MODEL SIS (SUSCEPTIBLE INFECTED SUSCEPTIBLE) PADA PENULARAN DUA PENYAKIT ENDEMIK

YAYA SUKARYA

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR

2009

ABSTRACT

YAYA SUKARYA. SIS (Susceptible Infected Susceptible) Model for a spread of a two Disease Endemic. Supervised by PAIAN SIANTURI and N. K. KUTHA ARDANA.

SIS (Susceptible Infected Susceptible) model is an epidemiology model, obtained via SIR (Susceptible Infected Removed) model, in which individuals have no immunity might reinfected again after they get recovered of a disease.

In this paper, we studied the SIS model for a spread of two endemic diseases in a population. The three types of equilibrium points were obtained via stability analysis, the first point called the disease free equilibrium point and the other two points were considered as endemic equilibrium points. The stability of equilibrium SIS model depend on reproduction basic number ( 0R ). If

0 1R < then disease free equilibrium is stable. For the endemic equilibrium, if 0 1R > then the endemic equilibrium is stable.

Based on simulations performed, there were three types behavior of solutions obtained; that is when only major, only minor or both diseases were present. The stability of population infected by major disease was proportional to the effective transmission rate with which individual become infected with the major disease. Keywords: epidemic model, SIS model, stability analysis

ABSTRAK

YAYA SUKARYA. Model SIS (Susceptible Infected Susceptible) pada Penularan dua Penyakit Endemik. Dibimbing oleh PAIAN SIANTURI dan N. K. KUTHA ARDANA.

Model SIS (Susceptible Infected Susceptible) merupakan salah satu model epidemiologi yang diperoleh dari model SIR (Susceptible Infected Removed), ketika individu tidak mempunyai kekebalan tubuh setelah terserang penyakit dan menyebabkan individu tersebut menjadi rentan kembali setelah sembuh dari penyakit.

Dalam tulisan ini dipelajari model SIS pada penularan dua penyakit endemik dalam suatu populasi. Dari analisis kestabilan diperoleh tiga titik tetap yaitu satu titik tetap tanpa penyakit dan dua titik tetap endemik. Analisis kestabilan titik tetap tersebut bergantung pada bilangan reproduksi dasar ( 0R ). Titik tetap tanpa penyakit berada dalam kestabilan ketika 0 1R < . Untuk titik tetap endemik, berada dalam kestabilan ketika 0 1R > .

Dari simulasi numerik yang dilakukan terhadap model dua penyakit endemik diperoleh tiga tipe perilaku model yaitu ketika hanya penyakit utama yang muncul, ketika hanya penyakit tambahan yang muncul atau kedua penyakit (co-infected) yang muncul. Kondisi kestabilan populasi individu yang terinfeksi oleh penyakit utama berbanding lurus dengan laju penularan efektif individu menjadi terinfeksi oleh penyakit utama. Kata kunci: model epidemik, model SIS, analisis kestabilan

MODEL SIS (SUSCEPTIBLE INFECTED SUSCEPTIBLE) PADA PENULARAN DUA PENYAKIT ENDEMIK

YAYA SUKARYA

Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains pada Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR

2009

Judul Skripsi : Model SIS (Susceptible Infected Susceptible) pada Penularan dua Penyakit Endemik

Nama : Yaya Sukarya NRP : G54104005

Disetujui

Dr. Paian Sianturi Pembimbing I

Ir. N. K. Kutha Ardana, M.Sc. Pembimbing II

Diketahui

Dr. drh. Hasim, DEA Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Tanggal Lulus:

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Subang pada tanggal 21 Desember 1986 sebagai anak kedua dari tiga bersaudara, dari pasangan Anda dan A’ah Komariah.

Tahun 1998 penulis lulus dari SD Negeri Pamanukan Sebrang I. Tahun 2001 penulis lulus dari SLTP Negeri 1 Pamanukan. Tahun 2004 penulis lulus dari SMA Negeri 1 Subang dan pada tahun yang sama lulus seleksi masuk IPB melalui jalur Ujian Saringan Masuk IPB (USMI). Penulis memilih Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.

Selama mengikuti kegiatan perkuliahan, penulis aktif diberbagai kegiatan mahasiswa yaitu sebagai staf Departemen Lingkar Muslim Matematika (LIMIT) Gugus Mahasiswa Matematika (Gumatika) IPB (2005/2006), staf Divisi Relasi Serambi Ruhiyah Mahasiswa FMIPA (2006/2007). Penulis juga aktif sebagai panitia pada beberapa acara antara lain Kajian Ilmu Pengetahuan Al Qur’an dan Sunnah (KIPAS) tahun 2007, Masa Perkenalan Departemen (2005 & 2006), Matematika RIA Nasional (2006), Pesta Sains Nasional (2006), Musyawarah Wilayah (Muswil) III IKAHIMATIKA (2006).

PRAKATA

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini. Penyusunan karya ilmiah ini tidak terlepas dari bantuan berbagai pihak. Oleh karena itu, dalam kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:

1. Dr. Paian Sianturi selaku dosen pembimbing I. 2. Ir. N. K. Kutha Ardana, M.Sc selaku dosen pembimbing II. 3. Drs. Ali Kusnanto, M.Sc selaku dosen penguji dan moderator seminar. 4. Semua dosen Departemen Matematika. 5. Bu Ade, Bu Susi, Mas Yono, Mas Bono, Mas Deni, Mas Heri. 6. Keluarga tercinta: Ayah, Ibu, Kakak dan Adik. 7. Ibrahim Amin, Nidia Rosita dan Nur Armi selaku pembahas. 8. Teman-teman Math 41: Rangga, bang Idris, Triyadi, Iboy, Ujang, Great, Fariz, Fredrick,

Mahnur, Majid, Mora, Aji, Jali, Dika, Dee-dee, Lia Y, Lia M, Mahar, Mukti, Nurjanah, Mba Syifa, Darwisah, Eli, Rofah, Niken, Mariam, dan semuanya yang tidak dapat disebutkan satu per satu.

9. Teman-teman Math 39, 40, 42 dan semuanya yang tidak dapat disebutkan satu per satu. 10. Temen-temen kost-an : Pondok 55, PPM Al Inayah, Wisma Savana. 11. Semua pihak yang telah membantu yang tidak dapat penulis sebutkan satu per satu.

Semoga karya ilmiah ini bermanfaat bagi semuanya.

Bogor, September 2009

Yaya Sukarya

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR GAMBAR ................................................................................................................. viii

DAFTAR LAMPIRAN ............................................................................................................... viii

I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ........................................................................................................... 1 1.2 Tujuan ....................................................................................................................... 1

II LANDASAN TEORI ..................................................................................................... 1 III PEMBAHASAN 3.1 Perumusan Model ..................................................................................................... 4 3.2 Titik Tetap .................................................................................................................. 6 3.3 Analisis Kestabilan Titik Tetap ................................................................................. 6 3.3.1 Kestabilan Sistem di Titik Tetap 0E ............................................................. 6 3.3.2 Kestabilan Sistem di Titik Tetap 1E ............................................................... 7 3.3.3 Kestabilan Sistem di Titik Tetap 2E ............................................................... 8 3.4 Analisis Kualitatif..................................................................................... ................ 9 IV SIMPULAN .................................................................................................................... 13 DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................................ 14 LAMPIRAN ............................................................................................................................ 15

viii

DAFTAR GAMBAR

halaman 1 Diagram alur untuk penularan dua penyakit endemik ........................................................ 4 2 Kurva solusi ( )p α dan ( )q α terhadap α dengan 3.0=β ............................................... 10 3 Kurva solusi ( )p α dan ( )q α terhadap α dengan 0.5β = ............................................... 10 4 Kurva solusi ( )p α dan ( )q α terhadap α dengan 0.7β = .............................................. 10 5 Kurva solusi ( )p α dan ( )q α terhadap α dengan 0.8β = ............................................... 10 6 Dinamika populasi dari keempat model terhadap t dengan 52.0=α dan 75.0=β .......... 11 7 Dinamika populasi dari keempat model terhadap t dengan 6.0=α dan 4.0=β ............. 11 8 Dinamika populasi dari keempat model terhadap t dengan 0.8α = dan 0.8β = .............. 11 9 Dinamika populasi dari keempat model terhadap t dengan 0.9α = dan 0.9β = .............. 11

DAFTAR LAMPIRAN

halaman 1 Pembuktian teorema 1 dan teorema 2 ................................................................................... 16 2 Penurunan persamaan (6)-(9) ................................................................................................ 17 3 Mencari titik tetap .................................................................................................................. 18 4 Matriks Jacobi untuk persamaan (18) .................................................................................... 21 5 Penurunan persamaan (24) dan persamaan (26) ................................................................... 22 6 Penurunan persamaan (32) ..................................................................................................... 23 7 Program analisis kestabilan dengan metode Routh-Hurwizt Criterion untuk titik tetap 1E ................................................................................................................................................. 23 8 Program analisis kestabilan dengan metode Routh-Hurwizt Criterion untuk titik tetap 2E ................................................................................................................................................. 24 9 Program untuk menentukan gambar kurva solusi ( )p α dan ( )q α terhadap α .............. 25 10 Program untuk menentukan gambar dinamika populasi ...................................................... 27

1

I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang

Sejak dikenalkannya model SIR (Susceptible Infected Removed) oleh Kermack dan McKendrick pada tahun 1927 untuk penyebaran penyakit, persamaan diferensial secara luas digunakan dalam matematika epidemiologi. Banyak model matematika yang dibangun untuk mempelajari penularan penyakit, mengevaluasi atau menilai penularan dari suatu epidemik, dan banyak lagi yang penting lainnya. Untuk memahami mekanisme dari epidemik untuk mencegah atau meminimumkan penularan suatu penyakit, diantaranya dengan karantina dan perlakuan lainnya.

Dalam karya ilmiah ini akan dibahas suatu model SIS (Susceptible Infected Susceptible) dari penularan dua penyakit endemik dalam suatu populasi. Model SIS ini sendiri diperoleh dari model SIR (Susceptible Infected Removed), dengan mengganti R (Removed) menjadi S (Susceptible), ketika individu tidak memiliki kekebalan tubuh setelah datangnya penyakit, yang menyebabkan individu tersebut menjadi rentan kembali setelah sembuh dari penyakit. Model ini menjelaskan gambaran secara

umum dari dua penyakit endemik dan analisis dari dinamika populasi agar menambah pemahaman dari kelakuan atau perilaku sifat dalam sistem tersebut. Dalam hal ini adanya hubungan antara penyakit utama dan penyakit tambahan dengan munculnya suatu ( )p α dan

( )q α yang harus dipenuhi ketika salah satu dari dua penyakit endemik tersebut muncul dengan α sebagai parameter kontrol. Kestabilan titik tetap dan analisis kestabilan titik tetap dari model tersebut dilakukan dengan menggunakan software Mathematica 6 dan berdasarkan parameter dari Blyuss & Kyrychko (2005).

1.2 Tujuan

Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah : 1. Mempelajari model matematika dari

sistem penularan dua penyakit endemik dalam suatu populasi.

2. Menganalisis kestabilan titik tetap yang diperoleh.

3. Menganalisis perilaku solusi model.

II LANDASAN TEORI

Pada bab ini akan diberikan teori yang menjadi landasan pengerjaan karya ilmiah ini. Berikut ini adalah definisi-definisi mengenai istilah yang digunakan.

Sistem Persamaan Diferensial

Definisi 1 (Persamaan Diferensial Linear Orde 1) Suatu persamaan yang dinyatakan sebagai

, )()( nxtgxtax ℜ∈=+ (1) Disebut persamaan diferensial (PD) linear orde 1. Jika 0)( =tg , PD disebut PD linear homogen dan jika 0)( ≠tg , PD disebut PD linear takhomogen.

[Tu, 1994]

Definisi 2 (Sistem Persamaan Diferensial Mandiri) Suatu sistem persamaan diferensial (SPD) dinyatakan sebagai

( ) , ndx x f x xdt

= = ∈ℜ (2)

dengan f fungsi kontinu bernilai real dari x dan mempunyai turunan parsial kontinu. SPD tersebut disebut SPD mandiri (autonomous) jika tidak memuat waktu )(t secara eksplisit di dalamnya.

[Tu, 1994]

Kestabilan di Sekitar Titik Tetap Definisi 3 (Titik Tetap) Diberikan SPD

. )( nxxfxdtdx

ℜ∈==

Titik *x disebut titik tetap jika 0)( * =xf .Titik tetap disebut juga titik kritis

atau titik keseimbangan. Untuk selanjutnya akan digunakan istilah titik tetap.

[Tu, 1994]

2

Definisi 4 (Titik Tetap Stabil) Misalkan *x adalah titik tetap SPD mandiri dan ( )tx adalah sebuah solusi SPD mandiri

dengan nilai awal ( ) 00 =x x dengan *0 ≠x x .

Titik *x dikatakan titik tetap stabil jika untuk sebarang radius 0ε > terdapat 0r > sedemikan sehingga jika posisi awal 0x

memenuhi *0 r− <x x maka solusi ( )tx

memenuhi ( ) *t ε− <x x , untuk setiap 0t > . [Verhulst, 1990]

Definisi 5 (Titik Tetap Stabil Asimtotik Lokal) Titik *x dikatakan titik tetap stabil asimtotik lokal jika titik *x stabil dan terdapat

0>ε sedemikian sehingga jika ε<− 0* xx

maka *)(lim xtxt

=∞→

, dengan )0(0 xx = .

[Szidarovszky & Bahill, 1998] Definisi 6 (Titik Tetap Stabil Asimtotik Global) Titik *x dikatakan titik tetap stabil asimtotik global jika titik *x stabil dan nx ℜ⊆Ω∈0 ,

*)(lim xtxt

=∞→

, dengan )0(0 xx = .

[Szidarovszky & Bahill, 1998]

Definisi 7 (Titik Tetap Tak Stabil) Misalkan *x adalah titik tetap sebuah SPD mandiri dan ( )tx adalah sebuah solusi SPD

mandiri dengan nilai awal ( ) 00 =x x dengan *

0 ≠x x . Titik *x dikatakan titik tetap tak stabil jika terdapat radius 0ε > dengan ciri sebagai berikut : untuk sebarang 0r > terdapat posisi awal 0x memenuhi

*0 r− <x x , berakibat solusi ( )tx memenuhi

( ) *t ε− ≥x x , untuk paling sedikit satu 0t > .

[Verhulst, 1990]

Definisi 8 (Nilai Eigen dan Vektor Eigen) Diberikan matriks koefisien konstan A Berukuran n x n, dan SPD homogen berikut

0, (0) , nR= + = ∈x Ax b x x x (3) Suatu vektor tak nol x dalam ruang nR disebut vektor eigen dari A jika untuk suatu skalar λ berlaku

λ=Ax x (4)

Nilai skalar λ dinamakan nilai eigen dari A . Untuk mencari nilai λ dari matriks A , maka Persamaan (4) dapat ditulis kembali sebagai

( )- I 0λ =A x (5) dengan I matrik identitas. Persamaan (5) mempunyai solusi tak nol jika dan hanya jika

( )( ) det - I I 0p λ λ λ= = − =A A (6) Persamaan (6) disebut persamaan karakteristik dari matriks A.

[Anton, 1995] Definisi 9 (Pelinearan) Diberikan SPD tak linear

( ) , nd f Rdt

= = ∈x x x x (7)

Dengan menggunakan perluasan Taylor pada titik-titik tetapnya, maka diperoleh

( )x ϕ= +x A x (8) dengan

*

*

*

1 1

1

1

( ) ( )

n

n n

n

Df Df

f f

f f

=

=

= =

∂ ∂⎡ ⎤⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦

X X

X X

A x x

x x

x x

…

…

dan fungsi ( )ϕ x memenuhi 0

lim ( ) 0x

ϕ→

=x . Akibatnya persamaan differensial (7) dapat dihampiri oleh persamaan

=x Ax (9) Persamaan (9) disebut pelinearan dari persamaan diferensial (7).

[Tu, 1994]

Analisis Kestabilan Titik Tetap Definisi 10 (Kestabilan Titik Tetap) Diberikan SPD sebarang

( ) , .ndx x f x xdt

= = ∈ℜ

Tentukan titik tetap *x yang memenuhi .0)( * =xf Penentuan kestabilan titik tetap

didapat dengan melihat nilai-nilai eigennya, yaitu : iλ dimana ni ,,2,1= yang diperoleh dari persamaan karakteristik (5). Secara umum kestabilan titik tetap mempunyai tiga perilaku : I. Stabil, jika :

3

a. 0)Re( i <λ untuk setiap i. b. Terdapat iRe( ) 0λ = untuk sebarang j

dan 0)Re( i <λ untuk setiap .ji ≠ II. Tak stabil, jika terdapat paling sedikit satu i

dimana .0)Re( i >λ III. Sadel, jika perkalian dua buah nilai eigen

real sembarang adalah negatif ( 0i jλ λ < untuk i dan j sembarang).

[Grimshaw, 1990]

Kriteria Kestabilan

Kondisi Routh Hurwitz Misalkan kaaa ,,, 21 bilangan-bilangan real, 0=ja jika kj > . Semua nilai eigen dari persamaan karakteristik

1 2 11 2 1( ) ... + 0k k

k k kp a a a aλ λ λ λ λ−− −= + + + + =

mempunyai bagian real yang negatif jika dan hanya jika determinan dari matriks ,ii × untuk setiap ki ,,2,1= , determinan dari matriks ,ii ×

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

= −

−

−

i

i

i

i

a

aaaaaaaaaa

M

000

01

3231

2242

12531

adalah positif. [Fisher, 1990]

Sehingga menurut kondisi Routh-Hurwitz, untuk suatu k , 2, 3, 4k = disebutkan bahwa titik tetap *x stabil jika dan hanya jika (untuk

4,3,2=k ), ,0,0 ;2 21 >>= aak

,,0,0 ;3 32131 aaaaak >>>=

.,0,0,0 ;4 42

12

3321431 aaaaaaaaak +>>>>=

[Tu, 1994]

Untuk kasus 3=k dan 4k = , kondisi Routh-Hurwitz disajikan pada teorema 1 dan 2 berikut.

Teorema 1 Misalkan CBA ,, bilangan real. Bagian real dari setiap nilai eigen persamaan karakteristik 0)( 23 =+++= CBAp λλλλ adalah negatif jika dan hanya jika ,A C bernilai positif dan .CAB > Bukti : [lampiran 1] Teorema 2 Misalkan , ,A B C dan D bilangan real. Bagian real dari setiap nilai eigen persamaan karakteristik

4 3 2( ) 0p A B C Dλ λ λ λ λ= + + + + = adalah negatif jika dan hanya jika , ,A C D bernilai positif dan 2 2 .ABC C A D> + Bukti : [lampiran 2] Definisi 11 (Bilangan Reproduksi Dasar ( 0R )) Bilangan Reproduksi Dasar ( 0R ) adalah rata- rata banyaknya individu rentan yang terinfeksi secara langsung oleh individu lain yang sudah terinfeksi bila individu yang sudah terinfeksi tersebut masuk ke dalam populasi yang seluruhnya masih rentan. Formula untuk menentukan bilangan reproduksi dasar ( 0R ) adalah :

0R = maks 1 2 3, , ,R R R dengan 1 2 3, , dan ,R R R menyatakan bilangan reproduksi dasar masing-masing dari penyakit utama, penyakit tambahan, dan kedua-duanya. Kondisi yang akan timbul adalah salah satu di antara kemungkinan berikut : 1. Jika 0 1,R < maka penyakit akan

menghilang. 2. Jika 0 1,R = maka penyakit akan menetap

(endemis), 3. Jika 0 1,R > maka penyakit akan

meningkat menjadi wabah.

[Blyuss & Kyrychko, 2005]

4

III PEMBAHASAN

3.1 Perumusan Model

Dalam penulisan karya ilmiah ini, model yang akan dibahas adalah suatu model SIS (Susceptible Infected Susceptible) dari penularan dua penyakit endemik dalam suatu populasi.

Model SIS merupakan suatu model penyebaran penyakit yang diperoleh dari model SIR (Susceptible Infected Removed) yang dibuat oleh Kermack dan McKendrick pada tahun 1927. Model SIS diperoleh dengan mengganti R (Removed) menjadi S (Susceptible), ketika individu tidak mempunyai kekebalan tubuh setelah terserang penyakit, artinya individu tersebut menjadi rentan kembali setelah sembuh dari penyakit.

Secara skematik, diagram alur model SIS pada penularan dua penyakit endemik dalam suatu populasi dapat dilihat pada gambar 1. Misalkan banyaknya populasi individu pada waktu t dinyatakan dengan )(tNN = . Populasi ini dibagi menjadi tiga kelas yaitu populasi individu rentan ),(tSS = populasi individu terinfeksi oleh penyakit utama ),(tII DD = populasi individu terinfeksi oleh penyakit tambahan ),(tII dd = dan populasi individu terinfeksi oleh kedua

penyakit tersebut ).(tII dDdD = Total populasi dituliskan .dDdD IIISN +++=

Konstruksi model matematika untuk model SIS pada penularan dua penyakit endemik dalam suatu populasi ini menggunakan asumsi: 1. Tiap individu setelah sembuh akan

menjadi rentan kembali. 2. Recruitment )(B konstan. 3. Efisiensi dari penularan penyakit

diasumsikan sama untuk individu yang rentan dan individu yang terinfeksi.

4. Peluang individu menjadi terinfeksi oleh penyakit kedua adalah sama dengan peluang individu rentan menjadi individu terinfeksi oleh penyakit tersebut.

5. Peluang individu menjadi terinfeksi oleh penyakit utama setelah adanya interaksi dengan individu yang terinfeksi oleh kedua penyakit adalah ( ),1 βα − peluang individu menjadi terinfeksi oleh penyakit tambahan setelah adanya interaksi dengan individu yang terinfeksi oleh kedua penyakit adalah ( ),1 αβ − dan peluang individu menjadi terinfeksi oleh kedua penyakit adalah αβ .

Gambar 1. Diagram alur untuk penularan dua penyakit endemik

S

Id IdD ID

B µ

Dr dr

βα dDrαβ

( )βα −1 ( )αβ −1

µµµ Dσ dσ

αα

β β

dD σσ +

5

Setelah semua diasumsikan, model dapat dituliskan sebagai berikut:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 1 , (1)

1 , (2)

1

dD D dD d dD D D d d dD dD

D DdD D D D D d dD

ddD d d d d

dS S S S S SB S I I I I I r I r I r Idt N N N N NdI IS SI I r I I Idt N N N

dI S SI I r Idt N N

µ α β α β α β αβ

α β α σ µ β

β α β σ µ

= − − − − − − − − + + +

= − + − + + − +

= − + − + + − ( )

( ) ( ) ( )

, (3)

, (4)

.

dD dD

dD D d dDd D D d dD dD dD

D d dD

II I

NdI I I I SI I r I Idt N N N

N S I I I

α

α β α β σ σ µ αβ

+

= + + + − + + + +

= + + + (5)

dengan, N : total populasi, S : populasi individu rentan,

DI : populasi individu terinfeksi oleh penyakit utama,

dI : populasi individu terinfeksi oleh penyakit tambahan,

B : recruitment, ,0>B µ : Tingkat kematian alami, ,10 ≤< µ α : penularan efektif individu menjadi

terinfeksi oleh penyakit utama, ,0>α

β : penularan efektif individu menjadi terinfeksi oleh penyakit tambahan,

,0>β

Dσ : tingkat kematian yang disebabkan oleh penyakit utama, ,10 ≤< Dσ

dσ : tingkat kematian yang disebabkan oleh penyakit tambahan,

,10 ≤< dσ

Dr : tingkat kesembuhan dari penyakit utama, ,10 ≤< Dr

dr : tingkat kesembuhan dari penyakit tambahan, ,10 ≤< dr

dDr : tingkat kesembuhan dari kedua penyakit, ,10 ≤< dDr

Selanjutnya digunakan penskalaan

dengan mensubstitusikan persamaan (5) ke

dalam sistem persaman (1)-(4), sehingga

diperoleh sistem persamaan (6)-(9) sebagai

berikut :

( )1 dDD d dD

dS SB S Idt S I I I

µ α β= − − −+ + +

DD d dD

SIS I I I

α−+ + +

( ) 1 dDD d dD

SIS I I I

β α− −+ + +

dD d dD

SIS I I I

β−+ + +

dDD d dD

SIS I I I

αβ−+ + +

,D D d d dD dDr I r I r I+ + +

(6)

( )1DdD

D d dD

dI SIdt S I I I

α β= −+ + +

( ) D D D DD d dD

SI r IS I I I

α σ µ+ − + ++ + +

( ) ,Dd dD

D d dD

II I

S I I Iβ− +

+ + +

(7)

( )1ddD

D d dD

dI SIdt S I I I

β α= −+ + +

( ) d d d dD d dD

SI r IS I I I

β σ µ+ − + ++ + +

( ) ,dD dD

D d dD

II I

S I I Iα− +

+ + +

(8)

( )dD D d

D d dD

dI I Idt S I I I

α β= ++ + +

( ) dDd D

D d dD

II I

S I I Iα β+ +

+ + +

( ) D d dD dDr Iσ σ µ− + + +

+ .dDD d dD

SIS I I I

αβ+ + +

(9)

6

Selanjutnya akan diturunkan titik tetap untuk sistem persamaan (6)-(9) yang kemudian akan dibahas analisis kestabilan disekitar titik tetap tersebut serta dinamika populasinya.

3.2 Titik Tetap

Analisis titik tetap pada SPD sering digunakan untuk menentukan suatu solusi yang tidak berubah terhadap waktu t. Perhatikan kembali persamaan (6)–(9), misalkan titik tetap persamaan tersebut dinotasikan dengan ( )* * * *, , , .D d dDE S I I I= Dengan demikian menurut definisi, titik tetap E dapat diperoleh dengan menentukan

0, 0, 0, dan 0,d dDD dI dIdIdSdt dt dt dt

= = = =

dari persamaan (6)-(9). Titik tetap yang diperoleh adalah

0 ,0,0,0BEµ

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

,

( )1 , ,0,0DE S I= , dan

( )* *2 ,0, ,0dE S I= ,

dengan, (10)DN S I= +

2ˆ , (11)

D D D D D

BNr

ασ µ αµ ασ σ σ

=− + + − −

2

( ), (12)D D

D D D D D

r BS

rµ σ

σ µ αµ ασ σ σ+ +

=− + + − −

2

( ), (13)D D

DD D D D D

r BI

rα µ σ

σ µ αµ ασ σ σ− − −

=− + + − −

* * * (14)dN S I= +

*2 , (15)

d d d d d

BNr

βσ µ βµ βσ σ σ

=− + + − −

*2

( ), (16)d d

d d d d d

r BS

rµ σ

σ µ βµ βσ σ σ+ +

=− + + − −

*2

( ), (17)d d

dd d d d d

r BI

rβ µ σ

σ µ βµ βσ σ σ− − −

=− + + − −

Penentuan titik tetap ini dapat dilihat di lampiran 4. 3.3 Analisis Kestabilan Titik Tetap

Pada bagian ini akan dianalisis kestabilan titik tetap dari sistem persamaan (6)-(9). Misalkan persamaan (6)–(9) dituliskan sebagai berikut :

( ), , , ,D d dDdS A S I I Idt

=

( ), , , ,DD d dD

dI B S I I Idt

=

( ), , , ,dD d dD

dIC S I I I

dt=

( ), , , .dDD d dD

dID S I I I

dt=

Dari sistem persamaan di atas dapat diperoleh matriks Jacobi:

J

D d dD

D d dD

D d dD

D d dD

A A A AS I I IB B B BS I I IC C C CS I I ID D D DS I I I

∂ ∂ ∂ ∂⎡ ⎤⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥=⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

41 42 43 44

=

α α α αα α α αα α α αα α α α

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(18)

dengan, J = ijα untuk 1, 2,3, 4 dan 1,2,3, 4i j= = (lihat lampiran 5). 3.3.1 Kestabilan Sistem di Titik Tetap

( )0,0,0,0 µBE =

Sistem persamaan diferensial pada titik tetap 0E akan menghasilkan matriks Jacobi sebagai berikut :

J0

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

44434241

34333231

24232221

14131211

αααααααααααααααα

(19)

dengan, 11α µ=− 31 0α =

12 Drα α=− + 32 0α =

13 drα β= − + 33 ( )d drα β σ µ= − + +

14 dDrα α β αβ= − − + + ( )34 1α β α= −

21 0α = 41 0α =

22 ( )D Drα α σ µ= − + + 42 0α =

23 0α = 43 0α =

24 (1 )α α β= − 44 ( )D d dDrα σ σ µ αβ= − + + + +

Persamaan karakteristik dari matriks J0 diperoleh dari persamaan det (J0-λ I) 0=

7

11 12 13 14

22 24

33 34

44

0 0det 0

0 00 0 0

α λ α α αα λ α

α λ αα λ

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥ =⎢ ⎥−⎢ ⎥

−⎣ ⎦

( )( ) ( )( )11 22 33 44 0α λ α λ α λ α λ− − − − =

(20) Persamaan (20) menghasilkan nilai eigen sebagai berikut :

,1 µλ −=

2 ( ),D Drλ α µ σ= − + +

3 ( ),d drλ β µ σ= − + + dan

4 ( ).d D dDrλ αβ µ σ σ= − + + + (21)

Matriks J0 mempunyai empat nilai eigen yang mempunyai nilai bilangan realnya negatif jika dan hanya jika

,, dan

.

D D

d d

d D dD

rr

r

α µ σβ µ σαβ µ σ σ

< + +< + +< + + +

(22)

Dengan mengekspresikan dalam bentuk ,, 21 RR dan ,3R dengan

1

2

3

,

, dan

,

D D

d d

D d dD

Rr

Rr

Rr

ασ µ

βσ µ

αβσ σ µ

=+ +

=+ +

=+ + +

(23)

maka kita peroleh bahwa 0E adalah stabil lokal asimtotik jika ,11 <R ,12 <R dan

3 1.R < Dengan menggunakan definisi untuk

1R dan 3R akan secara mudah diperoleh bahwa jika

(24)D d dD

D D

rr

σ σ µβ

σ µ+ + +

<+ +

(lihat lampiran 6) maka 31 RR > dan cukup mengikuti dinamika pada 1R saja untuk memperoleh nilai terkecil dari α yang mana 0E akan menjadi takstabil. 3.3.2 Kestabilan Sistem di Titik Tetap

( )1 , ,0,0DE S I=

Sistem persamaan diferensial pada titik tetap 1E , akan menghasilkan matriks Jacobi sebagai berikut :

J1

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

44434241

34333231

24232221

14131211

αααααααααααααααα

(25)

dengan, 2

11 2( )D

D

IS Iα

α µ=− −+

2

12 2( ) DD

S rS Iαα −

= ++

13 2

( )( )

D Dd

D

SI S S Ir

S Iα β

α− +

= ++

14

2

( )( )

+( )

D

D dDD

SS I

SI rS I

α α β αβ

α

= − − ++

++

2

21 2( )D

D

IS Iα

α =+

2

22 2 ( )( ) D D

D

S rS Iαα σ µ= − + ++

2

23 2

( )( )

D D

D

I SIS I

β α βα

− − +=

+

2

24 2

( )( ) ( )D

D D

I S SS I S Iα β αα

+= − +

+ +

31 0α =

32 0α =

33 ( )( )

Dd d

D

I Sr

S Iα β

α σ µ+

= − − + ++

34( 1)

( )D

SS I

β αα −= −

+

41 0α =

42 0α =

43( )( )

D

D

IS Iα β

α+

=+

44( )

( )( )D

D d dDD

I Sr

S Iα β

α σ σ µ+

= − + + ++

Persamaan karakteristik dari matriks J1 diperoleh dari persamaan det (J1 -λ I) 0=

11 12 13 14

21 22 23 24

33 34

43 44

det 00 00 0

α λ α α αα α λ α α

α λ αα α λ

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥ =⎢ ⎥−⎢ ⎥

−⎣ ⎦

(26)

8

Kestabilan titik tetap 1E diperoleh dengan mengamati nilai eigen matriks J1 pada persamaan (26) yaitu : 4 3 2

1 1 1 1 0A B C Dλ λ λ λ+ + + + = dengan nilai

1A , 1B , 1C 1D , ada pada lampiran 7. Berdasarkan kriteria Routh Hurwitz, titik tetap 1E stabil jika keempat syaratnya dipenuhi yakni : 1. 1 0A > , kondisi ini terpenuhi jika

,D Drα µ σ> + + (27) dapat dituliskan sebagai 1 1.R > 2. 1 0C > , kondisi ini terpenuhi jika

1 2 1 3

1 11 1 0.pR R R Rαβ αββ α

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − + − + >⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(28) 3. 1 0D > , kondisi ini terpenuhi jika

1 2 3 0,q q q q= + + > (29) disini,

( )

12

22

1 3 2

33 1 2

,

1 11 1 ,

11 .

qR

qR R R

qR R R

βα

βα αβ αβ

α βα

⎛ ⎞= − +⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞⎛ ⎞

= + − + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞⎛ ⎞

= − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

4. 2

1 1 1 1 1 0,A B C C A D21− − > kondisi ini

terpenuhi jika ketiga syarat sebelumnya terpenuhi.

(30)

Jadi titik tetap 1E stabil jika keempat syarat tersebut terpenuhi. (lihat lampiran 9). 3.3.3 Kestabilan Sistem di Titik Tetap

( )* *2 ,0, ,0dE S I=

Sistem persamaan diferensial pada titik tetap 2E , akan menghasilkan matriks Jacobi sebagai berikut :

J2

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

44434241

34333231

24232221

14131211

αααααααααααααααα

(31)

dengan, *

11 * * 2( )d

d

IS Iβ

α µ=− −+

* * * * *

12 * * 2

( )( )

d dD

d

S S I S Ir

S Iα β

α− + +

= ++

* 2

13 * * 2

( )( ) d

d

S rS I

βα =− ++

* **

14 * * * * 2

( )( ) ( )

ddD

d d

S IS rS I S I

βα β αβα − − += + +

+ +

21 0α = * *

22 * *

( )( )

( )d

D Dd

S Ir

S Iα β

α σ µ−

= − + ++

23 0α = *

24 * *

(1 )( )d

SS I

α βα −=

+

* 2

31 * * 2

( )( )

d

d

IS Iβ

α =+

* * * 2

32 * * 2

( ) ( )( )

d d

d

S I IS I

α β αα

− + −=

+

* 2

33 * * 2

( ) ( )( ) d d

d

S rS Iβα σ µ= − + ++

* 2 * 2 * *

34 * * 2

( ) ( 1)( ) ( 1)( )

d d

d

I S S IS I

α β α α βα

+ − + += −

+

41 0α = *

42 * *

( )( )

d

d

IS Iα β

α+

=+

43 0α = * *

44 * * ( )( )

dD d dD

d

S Ir

S Iαβ α

α σ σ µ+

= − + + ++

Persamaan karakteristik dari matriks J2

diperoleh dari persamaan det (J2 -λ I) 0=

11 12 13 14

22 24

31 32 33 34

42 44

0 0det 0

0 0

α λ α α αα λ α

α α α λ αα α λ

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥ =⎢ ⎥−⎢ ⎥

−⎣ ⎦

(32)

Kestabilan titik tetap 2E diperoleh dengan mengamati nilai eigen matriks J2 pada persamaan (32) yaitu :

4 3 22 2 2 2 0A B C Dλ λ λ λ+ + + + = dengan nilai

2A , 2B , 2C 2D , ada pada lampiran 8. Berdasarkan kriteria Routh Hurwitz, titik 2E stabil jika keempat syaratnya dipenuhi yakni : 1. 2 0A > , kondisi ini terpenuhi jika :

,d drβ µ σ> + + (33)

9

dapat dituliskan sebagai 2 1.R > 2. 2 0C > , kondisi ini terpenuhi jika

2 1 2 3

1 11 1 0.pR R R Rαβ αβα β∗ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= − + − + − + >⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(34) 3. 2 0D > , kondisi ini terpenuhi jika

1 2 3 0,q q q q∗ ∗ ∗ ∗= + + > (35) disini,

11

,qRαβ∗ ⎛ ⎞

= − +⎜ ⎟⎝ ⎠

( )22

2 3 1

1 11 1 ,qR R R

αβ αβ αβ∗ ⎛ ⎞⎛ ⎞= + − + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

33 2 2

11 .qR R Rβ αβ∗ ⎛ ⎞⎛ ⎞

= − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

4. 2

2 2 2 2 2 0,A B C C A D22− − > kondisi ini

terpenuhi jika ketiga syarat sebelumnya terpenuhi.

(36) Jadi titik tetap 2E stabil jika keempat

syarat tersebut terpenuhi. (lihat lampiran 10).

Berikut adalah tabel kondisi kestabilan dari tiga titik tetap yang diperoleh. Tabel 1. Kestabilan titik tetap

Kondisi 0E 1E 2E 1, 1, 2, 3jR j< = Stabil Tak Stabil Tak Stabil

1 1,R >

1 2 1 3

1 11 1 0,pR R R Rαβ αββ α

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − + − + >⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠dan

( )2

2 1 3 2

3 1 2

1 11 1

1 1 0.

qR R R R

R R R

β βα α αβ αβ

α βα

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞= − + + + − + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞+ − + >⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

Tak Stabil Stabil Tak Stabil

2 1,R >

2 1 2 3

1 11 1 0,pR R R Rαβ αβα β∗ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= − + − + − + >⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

dan

( )2

1 2 3 1

3 2 2

1 11 1

1 1 0.

qR R R R

R R R

α αβ β αβ αβ

β αβ

∗ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞= − + + + − + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞+ − + >⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

Tak Stabil Tak Stabil Stabil

Selanjutnya akan dibahas analisis

kualitatif untuk mengetahui perilaku solusi model dan dinamika populasinya. 3.4 Analisis Kualitatif

Ilustrasi kondisi kestabilan sistem pada

ketiga titik tetap dapat ditunjukkan dalam kurva solusi dan dinamika populasinya dengan menggunakan bantuan software Mathematica 6.

Untuk itu diperlukan nilai-nilai parameter yang terdapat dalam persamaan (1)-(5). Parameter yang diberikan dalam tulisan ini diambil dari Blyuss & Kyrychko (2005). a. Dengan menggunakan nilai-nilai

parameter ,01.0=µ ,04.0=Dσ ,03.0=dσ ,5.0=Dr ,8.0=dr dan

1,B = kurva solusi ( )p α dan ( )q α diperoleh pada saat 3.0=β , 5.0=β

10

0.7β = , dan 8.0=β yang diilustrasikan pada Gambar 2(a) - 2(d).

0.2 0.4 0.6 0.8 1α

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1p@αD,q@αD

0.2 0.4 0.6 0.8 1α

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1p@αD,q@αD

(a) (b)

0.2 0.4 0.6 0.8 1α

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1p@αD,q@αD

0.2 0.4 0.6 0.8 1α

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1p@αD,q@αD

(c) (d) Gambar 2. (a)-(d) kurva solusi ( )p α dan ( )q α terhadap α dengan (a) 3.0=β ,(b) 5.0=β ,(c)

0.7,β = dan (d) 8.0=β Keterangan : : kurva ( )p α : kurva ( )q α

Pada Gambar 2(a) terlihat bahwa untuk

nilai 0.3,β = terlihat nilai α sekitar 0,6 pada gambar 2(a) atau tepatnya pada saat nilai 0.55,α = keseimbangan titik tetap 0E menjadi takstabil dan keadaan endemik 1E muncul. Keadaan endemik 1E muncul ketika 1 1R > dan kondisi ( ) 0p α > dan

( ) 0q α > dipenuhi.

Pada Gambar 2(b) terlihat bahwa untuk β yang lebih besar menjadi 0.5,β = keadaan endemik 1E ini secara alami mulai tak stabil. Tetapi, menjadi tak stabil untuk α lebih besar.

Pada Gambar 2(c) dan 2(d) terlihat bahwa untuk nilai β yang sama besar, garis endemik titik tetap 1E tak stabil untuk semua nilai α saat kondisi untuk kestabilan

( ) 0p α > dan ( ) 0q α > tidak dipenuhi.

b. Dengan menggunakan nilai-nilai parameter ,01.0=µ ,04.0=Dσ ,03.0=dσ ,5.0=Dr

,8.0=dr dan 1,B = hubungan dinamika populasi antara ,NS ,

NI D ,

NI d ,dDI

N diperoleh pada

saat (a) 52.0=α dan 75.0=β ; (b) 6.0=α dan 4.0=β ; (c) 8.0=α dan 8.0=β ; (d) 9.0=α dan 0.9,β = diilustrasikan pada Gambar 3(a) - 3(d) berikut.

11

100 200 300 400t

20

40

60

80

100

S,ID,Id,IdD

100 200 300 400t

20

40

60

80

100

S,ID,Id,IdD

100 200 300 400t

20

40

60

80

100

S,ID,Id,IdD

100 200 300 400t

20

40

60

80

100

S,ID,Id,IdD

(a) (b)

(c) (d)

Gambar 3. (a) Dinamika populasi dari keempat model terhadap t dengan 52.0=α dan 75.0=β (b) Dinamika populasi dari keempat model terhadap t dengan 6.0=α dan 4.0=β (c) Dinamika populasi dari keempat model terhadap t dengan 0.8α = dan 0.8β = (d) Dinamika populasi dari keempat model terhadap t dengan 0.9α = dan 0.9β = Keterangan : : Populasi individu rentan : Populasi individu terinfeksi oleh

penyakit utama : Populasi individu terinfeksi oleh

penyakit tambahan : Populasi individu terinfeksi oleh

kedua penyakit Pada Gambar 3(a) terlihat bahwa secara

biologis hanya populasi dari populasi individu rentan dapat bertahan hidup dan stabil. Sedangkan untuk populasi individu terinfeksi oleh penyakit utama, individu terinfeksi oleh penyakit tambahan dan individu terinfeksi oleh kedua penyakit banyaknya populasi akan menuju kepunahan.

Pada Gambar 3(b) terlihat bahwa ketika α meningkat menjadi 6.0=α dan β menurun menjadi 4.0=β , secara biologis populasi individu rentan, individu terinfeksi oleh penyaki utama dan individu terinfeksi oleh kedua penyakit dapat bertahan hidup.

Akan tetapi terlihat bahwa populasi individu rentan menjadi menurun dan cenderung takstabil dan menyebabkan titik tetap

0E takstabil dan titik tetap 1E stabil mulai terlihat. Populasi individu terinfeksi oleh penyakit utama meningkat dibandingkan sebelumnya dikarenakan nilai α yang meningkat pula. Sedangkan Populasi individu terinfeksi oleh penyakit tambahan banyaknya populasi menurun dan cenderung akan menuju kepunahan.

Pada Gambar 3(c) terlihat bahwa ketika α dan β meningkat menjadi 0.8α = dan

0.8β = , secara biologis populasi dari populasi individu terinfeksi oleh kedua penyakit meningkat dan menyebabkan titik tetap 1E menjadi takstabil dan keadaan co-infected mulai terlihat stabil. Sedangkan untuk populasi individu rentan dan individu terinfeksi oleh penyakit utama dan individu terinfeksi oleh penyakit tambahan banyaknya populasi menurun dan akan menuju kepunahan.

12

Pada Gambar 3(d) terlihat bahwa ketika α dan β meningkat menjadi 0.9α = dan

0.9β = , secara biologis populasi individu terinfeksi oleh kedua penyakit meningkat dan keadaan co-infected stabil. Sedangkan untuk populasi individu rentan dan individu terinfeksi oleh penyakit utama dan individu terinfeksi oleh penyakit tambahan banyaknya populasi menurun dan akan menuju kepunahan.

Dari ketiga titik tetap yang telah dibahas diatas, dengan mengambil contoh nilai parameter yang berbeda dapat diketahui bagaimana adanya saling keterikatan dari masing-masing titik tetap tersebut dalam menganalisis kestabilannya. Titik tetap 0E akan stabil jika ,11 <R ,12 <R dan 3 1.R < Dalam hal ini, setelah mensubstitusikan semua nilai parameter dan α sebagai parameter kontrol, maka diperoleh bahwa ketika nilai 0.55α = , titik tetap 0E akan menjadi tidak stabil dan titik tetap 1E akan

muncul untuk nilai 0.55α ≥ . Ini akan terjadi ketika salah satu 1R atau 3R menjadi lebih besar dari 1. Dengan menggunakan definisi untuk 1R dan 3R akan secara mudah diperoleh bahwa jika

D d dD

D D

rr

σ σ µβ

σ µ+ + +

<+ +

maka 31 RR > dan cukup mengikuti dinamika pada 1R saja untuk memperoleh nilai terkecil dari α yang mana 0E akan menjadi takstabil.

Dengan demikian titik tetap 1E akan menjadi stabil pada saat titik tetap 0E menjadi tak stabil dan menghilang. Sedangkan untuk titik tetap 2E sama seperti titik tetap 1E , karena dalam hal ini β yang dijadikan parameter kontrol.

13

IV SIMPULAN

Dari analisis yang telah dilakukan

terhadap model dua penyakit endemik diperoleh tiga tipe titik tetap, yaitu titik tetap tanpa penyakit 0E dan titik tetap endemik 1E dan 2E .

Analisis kestabilan titik tetap tersebut bergantung pada 1R , 2R dan 3R yang masing-masing menyatakan bilangan reproduksi dasar dari penyakit utama, penyakit tambahan dan keduanya. Titik tetap 0E berada dalam kestabilan ketika bilangan reproduksi dasar kurang dari satu ( 0 1R < ) dan titik tetap endemik 1E dan 2E dalam kestabilan ketika

bilangan reproduksi dasar lebih dari satu ( 0 1R > ), 0R = maks 1 2 3, , .R R R

Dari simulasi yang telah dilakukan terhadap model dua penyakit endemik diperoleh tiga tipe perilaku model yaitu ketika hanya penyakit utama yang muncul,dan ketika hanya penyakit tambahan atau kedua penyakit (co-infected) yang muncul.

Kondisi kestabilan populasi individu yang terinfeksi oleh penyakit utama berbanding lurus dengan laju penularan efektif individu menjadi terinfeksi oleh penyakit utama (α ).

14

DAFTAR PUSTAKA

Anton H. 1995. Aljabar Linear Elementer.

Edisi ke-5. Pantur Silaban & I Nyoman Susila, penerjemah. Jakarta: Erlangga.

Blyuss KB, Kyrychko YN. 2005. On a basic model of a two-disease epidemic. Elsevier Applied Mathematics and Computation 160 :177–187.

Chavez CC, Feng Z, Huang W. 2002. On the Computation of R0 and its role on Global Stability. Berlin: Springer-Verlag.

Fisher SD. 1990. Complex Variables. 2nd edition. California: Wadsworth & Brooks/Cole.

Grimshaw R. 1990. Nonlinear Ordinary Differensial Equations. Oxford: Blackwell Scientific Publications.

Purcell EJ, Varberg D.1998. Kalkulus dan Geometri Analisis. Jilid 2. Edisi ke-5. I

Nyoman Susila, Bana Kartasasmita dan Rawuh, penerjemah. Jakarta: Erlangga.

Strogatz SH. 1994. Nonlinear Dynamics and Chaos: with Application to Physics, Biology, Chemestry, and Engeneering. Canada: Addison-Wesley Publishing Company.

Szidarovszky F, Bahill AT. 1998. Linear System Theory. 2nd edition. Florida: CRC Press.

Tu PNV. 1994. Dynamics Systems : An Introduction with Application in Economics and Biology. New York: Spinger-Verlag.

Verhulst F. 1990. Nonlinear Differential Equation and Dynamics Systems. Berlin: Spinger-Verlag.

15

L A M P I R A N

16

Lampiran 1 Pembuktian Teorema 1

Teorema 1. Misalkan , ,A B C bilangan-bilangan real. Bagian real dari setiap nilai eigen persamaan karakteristik

3 2( ) 0p A B Cλ λ λ λ= + + + = adalah negatif jika dan hanya jika ,A C positif dan CΑΒ > . Bukti :

Dari persamaan 3 2( )p A B Cλ λ λ λ= + + + , maka

0 1 2 31, , , dan 0 jika selainnya.ia a A a B a C a i= = = = = Berdasarkan kriteria Routh-Hurwitz, maka bagian real dari setiap akar polinomial 3 2( )p A B Cλ λ λ λ= + + + adalah negatif jika dan hanya jika 1 2 3. .M M M positif, dimana :

1 1 0 a A A= = = >M (1)

1 32

2

0 1 1a a A C

AB Ca B

= = = − >M (2)

1 32

3 2

1 3

0 01 0 1 0 0 0 0

a a A Ca B ABC Ca a A C

= = = − >M (3)

Dari (1) maka diperoleh 0A > Dari (2) maka diperoleh 0AB C− > Dari (3) maka diperoleh 2 0ABC C− > yang dapat diubah dalam bentuk ( - ) 0C AB C > , sehingga dari (2) diperoleh nilai 0C > . Dengan demikian diperoleh bahwa bagian real dari setiap akar polynomial

3 2( )p A B Cλ λ λ λ= + + + adalah negatif jika dan hanya jika 0A > , 0C > serta AB C> . Terbukti

Lampiran 2 Pembuktian Teorema 2

Teorema 2. Misalkan , ,A B C dan D bilangan-bilangan real. Bagian real dari setiap nilai eigen persamaan karakteristik

4 3 2( ) 0p A B C Dλ λ λ λ λ= + + + + = adalah negatif jika dan hanya jika ,A C dan D positif dan 2 2ABC C A D> + . Bukti : Dari persamaan 4 3 2( ) ,p A B C Dλ λ λ λ λ= + + + + , maka

0 1 2 3 41, , , , = dan 0 jika selainnya.ia a A a B a C a D a i= = = = = Berdasarkan kriteria Routh-Hurwitz, maka bagian real dari setiap akar polinomial 4 3 2( )p A B C Dλ λ λ λ λ= + + + + adalah negatif jika dan hanya jika 1 2 3 4, , ,M M M M positif, dimana :

1 1 0 a A A= = = >M (1)

17

1 32

0 2

0 1

a a A CAB C

a a B= = = − >M (2)

1 3 52 2

3 0 2 4

1 3

01 0

0 0

a a a A Ca a a B D ABC A D C

a a A C= = = − − >M (3)

1 3 5 7

0 2 4 6 2 24

1 3 5

0 2 4

0 01 0

( 0 0 0 00 0 1

a a a a A Ca a a a B D

D ABC A D Ca a a A Ca a a B D

= = = − − ) >M (4)

Dari (1) maka diperoleh 0A > Dari (3) dan (4) diperoleh 0.D > Dari (2) dan (3), maka dapat ditulis 2( ) ,C AB C A D− > karena 2 0A D > dan - 0AB C > , sehingga dari diperoleh nilai 0C > . Persamaan (4) benar jika 0D > dan 2 2ABC C A D> + . Dengan demikian diperoleh bahwa bagian real dari setiap akar polynomial

3 2( )p A B Cλ λ λ λ= + + + adalah negatif jika dan hanya jika 0A > , 0C > , 0.D > serta 2 2ABC C A D> + .

Terbukti

Lampiran 3

Penurunan persamaan (6) – (9)

Subsitusikan persamaan (5) yaitu ,D d dDN S I I I= + + + ke persamaan (1) – (4) berikut ini

( ) ( ) ,11 dDdDddDDdDddDDdD IrIrIrNSI

NSI

NSI

NSI

NSISB

dtdS

+++−−−−−−−−= αββαβαβαµ (1)

( ) ( ) ( ) ,1NIIIIr

NSI

NSI

dtdI D

dDdDDDDdDD +−++−+−= βµσαβα (2)

( ) ( ) ( ) ,1NIIIIr

NSI

NSI

dtdI d

dDDdddddDd +−++−+−= αµσβαβ (3)

( ) ( ) ( ) ,NSIIr

NIII

NII

dtdI

dDdDdDdDdD

DddDdD αβµσσβαβα ++++−+++= (4)

sehingga diperoleh persamaan (6) – (9) sebagai berikut

( ) ( )1 1

,

dD D dDD d dD D d dD D d dD

d dD D D d d dD dDD d dD D d dD

dS S S SB S I I Idt S I I I S I I I S I I I

S SI I r I r I r IS I I I S I I I

µ α β α β α

β αβ

= − − − − − −+ + + + + + + + +

− − + + ++ + + + + +

(6)

( ) ( )

( )

1

,

DdD D D D D

D d dD D d dD

Dd dD

D d dD

dI S SI I r Idt S I I I S I I I

II I

S I I I

α β α σ µ

β

= − + − + ++ + + + + +

− ++ + +

(7)

( ) ( )

( )

1

,

ddD d d d d

D d dD D d dD

dD dD

D d dD

dI S SI I r Idt S I I I S I I I

II I

S I I I

β α β σ µ

α

= − + − + ++ + + + + +

− ++ + +

18

(8)

( ) ( ) ( )

.

dD D d dDd D D d dD dD

D d dD D d dD

dDD d dD

dI I I II I r I

dt S I I I S I I ISI

S I I I

α β α β σ σ µ

αβ

= + + + − + + ++ + + + + +

++ + +

(9)

Lampiran 4 Mencari titik tetap

Dengan mensubstitusikan 0d dDD dI dIdIdSdt dt dt dt

= = = = , maka persamaan (6) – (9) menjadi

( ) ( )1 1

0,

dD D dDD d dD D d dD D d dD

d dD D D d d dD dDD d dD D d dD

S S SB S I I IS I I I S I I I S I I I

S SI I r I r I r IS I I I S I I I

µ α β α β α

β αβ

− − − − − −+ + + + + + + + +

− − + + + =+ + + + + +

(10) ( ) ( )

( )

1

0,

dD D D D DD d dD D d dD

Dd dD

D d dD

S SI I r IS I I I S I I I

II I

S I I I

α β α σ µ

β

− + − + ++ + + + + +

− + =+ + +

(11)

( ) ( )

( )

1

0,

dD d d d dD d dD D d dD

dD dD

D d dD

S SI I r IS I I I S I I I

II I

S I I I

β α β σ µ

α

− + − + ++ + + + + +

− + =+ + +

(12)

( ) ( ) ( )

0.

D d dDd D D d dD dD

D d dD D d dD

dDD d dD

I I II I r I

S I I I S I I ISI

S I I I

α β α β σ σ µ

αβ

+ + + − + + ++ + + + + +

+ =+ + +

(13) Untuk kondisi 0,S = solusi tidak ditemukan. Untuk kondisi 0,S ≠ dan 0, 0, 0D d dDI I I= = = (keadaan bebas penyakit) diperoleh

.BSµ

=

Untuk kondisi 0,S ≠ dan 0, 0, 0D d dDI I I≠ = = persamaan (10) – (13) menjadi

0,D D DD

SB S I r IS I

µ α− − + =+

(14)

( ) 0,D D D DD

SI r IS I

α σ µ− + + =+

(15)

Dari persamaan (15) diperoleh

19

( )

( )( )( ) ( )

( ) ( )( )

.( )

D D D DD

D D D

D D D D D

D D D D D

D D D

D D

SI r IS I

S S I rS S r I r

r S I rI r

Sr

α σ µ

α σ µα σ µ σ µα σ µ σ µ

σ µα σ µ

= + ++

= + + += + + + + +− − − = + +

+ +=

− − −

Substitusikan S ke persamaan (14), sehingga diperoleh ( )

( ) ( ) 0,( ) ( )( )

( )( ) ( )

0,( ) ( ) ( )

( ) (( )

D D D

D D D D DD D D

D D D D D DD D

d d

D D D D D DD D D

D D D D D D D D

D D D DD

D D

I rI r rB I r I

I r I rrr

I r I rB I r I

r I r I rI r I

B Ir

σ µσ µ α σ µ

µ ασ µ α σ µα σ µ

α σ µσ µ σ µ

µ αα σ µ σ µ α σ µ

σ µµ α

α σ µ

+ ++ + − − −

− − + =+ + + − − −− − −

− − −+ + + +

− − + =− − − + + + − − −

+ +− −

− − −)

0,

( )( ) 0,

( )( )( ) ,

( )[ ( )]( ) ( )[ ( ) ( )( )] ( )

( ) (

D DD D

D

D D DD D D D D

D D

D D DD D

D D

D D D D D D D

D D D D D D D D D

D D D D

rr I

II r

B I r r IrI rB I

rB I r I rB r I r I r

B r I

σ µα

σ µµ σ µ

α σ µσ µ

σ µ µα σ µ

σ µ α σ µ µ σ µα σ µ σ µ α σ µ µ σ µα σ µ σ

+ ++ =

+ +− − + + + =

− − −+ +

− + =− − −

− + − − − = + +− − − − + − − − = + +− − − =

2

)( ) ( )( ) [( )( ) ( )]( ) [( ) ( ) ( )]( ) [( ) ]

( ) ( )(

D D D D D

D D D D D D D D

D D D D D D D D D D

D D D D D D

D D D D D D D D

D

r I rB r r r IB r r r r IB r r I

B r r IB

I

µ α σ µ µ σ µα σ µ σ µ α σ µ µ σ µα σ µ α σ µ σ α σ µ µ µ σ µα σ µ α σ µ σ αµ

α σ µ ασ σ µσ σ αµ

+ − − − + + +− − − = + − − − + + +− − − = − − − + − − − + + +− − − = − − − +

− − − = − − − +

= 2

)( )

D D

D D D D D

rr

α σ µασ σ µσ σ αµ

− − −− − − +

Karena persamaan S yang diperoleh tadi masih dalam bentuk variabel DI maka substitusikan kembali persamaan DI ke persamaan S sehingga diperoleh

2

2

( )( )

( ) ( )( )

( )( )

( )

D D D

D D

D DD D

D D D D D

D D

D D

D D D D D

I rS

rB r r

rS

rB r

Sr

σ µα σ µ

α σ µ σ µασ σ µσ σ αµ

α σ µσ µ

ασ σ µσ σ αµ

+ +=

− − −− − −

+ +− − − +

=− − −

+ +=

− − − +

Sehingga diperoleh nilai titik tetap yaitu

1 2

( ) ( )( , ,0,0),( ) ( )

D D D D D

D D D D D D D

I r B rE

r rσ µ α σ µ

α σ µ ασ σ µσ σ αµ+ + − − −

=− − − − − − +

Untuk kondisi 0,S ≠ dan 0, 0, 0d D dDI I I≠ = = persamaan (10) – (13) menjadi

0,d d dd

SB S I r IS I

µ β− − + =+

(16)

20

( ) 0,d d d dd

SI r IS I

β σ µ− + + =+

(17)

Dari persamaan (17) diperoleh

( )

( )( )( ) ( )

( ) ( )( )

.( )

d d d dd

d d d

d d d d d

d d d d d

d d d

d d

SI r IS I

S S I rS S r I r

r S I rI r

Sr

β σ µ

β σ µβ σ µ σ µβ σ µ σ µ

σ µβ σ µ

= + ++

= + + += + + + + +− − − = + +

+ +=

− − −

Substitusikan S ke persamaan (16), sehingga diperoleh

( )( ) ( )

0,( ) ( )( )

( )( ) ( )

0,( ) ( ) ( )

( ) (( )

d d d

d d d d dd d d

d d d d d dd d

d d

d d d d d dd d d

d d d d d d d d

d d d dd

d d

I rI r r

B I r II r I rr

rI r I r

B I r Ir I r I r

I r IB I

r

σ µσ µ β σ µ

µ βσ µ β σ µβ σ µ

β σ µσ µ σ µ

µ ββ σ µ σ µ β σ µ

σ µµ β

β σ µ

+ ++ + − − −

− − + =+ + + − − −− − −

− − −+ + + +

− − + =− − − + + + − − −

+ +− −

− − −)

0,

( )( ) 0,

( )( )

( ) ,( )

[ ( )]( ) ( )[ ( ) ( )( )] ( )

( ) (

d dd d

d

d d dd d d d d

d d

d d dd d

d d

d d d d d d d

d d d d d d d d d

d d d d

rr I

II r

B I r r IrI r

B Ir

B I r I rB r I r I r

B r I

σ µβ

σ µµ σ µ

β σ µσ µ

σ µ µβ σ µ

σ µ β σ µ µ σ µβ σ µ σ µ β σ µ µ σ µβ σ µ σ

+ ++ =

+ +− − + + + =

− − −+ +

− + =− − −

− + − − − = + +

− − − − + − − − = + +− − − =

2

)( ) ( )( ) [( )( ) ( )]( ) [( ) ( ) ( )]( ) [( ) ]

( ) ( )(

d d d d d

d d d d d d d d

d d d d d d d d d d

d d d d d d

d d d d d d d d

d

r I rB r r r IB r r r r IB r r I

B r r IB

I

µ β σ µ µ σ µβ σ µ σ µ β σ µ µ σ µβ σ µ β σ µ σ β σ µ µ µ σ µβ σ µ β σ µ σ βµ

β σ µ βσ σ µσ σ βµ

+ − − − + + +− − − = + − − − + + +

− − − = − − − + − − − + + +− − − = − − − +

− − − = − − − +

= 2

)( )

d d

d d d d d

rr

β σ µβσ σ µσ σ βµ

− − −− − − +

Karena persamaan S yang diperoleh tadi masih dalam bentuk variabel dI maka substitusikan kembali persamaan dI ke persamaan S sehingga diperoleh

2

2

( )( )

( ) ( )( )

( )( )

( )

d d d

d d

d dd d

d d d d d

d d

d d

d d d d d

I rS

rB r r

rS

rB r

Sr

σ µβ σ µ

β σ µσ µ

βσ σ µσ σ βµβ σ µ

σ µβσ σ µσ σ βµ

+ +=

− − −− − −

+ +− − − +

=− − −

+ +=

− − − +

Sehingga diperoleh nilai titik tetap yaitu

2 2

( ) ( )( ,0, ,0),( ) ( )

d d d d d

d d d d d d d

I r B rE

r rσ µ β σ µ

β σ µ βσ σ µσ σ βµ+ + − − −

=− − − − − − +

Sehingga dari semua kondisi diperoleh tiga nilai titik tetap yaitu

21

),0,0,0,(0 µBE =

1 2

( ) ( )( , ,0,0),( ) ( )

D D D D D

D D D D D D D

I r B rE

r rσ µ α σ µ

α σ µ ασ σ µσ σ αµ+ + − − −

=− − − − − − +

dan

2 2

( ) ( )( ,0, ,0),( ) ( )

d d d d d

d d d d d d d

I r B rE

r rσ µ β σ µ

β σ µ βσ σ µσ σ βµ+ + − − −

=− − − − − − +

Lampiran 5 Matriks Jacobi untuk persamaan (18)

J = ijα untuk 1, 2,3, 4 dan 1,2,3, 4i j= = dengan,

11 2

2

( )( )( )

( )( )

( )

D d dD D dD

D d dD

D d dD d dD dD

D d dD

I I I I IS I I I

I I I I I IS I I I

αα µ

α β

+ + += − −

+ + +

+ + + −+

+ + +

12 2

( ) ( )( )

d d dD dDD

D d dD

S S I S I I Ir

S I I Iα α β

α− + + + −

= ++ + +

13 2

( ) ( )( )

D dD D dDd

D d dD

S I I S S I Ir

S I I Iα α β

α+ − + +

= ++ + +

14 2

2

2

2

2

( )(1 )

( )

+( )

( ) (1 )

( )

( )

( )

( )

D d

D d dD

DD d dD

D d

D d dD

dD d dD

D ddD

D d dD

S I IS

S I I ISI

S I I IS I I

SS I I I

SIS I I I

S I IS r

S I I I

α α β

α

β α

β

αβ

+ += − −

+ + +

+ + ++ +

− −+ + +

++ + +

+ +− +

+ + +

21 2

2

( ( ) ( ) )( )

( )( )

( )

D d dD dD D d dD

D d dD

D dD D d dD

D d dD

I I I I I I IS I I I

I I I I IS I I I

α βα

α

+ − + +=

+ + +

+ + ++

+ + +

22 2

2

(( )( ) )( )

( ) ( )

( )

d dD d dD dD

D d dD

dD D

D d dD

I I S I I SIS I I I

S S Ir

S I I I

α βα

ασ µ

+ + + −= −

+ + +

++ − + +

+ + +

2

23 2

(1 ) ( )( )

dD D D

D d dD

SI I SIS I I I

α β β α βα

− − − +=

+ + +

24 2

2

(( ) ( ) )( )

( )

( )

D D D d

D d dD

d

D d dD

S I I S I I SS I I I

S I SS I I I

α βα

α

+ + + += −

+ + +

++

+ + +

31 2

2

( )( )( )

( )

( )

D d dD d dD dD

D d dD

D dD d

D d dD

I I I I I IS I I I

I I IS I I I

α βα

α

+ + + −=

+ + ++

++ + +

32 2

( ) ( )( )d d d dD dD

D d dD

S I I S I I IS I I I

α α βα

+ + + −= −

+ + +

33 2

2

( )( )( )

( ) + ( )

( )

D dD D dD

D d dD

D dDd d

D d dD

I I S I IS I I I

S S I Ir

S I I I

αα

α βσ µ

+ + += −

+ + ++ +

− + ++ + +

2

34 2

( 1)( ) ( 1)( )

d D d

D d dD

I S I S SIS I I I

α β α α βα

+ − + + += −

+ + +

41 2

2

( ( ) ( ))( )

( )

( )

D d dD dD D d dD

D d dD

D dD d

D d dD

I I I I I I IS I I I

I I IS I I I

α βα

α

− + + + +=

+ + ++

−+ + +

42 2

2

(( )( ) )( )

( ) +

( )

d dD d dD dD

D d dD

d d

D d dD

I I S I I SIS I I I

S I IS I I I

α βα

α

+ + + −=

+ + ++

+ + +

43 2

2

( )( )( )

(( ) )

( )

D dD D dD

D d dD

D D dD

D d dD

I I S I IS I I IS I I SIS I I I

αα

α β

+ + +=

+ + ++ −

++ + +

44 2

2

(( ) ( ) )( )( )

+ ( )( )

D D D d

D d dD

d dD d dD

D d dD

S I I S I I SS I I IS I I

rS I I I

α βα

ασ σ µ

+ + + +=

+ + ++

− + + ++ + +

22

Lampiran 6 Penurunan persamaan (24)

1

2

3

,( )

, dan( )

,( )

D D

d d

D d dD

Rr

Rr

Rr

ασ µ

βσ µ

αβσ σ µ

=+ +

=+ +

=+ + +

Perhatikan 1R dan 3R , supaya keadaan lokal asimtotik stabil maka 1, 1, 2,3.jR j< =

Untuk ,D Drα µ σ< + + maka

( ) ( )d D dD

D D d D dD

d D dD

D D

rr r

rr

αβ µ σ σβ µ σ µ σ σ

µ σ σβ

µ σ

< + + +

+ + < + + +

+ + +<

+ +

Lampiran 7

Penurunan persamaan (26) det (J1 -λ I) 0=

11 12 13 14

21 22 23 24

33 34

43 44

00 00 0

α λ α α αα α λ α α

α λ αα α λ

−−

↔ =−

−

( )

( )[ ] [ ]( ) [ ]

22 23 24 12 13 14

11 33 34 21 33 34

43 44 43 44

11 22 33 44 34 43 21 12 33 44 34 43

11 22 33 44 34 43 12 21 33 44 34 43

0 0 00 0

( )(( )( ) ) ( )( ) 0

( )[( )( ) ] ( )( ) 0

α λ α α α α αα λ α λ α α α λ α

α α λ α α λ

α λ α λ α λ α λ α α α α α λ α λ α α

α λ α λ α λ α λ α α α α α λ α λ α α

−↔ − − − − =

− −

↔ − − − − − − − − − =

↔ − − − − − − − − − =

( )11 22 12 21 33 44 34 43

2 211 22 11 22 12 21 33 44 33 44 34 43

4 3 2 3 233 44 33 44 34 43 11 22 11 22 33 44

11 22 33 4

[ ( ) ][( )( ) ] 0

[ ( ) ( )][ ( ) ( )] 0

[ ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )(

α λ α λ α α α λ α λ α α

λ α α λ α α α α λ α α λ α α α α

λ α α λ α α α α λ α α λ α α α α λ

α α α α

↔ − − − − − − =

↔ − + + − − + + − =

↔ − + + − − + + + +

− + 24 34 43 11 22 12 21 11 22 12 21 33 44

11 22 12 21 33 44 34 43

4 311 22 33 44

211 22 11 33 11 44 22 33 22 44 33 44 12 21 34 43

11 22

) ( ) ( )( ) ( )( )] 0

[ ( )

( ) (( )(

α α λ α α α α λ α α α α α α λα α α α α α α α

λ α α α α λ

α α α α α α α α α α α α α α α α λα α α

− + − − − ++ − − =

↔ − + + +

+ + + + + + − −− + 33 44 34 43 11 22 12 21 33 44

11 22 12 21 33 44 34 43

) ( )( )) ( )( )] 0.

α α α α α α α α α λα α α α α α α α

− + − ++ − − =

Misalkan 4 3 21 1 1 1 0,A B C Dλ λ λ λ+ + + + = maka nilai

1 11 22 33 44( )A α α α α= − + + +

1 11 22 11 33 11 44 22 33 22 44 33 44 12 21 34 43( )B α α α α α α α α α α α α α α α α= + + + + + − −

1 11 22 33 44 34 43 11 22 12 21 33 44(( )( ) ( )( ))C α α α α α α α α α α α α= − + − + − +

1 11 22 12 21 33 44 34 43( )( )D α α α α α α α α= − −

23

Lampiran 8 Penurunan persamaan (32)

det (J2 -λ I) 0=

11 12 13 14

22 24

31 32 33 34

42 44

0 00

0 0

α λ α α αα λ α

α α α λ αα α λ

−−

↔ =−

−

( )

( )( )

22 24 12 13 14

11 32 33 34 31 22 24

42 44 42 44

11 33 22 44 24 42 31 13 22 44 24 42

11 33 22 44 24 42 13 31 22 44

00 0

0 0

[( )(( )( ) )] [ (( )( ) )] 0

( )[( )( ) ] [( )( )

α λ α α α αα λ α α λ α α α λ α

α α λ α α λ

α λ α λ α λ α λ α α α α α λ α λ α α

α λ α λ α λ α λ α α α α α λ α λ

−↔ − − + − =

− −

↔ − − − − − + − − − − =

↔ − − − − − − − − −

( )24 42

11 33 13 31 22 44 24 42

2 211 33 11 33 13 31 22 44 22 44 24 42

4 3 2 3 222 44 22 44 24 42 11 33 11 33 22 44

11

] 0

[ ( ) ][( )( ) ] 0

[ ( ) ( )][ ( ) ( )] 0

[ ( ) ( ) ( ) ( )( )

(

α α

α λ α λ α α α λ α λ α α

λ α α λ α α α α λ α α λ α α α α

λ α α λ α α α α λ α α λ α α α α λ

α α

=

↔ − − − − − − =

↔ − + + − − + + − =

↔ − + + − − + + + +

− + 233 22 44 24 42 11 33 13 31 22 44 11 33 13 31

11 33 13 31 22 44 24 42

4 311 22 33 44

211 22 11 33 11 44 22 33 22 44 33 44 13 31 24 42

)( ) ( ) ( )( ) ( )( )] 0

[ ( )

( ) ((

α α α α λ α α α α λ α α α α α α λα α α α α α α α

λ α α α α λ

α α α α α α α α α α α α α α α α λα

− + − − + −+ − − =

↔ − + + +

+ + + + + + − −− 11 33 22 44 24 42 22 44 11 33 13 31

11 33 13 31 22 44 24 42

)( ) ( )( )) ( )( )] 0

α α α α α α α α α α α λα α α α α α α α

+ − + + −+ − − =

Misalkan 4 3 22 2 2 2 0,A B C Dλ λ λ λ+ + + + = maka nilai

2 11 22 33 44( )A α α α α= − + + +

2 11 22 11 33 11 44 22 33 22 44 33 44 13 31 24 42( )B α α α α α α α α α α α α α α α α= + + + + + − −

2 11 33 22 44 24 42 22 44 11 33 13 31(( )( ) ( )( ))C α α α α α α α α α α α α= − + − + + − 2 11 33 13 31 22 44 24 42( )( )D α α α α α α α α= − −

Lampiran 9 Program Analisis kestabilan dengan metode Routh-Hurwitz Criterion untuk titik tetap E1

Clear[α,β,µ,B,δ1,δ2,r1,r2,r3,s,i1,i2,i3] eqsatu=B-µ*s-α*(1-β)*i3*s/(s+i1+i2+i3)-α*i1*s/(s+i1+i2+i3)-β*(1-α)*i3*s/(s+i1+i2+i3)-β*i2*s/(s+i1+i2+i3)-α*β*i3*s/(s+i1+i2+i3)+(r1*i1)+(r2*i2)+(r3*i3); eqdua=α*(1-β)*i3*s/(s+i1+i2+i3)+α*i1*s/(s+i1+i2+i3)-(δ1+µ+r1)*i1-β*(i2+i3)*i1/(s+i1+i2+i3); eqtiga=β*(1-α)*i3*s/(s+i1+i2+i3)+β*i2*s/(s+i1+i2+i3)-(δ2+µ+r2)*i2-α*(i1+i3)*i2/(s+i1+i2+i3); eqempat=(α+β)*i1*i2/(s+i1+i2+i3)+((α*i2)+(β*i1))*i3/(s+i1+i2+i3)-(δ1+δ2+µ+r3)*i3+α*β*i3*s/(s+i1+i2+i3); linmatrix=D[eqsatu,s],D[eqsatu,i1],D[eqsatu,i2],D[eqsatu,i3],D[eqdua,s],D[eqdua,i1],D[eqdua,i2],D[eqdua,i3],D[eqtiga,s],D[eqtiga,i1],D[eqtiga,i2],D[eqtiga,i3],D[eqempat,s],D[eqempat,i1],D[eqempat,i2],D[eqempat,i3];

24

MatrixForm[linmatrix]//FullSimplify; dua=linmatrix/.s→(δ1+µ+r1)*B/(-(δ1*µ)+(α*µ)+(α*δ1)-(δ1)^2-(r1*δ1)),i1→(α-δ1-µ-r1)*B/(-(δ1*µ)+(α*µ)+(α*δ1)-(δ1)^2-(r1*δ1)),i2→0,i3→0; dua//MatrixForm; a11=dua[[1,1]];a12=dua[[1,2]];a13=dua[[1,3]];a14=dua[[1,4]];a21=dua[[2,1]];a22=dua[[2,2]];a23=dua[[2,3]];a24=dua[[2,4]];a31=dua[[3,1]];a32=dua[[3,2]];a33=dua[[3,3]];a34=dua[[3,4]];a41=dua[[4,1]];a42=dua[[4,2]];a43=dua[[4,3]];a44=dua[[4,4]]; A1=-(a11+a22+a33+a44); B1=(a11*a22+a11*a33+a11*a44+a22*a33+a22*a44+a33*a44-a12*a21-a34*a43); C1=-((a11+a22)*(a33*a44-a34*a43)+(a33+a44)*(a11*a22-a12*a21)); D1=((a11*a22)-(a12*a21))*((a33*a44)-(a34*a43)); stabildua = HA1∗B1∗C1L− HC1L2− HHA1L2∗D1L > 0

Lampiran 10

Program Analisis kestabilan dengan metode Routh-Hurwitz Criterion untuk titik tetap E2 Clear[α,β,µ,B,δ1,δ2,r1,r2,r3,s,i1,i2,i3] eqsatu=B-µ*s-α*(1-β)*i3*s/(s+i1+i2+i3)-α*i1*s/(s+i1+i2+i3)-β*(1-α)*i3*s/(s+i1+i2+i3)-β*i2*s/(s+i1+i2+i3)-α*β*i3*s/(s+i1+i2+i3)+(r1*i1)+(r2*i2)+(r3*i3); eqdua=α*(1-β)*i3*s/(s+i1+i2+i3)+α*i1*s/(s+i1+i2+i3)-(δ1+µ+r1)*i1-β*(i2+i3)*i1/(s+i1+i2+i3); eqtiga=β*(1-α)*i3*s/(s+i1+i2+i3)+β*i2*s/(s+i1+i2+i3)-(δ2+µ+r2)*i2-α*(i1+i3)*i2/(s+i1+i2+i3); eqempat=(α+β)*i1*i2/(s+i1+i2+i3)+((α*i2)+(β*i1))*i3/(s+i1+i2+i3)-(δ1+δ2+µ+r3)*i3+α*β*i3*s/(s+i1+i2+i3); linmatrix=D[eqsatu,s],D[eqsatu,i1],D[eqsatu,i2],D[eqsatu,i3],D[eqdua,s],D[eqdua,i1],D[eqdua,i2],D[eqdua,i3],D[eqtiga,s],D[eqtiga,i1],D[eqtiga,i2],D[eqtiga,i3],D[eqempat,s],D[eqempat,i1],D[eqempat,i2],D[eqempat,i3]; MatrixForm[linmatrix]//FullSimplify; tiga=linmatrix/.s→(δ2+µ+r2)*B/(-(δ2*µ)+(β*µ)+(β*δ1)-(δ2)^2-(r2*δ2)),i1→0,i2→(β-δ2-µ-r2)*B/(-(δ2*µ)+(β*µ)+(β*δ2)-(δ2)^2-(r2*δ2)),i3→0; b11=tiga[[1,1]];b12=tiga[[1,2]];b13=tiga[[1,3]];b14=tiga[[1,4]];b21=tiga[[2,1]];b22=tiga[[2,2]];b23=tiga[[2,3]];b24=tiga[[2,4]];b31=tiga[[3,1]];b32=tiga[[3,2]];b33=tiga[[3,3]];b34=tiga[[3,4]];b41=tiga[[4,1]];b42=tiga[[4,2]];b43=tiga[[4,3]];b44=tiga[[4,4]]; A2=-(b11+b22+b33+b44) B2=(b11*b22+b11*b33+b11*b44+b22*b33+b22*b44+b33*b44-b12*b21-b34*b43); C2=-((b11+b33)*(b22*b44-b24*b42)+(b22+b44)*(b11*b33-b13*b31)); D2=((b11*b33)-(b13*b31))*((b22*b44)-(b24*b42)); stabiltiga = HA2∗B2∗C2L− HC2L2− HHA2L2∗D2L > 0

25

Lampiran 11 Program untuk menentukan gambar kurva solusi ( )p α dan ( )q α terhadap α

( Gambar 2(a) - 2(d) )

Gambar 2(a) sysid Mathematica 6 . 0 , DynPac 10.71 , 8 / 6 / 2009 β=0.3; δ1=0.04; δ2=0.03; r1=0.5; r2=0.8; µ=0.01; r3=β*(δ1+µ+r1)-(δ1+δ2+µ);

R1=α

Hδ1+ µ + r1L;

R2=β

Hδ2+ µ + r2L;

R3=α ∗ β

Hδ1+ δ2+ µ +r3L;

f@α_D :=−α ∗ β

R1+ β ∗

ikjjj

1

R2− 1

yzzz+ α∗

ikjjj1 −

1

R1

yzzz+

α ∗ β

R3ê; 0 ≤ α ≤ 1

g@α_D := −ikjjjα +

β

R2

yzzz+

1

R1∗ikjjjα^2+ Hα∗βL∗

ikjjj1−

1

R3

yzzz +

β

R2∗H1−α∗βL

yzzz+

α

R3∗ikjjjα∗

ikjjj1−

1

R1

yzzz+

β

R2

yzzz ê;0≤ α ≤ 1

picture=Plot[f[α],α,0,1,AxesLabel→"α","f[α]",PlotRange→-0.5,1,PlotStyle→Thickness[0.005],ImageSize→300]; picture2=Plot[g[α],α,0,1,AxesLabel→"α","g[α]",PlotRange→-0.5,1,PlotStyle→Thickness[0.01],ImageSize→300]; Show[picture,picture2,PlotRange→-0.5,1,AxesLabel→"α","u,v",AxesOrigin→0,0,ImageSize→300,DisplayFunction→$DisplayFunction]

Gambar 2(b)

sysid Mathematica 6 . 0 , DynPac 10.71 , 8 / 6 / 2009 β=0.5; δ1=0.04; δ2=0.03; r1=0.5; r2=0.8; µ=0.01; r3=β*(δ1+µ+r1)-(δ1+δ2+µ);

R1=α

Hδ1+ µ + r1L;

R2=β

Hδ2+ µ + r2L;

R3=α ∗ β

Hδ1+ δ2+ µ +r3L;

f@α_D :=−α ∗ β

R1+ β ∗

ikjjj

1

R2− 1

yzzz+ α∗

ikjjj1 −

1

R1

yzzz+

α ∗ β

R3ê; 0 ≤ α ≤ 1

g@α_D := −ikjjjα +

β

R2

yzzz+

1

R1∗ikjjjα^2+ Hα∗βL∗

ikjjj1−

1

R3

yzzz +

β

R2∗H1−α∗βL

yzzz+

α

R3∗ikjjjα∗

ikjjj1−

1

R1

yzzz+

β

R2

yzzz ê;0≤ α ≤ 1

picture=Plot[f[α],α,0,1,AxesLabel→"α","f[α]",PlotRange→-0.5,1,PlotStyle→Thickness[0.005],ImageSize→300];

26

picture2=Plot[g[α],α,0,1,AxesLabel→"α","g[α]",PlotRange→-0.5,1,PlotStyle→Thickness[0.01],ImageSize→300]; Show[picture,picture2,PlotRange→-0.5,1,AxesLabel→"α","u,v",AxesOrigin→0,0,ImageSize→300,DisplayFunction→$DisplayFunction]

Gambar 2(c) sysid Mathematica 6 . 0 , DynPac 10.71 , 8 / 6 / 2009 β=0.7; δ1=0.04; δ2=0.03; r1=0.5; r2=0.8; µ=0.01; r3=β*(δ1+µ+r1)-(δ1+δ2+µ);

R1=α

Hδ1+ µ + r1L;

R2=β

Hδ2+ µ + r2L;

R3=α ∗ β

Hδ1+ δ2+ µ +r3L;

f@α_D :=−α ∗ β

R1+ β ∗

ikjjj

1

R2− 1

yzzz+ α∗

ikjjj1 −

1

R1

yzzz+

α ∗ β

R3ê; 0 ≤ α ≤ 1

g@α_D := −ikjjjα +

β

R2

yzzz+

1

R1∗ikjjjα^2+ Hα∗βL∗

ikjjj1−

1

R3

yzzz +

β

R2∗H1−α∗βL

yzzz+

α

R3∗ikjjjα∗

ikjjj1−

1

R1

yzzz+

β

R2

yzzz ê;0≤ α ≤ 1

picture=Plot[f[α],α,0,1,AxesLabel→"α","f[α]",PlotRange→-0.5,1,PlotStyle→Thickness[0.005],ImageSize→300]; picture2=Plot[g[α],α,0,1,AxesLabel→"α","g[α]",PlotRange→-0.5,1,PlotStyle→Thickness[0.01],ImageSize→300]; Show[picture,picture2,PlotRange→-0.5,1,AxesLabel→"α","u,v",AxesOrigin→0,0,ImageSize→300,DisplayFunction→$DisplayFunction]

Gambar 2(d)

sysid Mathematica 6 . 0 , DynPac 10.71 , 8 / 6 / 2009 β=0.8; δ1=0.04; δ2=0.03; r1=0.5; r2=0.8; µ=0.01; r3=β*(δ1+µ+r1)-(δ1+δ2+µ);

R1=α

Hδ1+ µ + r1L;

R2=β

Hδ2+ µ + r2L;

R3=α ∗ β

Hδ1+ δ2+ µ +r3L;

f@α_D :=−α ∗ β

R1+ β ∗

ikjjj

1

R2− 1

yzzz+ α∗

ikjjj1 −

1

R1

yzzz+

α ∗ β

R3ê; 0 ≤ α ≤ 1

g@α_D := −ikjjjα +

β

R2

yzzz+

1

R1∗ikjjjα^2+ Hα∗βL∗

ikjjj1−

1

R3

yzzz +

β

R2∗H1−α∗βL

yzzz+

α

R3∗ikjjjα∗

ikjjj1−

1

R1

yzzz+

β

R2

yzzz ê;0≤ α ≤ 1

picture=Plot[f[α],α,0,1,AxesLabel→"α","f[α]",PlotRange→-0.5,1,PlotStyle→Thickness[0.005],ImageSize→300];

27

picture2=Plot[g[α],α,0,1,AxesLabel→"α","g[α]",PlotRange→-0.5,1,PlotStyle→Thickness[0.01],ImageSize→300]; Show[picture,picture2,PlotRange→-0.5,1,AxesLabel→"α","u,v",AxesOrigin→0,0,ImageSize→300,DisplayFunction→$DisplayFunction]

Lampiran 12 Program untuk menentukan gambar dinamika populasi

( Gambar 3(a) - 3(d) )

Gambar 3(a) sysid Mathematica 6 . 0 , DynPac 10.71 , 8 / 4 / 2009 B=1;µ=0.01;δ1=0.04;δ2=0.03;r1=0.5;r2=0.8; α=0.52; β=0.75; r3=β*(δ1+µ+r1)-(δ1+δ2+µ) 0.3325 Off[General::spell] Off[General::spell1] eq1=s'[t] B-µ*s[t]-α*(1-β)*i3[t]*s[t]/(s[t]+i1[t]+i2[t]+i3[t])-α*i1[t]*s[t]/(s[t]+i1[t]+i2[t]+i3[t])-β*(1-α)*i3[t]*s[t]/(s[t]+i1[t]+i2[t]+i3[t])-β*i2[t]*s[t]/(s[t]+i1[t]+i2[t]+i3[t])-α*β*i3[t]*s[t]/(s[t]+i1[t]+i2[t]+i3[t])+r1*i1[t]+r2*i2[t]+r3*i3[t]; eq2=i1'[t] α*(1-β)*i3[t]*s[t]/(s[t]+i1[t]+i2[t]+i3[t])+α*i1[t]*s[t]/(s[t]+i1[t]+i2[t]+i3[t])-(δ1+µ+r1)*i1[t]-β*(i2[t]+i3[t])*i1[t]/(s[t]+i1[t]+i2[t]+i3[t]); eq3=i2'[t] β*(1-α)*i3[t]*s[t]/(s[t]+i1[t]+i2[t]+i3[t])+β*i2[t]*s[t]/(s[t]+i1[t]+i2[t]+i3[t])-(δ2+µ+r2)*i2[t]-α*(i1[t]+i3[t])*i2[t]/(s[t]+i1[t]+i2[t]+i3[t]); eq4=i3'[t] (α+β)*(i1[t]+i2[t])/(s[t]+i1[t]+i2[t]+i3[t])+(α*i2[t]+β*i1[t])*i3[t]/(s[t]+i1[t]+i2[t]+i3[t])-(δ1+δ2+µ+r3)*i3[t]+α*β*i3[t]*s[t]/(s[t]+i1[t]+i2[t]+i3[t]); solusi1=NDSolve[eq1,eq2,eq3,eq4,s[0] 100,i1[0] 0.05,i2[0] 0.05,i3[0] 0,s[t],i1[t],i2[t],i3[t],t,0,500]; a,b,c,d=s[t],i1[t],i2[t],i3[t]/.Flatten[solusi1]; gambar1=Plot[a,t,0,500,AxesLabel→"t","s",AxesOrigin→0,0,PlotRange→0,105,PlotStyle→RGBColor[1,0,0],Thickness[0.01],ImageSize→300] ; gambar2=Plot[b,t,0,500,AxesLabel→"t","i1",AxesOrigin→0,0,PlotRange→0,50,PlotStyle→RGBColor[0,1,0],Thickness[0.01],ImageSize→300]; gambar3=Plot[c,t,0,500,AxesLabel→"t","i1",AxesOrigin→0,0,PlotRange→0,50,PlotStyle→RGBColor[0,1,0],Thickness[0.01],ImageSize→300]; gambar4=Plot[d,t,0,500,AxesLabel→"t","i1",AxesOrigin→0,0,PlotRange→0,50,PlotStyle→RGBColor[0,1,0],Thickness[0.01],ImageSize→300];

28

Show[gambar1,gambar2,gambar3,gambar4,PlotRange→0,5,AxesLabel→"

t”, "S,ID,Id,IdD",AxesOrigin→0,0,ImageSize→300,DisplayFunction→$DisplayFunction]

Gambar 3(b) sysid Mathematica 6 . 0 , DynPac 10.71 , 8 / 4 / 2009 B=1;µ=0.01;δ1=0.04;δ2=0.03;r1=0.5;r2=0.8; α=0.6; β=0.4; r3=β*(δ1+µ+r1)-(δ1+δ2+µ) 0.14 Off[General::spell] Off[General::spell1] eq1=s'[t] B-µ*s[t]-α*(1-β)*i3[t]*s[t]/(s[t]+i1[t]+i2[t]+i3[t])-α*i1[t]*s[t]/(s[t]+i1[t]+i2[t]+i3[t])-β*(1-α)*i3[t]*s[t]/(s[t]+i1[t]+i2[t]+i3[t])-β*i2[t]*s[t]/(s[t]+i1[t]+i2[t]+i3[t])-α*β*i3[t]*s[t]/(s[t]+i1[t]+i2[t]+i3[t])+r1*i1[t]+r2*i2[t]+r3*i3[t]; eq2=i1'[t] α*(1-β)*i3[t]*s[t]/(s[t]+i1[t]+i2[t]+i3[t])+α*i1[t]*s[t]/(s[t]+i1[t]+i2[t]+i3[t])-(δ1+µ+r1)*i1[t]-β*(i2[t]+i3[t])*i1[t]/(s[t]+i1[t]+i2[t]+i3[t]); eq3=i2'[t] β*(1-α)*i3[t]*s[t]/(s[t]+i1[t]+i2[t]+i3[t])+β*i2[t]*s[t]/(s[t]+i1[t]+i2[t]+i3[t])-(δ2+µ+r2)*i2[t]-α*(i1[t]+i3[t])*i2[t]/(s[t]+i1[t]+i2[t]+i3[t]); eq4=i3'[t] (α+β)*(i1[t]+i2[t])/(s[t]+i1[t]+i2[t]+i3[t])+(α*i2[t]+β*i1[t])*i3[t]/(s[t]+i1[t]+i2[t]+i3[t])-(δ1+δ2+µ+r3)*i3[t]+α*β*i3[t]*s[t]/(s[t]+i1[t]+i2[t]+i3[t]); solusi1=NDSolve[eq1,eq2,eq3,eq4,s[0] 100,i1[0] 0.05,i2[0] 0.05,i3[0] 0,s[t],i1[t],i2[t],i3[t],t,0,500]; a,b,c,d=s[t],i1[t],i2[t],i3[t]/.Flatten[solusi1]; gambar1=Plot[a,t,0,500,AxesLabel→"t","s",AxesOrigin→0,0,PlotRange→0,105,PlotStyle→RGBColor[1,0,0],Thickness[0.01],ImageSize→300] ; gambar2=Plot[b,t,0,500,AxesLabel→"t","i1",AxesOrigin→0,0,PlotRange→0,50,PlotStyle→RGBColor[0,1,0],Thickness[0.01],ImageSize→300]; gambar3=Plot[c,t,0,500,AxesLabel→"t","i1",AxesOrigin→0,0,PlotRange→0,50,PlotStyle→RGBColor[0,1,0],Thickness[0.01],ImageSize→300]; gambar4=Plot[d,t,0,500,AxesLabel→"t","i1",AxesOrigin→0,0,PlotRange→0,50,PlotStyle→RGBColor[0,1,0],Thickness[0.01],ImageSize→300]; Show[gambar1,gambar2,gambar3,gambar4,PlotRange→0,5,AxesLabel→"

t”, "S,ID,Id,IdD",AxesOrigin→0,0,ImageSize→300,DisplayFunction→$DisplayFunction]

Gambar 3(c) sysid Mathematica 6 . 0 , DynPac 10.71 , 8 / 4 / 2009 B=1;µ=0.01;δ1=0.04;δ2=0.03;r1=0.5;r2=0.8;

29

α=0.8; β=0.8; r3=β*(δ1+µ+r1)-(δ1+δ2+µ) 0.36 Off[General::spell] Off[General::spell1] eq1=s'[t] B-µ*s[t]-α*(1-β)*i3[t]*s[t]/(s[t]+i1[t]+i2[t]+i3[t])-α*i1[t]*s[t]/(s[t]+i1[t]+i2[t]+i3[t])-β*(1-α)*i3[t]*s[t]/(s[t]+i1[t]+i2[t]+i3[t])-β*i2[t]*s[t]/(s[t]+i1[t]+i2[t]+i3[t])-α*β*i3[t]*s[t]/(s[t]+i1[t]+i2[t]+i3[t])+r1*i1[t]+r2*i2[t]+r3*i3[t]; eq2=i1'[t] α*(1-β)*i3[t]*s[t]/(s[t]+i1[t]+i2[t]+i3[t])+α*i1[t]*s[t]/(s[t]+i1[t]+i2[t]+i3[t])-(δ1+µ+r1)*i1[t]-β*(i2[t]+i3[t])*i1[t]/(s[t]+i1[t]+i2[t]+i3[t]); eq3=i2'[t] β*(1-α)*i3[t]*s[t]/(s[t]+i1[t]+i2[t]+i3[t])+β*i2[t]*s[t]/(s[t]+i1[t]+i2[t]+i3[t])-(δ2+µ+r2)*i2[t]-α*(i1[t]+i3[t])*i2[t]/(s[t]+i1[t]+i2[t]+i3[t]); eq4=i3'[t] (α+β)*(i1[t]+i2[t])/(s[t]+i1[t]+i2[t]+i3[t])+(α*i2[t]+β*i1[t])*i3[t]/(s[t]+i1[t]+i2[t]+i3[t])-(δ1+δ2+µ+r3)*i3[t]+α*β*i3[t]*s[t]/(s[t]+i1[t]+i2[t]+i3[t]); solusi1=NDSolve[eq1,eq2,eq3,eq4,s[0] 100,i1[0] 0.05,i2[0] 0.05,i3[0] 0,s[t],i1[t],i2[t],i3[t],t,0,500]; a,b,c,d=s[t],i1[t],i2[t],i3[t]/.Flatten[solusi1]; gambar1=Plot[a,t,0,500,AxesLabel→"t","s",AxesOrigin→0,0,PlotRange→0,105,PlotStyle→RGBColor[1,0,0],Thickness[0.01],ImageSize→300] ; gambar2=Plot[b,t,0,500,AxesLabel→"t","i1",AxesOrigin→0,0,PlotRange→0,50,PlotStyle→RGBColor[0,1,0],Thickness[0.01],ImageSize→300]; gambar3=Plot[c,t,0,500,AxesLabel→"t","i1",AxesOrigin→0,0,PlotRange→0,50,PlotStyle→RGBColor[0,1,0],Thickness[0.01],ImageSize→300]; gambar4=Plot[d,t,0,500,AxesLabel→"t","i1",AxesOrigin→0,0,PlotRange→0,50,PlotStyle→RGBColor[0,1,0],Thickness[0.01],ImageSize→300]; Show[gambar1,gambar2,gambar3,gambar4,PlotRange→0,5,AxesLabel→"

t”, "S,ID,Id,IdD",AxesOrigin→0,0,ImageSize→300,DisplayFunction→$DisplayFunction]

Gambar 3(d) sysid Mathematica 6 . 0 , DynPac 10.71 , 8 / 4 / 2009 B=1;µ=0.01;δ1=0.04;δ2=0.03;r1=0.5;r2=0.8; α=0.9; β=0.9; r3=β*(δ1+µ+r1)-(δ1+δ2+µ) 0.415 Off[General::spell] Off[General::spell1] eq1=s'[t] B-µ*s[t]-α*(1-β)*i3[t]*s[t]/(s[t]+i1[t]+i2[t]+i3[t])-α*i1[t]*s[t]/(s[t]+i1[t]+i2[t]+i3[t])-β*(1-α)*i3[t]*s[t]/(s[t]+i1[t]+i2[t]+i3[t])-

30

β*i2[t]*s[t]/(s[t]+i1[t]+i2[t]+i3[t])-α*β*i3[t]*s[t]/(s[t]+i1[t]+i2[t]+i3[t])+r1*i1[t]+r2*i2[t]+r3*i3[t]; eq2=i1'[t] α*(1-β)*i3[t]*s[t]/(s[t]+i1[t]+i2[t]+i3[t])+α*i1[t]*s[t]/(s[t]+i1[t]+i2[t]+i3[t])-(δ1+µ+r1)*i1[t]-β*(i2[t]+i3[t])*i1[t]/(s[t]+i1[t]+i2[t]+i3[t]); eq3=i2'[t] β*(1-α)*i3[t]*s[t]/(s[t]+i1[t]+i2[t]+i3[t])+β*i2[t]*s[t]/(s[t]+i1[t]+i2[t]+i3[t])-(δ2+µ+r2)*i2[t]-α*(i1[t]+i3[t])*i2[t]/(s[t]+i1[t]+i2[t]+i3[t]); eq4=i3'[t] (α+β)*(i1[t]+i2[t])/(s[t]+i1[t]+i2[t]+i3[t])+(α*i2[t]+β*i1[t])*i3[t]/(s[t]+i1[t]+i2[t]+i3[t])-(δ1+δ2+µ+r3)*i3[t]+α*β*i3[t]*s[t]/(s[t]+i1[t]+i2[t]+i3[t]); solusi1=NDSolve[eq1,eq2,eq3,eq4,s[0] 100,i1[0] 0.05,i2[0] 0.05,i3[0] 0,s[t],i1[t],i2[t],i3[t],t,0,500]; a,b,c,d=s[t],i1[t],i2[t],i3[t]/.Flatten[solusi1]; gambar1=Plot[a,t,0,500,AxesLabel→"t","s",AxesOrigin→0,0,PlotRange→0,105,PlotStyle→RGBColor[1,0,0],Thickness[0.01],ImageSize→300] ; gambar2=Plot[b,t,0,500,AxesLabel→"t","i1",AxesOrigin→0,0,PlotRange→0,50,PlotStyle→RGBColor[0,1,0],Thickness[0.01],ImageSize→300]; gambar3=Plot[c,t,0,500,AxesLabel→"t","i1",AxesOrigin→0,0,PlotRange→0,50,PlotStyle→RGBColor[0,1,0],Thickness[0.01],ImageSize→300]; gambar4=Plot[d,t,0,500,AxesLabel→"t","i1",AxesOrigin→0,0,PlotRange→0,50,PlotStyle→RGBColor[0,1,0],Thickness[0.01],ImageSize→300]; Show[gambar1,gambar2,gambar3,gambar4,PlotRange→0,5,AxesLabel→"

t”, "S,ID,Id,IdD",AxesOrigin→0,0,ImageSize→300,DisplayFunction→$DisplayFunction]