Grupo 196 Act Col

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TRABAJO COLABORATIVO 1

TEORIAS DE CONJUNTOS

LOGICA MATEMATICA

Ingeniería de Sistemas

PRESENTADO POR:

WILLIAN ENRIQUE GARCERANT ARIZA

COD. 72051758

Grupo 90004_196

MAYO DE 2016

INTRODUCCION

Durante el desarrollo de este trabajo colaborativo aprenderemos sobre los temas

relacionados a la teoría de conjuntos, lógica de conjuntos, tablas de verdad y

método científico, estas temáticas son importantes para desarrollar la lógica en la

vida profesional y cotidiana, con ello se lograra mejorar el razonamiento lógico y

se podrá avanzar en la técnicas para resolver problemas de forma rápida y

concreta.

OBJETIVOS

Identificar conceptos de conjuntos y sus operaciones,

Conocer la lógica proposicional,

Aprender a identificar y plasmar proposiciones en lenguaje simbólico y

tablas de verdad.

Aprender las teorías de investigación, a traves del método científico.

Trabajo colaborativo LOGICA MATEMATICA

Ejercicio 1

U= {168 estudiantes de la Unad Sahagún}

Ingles= {38 estudiantes}

Informática= {58 estudiantes}

Ni lo ni lo otro= {20 estudiantes}

Ambas= {52 estudiantes}

Para realizar este ejercicio utilizamos:

-La lógica

-Operaciones aritméticas (suma y resta).

Como tenemos claro que hay 20 estudiantes que estudian otras áreas, entonces

podemos deducir lo siguiente:

Ósea que 148 son los que estudian inglés, informática y ambas asignaturas.

52 38 58

U Inf. Ing.

Por lo tanto realizamos la siguiente operación.

Existen 38 estudiantes que estudian ingles solamente, por que 110 son los que

estudian informática.

De la misma forma decimos.

Tendríamos 58 estudiantes que solo estudian informática.

Con estos valores podremos decir:

Tenemos 96 estudiantes que estudian solo inglés y solo informática, por lo tanto

finalizamos así:

52 estudiantes de ambas áreas.

La argumentación de la validez del resultado final radica en:

-Al momento de sumar todos los elementos del conjunto resultante nos da 168

estudiantes que son el total mencionado en el ejercicio.

-Al sumar los estudiantes que solo ven informática con los que ven ambas

asignaturas me da el total de alumnos que ven informática, según se menciona en

el ejercicio.

-De igual forma al sumar los estudiantes que solo ven ingles con aquellos que ven

ambas áreas, me da el total de alumnos que ven inglés como lo menciona el

ejercicio.

Ejercicio 2

U= {105 estudiantes de sicología}

No toman lógica = {51 estudiantes}

No ven Informática= {50 estudiantes}

No ven ni lógica ni informática= {29 estudiantes}

Alumnos que toman solo una asignatura

Lógica= {25 estudiantes}

Informática= {26 estudiantes}

-La lógica

-Operaciones algebraicas.

Como tenemos claro que hay 105 estudiantes que estudian sicología, 29 no

estudian ni lo uno ni lo otro, entonces podemos deducir lo siguiente:

a=25 c=26

Informática. Lógica.

Hallamos primero el valor de a.

Por lo tanto utilizaremos las siguientes ecuaciones.

Entonces.

Ahora utilizaremos la siguiente fórmula para hallar el valor de b.

Finalmente hallamos el valor de c.

estudiantes que son el total mencionado en el ejercicio.

-Al sumar los estudiantes que solo ven informática con los estudiantes que ven

ambas asignaturas me da el total de alumnos que ven informática, según se

menciona en el ejercicio.

-De igual forma al sumar los estudiantes que solo ven lógica con aquellos que ven

ambas áreas, me da el total de alumnos que ven lógica como lo menciona el

ejercicio.

Ejercicio 3

U= {300 docentes}

Hablan Inglés= {210 docentes}

Hablan francés= {110 docentes}

No hablan ni ingles ni francés= {12 docentes}

Docentes que solo hablan un idioma.

Ingles= {178 Docentes}

Francés= {78 Docentes}

Docentes que no hablan los dos idiomas es = 178+78+12=268

268 Docentes.

-La lógica

Como tenemos claro que hay 300 docentes de la UNAD, además 12 no hablan ni

inglés, ni francés, entonces podemos deducir lo siguiente:

Hallamos primero el valor de c.

Por lo tanto utilizaremos las siguientes ecuaciones.

b=32 a=178 c=78

Francés. Inglés.

Hallamos a.

Ahora utilizaremos la siguiente fórmula para hallar el valor de b.

docentes que son el total mencionado en el ejercicio.

-Al sumar los docentes que solo hablan inglés con aquellos que hablan ambos

idiomas me da el total de docentes que hablan inglés, según se menciona en el

ejercicio.

-De igual forma al sumar los estudiantes que solo hablan francés con aquellos que

hablan ambos idiomas, me da el total de alumnos que hablan francés como lo

menciona el ejercicio.

Ejercicio 4

U= {100% docentes de administración}

Especializados= {40% docentes}

Maestría= {35% docentes}

Solo tienen o maestría o especialización = {48% docentes}

¿Cuántos docentes no tienen ninguno de los dos grados?

No tienen ninguno de los dos grados= {38,5% Docentes}

-La lógica

Como tenemos claro que el 40% de los docentes de administración son

especializados, además 35% tienen maestría, el 48% solo una de las dos,

entonces podemos deducir lo siguiente:

b=13,5 a=26,5 c=21,5

U Maestría. Especialización.

Para realizar el ejercicio se supone que tenemos 100% docentes, pues es, el

ejercicio no nos da un dato numérico exacto.

Entonces agrupamos por ley conmutativa.

Reemplazamos el valor de los términos conocidos así:

Ahora hallamos el valor de d.

Despejamos d.

Hallamos el valor de c y a así

Ahora reemplazamos y d nos quedaría como:

-Al momento de sumar todos los elementos del conjunto resultante nos da 100%

docentes que son el total mencionado en el ejercicio.

-Al sumar los docentes que solo tienen especialización con aquellos que tienen

maestría me da el total de docentes que solo tienen una de las dos, según se

menciona en el ejercicio.

-De igual forma al sumar los docentes que solo tienen especialización, con

aquellos que tienen ambos grados me da el total planteado ejercicio.

-Finalmente al sumar los docentes que tienen solo maestría con aquellos que

tienen ambos grados.

Ejercicio 5

U= {150 docentes de la ECBTI}

Viajaron al congreso de ingenierías= {92 docentes}

Presentaron ponencias= {14 docentes}

Presentaron artículos = {36 docentes}

Participaron en las dos modalidades= {12}

¿Cuántos docentes no participaron?

58 Docentes.

Docentes ECBTI

-La lógica

Como tenemos claro que son 150 los docentes de ECBTI, además de ellos 92

viajaron al congreso de ingenierías, 14 presentaron ponencias, 36 presentaron

artículos y 12 participaron en las dos modalidades entonces podemos deducir lo

Entonces.

b=12 a=2 c=24

Articulos Ponentes.

Hallamos el valor de d.

Finalmente hallamos el valor de e.

Sabemos que son 150 docentes, de ellos viajaron 92 y algunos no viajaron.

150-92=58

-Al momento de sumar todos los elementos del conjunto resultante de los

docentes que viajaron nos da 92 docentes que son el total mencionado en el

ejercicio.

-Al sumar los docentes que viajaron con aquellos que no, nos da el total de

docentes de ECBTI.

-De igual forma al sumar los docentes que presentaron ponencias, con aquellos

que participaron ambas categorías y los que solo presentaron artículos me da el

total planteado ejercicio.

Tarea 2 Aplicación a la teoría de conjuntos

2.1 Resuelva el siguiente diagrama de ven de acuerdo a la información que

se requiere.

Ejercicio 2.1.1

¿Cuántos estudiantes pertenecen a los cursos Prácticos, Metodológicos y

Teóricos a la vez?

Son 4 estudiantes.

2.1.2. ¿Cuántos estudiantes pertenecen solo a los cursos Prácticos?

Los estudiantes que pertenecen solo a los cursos prácticos son 45.

2.1.3. ¿Cuántos estudiantes pertenecen solo a los cursos Teóricos?

Los estudiantes que solo ven cursos teóricos son 23.

2.1.4. ¿Cuántos estudiantes pertenecen solo a los cursos prácticos y

metodológicos pero no a los teóricos?

Los estudiantes que solo ven cursos metodológicos y prácticos son:

Ambos cursos= {8}

2.1.5. ¿Cuántos estudiantes no pertenecen a los cursos prácticos?

Para responder esta pregunta tomamos los siguientes subconjuntos:

Teóricos= {23}

Metodológicos= {32}

Teóricos y metodológicos= {6}

No pertenecen a ningún curso= {7}

Tendríamos un total de 68 alumnos que no pertenecen a los cursos prácticos.

Tarea 2.2 Aplicación a la teoría de conjuntos

2.2 Con base en el diagrama de Venn del punto anterior represente (coloree) cada

caso de la forma que se propone en la siguiente relación; un diagrama de Venn

para cada ítem.

a. P ∩ T = P intersección T

b. T U M = T unión M

c. P Δ M = P diferencia simétrica M

P Δ M = {15, 45, 6,32}

d. P – B = P

e. (T U M) ´ = (T unión M) complemento

Son todos aquellos elementos que no hacen parte de la unión de T U M.

Tarea 2.3

Con base en la siguiente información, resuelva: Colombia se divide geográficamente en 5 regiones, y políticamente en 32 departamentos. El origen de los departamentos en Colombia se da en la Nueva Granada, cuando se realiza una división político-administrativa por provincias, que más o menos corresponden con los departamentos actuales. Estas regiones son: Región Andina: Antioquia, Boyacá, Caldas, Cundinamarca, Huila, Norte de Santander, Quindío, Risaralda, Santander y Tolima. Región Caribe: Atlántico, Bolívar, Cesar, Córdoba, La Guajira, Magdalena, San Andrés, Providencia y Santa Catalina y Sucre. Región de la Amazonía: Amazonas, Caquetá, Guainía, Guaviare, Putumayo y Vaupés. Región Pacífica: Cauca, Chocó, Nariño y Valle del Cauca. Región de la Orinoquía (Llanos Orientales): Arauca, Casanare, Meta y Vichada. 2.3.1 Defina por compresión los siguientes conjuntos:

a. { Cauca, Chocó, Nariño, Valle del Cauca, Arauca, Casanare, Meta, Vichada }

A = {xЄ x/ x es un departamento de la Región Pacifica Ʌ x/ x es un departamento de la Región de la Orinoquia}

b. { Atlántico, Bolívar, Cesar, Córdoba, La Guajira, Magdalena, San Andrés, Providencia y Santa Catalina, Sucre}

B = {xЄ x/ x es un departamento de la Región Caribe}

c. { Amazonas, Caquetá, Guainía, Guaviare, Putumayo, Vaupés} B = {xЄ x/ x es un departamento de la Región Amazonia}

2.3.2 Defina por extensión los siguientes conjuntos:

a. A = {xЄ x/ x es departamento de la Región Andina}

Región Andina= {Antioquia, Boyacá, Caldas, Cundinamarca, Huila, Norte de Santander, Quindío, Risaralda, Santander y Tolima}

b. P = {xЄ x/ x es departamento de la Región Pacífica}

Región Pacífica= {Cauca, Chocó, Nariño y Valle del Cauca}

c. O = {xЄ x/ x es departamento de la Región de la Orinoquía} Región de la Orinoquía (Llanos Orientales)= {Arauca, Casanare, Meta y Vichada.}

Tarea 3

Tarea 3: Proposiciones y tablas de verdad

3.1. El estudiante revisará individualmente los temas relacionados sobre

proposiciones y conectores lógicos, al terminar debe aplicar los conocimientos

adquiridos a las expresiones enumeradas a:

1. Si quieres progresar debes estudiar y ahorrar para el futuro.

2. No puedes dañar a un ser humano o permitir que sufra daño si eres un robot.

3. O viajamos en el día o lo hacemos por la noche.

4. Es necesario ser responsable y dedicado para estudiar ingeniería.

5. Si quieres llegar temprano madruga más.

6. La lógica es condición necesaria y suficiente para interpretar una lectura.

7. Los habitantes del campo progresan si y solo si tienen servicios públicos y una

vivienda adecuada.

8. El conector lógico “o” es verdadero si y solo si alguna de las proposiciones es

verdadera.

9. O trabajas en la obra y eres ingeniero o trabajas en el campo y eres agrónomo.

10. Si te portas bien, el domingo pediremos arroz chino o pizza.

Cada solución de los ítems enumerados debe contar con las siguientes etapas:

a. Expresión en lenguaje natural en donde evidencie los conectivos lógicos.

b. Declaración de premisas.

c. Expresión en lenguaje Simbólico.

d. Tabla de verdad.

e. Utilizar el simulador truth.

Si quieres progresar debes estudiar y ahorrar para el futuro.

a. Conectores lógicos:

LENGUAJE

NATURAL

LENGUAJE

FORMAL

SI…ENTONCES →

SI Y SOLO SI

b. Premisas.

p: Quieres progresar

q: Estudiar

r: Ahorrar para el futuro

c. Lenguaje formal o simbólico.

p→ (q Ʌr)

d. Tabla de verdad

p q r ( q Λ r ) p → ( q Λ r )

V V V V V

V V F F F

V F V F F

V F F F F

F V V V V

F V F F V

F F V F V

F F F F V

e. Utilizar truth

p → ( q Λ r )

No puedes dañar a un ser humano o permitir que sufra daño si eres

un robot.

LENGUAJE

NATURAL

LENGUAJE

FORMAL

SI…ENTONCES →

SI Y SOLO SI

b. Premisas:

p: Puedes dañar a un ser humano

q: Permitir que sufra daño

r: eres un robot

c. Lenguaje simbólico.

(¬p v q)→r

d. Tabla de Verdad

p q r ¬ p (¬ p V q) (¬ p V q)→r

V V V F V V

V V F F V F

V F V F F V

V F F F F V

F V V V V V

F V F V V F

F F V V V V

F F F V V F

e. Utilizar truth

(¬ p V q)→r

O viajamos en el día o lo hacemos por la noche.

LENGUAJE

NATURAL

LENGUAJE

FORMAL

SI…ENTONCES

SI Y SOLO SI

b. Premisas:

p: Viajamos en el día.

q: Lo hacemos por la noche.

d. Tabla de verdad.

p q (pVq)

e. Utilizar truth

Es necesario ser responsable y dedicado para estudiar ingeniería.

LENGUAJE

NATURAL

LENGUAJE

FORMAL

SI…ENTONCES

SI Y SOLO SI

b. Premisas:

p: Es necesario ser responsable

q: Dedicado para estudiar ingeniería.

c. Lenguaje simbólico:

d. Tabla de verdad.

p q (pΛq)

e. Utilizar truth.

(pΛq)

Si quieres llegar temprano, madruga más.

LENGUAJE

NATURAL

LENGUAJE

FORMAL

SI…ENTONCES →

SI Y SOLO SI

b. Premisas:

p: Quieres llegar temprano

q: Madruga más

d. Tabla de verdad.

p q (p→q)

E. Tabla de truth.

p q (p→q)

La lógica es condición necesaria y suficiente para interpretar una

lectura.

LENGUAJE

NATURAL

LENGUAJE

FORMAL

SI…ENTONCES

SI Y SOLO SI

b. Premisas:

p: La lógica es condición necesaria.

q: suficiente para interpretar una lectura.

d. Tabla de verdad.

p q (pΛq)

e. Utilizar truth.

p q (pΛq)

Los habitantes del campo progresan si y solo si tienen servicios

públicos y una vivienda adecuada.

LENGUAJE

NATURAL

LENGUAJE

FORMAL

SI…ENTONCES

SI Y SOLO SI ↔

b. Premisas:

p: Los habitantes del campo progresan

q: tienen servicios públicos

r: una vivienda adecuada.

p↔ (q Ʌr)

d. Tabla de verdad.

p q r (qΛr) p↔(qΛr)

V V V V V

V V F F F

V F V F F

V F F F F

F V V V F

F V F F V

F F V F V

F F F F V

E. Utilizar truth.

p q r p↔(qΛr)

V V V V

V V F F

V F V F

V F F F

F V V F

F V F V

F F V V

F F F V

El conector lógico “o” es verdadero si y solo si alguna de las

proposiciones es verdadera.

LENGUAJE

NATURAL

LENGUAJE

FORMAL

SI…ENTONCES

SI Y SOLO SI ↔

b. Premisas:

p: El conector lógico “o” es verdadero

q: alguna de las proposiciones es verdadera.

p ↔ q

d. Tabla de verdad.

p q p ↔ q

e. Utilizar truth.

p ↔ q

O trabajas en la obra y eres ingeniero o trabajas en el campo y eres

agrónomo.

LENGUAJE

NATURAL

LENGUAJE

FORMAL

SI…ENTONCES

SI Y SOLO SI

b. Premisas

p: trabajas en la obra

q: eres ingeniero

r: trabajas en el campo

s: eres agrónomo.

(p Ʌq) v(r Ʌs)

d. Tabla de verdad.

p q r s (p Λq) (r Λs) (p Λq) V(r Λs)

V V V V V V V

V V V F V F V

V V F V V F V

V V F F V F V

V F V V F V V

V F V F F F F

V F F V F F F

V F F F F F F

F V V V F V V

F V V F F F F

F V F V F F F

F V F F F F F

F F V V F V V

F F V F F F F

F F F V F F F

F F F F F F F

e. Utilizar truth.

p q r s (p Λq) V(r Λs)

V V V V V

V V V F V

V V F V V

V V F F V

V F V V V

V F V F F

V F F V F

V F F F F

F V V V V

F V V F F

F V F V F

F V F F F

F F V V V

F F V F F

F F F V F

F F F F F

Si te portas bien, el domingo pediremos arroz chino o pizza.

LENGUAJE

NATURAL

LENGUAJE

FORMAL

SI…ENTONCES →

SI Y SOLO SI

b. Premisas:

p: te portas bien

q: el domingo pediremos arroz chino

r: pizza

c. Lenguaje Simbólico.

p→ (q vr)

d. Tabla de verdad.

p q r (qvr) p→(qVr)

V V V V V

V V F V V

V F V V V

V F F F F

F V V V V

F V F V V

F F V V V

F F F F V

e. Utilizar truth.

p q r p→(qVr)

V V V V

V V F V

V F V V

V F F F

F V V V

F V F V

F F V V

F F F V

Tarea 4 Método científico.

CONCLUSIONES

Como resultado de este trabajo se pude apreciar el poder que posee la lógica

matemática, para lograr que el pensamiento y el razonamiento lógico nos permita

mejorar nuestros procesos de análisis y solución de problemas de forma simples y

ordenadas, además la lógica de conjunto mejora nuestro razonamiento abstracto

para que podamos sacar conclusiones verídicas con el análisis de los elementos y

conjuntos dados, el proceso de las proposiciones simples y compuestas también

es muy importante pues permite expresar ideas con valor verdadero o falso de una

forma universal y resumida es importante también mencionar la importancia del

método científico en nuestra vida en los diferentes campos de acciones que

ejecutamos, como base para lograr conocimientos especializados y generales.

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

Página oficial de la UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA.

http://campus0b.unad.edu.co/campus0/panel/

López, L.J. Lógica para todos (2ª Edición).

http://www.slideshare.net/luisjorgel63/lgica-para-todos-3053431?next_slideshow=2

Gaitán, M.P. (2014). Introducción a la lógica. Cali, Valle. Recuperado de:

http://www.slideshare.net/MariaGaitan2/introduccin-a-la-lgica-42022687

Rubio, G. (2014). Teoría de conjuntos. Ibagué, Colombia. Recuperado de:

http://www.slideshare.net/patricialeguizamon397/teoria-de-

conjuntosyproposiciones

Grupo 196 Act Col

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