Міністерство освіти і науки України Національний технічний університет України “Київський політехнічний інститут”
Фізико-математичний факультет
ФІЗИКА: ФІЗИКА ТВЕРДОГО ТІЛА
Методичні вказівки до самостійної роботи
студентів технічних напрямків підготовки усіх форм
навчання
Київ 2014
2
УДК 53 (07) ББК..................................... ............................................ Ф50
Укладачі: Анісімова Ольга Володимирівна Пугач Ольга Віталіївна
Рецензент: Балахонова Н.О.
Фізика: Фізика твердого тіла. Методичні вказівки до самостійної роботи студентів технічних напрямків підготовки усіх форм навчання. – 2014. - 57 с.
3
Вступ Першою вдалою спробою пояснити електричні і магнітні властивості твердих тіл, в першу чергу металів, була теорія вільних електронів. Вона виходила з припущення, що метал містить вільні електрони, здатні переміщуватись по всьому об’єму, на зразок молекул газу. Але теорія вільних електронів була безсилою при розгляді властивостей твердого тіла, які залежать від внутрішньої структури речовини. Так вона не дала відповідь на питання, чому одні речовини є провідниками, а інші діелектриками. Наступним етапом в розвитку електронної теорії стала зонна теорія твердих тіл.
Зонна теорія твердих тіл
Твердими тілами називають речовини, що мають кристалічну будову. Можливі енергії електронів у твердому тілі створюють систему енергетичних зон. Утворення цих зон можна пояснити таким чином.
Енергетична структура окремого атома являє собою систему дискретних енергетичних рівнів, на кожному з яких, згідно з принципом Паулі, може перебувати не більше двох електронів з протилежними спінами. Якщо уявити, що атоми поступово наближуються один до одного, утворюючи кристалічну решітку, то хвильові функції, що описують стан електронів будуть перекриваючись деформуватись (рис. 1, 2 24 | |rρ = π ψ
визначає густину імовірності знаходження частинки на відстані r від ядра). В результаті взаємодії атомів окремі енергетичні рівні будуть розщеплюватись у зони, тим ширші, чим більша енергія рівня. Це так зване наближення сильного зв’язку.
У наближенні слабкого зв’язку використовують результати класичної теорії електропровідності металів. Вільні електрони вважають електронним газом, схожим за своїми властивостями з
Рис. 1.
4
ідеальним газом. У наближенні слабкого зв’язку використовують хвильову функцію вільного електрона, обмеживши її граничними умовами на поверхні зразка металу. Цей електрон рухається в періодичному полі кристалічної ґратки. Завдяки цьому деякі значення хвильового числа, електрона, що рухається, а разом з ним і імпульсу та енергії, стають забороненими. Так в наближенні слабкого зв’язку виникають заборонені зони рівнів енергії.
У наближенні сильного зв’язку заборонена зона – це проміжок між дозволеними зонами. Таким чином, електрони в твердому тілі займають рівні енергії дозволених зон, починаючи з найменших її значень. Кожна зона вміщує кінцеву кількість рівнів, тобто кінцеву кількість електронів. Ширина дозволеної зони визначається структурою кристалічної решітки і залежать від напрямку в кристалі. В координатах хвильового числа k ці зони називають зонами Бріллюена і вони мають складну просторову структуру.
Електричні властивості твердого тіла залежать від того, як заповнена електронами верхня з дозволених зон, яку називають валентною зоною. Найнижча зона, в якій електрони можуть переміщуватись (незаповнена повністю при 0 KT ) – це зона
провідності. Якщо за температури 0 KT валентна зона заповнена повністю (рис. 2), то це діелектрик або напівпровідник. Речовину з шириною забороненої зони з 3 еВE∆ > ( зE∆ – різниця енергій між валентною зоною та зоною провідності) вважають діелектриком,
з 3 еВE∆ ≤ напівпровідником. Цей поділ умовний: у випадку високих температур діелектрик виявляє властивості, притаманні
напівпровідникам і навпаки, за низьких температур напівпровідник поводиться як діелектрик.
Якщо за температури 0 KT валентна зона не заповнена повністю (рис. 3), або вона перекривається по енергіям з вище розташованою незаповненою зоною, то ця
Рис. 2.
Рис. 3.
5
речовина – метал. У цьому випадку валентна зона і зона провідності співпадають.
Енергія Фермі визначає рівень енергії (рівень Фермі), ймовірність заповнення електронами якого за температури вище абсолютного нуля дорівнює ½. Для діелектриків та напівпровідників
Fε міститься в забороненій зоні. Для металів він в зоні провідності і визначає максимальну енергію, яку може мати електрон при 0 KT .
Елементи квантової статистики. Наявність хвильових властивостей у електронів і принцип Паулі
призводять до необхідності створення статистики для електронного газу в твердому тілі, яка відрізняється від статистики Максвелла-Больцмана для ідеального газу.
Розподіл Фермі-Дірака
[ ]1( )
exp ( ) / 1F
fkT
ε =ε − ε +
,
де ( )f ε – функція розподілу електронів за енергіями, k – стала Больцмана; T – термодинамічна температура, Fε – енергія Фермі (рівень Фермі). Функція розподілу визначає середній рівень заповнення електронами енергетичних рівнів.
Концентрація електронів, які мають енергію в діапазоні від ε до dε + ε , визначається як функцією розподілу, так і числом
енергетичних рівнів в заданому діапазоні ( ) ( )dn z f d= ε ε ε ,
де ( )z ε – густина станів електронів, тобто число енергетичних станів, що припадає на одиничний інтервал енергії в одиничному об’ємі.
Число фазових комірок, що припадають на одиницю об’єму, дорівнює
23
4dZ p dphπ
= ,
де p – імпульс електрона, h – стала Планка. При переході від імпульсів до енергій використаємо співвідношення
2 / 2 ep mε = , де em – маса електрона, отже
6
( )3/2
3
2 2 edZ m dhπ
= ε ε .
Густина станів електронів визначається як
( )3/2
3
2( ) 2 2 ez mhπ
ε = ε .
Коефіцієнт 2 з’явився в зв’язку з тим, що в кожній фазовій комірці може знаходитись не один, а два електрона (ферміона) з протилежно орієнтованими спінами.
Розподіл концентрації електронів за енергіями в металі
[ ]
3/2
2
2( ) 4exp ( ) / 1
e
F
m ddnh kT
ε ε ε = π ε − ε + ,
де ( )dn ε – концентрація електронів, енергія яких перебуває в межах від ε до dε + ε .
У випадку 0 KT розподіл вільних електронів у металі за енергіями:
3/21/2
2
2( ) 4 emdn dh
ε = π ε ε
.
Цей вираз справедливий, якщо Fε < ε . У випадку, коли Fε > ε , функція розподілу ( ) 0f ε = , відповідно ( ) 0dn ε = .
Енергія Фермі в металі за температури 0 KT 2/32 3(0)
8Fe
h nm
ε = π , (1)
де n – концентрація електронів у металі. Енергія Фермі визначає максимальну енергію електронів при 0 KT , її значення відраховується від дна зони провідності.
Середня енергія вільних електронів ( 0 KT ) 3 (0)5 F< ε >= ε .
Сумарна енергія електронів, що знаходяться в одиниці об’єму 3/2
5/23
8 (2 ) (0)5 F
mUh
π= ε .
З підвищенням температури електрони термічно збуджуються і переходять на більш високі енергетичні рівні, внаслідок чого
7
змінюється характер їх розподілу за станами. Але в інтервалі температур, коли FkT ε , тепловому збудженню підлягають лише електрони, розташовані поблизу рівня Фермі, енергія яких відрізняється від енергії Фермі не більше, ніж на kT∆ε = . За кімнатної температури доля цих електронів складає менше 1% від загального числа електронів провідності. Електрони нижчих рівнів участь у тепловому русі практично не беруть, оскільки енергія kT недостатня для їх збудження.
Зі збільшенням температури енергія Фермі дещо змінюється. У випадку FkT ε
22
(0) 112 (0)F F
F
kT π ε ≈ ε ⋅ − ε
.
Умова FkT ε виконується практично завжди, оскільки температури 4/ 10 KF FT k= ε ∼ настільки високі, що жоден метал не може
існувати за таких умов в конденсованому стані. За кімнатної температури (300 К) Fε відрізняється від (0)Fε лише на 0,002%. Значення середньої енергії у цьому випадку
223 5(0) 1
5 12 (0)T FF
kT π < ε >≈ ε ⋅ + ε
.
Температура виродження електронного газу визначається 2
2/33 (0)5 4F
вhT n
k k kmε< ε >
= = =π
,
де < ε > – середня енергія вільних електронів при абсолютному нулі. Ця температура визначає межу, вище за яку квантові ефекти стають неістотними. Для всіх металів температура виродження лежить за межами їх плавлення і має значення близько 104 К. Отже, електронний газ в металах можна вважати сильно виродженим.
Невироджений стан газу може бути досягнутий не лише підвищенням температури, але і зменшенням концентрації n ( 22 310 мn − ). Така і менша концентрація електронного газу має місце в напівпровідниках, газ стає невиродженим і описується класичною статистикою Максвелла-Больцмана.
8
Для невиродженого газу функція розподілу має вигляд [ ]( ) exp ( ) /Ff kTε = − ε − ε .
У цьому випадку енергія Фермі дорівнює 3/22
ln2F
hkT nmkT
ε = π .
Помноживши ( )f ε на густину станів електронів
( )3/2
3
4( ) 2 ez mhπ
ε = ε , отримаємо розподіл за енергіями концентрації
електронів для невиродженого стану
( ) [ ]3/2
3
4( ) 2 exp ( ) /e Fdn m kT dhπ
ε = − ε − ε ε ε .
Теплоємність кристала.
Теорія теплоємності базується на уявленні атома як гармонійного осцилятора.
Замість того, щоб описувати індивідуальні коливання частинок, розглядають їх колективний рух у кристалі, як в просторово впорядкованій системі. Коливання, що виникло в однієї частинки, в результаті взаємодії між частинками передається сусіднім. Внаслідок цього в кристалі збуджується колективний рух у формі пружної хвилі, яка охоплює усі частинки кристала. Такий колективний рух називається нормальним коливанням ґратки. Число нормальних коливань, яке може виникнути в кристалі, дорівнює числу ступенів свободи частинок ґратки, тобто 3N (N – число частинок, що утворюють кристал).
Енергія нормального коливання ґратки дорівнює енергії лінійного (одномірного) осцилятора, що має масу, яка дорівнює масі атомів кристалічної ґратки, включених у коливання. Цей осцилятор здійснює коливання з частотою нормального коливання. Таким чином повна енергія кристала, який складається з N атомів, які здійснюють зв’язані коливання, дорівнює енергії 3N незалежних лінійних (одномірних) гармонічних осциляторів.
Середня енергія класичного осцилятора залежить від термодинамічної температури T :
9
kT< ε >= , де k – стала Больцмана. З цієї енергії / 2kT припадає на кінетичну енергію, і / 2kT – на потенціальну.
Енергія квантового осцилятора, як відомо, визначається зі співвідношення:
1( )2n nε = + ω ,
де – стала Планка, ω – циклічна частота коливань осцилятора, n – квантове число.
Щоб визначити середнє значення енергії такого осцилятора, використовують поняття фононів. Мінімальна порція енергії, яку може поглинути або виділити ґратка при теплових коливаннях з частотою ω , відповідає переходу з даного енергетичного рівня на найближчий сусідній рівень і дорівнює
фε = ω .
Цей квант енергії теплових коливань ґратки називають фононом. З цієї точки зору кристал можна розглядати як об’єм, що заповнений фононним газом. Середнє значення енергії осцилятора, який здійснює коливання з частотою ω , можна визначити як
ф фе е>2
Nω
< >= + < ⋅ ,
де ф>N< – середнє значення числа фононів, що мають енергію ω .
Фонони, так само як і фотони, описуються функцією розподілу Бозе-Ейнштейна:
фф
1 1exp( / ) 1 exp( / ) 1
( )kT kT
f εε − ω −
= = ,
де k – стала Больцмана, Т – термодинамічна температура. Середня енергія квантового осцилятора
0е еexp( / ) 1kT
ω< >= +
ω −,
де 0е – нульова енергія ( 0е ½= ω), ω – кругова (циклічна) частота коливань осцилятора.
10
Внутрішня енергія кристала визначається як сумарна енергія системи лінійних квантових осциляторів:
( )U g d= < ε > ω ω∫ ,
де ( )g ω – число нормальних коливань, що припадає на спектральний інтервал dω.
Класична модель теплоємності. З урахуванням того, що кількість коливальних ступенів свободи дорівнює 3N ( N – кількість атомів у кристалі), внутрішня енергія одного моля атомів дорівнює
3 3m AU N kT RT= = , де AN – число Авогадро, R – універсальна газова стала. Молярна теплоємність кристала
3mC R= . У цьому полягає суть закона Дюлонга і Пті, який стверджує, що теплоємність усіх хімічно простих твердих тіл однакова і дорівнює 3R . Цей закон добре виконується тільки при порівняно високих температурах. Молярна теплоємність кристалів, що складаються з різних атомів, визначається як (закон Неймана-Коппа)
3mC n R= ⋅ , де n – загальна кількість частинок в хімічній формулі речовини.
Теорія теплоємності Ейнштейна. За цією моделлю коливання осциляторів відбуваються з однаковою частотою ω , яка дорівнює частоті коливань атома в кристалічній ґратці.
Циклічна частота коливань атомів визначається як 1/2( / )mω = β ,
де m – маса атома, β – коефіцієнт пружності зв'язку атомів у кристалі. Величину β можна визначити як коефіцієнт пропорційності між силою ( )f x , що повертає атом у стан рівноваги, і зміщенням x
цієї частинки відносно положення рівноваги: ( ) –f x x= β ; Коефіцієнт пружності β визначається як:
aEβ = ,
11
де a – міжатомна відстань, а E – модуль Юнга у випадку зміщення атомів у напрямку, що співпадає з напрямком a , і модуль зсуву у випадку поперечного зміщення.
Молярна внутрішня енергія кристала в квантовій теорії Ейнштейна дорівнює енергії системи, що складається з 3 AN квантових осциляторів, які не взаємодіють:
( )03
exp 1/E
m mE
RU U
TΘ
= +−Θ
,
де R – молярна газова стала; /Е kΘ = ω – характеристична температура Ейнштейна; 3
0 2/m ЕU R= Θ – молярна нульова енергія (за Ейнштейном).
Молярна теплоємність у квантовій теорії Ейнштейна: ( )
( )2
2
exp3 ( / ) .
(exp 1)
/
/E
m E
E
С R TT
T= Θ ⋅
−
Θ
Θ
У випадку високих температур теплоємність, обчислена за цією формулою збігається з класичною 3mC R→ . У випадку низьких температур 0T → , теплоємність 0mC → , що відповідає результатам досліду. Але значення і характер теплоємності, обчисленої за Ейнштейном, відповідають експериментальним залежностям лише якісно. Це пов’язано з надмірним спрощенням системи, тобто з припущенням, що всі атоми здійснюють коливання з однаковою частотою незалежно один від одного.
У моделі Дебая кристалічна ґратка описується як зв’язана система атомів. Коливання такої системи – результат накладання багатьох гармонічних коливань з різними частотами. Задача зводиться до знаходження спектра частот осциляторів.
Спектр нормальних коливань ґратки. Для визначення спектра частот нормальних коливань можна розглянути одномірну модель твердого тіла – систему атомів, що знаходяться на відстані a один від одного, здатних коливатись у напрямку, перпендикулярному лінії, вздовж якої розташовані атоми. Такий ланцюжок можна трактувати як струну. Якщо кінці ланцюжка закріплені, то основне коливання, що відповідає найменшій частоті, відповідає виникненню стоячої
12
хвилі з вузлами на кінцях. Очевидно, що найменша довжина хвилі minλ відповідає стоячій хвилі, вузли якої співпадають з сусідніми
атомами: min
2aλ
= .
Частоту maxω , що відповідає цій довжині хвилі можна визначити зі співвідношення:
maxmin
2 va
π πω = =
λv ,
де v – швидкість розповсюдження хвиль (звука) в ланцюжку. Максимальна частота, яка обмежує спектр нормальних коливань у тримірному кристалі визначається зі співвідношення
1/32
D 6 NV
ω = π v ,
де V – об’єм кристала. В твердих тілах можуть розповсюджуватись три хвилі: одна повздовжня і дві поперечні із взаємно ортогональними поляризаціями. Швидкості їх розповсюдження дещо відрізняються, тому використовують поняття середньої швидкості.
Частота Dω називається характеристичною частотою Дебая. Температура
DD
kω
Θ = ,
де k – стала Больцмана, називається характеристичною температурою Дебая, яка визначається природою речовини. При температурі Дебая у кристалі збуджується увесь спектр нормальних коливань. Подальше підвищення температури вже не може викликати появу нових нормальних коливань. Дія температури зводиться до збільшення ступеню збудження кожного нормального коливання, що призводить до росту середньої енергії коливань. Число нормальних коливань, що припадає на спектральний інтервал dω можна визначити за формулою:
2
3( ) 9
D
g N ωω =
ω.
13
Внутрішня енергія кристала визначається як
0
( )D
U g dω
= < ε > ω ω∫ .
Молярна внутрішня енергія кристала в квантовій теорії Дебая визначається як
3 / 3
00
3exp( ) 1
D T
m mD
T xU U RT dxx
Θ = + ⋅ ⋅ Θ −
∫ ,
де 032m DU R= Θ – молярна нульова енергія кристала за Дебаєм.
Молярна теплоємність кристала за Дебаєм 3 / 3
0
3 /3 12exp( ) 1 exp( / ) 1
D TD
mD D
TT xC R dxx T
Θ Θ = − Θ − Θ −
∫
або ( )
3 / 4
20
exp( )9exp( ) 1
D T
mD
T x xC R dxx
Θ = ⋅ Θ −
∫ .
В області низьких температур молярна теплоємність (граничний закон Дебая):
Cm = 12/5 π4 R (T / ΘD)3 = 234 R(T / ΘD)3 , (T << ΘD).
Ця залежність у багатьох випадках відповідає експериментальним даним. В області високих температур теплоємність, обчислена за Дебаєм, 3mC R= , що співпадає із законом Дюлонга і Пті.
Теплота, необхідна для нагрівання тіла 2
1
,T
mT
mQ C dTM
= ∫
де m – маса тіла; M – молярна маса; 1T і 2T – початкова і кінцева температури тіла.
Роль електронного газу в теплоємності кристала. В металах (на відміну від діелектриків) окрім іонів, що утворюють ґратку і здійснюють коливання відносно положення рівноваги, є вільні електрони, кількість яких приблизно така сама, як і кількість атомів.
14
Тому теплоємність металів повинна складатись із теплоємності ґратки і теплоємності електронного газу.
Середня енергія електронів в металі за температури, відмінної від абсолютного нуля
223 5(0) 1
5 12 (0)FF
kT π < ε >= ε + ε
,
де (0)Fε – енергія Фермі за температури 0T = . Молярна теплоємність електронного газу
2
2 (0)m el AF
kTC N RT
∂ < ε > π= =
∂ ε.
За нормальних температур відношення 1(0)F
kTε
, тобто
теплоємність електронного газу незначна порівняно з теплоємністю ґратки. Електронний газ в металах є виродженим, участь у тепловому русі бере невелика кількість електронів – лише ті електрони, енергія яких лежить поблизу рівня Фермі. Інші електрони теплоту не поглинають. У цьому випадку теплоємність метала в цілому практично дорівнює теплоємності його ґратки. В області низьких температур теплоємність гратки зі зниженням температури спадає пропорційно 3T , а теплоємність електронного газу пропорційно T . Внаслідок цього поблизу абсолютного нуля теплоємність електронного газу може бути вища за теплоємність ґратки.
Напівпровідники
Власні напівпровідники Структура енергетичних рівнів напівпровідників показана на рис. 4а. Ймовірність заповнення електронами енергетичних рівнів так само як і в металах визначається функцією Фермі ( )f ε . Графік ( )f ε показано на рис. 4б. Густина електронних рівнів ( )z ε , тобто кількість станів на одиницю енергії, залежить від відстані ε∆ енергетичних рівнів до краю зони (рис. 4в) як
15
1/2( )z ε ∆ε∼ . Енергія носіїв заряду відраховується від краю зони. Енергія носія у валентній зоні збільшується в глибину валентної зони.
Розподіл електронів за енергіями визначається добутком густини електронних рівнів на функцію Фермі (для 0T > рис. 4г)
( ) ( )dn z fd
ε εε∼ .
При T = 0 К функція Фермі ( ) 1f ε = для всіх значень енергії електронів менших за енергію Фермі. Найвища з заповнених зон – валентна зона – повністю заповнена. Рівень Фермі для напівпровідника без домішок знаходиться приблизно посередині забороненої зони. В валентній зоні електрони рухаються хаотично, переходячи тунельно від атома до атома без зміни енергії.
В електричному полі рух електрона супроводжується обов’язковою зміною енергії. Передача енергії полем має відбуватись безперервно, тобто дуже малими порціями. Електрон, що знаходиться у повністю заповненій зоні, не може її сприйняти, бо немає близько розташованих вільних рівнів. Отже, при абсолютному нулі речовина не проводить електричний струм. З підвищенням температури функція Фермі змінюється. Як видно з кривої ( )f ε , у цьому випадку виникає ймовірність термічного збудження в зону провідності ( ( ) 0f ε > ) і появу вільних рівнів у валентній зоні біля її вершини ( ( ) 1f ε < ). У результаті в зоні провідності з’являються електрони. При включенні зовнішнього електричного поля на рух електронів додатково впливає електромагнітне поле кристалічної ґратки. Математично такий рух можна описати як рух вільного електрона зі
а) б) в) г) Рис. 4.
16
зміненою масою, так званою ефективною масою електрона nm , яка може бути як більше, так і менше маси вільного електрона. У валентній зоні одночасно виникає така ж кількість вакантних місць завдяки переходу електронів у зону провідності. Можливим стає і протікання струму по валентній зоні. Це так звана «діркова» електропровідність. Щоб зрозуміти, що таке дірка, уявімо таку модель: на місці вакансії у валентній зоні подумки помістимо пару – позитивний і негативний елементарні заряди. Загальну картину це не змінить, бо вони компенсують одне одного. Електрони валентної зони плюс уявний негативний заряд утворюють повністю заповнену зону, що не проводить електричного струму. При включенні поля струм буде обумовлений рухом вільних позитивних зарядів, так званих «дірок». Математичний розрахунок електропровідності по вершині валентної зони дає від’ємне значення ефективної маси електронів. Тобто система поводить себе так, наче носіями струму є негативні частинки з від’ємною масою, що еквівалентно позитивним частинкам з додатною масою, тобто «дірками». Концентрація електронів дорівнює концентрації дірок у напівпровіднику без домішок – власному напівпровіднику
( )3/222 2 exp( 2 )i i n p зn p m m kT h E kT= = π −∆ .
де nm , pm – ефективні маси електронів та дірок відповідно, h – стала
Планка, зE∆ – ширина забороненої зони, k – стала Больцмана, T – абсолютна температура. Питома провідність власного напівпровідника складається з електропровідності електронів −σ та дірок +σ :
( )i n pen u u− +σ = σ + σ = + ,
де e – елементарний заряд, in – концентрація носіїв, nu та pu –
рухливості електронів та дірок відповідно. Питома провідність власних напівпровідників визначається як
з0 exp
2EkT∆ σ = σ −
де 0σ –коефіцієнт, що слабко залежить від температури.
17
Провідність найбільше визначається температурною залежністю концентрації. Рухливість носіїв змінюється з температурою менше (обернено пропорційно 3/2T ). Зі збільшенням температури провідність напівпровідників, на відміну від провідників, зростає.
Речовину ідеально чисту від домішок, з ідеальною структурою створити неможливо. Завжди в ній є якісь домішки природного походження, або штучно введені, також мають місце природні порушення структури кристалічної ґратки, а іноді і спеціально створені, наприклад, шляхом опромінення речовини швидкими мікрочастинками. Іонізація домішок, або перехід носіїв із зони дефекту відбувається значно легше, ніж зон-зонний перехід.
Напівпровідники n-типу Широко використовуються такі напівпровідники як германій та
кремній, атоми яких мають на зовнішній оболонці по чотири електрони. Утворюючи кристалічну ґратку, вони вступають у
ковалентний зв'язок з чотирма сусідніми атомами. Якщо ввести домішку 5-валентного елемента, наприклад фосфору чи миш’яку (арсену), то п’ятий електрон домішки досить легко переходить у зону провідності, перетворюючи атом у позитивний іон. У результаті виникає напівпровідник з електронним типом провідності, в якому концентрація електронів набагато більша, ніж концентрація дірок (так званий напівпровідник n–типу). Енергетична схема напівпровідника n–типу наведена на рис. 5.
Для низьких температур, коли зон-зонний перехід носіїв незначний, концентрація електронів визначається
3/2
2
22 exp2
n дд
m kT En Nh kT
π ∆ = −
,
Рис. 5.
18
де дN – концентрація атомів донорної домішки , дE∆ – різниця енергій між рівнем дна зони провідності та донорним рівнем – енергія активації напівпровідника n–типу. У напівпровіднику n–типу значно зменшується концентрація дірок p , бо сталою величиною за даної температури є їх добуток:
i inp n p= . (2) Питома провідність напівпровідників n–типу визначається
0 exp2
дn n
EkT∆ σ = σ −
.
Напівпровідники p–типу Якщо в кремній або германій увести домішку тривалентного елемента, наприклад бор (B) або алюміній (Al), то домішка досить легко захопить електрон від сусідів, перетворюючись у негативний іон. При цьому в валентній зоні виникає дірка. Акцепторна домішка
створює напівпровідник з дірковою електропровідністю (напівпровідник p–типу). Енергетична схема для нього наведена на рис. 6.
Концентрація носіїв та електропровідність визначається за формулами
3/2
2
22 exp
2p а
а
m kT Ep Nh kT
π ∆ = −
,
0 exp2
аp p
EkT∆ σ = σ −
,
де аN – концентрація атомів акцепторної домішки , аE∆ – різниця енергій між акцепторним рівнем та верхнім рівнем валентної зони – енергія активації напівпровідника p–типу.
У напівпровіднику p–типу p n>> , in n<< як видно з (2). При наявності в напівпровіднику і донорних, і акцепторних
домішок з приблизно однаковою енергією активації тип електропровідності визначається домішкою з більшою концентрацією, величина електропровідності – різницею
Рис. 6.
19
концентрацій. Наприклад: концентрація донорів 7·1014 см-3, концентрація акцепторів 2·1014 см-3. Це напівпровідник донорного типу з концентрацією електронів, що визначається 5 ·1014 см-3.
Нерівноважні носії. Окрім теплового збудження можливі й інші способи генерації вільних носіїв в напівпровідниках: під дією світла, іонізуючих частинок, введення (інжекції) їх в контакт. Дія таких агентів призводить до появи додаткових вільних носіїв. Їх називають також нерівноважними носіями. Повна концентрація носіїв буде
0n n n= + ∆ , 0p p p= + ∆ , де 0n , 0p – концентрація рівноважних носіїв, n∆ , p∆ – концентрація нерівноважних носіїв. Процес генерації носіїв характеризують швидкістю генерації, яка дорівнює числу носіїв (або пар носіїв), які щосекундно збуджуються в одиниці об’єму напівпровідника. Кожен нерівноважний носій, який виникнув в напівпровіднику, «живе» в ньому обмежений час до своєї рекомбінації (зникнення при зустрічі з носіями іншого типу ). Припустимо, що під дією світла в напівпровіднику збуджуються додаткові надлишкові носії з концентрацією 0 0n p∆ = ∆ . Після вимкнення світла ці носії будуть рекомбінувати і їх концентрація буде поступово зменшуватися
0 exp( / )nn n t∆ = ∆ − τ , 0 exp( / )pp p t∆ = ∆ − τ ,
де nτ , pτ – середній час життя електронів та дірок відповідно.
Виділення надлишкової енергії може відбуватися у вигляді кванта світла або тепла (фононів). Як правило випромінювання фотонів відбувається для напівпровідників з вузькою забороненою зоною при відносно високих температурах (кімнатній і вище). Для напівпровідників з широкою забороненою зоною перехід, як правило, відбувається без випромінювання через домішкові рівні. Але за деяких умов і для деяких напівпровідників (наприклад, арсенід галію) і в цьому випадку можна досягти високого рівня випромінювальної рекомбінації (в GaAs до 50%). Тому арсенід галію є основним матеріалом для виготовлення світлодіодів і джерел когерентного випромінювання (лазерів).
20
Температурна залежність електропровідності Температурна залежність електропровідності визначається в основному температурною залежністю концентрації, бо рухливість змінюється з температурою значно менше.
Приблизний графік температурної залежності в координатах показано на рис. 7. Ділянка ab відповідає домішковій електропровідності. За кутом нахилу прямої можна визначити енергію активації домішки, тобто її положення в забороненій зоні:
1 дtg Eα ∼ . З підвищенням температури
концентрація іонізованих домішок збільшується, вони майже всі стають іонізованими і концентрація домішкових носіїв струму вже не збільшується з температурою – ділянка bc′. У випадку, коли помітне зменшення рухливості, реалізується ділянка bc. Власній електропровідності відповідає високотемпературна ділянка cd. За нахилом цієї прямої можна визначити ширину забороненої зони
2 зtg Eα ∼ . Випадок bc′′ відповідає переходу до власної електропровідності, коли домішкові рівні ще не виснажені. Рівень Фермі з підвищенням температури зміщується і в області cd знаходиться посередині забороненої зони.
Контакт двох напівпровідників (p–n перехід)
Якщо щільно з’єднати між собою напівпровідники p і n типів, через границю розділу між ними почнеться дифузійний перехід: електронів з n- в p- область, а дірок з p- в n- область. При цьому напівпровідник n-типу зарядиться позитивно, а напівпровідник p-типу – негативно. Носії, що перейшли, рекомбінують з носіями протилежного знаку. По обидві сторони границі утворюються заряджені іонами домішок шари напівпровідника, в якому відсутні
Рис. 7.
21
носії струму. Обумовлена зарядами домішок, створюється контактна різниця потенціалів. Електричне поле протидіє переходу основних носіїв і сприяє переходу неосновних. Енергетичні зони будуть вигинатися, аж поки в стані рівноваги рівні Фермі обох напівпровідників не зрівняються (рис. 8). При цьому протилежно напрямлені струми основних і неосновних носіїв є рівними:
неосн оснI I= , де неоснI , оснI – сили струму неосновних та основних носіїв відповідно.
Струм неосновних носіїв визначається термічною генерацією в шарі, рівному довжині дифузії і практично не залежить від напруги, а струм основних – переходом носіїв над бар’єром, створеним контактною різницею потенціалів
0U і змінюється за експоненціальним законом
0осн exp eUI
kT −
∼ .
Якщо подати на напівпровідник n-типу «+», а на напівпровідник p-типу «–», то це збільшить потенціальний бар’єр, зменшивши практично до нуля струм основних носіїв. Струм неосновних носіїв залишиться малим і практично незмінним. Це зворотній напрямок струму. У випадку прямої напруги, – на напівпровідник n-типу «–», а на напівпровідник p-типу «+», – величина бар’єра зменшиться,
струм виросте в exp eUkT
разів.
У загальному випадку сила струму в p-n-переході визначається за формулою
0[exp( ) 1],eUI IkT
= ± −
де 0I – граничне значення сили струму; U – зовнішня напруга,
Рис. 8.
22
прикладена до p-n-переходу. Знак “+ “ відповідає напрузі U , прикладеній у прямому напрямку, знак “ – “ – у зворотному.
Відношення струмів прямого і зворотного напрямків порядку 109 разів. Тобто p-n перехід має односторонню провідність.
Створити p-n перехід неможливо простим механічним притискуванням зразків напівпровідників різного типу провідності. Одним із методів є сплавлення. Наприклад кристал германію Ge n-типу з таблеткою індію нагрівають при температурі 500 – 600 оС в атмосфері водню або інертного газу. Індій розплавляється і розчиняє германій. Створюється в області розплаву Ge шар p-типу, який на границі розплаву і створює p-n перехід. Інші методи – дифузія або метод іонного легування, коли напівпровідник за допомогою пучка іонів легують домішкою, що створює провідність іншого знака.
Якщо верхній шар напівпровідника на p-n переході дуже тонкий, то освітлення його і крізь нього – області p-n переходу, породжує виникнення фотоелектронів за рахунок зон-зонного переходу. Вони суттєво змінюють концентрацію неосновних носіїв поблизу переходу, різко збільшуючи струм, обумовлений неосновними носіями. Це порушує попередню рівновагу, зменшуючи контактну різницю потенціалів. Це зменшення і оцінюється як виникнення фотоелектрорушійної сили (фото е.р.с.).
Емісійні явища
Робота виходу
Робота виходу електронів з металу. Додатні іони, що створюють кристалічну ґратку метала, створюють всередині нього електричне поле з додатнім потенціалом, яке періодично змінюється вздовж прямої, що проходить крізь вузли ґратки. В грубому наближенні цією зміною можна знехтувати і вважати потенціал у всіх точках металу однаковим і рівним 0U . Вільний електрон, що знаходиться в такому полі, має від’ємну потенціальну енергію
0 0–W eU= .
23
При переході електрона з вакууму в метал його потенціальна енергія зменшується на 0eU . Ця зміна відбувається на відрізку 0δ (рис. 9), за порядком величини рівним параметру кристалічної ґратки. Таким чином, для електрона метал є потенціальною ямою, вихід із якої потребує виконання роботи.
Якби електрони не мали кінетичної енергії, то робота, необхідна для їх звільнення, становила б 0eU . Але навіть при абсолютному нулі 0 KT електрони мають кінетичну енергію, заповнюючи енергетичні рівні від дна потенціальної ями до рівня Фермі. Найменша робота здійснюється при видаленні електронів, що знаходяться на рівні Фермі. Для них вона
рівна відстані від рівня Фермі до нульового рівня вих 0 – FA eU= ε .
Цю величину називають роботою виходу електрона. За інших значень температури роботу виходу так само визначають як різницю глибини потенціальної ями і енергії Фермі. Робота виходу електронів з напівпровідника. В напівпровіднику для того, щоб видалити електрон із зони провідності, з домішкових рівнів та з валентної зони потрібно виконати різну роботу. Найменша робота потрібна для видалення електрона із зони провідності. Але вихід таких електронів буде призводити до порушення термодинамічного стану, який може бути відновлений за рахунок переходу електронів в зону провідності з домішкових рівнів та з валентної зони. Такий перехід здійснюється частково за рахунок внутрішньої енергії кристалу, внаслідок чого кристал охолоджується. При видаленні електронів з валентної зони рівновага відновлюється за рахунок переходу в цю зону електронів із зони провідності. Це супроводжується виділенням енергії і призводить до нагріву кристалу. Тільки одночасне видалення електронів з рівнів вище і нижче рівня Фермі в такому співвідношенні, щоб їх середня енергія дорівнювала б рівню Фермі,
Рис. 9.
24
не призводить до зміни температури напівпровідника і порушення рівноваги системи. Тому і для напівпровідників за роботу виходу приймають відстань від рівня Фермі до нульового рівня.
Рівень Фермі залежить від температури. Крім того, внаслідок теплового розширення трохи змінюється міжатомна відстань, відповідно змінюється глибина потенціальної ями. Це призводить до того, що робота виходу виявляється трохи залежною від температури. Робота виходу також залежить від стану поверхні. Підібравши належним чином покриття поверхні можна значно знизити роботу виходу.
Для монокристала робота виходу помітно залежить від того, яка площина кристалічної ґратки є поверхнею. Наприклад, для вольфраму величина роботи виходу може змінюватись від 4 до 6 еВ для різних граней. Для полікристала вона становить 4,5 еВ.
Явище виходу електронів з металу називають емісією. Типи електронної емісії розрізняють в залежності від того, у який спосіб надавати електронам енергію. Емісія електронів може відбуватися внаслідок теплового руху електронів – термоелектронна емісія, фотоелектронна – емісія під дією світла, що падає на метал, вторинна – емісія при бомбардуванні поверхні металу електронами або іонами, автоелектронна – емісія внаслідок дії електричного поля.
Термоелектронна емісія
Емісію, зумовлену тепловим рухом електронів, називають термоелектронною. Електрони в металах, перебуваючи у тепловому русі, розподілені за енергіями так, що при довільній температурі завжди є електрони з енергією достатньою для того, щоб вийти з металу (виконати роботу виходу). Такі електрони утворюють над поверхнею металу електронну хмару. Вилітаючи з металу, вони віддаляються від поверхні доти, доки кулонівська взаємодія з надлишковим позитивним зарядом, що виникає у місці, який полишив електрон, не примусить його повернути у зворотній бік. Електронна хмара над поверхнею метала разом з поверхневим шаром позитивних іонів утворює подвійний електричний шар, подібний до плоского конденсатора. Взаємодія електронів з іонами всередині
25
провідника і в межах подвійного шару протидіє виходу електронів із металу.
Для спостереження термоелектронної емісії можна використати порожнисту лампу, що містить два електроди: катод – емітер електронів, що розжарюється струмом, і анод – холодний електрод, що збирає термоелектрони. Такі лампи називаються вакуумними діодами.
Вольтамперна характеристика вакуумного діоду показана на рис. 10. Вона має нелінійний характер. Ділянка ( )a aI U при від’ємних значеннях напруги показує, що електрони мають достатню енергію щоб досягнути анод і без поля, коли 0U = , і навіть при гальмівній дії поля, де U від’ємне. На ділянці помітного
зростання струму має місце закон Богуславського-Ленгмюра (закон 3/2)
3/2I BU= . Коефіцієнт B залежить від форми і розмірів електродів і не залежить
від температури. Для плоского діода 02
4 29 e
S eBd mε
= , де S – площа
поверхні катода (анода), d – відстань між катодом і анодом, e , em – заряд і маса електрона. На цій ділянці біля поверхні метала ще існує електронна хмара, що гальмує електрони. Зі збільшенням анодної напруги концентрація електронів просторового заряду зменшується, термоелектричний струм зростає. При подальшому збільшенні напруги струм досягає максимального значення, яке називають струмом насичення. Густина струму насичення визначається формулою Річардсона – Дешмена
2нас вих· exp( / )j D Т A kT= − ,
де D – емісійна стала, k – стала Больцмана. За теорією стала D повинна бути однакова для всіх металів ( 6 2 1,2·10 А/(м ·К)D= ), але експериментальні значення набагато менші теоретичних і значно
Рис. 10.
26
відрізняються для різних металів (так, для вольфраму 6 2 0,602·10 А/(м ·К)D= ).
При підвищенні температури збільшується швидкість хаотичного руху електронів у металі. При цьому число електронів, здатних покинути метал, стрімко зростає, відповідно збільшується і густина струму насичення. Густина струму насичення характеризує емісійну здатність катода, яка залежить від його природи і температури.
Фотоелектронна емісія (зовнішній фотоефект)
Зовнішній фотоефект – це випромінювання тілом електронів під дією світла. Прилад для спостереження фотоефекта являє собою вакуумну колбу з двома електродами: катод – пластинка, або спеціальна плівка, яка випромінює електрони при освітленні, анод – як правило у вигляді металевої рамки, яка приймає ці електрони.
Фотоефект виникає у випадку непружного зіткнення фотона з електроном. У процесі зіткнення фотон поглинається, а його енергія передається електрону. Формула Ейнштейна для фотоефекту:
hν = Aвих + Tmax , де hν – енергія фотона, що падає на поверхню металу, h – стала Планка; Авих – робота виходу електрона; Tmax – максимальна кінетична енергія фотоелектрона. Щоб оцінити максимальну кінетичну енергію електрона з зарядом е, прикладають затримуючу різницю потенціалів Uз: e Uз = Tmax.
Закони фотоефекту можна сформулювати таким чином: 1. Струм насичення пропорційний інтенсивності освітлення. 2. Затримуюча різниця потенціалів лінійно залежить від частоти
і не залежить від інтенсивності світла в досить широких межах. 3. Існує червона межа фотоефекту, тобто мінімальна частота,
при якій фотоефект ще можливий: ν0 = Aвих / h; 4. Зовнішній фотоефект практично безінерційний – час між
поглинанням світла і вилітом електрона порядку 10–12 с.
27
Завдяки створенню сучасних потужних джерел електромагнітного випромінювання – лазерів, стало можливим спостерігати багатофотонний фотоефект, тобто випромінювання електрона за рахунок одночасного поглинання атомом речовини кількох фотонів
Nhν = Aвих + Tmax, де N – кратність поглинання фотонів.
Вторинна емісія Під час бомбардування поверхонь твердих тіл та рідин пучком електронів спостерігається вторинна емісія. Електрони, що падають на поверхню, називаються первинними, а вибиті – вторинними. Розподіл вторинних електронів за енергіями утворює неперервний спектр від нуля до енергії первинних електронів. До вторинних електронів входять пружно і непружно відбиті вторинні електрони та вибиті вторинні електрони, тобто електрони речовини емітера, які отримали від первинних електронів енергію, достатню для виходу з емітера в вакуум. Найбільш імовірна енергія таких електронів становить 2 – 4 еВ для металів і близько 1 еВ для діелектриків. Кількісно таку емісію характеризують коефіцієнтом вторинної емісії – відношенням кількості вторинних електронів n до кількості первинних електронів 0n :
0/n nγ = = δ + η+ ρ , де δ – коефіцієнт справжньої вторинної емісії, η і ρ – коефіцієнти
відповідно непружного і пружного відбиття електронів. Коефіцієнт вторинної емісії практично не залежить від температури. Зі збільшенням кінетичної енергії первинних електронів Ep коефіцієнт γ спочатку зростає, досягає максимального значення, потім зменшується (рис. 11 для сурмяно-цезієвого (1), мідно-берилієвого (2), срібного (3) і мідного (4)
емітерів). Рис. 11.
28
Якщо первинний електрон наблизиться до електрона атома на досить малу відстань, то останній перейде на більш високий збуджений енергетичний рівень, вищий від рівня Фермі. Це так звані внутрішні вторинні електрони. Такі електрони з деякою імовірністю можуть залишити тверде тіло і стати вторинними, якщо вони виникли біля поверхні твердого тіла і мають імпульс, напрямлений до поверхні. Якщо вторинні електрони виникли досить далеко від поверхні тіла, то їх вихід з тіла не відбудеться. Цим можна пояснити зменшення γ для випадку високих енергій первинних електронів Ep>Epmax. У металах, де досить висока концентрація електронів провідності, вторинні електрони зазнають досить частих зіткнень з ними, швидко передають свою енергію електронам провідності і мають малу імовірність вийти назовні. Тому для більшості металів коефіцієнт γ не перевищує 2. Унаслідок малої концентрації вільних електронів у напівпровідниках і діелектриках для них коефіцієнт вторинної емісії значно більший. Явище вторинної емісії лежить в основі дії електронних помножувачів, які призначені для підсилення слабких електричних струмів. За допомогою таких підсилювачів можна отримати коефіцієнт підсилення первинного струму близько 105–107. Електронні помножувачі застосовуються для реєстрації елементарних частинок (сцинтиляційний лічильник), реєстрації слабких світлових потоків, навіть окремих фотонів (фотопомножувачі).
Автоелектронна емісія (холодна або польова) Автоелектронна емісія спостерігається, якщо створити біля
поверхні метала напруженість електричного поля порядку 4·106 – 2·107 В/см. Цього можна досягнути при реальних напругах в декілька кіловольт, виготовивши емітер (катод) у вигляді вістря з радіусом кривизни на кінчику порядку 0,5 мкм і розмістивши його в центрі вакуумної колби, покритої зсередини провідною плівкою (анод). Тоді при напрузі порядку 3÷5 кВ біля поверхні вістря напруженість стане достатньою, щоб емітувати електрони, що викличе в колі появу струму.
29
Явище автоелектронної емісії обумовлено тунельним ефектом, тобто здатністю мікрочастинок проходити крізь потенціальний бар’єр тунельно, без зміни енергії, навіть тоді, коли висота потенціального бар’єру більша за повну енергію частинки. Це чисто квантово-механічне явище.
Прозорість потенціального бар’єру (імовірність проходження крізь бар’єр) експоненційно зменшується зі збільшенням ширини бар’єра
Хід потенціальної енергії W біля поверхні метала при зовнішній напруженості електричного поля, напрямленої до поверхні, схематично показано на рис. 12. Крива 1 визначає залежність енергії електрона від відстані до поверхні метала, якщо зовнішнього
поля немає. Чим більша напруженість електричного поля E , тим вужчим стає бар’єр і більшою стає прозорість (див. рис. 12, криві 2 і 3, 3 2E E> ). При усередненні по енергіях електронів прозорість
0 0exp( / )D D E E< >= − і струм холодної емісії
0 0( ) exp( / )I E I D A E E= < >= − , де 0D , 0I , A , 0E – константи, що залежать від того, який метал використано.
Контактні і термоелектричні явища.
Контакт двох металів
У разі дотикання двох металів між ними утворюється різниця потенціалів, яка називається контактною. Вона обумовлена тим, що при дотиканні металів частина електронів з одного метала переходить в другий.
Рис. 12.
30
Зовнішня контактна різниця потенціалів. Припустимо, що рівень Фермі лежить у другому металі вище ніж у першому (тобто
робота виходу вих 2 вих1A A< ). При утворенні контакту між металами електрони з високих рівнів у другому металі переходять на більш низькі вільні енергетичні рівні першого метала. При цьому перший метал заряджається негативно, а другий – позитивно (рис. 13). Поява цих зарядів призводить до зміщення енергетичних рівнів: у провіднику 1,
зарядженому негативно, енергетичні рівні зміщуються вгору, а в зарядженому позитивно провіднику 2 – вниз (оскільки заряд електрона негативний, потенціал метала і потенціальна енергія у ньому мають різний знак). Зміщення відбувається доти, доки рівні Фермі не будуть знаходитись на однаковій висоті. Виникає різниця потенціалів 12eU між точками, що лежать зовні металів поблизу поверхонь, що контактують, яку називають зовнішньою контактною різницею потенціалів
12 вих 2 вих1( – ) /eU A A e= , де e – елементарний заряд.
Внутрішня контактна різниця потенціалів. Концентрації електронів у першому і другому металі неоднакові. Відрізняються і кінетичні енергії електронів на рівнях Фермі першого і другого
металів. При Т = 0 K енергія Фермі 2 2 2/3
2/3
23
Fem e
nπ ε = π (див.
формули див. форм. (1) на сторінці 6). Якщо 1 2F Fε > ε , виникає дифузійний потік, напрямлений з першого метала в другий. Між внутрішніми точками металів виникає додаткова різниця потенціалів
12iU . З часом між електронними газами настає стан динамічної рівноваги, тоді внутрішня контактна різниця потенціалів
12 2 1( – ) /i F FU e= ε ε .
Рис. 13.
31
Повна контактна різниця потенціалів дорівнює алгебраїчній сумі зовнішньої і внутрішньої складових 12 12 12K e iU U U= + . Після підстановки в цю формулу виразів 12eU і 12iU та з урахуванням, що Т = 0 K
2 2 2/3вих2 вих1 2/3 2/3
12 2 13
2( )K
e
A AU n nm ee
−= + −
π π
.
Приклад. Метали мідь і залізо приводять у контакт один з одним за температури Т = 0 К. Як зміниться концентрація електронів у металах? Оцінити, наскільки зміниться концентрація електронів провідності в залізі, якщо контактний шар уявити як плоский конденсатор. Для оцінки взяти товщину контактного шару d = 3⋅10-10 м.
Зовнішня контактна різниця потенціалів FeCu вих Fe вих Cu
( ) / 4,36 – 4,47 0,11 ВeU A A e= − = = − .
Для визначення внутрішньої контактної різниці потенціалів знайдемо концентрацію електронів в металах
n = Vρ ΝA /Μ , де V, ρ, Μ – відповідно валентність, густина і молярна маса метала, ΝA – стала Авогадро.
Концентрація електронів міді і заліза 3 23
29 3Cu 3
1 8,9 10 6,022 10 0,833 10 1/м64 10
n −⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= = ⋅⋅
,
3 2329 3
Fe 32 7,8 10 6,022 10 1,6776 10 1/м
56 10n −
⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = ⋅
⋅.
Енергія Фермі 2/32/32 2 34 2 29
Cu30 19Cu
3 (3,14 1,05 10 ) 3 0,833 102 2 0,911 10 1,6 10 3,14F
nm ee
−
− −
π ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ε = = = π ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 19 203,729 10 0,185 10 6,89 еВ−= ⋅ ⋅ ⋅ = ,
2/32/32 2 34 2 29Fe
Fe 30 19
3 (3,141,0510 ) 31,6776 102 2 0,91110 1,6 10 3,14F
e
nm e
−
− −
π ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ε = = = π ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 19 203,729 10 0,295 10 11,0 еВ−= ⋅ ⋅ ⋅ = .
Внутрішня контактна різниця потенціалів FeCu Fe Cu( ) / 11,0 – 6,89 4,11 еВi F FU e= ε − ε = =
Повна контактна різниця потенціалів FeCu FeCu FeCu 0,11 4,11 4,00 еВK e iU U U= + = − + =
32
Оскільки контактна різниця потенціалів додатна, то перший метал зарядиться позитивно, а другий негативно. Якщо метал уподібнити плоскому конденсатору, то заряд на обкладинках визначається як
Kq C U= ⋅ , де ємність 0е /C S d= , –12
0е =8,85 10 Ф/м⋅ – електрична стала, S – площа контактного шару, d – товщина контактного шару в обох провідниках. Зміна концентрації у першому металі
01
1 1
е Kq UnSd e dd e
∆ = = ,
де 1d – товщина контактного шару в провіднику
Якщо для оцінки взяти 101, ~ 3 10 мd d −⋅ , то зміна концентрації
Fe: 12
0 27 32 10 10 19
е 8,85 10 4 2,46 10 1/м3 10 3 10 1,6 10
KUnd e
−
− − −
⋅ ⋅∆ = = = ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅.
Зміна концентрації електронів у контактному шарі невелика
(порядку кількох відсотків) порівняно з концентрацією електронів у металі. Отже, контакт двох металів пропускає електричний струм так само, як і сам метал. Сила струму не залежить від напряму проходження струму крізь контакт.
Контакт метала з напівпровідником.
В цьому випадку так само, як і у випадку контакту двох металів, електрони переходять крізь контакт доки рівні Фермі не зрівняються. Якщо робота виходу метала менша від роботи виходу напівпровідника м пA A< , то електрони переходять із метала в напівпровідник. У випадку коли м пA A> – з напівпровідника в метал. Між металом і провідником утворюється подвійний електронний шар і встановлюється контактна різниця потенціалів KU , порядок величини якої такий самий як і для випадку двох металів (кілька вольтів). Концентрація електронів у напівпровіднику на кілька порядків менше, ніж концентрація електронів у металі (наприклад для германію з домішкою донорних атомів концентрація електронів ~1021 м-3). Внаслідок цього товщина контактного шару d в напівпровіднику значно більша за довжину вільного пробігу електронів
33
0
0
2е е KUden
= ,
де 0n – концентрація основних зарядів в напівпровіднику, е – діелектрична проникність напівпровідника. Оцінки дають значення
7~ 5 10 мd −⋅ , що приблизно на три порядки перевищує міжатомну відстань. Дія контактного поля зводиться до паралельного викривлення енергетичних зон напівпровідника по всій товщині контактного шару (див. рис. 14).
Тут можливо чотири випадки: 1) Контакт метала з
напівпровідником n-типу за умови м nA A> . Електрони в зоні
провідності напівпровідника мають більшу енергію і переходять з напівпровідника в метал.
Внаслідок цього контактний шар напівпровідника збіднюється на основні носії – електрони і набуває позитивного заряду. Потік електронів крізь контактну поверхню «вимиває» практично всі електрони провідності з контактного шару напівпровідника. У випадку руху електрона з напівпровідника в метал його потенціальна енергія зростає набуваючи максимального значення на контактній поверхні з металом, на електрон діє сило, що намагається його виштовхнути з контактного шару. Провідність контактного шару напівпровідника значно знижується порівняно з рештою об’єму напівпровідника. Такий контактний шар називається запірним шаром.
Рис. 14.
34
2) Контакт метала з напівпровідником n–типу за умови м nA A<
(рис. 15а). В цьому випадку електрони переходять із метала в напівпровідник і утворюють в контактному шарі напівпровідника негативний об’ємний заряд. При переміщенні електронів з напівпровідника до контактної поверхні енергія електрона не збільшується, а навпаки зменшується. Внаслідок цього провідність контактного шару збільшується порівняно з провідністю напівпровідника.
3) Контакт метала з напівпровідником p–типу за умови м pA A<
(рис. 15б). В цьому випадку електрони переходять з металу на акцепторні рівні та рівні валентної зони напівпровідника. Внаслідок цього зменшується концентрація основних носіїв – дірок у валентній зоні. В цьому разі дуже знижується провідність контактного шару і він стає запірним. 4) Під час контакту метала з напівпровідником p-типу за умови
м pA A> (рис. 15в) з напівпровідника в метал переходять електрони,
які до утворення контакту були зв’язані з акцепторними атомами. Звільнені місця на акцепторних рівнях займають інші електрони, які переходять з валентної зони. У контактному шарі напівпровідника збільшується концентрація основних носіїв позитивного заряду – дірок, що зумовлює підвищення провідності контактного шару порівняно з провідністю решти об’єму провідника. Запірний контактний шар має однобічну провідність, що пояснюється залежністю його опору від напряму зовнішнього електричного поля відносно напряму поля всередині контакту. Якщо
Рис. 15.
35
напрями зовнішнього і контактного полів протилежні, товщина запірного шару зменшується, відповідно зменшується його опір і крізь контакт метал – напівпровідник проходить електричний струм. Цей напрям зовнішнього поля називають пропускним. Для контакту метал – напівпровідник n-типу ( м nA A> ) пропускним є напрям струму з металу в напівпровідник, а для контакту метала з напівпровідником p-типу ( м пA A< ) – із напівпровідника в метал. У випадку контакту метал – напівпровідник n-типу ( м nA A< ) або метал – напівпровідник p-типу ( м pA A> ) запірний шар не
створюється. Такі контакти використовують для влаштування омічних контактів при підключенні напівпровідникових пристроїв.
Термоелектричні явища
Ефект Зеєбека полягає в тому, що в колі, що складається з двох різнорідних провідників виникає електрорушійна сила TU , якщо контакти цих провідників підтримувати при різних температурах 1T і
2T . Коефіцієнт пропорційності
TdUdT
α =
називають диференціальною термо-е.р.с. Він залежить від природи провідників і температури. Об’ємна складова термо-е.р.с. – характеризує виникнення напрямленого потоку носіїв в провіднику за наявності градієнта температури. Носії стуму, зосереджені на гарячому кінці, мають більшу енергію і більшу швидкість руху порівняно з носіями на холодному кінці. Тому в провіднику від гарячого кінця до холодного встановлюється потік носіїв струму, що призводить до перерозподілу заряду в межах провідника. Якщо носіями є електрони, то холодний кінець буде заряджатися негативно, а гарячий – позитивно. Об’ємна диференціальна термо-е.р.с.
об1 Pen T
α ∂=
∂,
де n – концентрація носіїв, P – тиск, що створюється носіями.
36
Контактна складова термо-е.р.с пов’язана з тим, що зі зміною температури змінюється положення рівня Фермі. Наявність різниці в положеннях рівнів Фермі гарячого і холодного кінців призводить до виникнення різниці потенціалів
к1 F
e T∂ε
α = −∂
.
Результуюча термо-е.р.с. 1 1 Fpen T e T
∂ε∂α = −
∂ ∂.
Якщо різниця температур спаїв 1 2( )T T− невелика, то
електрорушійна сила TU визначається за формулою
12 1 2( )TU T T= α − , де 12 1 2α = α −α .
Термоелектричні властивості в напівпровідниках проявляються більше, ніж в металах, що підтверджується дослідом. Це можна пояснити тим, що електрони в металах перебувають у виродженому стані, їхня енергія мало залежить від температури, а концентрація електронів однакова як при низьких, так і при високих температурах. Залежність від температури рівня Фермі у металах також незначна, тому й коефіцієнт термо-е.р.с. для металів і сплавів значно менший, ніж для напівпровідників. Знак коефіцієнта термо-е.р.с. вказує на природу носіїв в напівпровіднику: знак плюс вказує на діркову провідність, мінус – на електронну.
Явище Зеєбека широко використовується для вимірювання температур. Відповідний пристрій називається термопарою. За допомогою термопар можна вимірювати з точністю порядку сотих кельвіна як низькі так і високі температури.
Ефект Пельтьє полягає в тому, що під час пропускання струму крізь контакт двох різнорідних провідників крім джоулеві тепла виділяється або поглинається (в залежності від напрямку проходження струму) додаткова теплота
Q ItΠ = Π ,
37
де Π – коефіцієнт Пельтьє, який залежить від природи провідників і температури, I – струм, t – час проходження струму крізь контакт. Це призводить до того що контакт відповідно нагрівається або охолоджується.
У випадку контакту двох речовин з однаковим типом провідності (наприклад метал – метал, метал – напівпровідник n-типу). Носії струму (електрони або дірки) по різні боки від спаю мають різну повну енергію. Якщо носії, пройшовши крізь спай, потрапляють в область з меншою енергією, вони віддають надлишок енергії кристалічній гратці, внаслідок чого контакт нагрівається. Якщо носії будуть рухатись в протилежний бік, необхідну для переходу енергію вони будуть брати у кристалічної гратки, що призводить до охолодження спаю.
Для контакту двох напівпровідників з різним типом провідності у випадку прямого напрямку струму електрони і дірки рухаються назустріч. Зустрівшись, вони рекомбінують. При цьому виділяється енергія, яка іде на нагрівання спаю. У протилежному випадку струм відтягує електрони і дірки із зони контакту напівпровідників. Зона поповнюється носіями за рахунок утворення нових пар електрон-дірка. За наявності електричного струму процес утворення нових пар буде неперервним. На утворення пар витрачається енергія – спай охолоджується.
Між ефектами Пельтьє і Зеєбека існує безпосередній зв'язок: різниця температур викликає у випадку контакту різнорідних провідників електричний струм, а електричний струм, що проходить крізь такий контакт, призводить до появи різниці потенціалів на кінцях спаю. Диференціальна термо-е.р.с. і коефіцієнт Пельтьє пов’язані співвідношенням
12 / Tα = Π , де T – температура.
Ефект Томсона полягає в тому, що навіть у хімічно однорідному нерівномірно нагрітому провіднику за наявності електричного струму має додатково, крім джоулевої теплоти,
38
виділятись або поглинатись додаткова теплота, яка пропорційна силі струму I і перепаду температур 2 1( )T T− :
2 1( )Q I T T tτ = τ − , де τ – коефіцієнт Томсона, який залежить від природи провідника і температури, t – час.
Різниця коефіцієнтів Томсона для двох провідників пов’язана з їх диференціальною термо-е.р.с. наступним співвідношенням
12 1 2ddT Tα τ − τ
=
Теплота Томсона Qτ зумовлена тим, що при наявності в провіднику градієнта температури потік носіїв струму, зумовлений зовнішньою різницею потенціалів, переносить не тільки електричний заряд, але і теплоту. Якщо електрони рухаються від більш нагрітого кінця провідника до більш холодного, то при переході «нагріті» електрони віддають надлишкову енергію і викликають нагрівання провідника. Якщо струм тече в протилежний бік провідник охолоджується.
Приклади розв'язування задач
Приклад 1. Визначити інтервал між сусідніми енергетичними рівнями вільних електронів в металі за температури 0 KT = поблизу рівня Фермі Вважати, що концентрація вільних електронів
29 -32 10 мn = ⋅ і об’єм метала 31 смV = . Розв’язок. Кількість електронів (в одиниці об’єму), що припадає на інтервал енергій dε , визначається за формулою
3/2
2
2( ) 4 emdn dh
ε = π ε ε
.
Якщо врахувати, що об’єм кристала V , то кількість електронів, в інтервалі енергій dε становитиме
3/2
2
2( ) 4 emdN V dh
ε = π ε ε
.
В цій формулі враховано, що на одному рівні може знаходитись два електрони із взаємно протилежними спінами.
39
Отже, 3/2
2( )24 e
dN hdmV
εε =
π ε .
Врахуємо, що 2/32 3(0)
8Fe
h nm
ε = ε = π
Після підстановки 1/32( )
4 3e
dN hdm V nε π ε = π
.
Виконаємо розрахунки 1/3 1/32 2 22 4 2
4 3 3e e
dm V n m V n
⋅ π π π ⋅ π ε = = = π
( ) 2 1/334
30 6 29
2 3,14 1,05 10 3,140,911 10 10 3 2 10
−
− −
⋅ ⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
32 10 427,60 10 1,74 10 13,22 10 Дж− − −= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ або
41 19 221,32 10 / (1,6 10 ) 0,83 10 еВd − − −ε = ⋅ ⋅ = ⋅ . Виявити таку дискретність рівнів просто неможливо. Тому
спектр енергетичних рівнів вільних електронів можна розглядати як неперервний (точніше квазінеперервний).
Приклад 2. Обчислити максимальну енергію εF (енергію Фермі), яку можуть мати вільні електрони в металі (мідь) за температури
0 KT = . Прийняти, що на кожний атом міді припадає по одному валентному електрону. Визначити, чому дорівнює температура виродження для міді.
Розв'язок. Максимальна енергія Fε , яку можуть мати електрони в металі при 0 KT = , пов'язана з концентрацією вільних електронів співвідношенням
( )2 2/32(0) 3
2Fe
nm
ε = π (1)
де – стала Планка; em – маса електрона.
40
Концентрація вільних електронів за умовою задачі дорівнює концентрації атомів, яка може бути знайдена за формулою
ANnMρ
= ,
де ρ – густина міді; AN – стала Авогадро; M – молярна маса. Підставляючи вираз n у формулу (1), отримаємо
2/322(0) 3
2A
Fe
Nm M
ρ ε = π
Виконаємо обчислення:
( ) 2 2/334 3 232
30 3
1,05 10 8,9 10 6,022 10(0) 3 3,142 0,911 10 64 10F
−
− −
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ε = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= 1,18·10-18 Дж = 7,4 еВ. Температура виродження визначається за формулою
3 (0)5F
вTk k
ε< ε >= = .
Виконаємо обчислення: 18
523
3 (0) 3 1,18 10 0,51 10 K5 5 1,38 10F
вTk
−
−
ε ⋅ ⋅= = = ⋅
⋅ ⋅.
Температура плавлення міді o 31083 C 1,356 10 KплT = = ⋅ . Отже, для міді температура виродження лежить за межами плавлення, і електронний газ в міді можна вважати сильно виродженим за будь-яких умов.
Приклад 3. Оцінити відносну кількість електронів NN∆ , енергія
яких відрізняються від енергії Фермі не більше ніж на kT . Оцінку провести для кімнатної температури 300 KT = для срібла ( 5,5 еВFε = ).
Розв’язок. Кількість електронів, які мають енергію в діапазоні від ε до dε + ε , визначається як
[ ]
3/2
2
2( ) 4exp ( ) / 1
e
F
m ddN Vh kT
ε ε ε = π ε − ε + ,
де V – об’єм кристала.
41
Визначимо кількість електронів, які мають енергію в діапазоні від F kTε − до F kTε +
[ ]
3/2
2
24exp ( ) / 1
F
F
kTe
FkT
m dN Vh kT
ε +
ε −
ε ε ∆ = π = ε − ε + ∫
[ ]
3/2
2
24exp ( ) / 1
F
F
kTe
FkT
m dVh kT
ε +
ε −
ε ε = π ⋅ ε − ε + ∫ .
Оскільки FkT ε , в чисельнику інтеграла замінимо ε на Fε
N∆ =[ ]
3/2
2
24exp ( ) / 1
F
F
kTe
FFkT
m dVh kT
ε +
ε −
ε π ⋅ ε ε − ε + ∫ .
Перейдемо в інтегралі до змінної ( ) /Fx kT= ε − ε . Отримаємо 3/2 1
21
24exp 1
eF
m dxN V kTh x−
∆ = π ⋅ ⋅ ε ⋅ + ∫ .
Інтеграл 1
1
1exp( ) 1
dxx−
≈α +∫ .
Оскільки FkT ε , оцінимо енергію Фермі як
2/32 3(0)8F F
e
h nm
ε = ε = π
За таких умов концентрація електронів
( )3/2 3/2 38 23 e Fn m hπ= ε .
Загальна кількість електронів 3/2
3/22
283
eF
mN Vh
π = ε
Визначимо відносну кількість електронів NN∆
42
3/2
2
3/23/2
2
243228
3
eF
FeF
mV kTN kTh
N mVh
π ⋅ ⋅ ε ∆ ≈ =επ ε
Виконаємо обчислення 23
219
3 1,38 10 300 0,7 10 0,7%2 5,5 1,6 10
NN
−−
−
∆ ⋅ ⋅ ⋅≈ = ⋅ =
⋅ ⋅ ⋅.
Отже за кімнатної температури тепловому збудженню підлягає незначна доля електронів розташованих поблизу рівня Фермі, що складає менше 1% від загального числа електронів провідності. Приклад 4. Метал об’ємом 320 смV = знаходиться за температури абсолютного нуля 0 КT = . Визначити число вільних електронів N∆ , імпульси яких відрізняються від максимального імпульсу maxp не більше ніж на 10%. Енергія Фермі 5 еВFε = . Розв’язок. Скористуємось розподілом електронів за імпульсами
( ) ( ( )) ( )dN p V f p z p dp= ⋅ ε ⋅ , де V – об’єм метала, ( ( ))f pε – функція розподілу Фермі-Дірака, ( )z p – густина енергетичних станів (за імпульсом), тобто число енергетичних станів, що припадає на одиничний інтервал імпульсів в одиничному об’ємі. За температури абсолютного нуля функція розподілу Фермі-Дірака
( ( )) 1f pε = . Число фазових комірок, що припадають на одиницю об’єму
газу, дорівнює 2
3
4dZ p dphπ
= .
Густина енергетичних станів за імпульсом визначається як 2
3
42z phπ
=
Коефіцієнт 2 з’явився тут в зв’язку з тим, що в кожній фазовій комірці може знаходитись не один, а два електрона (ферміона) з протилежно орієнтованими спінами.
43
Отже, 2
3
8( )dN p V p dphπ
= ⋅ .
Число вільних електронів N∆ , імпульси яких відрізняються від максимального імпульсу maxp не більше ніж на 10% знайдемо інтегруванням в межах від max0,9 p⋅ до maxp :
maxmax max
maxmax max
32 2
3 3 30,90,9 0,9
8 8 83
pp p
pp p
pN V p dp V p dp Vh h hπ π π
∆ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =∫ ∫
3 3max max32 3 2 3
0,271(1 0,9 )3 3p pV V= − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅π π
.
Максимальна енергія електронів 2
maxmax 2 e
pm
ε = ,
отже
max max2 ep m= ε . За температури 0 KT = максимальна енергія електронів
max Fε = ε , отже 3/2
2 2
20,2713
e FmN V ε ∆ = ⋅ ⋅ π .
Виконаємо обчислення:
( )
3/230 19
622 34
0,271 2 0,911 10 5 1,6 1020 103 3,14 1,05 10
N− −
−
−
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ∆ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
6 24 180,183 10 1,52 10 0,28 10−= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ Приклад 5. Система квантових осциляторів з циклічною частотою ω має температуру T . З якою імовірністю P можна виявити в такій системі осцилятор з енергією ( 1 / 2)υ ωε = υ+ ? Квантове число υ задано.
Розв’язок. Шукану імовірність можна визначити із співвідношення
/P N Nυ υ= ,
44
де exp( / )N A kTυ υ= ⋅ −ε – кількість осциляторів з енергією υε , A const= , N – загальна кількість осциляторів. Загальну кількість осциляторів можна визначити як
0
exp( / 2 )exp( / )1 exp( / )A kTN A kT
kT
∞
υυ=
ω
ω
⋅ −= ⋅ −ε =
− −∑ .
Отже, ( )exp( / ) 1 exp( / )P kT kTυ ω ω= −υ ⋅ − − .
Приклад 6. Знайти частоту коливань і коефіцієнт пружності β зв'язку атомів срібла за теорією теплоємності Ейнштейна, якщо характеристична температура срібла дорівнює 165 KEΘ = .
Розв’язок. Характеристична температура Ейнштейна визначається за формулою
/Е kΘ = ω , де ω – циклічна (кругова) частота коливань атомів. Частота коливань атомів дорівнює
2 2EkΘω
ν = =π π
.
Циклічна частота коливань атомів визначається як m
ω =β
,
де m – маса атома, β – коефіцієнт пружності зв'язку атомів у кристалі. Отже,
2
2 2 2E
m mk
β = =ω Θ
.
Виконаємо обчислення: 23
1234
1,38 10 165 3,45 10 Гц2 3,14 1,05 10
−
−
⋅ ⋅ν = = ⋅
⋅ ⋅ ⋅;
2751
2 2 24
108 1,66 10 0,38 10 Н/м4 3,14 3,45 10
−−⋅ ⋅
β = = ⋅⋅ ⋅ ⋅
.
Приклад 7. Використовуючи квантову теорію теплоємності Ейнштейна, обчислити питому теплоємність c алюмінію за
45
температури 200 КT = . Характеристичну температуру EΘ
Ейнштейна прийняти для алюмінію рівною 300 К. Розв'язок. Питома теплоємність c речовини може бути виражена
через молярну теплоємність mС співвідношенням /mc С M= , (1)
де M – молярна маса. Молярна теплоємність за теорією Ейнштейна виражається
формулою ( )
( )
2
2
exp3 .
(exp 1)
/
/EE
m
E
RT
TС
TΘ
= ⋅−
Θ Θ
(2)
Підставивши в (1) вираз теплоємності Ст за формулою (2), отримаємо
( )( )
2
2
exp3.
(exp 1)
/
/EE
E
RT
Tc
M TΘ
= ⋅−
Θ Θ
Виконаємо обчислення: 2
3 2
3 8,31 300 exp(300 / 200) 770 Дж/(кг К)27 10 200 (exp(300 / 200) 1)
c−
⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ − .
Приклад 8. Визначити теплоту Q∆ , необхідну для нагрівання кристала NaCl масою 20 гm = від температури 1 2 КT = до температури 2 4 КT = . Характеристичну температуру Дебая DΘ для NaCl прийняти рівною 320 К і умову DT << Θ вважати виконаною.
Розв'язок. Теплота Q∆ , необхідна для нагрівання тіла від температури 1T до 2T , може бути обчислена за формулою
2
1
,T
TT
Q C dT∆ = ∫ (1)
де TC – теплоємність тіла. Теплоємність тіла пов'язана з молярною теплоємністю
співвідношенням /T mC mC M= , (2)
де m – маса тіла; M – молярна маса. Підставивши вираз TC в формулу (1), отримаємо
46
2
1
,T
mT
mQ C dTM
∆ = ∫ (3)
У загальному випадку теплоємність mC є складною функцією температури, тому виносити її за знак інтеграла не можна. Проте якщо виконано умову DT << Θ , то визначення Q∆ полегшується тим, що можна скористатися граничним законом Дебая, згідно з яким теплоємність пропорційна кубу термодинамічної температури:
12 4 3 35/ ( / ) 234 ( / )m D DC R T R T= π Θ = Θ . (4)
Підставляючи молярну теплоємність (4) у формулу (3), отримаємо
2
1
4 43 4 4
2 12 2
12 12 1 ( )5 5 4
T
D DT
m R m RQ T dT T TM M
π π∆ = = −
Θ Θ∫ ,
Виконаємо обчислення: 4 2
4 4 33 2
12 (3,14) 2 10 8,31 (4 2 ) 1,22 10 Дж 5 58,5 10 320 4
Q−
−−
⋅ ⋅∆ = − = ⋅
⋅ ⋅.
Приклад 9. Визначити максимальні значення енергії та імпульсу фонона в міді, якщо її дебаївська температура 330 KDΘ = і густина
3 38,9 10 кг/мρ = ⋅ . Розв’язок. Максимальну енергію фонона можна оцінити як
232
max 19
1,38 10 330 3 10 еВ1,6 10Dk
−−
−
⋅ ⋅ε = Θ = = ⋅
⋅.
Квазіімпульс фонона можна знайти як max
maxp ε=v
,
де v – швидкість акустичної хвилі в речовині.
Максимальна частота DDkΘ
ω = , яка обмежує спектр
нормальних коливань в тримірному кристалі визначається із співвідношення
1/32
D 6 NV
ω = π v ,
47
де N – кількість атомів в кристалі, V – об’єм кристала. Якщо врахувати, що концентрація атомів
ANn NV M
ρ= = ,
то 1/3
26D ANMρ ω = π
v .
Швидкість розповсюдження хвиль в речовині
( )D
1/326 /A
kN MΘ
=⋅ π ρ
v
Після підстановки
( )23
31/334 2 3 23 3
1,38 10 330 2,54 10 м/с1,05 10 6 3,14 8,9 10 6,022 10 / 64 10
−
− −
⋅ ⋅= = ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅v
Імпульс фонона 23
max 23max 3
1,38 10 330 0,18 10 кг м/с2,54 10
p−
−ε ⋅ ⋅= = = ⋅ ⋅
⋅v.
Приклад 10. Оцінити тиск фононного газу в міді, якщо її дебаївська температура 330 KDT = Θ = і концентрація
29 30 0,84 10 1/мn = ⋅ . Розв’язок. Тиск ідеального газу (в даному випадку фононного)
визначається за формулою 23
pV U= , (1)
де V – об’єм газу, U – внутрішня енергія. Молярну енергію фононів можна визначити як
3 / 3
0
3exp( ) 1
D T
mD
T xU RT dxx
Θ = ⋅ ⋅ Θ −
∫ .
Виразимо тиск фононів через молярну енергію 3 / 3
00
3 92 2 exp( ) 1
D Tm
A D
U N T xp n kT dxN V x
Θ = = ⋅ ⋅ Θ −
∫ .
48
Якщо врахувати, що DT = Θ , а 1 3
0
0,225exp( ) 1
x dxx
=−∫ (табличне
значення), отримаємо 29 23
04,5 0,225 4,5 0,84 10 1,38 10 330 0,225Dp n k −= ⋅ ⋅ ⋅Θ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 83,9 10 Па= ⋅ .
Приклад 11. Кремнієвий зразок нагрівають від температури 1 0 Сt = ° до температури 2 10 Сt = ° . У скільки разів зростає його питома провідність?
Розв'язок. Питома провідність σ власних напівпровідників пов'язана з температурою T співвідношенням
з0 exp
2EkT∆ σ = σ −
,
де 0σ – константа, зE∆ – ширина забороненої зони. Отже,
з2 з з0 0
2 11 1 2
1 1exp exp exp2 2 2
EE EkT kT k T T
∆σ ∆ ∆= σ − σ − = − σ
Покладаючи для кремнію ∆ E = 1,1еВ, виконаємо обчислення: 19
223
1
1,1 1,6 10 1 1exp 2,282 1,38 10 273 283
−
−
σ ⋅ ⋅ = − = σ ⋅ ⋅ .
Приклад 12. Опір 1R p-n-переходу, що перебуває під прямою напругою 0,5 ВU = , дорівнює 5 Ом. Визначити опір 2R переходу при зворотній напрузі 0,5 ВU = , якщо його температура 40 Сt = ° .
Розв’язок. Визначимо опір із закона Ома URI
= ,
де U – напруга, а I – сила струму. Сила струму в p-n-переході визначається за формулою
0[exp( ) 1],eUI IkT
= ± −
де 0I – граничне значення сили струму; U – зовнішня напруга, прикладена до p-n-переходу.
В першому випадку
49
1 0[exp( ) 1],eU
I IkT
= − 11
0[exp( ) 1]eUIkT
U URI −
= = .
У випадку зворотної напруги
2 0[exp( ) 1],eU
I IkT
= − − 22
0[1 exp( )]| | eUIkT
U URI − −
= = .
Підставивши в формулу для 2R значення 0 1 [exp( ) 1]/ eUI
kTU R −= ⋅ ,
отримаємо
2 1
[exp( ) 1]
[1 exp( )]
eUkT
eUkT
R R−
− −= .
Для зручності kT виразимо в електронвольтах 23
19
1,38 10 (273 40) 0,0270 еВ1,6 10
kT−
−
⋅=
⋅ +=
⋅.
Врахуємо, що kT eU<< , яке дорівнює 0,5 еВ. Тоді
2 1 exp( )eUkT
R R=
Виконаємо обчислення 8
20,5
exp( ) exp(18,5) 1,1 100,027
5 5 ОмR = = ⋅= ⋅ ⋅ .
Приклад 13. Питомий опір деякого бездомішкового напівпровідника за кімнатної температури 0 0,50 Ом мρ = ⋅ . Після включення джерела світла він став рівним 1 0,40 Ом мρ = ⋅ , а через час 8 мсt = після виключення джерела світла питомий опір виявився
2 0,45 Ом мρ = ⋅ . Визначити середній час життя електронів і дірок. Розв’язок. Питома провідність власного напівпровідника
складається з електропровідності електронів σ− та дірок σ+ : ( )n p i n pen u ep u en u u− +σ = σ + σ = ⋅ + ⋅ = + ,
де e – елементарний заряд, in n p= = – концентрація носіїв, nu та pu
– рухливості електронів та дірок відповідно. До включення джерела світла провідність
50
0 0 ( )i n pen u uσ = + ,
де 0in – початкова концентрація носіїв. Під дією світла в власному бездомішковому напівпровіднику
збуджуються додаткові надлишкові носії з концентрацією 0in∆ . Після виключення світла ці носії будуть рекомбінувати і їх концентрація буде поступово зменшуватися
0 exp( / )i i in n t∆ = ∆ − τ , де iτ – середній час життя носіїв. Кількість електронів і дірок, а також середній час життя електронів і дірок однаковий, оскільки в бездомішковому напівпровіднику електрон в процесі релаксації, виділяючи надлишкову енергію може перейти тільки в валентну зону. При цьому відбувається рекомбінація з діркою і кількість дірок відповідно теж зменшується.
Концентрація носіїв після виключення світла 0 0 0 exp( / )i i i i i in n n n n t= + ∆ = + ∆ − τ .
Відповідно питома провідність дорівнює [ ]0 0 0 0exp( / ) ( ) ( )exp( / )i i i n p i n p ie n n t u u e n u u tσ = + ∆ − τ + = σ + ∆ + − τ .
При ввімкненому джерелі світла 1 0 0 ( )i n pe n u uσ = σ + ∆ + .
Отже, 0 1 0( )i n pe n u u∆ + = σ −σ . Тобто після виключення світла
( )0 1 0 exp( / )itσ = σ + σ −σ ⋅ − τ . В момент часу 8 мсt = питома провідність
( )2 0 1 0 exp( / )itσ = σ + σ −σ ⋅ − τ . Отже,
1 0
2 0
lni t σ − σ
τ = ⋅ σ −σ .
Врахувавши, що питома провідність і питомий опір звязані як 1 /σ = ρ , отримаємо
( ) ( )( ) ( )
( )( )
1 0 0 1
2 0 0 2
1 / 1 / / 1ln ln
1/ 1 / / 1i t t ρ − ρ ρ ρ −
τ = ⋅ = ⋅ ρ − ρ ρ ρ − .
Виконаємо обчислення:
51
( )( )50 / 40 1
8 ln 14,6 мс50 / 45 1i
−τ = ⋅ = −
.
Приклад 14. Зазор між пластинами плоского конденсатора становить 1,00 ммd = . Одна із пластин виготовлена із платини (для якої робота виходу складає вихPt 5,29 еВA = ), а друга – з алюмінію
(для якого вих Al 3,74 еВA = ). Пластини закорочені мідним проводом. Яка буде напруженість поля між пластинами? Як буде напрямлено поле?
Розв’язок. Напруженість поля в зазорі визначається зовнішньою контактною різницею потенціалів Pt AleU
вихPt вих Al Pt Al 5,29 3,74 1,55 Вe
A AU
e−
= = − = .
Оскільки потенціал алюмінію щодо вакууму ( 3,74 B− ) вище ніж платини ( 5,29 B− ), поле буде напрямлене від алюмінієвої до платинової пластини. Контактна різниця потенціалів Pt AleU не залежить від типу провідника, яким з’єднані пластини
вихPt вих Cu вихCu вих Al Pt Al Pt Cu Cu Ale e e
A A A AU U U
e e− −
= + = + =
вихPt вих AlA Ae−
=
де Pt CueU , Cu AleU – контактні різниці потенціалів між платиною і міддю та міддю і алюмінієм, вих CuA – робота виходу електронів з міді.
Напруженість поля Pt Al
3
1,55 1,55 кВ/м10
eUEd −
= = =
Література 1. І.М.Кучерук, І.Т.Горбачук, П.П.Луцик. Загальний курс фізики.Т.3. «Техніка», – К., 2001. 2. И.Е.Иродов. Физика макросистем. Основные законы. «Лаборатория базовых знаний», – М., 2001. 3. Г.И.Епифанов. Физика твердого тела. «Высшая школа» – М., 1977.
52
4. И.В.Савельев. Курс общей физики. Т.3, изд. «Наука», – М., 1982. 5. Л.Г. Чертов, А.А. Воробьёв. Задачник по физике. «Высшая школа», – М., 1977. 6. И.Е. Иродов. Задачник по физике. «Наука», – М.,1988. 7. И.В. Савельев. Задачник по физике. «Высшая школа», – М., 1982.
Додатки
Додаток 1.Густини твердих тіл
Речовина Густина ρ,
103 кг/м3 Речовина Густина ρ,
103 кг/м3 Речовина Густина ρ,
103 кг/м3
Алмаз 3,5 Кальцій 1,55 Нікель 8,9 Алюміній 2,7 Кобальт 8,9 Платина 21,5 Вольфрам 19,1 Літій 0,53 Свинець 11,3 Графіт 1,6 Льод 0,916 Срібло 10,5 Залізо 7,8 Мідь 8,93 Титан 4,5 Золото 19,3 Молібден 10,2 Цезій 1,9 Кадмій 8,65 Натрій 0,97 Цинк 7,15 Додаток 2. Відносні атомні маси деяких елементів А (округлені значення) Елемент Символ А Елемент Символ А Елемент Символ А Алюміній Al 27 Кремній Si 28 Свинець Pb 207Вольфрам W 184 Літій Li 7 Срібло Ag 108Германій Ge 73 Мідь Cu 64 Титан Ti 48 Залізо Fe 56 Молібден Mo 96 Цезій Cs 133Золото Au 197 Натрій Na 23 Цинк Zn 65 Калій K 39 Нікель Ni 59 Кобальт Co 59 Платина Pt 195
Додаток 3. Модуль пружності деяких кристалів (наближені значення)
Речовина Модуль Юнга E, 109 Па
Алюміній 64 – 77 Вольфрам 400 Залізо 135 – 290 Мідь 68 – 194 Свинець 16 Срібло 74
53
Цинк 126 – 365 Для деяких кристалів модуль пружності суттєво залежить від напрямку в якому відбувається деформація кристалічної гратки. В таблиці наведений діапазон цих значень
Додаток 4. Енергія Фермі та температура виродження деяких металів
Метал Енергія Фермі, еВ
Температура виродження, 104 К
Алюміній 11,7 8,1 Літій 4,72 3,3 Натрій 3,12 2,2 Мідь 7,1 4,9 Срібло 5,5 3,8 Цезій 1,53 1,1
Додаток 5. Теплові сталі твердих тіл
Речовина Питома теплоємність c, 103 Дж/(кг·К)
Температура плавлення, оС
Питома теплота плавлення q, 103 Дж/кг
Алюміній 0,9 660 321 Залізо 0,46 1535 270 Мідь 0,39 1083 175 Свинець 0,13 328 25 Срібло 0,23 960 88
Додаток 6. Характеристична температура Дебая ΘD
Елемент ΘD , К Елемент ΘD , К Елемент ΘD , К
Алмаз 1910 Кальцій 219 Платина 229 Алюміній 417 Кобальт 445 Свинець 94,5 Вольфрам 379 Кремній 658 Срібло 225 Германій 366 Мідь 339 Титан 278 Залізо 467 Молібден 425 Цинк 308 Золото 165 Нікель 456
Додаток 7. Ширина забороненої зони деяких напівпровідників та
діелектриків Речовина Ширина
забороненої зони ∆Eз, еВ
54
Алмаз 5,2 Нітрид бора 4,6 Al2O3 7,0 Антимонід індію (InSb)
0,17
Арсенід галію (GaAs)
1,43
Кремній 1,12 Германій 0,66 Олово (сіре) 0,08 Сульфід свинцю (PbS)
0,6
Додаток 8. Робота виходу електронів з металу Робота виходу
Aвих
Метал
еВ Дж Алюміній 3,74 6,0·10-19 Вольфрам 4,50 7,2·10-19 Залізо 4,36 7,0·10-19 Золото 4,58 7,3·10-19 Калій 2,15 3,4·10-19 Літій 2,39 3,8·10-19 Мідь 4,47 7,2·10-19 Натрій 2,27 3,6·10-19 Нікель 4,84 7,7·10-19 Платина 5,29 8,5·10-19 Срібло 4,28 6,8·10-19 Титан 3,92 6,3·10-19 Цезій 1,89 3,0·10-19 Цинк 3,74 6,0·10-19
Додаток 9. Диференціальна термо-ЕРС для деяких металів та
напівпровідників Метал, сплав
α, мкВ/К
Напівпровідник α, мкВ/К
Вісмут – 68,0 TiS – 780 Нікель – 20,8 V2O5 – 750 Калій + 13,8 FeO – 500
55
Натрій – 6,5 Fe3O4 – 430 Платина – 4,4 Bi – Te – Se – 170 Алюміній – 0,4 Bi – Sb – Te + 160 Константин – 38 Ti2S + 800 Копель – 38,8 Se + 1000 Ніхром + 18,0 CuO + 1120 Алюмель – 17,3 Cu2O + 1200
Коефіцієнт α для різних металів визначається відносно свинцю
Додаток 10. Деякі фізичні сталі Нормальне прискорення вільного падіння
g = 9,81 м/с2
Електрична стала ε0 = 8,85⋅10-12 Ф/м; 1/4πε0 = 9⋅10 9
м/Ф
Магнітна стала µ0 = 4π⋅10-7 Гн/м Швидкість світла в вакуумі с = 3,00⋅108 м/с Елементарний заряд е = 1,60⋅10-19 Кл Маса електрона me = 0,911⋅10-30 кг
me = 0,00055 а.о.м. Питомий заряд електрона е/me = 1,76⋅1011 Кл/кг Маса протона mp = 1,672⋅10-27 кг
mp = 1,00728 а.о.м. Питомий заряд протона е/mp = 0,959⋅108 Кл/кг Маса α-частинки (ядра атома 42He)
mα = 6,64⋅10-27 кг mα = 4,00149 а.о.м.
Атомна одиниця маси а.о.м. = 1,660⋅10-27 кг Стала Больцмана k = 1,38⋅10-23 Дж/К Стала Планка h = 6,63⋅10-34 Дж⋅с Стала Планка ħ = h/2π = 1,05⋅10-34 Дж⋅с Комптонівська довжина хвилі електрона
Λ =2,43⋅10-12 м
Енергія іонізації атома водню Еі = 2,18⋅10-18 Дж ( 13,6 еВ ) Радіус Бора а = 0,529⋅10-10 м Стала Рідберга ω : R = 2,07⋅1016 с–1
( 1 /ν = λ ): R = 1,10⋅107 м-1 Магнетон Бора µB = 0,9274⋅10-23 Дж/Тл
56
Зміст
Вступ………………………………………………………………………….…3 Зонна теорія твердих тіл………………………………………………………..3 Елементи квантової статистики………………………………….…………..5 Теплоємність кристала……………………………………………..………...8 Класична модель теплоємності…………………………………….…….10 Теорія теплоємності Ейнштейна…………………………..………..……10 Спектр нормальних коливань гратки……………………………………11 Роль електронного газу в теплоємності кристала…………….……..….13 Напівпровідники…………………………………………………..…………14 Власні напівпровідники……………………………………….…….…….14 Напівпровідники n–типу…………………………………….…….………17 Напівпровідники p–типу……………………………………...…..………18 Нерівноважні носії………………………………………..…………….19 Температурна залежність електропровідності……………..……………20 Контакт двох напівпровідників (p–n перехід)……………..……………20 Емісійні явища…………………………………………………..…..……….22 Робота виходу………………………………………………..……….……22 Робота виходу електронів з металу……………………..………..……22 Робота виходу електронів з напівпровідника……………..……..……23 Термоелектронна емісія…………………………………….……….…….24 Фотоелектронна емісія (зовнішній фотоефект)………………………….26 Вторинна емісія……………………………………………………………27 Автоелектронна емісія (холодна або польова)………………….………28 Контактні і термоелектричні явища……………………………….……….29 Контакт двох металів…………………………………………..…………29 Зовнішня контактна різниця потенціалів……………………………..30 Внутрішня контактна різниця потенціалів………………………….…30 Контакт метала з напівпровідником…………………………….……….32 Термоелектричні явища……………………………………….………….35 Ефект Зеєбека…………………………………………….……………35 Ефект Пельтьє…………………………………………….……………36 Ефект Томсона………………………………………………………….37 Приклади розв'язування задач………………………………………….…….38 Література ………………………………………………………………………51 Додатки…………………………………………………………………………52 Додаток 1.Густини твердих тіл……….……………………………………52 Додаток 2.Відносні атомні маси деяких елементів ………………………52
57
Додаток 3. Модуль пружності деяких кристалів ……………..…….…....52 Додаток 4. Енергія Фермі та температура виродження деяких металів……….....................................................................................53 Додаток 5. Теплові сталі твердих тіл……………………………..……..…53 Додаток 6. Характеристична температура Дебая ΘD…………………..…53 Додаток 7. Ширина забороненої зони деяких напівпровідників та діелектриків………………………………..……………………………...53 Додаток 8. Робота виходу електронів з металу………………………....…54 Додаток 9. Диференціальна термо-ЕРС для деяких металів та напівпровідників………………………………………………………….54 Додаток 10. Деякі фізичні сталі………………………………………..…....55
