14
145 ثقــل مراكـز الCenter of gravity and centroid فصل اللحادي عشر ا
145
مراكـز الثقــل
Center of gravity and centroid
الحادي عشرالفصل
146
مراكـز الثقــلCenter of gravity and centroid
مقدمة 1.11سيإندراسةاألنزمةالهندسيةغالبامايتطلبمعرفةالخصائصاألساسيةلهذهاألنزمة،وماصةمعرفةالمركزالهند
للعنصرالمعطىالذيتكونعندهالمنزومةمستقرةأومركزالمجموعةبشكلكامل.عترضالتيتؤثرفيالنزامالمدروس.تإنمعرفةأوتحديدمركزالثقليكونضرورياعندالتعاملمعالقوىأوالعزوم
طلبالمهندسينأنزمةصناعيةوطبيعيةكثيرةلهاأشكالهندسيةبسيطةتكونحساباتهاسهلة،أمااألشكالالمعقدةفتتتقنيةرياضيةأصعب.
جومأوفيهذاالفصـــلســـيتمعرضبعضالنزرياتالتيتفيدفيتحديدمركزالكتلأومركزالثقلللجســـمومراكزالحالمســــاحاتأواألطوالالمعطاة.كماســــيتمعرضطريحســــابمراكزالثقلبالتكاملوســــيســــتفادمنجميعمصــــائص
المركبةلتبسيططريقةالحسابإنكانباستبدالالتكاملبالمجموعأوغيرها.واألشكالأواألجسامالتناظرية
العالقات العامة إلحداثيات مركز الثقل 2.11ةرأســـياإلىأســـفلتســـمىبقوةالجاذبيةاألرضـــية.يشـــعاعلنقطةمنجســـممايقعقربســـطحاألرضقوةتؤثرعلىك
قوةالجاذبيةاألرضــــيةمحصــــلةقوةجذباألرض رض.القوةالطاردةالمركزيةالناشــــلةنتيجةدورانالجســــممعاألووتعد هاقوىوقوىالجاذبيةاألرضـــــــيةعلىنقطجســـــــمماذيمقاييزصـــــــغيرةجداب النســـــــبةلنصـــــــفقطراألرضيمكنعد
يســــــــــــــمىمجالالجاذبيةالذيينطبقعليههذانومتوازيةولهافيكلنقطةمقدارثابتاليتغيرعنددورانالجســــــــــــــمالشرطانبمجالالجاذبيةالمتجانز.نمنالجزيلات بماأنالجســــــــــــــممكو
n21 W,....W,Wتمثلمجموعةمنالقوىالمتالقيةفينقطةواحدةهيمركز
ا.1-11األرضتقريباكمافيالشكلح
147
1-11الشكل
لتياالمســـــافةبينالجســـــمومركزاألرضكبيرةجداإذاماقورنتبالمســـــافةبينجزيلاتهذاالجســـــم،لهذاتكونالزواياتشـــــــكلهاالقوى
iWفيمابينهاصـــــــغيرةجداحيثنســـــــتطيعاعتبارالقوى
iW.المتالقيةفيمركزاألرضقوىمتوازية
لهذهالمجموعةمنالقوىالمتوازيةهومركزالثقلللجســـــــــم،أمامحصـــــــــلةقوىالمجموعةCالمركزو iR WW
فهيوزنهذاالجسم.G التيتمربالمركز
ســندرسفيهذاالفصــلطريقةتحديدمكانمركزالثقلللجســمالصــلب.نجعلهذاالجســممنتســباإلىجملةاإلحداثيات
z y, ,xالمتعامدة.فلتحديدمكانمركزالثقلGيجبأننحدداإلحداثياتz,y,xلهذهالمراكز.وبماأنمركزالثقلقاتالممثلةبأوزانجزيلاتهذاالجســـــمفإنإحداثياتهذاالمركزتتحددبواســـــطةالعالللجســـــمهومركزالقوىالمتوازية
العامةإلحداثياتنقطةتأثيرمحصلةالقوىالمتوازية،وهذهالعالقاتهي:ا1ح
W
z~.Wz,
W
y~.Wy,
W
x~.Wx
148
نقاطتأثيرالقوىتإحداثيا~z~,y~,xحيث:iW
.Vn,.......V,V,V،وعلىأحجامجزيلاتالجســمبالقيمندلعلىوزنوحدةالحجممنالجســمبالحرف 321
.نحصــلعلىهذهالجزيلاتبتقطيعهذاالجســمبواســطةمســتوياتموازيةلمســتوياتاإلحداثياتومتباعدةعنبعضــهاة.الجزيءالواحدمشـــابهاتمامالشـــكلمتوازيالمســـتطيالتقائمالزاويبمســـافاتمتناهيةفيالصـــغر،بذلكيكونشـــكل
تكونواحدةبالنسبةلكافةالجزيلاتوبذلكيمكنكتابةمايلي:فإذاكانالجسممتجانسافإنالقيمةnn2211ا2ح VW.........,VW,VW
نعودبقيمالقوى
iW:هذهإلىالمعادالتالسابقةفنحصلعلىمايلي
ا3حV
V.x~
V
V.x~
V
V.x~
x
حيث: VV.حجمكلالجسمالصلب
بنفزالطريقةنحصلعلىالعالقتينالتاليتين:ا4ح
V
V.z~
z,V
V.y~
y
للحصــــــــولعلىعالقاتتســــــــاعدعلىتحديدإحداثياتمركزالثقلبشــــــــكلأدي،يجباالنتقالبالعالقاتالســــــــابقةإلى
جماألوضــاعالحديةمفترضــينأنعددالجزيلاتالتييتكونمنهاالجســميتناهىفيالكبربينمايتناهىإلىالصــفرالحiVالقاتالسابقةالشكلالتالي:للجزيءالواحد.لهذاتأمذالع
ا5حV
V.z~limz,
V
V.y~limy,
V
V.x~limx
لوكانالجســــــــممتمتعاببعدين،مثالصــــــــفيحةرقيقةســــــــماكتهامهملةلتحولتالمســــــــألةإلىتحديدمركزالثقللشــــــــكل
مستوي.تىحلحةلالســتعمالإذاكانتالصــفيحةهذهمتجانســةفإنالعالقاتالســابقةوالعائدةلتحديدمكانمركزالثقلتبقىصــا
V وبدالمنأننأمذالحجمiSيجبأمذعنصرالسطحiVفيهذهالحالة.ولكنبدالمنأننأمذحجمالجزء.ا2-11حكماهوموضحفيالشكلSفيالمخرجيجبأمذالمساحة
بالعالقتينالتاليتين:بذلكتتحددإحداثياتمركزالثقللشكلمستويا6ح
A
A.y~limy,
A
A.x~limx
149
2-11الشكل
،ماديمتجانزومستويABإحداثياتمركزالثقللخطنتبعنفزالطريقةإليجادالعالقاتالخاصةبتحديد
3-11الشكل
.C
O
Y
iW
X
.C
O X
Y
iW
B
A A A
150
موجودافيمستويواحد.لهذاتكونهذهالعالقاتعلىالشكلالتالي:ووالذييمثلسلكارفيعامنحنياا7ح
.y~limy,
.x~limx
حيث:.طولعنصرالقوسمنهذاالخط:.الطولالكامللهذاالخط:
للخطالمنحنيفيالحــالــةالعــامــةغيرموجودعلىهــذاالخط.تبقىالعالقــاتCتجــدراإلشـــــــــــــــارةإلىأنمركزالثقــلالمتجانزغيرواقعفيمســتويواحد،ففيوالســابقةصــالحةلالســتعمالحتىفيتلكالحالة،عندمايكونالخطالمادي
هذهالحالةنحصلعلىالعالقاتالتالية:ا8ح
.z~limz,
.y~limy,
.x~limx
اضية.لحسابالنهايةالتييؤولإليهاالمجموعالداملفيكلمنالعالقاتالسابقة،نستعملعادةطريالتكامالتالري
نعبرعنهذهالنهاياتبتكامالتمحددةوشـــــــاملةلكاملحجمالجســـــــمأولكاملمســـــــاحةالشـــــــكلأولكاملطولالخططكماســــنرىالحقافإنمكانمركزالثقللهذاالجســــميتحددالمفروض،أماإذاكانالجســــممتمتعابشــــكلهندســــيبســــي
بطريقةسهلةومريحة.
تحديد مراكز الثقل باستعمال التكامل 3.11تصـــبحطريقةتحديدمركزالثقلالواردةســـابقاغيرصـــالحةعندمايكونالشـــكلغيرقابلللتقســـيمإلىأشـــكالبســـيطة،
حنيغيرمحددالنوعأوعندمايكونالشــــكلالمســــطحمحدودابمنحنيغيرمثالعندمايكونالجســــممحددابســــطحمنثابتتانمنأجلجســــــــــــممحدد،ففيهذهالحالةينطبقمركزالثقلgوأنعتبرمحددالنوع.فيهذاالفقرةســــــــــــوفن
ومركزالكتلة.يضــاالتكامللتحديدمراكزاألشــكال،ليزفقطالمصــمتة،ولكنأســيكونالهدففيهذهالفقرةهوالتعلمكيفيةاســتعمال
الحجوم.والسطوحومنأجلالطوال
تحديد مركز الثقل لخط 1.3.11إلىشـــــــــــكلقطعةمنمطكتلتهاوكثافتهAومســـــــــــاحتهمقطعهLالذيطولهويقر بالســـــــــــلكأوالقضـــــــــــيبالرفيع
dL.A.dm فإذاكانتكلمن،وAتصـــبحإحداثياتمركزالكتلةا11-4الشـــكلحثابتةعلىطولالقضـــيب،لقطعةالخطويحددمركزالثقلللخطبالمعادالتالتالية:Cهيإحداثياتللمركزالهندسي
151
ا9ح
L
L
L
L
L
L
dL
dLy~
z,dL
dLy~
y,dL
dLx~
x
4-11الشكل
اليقععلىالخط،وإذاماوقعالقضــــــيبفيمســــــتويوحيدمثلC وبصــــــورةعامةأنالمركزالهندســــــيظومنالمالح
احتيجإلىإحداثيتينفقطعندإجراءالحسابات.x yالمستوي
تحديد مركز الثقل لمساحة أو سط 2.3.11،ا11-5لحكمافيالشكAثابتةفمنالممكنالتعبيرعنالجسمبمساحةعندمايكونسمكالجسممنتزماوكثافته
dA.t.dmوتصـــبحكتلةالعنصـــر وإذاماثبتتكلمنوســـماكةالجســـمحtالهذهالمســـاحةأصـــبحتإحداثياتيلهذهالمســـاحة،ويمكنكتابةالمعادالتالتيتحددالمركزالهندســـCمركزالكتلةللجســـمهينفســـهاللمركزالهندســـي
للمساحةبالشكلالتالي:ا10ح
A
A
A
A
A
A
dA
dAz~
z,dA
dAy~
y,dA
dAx~
x
152
5-11الشكل
اويعرفبسطكالمنهذهالمعادالتبأنهاالعزوماألولىللمساحة،وإذاكانتالمساحةالمسطحةعلىشكلمنحنيكم
.والممثللقطعةمنقشرة،احتجناإلىاستعمالاإلحداثياتالثالثة،ا5-11حفيالشكل
تحديد مركز الثقل لألحجام 3.3.11dVdmفإنكتلةالعنصــــــــــــــروكثافتهVمنأجلأيجســــــــــــــمحجمه وتحذفالكثافةإذاكانتثابتةمالل
للجســـموتصـــبحالمعادالتالســـابقةعلىالنحوCالحجموتصـــبحإحداثياتمركزالكتلةهيإحداثياتللمركزالهندســـيالتالي:
153
6-11الشكل
ا11ح
V
V
V
V
V
V
dV
dVz~
z,dV
dVy~
y,dV
dVx~
x
القواعدالخمســــــــةالتييجبإنالصــــــــعوبةتكمنفيانتقاءالعناصــــــــرالتفاضــــــــليةمنأجلإجراءالتكامالت،ونوردهنا
مراعاتها:a. درجةالعنصــــــــر:يختارالعنصــــــــرالتفاضــــــــليمنالدرجةاألولىكلماأمكنذلكمبتعدينعنالعناصــــــــرذات
-7-11الدرجاتاألعلى،حتىالنحتاجإلىإجراءتكاملأكثرمنواحدلتغطيةالشـــــكلكامال.ففيالشـــــكلح
aالذيمســــاحتهوا،يحتاجالشــــريطاألفقيA=l.dyـــــــــــــــــ منأجلشــــموليةكلyإلىتكاملواحدفقطنســــبةلــــوالثانيبالنسبةxإلىتكامليناألولبالنسبةلإلحداثيdxdyالشكل.ويحتاجالعنصرمنالدرجةالثانية yلـ
اإلىعنصـــرb-7-11منأجلشـــموليةكلالشـــكل.ويحتاجمثالناالثانيالذيهومخروطمصـــمتالشـــكلحdyrdVلىفقطعلىكلشــــــــــــــريحةدائريةحجمهامنالدرجةاألو 2ومنثمإلىتكاملوحيد،بدالمن،
dxdydzdVامتيارعنصرمنالدرجةالثالثة .والذييحتاجإلىثالثتكامالتمتتالية
154
7-11الشكل
b. عمليةواحدةومســـــــــتمرةلتشـــــــــملجميعنختارالعنصـــــــــر،كلماأمكنذلكبحيثيمكنتكاملةفي: االســـــــــتمرار
التيتحتاجا8-11حاعلىالشـــريحةالعموديةفيالشـــكلa-7-11الشـــكل،ولهذاالشـــريحةاألفقيةفيالشـــكلح .1x=xإلىتكاملينمنفصلينبسبباالنقطاعفيالمقدارالمع برعنارتفاعالشريحةعندما
8-11الشكل
c. هذاإســـــقاطحدودالدرجاتالعليادائمانســـــبةلحدودالدرجاتالدنيا.وعلىتجاهلحدودالدرجاتالعليا:يمكن.dA=ydxبحدمنالدرجةاألولىا9-11حيعبرعنشريحةالمساحةالعموديةالتيتحتالمنحنيفيالشكل
dxdyالتيهيمنالدرجةالثانيةوونتجاهلالمساحةالمثلثية2
طأفيالنهاية.وهذااليؤديإلىم،1
9-11الشكل
155
d. امتياراإلحداثيات:كقاعدةعامةنختارجملةلمحدداتمالئمةاإلحداثياتالتيتكونأكثر
الشــكل،وعلىهذافإناإلحداثياتالمســتطيلةمحدداتالمســــــاحةفيالشــــــكلتالؤمأكثرما
ابينمانجدأناإلحداثياتالقطبيةa-10-11حلمحـــدداتالقطـــاعالـــدائريمالئمـــةهيأكثر
ا.b-10-11كلحــفيالش
10-11الشكل
e. إحداثيالمركزالهندسيلعنصر:منالمهمعندتبنيعنصرتفاضليمنالدرجةاألولىأوالثانيةأنيستعمل
فإنعزممساحة إحداثيالمركزالهندسيللعنصر:لذراعالعزمعندتشكيلالعزمالتفاضليللعنصر.ولهذاxاإلحداثيالسينيcxتمثلحيثAdcxهوyاوحولالمحورa-11-11فيالشكلحAdالشريحةاألفقيةالذييصفمحدداتالمساحة.إنذراعالعزمxليزهوcxللعزم.وعليناأننالحظبأنCللمركزالهندسي
cyللمركزالهندسيللعنصرفياالتجاهالعينيyين.لهذاالعنصرهونفزاإلحداثياتالعينيةلكلتاالمحددتامعالشريحةنصفالدائريةذاتالسمكb-11-11متفيالشكلحلنعتبركمثالآمر:نصفالمخروطالمص
للعنصرفياالتجاه إنذراعالعزم رللمركزالهندسيلسطحالعنصcxوهوالمسافةxالتفاضليكعنصرللحجم.للمركزالهندسيللعنصرczفياتجاهzلحدودالعنصر.ومنناحيةأمرىفإنذراعالعزمxليزلإلحداثيو
للعنصر.zهونفزاإلحداثي
11-11الشكل
156
األشكال المتناظرةالتلبعضاألشــكاليمكنأنتكونجزئياأوكليامحددةباســتخداممواصالتناظرلألشــكال.فيالحاالمراكزالهندســية
كزالتييكونفيهاللشــكلمحورللتناظر،يكونالمركزالهندســيللشــكلواقعاعلىمحورالتناظر.كمثالعنذلكالمرا.12-11ح للمنحنيالمبينفيالشكلCالهندسي
12-11الشكل
علىx~يقععلىالمســافةdLألنهللعنصــرالطوليمنالمنحنيyيجبأنيقعالمركزالهندســيعلىالمحور
.x~أيالمســــافةyعلىيســــارالمحورdLكمانالحظأننفزالمســــافةيبعدعنهاالعنصــــراآلمرyيمينالمحورسيكونمعدوما.مثالyلعناصرحولمحورالتناظرالعزمالكليلجميعا 0dLx~0،لهذاالسببيكونx .
فيالحاالتالتييكونفيهاللجســــــــــــــممحورينأوثالثةمحاورللتناظرفالمركزالهندســــــــــــــييقعفينقطةتقاطعهذها.13-11المحاوركمافيالشكلح
13-11الشكل
157
Lecture title: Center of gravity and centroid
Lecture syllabus:
-Center of gravity and center of mass for a system of particles
-Use of the integral for determine the centroid of bodies
Conclusion:
Introduce the concept of the gravity, center of mass, and the centroid.
Show how to determine the location of the center of gravity and centroid for system of
discrete particles and a body arbitrary shape.
References :
- Engineering Mechanics Statics, R. C. Hibbeler, 11th edition in SI Units.
- Engineering Mechanics Statics, A. Bedford and W. Fowler, Fifth edition in SI
Units.
2009 -2008د. ياسر حسن، منشورات جامعة تشرين، -الميكانيك الهندسي، د. عهد سليمان -
Name: Dr.Eng. Ahed SULEIMAN
Email: [email protected]
158
مدرس المقررإضافات
