@ Angel Prieto Benito

Matemáticas Aplicadas CS I 1

U.D. 14 * 1º BCS

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

@ Angel Prieto Benito

Matemáticas Aplicadas CS I 2

U.D. 14.3 * 1º BCS

EXPERIMENTO DE BERNOUILLI

@ Angel Prieto Benito

Matemáticas Aplicadas CS I 3

Observar las potencias: Fijarse en los coeficientes:• 0• (a+b) = 1 1• 1• (a+b) = a + b 1 1• 2 2 2• (a+b) = a + 2.a.b + b 1 2 1• 3 3 2 2 3• (a+b) = a + 3.a .b + 3.a.b + b 1 3 3 1• 4 4 3 2 2 3 4• (a+b) = a + 4.a . b + 6.a . b + 4.a. b + b 1 4 6 4 1

• ............ = .....................

• Ya vistos por ser todos productos notables. Forman un triángulo• llamado• Triángulo de Tartaglia

BINOMIO DE NEWTON

@ Angel Prieto Benito

Matemáticas Aplicadas CS I 4

• PROPIEDADES, que podemos comprobar con los ejemplos que sirven de base para el desarrollo de Newton:

• 1.- El número de sumandos o términos del desarrollo siempre es igual al número del exponente más uno.

• 2.- Los coeficientes numéricos forman siempre un triángulo, donde un coeficiente cualquiera es siempre igual a la suma de los dos coeficientes que están por encima de él.

• 3.- El grado de todos y cada uno de los términos del desarrollo es siempre el mismo, e igual al exponente del binomio.

• 4.- El grado del primer término del binomio, de ‘a’, va disminuyendo desde el valor del exponente hasta cero.

• 5.- El grado del segundo término del binomio, de ‘b’, va aumentando desde cero hasta el valor del exponente.

• 6.- La suma de los grados de ‘a’ y de ‘b’ , en todos y cada uno de los términos del desarrollo es siempre el mismo, e igual al exponente del binomio.

• 7.- Si el binomio es una resta en lugar de una suma, los términos de lugar par del desarrollo serán de signo negativo.

• 8.- Los coeficientes numéricos presentan siempre simetría. Son todos ellos Combinaciones sin repetición: C m,n

• donde ‘m’ es el exponente del binomio y ‘n’ varía de 0 a ‘m’

@ Angel Prieto Benito

Matemáticas Aplicadas CS I 5

• EJEMPLOS DEL BINOMIO DE NEWTON

•

• (x + 2)5 = C5,0 .x5 + C5,1 .x4 .2 + C5,2 .x3 .4 + C5,3 .x2 .8 + C5,4 .x .16 + C5,5 . 32

•

• (x – 3)4 = C4,0 .x4 – C4,1 .x3 .3 + C4,2 .x2 .9 – C4,3 .x . 27 + C4,4 . 81

• (4 – x)5 = C5,0 .45 – C5,1 .44 .x + C5,2 .43 . x2 – C5,3 .42 . x3 + C5,4 . 4. x4 – C5,5 . x5

• (x + 1)17 = C17,0 .x17 + C17,1 .x16 + C17,2 .x15 + …. + C17,16 .x + C17,17

• (x + 3)5000 = C5000,0 .x5000 + C5000,1 .x4999 .3 + C5000,2 .x4998 .9 + … + C5000,5000 . 35000

• (– 2.x – 3)9 = C9,0 .(- 2x)9 + C9,1 .(- 2x)8 .(- 3) + C9,2 .(- 2x)3 .(- 3)2 +…. + C9,9 .(- 3)9

@ Angel Prieto Benito

Matemáticas Aplicadas CS I 6

• EXPRESIÓN FORMAL DEL BINOMIO DE NEWTON

• m 0 m 1 m-1 2 m-2 2 m m• (a+b) = C .a + C .a . b + C . a . b + ... + C . b • m m m m

• Ejemplo:

• 4 0 4 1 3 2 2 2 3 3 4 4• (7+ 5) = C .7 + C .7 . 5 + C . 7 . 5 + C . 7. 5 + C . 5 • 4 4 4 4 4• 4 4 3 2 2 3 4• 12 = 1. 7 + 4.7 .5 + 6.7 .5 + 4.7.5 + 1.5 , que se puede comprobar.

• En la distribución de probabilidad discreta llamada Binomial, objeto fundamental de esta Unidad Didáctica, el cálculo de probabilidades se realiza mediante el Binomio de Newton:

• (q + p)n

• Donde q y p son dos valores complementarios que suman la unidad.

@ Angel Prieto Benito

Matemáticas Aplicadas CS I 7

• Se conoce como experimento de Bernouilli un experimento aleatorio que sólo tiene dos resultados posibles, complementarios entre sí.

• Los sucesos de un experimento de Bernouilli se denominan éxito (E) y fracaso (F).

• Se considera la variable aleatoria X que asocia al suceso éxito el valor 1, y al suceso fracaso el valor 0.

• P(X=1) = p ,, P(X=0) = 1 – p = q

• CÁLCULO DE PARÁMETROS

• MEDIA μ = 0.q + 1.p = p• DESVIACIÓN TÍPICA σ = √ (02.q + 12.p – p2) = √ p.(1 – p) = √ p.q• Como toda función de probabilidad discreta, p+q = 1, con p >0

EXPERIMENTO DE BERNOUILLI

@ Angel Prieto Benito

Matemáticas Aplicadas CS I 8

• Si un experimento de Bernouilli se repite n veces, tendremos:

• n 0 n 1 n-1 2 n-2 2 n n• ( q + p ) = C . q + C . q . p + C . q . p + ... + C . p • n n n n

• Siendo p la probabilidad de éxito (E) y q la de fracaso (F).

• Como p+ q = 1 siempre, la suma de los (n + 1) términos es 1.• Y cada uno de los sumandos es una probabilidad:• P(X=0) = probabilidad de 0 éxitos• P(X=1) = probabilidad de 1 éxitos• P(X=2) = probabilidad de 2 éxitos• ………………………………………• P(X=k) = probabilidad de k éxitos• ……………………………………..• P(X=n) = probabilidad de n éxitos• Al tener el experimento de Bernouilli sólo dos valores de la variable,

podemos aplicar el Binomio de Newton en su repetición.

@ Angel Prieto Benito

Matemáticas Aplicadas CS I 9

• EJEMPLO DE APLICACIÓN de DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

• Se sabe que 7 de cada 10 personas tienen el carnet de conducir. Se toma una muestra aleatoria de 3 personas.

• Hallar la probabilidad de que 0 personas tengan el carnet.• Hallar la probabilidad de que 1 personas tengan el carnet.• Hallar la probabilidad de que 2 personas tengan el carnet.• Hallar la probabilidad de que 3 personas tengan el carnet.

• Resolución

• La probabilidad de que una persona cualquiera tenga el carnet es:• P(E) = p = 7/10 = 0,70 por la Regla de Laplace.• La probabilidad de que no lo tenga será: • P(F) = 1 – P(E) = 1 – p = 1 – 0,70 = 0,30 = q• Es un experimento de Bernouilli.• Media μ = p = 0,70• Desviación típica σ = √ p.q = √ 0,70.0,30 = √ 0,21 = 0,4582

@ Angel Prieto Benito

Matemáticas Aplicadas CS I 10

• Tomar una muestra de 3 personas y ver si tienen o no el carnet de conducir es repetir el experimento de Bernouilli tres veces.

• Estamos en la llamada Distribución Binomial y se denota así:• B(n,p)

• Donde p es la probabilidad de éxito y n el número de veces que se repite el experimento de Bernouilli.

• En nuestro ejemplo: B(3, 0,7)• Y ayudándonos por el Binomio de Newton:• 3 0 3 1 2 2 2 3 3• ( 0,3 + 0,7 ) = C . 0,3 + C . 0,3 . 0,7 + C . 0,3 . 0,7 + C . 0,7 = • 3 3 3 3• = (1.0,027) + (3.0,063) + (3.0,147) + (1.0,343) =• = 0,027 + 0,189 + 0,441 + 0,343 , que son respectivamente las

probabilidades de que tengan carnet de conducir 0, 1, 2 y 3 personas.

• Se cumple que: (0,3 + 0,7)3 = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)• • Como (0,3 + 0,7)3 = 13 = 1, se puede comprobar que la suma es 1.• 0,027 + 0,189 + 0,441 + 0,343 = 1

@ Angel Prieto Benito

Matemáticas Aplicadas CS I 11

• Ampliación del EJEMPLO

• Se sabe que 7 de cada 10 personas tienen el carnet de conducir. Se toma una muestra aleatoria de 8 personas.

• Hallar la probabilidad de que 3 personas tengan el carnet.• Hallar la probabilidad de que ninguna persona tenga el carnet.• Hallar la probabilidad de que más de una persona tenga el carnet.• Hallar la probabilidad de que 4 ó 5 personas tengan el carnet.

• Resolución• La probabilidad de que una persona cualquiera tenga el carnet es:• P(E) = p = 7/10 = 0,70 por la Regla de Laplace.• P(F) = q = 1 – P(E) = 1 – p = 1 – 0,70 = 0,30 • Podemos usar el binomio de Newton:• 8 0 8 1 7 • ( 0,3 + 0,7 ) = C . 0,3 + C . 0,3 . 0,7 + … • 8 8 • Pero es excesivamente largo (9 sumandos) y laborioso.• Tenemos que ir directamente al sumando o sumandos correspondientes y

calcular sus valores. Y si podemos usar Tablas, mejor.

@ Angel Prieto Benito

Matemáticas Aplicadas CS I 12

• …. Ampliación del EJEMPLO

• B(n, p) B(8, 0´7), donde p=0,7, q = 0,3• Hallar la probabilidad de que 3 personas tengan el carnet.• r n – r 3 5• P(X=r) = C . p . q = C .0,7 .0,3 = 56.0,343.0,00243 =• n, r 8,3 = 0,046675 • Hallar la probabilidad de que ninguna persona tenga el carnet.• 0 8 • P(X=0) = C . 0,7 .0,3 = 1.1.0,000065 = 0,000065• 8, 0 • Hallar la probabilidad de que más de una persona tenga el carnet.• P(X>1)=1 – P(X=0) – P(X=1) = 1 – 0,0001 – 0,0012 = 0,9987 • Hallar la probabilidad de que 4 ó 5 personas tengan el carnet.• P(X=4)+P(X=5) = 0,1361 + 0,1468 = 0,2829• Nota: Cuando p > 0,5 no podemos usar las Tablas directamente.• Argucia: Si p=0,7 y nos piden P(X=5) en la binomial B(8, 0,7), equivale a

hallar P(X=3) en la Binomial B(8, 0,3).• Hallar la probabilidad de que 5 de las 8 personas tenga carnet es lo mismo

que hallar la probabilidad de que 3 de las 8 personas no lo tengan.

@ Angel Prieto Benito

Matemáticas Aplicadas CS I 13

• USO DE TABLAS

• Si p>0,50 invertimos el enunciado y podemos usar las Tablas• Ahora tenemos B(8, 0,3), donde P(E) es que no tengan carnet.

• Hallar la probabilidad de que 3 personas tengan el carnet.• Hallar la probabilidad de que 5 personas NO tengan el carnet.• Por Tablas: P(X=5) = 0,0467• Hallar la probabilidad de que ninguna persona tenga el carnet.• Hallar la probabilidad de que Todas las persona no tenga el carnet.• Por Tablas: P(X=8) =0,0001• Por la fórmula nos había dado 0,000065, lo que implica que está

redondeado el resultado. • Hallar la probabilidad de que más de una persona tenga el carnet.• Hallar la probabilidad de que ninguna o una persona NO tenga el carnet.• Por Tablas: P(X=0)+P(X=1) = 0,0576 + 0,1977 = 0,2553• Hallar la probabilidad de que 4 ó 5 personas tengan el carnet.• Hallar la probabilidad de que 3 ó 4 personas NO tengan el carnet.• P(X=3)+P(X=4) = 0,2541 + 0,1361 = 0,3902