Bond Pricing1

Срочна структура на лихвените проценти

Yields

Maturity

Bond Pricing2

Yields

Maturity

Нарастваща - Upward Sloping

Намаляваща - Downward Sloping

Хоризонтална - Flat

Криви на доходност

Bond Pricing3

• Normal upward sloping: инвеститорите очакват нормален растеж

• Steep upward sloping: инвеститорите очакват силен прираст в близко бъдеще

• Inverted downward sloping: инвеститорите очакват слаб ръст в близко бъдеще

• Flat or Humped: дългосрочната доходност е близка до краткосрочните лихвени нива

Yield Curves

Bond Pricing4

Normal Curve

Bond Pricing5

Normal Curve

Bond Pricing6

Steep Curve

Bond Pricing7

Steep Curve

Bond Pricing8

Inverted Curve

Bond Pricing9

Inverted Curve

Bond Pricing10

Flat /Humped Curve

Bond Pricing11

Flat/Humped Curve

Bond Pricing12

II. Как можем да обясним спредът?

• Спредът spread (разликата между номиналната доходност по дългосрочните и крактосрочните облигации) може да се използва като индикатор за промени в лихвените проценти в бъдеще– Спредът изразява очакванията за реалните

лихвени проценти и инфлацията в бъдеще – Основните фактори, определящи връзката

между спреда и реалния растеж в бъдеще не са толкова ясни

Bond Pricing13

Спред и растеж

• Покачването на спреда може да се дължи на:– Нарастване на дългосрочните лихвени проценти или

– Намаляване на краткосрочните лихвени нива

• Какво бихме могли да кажем за очакванията за лихвените нива в бъдеще?

• Емпирично наблюдение: наблюдава се позитивна връзка между спреда и растежа в бъдеще при различни икономики и през различни периоди.

Bond Pricing14

От краткосрочните лихвени проценти (Short Interest Rates) към

доходността до падеж (YTM)Да допуснем, че лихвени проценти за едногодишен период (short rates) през следващите години ще бъдат:

Year One-Year Interest Rate

1 8%

2 10%

3 11%

4 11%

Bond Pricing15

Оценяване на облигациите чрез краткосрочните лихвени проценти

1 2

1

(1 )(1 )...(1 )nn

PVr r r

Bond Pricing16

Краткосрочни лихвени проценти и YTM

Par value $1,000 (M)

    Prices of  

Year Short rates zero-coupon bonds YTM (y)

1 8% 925.93 8.000%

2 10% 841.75 8.995%

3 11% 758.33 9.660%

4 11% 683.18 9.993%

1000/((1+0.08)*(1+0.10))

841.75=1000/(1+y)^2

Bond Pricing17

YTM и цената на облигацията• Доходността и краткосрочните лихвени проценти имат

следната връзка: 1+YTM на облигация с нулев купон е геометрична средна от 1+future short rates.

12

13

1 1

2 1 2

3 1 2 3

1 1

1 1 1

1 1 1 1 ,

y r

y r r

y r r r etc

Bond Pricing18

Изчисляване на форуърд лихвените проценти (Forward Rates) чрез YTM

Имаме две стратегии:

(a) Покупка на n-годишна облигация с нулев купон

(b) Покупка на n-1-годишна облигация с нулев купон и след като се падежира покупка на 1-годишна облигация с нулев купон (rollover)

двете стратегии следва да осигурят една и съща възвръщаемост (когато няма несигурност).

Bond Pricing19

11)1(

)1()1(

n

n

nn

n y

yf

fn = едногодишен форуърд процент за периода n

yn = доходност на облигация с матуритет n

)1()1()1( 11 nn

nn

n fyy

Определяне на forward rates чрез zero-coupon yields:

Bond Pricing20

пример

y4 = 9.993, y3 = 9.660, f4 = ?

(1.0993)4 = (1.0966)3 (1+f4)

(1.46373) / (1.31870) = (1+f4)

f4 = 0.10998 или 11%-3-year vs. 4-year forward-forward yield

Bond Pricing21

Номинална крива на доходностPar Yield Curve

• Връзка между доходността до падежа и времето до падеж за облигации, които се продават по номинал

Bond Pricing22

Par Yield CurveНоминалната доходност е купоновия лихвен

процент, makes който приравнява наминала към настоящата стойност на паричния поток, при зададена доходност до падеж.

Определяне на par yield, in, за n-годишна купонова облигация (n=1,2,3...):

1-year coupon bond:

2-year coupon bond:

100)08.01(

1)1(100 1

i

100)08995.01(

1)1(100

)08.01(

1100

222

ii

Bond Pricing23

Par Yield Curve

Ако повторим процедурата за 3 и 4-годишна облигация ще получим:

1-year 8%

2-year 8.952%

3-year 9.567%

4-year 9.872%

Построяване на par yield curve

Par Bond Yield Curve

5.000%

6.000%

7.000%

8.000%

9.000%

10.000%

11.000%

1 2 3 4

Maturity

Yie

ld

Par yield

Bond Pricing24

Намаляваща крива на доходностDownward Sloping Yield Curve

Maturity Zero-Coupon Yields

1 12% 2 11.75% 3 11.25% 4 10.00% 5 9.25%

11)1(

)1()1(

n

n

nn

n y

yf

1yr Forward Rates

f 2 : [(1.1175)2 / 1.12] - 1 =0.1150

f 3 : [(1.1125)3 / (1.1175)2] - 1 =0.1026

f 4: [(1.1)4 / (1.1125)3] - 1 =0.0633

f 5 : [(1.0925)5 / (1.1)4] - 1=0.0601

Bond Pricing25

Форуърд лихвени проценти и кривата на доходност

Downward Sloping Yield Curve

0%

5%

10%

15%

1 2 3 4 5

Maturity

Yie

ld

YTM Forward Rate

Bond Pricing26

ако C1 = aC2 и конструираме портфейл от покупка на (1/a) броя облигации 1 и продажба на една облигация 2. Този портфейл ще има същата експозиция както T-годишна облигация с нулев купон.

(1/a)Bond 1: P1/a C2 C2..... C2T-1 C2+F/a

- Bond 2: - P2 -C2 -C2..... -C2T-1 -C2 - F

Bond Pricing27

• Bootstrapping е подход за получаване на доходност на облигации с нулев купон чрез купонови облигации.

• Ако 1-годишния лихвен процент е 10% то текущите цени на облигациите ще са:

Price Coupon MaturityBond A 97.409 9% 2 yearsBond B 85.256 5% 3 yearsBond C 104.651 13% 4 years

Bootstrapping

Bond Pricing28

• Можем да съставим 2-годишна инвестиция на стойност 97.409 като получим 100 единици – номиналната стойност на облигация A и заемем за една година сума от 8,182 при пазарните лихвени проценти в момента 10%

Year Bond A Loan Net Yield0 -97.409 8.182 -89.227 10.526%1 9.000 -9.000 0.0002 109.000 109.000

Bootstrapping

Bond Pricing29

Bootstrapping• След това можем да съставим 3-годишна

инвестиция на стойност 85.256 чрез получаването на 100 – номиналната стойност на B, заем от 4,545 за 1 година при 10% и 2-годишен заем за 4,093 при лихвен процент от 10.526%, по който лихвата се получава в края на периода.

Year Bond B Loan Net Yield0 -85.256 4.545 4.093 -76.618 11.076%1 5.000 -5.000 0.0002 5.000 -5.000 0.0003 105.000 105.000

Bond Pricing30

Bootstrapping

• Аналогично за четвъртата година

Year Bond C Loan Net Yield0 -104.651 11.818 10.642 9.486 -72.705 11.655%1 13.000 -13.000 0.0002 13.000 -13.000 0.0003 13.000 -13.000 0.0004 113.000 113.000

Bond Pricing31

Едновременен подход

• Пример: 8% купонова облигация (с плащане на купоните на шест месеца) с остатъчен срок до падеж 1 година се продава по цена от 986.10; 10% купонова облигация с матуритет 1 година се продава по цена 1,004.78.

където d е дисконтовия фактор

1 2

1 2

986.10 40 1,040

1,004.78 50 1,050

d d

d d

Bond Pricing32

Едновременен подход

• Решавайки двете уравнения получаваме:

d1=0.95694 и d2=0.91137• Краткосрочния лихвен процент r1 и форуърд

лихвения процент f2:

• Доходността r1=0.045 and f2=0.05

1 1

2 1 2

1 1 0.95694

1 1 1 0.91137

d r

d r f

Bond Pricing33

Общ подход—регресионен анализ

• Съставяне на матрицата

1 11 12 13 1 1

2 21 22 23 2 2

31 32 33

...

...

...

...n

P CF CF CF d e

P CF CF CF d e

P CF CF CF

Or

P CFd e

PM

Bond Pricing34

• Регресионен анализ на доходността:

1d̂ CF CF CF P