TEMA II. FUERZA

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TEMA II. FUERZA

El comportamiento de un objeto depende de las fuerzas que se ejercen sobre él.

Las leyes de la estática son las condiciones en las cuales permanece en reposo un objeto.

PROPIEDADES DE LAS FUERZAS

La fuerza es una influencia que al actuar sobre un objeto le altera su estado de

movimiento.

Primera propiedad .- La fuerza la aplica siempre un objeto material a otro.

Segunda propiedad .- Una fuerza se caracteriza por la magnitud, la dirección y

el sentido en el que actúa.

Unidades :

Sistema británico : la libra (lb)

Sistema internacional : el Newton (N)

Otro sistema : kilogramo-fuerza (kilopondio) (kp)

1 kp = 9.81 N 1 lb = 4.45 N

Tercera propiedad. (Tercera ley de Newton del movimiento) .- Siempre que

un objeto A ejerza una fuerza F sobre otro objeto B, el objeto B ejerce simultáneamente

sobre A una fuerza R. La fuerza R es de igual magnitud y dirección que la fuerza F pero

de sentido opuesto

Las dos fuerzas de cualquier pareja de fuerzas reciben el nombre de acción y

reacción.

Cuarta propiedad .- Si dos (o más) fuerzas se ejercen simultáneamente sobre

un mismo cuerpo, su efecto es el mismo que ejercería una sola fuerza igual a la suma

vectorial de las fuerzas individuales.

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Primera ley de Newton del movimiento .- Para que un objeto permanezca en

reposo, es decir, esté en equilibrio, es necesario que la suma vectorial de todas las

fuerzas que se ejerzan sobre el objeto sea nula.

ALGUNAS FUERZAS CONCRETAS

Fuerza de gravedad

Es la fuerza que ejerce la Tierra sobre todos los cuerpos próximos a su

superficie. La fuerza de la gravedad también se llama peso.

Fuerza de un resorte

Fg = Kx donde : Fg = magnitud de la fuerza

K = constante de resorte

X = distancia de alargamiento del resorte.

El dinamómetro utiliza el alargamiento de un resorte para medir fuerzas.

Fuerza Normal

Cuando se sitúa un bloque encima de una mesa se ejerce una fuerza normal Fn en

el sentido inverso a la fuerza de gravedad. Entonces tendremos que Fn = - Fg.

Siempre que estén en contacto cuerpos sólidos, se ejercen fuerzas normales. Son

fuerzas reales y van acompañadas de pequeñas deformaciones de las superficies de los

cuerpos que les dan origen.

Fuerza de rozamiento

El rozamiento, como fuerza normal, es una fuerza que una superficie aplica a un

cuerpo en contacto con ella. Sin embargo, mientras la fuerza normal es perpendicular a

la superficie, el rozamiento es paralelo a ella

El rozamiento estático es la fuerza que se aplica sobre un cuerpo en reposo,

mientras que el rozamiento cinético es el que se aplica en un cuerpo en movimiento,

La fuerza máxima de rozamiento estático depende de la naturaleza de las dos

superficies de contacto.

Fuerza máxima de rozamiento estático = Ff,max = µs • Fn

Donde : µs = coeficiente de rozamiento estático

Compresión y tracción

Un cuerpo sólido sometido a fuerzas compresivas opuestas F1 y F2 = - F1 por uno

y otro lado permanecerá en reposo.

El bloque estará en un estado de compresión

En el caso contrario, cuando las fuerzas tiran del bloque, estará en un estado de

tracción.

Cuerdas flexibles

Una cuerda flexibles posee algunas propiedades particulares:

1) Puede estar en estado de tracción, pero no es compresión.

2) Puede transmitir una fuerza según su longitud.

3) En ausencia de rozamiento, la tensión es la misma en todos los puntos de la

cuerda.

SUMA DE VECTORES

Definición .- Un vector es una cantidad física, tal como una fuerza, que tiene

magnitud, dirección y sentido.

Método gráfico .- Cada fuerza se representa por una flecha cuya longitud

representa la magnitud de la fuerza de acuerdo con una escala elegida adecuadamente.

La dirección y sentido de la flecha son iguales a la dirección y sentido de la

fuerza que representan. Cuando se colocan las flechas con el origen de una en el

extremo de la otra, la suma de las fuerzas está representada por la flecha cuyo origen es

el de la primera y cuyo extremo es el de la última.

Método trigonométrico .- La trigonometría se basa en el hecho de que los

cocientes entre los lados correspondientes de triángulos semejantes son iguales.

Seno senhipotenusa

opuesto

Coseno coshipotenusa

contiguo

Tangente tangcontiguo

opuesto

Hipotenusa2 = opuesto

2+ contiguo

22 bah

Método del teorema de los senos .- Primero se dibuja la representación gráfica

de las fuerzas y se determinan todos los ángulos interiores del triángulo de las fuerzas.

El teorema de los senos dice que todo triángulo de lados F1, F2 y F3 cuyos ángulos sean

21 , y 3 se cumplen las relaciones.

sensensen

TEMA III. ANALISIS DE ESTRUCTURAS

EQUILIBRIO ROTATORIO

La primera ley de Newton es condición necesaria para que un cuerpo

permanezca en reposo, es decir, la suma de las fuerzas debe ser nula.

Ahora bien, las fuerzas pueden ser nulas y no estar en reposo.

La tendencia de una fuerza a originar la rotación alrededor de un eje depende de

la magnitud de la fuerza y su distancia al eje.

La regla del tablón se equilibra cuando el producto de la fuerza que ejerce en un

punto por su distancia al eje es igual al producto de la fuerza que ejerce el otro punto

por su distancia al eje.

Definición : El momento de una fuerza F respecto a un punto O es igual al

producto de la magnitud F por la distancia d del punto O a la recta soporte F.

= F•d

será positivo cuando F origine un movimiento en sentido antihorario y

negativo cuando sea en el sentido horario.

Unidades del momento:

Sistema británico : libra • pié

Sistema técnico : Kilopondio • metro (Kp • m)

Sistema Internacional : Newton • metro (N•m)

El momento presenta dos características importantes:

1- La magnitud y signo del momento creado por una fuerza dada dependen del

punto O del que se calcula.

2- La distancia d es la longitud de la perpendicular trazada desde O a la recta

soporte de la fuerza. La recta soporte es la recta cuya dirección es la de la

fuerza y que pasa por su punto de aplicación.

Un cuerpo que no tenga tendencia a iniciar rotación se dice que está en

equilibrio rotatorio . La condición necesaria para el equilibrio rotatorio es que los

momentos en sentido horario sean iguales que los momentos en sentido antihorario.

Condición del momento

Para que un cuerpo esté en equilibrio rotatorio, debe ser nula la suma de los

momentos debidos a las fuerzas que ejercen sobre dicho cuerpo.

Condiciones para el equilibrio estático

Para que un cuerpo esté en equilibrio estático, debe ser nula la suma vectorial de

todas las fuerzas que se ejerzan sobre un cuerpo (primera ley de Newton), así como la

suma de todos los momentos que se ejerzan respecto a un punto del cuerpo.

CENTRO DE GRAVEDAD

El centro de gravedad de un cuerpo es el punto en donde, a fines de cálculo del

momento gravitatorio g , puede considerarse que actúa la fuerza de gravedad total.

En caso de un objeto uniforme, el centro de gravedad coincidirá con su centro

geométrico.

Propiedades

1- La fuerza de la gravedad de un cuerpo da un momento nulo respecto a su

centro de gravedad. Esto es cierto porque, por definición, la recta soporte de

la fuerza de la gravedad, pasa por el centro de gravedad, por lo que la

distancia de este a la mencionada recta soporte es nula. Esta propiedad nos

da un método para localizar el centro de gravedad de cuerpos sencillos.

2- El centro de gravedad de un cuerpo rígido es el punto de equilibrio.

3- Para un cuerpo rígido, el centro de gravedad es el punto fijo respecto al

cuerpo, si bien no se encuentra necesariamente en el cuerpo.

4- En el caso de un objeto flexible, la posición del centro de gravedad respecto

al objeto varía cuando varía la forma del objeto.

DEFORMACION ELASTICA DE SOLIDOS

Cuando se aplican fuerzas a un sólido, siempre tiene pequeñas deformaciones

que se pueden medir con instrumentos especiales.

Definición : El esfuerzo normal s en un sólido es el cociente entre la tensión T

en un sólido y el área A de su sección recta.

Definición : La deformación normal (o alargamiento unitario) e es el cociente

entre la variación de longitud L de un sólido y su longitud original Lo.

En función a estas cantidades, se puede decir que:

Se y eES

donde E = la constante del módulo de Young

e = deformación.

Cizalladura

Cuando una fuerza actúa paralelamente a una superficie sólida, se denomina

fuerza de cizalladura o fuerza cortante.

Cizalladura = oL

Las fuerzas aplican al sólido un esfuerzo cortante, el cual es, por definición, el

cociente entre la magnitud de la fuerza tangente a una cara dividida por el área de dicha

Esfuerzo cortante = A

Si el esfuerzo cortante no es demasiado grande, está relacionado con la

cizalladura de la manera siguiente:

tangGA

Donde G = constante llamada módulo de rigidez. Generalmente G es de 1/2 a

1/3 de E.

Una viga es un miembro estructural largo y estrecho que se utiliza para soportar

esfuerzos normales y cortantes.

Fmax42

donde : W es la carga total

L es la longitud de la viga

a es el grosor de la viga

La tracción o compresión media T es la mitad de la tracción o compresión

máxima.

WLFT max

La variación de la longitud de cada ala de la viga es:

La flecha h o elasticidad central viene determinado por:

TEMA IV . DINAMICA

SISTEMAS DE REFERENCIA

Definición : Un sistema inercial es un sistema de referencia en el cual se cumple

la primera ley de Newton del movimiento. Es decir, la fuerza resultante que se ejerce

sobre un cuerpo en reposo en un sistema inercial, es nula.

Principio de Galileo .- Todo sistema que se mueva con celeridad constante en

línea recta respecto a un sistema inercial, es otro sistema inercial. El movimiento con

celeridad constante a lo largo de una recta se llama movimiento rectilíneo uniforme.

Primera ley de Newton del movimiento .- Para que un cuerpo permanezca en

reposo o en movimiento rectilíneo uniforme respecto a un sistema inercial, es necesario

que la suma vectorial de todas las fuerzas que se ejercen sobre un cuerpo sea nulo.

Principio de la relatividad .- Todas las leyes de la Física son ciertas en todos

los sistemas inerciales.

Según el principio de la relatividad, establece que todos los sistemas inerciales

son los sistemas de referencia apropiados para describir las leyes de la Física.

VELOCIDAD Y ACELERACION

Celeridad y velocidad.

Todo movimiento debe describirse relativamente a un sistema de referencia, el

cual tomaremos siempre inercial.

Definición : Un objeto se mueve con celeridad constante v si la distancia x que

recorre en un tiempo t viene dada por txv , cualquiera que sea el valor de t. La

constante v es la celeridad.

Unidades Sistema Británico ft/seg.

Sistema Internacional m/seg

Otras unidades km/h mill/h km/s

Definición : La velocidad de un cuerpo móvil es una cantidad vectorial cuya

magnitud es la celeridad v del cuerpo y cuya dirección y sentido son la dirección y

sentido del movimiento.

Definición : El movimiento rectilíneo uniforme es el movimiento de velocidad

constante. Como la velocidad es un vector, velocidad constante quiere decir dos cosas:

1) la celeridad v no varía (celeridad constante)

2) la dirección y sentido del movimiento no varían (movimiento a lo largo de

una recta).

Aceleración

Un cuerpo que no se mueve con celeridad constante se dice que está acelerado.

Un cuerpo acelerado, o no se mueve en línea recta, o no se mueve con celeridad

constante, o ambas cosas a la vez.

Definición : Para un cuerpo cuya velocidad es v1 en el instante t1 y v2 en el

instante t2, la aceleración a durante el intervalo de tiempo 12 ttt est

donde y 12 vvv 12 ttt

Al igual que la velocidad, la aceleración también es una cantidad vectorial.

Unidades Sistema Británico ft/seg2

Sistema Internacional m/seg2.

Definición : El movimiento rectilíneo uniformemente acelerado es un

movimiento acelerado en el cual el móvil sigue una línea recta con aceleración a que es

constante tanto en magnitud como en dirección y sentido. En este movimiento, la

velocidad v del móvil tiene siempre la misma dirección pero es de magnitud variable.

En un instante t cualquiera, la magnitud v de la velocidad viene dada por

, donde vtavv 0 0 es la celeridad en el instante t = 0 y a es la magnitud de la

aceleración, la cual puede ser positiva o negativa, según que la celeridad del móvil

aumente o disminuya.

La fórmula general de la distancia x recorrida en un tiempo t por un móvil que

parte de reposo y se acelera con aceleración constante es 2

1atx .

Si el cuerpo parte de una celeridad inicial v0, la distancia recorrida en el tiempo t

viene dado por : 2

1attvx .

SEGUNDA LEY DE NEWTON DEL MOVIMIENTO

Un cuerpo sobre el cual se ejerce una fuerza total F tiene una aceleración a de

igual dirección y sentido que F. La magnitud de a es F/m, donde F es la magnitud de la

fuerza y m es la masa del cuerpo.

maF o m

Unidades Sistema Internacional 1N = 1 Kg m/seg2

1 Kp = 9’8 N

CANTIDAD DE MOVIMIENTO

Definición : La cantidad de movimiento p de una masa m es donde v es

la velocidad de la masa. El vector p tiene por magnitud mv y la dirección y sentido de v.

vmvvmmvmvppp )'(')'(

p ; ma

p o lo que es lo mismo, F

Principio de conservación de la cantidad del movimiento. La cantidad del

movimiento total de un sistema de masas permanece invariable mientras no actúen las

fuerzas exteriores sobre el sistema.

TEMA V . TRABAJO, ENERGIA Y POTENCIA

MAQUINAS SIMPLES

Definición .- Una máquina simple es un dispositivo mecánico, tal como un

sistema de palancas o poleas, que cambia la magnitud o la dirección de una fuerza

aplicada.

Definición .- El desarrollo mecánico real MA de una máquina simple es el

cociente entre su fuerza de salida y su fuerza de entrada.

Principio de las máquinas simples .- En toda máquina simple ideal, la distancia

d a lo largo de la cual se mueve la fuerza F a la entrada y la distancia d’ a lo largo de la

cual se mueve la fuerza F’ a la salida están relacionados por:

'' dFdF o '

El desarrollo mecánico ideal MI (también conocido como desarrollo mecánico

teórico) es igual al cociente d/d’.

Cuando hay rozamiento, el producto F´d´ es menor que Fd.

El rendimiento e de una máquina real es:

En la máquina ideal el cociente será 1 y en la máquina real con rozamiento, el

cociente será menor de 1.

viene de I

1www.cursodeacceso-uned.com

Prensa hidráulica .- Consiste en dos cilindros de distintos tamaños comunicados

entre sí.

El volumen total del fluido no varía, pero una variación en el empuje del primer

cilindro se transforma en una variación en el empuje del segundo, en la misma

proporción del desarrollo MA de la máquina.

A= área del cilindro menor

A’ = área del cilindro mayor

dAV (Volumen = Area del cilindro por distancia) aumento del cilindro

menor.

'' dAV (Volumen = Area del cilindro por distancia) aumento del cilindro

mayor.

'' dAAd

'como la áreas de los cilindros es r

2 entonces:

TRABAJO ENERGIA Y POTENCIAL

Definición .- El trabajo W que efectúa una fuerza constante F que actúa sobre un

objeto que sufre un desplazamiento d es :

cosdFW donde es el ángulo que forman F y d.

a)- Si F y d son paralelas, entonces 1 y

dFWb)- Si F es perpendicular a d, entonces 0cos y

00 WdFWc)- Si F y d son paralelas pero de distinto sentido entonces 1cos y

dFWFuerza normal .- La fuerza normal que se ejerce sobre un objeto que desliza por

una superficie es la fuerza que ésta ejerce perpendicularmente a sí misma.

Rozamiento .- La fuerza de rozamiento que se ejerce sobre un objeto que

desliza por una superficie es la fuerza que ésta ejerce paralela a sí misma. Suele tener

sentido contrario al deslizamiento.

sFW gf W rozamiento = F rozamiento distancia de aplicación

Gravedad .- Cuando se desciende verticalmente desde un punto A hasta el C la

masa m , el trabajo que sobre ella efectúa:

hgmhFW gAC

Cuando el cuerpo se mueve diagonalmente deslizándose por un plano inclinado:

cosdgmWAB

y por tanto d

hgmWAB

Definición .- Una fuerza que efectúa el mismo trabajo WAB sobre un cuerpo que

vaya de A a B cualquiera que sea el camino seguido, se denomina fuerza conservativa.

hgmhhgmhgmhgmW BABAAB (

Definición .- para toda fuerza conservativa se puede definir en cada punto una

unidad U, llamada energía potencial, tal que el trabajo efectuado por la fuerza al mover

el cuerpo de A a B a lo largo de un camino cualquiera que sea.

BAAB UUW

donde UA = m g hA y, donde hA es la altura de A sobre la superficie de

referencia.

El trabajo total efectuado sobre un cuerpo es la suma de todas las fuerzas

aplicadas que se ejercen sobre él.

gfATOTAL WWWW

WA = trabajo de las fuerzas aplicadas

Wf = trabajo de las fuerzas de rozamiento.

Wg = trabajo de las fuerzas de gravedad.

Si hay una fuerza de rozamiento Ff que actúe a lo largo de una distancia s, será:

Si el cuerpo se mueve de A a B será:

BAg UUW

luego el trabajo total será:

)( BAfATOTAL UUsFWW

Si el cuerpo está en equilibrio o casi equilibrio tendremos

0)( BAfATOTAL UUsFWW

ENERGIA CINETICA

Teorema de las fuerzas vivas .- El trabajo total WTOTAL efectuado sobre un

cuerpo que se mueve desde una cierta posición inicial A hasta una cierta posición final

B es igual a la variación de energía cinética del cuerpo.

ABTOTAL KKWdonde , por definición , la energía cinética K de un cuerpo de masa m que se

mueve con celeridad v es:

)()( ABABfTOTAL KKUUWW

CONSERVACION DE LA ENERGIA

La temperatura es una manifestación de los movimientos de los átomos y

moléculas que componen toda materia. Los átomos y moléculas de un cuerpo se hallan

en movimiento constante, por lo que cada partícula tiene energía cinética. La suma de

todas esas energías se denomina energía térmica It del cuerpo. Además de su energía

cinética, las partículas también tienen energía potencial resultante de las fuerzas

atómicas que mantienen unidas las moléculas. La suma de dichas energías se denomina

energía química Iq . La suma de las energías química y térmica de un cuerpo es su

energía interna I.

qt IIILa elevación de la temperatura de un cuerpo está asociada a un aumento de su

energía térmica y por tanto a un aumento de su energía interna.

Todo el trabajo que se pierde en los rozamientos puede interpretarse por un

incremento de energía interna.

IsFW ff entonces:

Todo el trabajo aplicado efectuado sobre un sistema pasa a una u otra forma de

energía. Sea E la energía total del sistema, entonces:

KUIESi sobre el sistema no se efectúa ningún trabajo aplicado, entonces .0E

Conservación de la energía .- La energía no puede crearse ni destruirse, sino

transformarse de una forma en otra. En un sistema aislado, en el cual ni entra ni sale

energía, la energía total es constante. El trabajo es un medio por el cual se cede energía

a un sistema o se toma de él. Así pues , el trabajo (y el calor) puede considerarse como

energía en tránsito.

El rendimiento e de un motor es el cociente entre el trabajo aplicado producido y

la energía interna utilizada para producirlo.

rendimiento =ecombustiblenergía

totaltrabajo

entonces:

AMBIENTEaECOMBUSTIBL IWI

Entonces:

AMBCOMB IEI ,o bien 0AMBCOMB IIE

POTENCIA

Definición .- La potencia P de un ingenio es el trabajo que efectúa por segundo.

Así, si se efectúa un trabajo Wa en un tiempo T, la potencia será:

1 Newton = 1 Julio /segundo

La cantidad de combustible consumido por unidad de tiempo por un ingenio es:

IR COMB

La potencia de un ingenio es igual a la fuerza que ejerce multiplicada por la

velocidad con que se mueve esta fuerza.

Para una potencia dad, un ingenio puede mover lentamente una gran fuerza o

mover rápidamente una pequeña fuerza.

tvd ; entonces tvFdFWay

En vez de escribir la potencia en función de la fuerza, la podemos escribir en

función de su momento y de su velocidad angular

y la velocidad rrn

donde t

n velocidad angular =

tiempo

vueltasden _º

Por tanto con , entoncesvFP rFP 2

Si decíamos que rF , entonces tendremos 2PEn toda máquina ideal la potencia de entrada tiene que ser igual a la potencia de

salida

'' vFvF , entonces ''22

En un freno motor, el momento se mediría por rTT )( 12

Energía hidroeléctrica acumulada por bombeo

La energía de una central generadora de potencia hidroeléctrica convencional

proviene de la energía potencial del agua almacenada detrás de una presa alta.

TEMA VI . MOVIMIENTOS COMPLEJOS La segunda ley de Newton del movimiento determina por completo el

movimiento de un cuerpo en función de las fuerzas que actúan sobre él.

MOVIMIENTO PARABOLICO

Cuando se lanza un proyectil según cierto ángulo con la vertical, no se mueve en

línea recta arriba y abajo, sino que sigue una trayectoria curva llamada parábola.

Una vez lanzado el proyectil, la única fuerza que se ejerce sobre él es la fuerza

de la gravedad Fg y por tanto, su aceleración será:

donde g es la aceleración de la gravedad constante

como g está dirigida verticalmente hacia abajo , los componentes x e y de a

serán:

0xa y 28.9seg

Si la velocidad inicial Vo del proyectil forma un ángulo con el eje x, las

componentes x e y de Vo serán:

cosoox VV senooy VV

La componente x será constante para la velocidad y para un tiempo t

determinado.

tVx ox

La aceleración de la componente y también será constante.

En un instante t la velocidad vertical del proyectil será:

tgVV oyy

y su posición será:

1tgtVy oy

El movimiento del proyectil es, pues, una combinación de movimiento uniforme

en la dirección x y de uniformemente acelerado (aceleración constante) en la dirección

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME

El movimiento circular uniforme es un movimiento a lo largo de una

circunferencia de radio r con una celeridad constante v.

Aún cuando la celeridad se mantiene constante, la aceleración no es nula porque

la dirección del vector velocidad varía continuamente.

En caso del movimiento circular uniforme, la aceleración se denomina

aceleración centrípeta porque en todo momento está dirigida hacia el centro de la

circunferencia.

La magnitud de la aceleración está relacionada con la celeridad v y el radio r

Como la celeridad v es constante, la distancia s que recorre el cuerpo a lo largo

de la circunferencia en un tiempo t viene dada por:

tvsPara que un cuerpo permanezca en movimiento circular uniforme, la segunda ley

de Newton exige que sobre él actúe una fuerza de magnitud:

dirigida hacia el centro de la circunferencia.

Periodo es el tiempo que tarda un objeto en dar una revolución completa. Se

verifica por :

y la frecuencia es las veces que se produce una revolución por unidad de tiempo.

La aceleración centrípeta, también puede venir dada en función del coeficiente

de rozamiento y de la gravedad.

MOVIMIENTO EN PRESENCIA DE UNA FUERZA GRAVITATORIA

Ley universal de gravitación

Entre dos cuerpos cualquiera de masas m1 y m2 existe una fuerza atractiva

proporcional al producto de las masas e inversamente proporcional al cuadrado de las

distancias que las separa.

donde r es la distancia que las separa y G es una constante universal de la

naturaleza. En unidades del Sistema Internacional:

G = (6’673 ± 0’003 • 10-11

N•m2/Kg

Energía potencial

Cuando una masa m está próxima a la superficie terrestre, la fuerza gravitatoria

que se ejerce sobre ella es m•g y su energía potencial es

Cuando la masa se mueve lejos de la tierra, la fuerza gravitatoria que se ejerce

sobre ella viene dada por la ecuación: 2

RgmF T

g cuando r > RT.

Y la energía potencial por

RRgmU T

Velocidad de escape

TRgv 2

MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE

La fuerza total que se ejerce en una masa suspendida entre dos fuerzas opuestas,

se denomina como fuerza del oscilador armónico simple y viene dada por:

xkFDonde k es una constante y x es la distancia de la posición de la masa hasta su

posición de equilibrio.

Cualquiera que sea la posición de la masa, la fuerza tiende a llevarla a su

posición de equilibrio. Esta fuerza se denomina fuerza restauradora. Una masa sometida

a una fuerza restauradora oscilará en torno a su posición de equilibrio.

Cuando la fuerza restauradora sea la fuerza del sea la fuerza del oscilador

armónico, el movimiento resultante se denomina movimiento armónico simple.

La posición x en cualquier instante t de una masa que ejecute un movimiento

armónico simple viene dada por:

es el periodo y A es la amplitud del movimiento.

La velocidad y la aceleración de la masa vienen dadas por:

vMAX cuando x = 0A

aMAX cuando x = A AaMAX

NOTA : t2

normalmente se da en radianes. 360º = 2 rad. = 1 rev.

La energía potencial de una masa sometida a la fuerza de oscilador armónico es :

Al girar la masa en uno u otro sentido en torno a su posición de equilibrio, la

suma de sus energías cinética y potencial se mantiene constante.

EkxmvUKE 22

En el caso de un péndulo simple, una masa m está suspendida de un hilo de

longitud L. Cuando tiramos de la masa hacia un lado y la soltamos, oscila recorriendo

un arco en torno a su posición más baja (posición de equilibrio).

Cuando se tira de la masa un distancia horizontal x respecto a su posición de

equilibrio, se eleva una distancia vertical h, con lo que la energía potencial se hace igual

Se puede comprobar que L es la

hipotenusa de un triángulo rectángulo de

catetos x e y, entonces: 222 yxL

Pues hLy , por lo que podemos

escribir:

de donde :

222 hxLh

Así pues, la energía potencial será:

mgmghU

En consecuencia, el periodo del péndulo será:

MOVIMIENTO DE UN CUERPO RIGIDO

Llamaremos cuerpo rígido a un objeto extenso que no altera su forma de

moverse.

Al girar el cuerpo, cada uno de sus puntos describe una circunferencia centrada

en A. El radio de la circunferencia es igual a la distancia r de A al punto. Como el

cuerpo es rígido, todos los puntos girarán el mismo ángulo en un mismo tiempo t.

Definición : La velocidad angular de un punto que se mueve sobre una

circunferencia es :

tdonde es el ángulo que ha girado el objeto en un tiempo t.

Los ángulos pueden medirse en grados, radianes y revoluciones.

Una circunferencia completa corresponde a 360º, 2 radianes o 1 revolución.

La unidad del sistema internacional son radianes/segundo.

s tendremos que rv

Donde v será la velocidad lineal y t

es la velocidad angular en radianes

por segundo.

La energía cinética del elemento de superficie i-ésimo es :

1iiiii rmvmK

La energía cinética total del cuerpo rígido es la suma de las energía cinéticas de

todos los elementos de superficie.

1iirmK

siendo:

iirmIdonde I será la constante llamada momento de inercia del cuerpo rígido.

TEMA VII. MECANICA DE FLUIDOS Un fluido es una sustancia no rígida (gas o líquido) que no conserva su forma al

aplicarle fuerzas deformadoras.

La mecánica de fluidos es el estudio de los fluidos en reposo y en movimiento.

HIDROSTATICA

La Hidrostática es la rama de la mecánica de fluidos que trata de los fluidos en

reposo. Este fluido permanecerá en reposo siempre y cuando no se apliquen sobre él

fuerzas deformadoras.

Propiedad fundamental de los fluidos.

Toda fuerza ejercida por un fluido en reposo o sobre él, debe ser perpendiculares a la superficie sobre la cual actúa. En caso de aplicarse una fuerza paralela, esta provocará un desplazamiento en el fluido. Definición .- La presión p es la fuerza por unidad de superficie que se ejerce

perpendicularmente sobre un superficie. Así pues, la presión que ejerce una fuerza F

sobre la superficie A.

La fuerza F es perpendicular a la superficie. Como todas las fuerzas que se

aplican son perpendiculares a las superficies sobre las que actúan, se puede escribir:

Unidades = La unidad de presión en el Sistema Internacional es el Pascal

1 Pascal = 1 Newton / metro2

1 Pa = 1 N/m2.

PRINCIPIO DE PASCAL

En ausencia de gravedad, es decir, si se desprecia el peso del fluido, la presión

en un fluido, la presión en un fluido en reposo es la misma en todos los puntos.

Para ver como se aplican en la práctica las propiedades de los fluidos,

consideremos un fluido contenido en un cilindro cuya sección recta tenga un área A. Si

se aplica una fuerza F sobre el émbolo móvil del cilindro, el fluido deberá aplicar una

fuerza opuesta F’ sobre el émbolo cuando esté en reposo.

Supongamos que se conectan

dos cilindros de distinta sección. El

equilibrio de las presiones vendrá

determinado por:

PRESION HIDROSTATICA

El principio de Pascal solo es válido si se desprecia la fuerza de la gravedad que

se ejerce sobre el fluido.

Se aplica una fuerza F perpendicularmente al

émbolo de área A, con lo que la presión directamente

bajo el émbolo es:

La presión Po será la que existe en la parte

superior del fluido. En la parte inferior del fluido,

existirá una presión Ph, que en caso de despreciar la

fuerza de gravedad del fluido, Po = Ph.

A causa de la gravedad, la fuerza total hacia

abajo que se ejerce sobre el fluido es F + Fg. Como está

en equilibrio, existirá una Fn = -(F + Fg) que la base del

cilindro ejerce sobre el fluido. La reacción a Fn es la

fuerza Rn = - Fn = F + Fg. Por tanto la presión Ph de la

base será:

La presión en la parte inferior del fluido es mayor que en la parte superior a

causa del peso del propio fluido.

El aumento de la presión con la profundidad, está relacionado con la densidad

del fluido.

La densidad es:

volumen

masa densidad

Así pues, como el volumen contenido es hAV , entonces la masa será:

hAmy el peso del fluido será:

ghAgmFg

En consecuencia, el incremento de la presión en la base del cilindro debido al

peso del fluido es:

Este incremento se llama presión hidrostática. Entonces, la presión total en la

base del cilindro será:

hgPP oh

Ley de la presión hidrostática

La presión en un fluido en reposo es la misma en todos los puntos que estén a

igual nivel y la diferencia de presión entre dos puntos A y B situadas a profundidades hA

y hB es:

)( BABABA hhghghgPPdonde hA y hB son positivas cuando se miden hacia abajo desde la superficie

INSTRUMENTOS DE MEDIDA DE LA PRESION

BAROMETRO

El barómetro es un instrumento para medir la presión atmosférica. Consta de un

tubo de vidrio recto, de longitud superior a 76 cm, cerrado por un extremo. Se llena el

tubo de mercurio y luego se invierte introduciéndolo en una cubeta de mercurio. La

columna de mercurio desciende a partir de su extremo cerrado creando una cámara de

vacío en su parte superior.

La presión Po en un punto O de la superficie de la columna es la presión

atmosférica.

La presión PA en un punto A del interior del tubo es:

hgPP BA

donde la presión PB es la presión en la parte superior de la columna, es la

densidad del mercurio y h es la altura de la columna de mercurio.

MANOMETRO

El manómetro consiste en un tubo en forma de U parcialmente lleno de líquido

que suele ser mercurio o agua. Se monta el tubo en posición vertical con una regla

graduada detrás. Un extremo del tubo se une a un recipiente cuya presión P queremos

medir y el otro extremo está abierto a la atmósfera. Como la presión de la parte abierta

del tubo es la presión atmosférica, la presión PA en un punto A del líquido del

manómetro que se halla a una distancia h del extremo superior vendrá dada por:

hgPP OA

donde es la densidad del líquido del tubo.

Definición : Se llama presión manométrica Pm a la diferencia entre la presión P

en un fluido y la presión atmosférica Po existente.

om PPPdonde Pm = presión manométrica

P = presión absoluta

P0 = presión atmosférica

EMPUJE

Todo fluido ejerce una fuerza de empuje Fb sobre cualquier objeto sumergido en

él. A dicha fuerza se le da el nombre de empuje.

Principio de Arquímedes .- El empuje que ejerce un fluido sobre un cuerpo es

igual al peso del fluido que desaloja el cuerpo.

Si el cuerpo está sumergido totalmente, el volumen del fluido desalojado es igual

al volumen del cuerpo.

Si este está parcialmente sumergido, el volumen desalojado es igual al volumen

de la parte sumergida del cuerpo.

El volumen VS será la parte del bloque sumergida en el fluido.

Teniendo en cuenta que el volumen del objeto es igual al volumen del fluido

desalojado y, conociendo la densidad del fluido, podemos calcular su masa:

Sff Vm

El empuje es igual al peso del fluido desalojado.

gmF fb

Si el bloque se halla en equilibrio estático, entonces, el empuje hacia arriba

tendrá igual magnitud que el peso Wo del bloque.

bo FW gmgm fo

por lo que fo mm

Un objeto flotará cuando su densidad sea menor que la del fluido en que se

coloca.

La fuerza FB que ejerce el fluido sobre la cara superior está dirigida hacia abajo

y su magnitud es APF BB , donde A es el área de dicha cara y PB es la presión

del fluido a dicha profundidad.

La fuerza FA que se ejerce sobre la cara inferior está dirigida hacia arriba y su

magnitud es APF AA , donde A es el área de dicha cara y PA . La suma de estas

fuerzas tiene por magnitud:

APAPFF BABA

y esta dirigida hacia arriba ya que FA > FB, entonces :

hgAhhgAFF fBAfBA )(

donde f es la densidad del fluido y h la altura del bloque.

Teniendo en cuenta que el volumen del bloque es igual a A * h, tendremos que

el empuje es igual a:

gmgVFFF ffBAB

La aceleración en un fluido viene determinada por:

DENSIDAD RELATIVA

Definición : La densidad relativa S de un cuerpo es el cociente entre la densidad

o del cuerpo y la densidad w del agua.

Cuando se trata de medir la densidad relativa de un objeto sumergido en otro

fluido que no sea agua, se mide con un dinamómetro en el aire y luego en el fluido.

Entonces tendremos:

FTFgmT

Entonces tendremos que

o sea:

La densidad de un líquido se mide con un areómetro.

Sea VS el volumen del areómetro sumergido y W el peso total del areómetro. En

equilibrio, el empuje es igual al peso, luego:

WFb o WgVSf

Así pues la densidad del líquido es inversamente proporcional al volumen

sumergido.

La densidad relativa se puede también calcular en base a la masa del cuerpo

medido en el exterior y en el interior de un fluido por:

mc = masa medida en el exterior.

ma = masa medida en el fluido.

HIDRODINAMICA

La Hidrodinámica es el estudio del movimiento de los fluidos.

Movimiento estacionario

La velocidad y la presión del fluido en cada punto varían de manera rápida e

imprevisible.

En el movimiento estacionario, podemos considerar que el fluido se mueve

siguiendo líneas fijas, llamadas líneas de corriente.

En cada punto, la dirección de la velocidad del fluido es tangente a la línea de

corriente que pasa por dicho punto. Dos líneas de corriente no pueden cortarse nunca,

por que ello significaría que el fluido tendría dos velocidades en un mismo punto.

El volumen de fluido que atraviesa una superficie en un tiempo t vendrá dado

AtvAdVdonde A es igual al área de la sección y d es igual a la distancia.

Si la cantidad total de fluido que circula entre las dos secciones de un mismo

conducto permanece invariable, el volumen que ha penetrado en la sección mayor por

unidad de tiempo, debe ser igual al que ha salido por el de menor sección. A esto se le

llama condición de continuidad.

Según esta condición de continuidad, supondremos:

''' AtvAtvVVluego:

'' AvAv velocidad x área

Definición : El caudal Q de un fluido es el volumen de fluido que atraviesa por

segundo una superficie dada. El caudal a través de la superficie S es:

o sea AvQ

Ecuación de Bernoulli

La masa m del fluido del volumen V es:

VmComo el fluido de este volumen tiene una velocidad v, la energía cinética de esta

masa es:

1vVvmK

Cuando la masa pasa a V’ su energía cinética K’ se convierte en :

1' vVvmK

Como v’ es mayor que v, al pasar de V a V’ aumenta la energía cinética de la

masa. La variación K – K’ de la energía cinética es igual al trabajo total efectuado por

las masas.

Las fuerzas que efectúan trabajo sobre un fluido son las de rozamiento, gravedad

y la debida a la presión del propio fluido.

Tendremos que en la primera sección del conducto:

y en la otra:

En este caso, la presiones no son iguales puesto que el fluido no está en reposo.

Como el fluido del volumen V recorre una distancia d hacia la derecha, la fuerza

APF , efectúa el trabajo :

VPdAPdFWAl mismo tiempo el fluido de volumen V’ recorre una distancia d’ hacia la

derecha, la fuerza ''' APF , efectúa el trabajo :

VPVPdAPdFW '''''''''Entonces el trabajo total será:

VPPWWWp )'('

Teniendo en cuenta que el trabajo es igual a la variación de energía cinética,

tendremos:

1)'( vVvVVPP

1)'( vvPP

por tanto:

PvPv 22

Si la tubería no es horizontal, además de la presión del fluido, también efectúa

trabajo la fuerza de gravedad

'' hgVhgVhgmhgmWg

Entonces, la ecuación de Bernoulli quedará:

hgPvhgPv 22

Teorema de Torricelli

La cantidad de líquido que sale por unidad de tiempo a través de un orificio

practicado en la pared de un depósito se puede calcular mediante la ecuación de

Bernoulli.

)'(2'2 hhgvNos dice que la velocidad de salida es igual a la de una masa que caiga desde

una altura vertical 'hhh

El caudal de salida del líquido es:

hgAvvAvQ 2'

donde es la distancia que separa el orificio de la superficie libre del líquido y

Av es la vena contracta, que es la mínima área de la sección del chorro que sale a través

del orificio. La vena contracta se encuentra un poco más allá del orificio. En caso de un

orificio de área A, la vena contracta Av será:

65.0AAv

Tubo de Venturi

La diferencia de presiones, está relacionada con la diferencia de alturas por:

hgPP '

El caudal es el mismo en la tubería principal que en el tubo de Venturi, y viene

dado por:

'' vAvAQentonces tendremos

de donde:

Así pues, la velocidad del fluido en la tubería principal será:

y el caudal:

PPAvAQ

VISCOSIDAD

La propiedad fundamental de los fluidos, señala que un fluido en reposo no

ejerce fuerzas paralelas a una superficie. En cambio, un fluido que se mueve sobre una

superficie ejerce una fuerza FII paralela a ella de dirección y sentido de movimiento.

La reacción FV a FII es una fuerza que la superficie ejerce sobre el fluido y cuyo

sentido es opuesto al del movimiento.

Esta llamada fuerza viscosa, desempeña en el movimiento del fluido un papel

semejante al del rozamiento de un sólido sobre otro.

Como el fluido ejerce una fuerza FII paralela a S1, habrá que aplicar a esta

superficie una fuerza exterior Fa = FII para mantenerla en reposo. La fuerza viscosa FV,

que es la fuerza que la superficie S1 aplica al fluido, es la reacción a FII. Por lo que:

aaIIV FFFF )(

La magnitud de FV es directamente proporcional a la celeridad v de S2 y al área

A de S1 e inversamente proporcional a la distancia d que separa dichas superficies.

donde es una constante, llamada coeficiente de viscosidad, que es

característica del fluido.

CIRCULACION DE UN FLUIDO POR UN TUBO

En la circulación de un fluido por un tubo, el fluido que circula sobre el eje del

tubo, lleva una aceleración máxima y, si hiciéramos capas concéntricas, la velocidad iría

descendiendo hasta llegar a la superficie de contacto con el tubo, donde la velocidad es

El área del tubo se determinará por:

LrA 2Entonces, si se sustituye en la ecuación de la viscosidad tendremos:

vLrF 4

Si se desprecia la gravedad y se introduce un fluido en un tubo de área A a una

presión P1, tendremos a la salida una presión P2 y quedará:

212121 )()()( rPPAPPAPAPe igualando ecuaciones tendremos:

21 )(4 rPPvL m

Por tanto la celeridad de un fluido en un tubo teniendo en cuenta la diferencia de

presiones vendrá dada por:

Sabiendo que el caudal es:

mvrQ 2

tendremos que:

Si tenemos una bomba que bombea el líquido, necesitaremos una potencia de

bombeo que de una fuerza:

APPF adex )(

donde:

Pex = Potencia de expulsión

Pad = Potencia de admisión

El trabajo efectuado por la bomba para mover un fluido una distancia d será:

dFWy la potencia entregada a la bomba será:

donde v es la velocidad media del fluido.

Entonces tendremos que:

vAPPvFP adex )(

QPPP adex )(

TEMA VIII. ESTRUCTURA DE LA MATERIA

ATOMOS Y MOLECULAS

Definición: Llamamos elemento químico a una cualquiera de las 104 sustancias

conocidas que no pueden descomponerse en sustancias más simples por métodos

químicos.

Un elemento se compone de un gran número de unidades iguales llamadas

átomos.

Definición: Una molécula es un ente microscópico compuesto de dos o más

átomos unidos por fuerzas atómicas. Los átomos pueden ser de elementos iguales o de

elementos distintos.

Definición: Un compuesto químico es una sustancia constituida por moléculas

iguales formadas por átomos de dos o más elementos.

Masas atómicas:

La masa de un átomo puede medirse con gran precisión por medio de un

instrumento llamado espectrómetro de masas.

La masa de un átomo se suele referenciar a la del átomo de carbono (12), y se

suele medir en unidades de masa atómica (u).

La masa de una molécula, a la que llamamos peso molecular, es igual a la suma

de las masas de todos sus átomos.

uuummm OHOH 01.18)00.16)(1()008.1)(2(22

Para convertir las unidades de masa atómica en gramos, es necesario tener en

cuenta esta relación:

uNg A1 o bien gN

Donde es el número de Avogadro y equivale a .AN2310022.6 x

Definición: Un mol es una cantidad de sustancia que contiene moléculas. AN

Ejemplo: ¿Cuál es la masa en gramos de un mol de agua?

1818)18(18

por lo que la masa de moléculas de agua será: AN

AOHA 1818

Ejemplo: ¿Cuál es el número n de moles de 50 g de oxígeno?

56.132

32)0.16)(2()2(2

uumm OO

LAS TRES FASES DE LA MATERIA

La materia se presenta normalmente en una de estas tres fases: gaseosa, líquida o

sólida. Muchas sustancias pueden pasar de una fase a otra mediante cambios de

temperatura y presión

Un sólido se caracteriza por tener un volumen y una forma definidos. Su forma

solo puede cambiar al aplicarle una presión considerable. Las moléculas del sólido están

fuertemente agrupadas en posiciones fijas.

Un líquido se caracteriza por tener un volumen definido, pero no una forma

definida. Los líquidos fluyen para adoptar la forma del recipiente que los contiene. Su

volumen permanece constante a pesar de las variaciones de su forma. Las moléculas de

un líquido están casi tan juntas como las de un sólido.

Un gas se caracteriza por no tener ni un volumen definido ni una forma definida.

El gas se dilata para llenar cualquier recipiente cerrado que lo contenga y, si fuera

abierto, el gas escaparía por la abertura. En un gas diluido, las moléculas están tan

separadas unas de otras que solo ejercen fuerzas cuando chocan. Las moléculas del gas

se moverán en línea recta hasta que choquen unas con otras o con las paredes del

recipiente.

TEMPERATURA

Un instrumento que mide temperaturas se denomina termómetro. El termómetro

es una columna de mercurio introducida en un tubo cerrado. El mercurio se dilata o

contrae más que el vidrio en función del calor o frío aplicado.

Esta forma de medir la temperatura, dependerá del líquido contenido en el tubo

de vidrio. Para ser más precisos convendrá utilizar un termómetro lleno de un gas

enrarecido, conectado a un manómetro de mercurio.

Definición: La temperatura fundamental o absoluta T es, por definición:

donde P es la presión en el depósito a esa temperatura, es una constante

arbitraria y es la presión absoluta midiendo en una mezcla de agua y hielo. La

constante se elegirá de manera que haga que la diferencia entre la temperatura del vapor

de agua y la temperatura del hielo sea exactamente igual a 100 unidades de

temperatura, o Kelvin (K)

Cero absoluto Th Tv

Kelvin 0k

273.15k

372.15k

Celsius 0º 100º

GAS IDEAL

Ley de los gases perfectos

Definición: Llamamos gas ideal o gas perfecto a un gas cuyas moléculas estén

tan separadas que permanezcan en contacto una contra otra un tiempo relativamente

pequeño. La separación aumenta cuando disminuye la densidad de las moléculas. Esta

densidad es el cociente N/V (numero de moléculas / volumen que éste ocupa).

Así pues, la presión de un gas perfecto en el punto de hielo será: hP

donde es una constante independiente de la composición química del gas. b

El número N de moléculas de un gas es:

AnNNdonde n es el número de moles de gas.

Según esto, podremos escribir:

bNnpV A

La cantidada

bNAes una constante de los gases perfectos R. Sus dimensiones

son (energía / kelvin). Y su magnitud es

bNR A /8314

Entonces, en función de R tendremos:

nRTpVque constituye la ley de los gases perfectos.

Ejemplo : ¿Cuál es la densidad del oxígeno en condicionesnormales de presión y temperatura? (0º y 1 atm)

Se usa la ley de los gases nobles para calcular la cantidad de moles n en una

unidad de volumen V = 1 m3, a una presión p = 1 atm. = 1,01 x 10

5 Pa Y a una

temperatura T = 273 º K.

molKKJ

pVn 5,44

)273)(/31,8(

)1)(1001,1( 35

Si 3425,1

425,11425)325,44(322

kgggmolmgmol mO

Presión, temperatura y energía cinética

La presión que ejerce un gas sobre las paredes del recipiente que lo contiene es

el resultado de los choques de las moléculas del gas contra las paredes. La presión

puede calcularse en función de la energía cinética media de las moléculas de un gas

perfecto y relacionar esta energía con la temperatura.

Una molécula que choca contra una pared a una velocidad v rebotará a una

velocidad –v, por tanto

mvpI y mvvmpF )(con lo que la variación de la cantidad de movimiento será:

mvmvmvppp IF 2)()(

entonces la fuerza que la pared ejerce sobre la molécula vendrá dada por:

donde es el tiempo que la molécula está en contacto con la pared. t

Y la fuerza de reacción será:

mvFF mw

El número de moléculas contenidas en un recipiente viene dado por:

En un cilindro, se supone que 1/3 de las moléculas se mueven en una de las tres

direcciones perpendiculares a las paredes, así pues, la fuerza que ejercen estas

moléculas sobre las paredes vendrá dada por:

AnNF A

y la presión que se ejerce por:

en función de la energía cinética media K , la presión será:

KnNp A

recordemos que la energía cinética media viene dada por:2

vmK (masa por

velocidad media al cuadrado)

La presión también se puede relacionar con la temperatura por:

Si se igualan las dos ecuaciones de presión, tendremos la relación entre

temperatura y energía cinética:

Donde ANRk se denomina constante de Boltzmann, que es igual a

J/K1,38x10-23

GASES REALES

La presión y el volumen de un gas real solo está relacionados con los gases

perfectos cuando su densidad es muy pequeña. Al aumentar la presión de un gas

disminuye su volumen pero aumenta su densidad.

Definición : La temperatura crítica de un gas es la temperatura por encima de la

cual todas las isotermas (curva que da la variación de presión de un gas a una

temperatura fija) son curvas lisas sin puntos angulosos.

Un tramo horizontal en la isoterma indica que se puede reducir el volumen

ocupado por un gas sin aumentar la presión. Ello es posible porque al comprimir el gas,

parte de él se condensa pasando a fase líquida. Esto sólo podrá hacerse si la temperatura

es inferior a la temperatura crítica del gas.

Definición : La presión de vapor pv es la presión correspondiente al tramo

horizontal de una isoterma. Es la presión en la cual pueden coexistir el vapor y el

líquido a la temperatura de la isoterma.

Definición: El punto de ebullición de un líquido es la temperatura a la cual la

presión de vapor se hace igual a la presión atmosférica. A esta temperatura se forman

burbujas de vapor en el interior del líquido.

Ley de Dalton de la presión parcial. En una mezcla de gases perfectos, cada

gas componente ejerce una presión parcial proporcional a su concentración molecular.

La presión total de la mezcla será, pues, igual a la suma de las presiones parciales de

todos los gases componentes.

Definición: Se llama humedad relativa del aire al cociente entre la presión

parcial real del H2O en el aire y la presión parcial del H2O máxima posible a la

temperatura existente en el aire. Se expresa en %.

Definición: El punto de rocío del aire es la temperatura a la cual el aire tendría

una humedad relativa del 100 %.

SOLIDOS

Las moléculas de un sólido, como las de un líquido están tan próximas entre sí

que se ejercen fuerzas intensas. En un sólido, las moléculas tienen posiciones fijas que

no pueden variar.

Definición: Un cristal es un sólido en el cual las moléculas están distribuidas

según una red tridimensional regular que se repite por todo el sólido. La distribución de

las moléculas determina la forma exterior del cristal.

Definición: Un sólido cristalino es el que está constituido por un monocristal o

por muchos microcristales fundidos juntos

L propiedad más característica de un sólido cristalino es la existencia de una

temperatura definida Tf, llamada temperatura de fusión, a la cual el sólido se transforma

en líquido

TEMA IX. CALOR El calor es energía que pasa espontáneamente de un cuerpo más caliente a otro

más frío.

PRIMER PRINCIPIO DE LA TERMODINÁMICA

Calor y trabajo

La energía puede pasar del sistema al ambiente, o recíprocamente, de dos

maneras esencialmente distintas.

Definición: El calor es energía que pasa de un objeto a otro a causa de existir

entre ambos una diferencia de temperatura.

Definición: El trabajo es energía que pasa de un cuerpo a otro a causa de que

una fuerza F desplace su punto de aplicación una distancia d.

VppAdFdWdonde:

AdVVV inicialfinal

Primer principio de la termodinámica

La variación de energía de un sistema es igual al calor Q que penetra en él

menos el trabajo W que efectúa:

El calor es positivo cuando penetra en el sistema y negativo cuando sale de él

El trabajo es positivo cuando hace disminuir la energía del sistema (cuando el

trabajo lo hace el sistema) y negativo cuando hace aumentar la energía del sistema.

Calor específico

Definición: El calor específico cv es el cociente entre su capacidad calorífica y

su masa.

El calor específico es una propiedad de la sustancia. Depende de la temperatura,

pero en un intervalo pequeño de temperaturas se puede considerar constante.

Tendremos:

TmcQE vS

Cuando los proceso tienen lugar a una presión constante, (transformación

isobárica) tendremos:

TmcVpE pS

donde cp es el calor específico a presión constante.

El calor absorbido en una transformación isobárica viene dado por:

TmcVpEQ pS

Ejemplo:a) ¿cual es la capacidad calorífica de un vaso de 75 g de vidrio flint que

contiene 250 g de agua?

b) ¿Cuánto calor hay que tomar de ese sistema para rebajar su temperatura de

50 a 30 º C?

JkgcmC vidriovidriovaso º37)º(

490)075,0(

JkgcmC aguaaguaagua º1045)º(

4180)250,0(

CJCCC aguavidrioTOTAL º

CCCT º30º50º2041025,3)º30(

º1082 xC

Calorimetría

El calor se mide con un calorímetro, que es un recipiente aislado del exterior,

que contiene agua , en el cual se encuentra sumergido un termómetro para medir la

temperatura del agua. Esta variará dependiendo de la temperatura de la muestra que se

sumerja en el agua.

Ejemplo:En un calorímetro que contiene 2,5 kg. de agua a una

temperatura inicial de 15,00 º C se colocan 50 g de etanol a una temperatura de 30 º C. Al irse enfriando el etanol, eleva la temperatura del agua hasta 15,17 º C. ¿Cuál es el calor específico del etanol?

CCCT º17,0º00,15º17,15El calor absorbido del sistema (alcohol) será:

JkgTmcQ p 1780)º17,0)(º4186)(50,2(

El calor absorbido por el sistema será:

CCCT º83,14º30º17,15

pppS cCkgCckgTmcQ )º74,0()º83,14)()(050,0(

Como el calor absorbido es igual a calor cedido, tendremos:

JcJcCkg pp º

2400º74,0

17801780)º74,0(

COEFICIENTES DE TEMPERATURA

Ejemplo:A 20ºC la densidad del mercurio vale 13546 kg/m3 y el

coeficiente de temperatura es 1,8x10-4 º C . ¿Cuál será la densidad del mercurio a 35 º C?

º108,1

º15)º2035(

la variación de la densidad será:

37)º15)(º108,1)(13546(m

y la densidad a 35 º C será:

13509)3713546(m

Ejemplo:¿A qué temperatura tendremos que poner el agua para que

la celeridad del sonido sea 1500 m/s? Velocidad del sonido en agua a 20 º C = 1486 m/s

smvvv T

º9,51486

º1061,1(

14)14861500(

CTCT º9,25º20

Dilatación térmica

Sean L1 y L2 los valores de la longitud de un cuerpo, a las temperaturas T1 y T2.

La variación de longitud será:

12 LLLestá relacionada con la variación de temperatura por:

12 TTT

mediante la ecuación:

donde es el coeficiente de dilatación térmica.

Ejemplo:La caldera de acero de una central eléctrica tiene una

altura de 30 m. Cuando se enciende, su temperatura sube desde20 º C hasta 500 º C . ¿Cuánto variará su longitud durante el proceso?

Sustancia Dominio de temp. º C Coef. Dilatación térmica

0 a100 10,5x10-6

º C-1

90 a 200 11,5x10-6

º C-1

200 a 300 13x10-6

º C-1

300 a 600 15x10-6

º C-1

mxCCxmTLL

109)º200)(º1015)(30(

109,3)º100)(º1013)(30(

1045,3)º100)(º105,11)(30(

1052,2)º80)(º105,10)(30(

cmmxmxmx

mxmxLLLLL dcba

9,18109,18)109()109,3(

)1045,3()1052,2(

Relación entre dilatación y esfuerzo.

donde e es el coeficiente de deformación

eES , donde S es el esfuerzo y E el módulo de Young

CALOR LATENTE

Definición: El calor latente es la energía necesaria para transformar un

kilogramo de sustancia de una fase a otra a temperatura constante. El calor de fusión Hf

es el calor latente para la transformación de sólido a líquido; el calor de evaporación Hv

es el calor latente para la transformación de líquido a gas; el calor de sublimación Hs es

el calor latente para la transformación de sólido a gas directamente, sin pasar por fase

líquida.

En el caso del agua, al empezar a fundir el hielo, no aumentará la temperatura de

este, aunque aumentemos la temperatura, hasta que se haya fundido totalmente.

Ejemplo:¿Cuánto calor hay que extraer de 200 g de agua a 15 º C

para producir 200 g de hielo a –15 º C? Para enfriar el agua a 0º, hay que extraer:

kcalCCCkg

kcalkgTmcQ p 3)º15º0(º

1)2,0(1

Para congelar el agua:

kcalkg

kcalkgmHQ f 16)7,79)(2,0(2

Para enfriar el hielo hasta –15 º C:

kcalCCCkg

kcalkgTmcQ p 5,1)º0º15(º

492,0)2,0(3

La cantidad de calor a extraer es:

kcalQQQQ 5,20321

Refrigeración

El calor pasa espontáneamente de una región a temperatura elevada a otra de

temperatura más baja.

Un refrigerador es un dispositivo que rebaja la temperatura de un compartimento

aislado por debajo de la del ambiente, transportando calor del compartimento a baja

temperatura al ambiente de temperatura más elevada. Un refrigerador es análogo a una

bomba que transporta un fluido desde una región a presión baja a otra a presión

superior.

Definición: El rendimiento e de una máquina frigorífica es el cociente entre el

calor 1Q extraído del compartimento y el trabajo W efectuado por el compresor:

TRANSMISIÓN DE CALOR

El calor es energía que pasa de un objeto a otro a consecuencia de una diferencia

de temperatura existente entre ellos. El sentido natural de la circulación espontánea del

calor es siempre del objeto de mayor temperatura al de menor

Existen tres mecanismos básico mediante los cuales el calor circula

espontáneamente de una región de mayor temperatura a otra de menor temperatura:

conducción , convección y radiación.

Conducción:

La conducción es la transmisión de energía a través de un medio material por los

choques sucesivos de las moléculas vecinas. Las moléculas, al chocar, van cediendo

parte de su energía cinética a las que tienen menor, y esta, a su vez, cederán a las que

tengan menor que ellas, y así hasta que las energías cinéticas de todas las moléculas se

compensen.

Definición: El caudal calorífico P es el calor que pasa de una cara a otra en una

unidad de tiempo. Así pues, si circula una cantidad de calor Q en un tiempo t, el caudal

P será:

entonces:

donde K será la constante de conductividad térmica, característica del material;

A será la superficie de la lámina y d su grosor.

Ejemplo:¿Cuál es el caudal calorífico que atraviesa el vidrio de una

ventana de 0,5 cm de grosor, cuando la cara externa se halla a6 º C y la interior a 6,8 º C? (las dimensiones de la ventana son 2x3m

TAKP 768

)º8,0)((6)(º

Definición: La conductividad C de una lámina de material de conductividad

térmica K , grosor d y área A es:

La resistencia R de una lámina de material de conductancia C es:

El caudal calorífico, se puede expresar en función de la conductancia o la

resistencia por:

TCP y R

Definición: La resistencia eficaz Ref de una barrera es la suma de la resistencia R

de la barrera más la resistencia superficial Rs.

Sef RRR

Definición: El coeficiente de transmisión U, o valor U de una barrera de área A

Sef RRAARU

El caudal calorífico a través de una barrera es

Convección:

La convección es la transmisión de energía en un líquido o gas por medio del

tránsito real de fluido caliente de una región a temperatura elevada a otra de temperatura

más baja. El fluido caliente tiene más energía interna que el fluido frío, al cual desplaza,

con lo cual se lleva junto con el fluido energía a la región de temperatura inferior.

Radiación:

La radiación es energía electromagnética que se propaga por el vacío a la

velocidad de la luz. Todos los cuerpos emiten una radiación.

La energía radiante que por unidad de tiempo emite un cuerpo cuya superficie

tenga un área A y cuya temperatura absoluta sea Te la representaremos por Pe y se

cumple:

ee ATP emisión

aa ATP absorción

aeae TTAPPP pérdida neta

donde 4281067,5

KmWx es una constante universal llamada constante de

Stephan – Boltzmann y es un parámetro adimensional denominado emisividad, cuyo

valor va de 0 a 1 y depende de la naturaleza de la superficie.

TEMA X. TERMODINAMICA La termodinámica estudia la relación entre calor, trabajo y energía y en

particular, la transformación de energía en trabajo

El primer principio de la termodinámica dice que una máquina no puede

desarrollar un trabajo superior a la energía liberada por el combustible.

El segundo principio de la termodinámica dice que no toda la energía liberada

puede convertirse en trabajo.

TRANSFORMACIONES TERMODINAMICAS

El estado termodinámico de un sistema queda especificado por unas pocas

variables termodinámicas, tales como la presión p, el volumen V y la temperatura T.

Transformación adiabática es toda transformación durante la cual no pueda

entrar ni salir calor del sistema.

Según el primer principio de la termodinámica WQES , como en una

transformación adiabática Q = 0 entonces tendremos

En la dilatación adiabática de un gas, el trabajo efectuado es:

VWW es positivo cuando el sistema efectúa un trabajo sobre el ambiente y es

negativo.

En la compresión adiabática de un gas, W será negativo, mientras que es

positivo.

Transformación isotérmica es toda transformación en la cual se mantenga

constante la temperatura.

Transformación isocora es toda transformación en la cual se mantiene

constante el volumen del sistema.

Transformación isobárica es toda transformación en la cual se mantenga fija la

presión del sistema.

MAQUINAS TERMICAS Y FRIGORIFICAS

Una máquina térmica es un dispositivo que convierte calor en trabajo. Una

máquina frigorífica o refrigerador, es un dispositivo que utiliza trabajo para extraer

calor.

Ejemplo:Una central nuclear de 850 MW tiene un rendimiento del

28 %. Refrigera su condensador admitiendo agua del mar a 10 º Cy la descarga a 18 º C. ¿Cuánta agua se necesita?

sJxWxMWP 86 105,810850850

por lo que el trabajo que realiza en un segundo essJxW 8105,8

El calor tomado de la caldera en 1 segundo es:

1 104,3028,0

El calor cedido en el condensador será: JWQQ 888

12 109,21105,8104,30

El aumento de temperatura es de 10 º a 18 º, por tanto y, teniendo en cuenta que el calor específico del agua es

, tendremos:

)º/(18,4 CkgkJcP

kgCCkgkJ

2 105,6º8)º(18,4

109,21

entonces tendremos un volumen de agua tal que:

651000

105,6m

Motor de gasolina

El rendimiento de un motor está relacionado con los volúmenes máximo y

mínimo, V1 y V2 del cilindro mediante la expresión:

1 11 rV

donde2

r es la razón de compresión.

Máquina frigorífica

Una máquina térmica es un artefacto que convierte calor en trabajo. Una

máquina frigorífica es una máquina que utiliza un trabajo para extraer calor de un

compartimento frío.

La máquina frigorífica absorbe una cantidad de calor Q1 de un foco frío y cede

una cantidad de calor Q2 a un foco caliente. Hay que efectuar sobre el sistema un trabajo

12 QQW .

En una máquina frigorífica, el beneficio es el calor Q1 extraído del foco frío y el

costo es el trabajo W efectuado sobre el sistema, por lo que el rendimiento de una

máquina frigorífica es:

Ciclo de Carnot

El ciclo de Carnot posee las siguientes propiedades:

La máquina de Carnot es la de mayor rendimiento de las que operan entre

dos temperaturas T1 y T2.

El rendimiento de una máquina de Carnot es independiente de cuál sea la

sustancia evolutiva. Es decir, el rendimiento es el mismo si el sistema es un

gas perfecto, un gas real e incluso un líquido.

El rendimiento de la máquina de Carnot que opere entre las temperaturas

absolutas T1 y T2 es:

Una máquina de Carnot puede funcionar en sentido inverso, convirtiéndose

en máquina frigorífica de Carnot. Entonces la máquina frigorífica de mayor

rendimiento que puede extraer el calor Q1 del foco frío T1 y ceder calor Q2 al

foco caliente T2. El rendimiento de la máquina frigorífica de Carnot es:

Ejemplo:La temperatura de la caldera de una turbina de vapor es

550º C y la temperatura del condensador es de 10º C . ¿Cuál es el rendimiento de la máquina de Carnot que opere entre esastemperaturas?

Las temperaturas absolutas de los focos caliente y frío son:

º283º10º273

º823º550º273

y el rendimiento

66,0823

SEGUNDO PRINCIPIO DE LA TERMODINAMICA

El segundo principio de la termodinámica dice que la energía del universo (Eu),

que es la suma de la energía del sistema (ES) más la energía del ambiente (Ee),

( ) se conserva, es decir, en toda transformación termodinámicaEEEu 0E

Enunciado estadístico del segundo principio de la termodinámica. El

desorden total del universo no disminuye nunca.

Hay procesos que son irreversibles. Un objeto, lo normal, es que caiga. Ese

mismo objeto no puede elevarse por sí solo.

ENTROPIA

Definición: La entropía S es una variable termodinámica que mide el desorden

de un estado termodinámico. Esto significa que cada estado tiene una entropía definida

y que la entropía de un estado será mayor que la del otro cuando el desorden del

primero sea mayor que el del segundo

TEMA XI. CUERDAS VIBRANTES

ONDAS DE UNA CUERDA TENSA

Definición: Una onda es una perturbación de un medio que se propaga por él con

una celeridad constante característica del medio. v

En el ejemplo de una cuerda, la cuerda es el medio y la perturbación es el

movimiento de los puntos de la cuerda que se desplaza frente a los punto de la cuerda

que no se perturban.

Se establece un eje de coordenadas para poder comprender los movimientos de

una cuerda vibrante.

En estado de equilibrio, para cualquier magnitud en el eje x, se establece que el

eje y = 0.

Cuando ya la cuerda no está en equilibrio, se establecerá para un valor en x un

valor en y.

Cada punto de la cuerda, solo se mueve hacia arriba y hacia abajo, mientras que

la perturbación se moverá longitudinalmente a lo largo de la cuerda con una celeridad v.

La celeridad hacia arriba y hacia abajo no es constante.

La celeridad en la cuerda vendrá determinada por

Ejemplo:Supongamos que el intervalo

de tiempo entre las figuras b y c es de 0,2 seg. En ese tiempo, el punto de la cuerda cuyodesplazamiento es de 0,3 cm ha pasado de A (en x = 4,0 m) a B (enx=5,0 m), con lo que la celeridad v de la onda es:

0,40,5

Por otra parte, el desplazamiento de A ha pasado a ser a , con lo

que la celeridad (media) transversal, o arriba y abajo, de dicho punto durante ese intervalo de tiempo es:

cmy 3,00,4 cmy 6,00,5

cmcmv 5,1

3,06,0

La celeridad transversal v está relacionada con la energía que transporta la onda

mientras que la celeridad v de la onda, es la celeridad con la cual se transmite la energía

a lo largo de la cuerda.

Para un medio dado, la celeridad de la onda es constante, mientras que la

celeridad transversal varía de una onda a otra e incluso de un punto a otro y de un

instante a otro dentro de una onda dada.

Ejemplo:a) Dibujar el desplazamiento de la cuerda 0,2 s después de

que esté en la posición representada en la figura c. b) ¿Cuál es el desplazamiento del punto A en ese instante? c) ¿Cuál es la celeridad transversal (media) del punto A

durante dicho intervalo de 0,2 s?

a) Como la celeridad v de la onda es de 5 m/s, en 0,2 s la onda recorre una distancia

mssmvtd 1)2,0()5(

esto sitúa el punto A en x=5m.

b) En la figura observamos que el antiguo punto A tiene ahora un valor .cmy 2,00,4

d) Durante este intervalo de tiempo, la posición de A pasa de a cmy 6,00,4 cmy 2,00,4 , por lo que su celeridad

media será:

cmcmv 0,2

6,02,0

El signo menos indica que A se mueve en el sentido de las y negativas durante ese intervalo de tiempo.

Definición: Se llama onda transversal aquella onda en la cual los puntos del

medio se mueven perpendicularmente a la dirección de propagación de la onda. Las

ondas de una cuerda son transversales porque los puntos de la cuerda se mueven

perpendicularmente a la cuerda mientras la onda se propaga a lo largo de ella

Definición: Se llama onda longitudinal aquella onda en la cual los puntos del

medio se mueven en uno otro sentido en la dirección de la propagación de la onda.

Ejemplo. Un muelle cuando se contrae y se expande.

FISICA DE LAS ONDAS MECANICAS

La propagación de una onda se comprende si al someter a un punto del medio

una fuerza, esta hace que el medio cambie su condición de equilibrio y luego, los puntos

cercanos al de aplicación, hacen que el original vuelva a su estado de equilibrio y así

sucesivamente.

Celeridad de una onda en una cuerda

Viene determinada por la masa de la cuerda, la longitud de esta y su tensión por:

La cantidad m/L es la masa por unidad de longitud, o densidad lineal, de la

cuerda. Así pues:

Entonces la celeridad en la cuerda será:

Ejemplo:¿Cuál es la celeridad de una onda en una cuerda de guitarra

sometida a una tensión de 30 N y cuya masa por unidad de longitud es de 0,015 kg./m?

smsmkgmNmkg

Nv /7.44/2000/2000

/015,0

SUPERPOSICION

Cuando en el mismo punto

existen varias ondas, se conoce como

ondas en superposición. Por ejemplo,

cuando una onda va hacia la otra, éstas

se cruzan y se atraviesan sin alteración.

Por tanto, se puede decir que una onda

no es un cuerpo material sino un

sistema de desplazamiento de puntos.

Principio de superposición

Si en un instante cualquiera existen simultáneamente en un punto dos o más

ondas, el desplazamiento del punto es la suma de los desplazamientos que tendría al

estar afectado por cada onda por separado. Al aplicar este principio, los desplazamientos

hacia un lado se toman positivos y los desplazamientos hacia otro se toman negativos.

También ocurre lo mismo si las ondas están desfasadas 180º:

Superposición de las ondas

transversales de los dos

puntos.

ONDAS SINUSOIDALES

Longitud de onda y frecuencia

Una onda sinusoidal es una onda en la cual se alternan semiciclos o pulsos

positivos y negativos

Definición: La longitud de onda de una onda sinusoidal es la distancia que

separa los dos picos positivos contiguos. Para una onda sinusoidal, los picos positivos y

cualquier punto respecto a su imagen tienen la misma separación.

Se dice que es una onda periódica porque la forma se repite exactamente a

intervalos iguales a .

Definición: La amplitud A de una onda sinusoidal es la elongación máxima de la

onda. Es igual en la elongación del pulso positivo y la elongación del pulso negativo.

También se conoce como amplitud de pico.

Si la amplitud se toma sumando las dos amplitudes de pico (pulso positivo mas

pulso negativo) se conoce como amplitud de pico a pico.

La longitud de onda de una onda sinusoidal se toma en función de una

circunferencia trigonométrica (dividiendo la longitud de onda en 360 partes), por tanto

se puede calcular la elongación en un punto cualquiera en función del seno de la

inclinación de la onda.

360360

donde x es la posición en la queremos calcular el ángulo, es la longitud de

onda y es el ángulo que describe la onda en esa posición.

Entonces la elongación en el punto x será igual a:

360sensenx

Donde Ax es la amplitud o elongación en el punto x.

Si la medida de los ángulos se expresan en radianes entonces tendremos:

2sensenx

Ejemplo:Una onda sinusoidal tiene una amplitud A = 0,5 cm y una

longitud de onda cm30 ¿Cuál es su elongación en x = 6 cm?

475.0)951.0)(5.0(

)º72)(sen5.0(º36030

6sen)5.0(º360sen

Definición: Llamamos periodo de una onda sinusoidal al tiempo una onda

sinusoidal en completar una longitud de onda.

v o bienv

está relacionado con la velocidad de propagación de la onda.

Definición: La frecuencia f de una onda sinusoidal es las veces que se repite esa

onda por unidad de tiempo. Viene dada por:

Teorema de Fourier

Toda onda, cualquiera que sea su forma, puede expresarse de manera única

como superposición (suma) de ondas sinusoidales de longitudes de onda y amplitudes

de onda definidas

Una onda compleja siempre se puede descomponer en ondas más sencillas.

Energía de una onda sinusoidal

Cuando se propaga por un medio una onda sinusoidal de frecuencia f y amplitud

A, cada punto del medio oscila con movimiento armónico simple. La energía de una

masa puntual es:

1kymvE

La energía total será igual a la suma de su energía cinética más la energía

potencial.

La constante k es una medida de la intensidad de la fuerza que ejerce el medio

sobre el punto desplazado. Está relacionada con el periodo de oscilación del punto

por la ecuación:

m2 de donde mf

Así pues, la energía en un punto del medio será:

2222 22

1AmfkAE

En una cuerda de densidad lineal , la masa de un tramo de cuerda de longitud

igual a una longitud de onda es m . Entonces, la energía en el tramo de la cuerda

será:

22222 22 vfAAfEdonde fv es la velocidad de propagación de la onda por la cuerda.

La energía que pasa por un punto por unidad de tiempo viene dada por:

2222 AvffEP

ONDAS ESTACIONARIAS

Cuando dos ondas sinusoidales de igual amplitud, frecuencia y fase, aunque de

sentido opuesto, se cruzan y forman ondas estacionarias.

Ejemplo:Un cable de alta tensión de 120 m de longitud está

suspendido entre dos torres. La densidad lineal del cable es de 1.6 kg./m y la tensión mecánica del cable es de a) ¿Cuál es la menor frecuencia con que puede oscilar el cable? b) ¿cuál es la separación entre nodos igual a 1.5 m?

Nx 4106.3

a) la celeridad de propagación de una onda transversal será:

NxTv /150

106.2 4

la frecuencia de oscilación más baja será la fundamental a la cual corresponde la longitud de onda:

mmL 240)120(221

y la frecuencia:

n 625.0240

b) los nodos de una onda estacionaria están separados cada dos consecutivos (media longitud de onda) entonces la longitud de onda n de las ondas estacionarias cuyos nodos estén separados 1,5

m será: mmn 0.3)5.1(2

y su frecuencia:

n 500.3

Definición: El valor de la frecuencia accionante fa que origina la amplitud de

vibración máxima se denomina frecuencia de resonancia. Un sistema que se accione a

su frecuencia de resonancia se dice que está en resonancia. Si un sistema es pequeño o

no tiene casi rozamiento, la frecuencia de resonancia es igual a la frecuencia

característica.

Ejemplo:El cable del ejemplo anterior tiene un diámetro de 2.8 cm. a)

¿Cuál es la frecuencia de la fuerza accionante que ejerce sobre este cable un viento de 25 km./h? b) ¿Qué celeridad el viento haría que el cable resonara a la frecuencia característica n = 80?

a) la celeridad del viento es:

mhkmv /94.6

25000/25

el radio del cable es:

dr 014.02

la frecuencia de la fuerza accionante será:

vcfd 8.45

/94.60923.0 2

Constante de análisis con cables reales

b) Sabemos que la frecuencia característica del cable es:

80625.0

fn n , entonces Hzf 5080

La resonancia tiene lugar cuando la fuerza accionante es igual a la frecuencia característica. Por tanto la celeridad del viento a esta frecuencia vendrá dada por:

vcfd 5080

entonces:

sKmsms

rHzv /3.27/58.7

0923.0

014.0)50()50(

TEMA XII. SONIDO El sonido es una onda mecánica longitudinal que se propaga por el aire, el agua

y otros medios materiales

FISICA DEL SONIDO

El altavoz consiste en un cono de plástico unido a un electroimán. Cuando se

manda a este una corriente eléctrica alterna de frecuencia f, el cono vibra en un sentido

y en otro según esa frecuencia f.

El cono ejecuta un movimiento armónico simple. La elongación de las

moléculas de aire que mueve el cono viene dada por:

)2cos( ftAydonde A es la amplitud del movimiento del cono.

La onda se propaga con una celeridad v característica del medio.

La longitud de onda de una onda sinusoidal de frecuencia f viene dada por:

Ejemplo:¿Cuál es la longitud de onda en el aire de una onda sonora

generada por un altavoz que oscila con una frecuencia de 1000 Hz?

La longitud de onda del sonido está comprendida entre 2 cm y 20 m, según sea

la frecuencia (de 20 Hz a 20 KHz).

El sonido genera unos cambios de presión en el medio. Esta presión, en un punto

viene determinada para una elongación determinada según:

Si en un instante la elongación de la onda viene dada por:

)2cos(x

en ese mismo instante la diferencia de presión p viene dada por

xAp p 2sen

sonde Ap es el valor máximo de p

La amplitud de la presión Ap está relacionada con la amplitud de la elongación A

vAfAp 2

donde es la densidad del medio y v la celeridad del sonido en el medio.

Al la cantidad v se le da el nombre de impedancia acústica.

Ejemplo:La amplitud de la presión del sonido de una conversación

normal es, aproximadamente de 0.02 Pa ¿Cuál es la amplitud de la elongación de este sonido si su frecuencia es de 1000 Hz?

La impedancia acústica del aire a 20 º C es 411.6 Kg./(m2s), entonces:

mxsmkgHz

107.7)//(6.411)1000(2

Celeridad del sonido en gases y líquidos

La celeridad del sonido en gases ideales viene dada por

donde es la densidad del gas, es la presión en ausencia de perturbaciones

es la razón vp CC del calor específico de un gas a presión constante al calor

específico del gas a volumen constante.

La celeridad del sonido en un líquido viene dada por:

LIQUIDO

donde el módulo de compresibilidad se define de la manera siguiente:

Definición: El módulo de compresibilidad constituye una medida de la

resistencia del líquido a la compresión. Es el equivalente al módulo de Young en los

sólidos.

Si un líquido ocupa un volumen V a una presión el volumen se reducirá a un

volumen cuando la presión se incrementa en

VV 00 pp .

El módulo de compresibilidad de un líquido es:

Ejemplo:a) Calcular el módulo de compresibilidad del agua teniendo

en cuenta que la velocidad del sonido en agua es 1498 m/s, y sudensidad es de 998 Kg./m3. b) ¿Cuánto disminuye un volumen de104 cm3 de agua cuando se somete a una presión de 200 atm.?

293222 /102.2)/998()/1498( mNxmkgsmBvB

b)27 /1002.2200 mNxatmp

3427 8.91

/102.2

10)/1002.2( cm

Ondas extensivas

Se llama onda extensiva a una onda longitudinal que se propaga a lo largo del

eje de una varilla larga cuyo diámetro d es pequeño frente a la longitud de onda . Las

pequeñas variaciones de presión se propagan a lo largo de la varilla produciendo

deformaciones en el diámetro de la varilla.

La celeridad de una onda extensiva viene dada por:

donde E es el módulo de Young.

Ondas longitudinales puras o compresivas

La onda longitudinal pura a diferencia de la onda extensiva no tiene movimiento

transversal y se desplaza a través de un medio extenso.

La velocidad de propagación v de una onda longitudinal pura está relacionada

con la de las ondas extensivas por:

exvv)21)(1(

donde es la constante de Poisson. (para toda sustancia esta está comprendida

entre 0 y 0,5).

Ondas transversales o cortantes

En una onda transversal, las moléculas del medio se mueven perpendicularmente

a la dirección de propagación de la onda. Las ondas transversales se pueden propagar

por sólidos, pero no por gases y líquidos, ya que los fluidos no pueden soportar

esfuerzos cortantes.

La celeridad en las ondas cortantes viene dada por:

donde G es el módulo de rigidez del sólido

NOTA. El módulo de Young E, el módulo de rigidez G y el coeficiente de

Poisson están relacionados por:

INTENSIDAD Y NIVEL DE INTENSIDAD

Una onda sonora que se desplaza por una columna de aire de longitud d y

sección recta de área a. La masa m de la columna de aire es:

adVmLa densidad lineal es la masa por unidad de longitud de la columna:

Al propagarse una onda por un medio, las energías cinética y potencial de las

moléculas móviles se transportan desde una región del espacio a otra con una celeridad

v de la onda. En el caso de una cuerda de densidad lineal , la energía transportada

por unidad de tiempo o potencia P viene dada por:

2222 AvfP o lo que es lo mismo2222 AavfP

Definición: La intensidad I de una onda es la energía que, por unidad de tiempo,

transporta la onda a través de la unidad de superficie. Así pues, si es P la potencia que

transporta una onda a través de un área a, la intensidad de la onda será:

entonces tendremos que:

222222

por tanto

donde Ap es la amplitud de la presión.

Ejemplo:a) El diafragma de un micrófono tiene una superficie de 3

cm2 . Si la potencia del sonido que incide sobre el diafragma es P = 6 x 10-10 W ¿Cuál es la intensidad I del sonido?. b) ¿Cuál es la amplitud de la presión del sonido A

/102103

106mWx

b) v es la Impedancia acústica = 412 Kg./(m2s)

PaxmWxsmkgvIAp

2262 1006.4)/102()/(41222

Definición: El nivel de Intensidad (en decibelios) de un sonido de intensidad I

IdB log)10(

donde que es la intensidad de referencia.212 /10 mWIo

En la escala de decibel, el dominio de audibilidad humana está entre:

dBdBmW

120)10log()10(/10

/1log)10(

0)1log()10(/10

/10log)10(

ONDAS ESTACIONARIAS

Se basan en los mismos principios que para las cuerdas vibrantes.

Ejemplo:¿Cuál es la longitud de un tubo de órgano abierto cuya

frecuencia fundamental sea 440 Hz?

386.0)440(2

)/340(1

EFECTO DOPPLER Y PULSACIONES

Cuando se emite una frecuencia hacia un objeto estático, este devolverá la

misma frecuencia que la emitida. Si el objeto está en movimiento, este devolverá una

variación en la frecuencia según la velocidad de desplazamiento del objeto o del foco.

Foco en movimiento

La longitud de onda de la onda será:

Tvv )(

y la frecuencia:

Ejemplo:Una sirena de ambulancia oscila a una frecuencia de 1200

Hz ¿Cuál es la frecuencia del sonido que llega a un detector en reposo cuando la ambulancia se mueve hacia él a 25 m/s?

HzHzsmsm

1295)1200(/25/340

si la ambulancia se alejara del detector sería –25 m/s:

HzHzsmsm

1118)1200(/25/340

Detector en movimiento

Cuando el detector es el que se mueve hacia el foco sonoro con una velocidad

vd, la onda en el aire tendrá la misma frecuencia fs que el foco sonoro y su longitud de

onda ss fv / , aunque el detector no percibirá esta frecuencia .

En el intervalo de tiempo entre t = 0 y t = T, al detector le llegará una onda de

longitud:

TvvT d

El número de longitudes de onda de ese tres de frecuencias es:

TvvTTvvT

y la frecuencia percibida vendrá dada por:

Ejemplo:El foco de una alarma antirrobo genera ondas de frecuencia

2500 Hz. ¿Cuál será la frecuencia de las ondas reflejadas por un cuerpo que se mueve hacia el foco con una celeridad de 1 m/s?

HzHzHz

vvf s 2515)2500(

Pulsaciones

La superposición de dos ondas sinsusoidales cuyas frecuencias f1 y f2 sean casi

iguales, da lugar a una onda pulsátil. La frecuencia f de esa onda es la media

aritmética de las frecuencia de las ondas componentes.

121 fff

y la amplitud de la onda oscila con la frecuencia de las pulsaciones , que es

igual a la diferencia entre las frecuencias f

1 y f2.

12 fff

CONTROL DE RUIDO

Variación de la intensidad con la distancia

La intensidad del ruido varía dependiendo del alejamiento del detector al foco.

La potencia sonora a una determinada distancia del foco viene dada por:

1111 4 IrIaPAnálogamente, la potencia P2 que atraviesa una superficie esférica de radio r2

será:

2222 4 IrIaPLa energía por segundo que atraviesa las dos zonas es igual según:

1 44 IrIro sea:

Transmisión y reflexión por una barrera

Definición: La reducción de ruido nr de una barrera es la diferencia entre los

niveles de intensidad de los sonidos incidente y transmitido:

Idb log)10(

Definición: El coeficiente de reflexión r de una barrera es la razón de la

intensidad reflejada a la incidente.

TEMA XII. SONIDO El sonido es una onda mecánica longitudinal que se propaga por el aire, el agua

y otros medios materiales

FISICA DEL SONIDO

El altavoz consiste en un cono de plástico unido a un electroimán. Cuando se

manda a este una corriente eléctrica alterna de frecuencia f, el cono vibra en un sentido

y en otro según esa frecuencia f.

El cono ejecuta un movimiento armónico simple. La elongación de las

moléculas de aire que mueve el cono viene dada por:

)2cos( ftAydonde A es la amplitud del movimiento del cono.

La onda se propaga con una celeridad v característica del medio.

La longitud de onda de una onda sinusoidal de frecuencia f viene dada por:

Ejemplo:¿Cuál es la longitud de onda en el aire de una onda sonora

generada por un altavoz que oscila con una frecuencia de 1000 Hz?

La longitud de onda del sonido está comprendida entre 2 cm y 20 m, según sea

la frecuencia (de 20 Hz a 20 KHz).

El sonido genera unos cambios de presión en el medio. Esta presión, en un punto

viene determinada para una elongación determinada según:

Si en un instante la elongación de la onda viene dada por:

)2cos(x

en ese mismo instante la diferencia de presión p viene dada por

xAp p 2sen

sonde Ap es el valor máximo de p

La amplitud de la presión Ap está relacionada con la amplitud de la elongación A

vAfAp 2

donde es la densidad del medio y v la celeridad del sonido en el medio.

Al la cantidad v se le da el nombre de impedancia acústica.

Ejemplo:La amplitud de la presión del sonido de una conversación

normal es, aproximadamente de 0.02 Pa ¿Cuál es la amplitud de la elongación de este sonido si su frecuencia es de 1000 Hz?

La impedancia acústica del aire a 20 º C es 411.6 Kg./(m2s), entonces:_

TEMA XIII. LA LUZ

NATURALEZA DE LA LUZ

Naturaleza ondulatoria de la luz

La naturaleza de la luz se estableció a través de una serie de experimentos que

ponían de manifiesto que la luz cumple el principio de superposición.

Naturaleza electromagnética de la luz

Maxwell estableció que la luz era una forma de radiación electromagnética.

Estableció que el espectro de luz visible va de 400 nm. (nanometros) a 700 nm.

(4x10-7

a 7x10-7

Celeridad de la luz

La celeridad de la luz se establece en vacío como:

smxc /1000.3 8

Definición: El índice de refracción n de una sustancia es el cociente entre la

celeridad de la luz en vacío y la celeridad de la luz v en la sustancia en cuestión:

REFLEXION Y REFRACCIÓN

Definición: Onda plana es aquella en la cual su elongación es la misma en todos

los puntos de un plano perpendicular a la dirección de propagación. Dichos planos,

llamados frentes de onda, se mueven con la celeridad v de la onda

Cuando una onda viaja por un medio, al chocar con la superficie de otro medio,

parte de la onda se ve reflejada por la superficie hacia el mismo medio (reflexión) y,

parte atraviesa el otro medio sufriendo una variación (refracción) en su ángulo de

incidencia.

Reflexión

Ley de la reflexión. El ángulo de reflexión 1' es igual al ángulo de incidencia

11'De la ley de reflexión se deduce que la velocidad de la onda incidente es igual a

la velocidad de la onda reflejada.

Refracción

Ley de la refracción. El ángulo de incidencia 1 está relacionado con el ángulo

de refracción 2 mediante la relación:

2211 sensen nndonde n1 y n2 son los índices de refracción de los medios primero y segundo

De la ley de la refracción se deduce que las velocidades de la onda incidente y la

refractada son distintas, ya que el índice de refracción es distinto según:

luego las distancias recorridas por ambas ondas serán distintas también

Luego, según la figura tendremos que:

'sen 1 y

'sen 2

entonces:

2211 sensen nn

Ejemplo:Un haz de luz incide bajo un

ángulo 1 sobre una cara de láminade vidrio de caras paralelas. ¿Cuál es el ángulo 1 con que emerge por la otra cara de la lámina?

12 sensen

como las caras del vidrio sonparalelas, entonces 22 y por tanto:

21 sensensensensen

Por tanto si 11 sensen entonces significa que el ánguloincidente y el emergente son paralelos, pero desplazados. Esto ocurre siempre en caso de superficies paralelas

EjemploUn rayo de luz incide

bajo un ángulo º401 sobre una cara de un prisma de vidrio cuyo ángulo del prisma o ángulo refringente es º60A

y cuyo índice de refracción es . ¿Cuál es el ángulo de

desviación5.12n

D que forma el rayo emergente con el incidente?

º4.25429.0sen429.0º40sen5.1

1sensen 221

según las leyes de la geometría:

22 90º- y º90 ;180A

entonces º6.34º4.25º60º180)º90()º90( 22222 AA

por tanto:

6.58853.0º6.34sen5.1sensen 12

entonces el ángulo de desviación D será:

º6.38º60º6.58º40

)() 112121

Reflexión total interna

Cuando un rayo de luz pasa de un medio a otro de mayor índice de refracción, se

refracta acercándose a la normal (recta perpendicular a la cara de incidencia) y cuando

el segundo medio tenga un índice de refracción menor que el primero, se refractará

alejándose de la normal.

Toda la luz que incide en la superficie de separación vidrio – aire se refleja hacia

el interior del vidrio. Este fenómeno se llama reflexión total interna y esto ocurre

cuando:

1sen 1

La reflexión total interna solo se cumple cuando .21 nn

El ángulo crítico C1 es el menor ángulo para el cual hay reflexión total y se

obtiene cuando:

INTERFERENCIAS Y DIFRACCION

Interferencias

Cuando se mezclan dos ondas de distintas frecuencias, según el principio de

superposición, la frecuencia de la onda resultante tiene variaciones y en algún punto

determinado llega a anularse.

Ejemplo:Un láser de neón – helio forma un sistema de franjas sobre

una pantalla situada a 3.00 m de otra que contiene dos rendijas separadas 0,02 cm. La separación de franjas brillantes contiguas en la pantalla es de 0.95 cm. ¿Cuál es la longitud de onda de la luz láser?

nmcmxcmx

dxn 630103.6)100,3)(1(

)02,0)(95,0( 5

Difracción

Cuando una onda plana atraviesa una rendija, se producen a partir de ahí unas

difracciones relacionadas con la abertura de la rendija y la longitud de onda de la luz

que atraviesa la rendija. Cuando la rendija sea mucho más ancha que la longitud de

onda, el ángulo de la difracción será pequeño.

La relación del ángulo de difracción y el tamaño de la rendija con la longitud de

onda se da en:

Resolución

Definición: El poder separador, o de resolución, de un instrumento óptico es una

medida del grado hasta el cual puede separar el instrumento la luz procedente de dos

puntos diferentes.

El tamaño de la mancha de enfoque depende del diámetro d de la pupila, de la

distancia f del cristalino a la retina y de la longitud de onda de la luz.

El diámetro máximo de la pupila es de unos 7 mm, por lo que con nm550 el ángulo de difracción dado será:

radxxxmx

108º1052.4109.7107

10550sen

La distancia f entre el cristalino y la retina es de 1,7 cm, por lo que el radio de la mancha de enfoque será:

mcmxcmxfr 4,1104,1)7,1)(108( 45

POLARIZACION

Una onda longitudinal solo puede vibrar en una dirección, mientras que una

onda transversal puede vibrar en cualquier dirección contenida en un plano

perpendicular a la dirección de propagación. En un haz de luz polarizada, todos los

trenes de ondas vibran en la misma dirección transversal, por lo que el haz se podrá

representar por una sola amplitud A. La amplitud de la luz polarizada se trata como una

magnitud vectorial porque está caracterizada por su magnitud y su dirección.

Luz polarizada parcialmente

La luz polarizada parcialmente es una mezcla de luz polarizada y luz no

polarizada que puede presentar una polarización comprendida entre el 0% y el 100%.

Los trenes de ondas polarizados parcialmente pueden vibrar en todas las direcciones

pero su máxima amplitud la logran en la dirección de la polarización. La luz no

polarizada se polariza parcialmente cuando la refleja una superficie no metálica, siendo

la dirección de polarización paralela a la superficie reflectora.

Luz polarizada elípticamente

La luz polarizada elípticamente resulta de la superposición de dos ondas

polarizadas linealmente de igual longitud de onda pero cuyos planos de polarización

sean mutuamente ortogonales y cuyas elongaciones pasen por sus valores máximos en

instantes diferentes

VISION DEL COLOR

Primera ley del color

El ojo humano normal sólo percibe tres atributos de la luz, que suelen

denominarse brillo, pureza y matiz.

Segunda ley del color

Todo color que puede obtenerse mezclando dos colores específicos

corresponderá a un punto de la recta que une los de dichos colores en un diagrama de

cromaticidad.

Tercera ley del color

Colores iguales tienen efectos iguales en las mezclas, aun cuando sean diferentes

sus composiciones espectrales.

RADIOMETRIA Y FOTOMETRIA

La radiometría es la medida de la energía electromagnética (energía radiante)

emitida por un foco o incidente sobre un detector. La radiación puede estar entre las

radiaciones infrarroja o ultravioleta incluyendo la luz visible.

La fotometría es la medida de la luz visible tal como aparece a un ser humano de

visión normal.

Radiometría

Definición: Poder radiante, o flujo radiante, es la energía electromagnética

que emite un foco por unidad de tiempo. Su unidad es el Joule por segundo (J/s) o watt

(W). El poder radiante espectral es el poder radiante por longitud de onda a una

longitud de onda particular

. Su unidad es el watt por nanometro (W/nm).

Definición: La irradiancia Ee es la energía electromagnética que incide sobre la

unidad de una superficie normal al flujo en una unidad de tiempo. Su unidad es el watt

por metro cuadrado (W/m2). La irradiancia espectral es la irradiancia por longitud

de onda a una longitud de onda particular

. Su unidad es el Watt por metro cuadrado y

por nanometro. [W/(m2.nm)]. La irradiancia es la expresión radiométrica de lo que

llamamos intensidad.

El poder radiante y la irradiancia guardan proporcionalidad como sigue:

Fotometría

Definición: El poder luminoso, o flujo luminoso, es la cantidad de luz visible

emitida por un foco en unidad de tiempo, Su unidad es el lumen (lm). El poder

luminoso espectral es el poder luminoso por longitud de onda a una longitud de onda

particular

. Su unidad es el lumen por nanometro (lm/nm).

Definición: La eficacia luminosa K de un foco luminoso es la razón de su poder

luminoso a su poder radiante .vP eP

Definición: La iluminancia es el poder luminoso que incide por unidad de

área sobre una superficie. Su unidad SI es el lumen por metro cuadrado (olm/m

vE2), que

recibe el nombre de lux (lx). Otras unidades son el lumen por pie cuadrado (lm/pie2),

llamado pie – candela y el lumen por centímetro cuadrado (lm/cm2), llamado phot (ph).

TEMA XIV. OPTICA

LENTES

Hay fundamentalmente dos tipos convergentes (positivas) y divergentes

(negativas)

Las lentes convexas son siempre convergentes.

Las lentes cóncavas son siempre divergentes.

Las lentes menisco pueden ser convergentes o divergentes dependiendo de la

curvatura relativa de sus superficies cóncava y convexa.

Definición: La distancia focal f de una lente es la distancia del centro C de la

lente al foco de imagen F’. Es la característica principal de la lente.

Imágenes reales

Una lente positiva (convergente) da una imagen real de un objeto lejano situado

en el plano focal

Fórmula de las lentes

1 Como los triángulos rectángulos CAB y CA’B’ son semejantes, tenemos:

2 Como los triángulos rectángulos F’CP y F’A’B’ son semejantes,

tenemos:

Pero la distancia 'CF es la distancia focal f y la distancia '' AF es , por lo

que podemos escribir la última ecuación en la forma

3 Entonces, según la primera ecuación tendremos:

y despejando:

11Fórmulas de las lentes

Cuando la distancia al objeto s sea muy grande, tendremos:

Ejemplo:¿Cuál es la distancia imagen de un objeto que esté a 100 cm

frente a una lente convergente de distancia focal 10 cm?

cmsscmcmscmscm

1.11'9

Definición: El aumento m de una imagen es la razón de la altura h’ de la imagen

a la altura h del objeto:

La relación entre las distancias objeto e imagen se puede presentar gráficamente

introduciendo las distancias reducidas s y 's , que son las distancias objeto e imagen

divididas por la distancia focal.

Entonces, según la fórmula de las lentes tendremos:

ssffsfs

lo que nos da una relación universal para lentes positivas.

INSTRUMENTOS DE UNA SOLA LENTE

Proyector

Ejemplo:Un proyector de diapositivas tiene una lente de distancia

focal f = 15 cm y proyecta una imagen sobre una pantalla situada a una distancia s’ = 4 m de la lente. a) ¿A qué distancia de la lente ha de estar la diapositiva?. b) ¿Cuál será el aumento de la imagen formada por el proyector?

cmcmscmcmcmsfs

6.1577

7.2615

Cámara fotográfica

Ejemplo:¿Cuál es el tamaño de la imagen de una mujer de 1,6 m de

estatura que se halle de pie a 4 m de una cámara fotográfica cuyo objetivo tiene una distancia focal de 50 mm?

El aumento es:

0125.0400

entonces, la altura de la imagen será: cmcmhmh 0.20125.0160´

Definición: El campo de visión de una cámara fotográfica es el ángulo

subtenido por la escena proyectada sobre la película. Si w es la anchura de la película:

arctg22

Definición: Se llama abertura relativa de una lente a la razón d/f de su diámetro

a su distancia focal. La iluminación que llega a la imagen es proporcional al cuadrado

de la abertura relativa. El recíproco de la abertura relativa se denomina número f y es:

ff número

Definición: La velocidad de obturación de una cámara fotográfica es el tiempo

que permanece abierto el obturador mientras se toma una fotografía.

Definición: La profundidad de campo es la gama de distancias a la cual estará

un objeto en condiciones de enfoque satisfactorias para un ajuste de la cámara dado.

Telescopio

El telescopio refractor es un anteojo que utiliza una lente para enfocar la luz

procedente de un objeto lejano, mientras que el telescopio reflector utiliza un espejo

curvo.

Una medida útil del poder de reunión de luz L de un telescopio es la razón del

área de la lente (o espejo) del telescopio al área de la pupila del ojo humano.

5.2)63.0(

donde d es el área de la lente y (0.63 cm)2 es el área de la pupila del ojo humano.

Una medida útil del poder de ampliación M de un telescopio es la razón del

aumento del telescopio al aumento del ojo humano.

fM )59,0(

)7,1(donde f es la distancia focal del telescopio y 1,7 cm es la distancia focal del ojo

humano.

IMÁGENES VIRTUALES

Una lente positiva no forma una imagen real de un objeto cuando la distancia del

objeto s sea menor que la distancia focal f.

Cuando la imagen sea virtual, la fórmulas de las lentes que se aplicará será:

La lupa es una lente convergente que se utiliza para examinar objetos pequeños.

El objeto se coloca entre el foco y la lente, con lo que se crea un imagen virtual

derecha y agrandada.

A efectos de cálculo suele suponerse que la imagen se forma a 25 cm de la lente.

Tomando s’ = 25 cm, tendremos:

)25)((

fcmsy por tanto:

Ejemplo:a) ¿Cuál es el aumento de una lente de distancia focal de 5

cm? b) ¿A qué distancia de la lente debe colocarse el objeto para conseguir ese aumento?

entonces

cmcmcm

16.424.0

25.0)25)(5(

entonces el objeto deberá colocarse a: cmcmcmsfd 84.016.45

Gafas para lectura

Las gafas para lectura crean una imagen virtual a una distancia focal en el que el

ojo pueda acomodar la distancia del cristalino a la retina. Por tanto, el tratamiento de

estas imágenes será igual que para el caso de las imágenes virtuales.

Definición: La potencia de una lente es el valor inverso de su distancia focal. La

unidad de potencia es el inverso del metro (m-1

) y se denomina dioptría

Lentes negativas

Una lente negativa (divergente) aumenta siempre la divergencia de los rayos que

la atraviesan. Sus prolongaciones en sentido opuesto se cortan en un punto F del eje

óptico que será el foco de la lente negativa. La distancia F al centro de la lente es la

distancia focal, la cual se considera negativa.

Una lente negativa forma siempre una imagen virtual de un objeto situado a una

distancia s cualquiera de la lente.

Se utiliza la fórmula de las lentes para imágenes virtuales, pero tomando como

negativa la distancia focal.

ESPEJOS

Espejos planos

Un espejo plano es un espejo cuya superficie es plana.

El espejo plano devuelve una imagen que está situada a la misma distancia que

el objeto de origen.

Espejos parabólicos

Los espejos parabólicos devuelven y proyectan la luz igual que las lentes.

INSTRUMENTOS DE DOS LENTES

Microscopio

El microscopio tiene en la parte inferior una lente que forma una imagen real del

objeto. En la parte superior tiene otra lente que actúa como lupa

Ejemplo:Las distancias focales del objetivo y del ocular de un

microscopio son respectivamente, f1 = 0.5 cm y f

2 = 3.0 cm y dichas

lentes están separadas una distancia d = 18 cm. Localizar las posiciones de la imagen real y virtual y determinar el aumento del microscopio.

3.90.3

cmm aumento del ocular

El ocular produce una imagen virtual a s’2 = 25 cm de la

imagen real situada a s2 del ocular. Entonces s

2 será:

scmcmcmfss

68.2373.0

1373.0

La imagen real que da el objetivo debe hallarse a 2,68 cm por debajo del ocular. Como las distancia entre el ocular y el objetivo es de 18 cm entonces, la distancia s’

1 de la imagen real al objetivo

será:cmcmcmsds 32.1568.200.18' 21

Por tanto la distancia objeto será:

scmcmcmsfs

517.0935.1

1935.1

El aumento de la imagen real será:

7.305.0

34.15'

La imagen virtual será M veces mayor que el objeto según:

Por lo tanto el aumento del microscopio será: 285)3.9)(7.30(21mmM

Telescopio

El telescopio posee una gran lente primaria (objetivo) y una pequeña lente

secundaria (ocular)

Cuando la distancia focal f del ocular sea menor que la distancia focal f1 del

objetivo, el ángulo de emergencia ' de esos rayos será mayor que el ángulo con que

incidieron. Esto tiene como consecuencia que la imagen vista a través del instrumento

parezca más próxima que el objeto visto a ojo desnudo.

El cociente ' de esos ángulos es aproximadamente igual al cociente

tg'tg . Por tanto tendremos:

En consecuencia, el cociente de las tangentes, llamado aumento angular a del

telescopio es:

Un aumento grande requiere un objetivo de larga distancia focal, hecho al que se

debe que los telescopios sean tan largos.

Lentes compuestas

Dos lentes puestas juntas actúan como una sola lente.

Ejemplo:¿Cuál es la distancia focal de la combinación de una lente de

0,50m con otra de 0,75m?

mfmmmmmffff

30.033.333.10.275.0

11111 111

ABERRACIONES

Lentes esféricas

El radio de curvatura r de una superficie esférica es el radio de la esfera de la

cual es un casquete la cara; es positivo si la cara es convexa y negativo si es cóncava.

La distancia focal de una lente simétrica de curvatura r es:

)1(2 n

Donde n es el índice de refracción del vidrio.

Ejemplo:¿Cuál es el radio de curvatura de una lente simétrica de

distancia focal 50 mm, cuyo vidrio tiene un índice de refracción de 1.55?

cmcmfnr 5.5)0.5)(55.0)(2()1(2

Aberraciones cromáticas

La aberraciones cromáticas son defectos de la lente que impiden que se

enfoquen en un mismo punto luces de colores diferentes. Se deben a la variación del

índice de refracción n con la longitud de onda , fenómeno llamado dispersión.

La aberración cromática se corrige utilizando un par de lentes que funcionan

como una sola.

Aberraciones monocromáticas

Existen cinco aberraciones monocromáticas que no se deben a la dispersión del

vidrio, sino a que la lente esférica no puede formar una imagen ideal

- Esfericidad (un punto se mostrará como un círculo)

- Coma (en vez de formarse un círculo se formará una coma)

- Astigmatismo

- Curvatura de campo (lentes que alargan más la imagen ) como los

espejos del circo.

- Distorsión. (de una rejilla cuadrada sale una imagen esférica).

TEMA XV. ELECTRICIDAD

FUERZAS FUNDAMENTALES

Dentro del átomo hay tres clases de partículas: protones, neutrones y electrones.

Los protones y neutrones están estrechamente unidos formando el núcleo del átomo.

Los protones, neutrones y electrones son indivisibles, por lo que se dice que son

partículas elementales.

Actualmente se conocen cuatro fuerzas fundamentales distintas:

1) Fuerza gravitatoria (gravedad)

2) Fuerza electromagnética (electricidad y magnetismo)

3) Fuerza nuclear

4) Fuerza débil.

LEY DE COULOMB

La magnitud Fe de la fuerza eléctrica que se ejercen dos cuerpos de cargas q1 y

q2 separados una distancia r es:

donde K es una constante universal eléctrica 2

29100.9

La fuerza eléctrica F1 que ejerce q2 sobre q1 es:

qqKeFF e 2

donde e es el vector unitario dirigido de q2 a q1.

La constante K suele escribirse en la forma:

donde 2

0 1085.8mN

Cx es la llamada permitividad del vacío.

Entonces la ley de Coulomb escrita en función de 0 será:

Conservación de la carga. En todo proceso físico, la carga total no varía.

Inducción

Fuerza atractiva

qqF ii

Fuerza repulsiva

Fuerza total. Es la suma de la fuerza atractiva y la fuerza repulsiva.

Aisladores y conductores

Las sustancias se diferencian en la libertad relativa con que pueden moverse los

electrones en ellas. Una sustancia en la cual los electrones pueden moverse con gran

facilidad recibe el nombre de conductor y una sustancia en la que los electrones no se

pueden mover con gran facilidad se llaman aisladores.

CAMPO ELÉCTRICO

La fuerza F1 que ejerce por si solo q1 sobre q es:

donde r1 es la distancia entre q1 y q y e1 es el vector unitario dirigido de q1 a q

Cuando existen varias fuerzas ejerciendo varias cargas sobre q, la fuerza total

será la suma vectorial de esas fuerzas.

qqFFFFFF

Definición: El campo eléctrico E en un punto P creado por un sistema de cargas

generadoras (q1, q2, q3, ...,qn) es:

donde ri es la distancia de qi a P y ei es un vector unitario dirigido de qi a P.

La fuerza que ejerce un sistema de cargas generadoras sobre una carga de prueba

q situada en P es:

qEFdonde E es el campo eléctrico en P debido a las cargas generadoras.

Ejemplo:a) Hallar el campo eléctrico creado en el punto P por las dos

cargas generadoras q1 = -6x10-5C y q

2 = 3x10-5C. B) ¿Qué fuerza se

ejercería sobra una carga de prueba q=-4x10-2C situada en P?

2m 4m-

a) Los vectores unitarios e1 y e

2 son iguales en este caso,

entonces

)/1087,1(

106)109(

CxCmNxe

b) la fuerza que se ejerce sobre la carga de prueba es:

32 )175()/1087.1)(104( eNeCNxCxqEF

Líneas de fuerza

Definición: Una línea de fuerza es una curva (o recta) que, en cada uno de sus

puntos es tangente al campo creado en él por una configuración dada de cargas

generadoras.

POTENCIAL ELECTRICO

Según la teoría de las fuerzas vivas, el trabajo WAB que efectúa una fuerza F

sobre q al llevar un cuerpo de A a B, es igual a la variación de su energía cinética.

ABAb KKWComo el cuerpo parte de reposo, le trabajo se puede representar en función de su

energía potencial.

BAAb UUWEntonces, igualando las dos ecuaciones

AbBA KKUUlo que nos lleva a que:

BBAA KUKUque significa que la suma de la energía cinética y potencial de una carga en el

punto A es igual a la suma de la energía cinética y potencial de la carga en el punto B.

La energía potencial eléctrica de una carga puntual q a una distancia r de una

carga puntual q1 es:

Ejemplo:a) ¿Cuál es la energía potencial de un electrón en un punto A

situado a una distancia rA = 0.53 x 10-10 m de un protón?. B) ¿Cuál

es la celeridad vA mínima que ha de tener el electrón para poder

escapar por completo del protón?

CxCmNx

103,4103,4

)106,1)(/.100,9(

b) JxUmvK AAA

182103,4

KgJxKgx

/101,3

/104,9)101,9)(5,0(

Superficies equipotenciales

Definición: Se llama superficie equipotencial a una superficie cuyos puntos

tienen todos el mismo potencial.

Ejemplo:¿Cuál es la celeridad máxima que puede obtenerse con

protones acelerados por un generador Van de Graaff de 4 millones de volt?.

Suponiendo que las energías cinética y potencial iniciales del protón son:

yJxVxCxeVqVU 13619 1064)104)(106,1(

como se busca la celeridad máxima, entonces, la energía potencial en es punto será 0 y la energía cinética será máxima. Por tanto:

JxmvK 132 104,62

y la celeridad máxima será:

smxkgx

Jxv /1077,2

1067,1

)104,6(2 7

HACES ELECTRONICOS

Son dispositivos encapsulados en vacío que tienen un cátodo, que calentado por

un filamento, hace que partan electrones hacia un ánodo.

La energía cinética inicial de los electrones es casi nula, por lo que la energía

cinética al llegar al ánodo vendrá dada por:

UqVKdonde q será la carga del ion y V el potencial de la capa.

La carga de un ion es q = -e, por lo que:

)'()'()'( VVeVVeVVqUqVK

VeK 'donde es la diferencia de potencial entre ánodo y cátodo. V

Ejemplo:¿Qué diferencia de potencial se necesita para acelerar

electrones hasta una energía cinética K’ igual a 1,5 x 10-15 J?

xJxK 9375106,1

1)105,1(105,1'

El incremento de energía cinética de un electrón es igual a la diferencia de potencial a través de la cual ha pasado ele electrón. Entonces:

V=9375V

TEMA XVII. MAGNETISMO El magnetismo es una fuerza fundamental de la naturaleza estrechamente

relacionada con la electricidad.

CAMPO MAGNETICO

El ejemplo más conocido de magnetismo es la atracción de pedacitos de hierro

por los extremos, o polos de un imán.

En todo imán aparece un polo norte y un sur.

Si se parte un imán por la mitad, automáticamente, en los extremos de ruptura

aparecen un polo norte y uno sur, quedando por tanto, dos imanes completos.

Los polos opuestos se atraen y los iguales se repelen.

En un imán se puede definir un campo magnético que irá desde el polo norte al

En este campo magnético existe unas líneas de fuerza, que estarán más apretadas

en las regiones donde sea más fuerte el campo magnético.

Un imán no es otra cosa que un dipolo con sus polos separados una distancia d.

ELECTROMAGNETISMO

Campo creado por una corriente rectilínea.

Ampere demostró que cuando se hace pasar una corriente a través de un

conductor se generan unas líneas de fuerza magnéticas.

Regla de la mano derecha. Cuando se ase el hilo conductor con la mano

derecha, de manera que el pulgar señale el sentido de la corriente, los otros dedos

rodean al hilo en el mismo sentido que el campo magnético.

La magnitud B del campo magnético en un punto próximo a un hilo muy largo

que transporte una corriente, es proporcional a la intensidad I de ésta e inversamente

proporcional a la distancia r del punto al hilo

donde k es una constante de proporcionalidad

La unidad en el sistema internacional es la Tesla (T).

mANT 11

El Gauss es otra unidad de campo magnético

TG 4101

La constante k es:

AmTxk 70 102

donde , es la llamada permeabilidad magnética del vacío.

Entonces:

amT /104 7

Ejemplo:¿Cuál es el campo magnético en un punto a 5 cm de un hilo

que conduce una corriente de intensidad 3A?

IB 12.01020.1

)05.0(2

)3)(/104

Campo de una bobina circular

El campo magnético creado por un hilo que conduce una corriente se incrementa

mucho al dar al hilo la forma de la bobina circular de muchas espiras. Cada espira crea

un campo proporcional a la intensidad I de la corriente que circula por la espira, por

tanto:

Ejemplo:Una bobina de radio 5 cm tiene 100 espiras. ¿Cuál es el

campo magnético en el centro de la bobina cuando la corrienteque circula por ella tenga una intensidad de 3 A?

InB 7.371077.3

)05.0(2

)3)(/104(

Electroimán

En muchas aplicaciones del magnetismo, se refuerza el campo magnético creado

por una espira utilizando una propiedad peculiar llamada ferromagnetismo.

El ferromagnetismo es la tendencia de los dipolos magnéticos de los electrones

más externos de un átomo a orientarse paralelamente a los dipolos magnéticos de los

electrones correspondientes de un átomo vecino.

En un hierro sin imantar, los dipolos están igualmente orientados dentro de un

pequeño volumen, o dominio, si bien la dirección de orientación cambia de un dominio

a otro.

El electroimán consiste en una bobina devanada en torno a un cilindro de hierro.

El campo magnético que circula por la bobina hace aumentar el tamaño de los dominios

del hierro que estén imanados en la dirección del campo. De esta manera el hierro

desarrolla su propio campo magnético que se suma al campo desarrollado por la

corriente en la bobina.

Relé eléctrico. Un relé eléctrico es un interruptor que se puede gobernar

mediante otro circuito.

Timbre eléctrico. El timbre eléctrico consta de una placa (martillo) y un

electroimán que la atrae cuando se cierra el circuito. Lleva un circuito realimentado por

el cual cuando la placa se acerca al electroimán, se abre el circuito de alimentación de la

bobina, con lo cual por el efecto del muelle, la placa vuelve a su posición inicial

volviendo a cerrar el circuito de alimentación de la bobina.

Motor eléctrico. El motor de corriente continua, consiste en un electroimán

(inducido) montado sobre un eje que gira entre los polos de un imán. Este eje está

conectado a una pila mediante unos colectores a unas escobillas.

FUERZAS MAGNETICAS

Fuerzas que se ejercen sobre una corriente

El descubrimiento de Oersted del electromagnetismo puso de manifiesto que una

corriente eléctrica ejerce, a través de su campo magnético, una fuerza sobre un imán

La fuerza magnética que se ejerce sobre un hilo conductor vendrá dada por:

senBILFm

Donde:

B = campo magnético uniforme

I = corriente que atraviesa el hilo

L = longitud del hilo

= ángulo que forma el hilo con el campo magnético.

La fuerza magnética que se ejerce sobre una corriente es normal al plano en que

se encuentran el campo magnético y la corriente. Para hallar el sentido de la fuerza se

utiliza la siguiente regla.

Regla de la mano izquierda. Cuando se dirige el pulgar en el sentido del campo

y el índice en el de la corriente, el dedo mayor señala el sentido de la fuerza.

Ejemplo:Una bobina plana de 6 cm. de longitud y 2 cm de anchura

está situada en un campo magnético de 0,02 T. Si la bobinacontiene 200 espiras y conduce una corriente de intensidad 50 mA, ¿qué momento se ejerce sobre ella?

mATmATnBIAm

104,2)1012)(1050)002.0)(200(

Instrumentos de medida

Galvanómetro. Es un instrumento destinado a la medida de las intensidades de

corriente muy débiles

Amperímetro. Es un instrumento portátil que se usa para medir intensidades de

corriente.

Voltímetro. Es un instrumento para la medida de la diferencia de –potencial

entre dos puntos.

Fuerzas que se ejercen sobre una carga en movimiento

Sobre una partícula cargada que se mueva en un campo magnético se ejerce una

fuerza magnética.

La partícula recorre la distancia L del punto P al punto Q en un tiempo

con lo que la intensidad de corriente entre P y Q durante ese tiempo será:

y la fuerza magnética que se ejerce durante ese tiempo será:

BqvFLL

qvBBILF mm

Así pues, una partícula cargada situada en un campo magnético uniforme

describirá una circunferencia de radio r dada por:

Bqrmvr

Espectrómetro de masas

Es un instrumento que mide las masas de los distintos átomos y moléculas de un

gas desviando las partículas en un campo magnético.

La celeridad de un ion de masa m y carga q al llegar a la pantalla será:

la masa de la partícula vendrá dada por:

qrBmBqr

INTRODUCION A LA ELECTROMAGNETICA

Después del descubrimiento de Oersted, Faraday comenzó sus investigaciones

sobre el electromagnetismo. Faraday pensaba que si una corriente eléctrica da origen a

un campo magnético, también un campo magnético podría dar lugar a una corriente

eléctrica. Así Faraday descubrió el principio de inducción electromagnética, que es la

creación de un campo eléctrico por medio de un campo magnético.

Otros experimentos demostraron que en la bobina se induce una fem no sólo

cuando se acerca o se aleja el imán sino cuando se cera o interrumpe la corriente en otra

bobina próxima. Esta y otras observaciones demuestran que la magnitud de la fem

inducida está relacionada con la magnitud del flujo magnético.

Definición: El flujo magnético que atraviesa una bobina es el producto de la

componente Bn del campo magnético normal de la bobina, por el área A que ésta limita

y por el número n de espiras:

AnBn ó cosnBAdonde es el ángulo que forma el campo magnético B con la normal a la

bobina.

El flujo magnético viene determinado en Weber (Wb) que equivale a 1 Tesla por

metro cuadrado.

La magnitud de la fem inducida en una bobina viene dada por la ley siguiente:

Ley de Faraday de la inducción electromagnética. La fem inducida en una

bobina en un intervalo de tiempo corto t es

tdonde es la variación de flujo durante este intervalo de tiempo

Ley de Lenz. El sentido de la corriente inducida en una bobina es tal que su

campo magnético Bi se opone a la variación de flujo que la produce.

Ejemplo:La componente normal a un circuito constituido por una

bobina de 10 espiras de radio 5 cm, del campo magnético exterior, varía de 0 a 18 T en 0,3 seg. a) Si la resistencia de la bobina es de 2

, ¿cuál será la intensidad de la corriente inducida?. b) ¿cuál es el sentido de la corriente?

a) El flujo inicial es nulo y, el flujo final 1 2 será:

WbmTAnBn 41,1)1025)(18)(10( 24

Wb41,112

entonces, la fem inducida será:

y la intensidad inducida será:

RI i 35,2

b) Para calcular la dirección del campo magnético se comprueba según la regla

de la mano derecha.

Generador eléctrico

Un generador eléctrico dinámico es un generador de fem que utiliza el

movimiento de una bobina en un campo magnético para crear una corriente.

El flujo que atraviesa la bobina viene dado por:

cosnABAnBn

Si la bobina gira con velocidad angular constante (en radianes), tendremos que el

ángulo en radianes será:

ty el flujo quedará como :

tnAB cos

entonces el periodo de oscilación del flujo vendrá dado por:

Ondas electromagnéticas

El concepto de campo eléctrico y campo magnético lo desarrollo Faraday en

forma descriptiva para visualizar los fenómenos electromagnéticos.

Fue Maxwell el que formuló las llamadas ecuaciones de Maxwell constituyen

del punto de partida de los modernos estudios de electromagnetismo.

1) Las cargas eléctricas crean campos eléctricos (ley de Coulomb)

2) Los polos magnéticos aislados no existen.

3) Las corrientes crean campos magnéticos (electromagnetismo)

4) Un flujo magnético variable crea un campo eléctrico (inducción

electromagnética).

5) La carga total de un sistema aislado no puede variar

6) Un campo eléctrico variable crea un campo magnético.

Maxwell demostró que una tal perturbación electromagnética actúa como onda

que se propaga por el vacío con una celeridad:

donde es la permitividad eléctrica y 0 0 es la permeabilidad magnética.

Que coincide con la celeridad medida de la luz.

BOBINAS DE AUTOINDUCCION

Definición: Una bobina de autoinducción es un elemento de circuito constituido

por un hilo conductor aislado arrollado sobre un núcleo de aire o hierro.

Circuito resistencia – autoinducción (RL)

La intensidad máxima Im de la corriente que circula por el circuito será:

que es la que existiría en ausencia de autoinducción.

Definición: El coeficiente de autoinducción L de una bobina es el cociente entre

el flujo que la atraviesa y la intensidad de la corriente que por ella circula.

El coeficiente de autoinducción tiene un valor característico que es

independiente de la intensidad de al corriente.

La unidad de autoinducción es el Weber por amperio o Henrio

Antes de cerrar el circuito el flujo en la bobina es 0. Cuando se cierra el circuito

según la ley de Lenz se crea una fem que se opone al aumento de flujo

momentáneamente. Entonces la intensidad de la corriente en un tiempo t posterior al

cierre del circuito vendrá dado por:

I 11)(

es la intensidad en es estado estacionario, intensidad máxima

es la constante de tiempo

Bobinas en serie

NOTA: Igual que resistencias en serie

Bobinas en paralelo

NOTA: Igual que resistencias en paralelo.

TEMA XVIII. CORRIENTE ALTERNA

GENERACION DE CORRIENTE ALTERNA

Un generador eléctrico dinámico es un dispositivo que convierte energía

mecánica en energía eléctrica.

La variación de flujo se debe o a la rotación de la bobina respecto al campo

magnético o a la rotación del campo magnético con respecto a la bobina.

Las bobinas que generan la fem están montadas en una estructura denominada

inducido. Las bobinas que crean el campo magnético están montadas en el inductor. La

estructura que gira se llama rotor y la estructura fija se llama estátor.

En la mayoría de los alternadores el inducido constituye el estátor y el inductor

el rotor.

La rotación del electroimán rotor crea un flujo alterno a través de la bobina del

inducido, generando una fem alterna. Esta fem viene dada por:

tfVp 2cos

CORRIENTE ALTERNA EN CIRCUITOS PURAMENTE RESISTIVOS

La intensidad instantánea Ix de la corriente que circula por la resistencia viene

dada por la ley de Ohm.

xx 2cos

Potencia

La potencia Px que se disipa en un circuito de CA es:

xxx IVPDefinición: La intensidad eficaz Ief es la raíz cuadrada del valor medio del

cuadrado de la intensidad:

entonces:

Definición: La tensión eficaz Vef es:

Ejemplo:a) ¿Cuál es la resistencia de un tostador de pan americano de

potencia nominal 1200 W?. b) ¿Cuál será la potencia disipada en este tostador si se enchufara en Inglaterra?

a) 121200

)120( 22

ef4800

)240( 22

Fasores

Definición: Llamaremos fasor a un vector bidimensional que utilizaremos para

representar una cantidad alterna tal como una intensidad o una tensión. El módulo del

fasor es igual al valor de pico de la cantidad y el ángulo que forma el fasor con el eje x

es igual al factor temporal ft2

En la figura se puede ver la

representación de la tensión:

tf2cospx VV

Mediante el fasor V de módulo Vp y

argumento tf2 . La componente x de

este fasor es igual a la tensión en el instante t.

tf2coscos ppx VVV

Si imaginamos que el fasor gira

alrededor del origen en sentido antihorario con

la celeridad angular constante f2

la componente x será igual a la tensión en cada instante.

En un circuito resistivo puro, la intensidad y la tensión son proporcionales.

ft2cosR

por lo que los fasores tendrán la misma dirección y sentido.

En la conexión en estrella la tensión entre línea y neutro entre los conductores a

y o es aft2cosaoV

by está representada en la figura por el

fasor Vbo . o

Del mismo modo, la tensión entre línea y neutro entre los conductores b yo es

2ft 2cos(boV

y está representada por el fasor Vao. El fasor Vbo tiene el mismo módulo que Vao

pero está siempre adelantado respecto a éste radianes3

2 , o sea 120º

Y así ocurrirá lo mismo con el otro fasor, sumándole la diferencia de ángulo en

radianes.

AUTOINDUCCION Y CAPACIDAD EN UN CIRCUITO DE CA

Una bobina de autoinducción que ofrece una resistencia nula a una corriente

continua de intensidad constante, obstaculiza el paso de corriente alterna porque ésta

induce en la bobina una fem que se opone a la circulación de dicha CA.

Al condensador le ocurre lo mismo que a las bobinas pero en sentido inverso.

Resistencia nula a la CA y oposición al paso de la CC.

Circuito resistivo

La intensidad de la corriente en un circuito resistivo puro viene dada por:

En un circuito resistivo de CA, la intensidad y la tensión están en fase

La potencia instantánea viene dada por:

xxx IVPy la potencia media por:

VRIVIP

Circuito Inductivo

Definición: La reactancia inductiva XL de una bobina de coeficiente de

autoinducción L en un circuito de CA de frecuencia f es:

fL2LXLa unidad de reactancia inductiva es el

La intensidad en un circuito inductivo puro esta 90º desfasada con la tensión

(adelantada).

La corriente en un circuito inductivo puro viene dada por:

La corriente instantánea vendrá dada por:

1ft2cosII x

La tensión instantánea vendrá dada por:

ft2cosVVx

Circuito capacitivo

Definición: La reactancia capacitiva XC de un condensador de capacidad C en

un circuito de CA de frecuencia f es:

La unidad de reactancia capacitiva es el

La intensidad en un circuito capacitivo puro esta 90º desfasada con la tensión

(atrasada).

La corriente viene dada por:

La tensión instantánea por:

ft2cosVVx

y la corriente instantánea por:

1ft2cosII x

Circuito RLC

El vector impedancia Z de un circuito RLC es un vector cuya componente x es

igual a la resistencia R del circuito y cuya componente y es igual a la diferencia entre

las inductancias capacitiva e inductiva del circuito. La impedancia Z de un circuito RLC

es el módulo del vector impedancia:

22 )( LC XXRZ

El ángulo de fase , es el que forma Z con el eje x:

XX LCarctg

La corriente viene dada por

La tensión instantánea viene dada por:

ft2cosVVx

La corriente instantánea por:

ft2cosII x

La potencia instantánea por:

xxx IVPLa potencia media la da:

coscos2

1efef IVVIP

Resonancia

Definición: Un circuito RLC se encuentra en resonancia cuando la reactancia

inductiva XL sea igual a la reactancia capacitiva XC.

La frecuencia de resonancia de un circuito vendrá dada por:

TRANSFORMADOR

Un transformador consiste en dos bobinas devanadas sobre un núcleo de hierro

común. La primera de ellas, o devanado primario, tiene N1 espiras y se conecta a un

generador de CA de fem.

ft2cos1VLa otra, llamada devanado secundario, tiene N2 espiras y se conecta a una

resistencia R a través de un interruptor S.

Cuando el interruptor esté abierto, por el devanado primario circulará una

corriente llamada corriente magnetizante.

y está desfasada 90º respecto a la tensión. En consecuencia, no se entrega

potencia alguna al primario.

La corriente magnetizante alterna establece en el hierro un campo magnético

alterno B. El flujo de ese campo a través del devanado 1 es:

111 )(BANdonde (BA)1 es el producto del campo por el área de la sección recta del

devanado 1. La fem en éste está relacionada con el flujo por la ley de Faraday.

BANftV 1

)(2cos

y la fem del secundario es:

tftV 2

)(2cos

La relación de transformación entre el primario y el secundario viene dada por:

Corrientes de Foucault

La variación del flujo en el interior del núcleo de hierro de un transformador

induce una corriente no sólo en el hilo del secundario, sino también en el propio hierro.

A esas corrientes inducidas en el cuerpo de un conductor se les da el nombre de

corrientes de Foucault.

MOTORES

Definición: El rendimiento e de un motor es el cociente entre la potencia

mecánica útil que entrega Pútil y la potencia eléctrica que consume Pel.

TEMA II. FUERZA

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