Санкт-Петербургский государственный университет Научно-исследовательский институт менеджмента
НАУЧНЫЕ ДОКЛАДЫ
Е. А. Дорофеев, О. А. Лапшина
ОБЛИГАЦИИ С ПЕРЕМЕННЫМ КУПОНОМ:
ПРИНЦИПЫ ЦЕНООБРАЗОВАНИЯ
№ 9(R)–2006
Санкт-Петербург 2006
Е. А. Дорофеев, О. А. Лапшина. Облигации с переменным купоном: принципы ценообразования. Научные доклады № 9(R)–2006. СПб.: НИИ менеджмента СПбГУ, 2006. В статье рассматриваются облигации и иные долговые инструменты с переменным купоном («плавающие облигации»), выплаты по которому зависят от текущей доходности некоторых базовых инструментов или значений некоторых макроэкономических переменных (чаще всего, уровня инфляции). Такие инструменты, предоставляющие инвесторам возможность полу-чать гарантированный уровень реальной доходности своих вложений, а эмитентам – контролировать реальную стоимость заимствований — пока не получили популярности среди корпоративных российских эмитентов, хотя подобные государственные облигации (ОГСЗ и частично ОФЗ) были довольно популярны в предкризисный период. За рубежом же подобные инструменты — обычное явление. В то же время, даже зарубежные исследователи отмечали значимую ры-ночную недооценку производных инструментов по сравнению с теорети-чески обоснованным уровнем их цены. В данной статье выведена формула, позволяющая рассчитать справедливую цену производных дол-говых инструментов как функцию доходности базовых активов и специ-фических условий обращения производных. Было показано, что явление недооценки сохраняется и на российском рынке, хотя и в меньших мас-штабах, нежели за рубежом. Наконец, в статье анализируется институциональная среда российского рынка, и выдвигается гипотеза, что и непопулярность таких облигаций в России, и, отчасти, их недооценка могут быть связаны с неразвитостью классов эмитентов и инвесторов, заинтересованных в их обращении. Дорофеев Евгений Александрович — доцент, к.э.н., старший научный со-трудник НИИ менеджмента и специалист факультета менеджмента Санкт-Петербургского государственного университета Лапшина Ольга Александровна — аналитик ОАО «Промышленно-строительный банк» © Е. А. Дорофеев, О. А. Лапшина, 2006
St. Petersburg State University Institute of Management
DISCUSSION PAPER
E. A. Dorofeev, O. A. Lapshina
FLOATING COUPON BONDS: PRICING PRINCIPLES
# 9(R)–2006
Saint-Petersburg 2006
Е. А. Dorofeev, О. А. Lapshina. Floating Coupon Bonds: Pricing Principles. Discussion Paper #9(R)–2006. Institute of Management, St. Petersburg State University: SPb., 2006. The paper studies the so-called floating coupon bonds (or simply floating bonds or floaters) that have their coupons dependent on some other debt in-struments current rate (base rate) or some economic indicators (normally, in-flation). The instruments allow lenders to fix the real rate for their investments; at the same time, emitters keep the chance to control the costs of their borrowings. However, such instruments have not become yet popular among Russian cor-porate borrowers though such government bond issues (especially, OGSZ and, partially, OFZ) were usual in the pre-crisis period. On the foreign markets, floaters are absolutely normal and popular debt instruments. Nevertheless, many American specialists point out a significant under-valuation of floating instruments with respect to their fair price value. In the paper, the authors present the formula that allows the bonds’ fair price calcula-tion given the base rate and floaters’ specifics (so-called ceiling rate, etc.). The bonds’ undervaluation was also derived for the Russian market floaters, though it is less than that one abroad. Finally, the paper discusses the Russian bond market institutional features, and presents a hypothesis that Russian market floaters are rare and under-valued due to lack of investors’ classes interested in trading them. Dorofeev, Eugene A. — senior fellow of Research Center, School of Man-agement, Saint Petersburg State University Lapshina, Olga A. — analyst, Head of Department, Industrial and Commer-cial Bank © Е. А. Dorofeev, О. А. Lapshina, 2006
5
Содержание 1. Введение .............................................................................................. 6 2. Ценообразование облигаций с переменным купоном .............. 6
2.1. Общие условия обращения облигаций с переменным купоном............................................................................................................................................. 6 2.2. Теоретические основы ценообразования облигаций с переменным купоном ............................................................................................ 10 2.3. Сравнение доходностей плавающих облигаций и госбумаг: модель ценообразования на облигации с плавающим купоном ...... 11
3. Облигации Государственного сберегательного займа –первый опыт российских долговых производных бумаг ............. 16
3.1. Условия обращения ...................................................................................... 16 3.2. ОГСЗ: статистика ценообразования ..................................................... 16 3.3. Итоги анализа ОГСЗ .................................................................................... 20
4. Производные долговые инструменты на современном российском рынке: РЕПО и корпоративные облигации .............. 21
4.1. Ставки РЕПО – ликвидный банковский производный инструмент.................................................................................................................. 21 4.2. Современные облигации с переменным купоном — скорее, дань моде ..................................................................................................................... 22
Список литературы............................................................................... 25
6
1. Введение Исследование, проведенное в данной работе, основывается на
изучений финансовых инструментов с т.н. «плавающим (перемен-ным)» купоном (иначе – «плавающих» облигаций).
Исследования такого рода инструментов на рынке облигаций крупнейших американских корпораций были проведены Рамасвами и Сандаресаном (1986). При этом использовалась модель Кокса–Ингерсолла–Росса, учитывающая при определении теоретической це-ны таких инструментов связь величины их купонов с доходностями американских казначейских обязательств (Treasury bills). Несмотря на то, что было рассмотрено большое количество вариантов условий обращения облигаций с переменным купоном (о важнейших из них будет сказано ниже), был сделан вывод о статистически значимой не-дооценке этих облигаций на биржевых торгах по сравнению с их тео-ретической ценой.
На самом деле, сравнение американских корпоративных обли-гаций и одного из наиболее известных российских примеров пере-менных облигаций – облигаций государственного сберзайма (ОГСЗ; о них будет сказано ниже), – не может считаться вполне корректным. Прежде всего, это связано с разной степенью ликвидности активов, предназначенных для публичного размещения на американском и российском рынках. Также существенным следует считать и то, что доходности долговых инструментов американского и российского рынка существенно различаются по вариации. И, тем не менее, оказа-лось, что общие зависимости, обнаруженные Рамасвами и Сандареса-ном, имеют место и на российском рынке: было замечено, хотя и в меньшей степени выраженное, свойство недооценки ОГСЗ на торгах Московской Межбанковской валютной биржи по сравнению с теоре-тически найденным уровнем цены.
2. Ценообразование облигаций с переменным купоном 2.1. Общие условия обращения облигаций с переменным купоном
Облигации как долговые рыночные инструменты давно и широко представлены на финансовых рынках многих стран. Хотя большинст-во их выпускается государственными структурами (Центральными Банками, структурами Министерств Финансов (Казначейств) или фи-нансовыми институтами местных органов власти, все более широкую популярность приобретают эмиссии облигаций корпораций и банков. Так, на американском рынке корпоративные облигации – один из са-мых распространенных инструментов.
7
Российский рынок долговых обязательств также развивается чрезвычайно быстро. В частности, по данным ресурса Cbonds.ru, об-щий объем только рублевых корпоративных облигаций, обращавших-ся на российском рынке на конец 2004 г., составлял (по номиналу) около 170 млрд руб., а на конец 2005 – уже более 260 млрд.
При этом подавляющее большинство облигационных выпусков предполагает купонную форму дохода инвесторов. Постоянство ку-понной ставки не является обязательным условием обращения обли-гаций – как государственных, так и корпоративных. Напротив, до-вольно часты выпуски «плавающих» облигаций (floaters) с перемен-ной купонной ставкой, определяемой исходя из текущей доходности некоторых широко распространенных долговых инструментов (base rate) (обычно такими инструментами выступают 3-х или 6-месячные Treasury Bills за 1—2 недели до начала соответствующего купонного периода, ставка межбанковского рынка (LIBOR, MosIBOR или по-добные им показатели) или такие макроэкономические показатели как, например, темп инфляции за последний период (квартал, реже – месяц) по версии того или иного органа, регулярно публикующего статистические данные) плюс заранее определенная, фиксированная в момент эмиссии облигаций, надбавка (markup). Часто величина этой надбавки не является постоянной, а убывает с течением жизни обли-гации.
Важным свойством облигаций с переменным купоном является то, что величина упомянутой базовой ставки вычисляется на основе соответствующих показателей долгового или финансового рынка на определенный день (coupon reset date) до наступления купонного пе-риода. Момент утверждения очередной купонной ставки обычно бли-зок к дате начала соответствующего купонного периода, хотя всегда раньше этой даты. Так, например, облигация Citicorp со сроком пога-шения в мае 2008 года имеет полугодовые переменные купоны, по-гашаемые 1 апреля и 1 октября. Купонный доход, выплачиваемый 1 апреля, определяется на основе среднего арифметического доходно-сти размещения 6-месячных Treasury Bills на аукционах, прошедших в период с 8 по 21 сентября предыдущего года, т.е. за 10 дней до на-чала соответствующего купонного периода. Аналогично, купонный доход по купону, погашаемому 1 октября, определяется на основе среднего арифметического доходностей размещения 6-месячных Treasury Bills за период с 7 по 20 марта того же года. Полученные средние доходности увеличиваются на величину надбавки (в данном случае 15 б.п.).
8
Следует также отметить, что облигации с переменным купоном могут иметь ряд специфических, присущих только им, свойств, таких, например, как наличие верхней xu (ceiling feature) и (или) нижней xd (floor feature) границ колебания купонной доходности по облигации (чаще – только нижней). Например, если доходность инструмента, лежащего в основе определения доходности текущего купона, падает настолько, что даже с учетом надбавки становится ниже xd, то эми-тент выплачивает текущий купонный платеж по этой ставке. Другим примером может служить возможность введения «номинального яко-ря» xd (drop-lock feature) для купонной доходности по облигации. Если текущая доходность базового инструмента упадет до уровня xd, то на-чиная с данного момента до момента погашения, независимо от даль-нейших колебаний базового инструмента, купонная доходность будет поддерживаться на уровне xd.
Остальные правила обращения облигаций с переменным и с по-стоянным купоном (правила налогообложения прибыли, очередности исполнения долговых требований в случае банкротства эмитента и пр.) в основном одинаковы.
В данный момент государственных ценных бумаг с переменным купоном в России нет, хотя ранее они пользовались довольно высо-кой популярностью: облигации Федерального займа (ОФЗ – как про-изводные от Государственных Казначейских облигаций ГКО; в на-стоящее время ОФЗ являются самостоятельным рыночным долговым инструментом с фиксированными купонами) и особенно уже упоми-навшиеся облигации Государственного сберегательного займа (ОГСЗ) – как производные, в свою очередь, от ОФЗ. В США государственных ценных бумаг с переменным купоном сейчас также нет, однако кор-поративные облигации такого типа на американском рынке – обычное явление. В России также в последнее время появились несколько вы-пусков корпоративных облигаций с переменным купоном (например, облигации Вимм-Билль-Данн ПП-01, основанные на индексе потре-бительских цен (ИПЦ) ФСГС России, а также обращающиеся в на-стоящее время рублевые облигации ЕБРР выпусков 1 и 2, использую-щие в качестве базовой 3-месячную ставку MosPrime на конец пре-дыдущего квартала), но эти примеры пока можно считать скорее ис-ключениями, нежели правилом.
Причины того, что корпоративные облигации с переменным ку-поном в России только начинают завоевывать популярность, тогда как, например, на американском рынке они – норма, кроются в суще-стве бизнес-идеи, лежащей в основе эмиссии именно таких долговых инструментов. Дело в том, что переменная структура купона, привя-
9
занного к некоторому индикатору стоимости инвестиционных ресур-сов в экономике (а показатели доходности государственных долговых инструментов, как и индикаторы межбанковского рынка и индексы инфляции, безусловно, являются таковыми) позволяет эмитенту изна-чально фиксировать экономические затраты по обслуживанию своих заимствований на весь срок их обращения, а инвестору, соответст-венно, – реальную доходность своих инвестиций с учетом затрат на финансирование позиций в соответствующих долговых инструментах. Таким образом, такие инструменты, безусловно, могли бы занять свое место на рынке при выполнении следующего условия: эмитенты, за-интересованные в хеджировании затрат на обслуживание своих за-имствований, должны предлагать по своим долговым активам доход-ность, достаточно привлекательную для инвесторов, заботящихся о реальной доходности своих инвестиций.
Увы, на практике это условие пока не выполняется. Дело в том, что хеджирование колебаний экономических затрат по обслуживанию долга против неблагоприятных изменений экономической конъюнк-туры может иметь смысл лишь для эмитентов, выпускающих крупные по объему займы на достаточно длительные сроки, – т.е. для первого-второго «эшелонов» российских компаний (компании, чьи выпуски перечислены выше, безусловно, относятся к этим эшелонам). Однако доходность долговых инструментов (как с фиксированной, так и с пе-ременной купонной ставками) таких эмитентов давно и устойчиво на-ходится ниже уровня инфляции. Поэтому она может представлять ин-терес только для инвесторов, не интересующихся реальной доходно-стью своих инвестиций, а лишь номинальной, – таковыми в настоя-щее время является абсолютное большинство крупных и средних рос-сийских банков, – в силу того, что стоимость финансирования их собственных инвестиционных позиций также реально отрицательная (при этом приемлемый рост банковской маржи в реальном исчисле-нии обеспечивается преимущественно органическим ростом объемов сделок). В то же время, достаточно крупные объемы эмиссии долго-вых инструментов эмитентов первого-второго эшелонов не позволя-ют более мелким инвесторам влиять на ценообразование этих инст-рументов, что приводит к выраженной сегментации инвесторов в та-кие активы.
В качестве гораздо более привлекательной альтернативы эмитен-ты выбирают другую механику определения купонов – через их фик-сацию, но не на весь период обращения облигаций, а лишь до бли-жайшей оферты (момента реализации предоставляемого инвесторам опциона на предъявление облигаций к погашению по номиналу). Ку-
10
понная же доходность на следующие периоды определяются эмитен-том незадолго до этого момента, – как и в случае «классических» об-лигаций с переменным купоном, – но без обязательной привязки к ка-кому-либо экономическому или финансовому показателю. Как след-ствие, эмитент по-прежнему сохраняет возможность регулировать за-траты на обслуживание своих заимствований, однако в данном случае он сталкивается с необходимостью нести затраты по (обычно более дешевому) рефинансированию долга в момент оферты. Обычно эти затраты относительно малы лишь для относительно мелких компаний «третьего» эшелона, чьи заимствования малы по объему, а облигации имеют более высокую, чем у «первого-второго» эшелонов доход-ность. Потому только такие долговые инструменты оказываются при-влекательными для инвесторов, заинтересованных в получении на российском фондовом рынке достаточной реальной доходности своих вложений, а «классические» облигации с переменным купоном, как следствие, пока для российского рынка остаются непопулярными.
2.2. Теоретические основы ценообразования облигаций с переменным купоном
Прежде чем перейти непосредственно к рассмотрению конкрет-ных примеров долговых инструментов с переменным купоном, про-ведем некоторые теоретические рассуждения о ценообразовании на подобные ценные бумаги на эффективном рынке капитала без трения.
Кокс, Ингерсолл и Росс (3) с помощью несложного логического рассуждения относительно стратегии поведения инвесторов доказали следующую лемму.
Лемма. Пусть рассматривается ценная бумага с пере-менным полугодовым (для определенности) купоном. Пред-положим, что величина очередного купона определяется ис-ходя из аукционной ставки доходности к погашению полуго-довой бескупонной облигации, выпущенной по номиналу в первый день соответствующего купонного периода и выпла-чивающей доход при погашении. Номинальные стоимости обеих облигаций равны, причем эмитент продолжает вы-пускать новые бескупонные облигации с тем же номиналом в начале каждого купонного периода рассматриваемой обли-гации. Все облигации предполагаются безрисковыми, и над-бавка к доходности облигации с переменным купоном не предусматривается.
Тогда в условиях совершенного рынка без трения в лю-бой момент каждого полугодового купонного периода цены
11
облигации с переменным купоном и соответствующей бес-купонной облигации будут совпадать. Примитивное доказательство леммы, построенное Коксом, Ин-
герсоллом и Россом, основывается на тождественности в конце каж-дого купонного периода денежных потоков, получаемых (и реинве-стируемых) участником рынка в облигацию с переменным купоном и в последовательную серию бескупонных облигаций. Мы это доказа-тельство опускаем. 2.3. Сравнение доходностей плавающих облигаций и госбумаг: модель ценообразования на облигации с плавающим купоном
Как уже было отмечено, Рамасвами и Сандаресан (1986) провели исследование довольно большого количества американских корпора-тивных облигаций с переменным купоном и лежащих в их основе го-сударственных (преимущественно, Treasury Bills), и пришли к выводу о статистически значимой недооценке корпоративных облигаций по отношению к государственным на протяжении значительного перио-да жизни первых. Эту недооценку нельзя было объяснить разницей кредитного рейтинга инструментов.
Феномен требовал соответствующего теоретического обоснова-ния, которое авторы упомянутой статьи попытались провести, ис-пользуя модель с непрерывным временем, в которой ставка доходно-сти по государственным ценным бумагам являлась стохастическим процессом, а плавающая купонная доходность ценных бумаг связана с ней определенной формулой.
Однако, прежде чем переходить к выводу аналога формулы Ра-масвами–Сандаресана, используемой автором, обсудим ее основные условия и теоретические предпосылки.
(A1) Как уже сказано выше, предполагается развитие процесса в непрерывном времени. Также предполагается отсутствие транзакци-онных издержек на рынке и налогов на доходы держателей облига-ций. Последнее предположение обычно ограничительным не являет-ся. В самом деле, в основе подавляющего количества корпоративных облигаций с переменным купоном (как в США, так и в других стра-нах, включая Россию) лежат федеральные ценные бумаги, по кото-рым доходы облагаются налогами по той же предельной ставке, что и по корпоративным. Потому при изучении относительного спреда (разницы) между их доходностями можно считать, что ни по тем, ни по другим налоги не предусмотрены вовсе.
Условие отсутствия транзакционных издержек также не являлось ограничительным: их величины для корпоративных и государствен-
12
ных ценных бумаг отличаются очень незначительно. В данном кон-тексте более важными представляются, скорее, такие факторы как общие объемы рынка государственного и корпоративного долга, не-сопоставимость которых нередко порождает эффект сегментации ин-вестиционного сообщества, о чем будет сказано ниже.
(A2) Структура спот-процента по государственным бескупонным ценным бумагам (лежащим в основе изучаемой облигации с плаваю-щим купоном) определяется формулой, исследованной в Кокс, Ингер-солл и Росс (1980):
,)( dzrdtrdr σµκ +−= (2.1) где r – ставка по государственным бескупонным облигациям, вы-
пущенным в момент времени t, µ – долговременная «целевая» (ожи-даемая)1 доходность гособлигаций (предполагается, что она задается экзогенно), z – стандартный винеровский процесс, а κ и σ – коэффи-циенты адаптации текущей доходности по государственным бума-гам.2
По умолчанию µ, κ и σ предполагаются положительными. В ча-стности, поскольку κ играет роль средней скорости изменения расхо-ждения текущей доходности от величины µ, когда они отличаются на единицу, условие κ>0 означает, что ставка доходности стремится к своему целевому значению. Отметим также то обстоятельство, что для исследуемого процесса (в отличие от процесса Орнштейна-Уленбека) в любой момент времени вариация доходности по государ-ственным ценным бумагам пропорциональна уровню доходности. Принято считать, что это свойство выполняется на практике – в силу того, что доходность r государственных бумаг является величиной, в какой-том ере зависящей от уровня инфляции, которая, как давно от-мечалось, в свою очередь, стимулирует неопределенность на финан-совых рынках.
Отметим, что использование именно формулы Кокса-Ингерсолла-Росса для возможности проведения дальнейшего анализа некритично, но технически удобно. Кроме того, проведенные стати-стические тесты не позволяют отвергнуть гипотезу о том, что факти-ческое поведение анализируемых ставок действительно отвечает этой формуле.
1 При отсутствии случайных колебаний dz≡0, ставка доходности постоянно рав-на µ при r=µ, dr=0. Более того, при r0 и наоборот. 2 Отметим, что данный процесс несколько отличается от более популярного сре-ди исследователей срединно-возвратного процесса Орнштейна-Уленбека, для которого локальная вариация неслучайна, – но это отличие оправдывается эко-номической сущностью модели (см. ниже).
13
(A3) Предполагается, что номинал облигации с переменным ку-поном равен 1, а купонный доход x (t) по ней выплачивается непре-рывно. Величина текущего купона равна доходности государствен-ных бескупонных ценных бумаг, выпущенных в тот же момент вре-мени t:
x t r t( ) ( )= . (2.2) (A4) Наконец, считается выполненной слабая форма эффектив-
ности рынка: ожидаемая величина межвременной арбитражной прибыли в любой момент времени равна нулю (Local Expectations Hy-pothesis – LEH). С модельной точки зрения данное утверждение озна-чает, что участник рынка, инвестируя в произвольный момент време-ни сумму, равную текущей стоимости облигации с переменным купо-ном, в эту облигацию, ожидает прибыль за малый промежуток вре-мени, равную прибыли от вложения тех же средств в государственные бескупонные ценные бумаги.
Пусть F=F (r, x,τ)=F (r,τ) – текущая цена облигации с перемен-ным купоном; здесь величины r=r (t) и x=x (t)=r (t) означают текущую доходность государственных бескупонных ценных бумаг и текущий купон по купонной облигации, а τ – срок жизни последней до пога-шения.
Утверждение гипотезы LEH выражается формулой , dtrFdtxdFt =+E (2.3) где левая часть равенства означает ожидаемую за малый проме-
жуток времени прибыль по корпоративной облигации, а правая часть – от вложения суммы, равной ее цене, в государственные цен-ные бумаги. E t означает ожидание случайной величины в момент времени t.
Теорема. При выполнении условий (A1)–(A4) функция F=E(F(r,τ)) математического ожидания в соответствую-щий момент времени цены переменной облигации должна удовлетворять уравнению Колмогорова-Планка 12 2σ κ µ τr r r rrr rF F F F+ − + − =( ) (2.4) с граничными условиями
F(r,0)=1, F(r0,τ)=1. (2.5)
Доказательство. В Duffie (1996), стр.91 приведена формула Ито, позволяющая определить приращение ожидаемой стоимости облигации с переменным купоном за малый промежуток времени как функции от текущей доходности бескупонных облигаций и момента времени:
14
E F F E F Et r t rr tdFddt
dt dr dr( ) ( ) ( ) .= + + ττ 1
22 (2.6)
Поскольку ddtτ = −1, x=r,
( ) ( ) , )( )( dtrdzrdtrdr tt −µκ=σ+−µκ= EE а
( ) ( ) ( )E E Et t tdr r dt r r dt dz r dzrdt o dt
( ) ( ) ( )
( ),
2 2 2 2 2 2
2
2= − + − +
= +
κ µ σ κ µ σ
σ
получаем после подстановки (2.6) в (2.3): ( ) ( ) .)( 221 dtrdtrdtodtrdtrdt rrr FFFF =++σ+−µκ+− τ (2.7) Символ o (dt) использован для обозначения величины старшего
по отношению к dt порядка малости при t → 0. Отбрасывая в (2.7) та-кие члены, получаем уравнение (2.4).
Чтобы получить первое равенство (2.5), отметим лишь, что это граничное условие означает, что в момент погашения цена облигации равна ее номиналу (хотя в этот момент инвестор и получает, кроме номинала, еще купонный доход по ставке x=r, но за малый проме-жуток времени до погашения сумма дохода пренебрежимо мала).
Отметим также, что вложение средств в облигацию с перемен-ным купоном (с постоянным реинвестирванием купонных доходов) равносильно покупке в тот же момент бескупонной облигации с ма-лым сроком до погашения с последующим реинвестированием полу-ченных средств в такие же облигации в течение неограниченного промежутка времени. Второе равенство (2.5) означает, что приведен-ная стоимость будущих активов инвестора в случае постоянства базо-вой ставки равна инвестируемой сумме3.
Теорема, таким образом, доказана полностью. � Большое значение для исследования соотношения между ценой
облигации с плавающим купоном и лежащей в ее основе ценной бу-маги играет учет специфических вариантов условий обращения обли-гации (см. выше).
3 Это же равенство можно доказать и более формально. В самом деле, в любой момент T в будущем инвестор, который приобрел в начальный момент на еди-ничную сумму облигации с переменным купоном и постоянно реинвестировал полученные купонные платежи в такие же облигации, имеет капитал, равный
,exp0
∫=
TdtxK ибо за любой промежуток времени dt его капитал увеличивался
согласно дифференциальному уравнению dtKxdK = , ,1=)0(K причем .0)()( rtrtx ≡= Учитывая, что в произвольный момент времени T коэффициент дис-
контирования к начальному моменту времени равен ( ),exp 0Tr− получаем, что при-веденная стоимость активов инвестора равна единице.
15
Например, в случае облигации с фиксированной нижней грани-цей купонной доходности на уровне xd рассматривается дополнитель-ное граничное условие
F(r,x,τ)=F(r,xd,τ), x< xd, (2.5a)
а в случае облигации с фиксированной верхней границей доход-ности xu – условие
F(r,x,τ)=F(r,xu,τ), x> xu. (2.5b)
В случае же облигации с “номинальным якорем” купонной до-ходности xd имеет место условие
F(r,x,τ)=F(r,xd,τ0), τ>τ0, x(τ0)=xd. (2.5c)
Рамасвами и Сандаресан (1986) исследовали именно решения уравнения (2.4) с различными вариантами условий обращения амери-канских плавающих корпоративных облигаций, вычисляя их с помо-щью сеточного метода. И, хотя вычисленные теоретические величины дисконта плавающих облигаций по сравнению с государственными бескупонными получались существенными, они не давали объясне-ния истинной величины фактического дисконта (см. Рамасвами и Сандаресан (1986)).
Причиной этого являлось игнорирование требуемой надбавки за риск корпоративной облигации по сравнению с безрисковой доходно-стью, а также отчасти компенсирующей ее величины markup (см. (2.3)). Отсутствие такой надбавки означало бы, что фактически рас-сматривались облигации одного класса риска, а именно безрисковые, причем доходность одной из них определялась как некое выражение от случайно колеблющейся, но безрисковой в любой момент времени доходности другой, т.е. определенная в момент выпуска облигации величина markup компенсировала бы требуемую надбавку за риск в любой момент жизни облигации. Понятно, что подобное предполо-жение теряет смысл в случае, когда изучаются существенные макро-экономической ситуации, приводящие к заметным колебаниям базо-вой ставки. На данное логическое противоречие модели (A1)–(A4), примененной к корпоративным облигациям, обращали внимание еще сами ее авторы. Впрочем, в случае государственных плавающих об-лигаций данное противоречие не возникает, что лишь облегчает ис-пользование модели Рамасвами-Сандаресана для исследования ОГСЗ.
16
3. Облигации Государственного сберегательного займа –первый опыт российских долговых производных бумаг
3.1. Условия обращения
Облигации Государственного Сберегательного займа (ОГСЗ) появились в бумажной форме согласно Постановлению Правительст-ва РФ от 10.08.95 №812 “О Генеральных условиях выпуска и обраще-ния ОГСЗ Российской Федерации”.
Согласно этому Постановлению, они имели следующие основные параметры:
• срок обращения 1 год, эмиссия осуществлялась от имени Минфина РФ;
• являлись ценными бумагами на предъявителя; их владельцами могли быть как юридические, так и физические лица (как ре-зиденты, так и нерезиденты РФ);
• номинальная стоимость облигаций составляла 100 тыс. руб. и 500 тыс. руб.; облигации имели 4 квартальных купона (бо-лее поздние выпуски – только 500 тыс. руб. и 2 полугодовых купона);
• уполномоченные банки и другие финансовые организации, уча-ствовавшие в первоначальном размещении облигаций, были обязаны в течение 60 дней с момента начала выпуска про-дать не менее 90% купленных ими у Эмитента облигаций по рыночным ценам;
• процентный доход определялся Эмитентом на каждый ку-понный период и равнялся последней официально объявленной купонной ставке по облигациям федеральных займов с пере-менным купоном (ОФЗ). Процентный доход объявлялся за не-делю до начала купонного периода, официальная информация о величине процентного дохода по купонам публиковалась в «Российской газете».
3.2. ОГСЗ: статистика ценообразования На основе модели Рамасвами и Сандаресана были изучены соот-
ношения теоретических и фактических цен сделок Московской Меж-банковской валютной биржи на ОГСЗ с учетом доходностей к пога-шению сделок по ОФЗ на той же бирже за период с 8 августа по 30 октября 1997 г. И те, и другие облигации обладали сравнительно вы-сокой ликвидностью и, кроме того, не имели специфического риска, будучи облигациями государственными.
17
Изучались ОГСЗ серий с X по XV: X серия была выпущена но-миналом в 100 тыс. руб. и 500 тыс. руб. и имела квартальные купоны, остальные имели номинал 500 тыс. руб. и полугодовые купоны. До-ходности всех облигаций к погашению вычислялись по средневзве-шенным ценам сделок на ММВБ за день.
Доходности к погашению сделок по ОФЗ взвешивались за каж-дый рабочий день биржи с учетом объемов сделок по различным их выпускам. Цель произведенных вычислений – определение парамет-ров κ, µ и σ в дискретном уравнении Ингерсолла–Росса (аналоге (2.1))
∆r r rt t t t= − +− −κ µ σ ε( )1 1 , (3.1)
где ∆r r rt t t= − −1 , а εt – гауссовский стандартный белый шум; время из-меряется в днях.
Из уравнения (3.1) следует, что величины
1
1)(
−
−−µκ−∆=εt
ttt r
rr
образуют белый шум с дисперсией σ2 (которая подлежит оценке). Та-ким образом, минимизация средней дисперсии величины εt как функ-ции параметров κ и µ может быть положена в основу нахождения оценок и µκ этих параметров, а также параметра $σ2 как наименьшего значения этой дисперсии. Необходимо, однако, отметить, что данный расчет может быть признан осмысленным и корректным только в случае, если с достаточной степенью значимости для величин εt, рас-считанных при найденных значениях параметров как неслучайных константах, нельзя будет отвергнуть гипотезу белого шума.
С 5% уровнем значимости эти параметры оказались равными: $κ =0.3678, $µ =0.1341, $σ2 =0.0011, (3.2)
причем все уравнение в целом оказалось значимым на уровне 1% (F=92.323; уровень определенности R2=0.8183), а гипотеза белого шума была подтверждена с помощью тестов Дурбина–Уотсона и χ2. Доверительные интервалы для параметров и µκ составили 7% и 4%, что считается вполне удовлетворительным. Вычисления проводились с помощью пакетов EXCEL 5.0 и STATISTICA 5.0.
Приведенные вычисления показывают, что найденные оценки параметров и µκ , а также параметра $σ2 могут использоваться при дальнейших вычислениях.
18
Дох-ть ОФЗ фактическая и предсказанная по модели r(t)=r(t-1)+κ(µ-r(t-1)),
κ=.3678, µ=.1341
10%
11%
12%
13%
14%
15%
16%
17%
01.0
8.97
07.0
8.97
12.0
8.97
18.0
8.97
22.0
8.97
28.0
8.97
02.0
9.97
08.0
9.97
12.0
9.97
18.0
9.97
23.0
9.97
07.1
0.97
13.1
0.97
04.1
1.97
08.1
1.97
14.1
1.97
19.1
1.97
Дох-ть фактическая
Дох-ть, предсказанная по модели
Рис. 1
Мы, как и раньше, считали выполненной гипотезу локального арбитража
E t dF x t dt F r t dt( ) ( ) ( ) ,+ =
и формулу, определяющую купонную доходность, x t r t( ) ( )= .
Таким образом, функция F=E(F(r,x,τ))=E(F(r,τ)) математического ожидания цены облигации Государственного сберегательного займа должна удовлетворять уравнению Колмогорова-Планка 12 2$ $ ( $ )σ κ µ τr r r rrr rF F F F+ − + − = (3.3)
с граничными данными F(r,0)=1, (3.4)
причем уравнение (3.3) может быть численно решено сеточным мето-дом (решение проводилось с помощью пакета MathCAD 6.0).
Результаты вычислений представлены на графиках рис. 2 и 3. На
графиках представлены цены на ОГСЗ соответствующих серий в про-центах от номинала. Теоретическая цена определялась из решения уравнения (3.3) с учетом фактического периода, оставшегося до по-гашения облигации и средневзвешенной доходности ОФЗ, рассматри-ваемой как рыночная.
19
Теоретические и фактические цены ММВБна ОГСЗ X серии
95
100
105
110
115
120
05.0
8.97
12.0
8.97
19.0
8.97
26.0
8.97
03.0
9.97
09.0
9.97
15.0
9.97
19.0
9.97
25.0
9.97
01.1
0.97
07.1
0.97
13.1
0.97
17.1
0.97
23.1
0.97
04.1
1.97
Факт XТеор. X
% ном.
Теоретические и фактические цены ММВБна ОГСЗ XIV серии
95100105110115120125130135
05.0
8.97
12.0
8.97
19.0
8.97
26.0
8.97
03.0
9.97
09.0
9.97
15.0
9.97
19.0
9.97
25.0
9.97
01.1
0.97
07.1
0.97
13.1
0.97
17.1
0.97
23.1
0.97
04.1
1.97
Факт XIVТеор. XIV
% ном.
Рис. 2
Теоретические и фактические цены ММВБна ОГСЗ XII серии
95
100
105
110
115
120
125
130
05.0
8.97
12.0
8.97
19.0
8.97
26.0
8.97
03.0
9.97
09.0
9.97
15.0
9.97
19.0
9.97
25.0
9.97
01.1
0.97
07.1
0.97
13.1
0.97
17.1
0.97
23.1
0.97
04.1
1.97
Факт XIIТеор. XII
% ном.
20
Теоретические и фактические цены ММВБна ОГСЗ XIII серии
90
95
100
105
110
115
120
125
05.0
8.97
12.0
8.97
19.0
8.97
26.0
8.97
03.0
9.97
09.0
9.97
15.0
9.97
19.0
9.97
25.0
9.97
01.1
0.97
07.1
0.97
13.1
0.97
17.1
0.97
23.1
0.97
04.1
1.97
Факт XIIIТеор. XIII
% ном.
Рис. 3
3.3. Итоги анализа ОГСЗ В результате анализа было показано, что на российском рынке
теоретические цены облигаций Государственного сберегательного займа в большинстве случаев значимо (в среднем на 7–9%) превосхо-дили фактические (рис. 2). Имелись и исключения: так, фактические котировки ОГСЗ XII и XIII серий на протяжении длительного перио-да оставались на одном уровне, даже слегка опережая теоретические цены, и лишь после наступления во второй половине октября 1997 г. даты выплаты очередного купона резко отстали от них (рис. 3).
Такое отличие в ценах не могло быть объяснено погрешностью допущения (2.2) о равенстве купона и фактической доходности ОФЗ к погашению, сделанного при вычислении теоретической цены.
Вероятное объяснение обнаруженного отличия фактических цен облигаций, например, X выпуска от теоретических заключалось в том, что в [Дорофеев, 2000] сравнивались биржевые цены облигаций, существовавших в бездокументарной (ОФЗ) и документарной (ОГСЗ) форме, что, очевидно, отражалось на разнице транзакцион-ных издержек при операциях с теми или иными облигациями. Кроме того, облигации Федерального займа были предназначены прежде всего для размещения среди юридических лиц – агентов биржевого рынка (в т.ч. опосредованно – среди нерезидентов), во время как ОГСЗ – преимущественно среди физических лиц и лишь тех институ-циональных инвесторов, кто работал с розничными финансовыми ин-струментами. Таким образом, операторами ОФЗ являлись в основном агенты, обладавшие бóльшим количеством альтернативных возмож-ностей инвестирования.
21
Следовательно, обращение ОГСЗ предполагало бóльшие тран-закционные издержки, и, кроме того, к инвестициям в эти облигации было допущено большее количество мелких инвесторов и инвесто-ров-нерезидентов, в том числе с относительно низкими требованиями к доходности безрисковых облигаций. Отметим, что подобный дис-конт при наличии значительной доли мелких инвесторов в опреде-ленный вид ценных бумаг отмечался и в работах иностранных иссле-дователей. Так, например, Chan и Lakonishok (1997) отмечали, что на NYSE, где присутствует большая доля мелких инвесторов, наблюда-ется недооценка акций крупнейших компаний (т.е. тех, чьи акции они и предпочитают, – в силу большей освещенности финансового со-стояния крупных корпораций в СМИ) по сравнению с теми же акция-ми в сети Nasdaq, где в основном оперируют крупные инвестицион-ные институты.
4. Производные долговые инструменты на современном российском рынке: РЕПО и корпоративные облигации
4.1. Ставки РЕПО – ликвидный банковский производный инст-румент
Хотя и посткризисный период, как уже было сказано выше, вы-пускались долговые инструменты с индексируемой доходностью, значительного внимания к себе они не привлекали примерно до мая 2006 г. – во-первых, из-за ограниченной ликвидности (таковыми яв-лялись лишь отдельные выпуски корпоративных облигаций), а во-вторых из-за того, что базовым индексом, от которого зависела их до-ходность, являлся преимущественно индекс инфляции, остающийся для основных игроков российского финансового рынка второсте-пеннным показателем, слабо влияющим на их инвестиционные реше-ния (достаточно сказать, что реальные доходности даже корпоратив-ных долговых инструментов 1–2 эшелонов уже на протяжении не-скольких лет остаются значимо отрицательными).
Однако в мае с.г. на ФБ «РТС» были запущены фьючерсные кон-тракты на ставки межбанковского кредита MosIBOR, сразу оказав-шиеся в фокусе интереса инвесторов в силу развитости соответст-вующего рынка (как непосредственно, так и особенно в форме сделок РЕПО)4. Хотя фьючерсные ставки нельзя напрямую рассматривать как ставки долговых инструментов с производной доходностью,
4 Позднее были также запущены фьючерсные торги на корзины облигаций г. Москвы и на еврооблигации России.
22
сходство принципов ценообразования сделок РЕПО от ставок меж-банковского рынка очевидно, а после появления этих фьючерсов поя-вилась возможность хеджирования последних, – аналогично построе-нию спредовой позиции по базовым и производным долговым инст-рументам.
Авторами данной работы было проведено сравнение доходности (рис. 4) ставок MosIBOR overnight со ставками РЕПО (по данным Reuters) за прошедший год (август 2005 – август 2006 г.).
Ставки MosIBOR (1 д.) и РЕПО на ММВБ
0
2
4
6
8
10
12
14
17.0
7.06
04.0
7.06
21.0
6.06
08.0
6.06
29.0
5.06
17.0
5.06
03.0
5.06
20.0
4.06
10.0
4.06
29.0
3.06
20.0
3.06
02.0
3.06
15.0
2.06
25.0
1.06
22.1
2.05
13.1
2.05
22.1
1.05
09.1
1.05
26.1
0.05
29.0
9.05
31.0
8.05
16.0
8.05
Репо 1 деньMosIBOROND
% год.
Рис. 4
И в данном случае результаты оказались схожими с полученны-ми ранее в отношении ОГСЗ: сделки, требующие меньших транзак-ционных издержек (прямое межбанковское кредитование), произво-дились по более низким, в среднем, ставкам, нежели сделки РЕПО. Причем тот факт, что, в отличие от ОГСЗ, это явление наблюдалось на протяжении всего периода анализа, – без исключений, – говорит, скорее, в пользу повышения степени эффективности и совершенства российского фондового рынка.
4.2. Современные облигации с переменным купоном — скорее, дань моде
В заключение отметим, что в последнее время на российском фондовом рынке начали появляться и корпоративные облигации с пе-ременным купоном, хотя и эти примеры пока можно считать скорее исключениями, нежели правилом.
23
Как уже было сказано, пионерами в этом вопросе выступили компания ОАО «Вимм-Билль-Данн Продукты Питания» и ИК «Трой-ка-Диалог», компания-организатор появившегося на рынке в апреле 2003 г. и недавно погашенного выпуска облигаций Вимм-Билль-Данн ПП-01, основанных на индексе потребительских цен (ИПЦ) ФСГС России. Впрочем, этот выпуск не привлек к себе большого внимания инвестиционного сообщества из-за его низкой ликвидности. Более активно обращающются в настоящее время пятилетние рублевые об-лигации ЕБРР выпусков 1 и 2, использующие в качестве базовой 3-месячную ставку MosPrime на конец предыдущего квартала).
Здесь параметры дискретного уравнения Ингерсолла–Росса для базовой ставки MosPrime с 5% уровнем значимости оказались рав-ными $κ =0.1126, $µ =0.0493, $σ2 =0.0047, уравнение было значимым на уровне 5% (F=1.2371; уровень определенности R2=0.6824), гипо-теза белого шума вновь была подтверждена с помощью тестов Дур-бина–Уотсона и χ2. Доверительные интервалы для параметров
и µκ составили 9% и 8%. При этом оказалось, что облигации Европейского Банка Рекон-
струкции и Развития двух выпусков с купоном, зависящим от став-ки MosPrime, демонстрируют менее предсказуемую динамику. Так, облигации первого выпуска, присутствующие на рынке с августа 2005 г., вначале были значимо переоценены рынком (рис. 5) и лишь с апреля 2006 г. начали торговаться примерно на теоретически обоснованном уровне, – да и то лишь в результате стабилизации ба-зовой ставки MosPrime вблизи среднесрочного среднего значения около 5%.
Теоретические и фактические цены ММВБна облигации ЕБРР-1
90
93
96
99
102
105
24.0
8.06
18.0
7.06
30.0
6.06
23.0
5.06
27.0
4.06
13.0
4.06
13.0
3.06
21.0
2.06
25.0
1.06
11.0
1.06
20.1
2.05
01.1
2.05
02.1
1.05
11.1
0.05
23.0
9.05
08.0
9.05
Факт ЕБРР-1Теор. ЕБРР-1
% ном.
Рис. 5
24
Облигации же второго выпуска, появившиеся на рынке лишь ле-
том этого года, остаются устойчиво недооцененными (рис. 6) и по сей день.
Теоретические и фактические цены ММВБна облигации ЕБРР-2
95
97
99
101
103
105
24.0
8.06
18.0
8.06
17.0
8.06
01.0
8.06
28.0
7.06
13.0
7.06
05.0
7.06
30.0
6.06
31.0
5.06
29.0
5.06
26.0
5.06
Факт ЕБРР-2Теор. ЕБРР-2
% ном.
Рис. 6 Причину столь противоречивого поведения облигаций банка еще
предстоит проанализировать, хотя в обоих случаях бросается в глаза вялая динамика рыночных котировок облигаций Европейского банка, существенно уступающая динамике их теоретической цены. Возмож-но, в этом и кроется разгадка: с учетом того, что доходность к пога-шению обоих выпусков облигаций банка остается на уровне не выше 5-6% годовых, последние представляют интерес лишь для стратегиче-ских инвесторов, которые, в свою очередь, мало заботятся о реализа-ции арбитражных возможностей, возникающих при неадекватной оценке облигаций рынком.
Список литературы 1. Дорофеев Е.А. 2000. Принципы ценообразования облигаций с переменным купоном // Экономика и математические методы. – вып.1, стр. 53-62.
2. Chan L.K.C., Lakonishok J. 1997. Institutional Equity Trading Costs: NYSE vs Nasdaq // Journal of Finance. V.52, pp. 713-736.
3. Cox, J.C., Ingersoll J.E., Ross S.A. 1980. An Analysis of Variable Loan Contracts // Journal of Finance. V.35, pp. 389-403.
4. Duffie, D. 1996. Dynamic Asset Pricing Theory: Princeton University Press, Princeton NJ.
5. Ramaswamy, K., Sundaresan S.M. 1986. The Valuation of Floating Rate Instruments // Journal of Financial Economics. V.17, pp. 251-272.
25
Е. А. Дорофеев, О. А. Лапшина
Облигации с переменным купоном:
принципы ценообразования
Научные доклады Научно-исследовательского института менеджмента СПбГУ
№ 9(R)–2006
Подписано в печать с оригинал-макета 13.11.2006. Формат 60х90/16. Бумага офсетная. Объем 1,16 уч. изд. л.
Тираж 50 экз.
Издательский центр факультета менеджмента СПбГУ Волховский пер., 3, Санкт-Петербург, 199004, Россия
тел.: (812) 323–84–60; факс: (812) 323–84–51 [email protected]
