यामुळे तया संख्यांची यादी णमळते आह?े कोि

म्हिेल बरं तो पाढा?

णवद्ार्ीः सहा एके सहा... सहा दिु ेबारा... सहा णत्रक अठरा....

सुकरकः प्रतयेकाने पाहा बरं... स्वतःच्या तक्तयातही ही गंमत आह ेकाय त.े.. आता या तक्तयात आपल्याला आिखी

काही गमती क्रदसतात काय त े पाहूया. पाहा बरं काळजीपूवथक या तक्तयाकडे... काय क्रदसतंय् तुम्हाला...? दोघं...

णतघं एकत्र येऊन आपापल्या व एकमेकांच्या तक्तयात पाहा... नंतर आपि सवथजि णमळून तया गमती आपापल्या

तक्तयातही आह ेकाय ते पाहू या. (कामाला पुरेसा वेळ देतात. दरम्यान णवणवध गिांत जाऊन कायथ सहभाग देतात.)

लहान गिात केललेी चचाथ

सवथ लहान गि जेव्हा आपापल्या कामात गुंतले आहते ह े लक्षात येते तेव्हा सवथ गिांवर लक्ष राहील पि एका

गिाबरोबर काम करता येईल अिी व्यवस्र्ा व्हायला हवी. ही कृती अनेक हतेू साध्य करू िकते. काही करिान े

अणधक वैयणिक लक्ष दणे्याची गरज असलले्या काही मलुांचा वा सवथ मुलांचा समावेि असलेला गि तयार करता

येईल. सतत सवांकष मलू्यमापनासाठी मुलांच्या वैयणिक व सामूणहक णवकासाचे णनदेिक नोंदणवण्यासाठीही लहान

गिािी संवाद साधिे उपयुि ठरत.े णवद्ार्थयाांबरोबर तयांच्यातीलच एक होऊन, तयांच्याबरोबर कायथ केल्यामुळे

तयांच्यात व आपल्यात मोकळेपिा येतो. असा सहभाग णवद्ार्थयाांना स्वयंणिस्त राखण्यासाठी, अध्ययनात रुची

घ्यायला प्रेररत करतो. यासंदभाथत आदिथ उपाय करून कृती संपवायची नाही तर मलुांच्या भूणमकेतून ती कृती

करायची. यासाठी स्वतःच्या िालेय आठविी, तयावेळी आपल्याला छळत असलले्या अडचिी, उपयोगी पडतात.

णवद्ार्थयाांच्या बरोबरीने आपि काही चुका केल्या आणि तया चुकांचा िोध घेऊन तया दरुुस्त केल्या तर तयातून चुका

होिे हा अध्ययनाचा भाग आह ेह ेमुलांच्या लक्षात यणे्याचा मागथ तयार होतो. पुढील संवाद वाचा.

सुकरकः काय म्हितोय मंजूचा तिा? आह ेकाही गंमत तयात…? पाहू बरं... चला आपि सवथ णमळून पाहू या तो.

णवद्ार्ीः ककंमतीचा तिा हा पाचचा पाढा आह.े.. वस्तूंची संख्या दाखविारा हा एकचा पाढा आह.े

सुकरकः या गमती णिवाय आिखी काही गंमत सापडतेय ्काय? पाहा बरं नीि... आपल्याला काय माहीत आह.े..

आणि आता काय क्रदसतं आह.े.. ?

ककंमत रुपयांत चहा पुड्यांची संख्या

5 1

10 2

15 3

20 4

25 5

30 6

8

णवद्ार्ीः ...

सुकरकः कोठेही गमतींचा िोध घ्यायचा वा गमती पाहायच्या असतील तर जे क्रदसतंय् तयाकडे नेहमीपेक्षा वेगळ्या

पद्धतीने पाहायला पाणहजे. आता आपि णतसरा स्तंभ तयार करून या तक्तयातील गंमत पाहाता येते काय त ेपाहू. या

स्तंभात आपि काही गणिती कृती करून पाहण्याचा प्रयत्न करू. आपल्याला वस्तूंच्या क्रकमतीला वस्तूचं्या संगत

संख्येने भागता येईल काय? संगत क्रकमती म्हिजे काय... ह ेकोि सांगले?

वस्तूंची ककंमत

रुपयांत

वस्तूंची संख्या

चहा पुडी

वस्तूंची एकूि ककंमत ÷ वस्तूची संगत संख्या

= 5

वस्तूंची संख्या × 5

= वस्तूंची एकूि ककंमत

5 1 5 ÷ 1 = 5 1 × 5 = 5

10 2 10 ÷ 2 = 5 2 × 5 = 10

15 3 15 ÷ 3 = 5 3 × 5 = 15

20 3 20 ÷ 4 = 5 4 × 5 = 20

25 5 25 ÷ 5 = 5 5 × 5 = 25

30 6 30 ÷ 6 = 5 6 × 5 = 20

णवद्ार्ीः एका पुडीची ककंमत पाच रुपये? एक ही पुस्तकाची संख्या व पाच ही णतची ककंमत अिा या दोन संगत

क्रकमती आहते. तया एकमेकांवर अवलंबून असलले्या क्रकमती आहते. दहा णन दोन या संगत क्रकमती

आहते...

सुकरकः आता या क्रकमतीतील काही संबंध िोधता येतो काय ते पाहू. वस्तूंच्या संख्यनेे तेवढ्या वस्तूंच्या क्रकमतीला

भागून पाहा बरं...

णवद्ार्ीः णतसरा स्तंभ तयार करा पाहू... हा भागाकार एका वस्तूच्या क्रकमतीएवढा आह.े

सुकरकः सगळ्यांच्या तक्तयात अिी गंमत आह ेकाय?

णवद्ार्थयाांना स्पष्टीकरि कृतीत समरस व्हायला आवाहन करिारी कृती करि े

णवद्ार्ीः होय... णन म्हिून मीही चौर्ा स्तंभ तयार केला आह.े.. दाखवू...

सुकरकः हऽँऽऽ... दाखव पाहू आम्हा सवाांना... तू काय काय केलसं ते...

णवद्ार्ीः माझ्या एका वस्तूची म्हिजे पेनांची ककंमत मी सात ठेवली आह.े.. पेन ही वस्तू काही खराब होिारी नाही

म्हिून मला तयाची ककंमत कमी करून णवकण्याचं कारि नाही. मी पणहलं... प्रर्म... पेनांची िमाने संख्या

दाखविारा तिा पूिथ केला. मग दसुर् या स्तंभात मी णततक्या पेनांच्या संगत क्रकमती णलणहल्या... पेनांच्या

संख्येला एका पनेाच्या क्रकमतीने गिुल.े.. तेव्हा णततक्या पनेांची ककंमत दाखविारी संख्या णमळाली.

9

तयानंतर मी णतसरा स्तंभ तयार केला. यात मी संबंणधत वस्तूंच्या क्रकमतीला वस्तूंच्या संख्येने भागल.े..

पाहा... ह ेयरे्े... मला एका वस्तूच्या क्रकमतीचा तिा णमळाला.

णवद्ार्थयाांना णवस्तारि व अणभव्यिी कृतींत समरस व्हायला आवाहन करि े

सुकरकः अिी काही गंमत आिखी कोिा कोिाला णमळालीय्? पाहा बरं... पनु्हा आपापला तिा... (सवथ मुलांना

काही वेळ स्वतःच्या तक्तयात समरस व्हायला देऊन दसुर् या लहान गिाकडे वळता यतेे.)

काही वेळ लहान गिकायाथला क्रदल्यानंतर सवथ वगथ कायाथकडे वळि े योग्य ठरते कारि तो पयांत अनेक

णवद्ार्थयाांनी आकलनाची काही पातळी गाठलेली असत.े यामळेु चचेत प्रतयक्ष सहभागी होिार् या णवद्ार्थयाांचे प्रमाि

मोजके असले तरी आपापसात चचाथ करून चचेत सहभागी होिार् या णवद्ार्थयाांचे प्रमाि खूप असत.े तयांच्या

आसपासचे णवद्ार्ीही ही चचाथ ऐकत असतात. तयाला प्रणतसाद देत असतात.

सुकरकः आता आपि या भागाकार तक्तयाचा आपल्याला काही उपयोग होईल काय... तयाचा उपयोग करून घेता

येईल काय ते पाहूया. सांगा बरं िेजारी बसलेल्या असलले्या मुलांनी आपापसात णवचार करून. आता

प्रतयेकाच्या वहीत णवचार करण्याचे सामान... साणहतय आह.े.. णवचार करा... नुसतं पाहत बसू नका.

यावेळी सुकरक ज्जयांच्यािी गेल्या एक-दोन क्रदवसात संपकथ साधला गलेेला नाही तयांच्यािी बोलण्याला

प्रधान्य देतील. ते तयांना काही प्रश् णवचारतील... वा सुचवतील. उदाहरिार्थ, समजा णविेतयाने तीन केळ्यांची

ककंमत नऊ रुपये सांणगतली. मी तयाला णवचारले की याच दराने... भावाने एक केळे देिील काय... तर तो म्हिाला

हो. आता मी णविेतयाला क्रकती पैसे द्ायचे त ेकसे ठरवू? दसुर् या जोडीला णवचारल ेकी पाच वस्तूंची ककंमत माहीत

असेल तर एका वस्तूची ककंमत किी काढायची. णतसर् या जोडीला णवचारल ेकी णविेती सहा वस्तूंची ककंमत सांगत

असेल तर तयावरून चार वस्तूंची ककंमत किी काढायची. या प्रश्ांचे स्वरूप लक्षात घतेा तक्तयाचा उपयोग न

करताही यांची उत्तरे काढता येतील. णवद्ार्थयाांनी तसे केले तर तयावर आक्षेप घेण्याची गरज नाही. फि तयांना

सांगायचे की या भागाकार स्तभं उपयोगात आिून काय करता येईल ह ेआपि पाहत आहोत. पि तयापूवी तयांनी

वापरलेल्या पद्धतींबद्दल सवाथनुमते तयांना िाबासकी द्ायची. िाबासकी कारिाखेरीज व उठसूि देण्याचे कारि

नाही. तयाचा उपयोग तरुळक असावा. तयासाठी सवथ वगथसदस्यांत णवचार णवणनमय झाला पाणहजे. यासाठी

णवद्ार्थयाथने कोिती पद्धत वापरली, ती तयाने का वापरली, तयाला ती किी सुचली, ती तो कोिाकडून णिकला, ती

तकथ संगत आह ेका. इतयादी प्रश् णवचारून ती समजून घ्यायला इतरांना मदत द्ायची. तयाबरोबरीने अन्य कोिी ही

पद्धत वापरली काय, का, किी, या पद्धतीत नाणवन्य आह ेकाय इतयादी प्रश्ही णवचारायचे. यातून खरोखरच ही

पद्धत नवीन असले तरच तयाला स्तुणतपर प्रणतसाद द्ायचा.

यादरम्यान काही णवद्ार्ी लगचे उत्तर तयार करून त े दऊे पाहतात. यासाठी सुरुवातीलाच आपि पाच

णमणनिांनी णवचार णवणनमय करिार आहोत, सवाांना णवचार करायला वेळ णमळाला तर अनेक उपायांचा खणजना

आपल्या हाती लागले, णवचार नीि णलहून काढायचा म्हिजे तो कायम वहीत राहातो, र्ांबा... सवाांना

10

आपल्याबरोबर घ्यायचं आह,े तयांना र्ोडा वेळ जास्त हवा ह ेलक्षात घ्या, एकिंच जाऊन खूप पुढे पोहोचलं तर तेर् े

एकट्याला कंिाळा यणे्याची िक्यता असत ेअिा स्वरूपाचं णनवेदन करिं योग्य ठरेल.

सुकरकः चलाऽऽ कोि करतंय सुरुवात. आता सवाांचं लक्ष एकाच कामाकडे हवं.

णवद्ार्ीः भागाकार तक्तयाचा उपयोग करून एका वस्तूची ककंमत समजते. (सुकरक फलकावर णलणहतात.)

सुकरकः तलुा जे सांगायचं त ेसगळं तू सांणगतलंस काय? पाहा बरंऽऽ वाक्य वाचून... इतरांनी र्ोडा धीर धरा. तयान े

स्वतःला समजललें सगळं आपल्याला सांणगतल ं काय ह े आपल्याला समजायला हवं. तो णवचार करतोय ्

तोवर इतरांनी पाहा की तयांना काही वेगळं सांगायच आह ेकाय ते. (र्ोड्या वेळान.े..)

णवद्ार्ीः मी सांणगतलं सगळं...

णवद्ार्ीः तयान ेसगळं नाही सांणगतल.ं.. मी होत ेतयाच्याबरोबर... अनेक वस्तूचं्या संख्यलेा एका वस्तूच्या क्रकमतीन े

भागल्याने एका वस्तूची ककंमत समजते.

सुकरकः ह ेइतकं सगळं सांगण्याची गरज आह ेकाय?

णवद्ार्ीः होय... किाचा भागाकार करून एका वस्तूची ककंमत णमळते ह ेसमजायला हवं...

सुकरकः सगळ्यांना ह ेआवश्यक वाितं काय? त ूसांग...

णवद्ार्ीः भागाकार करायला दोन संख्या लागतात. कोितया संख्येने कोितया संख्यलेा भागायचे ह ेठरवायला हवे.

णवद्ार्थयाांना िोध, स्पष्टीकरि व अणभव्यिीत समरस व्हायला आवाहन करि े

सुकरकः (फलकावर णलणहतात...) आता अनेक वस्तूंच्या क्रकमतीला वस्तूचं्या संख्येने भागनू एका वस्तूची ककंमत का...

किी णमळत ेयाचा णवचार करूया. सवाांनी स्वतःच्या तक्तयाच्या आधारे इतरांना समजावून द्ायचे आह.े

सगळ्यांना णवचार करायला वेळ द्ायचा आह े तयामुळे स्वतःचे णवचार सवाांनी दाबून... दडपून... ठेवा.

तयांना बाहरे पडू दऊे नका.

या दरम्यान सुकरक णवद्ार्थयाांच्या कामाचे णनरीक्षि करतात. भागाकार या गणिती कृतीचा अर्थ लावण्याचा

प्रयत्न प्रतयेक जि करत आह ेह ेतयांना जािवावे या दषृ्टीन ेकाही णवधाने करतात. र्ोड्या वेळाने णवद्ार्थयाांना तयांचे

णवचार सांगण्याचे आवाहन करतात. भागाकार ही प्रक्रकया समजून घेण्याच्या दषृ्टीन े तयांना आकृती काढून णवचार

करण्याचे आवाहन करतात. तयातून तयांनी मलुांची मदत घऊेन पुढील मांडिी तयार केली.

11

आकृतीच्या मदतीन ेणवचाराचंी माडंिीः

वस्तूंची संख्या → २ वस्तूचंी एकूि ककंमत → १०

दोन्ही वस्तूंची ककंमत सारखी म्हिून दहांचे दोन समान भाग, म्हिून बे पंचे दहा हा भाग जातो. प्रतयेक भाग पाचचा

→ ⃝⃝⃝⃝⃝⃝⃝⃝⃝⃝⃝⃝⃝⃝⃝⃝⃝⃝⃝⃝⃝⃝⃝⃝⃝ ⃝⃝⃝⃝⃝⃝⃝⃝⃝⃝⃝⃝⃝⃝⃝⃝⃝⃝⃝⃝⃝⃝⃝⃝⃝

वस्तूंची संख्या → ३ वस्तूंची एकूि ककंमत → १२

सवथ वस्तूंची ककंमत समान म्हिनू १२चे तीन-तीनचे वािे

ह े चार वािे होतात. म्हिजे प्रतयेक वेळी एक-एक रुपया प्रतयेक वस्तूसाठी बाजूला काढला. अस े चारदा एक-एक

बाजूला काढले. म्हिून प्रतयेक वस्तूची ककंमत चार आह.े

सुकरकः आपि पाणहल ेकी आपल्याला भागाकार क्रियेचा... कृतीचा उपयोग अनेक वस्तूंच्या क्रकमतीवरून

एका वस्तूची ककंमत िोधण्यासाठी होतो. (णवद्ार्थयाांिी संवाद साधत फलक कायथ.)

ह ेर्ोडक्यात कसे णलणहता येईल ते पाहू;

याला एका वस्तूची ककंमत काढण्याचे सूत्र म्हितात.

ह ेसूत्र कोितया पररणस्र्तीत वापरि ेयोग्य आहे?

जर सवथ वस्तूंची ककंमत समान असेल तरच कारि तेव्हाच आपि समान भाग करू िकतो. भागाकार करि े

म्हिजे भाज्जयाचे भाजकाइतके समान भाग करिे.

भागाकाराचा

अर्थ

भाज्जय संख्येचे भाजक

संख्येइतके गि करिे

भाज्जय संख्येतून

भाजक संख्या दरवेळी

वजा करत जािे

वस्तूंच्या एकूि क्रकमतीतून वस्तूचंी संख्या दर

वेळी बाजूला काढत जायची. म्हिजे वस्तूच्या

संख्येइतके रुपये आपि बाजूला काढतो. म्हिजे

दहा ही दोन वस्तूंची एकूि ककंमत असेल तर

दोन ही भाजक... संख्या दोन बाजूला केली की

ते एकेक करायचे. असं पाच वेळा होिार. म्हिून

पाच ही एका वस्तूची ककंमत ठरते. दोन गि

प्रतयेकी पाचचे... तयार होतात.

सवथ वस्तू सारख्या

क्रकमतीच्या...

एकूि क्रकमतीचे वस्तूंच्या

क्रकमतीइतके समान भाग...

प्रश्: समान भागांना क्रकतीन े

गुिले की भाज्जय संख्या

णमळते?

णततक्याच वस्तूंची एकूि ककंमत

अनेक वस्तूंची संख्या = एका वस्तूची ककंमत सवथ वस्तूंची ककंमत समान असल्यासच...

12

या सूत्राचा आपि कोिकोितया पररणस्र्तीत वापर करू िकतो याचा िोध तुम्ही गृहपाठ म्हिून घ्यायचा

आह.े णिवाय गिुाकार प्रक्रिया वापरून एखादे सूत्र तयार करता येते काय ते पाहा.

वरील कृती करताना सुकरक णवचारप्रक्रियेचे प्रतयणक्षक करून णवद्ार्थयाांसमोर आि ूिकतात. कारि ही कृती

णवद्ार्थयाांना पररचयाची नसले तर तयांना ती करण्याचा अनुभव द्ावा लागेल. तयासाठी सुकरकान े स्वतः करत

असललेी णवचार प्रक्रिया मोठ्याने म्हिून दाखवि ेव तयासोबत फलक कायथ करिे हा एक उपाय ठरतो तयाचा नमुना

पुढे दाखवला आह.े

चला आपि आता आपि जो भागाकाराचा उपयोग केला तो र्ोडक्यात णलणहण्याचा प्रयत्न करू या. सांगा

पाहू आपि काय केलं त.े.. (णवद्ार्ी सांगतात). आता ह ेआपि र्ोडक्यात णलहू या. आपि कोितया दोन संख्याचा

भागाकार केला? (णवद्ार्ी सांगतात) मी ह े णलणहते... पाहा ते बरोबर आह े काय ते... (णवद्ार्ी सांगतात). या

भागाकारातून आपल्याला काय णमळाले... आपि काय णमळवू िकलो? (णवद्ार्ी सांगतात). या पद्धतीन ेणलणहण्याला

आपि सूत्र लेखन म्हितो. आता मला सांगा ह े सूत्र आपल्याला केव्हा... कोितया पररणस्र्तीतच उपयुि ठरेल?

(णवद्ार्ी सांगतात) असं होण्याचं कारि काय?... भागाकाराचा अर्थ आपि यरे्े किा रीतीने वापरला? (णवद्ार्ी

सांगतात).

यानंतर णवद्ार्थयाांकडून तयांनी केलेल्या सवथ कृतींच्या नोंदी करायला लावण्याच्या दषृ्टीन ेकाही प्रश् उपणस्र्त

करायला हवेत. स्वतःच्या कृतींचा मागोवा घेण्यान.े.. घेण्याच्या सवयीने... प्रगतीचे... णवकासाचे... णवणवध मागथ

िोधिे... रचिे व्यिीला िक्य होते. साधारिपिे आज आपि नवे काय णिकलो, जे णिकलो ते नवे का ठरले, आपि

जे णिकलो तयाचा नवेपिा किामुळे, कोिामुळे तुमच्यासमोर आला, तयाचा तुम्हाला काय व कसा उपयोग होईल...

उपयोग करता येईल, जे णिकलो तयातील कोिती गोष्ट कायम लक्षात राहावी अस ेतुम्हाला वािते, यातील कोिती

कृती करि े तुम्हाला त्रासदायक वािले, का, कोिती कृती करिे तुम्हाला आनंददायी वािले, का इतयादी प्रश्

णवद्ार्थयाांना णवमिी चचंतनाला, पराबोधीय कौिल्यांना प्रवृत्त करतात. व्यिीच्या णवकास प्रक्रियेत ही कौिल्य े

महत्त्वाची भूणमका बजावतात.

सारािंः पंचबोधीय प्रक्रियांच्या साहाय्यान े णवद्ार्थयाांना ज्ञानरचनते समरस व्हायला मदत करता येत.े

सुकरकाची भूणमका करून णवद्ार्थयाांना णवणवध बौणद्धक कृतीत समरस व्हायला अवाहन करू िकतात. या प्रक्रिया

करताना णवद्ार्थयाांना स्वतःिी व इतरांिी संवाद साधिे उपयुि व आवश्यक कसे ठरते याचे णवणवध अनुभव देिे

िक्य होत.े सुरुवात म्हिनू ह ेसोपे सूत्र णवचारार्थ घेतले आह.े यातनू अणधक गुंतागुंतीच्या पररणस्र्तीची सूते्र बांधि े

णवद्ार्थयाांना जम ूलागते. या पद्धतीने प्रमाि व चलन या संकल्पनांच्या आधारे अनेक सूते्र तयार करि ेणवद्ार्थयाांवर

सोपणविे िक्य होते. यातून सूते्र ही अपौरुषये… दैवी... अध्यापक (देवान)े... आहते असा णवद्ार्थयाांचा गरैसमज तरी

होिार नाही. तसेच ती स्वतः बनवू िकतो व काही पररणस्र्ती आहते ती सूते्र कुचकामी ठरतात तयावेळी णवचार

करून नवी सूते्र रचावी लागतात. अिा वेळी ती स्वतःलाच तयार करता येतात याचाही अनभुव तयांना णमळेल. मात्र

13

या सवथ प्रक्रियेसाठी वेळ कोठून णमळिार हा अनेकांचा प्रश् असले. पि मी उपलब्ध वेळेचा कािेकोर उपयोग करून ह े

सवथ करत होते कारि अध्ययन ह ेवेळेचे फल (function) असते. सुरुवातीला परेुसा वेळ देऊन या चाकोर् या अध्ययन

कायाथत प्रस्र्ाणपत केल्यानंतर तयाला अणतररि वेळ द्ावा लागत नाही हा ही माझा अनुभव आह.े णवद्ार्ी स्वतःच

पुढाकार घेऊन स्वतःला अध्ययनाबाबत आतमणनभथर होण्याच्या क्रदिेने वािचाल करत रहातात. पररिामी

अभ्यासिम संपणवण्यासाठी व परीक्षा उत्तीिथ व्हायला मदत दणे्यासाठी वेगळे प्रयत्न करावे लागत नाहीत.

सपंकथ ः rsatya.rawool@gmail.com