Notes de cours d’étudiants Selon l’intitulé : « CONTRÔLE DE GESTION » Prof. B. MORARD Notes originales fournies par : NOM PRENOM ANNEE KRIVOBOK KAROLINKA 2011-2012 Dernière mise à jours par : NOM PRENOM ANNEE Avertissements : Le présent document regroupe des notes d’étudiants relatives au cours nommé ci- dessus. Il est mis gratuitement à disposition des étudiants par le CHEC ; son contenu ne peut en aucun cas être vendu. De plus, ce document n’est pas un polycopié officiel : son contenu n’est pas garanti, il ne dispense donc pas d’être présent aux cours. Enfin, quiconque bénéficie du présent support se doit de le mettre à jours en corrigeant les éventuelles erreurs et en le complétant (merci de renvoyer les documents modifiés à l’adresse [email protected])
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Notes de cours d’étudiants
Selon l’intitulé :
« CONTRÔLE DE GESTION »
Prof. B. MORARD
Notes originales fournies par :
NOM PRENOM ANNEE
KRIVOBOK KAROLINKA 2011-2012
Dernière mise à jours par :
NOM PRENOM ANNEE
Avertissements : Le présent document regroupe des notes d’étudiants relatives au cours nommé ci-dessus. Il est mis gratuitement à disposition des étudiants par le CHEC ; son contenu ne peut en aucun cas être vendu.
De plus, ce document n’est pas un polycopié officiel : son contenu n’est pas garanti, il ne dispense donc pas d’être présent aux cours.
Enfin, quiconque bénéficie du présent support se doit de le mettre à jours en corrigeant les éventuelles erreurs et en le complétant (merci de renvoyer les documents modifiés à l’adresse [email protected])
On a l’habitude de justifier le contrôle de gestion en partant de l’analyse stratégique. En effet une entreprise peut dominer un marché à partir de 3 stratégies :
- Stratégie de coûts : je suis capable de mettre un produit au cout le plus bas. (celle qui nous intéresse le plus)
- Stratégie de différenciation : j’ai un + par rapport aux autres. On se sert d’avantages compétitifs, tel que la réputation du produit.
- Stratégie de réseaux : question de différenciation et de domination par les coûts, tel que l’économie d’échelles (en gros un mélange des deux ci-dessus). Par ex. : Benetton n’a presque que des franchises, ils organisent la pub et la production, mais n’ont aucune productions propres.
Le second élément avec la stratégie, concerne la mondialisation où la concurrence s’intensifie pour acquérir des ressources rares et il faut donc savoir de quelles façons ces ressources vont être consommées. Enfin le 3ème élément concerne les propriétaires actionnaires de l’entreprise qui veulent plus d’informations opérationnelles.
La notion de prix de revient ou de coût de revient n’existe que dans un environnement concurrentiel où offre et demande s’exprime librement. Sur ces marchés concurrentiels, l’entreprise subit la loi du marché et n’a aucun impact sur le prix de vente, elle ne peut agir que sur la combinaison de production, c’est-à-dire la combinaison capital/travail et essayer de l’optimiser pour avoir le coût de production le plus bas.
Audit comptable
Audit intégré
Le processus du contrôle de gestion se décompose en 3 phases :
- Phase 1 : on définit les budgets à partir des coûts, des prix et des quantités. Ce budget peut être exprimé en termes physiques ou financiers.
- Phase 2 : l’exercice budgétaire a commencé, on va alors procéder au contrôle de conformité : analyser les pièces comptables pour savoir si les procédures d’engagements ont été respectées.
- Phase 3 : on va procéder à l’analyse de la performance, comparer le budget aux charges réelles et procéder à l’analyse des écarts.
En général le budget porte sur un horizon d’une année. En fin de période on procède à l’analyse des écarts et on recommence l’exercice budgétaire. Un auditeur comptable va s’occuper des 2 premières phases, tandis qu’un auditeur intégré va s’occuper des 3 phases.
Les conceptions du contrôle de gestion ont évolué par 3 phases successives :
• une phase purement comptable où on s’intéressait à l’aspect mécanique du prix de revient. On parlera de :
Direct Costing
Sections Homogènes
Standard
• à cela succède la vision de l’ingénieur où l’on a essayé d’améliorer et de rationnaliser les processus de production. On parlera ici de :
o Target Costing
o Kaizen Costing
• Enfin la phase actuelle met l’accent sur les méthodes d’organisation et la gestion de la performance.
L’information comptable se divise en 2 catégories : la comptabilité financière et la comptabilité de gestion ou analytique.
Dans la compta financière : nous faisons référence au bilan et au compte de résultat.
Dans la compta de gestion : nous faisons référence aux coûts et aux prix de revient des produits et des services. De fait, dans la compta générale les charges sont classées par natures alors que dans la compta analytique on va vouloir classer ces charges par objets, qu’il s’agisse de coûts de département ou de coûts de produits finaux. On doit se poser la question : « Quel produit ou quel département a consommé quel ressources ? ».
Bilan Décrit la richesse de l’entreprise, sa position patrimoniale. C’est une compta en termes de stock.Compte de résultat compta en termes de flux, retrace ce qu’il s’est passé dans l’entreprise, ses dépenses et ses recettes faites durant l’année.
Un coût est :
Une charge physique ou financière que l’on va attacher à une structure intermédiaire appelée département, à des produits finaux ou à des services. En effet le coût d’un produit peut être exprimé en terme monétaire, il peut aussi être exprimé en consommation de facteurs (heures travaillées et quantités de matière 1ère). C’est donc une consommation de ressources.
En compta analytique on parlera de charges incorporables (base du coût) pour les charges jugées raisonnables. Les charges non incorporables correspondent par exemple à des taxes qui ne restent pas a la charge de l’organisation, dotation aux provisions (réglementées ou exceptionnelles) et impôts sur les bénéfices.
L’exemple ci-dessus présente sous forme très classique la problématique du calcul du prix de revient.
En effet, nous avons ici une entreprise qui fabrique simultanément deux biens. La charge par période intéresse donc simultanément les deux produits. On parlera ainsi d’une charge indirecte.Sur la base de cette information, supposée exacte, et sans autres informations annexe, on utilise classiquement la règle dite « en proportion des quantités ». Sur la base de cette répartition on obtient des coûts unitaires qui sont strictement identiques. De fait, de par cette règle, quel que soit la composition des deux produits, ils coutent le même montant. En fait il s’agit là d’un phénomène d’illusion monétaire provoqué par le mécanisme de répartition. Au passage remarquons que si on additionne les deux répartitions on retrouve exactement le montant de la charge à répartir. Cela nous amène alors à étudier les propriétés minimales que doivent posséder les règles de répartitions.
Toutes règles de répartitions classiques doivent posséder au minimum 3 propriétés :
• Identité : charge à répartir = charge répartie.• Unicité : répartir une charge où la somme de ces composantes aboutie au même
résultat.
• Monotonicité : idée que lorsque les quantités produites augmentent, la charge doit augmenter (hypothèse qu’un cout unitaire ne peut pas être négatif).
Toutes les règles comptables obéissent à ces trois propriétés. Certaines règles, comme la méthode du coût marginal, n’obéissent pas à cette propriété.Les observations précédentes permettent quelques déductions. En particulier, l’idée suivant laquelle, par les règles de répartition en proportions, les coûts seraient identiques en 1ère observation.
Pour discuter ce point, il convient de formaliser la question de la façon suivante. Appelons :
• a1 : cout unitaire inconnu du bien 1• a2 : cout unitaire inconnu du bien 2
La règle de répartition dite en proportion des quantités, peut s’écrire sous forme d’un système d’équation :
18.a1+8.a2 = 80
a1 = a2 -> 18 a118 = 8 a28a2
Lieu de toutes répartitions admissible
3,07
3,07a1
a1 =0 ; a2 =10
Notons aussi qu’une répartition qui se trouve en dehors des deux droites n’est pas admissible. Car ne correspond pas à l’allocation total des charges, ici 80.
Toute règle de répartition peut se mettre sous la forme d’un système d’équation qui se décompose en 2 parties : la condition d’identité comptable ( ) et le rapport existant entre les coûts unitaires ( )En observant l’équation 2 on peut alors dire que les règles en proportions sont des règles arbitraires car on définit a priori la relation entre les deux coûts unitaires.
Système d’équation pour la règle de répartition en proportion de la quantité :
18*cu(1) + 8*cu(2) = 80cu(1) = cu(2)
Système d’équation pour la règle de répartition en proportion du CA :
18*cu(1) + 18*cu(2) = 80
18 cu(1)18*7 = 8 cu(2)8*3Système d’équation pour la règle de répartition en proportion de la marge :
18*cu(1) + 18*cu(2) = 80
18*cu(1)18*(7-1,25) = 8*cu(2)8*(3-1)Système d’équation pour la règle de répartition en proportion des charges :
18*cu(1) + 18*cu(2) = 80
18*cu(1)18*1,25 = 8*cu(2)8*1
Le schéma ci-dessus permet de dégager 4 règles classiques + 2 systèmes de coûts remarquables correspondant pour ces derniers à un système de subventionnement croisé.
D’un point de vue purement comptable toutes ces règles sont parfaitement équivalentes et il est à ce stade absolument impossible de se donner une notion d’optimalité. On a introduit dans l’analyse la notion de charges directes, dans une entreprise on peut avoir 4 types de charges :
• Variables et fixes• Directes et indirectes• Ou toute combinaison des 4
Une charge est dites directe quand elle ne concerne qu’un produit ou qu’une activité et qu’elle ne fait pas l’objet d’une répartition. Charge indirecte lorsqu’une entreprise produit simultanément plusieurs produits différents. Quelle main d’œuvre correspond à quoi ? -> Répartition des charges.
Et toute la problématique du prix de revient consiste à se poser la question de la bonne règle de répartition.
La segmentation charge variable - charge fixe se réfère à une activité où des charges sont fonctions du volume de production (amortissement = charge fixe).
Pour résumer ces différents points, nous noterons que la question du prix de revient repose toute entière sur le mécanisme de la répartition. Il est tout à fait douteux que, partant de règles arbitraires, nous puissions obtenir un prix de revient traduisant la consommation réelle de ressources. On aboutit alors à l’idée que l’établissement d’un prix ou d’un coût de revient peut répondre à deux impératifs :
• Soit définir les consommations au niveau des produits.• Soit envoyer une information manipulée. Les deux objectifs n’aboutissent pas
nécessairement au même résultat.
Dans le premier cas de figure, l’idée serait de définir la consommation véritable par produit. Dans le second cas de figure, nous viserions simplement un effet de démonstration
Direct costing : méthode du coût variable
La méthode du coût variable met l’accent sur la relation vente, marge et seuil de rentabilité. L’idée sous jacente consiste à distinguer parmi les charges, les charges variables des charges fixes. Les charges variables sont fonctions du niveau d’activité, les charges fixes existent même si l’activité est nulle. Il est donc rationnel d’allouer les charges variables et de ne pas allouer les charges fixes
Le schéma ci-dessus appelle quelques commentaires. Tout d’abord, il n’existe ici que deux catégories de charges :
• les charges variables.• les charges fixes.
Dans la réalité il en existe quatre catégories : charges variables directes, charges variables indirectes, charge fixes directes et charges fixes indirectes.
Si l’on adopte ce schéma du direct costing ci-dessus, il faut supposer que dans notre organisation nous n’avons que des charges variables directes ou que nous sommes une firme mono produit.
On remarquera ensuite que les charges fixes ne viennent pas en déduction des ventes mais de la marge brute. Cette remarque permet alors de dire que les stocks de produits finis non vendus ne supportent que des frais variables (frais fixes quand produits vendus) donc stocks sous évalués, donc seconde difficulté. Enfin on remarquera que le schéma ne fait référence à aucune structure organisationnelle. Nous avons la uniquement un jeu de compte.
Pour pallier à ces difficultés bien connues, on a mis en place une variante de la méthode de base :
Pour pallier aux déficiences du coût variable simple on introduit une variable direct costing évolué. Dans cette variable on va segmenter les charges fixes en charges fixes directes et indirectes. Ces charges fixes directes vont être ajoutées aux charges variables. Par différence avec le prix de vente, on va obtenir des marges semi-brutes unitaires, qui, par sommation, aboutiront à la marge semi-brute totale. En résumé nous pourrons dire que la méthode directe costing évolué sous évalue moins les stocks de produits finis que le direct costing simple.
Exemple : soit une entreprise réalisant un CA de 500'000 Fr et fabriquant pendant cette période 1570 unités. Pendant cette même période elle supporte des frais de matières premières de 200'000, des frais de m-o pour 175'000 fr et des frais d’amortissement pour 100’000fr. On nous informe que seuls les frais d’amortissement sont fixes. Sur la base cette information on vous demande de calculer la marge brute unitaire, la marge brute totale et la marge nette totale.
On associe la méthode du direct costing avec la notion de seuil de rentabilité. Pour cette discussion nous allons utiliser les variables suivantes :
- p : prix de vente unitaire- x : quantité de produit- a : coût unitaire variable- F : charge fixe totale
Voir démonstration 3 (dans polycop)Le problème de cette démonstration est qu’il n’y a qu’un produit.
Avec deux produits :
- p1 et p2 : prix de vente unitaire- a1 et a2 coût variable unitaire- x1 et x2 : quantité- F : charge fixe totale
Voir démonstration 4
La question du seuil de rentabilité dans le cas multi produit est plus compliquée. En effet on aboutit à une équation comportant deux inconnues. On en déduit alors que nous avons une infinité de solutions. De fait, on peut en conclure que le seuil de rentabilité multi produit n’existe pas. Pour dépasser notre interrogation, il convient de remarquer que deux produits peuvent générer des marges très différentes. Si l’on suppose par exemple que le produit 1 génère une marge de 1000fr et que le produit 2 génère une marge de 1fr, un plan de production rationnelle visera à réaliser beaucoup de produit 1 et peu de produit 2. Cette décision suppose que l’on a introduit dans notre raisonnement un critère tel qu’on va chercher à maximiser la marge brute totale correspondant à l’un des points de la droite. Suivant cette analyse on peut définir 3 critères de sélections :
• La maximisation de la marge brute totale• La maximisation du CA• La minimisation du coût total
Exemple : soit une entreprise mono produit.
On nous indique que l’électricité et amortissement sont fixes. Sur la base de cette information, on vous demande de calculer la marge brute, totale et unitaire, et la marge nette totale. Vous calculerez le SR, et le graphique correspondant.
CA 1'200’000 3000 unitésMatière 500’000m-o 345’000Electricité 120’000Amortissement 100’000
CFElectricité 20000Amort 25000CF totale 45000Marge nette 20500CF répartis sur chaque produit
11250 11250 11250 11250
SR 14138,25126 9406,36565 7047,62037 4693,654
Cette méthode et ses variantes présentes à la fois des inconvénients et des avantages. En termes d’avantages nous parlerons de la simplicité des concepts utilisées, de la facilité de mise en place et de l’élégance du concept de SR. En termes d’inconvénient, la segmentation entre frais fixes et frais variables n’est pas évidente en pratique, la notion de marge brute ne présente de l’intérêt que dans
la mesure où les frais fixes sont proportionnellement élevés, enfin le SR n’est vraiment pertinent que pour le cas mono produit. Au total, on peut parler d’une méthode d’un intérêt limité, très utilisée dans tout ce qui est activité commerciale dans lequel il n’y pas de phase de transformation du produit. On remarquera enfin que la méthode direct costing rentre dans la catégorie des méthodes dites de coûts partiels dans lesquelles nous n’affectons qu’une partie des charges au produit. Ici, très spécifiquement, nous n’affectons que les frais variables.
Sections homogènes : méthode des coûts complets
Contrairement à la méthode précédente, la méthode des sections homogènes est une méthode de coûts complets dans laquelle on va affecter toutes les charges au produit pour pouvoir calculer la profitabilité nette. De plus, on veut décrire en détail le processus de fabrication, pour cela on va créer la notion de section qui est un regroupement de moyen localisé géographiquement et qui peuvent s’identifier a des départements opérationnels ou fonctionnels. Pour être plus précis la méthode des sections homogènes structure l’entreprise en sections qui sont en principe des parties réelle de l’entreprise. Chaque section est un centre de responsabilité. Pour traduire l’activité de la section, on parlera d’unité d’œuvre, qui va correspondre à la production de la section. La notion d’unité d’œuvre peut avoir deux interprétations : soit il va s’agir d’une consommation de facteurs (heure de travail ou quantité de matière 1ère), soit il va s’agir d’un bien semi fini qui va être transférer à une autre section. En tout hypothèse, les volumes des unités d’œuvre doit être corréler avec la charge de la section
A la suite du schéma précédent, le cout complet correspond a la somme charge directe, en générale variable, + charge indirecte provenant des sections. On peut alors en déduire le coût complet du produit. Le budget global correspond alors a un calcul correspond a la philosophie du direct costing qui sépare charge variables et charges fixes. On en déduit le budget global pour la période à venir. Si l’on compare la somme du budget des sections et ce budget global, ils seront différents car, seules les charges indirectes passent par les sections. Il manque donc au budget de section les charges directes. On a coutume d’associer à la méthode des sections homogènes la notion d’imputation rationnelle. En ce qui concerne la notion d’imputation rationnelle, cela consiste essentiellement dans le fait que l’on divise la charge de la section en éléments variables et fixes. La partie variable est affectée aux unités d’œuvre, ce qui nous permet de calculé le cout variable unitaire des unités d’œuvres. Pour ce qui est de la partie fixe on ne retiendra qu’un % correspondant au taux d’imputation. A partir de là, on peut calculer un cout de l’unité d’œuvre comprenant des éléments variables et une partie de charges fixes. Comme toute la charge fixe n’est pas considérée, nous aurons un écart d’imputation, tantôt négatif, tantôt positif. On fait l’hypothèse quand fin de période ces différences vont se corriger
La méthode du cout standard
Cette méthode est principalement utilisée dans les activités industrielles où l’on est capable de mesurer très précisément les consommations de facteurs par produit. Cette définition permet de faire l’hypothèse que ses consommations par produit correspondent à des charges directes. De fait, la méthode a été développée pour répondre à trois objectifs :
- Mesurer la consommation par produit en termes de matières premières, main d’œuvre et machines
- Faciliter la préparation des budgets en termes de charges prévisionnelles- Etendre la notion de budget au chiffre d’affaire et au profit prévisionnel
On fait ici l’hypothèse qu’un coût standard est une norme de consommation par produit occasionnée par la réalisation d’un bien (produit ou service). Par extension, on parlera parfois de coût complet standard qui intègre les frais directs et indirects, des charges variables et fixes. Bien évidemment on ne va pas se servir du coût complet standard pour préparer le budget.
L’analyse des écarts
Par définition un coût est une charge physique ou financière que l’on va associer à une production. Si on fait le produit : quantité de facteur x le prix d’achat du facteur, on peut en déduire le volume de production. L’analyse des écarts a 2 objectifs :
• confronter pour une période donnée un coût réel à un coût prévisionnel
• analyser le différentiel qui en résulte pour prendre les décisions adéquates.
Exemple : Soit une entreprise fabriquant des chaussettes à partir de laine
Prévisionnel RéelNb de pelotes 100 80Coût unitaire pelote 2 3Coût total pelotes 200 240Production chaussette 300 250
Ecart = prévisionnel – réel
• coût prévu = 200 F
• coût réel = 240 F
• Ecart = 200 – 240 = - 40 Frs
Quand on constate un écart, les coûts que l’on va comparer peuvent être exprimés en termes physique ou monétaire. Généralement on dit qu’il existe 3 variables élémentaires qui permettent d’expliquer les écarts et sur lesquelles on va agir.
• la différence entre les quantités prévisionnelle et réelle de facteurs de production
• la différence entre les quantités prévisionnelle et réelle de produits finaux
• la différence entre les prix prévisionnel et réel des facteurs de production
On peut donner plusieurs explications aux écarts
1) origine p-e dans la gestion des facteurs de production et du capital, quantité de capital utilisé, corrélativement prix de la main d’œuvre et quantité de la main d’œuvre.
2) Ensuite on peut se reporter à des causes concernant la variation des volumes de production réels et prévisionnels
3) on peut se référer à l’organisation de la production
4) on peut faire intervenir des variables de marché
5) l’écart peut trouver son origine dans un système de standards inadéquate
Calcul des écarts :
• si l’écart est > 0, l’écart est favorable (coût réel < coût standard)
• si l’écart est < 0, l’écart est défavorable (coût réel > coût standard)
Plus spécifiquement, dans l’analyse des écarts, on parlera de sous écart, qui pourra concerner soit un sous écart quantité soit un sous écart prix. De façon analogue on décompose les écarts en écarts sur charges directes et en écarts sur charges indirectes.
En ce qui concerne les écarts sur charges directes, ils répondent à l’équation suivante :
CD = Q * P = α * U
(Quantité facteur * prix achat facteur et aussi quantité de produit fini * α)
La relation précédente permet dans une même équation de visualiser la fonction de production et la fonction de coût. Dans le cas de la fonction de production, on s’intéresse à la combinaison de facteur avec le prix d’achat des facteurs. Dans la fonction de coût on s’intéresse au volume fabriqué multiplié par le coût unitaire.
On a l’habitude de distinguer deux cas de figure :
1) on considère que la quantité de produit réalisé est équivalente à la quantité produite
2) faite que la quantité réalisée est différente de la quantité prévue le coefficient U = coefficient de produit fini
Quantité produite réalisée = Quantité produite prévueQS : quantité standard du facteur de production ou de l’input
QR : quantité réelle du facteur de production ou de l’input
pS : prix unitaire standard du facteur de production ou de l’input
pR : prix unitaire réel du facteur de production ou de l’input
METHODE TRADITIONNELLE
EVALUATION :
ECART GLOBAL = BUDGET MAITRE – BUDGET REALISE
EG = CDS – CDR = QS * pS – QR * pR
ECARTS ET SOUS-ECARTS :
EG = CDS – CDR
= QS *pS– QR *pS + QR *pS – QR *pR
= (QS – QR)* pS + (pS–pR)* QR
= DQ* pS + Dp * QR
= EQ + EP
SOUS-ECARTS :
• Sous-écart quantitéEQ = (QS – QR) * pS
• Sous-écart prixEP = (pS – pR) * QR
Une théorie de la répartition
Quand nous avons examiné les différentes méthodes d’estimation du prix de revient pour chacune de ces méthodes, nous avons constaté que la difficulté principale résidait dans le problème de la répartition d’une charge indirecte entre plusieurs départements ou plusieurs produits.Pour ces différents cas de figure, on a utilisé des règles de répartition qui devaient répondre aux trois principes suivants :
• Principe d’identité• Principe d’unicité• Principe de monotonicité
Toute les règles de répartitions classique répondent à ses trois principes en particulier la règle en proportion des quantités, la règle en proportion du CA, la règle en proportion d’une charge directe ou enfin la règle en proportion de la marge/charge directe. On a aussi remarqué que ses règles aboutissaient à des coûts unitaires identiques par unité du critère.De fait, quand on utilise la règle en proportion des quantités, les coûts unitaires obtenus sont identiques. Conclusion, le seul fait de respecter les trois propriétés mentionnées ne nous permet pas d’assurer que les coûts obtenus par produit correspondent bien à la consommation de ressource. On en a alors déduit qu’un système de prix de revient pouvait se fixer deux objectifs :
• Soit pour connaître la consommation effective de ressources par produit• Soit pour créer un effet de démonstration
Dans l’analyse que nous allons mener, nous allons nous servir de l’exemple suivant :
Période t Charge Produit 1 Produit 21 14 5 42 15 6 33 15 7 14 17 8 1
Production simultanée du produit 1 et du produit 2.
Pour fixer les idées appelons :
- Ct : charge observée au moment t t = 1…T
- xit : la quantité de bien i réalisée au moment t i = 1…nt = 1…TT>n plus de période que de produit
- ai : coût unitaire inconnu du bien i- εt ~ N (0 ; Σ²)
A un instant du temps nous avons la relation suivante : Ct = a1 x1t + a2 x2t + … + an xnt + εt
Pour poursuivre notre raisonnement il nous faut expliciter qques hypothèses :1) les variables de référence Ct et xit sont observées sans erreurs2) la relation qui lie la charge aux quantités est linéaire ou quasi-linéaire3) la matrice x des quantités est une matrice non singulière
Sous les 3 hypothèses précédentes et les variables, définir les coûts unitaires ai revient a résoudre l’optimisation suivante :
Le modèle précédent correspond a un modèle de régression au sens des moindres carré avec une contrainte linéaire. Du point de vue optimisation il s’agit d’une forme quadratique (type fonction du second degré) dont nous n’avons pas besoin d’étudier les conditions de second ordre pour nous assurer qu’elle comporte effectivement un minimum. Le modèle se décompose en 2 parties : une fonction objective et une contrainte.Pour préciser le problème, traduisons-le à partir de l’exemple précédent :
min (14-5a1-4a2)² + (15-6a1-3a2)²+ (15-7a1-a2)²+ (17-8a1-a2)² sc : 26a1+9a2=61
Si l’on observe la forme numérique du modèle, la contrainte (sc) correspond très exactement à la sommation par colonne. D’un point de vue purement comptable nous avons là la traduction de la condition d’identité comptable (charges à répartir= charges réparties)A présent le modèle d’optimisation peut se décrire en substance que l’on a recherché des coefficients a1 et a2 tels que la somme des erreurs soit minimale. De fait on va minimiser la somme des εt².
De façon générale la forme quadratique correspond à une famille d’ellipse dont le minimum est nécessairement 0. Toutefois, en pratique, la contrainte correspondant à l’identité comptable nous bloque avant d’atteindre cette valeur. On peut, dans les cas pratiques, obtenir des zones telles que le vecteur de descente n’aboutit pas directement au minimum sous contrainte. Dans la discussion nous avons insisté sur le point tel que nous devrions avoir une matrice non singulière. La matrice ^x
suivante2448 Det = 2x8 – 4x4 = 0
(1) Ct = Σ ai xit + εt théorique
(2) Ct = 2x1 + x2 trouvé dans l’exemple
Sous cette forme et en revenant à une conception comptable toute la charge est affectée au produit. De fait, on peut dire que les coefficients a1 et a2 correspondent à des coûts complets. Pour retrouver la méthode du coût variable, il faudrait introduire à l’intérieur de l’équation un coefficient a0, qui correspondrait à une charge non affectée et qui ne serait pas liée au volume de production. Dans cette dernière conception, la fonction de coût prend la forme suivante :
Ct = i=1naixi+a0+ εtCe modèle correspond alors au problème d’optimisation suivant :
minait=1Taixit+a0+εtDans cette formulation le coefficient a0 joue le rôle de la contrainte :
min Σ [Ct – a0 - Σai xit] ²
Dans le problème précédant comme il s’agit d’un problème de régression au sens des moindres carrés on peut estimer la qualité de l’ajustement par le coefficient de corrélation :
R² = 1-Σ ε t²Σ ( Ct- C )²Dans le cas de l’exemple précédent on obtient un coefficient de corrélation de 1. Cette valeur est logique car les résidus ε pour chacune des périodes étaient extrêmement faibles. On en conclue aisément que l’ajustement était bon.
Problème : soit une entreprise réalisant une activité sur 4 périodes avec deux produits réalisés simultanément.
1) définissez les coûts unitaires complets des produits 1 et 22) définissez les coûts variables unitaires des produits 1 et 2 et la charge fixe3) calculer pour les deux modèles le coefficient de corrélation
Période t Charge Produit 1 Produit 21 30 3 72 35 4 83 45 8 94 33 9 4
Total 143 24 28
min (30-3a1-7a2)² + (35-4a1-8a2)²+ (45-8a1-9a2)²+ (33-39a1 - 4a2)²sc : 24a1+28a2=143
170161241612102824280 x a1a2λ = 8871027143Det = - 37856
a1 = 88716124102721028143280 a1 = 2,1487
a2 = 17088724161102728241430 a2 = 3,2654
Avec un coefficient de corrélation constant (a0)
170161241612102824284 x a1a2a0 = 8871027143Det = 1260
a1 = 88716124102721028143284 a1 = 1,8667
a2 = 17088724161102728241434 a2 = 2,7905
a0 = 17016188716121010272428143 a0 = 5,0167
En ce qui concerne les fonctions de coût, on remarque rapidement que l’hypothèse de linéarité suppose des rendements d’échelle constants. De fait, il n’y a pas ici de phénomène d’apprentissage ou de progrès technologiques tels que des rendements croissants pourraient s’envisager. Pour que cette hypothèse soit crédible, il faut supposer que nous travaillons sur une modélisation de courte période (inférieure à 5 ans). Au delà il faut admettre que le progrès technologique va modifier les comportements et donc les consommations de ressource et par conséquent la structure des coûts. Cela nous amène aussi à préciser que les charges que nous affectons sont homogènes dans leur contenu. Par exemple, pour des charges de m-o on va supposer un niveau d’expérience équivalent. Cette hypothèse est extrêmement importante.
Le graphique précédent permet de remarquer que le positionnement de la nouvelle information induit un basculement de la droite ou du plan de régression (espace en 3D). Cette situation fâcheuse peut avoir deux origines :
• soit une erreur dans les relevés de données• soit l’introduction d’une nouvelle technologie qui permet de multiplier la production avec
toujours moins de ressources. On ne peut donc confondre les deux espaces de données (régression à plusieurs régimes).
La difficulté du problème apparait dès lors que nous avons produit plusieurs biens simultanés. L’interprétation graphique n’est plus alors évidente.On peut à présent envisager une situation plus compliqué. Par exemple on peut imaginer le cas où le nombre de période est inférieure au nombre de produits. Nous sommes alors dans le cas d’un système sous-déterminé. Il peut y avoir une infinité de solutions au problème.
Exemple : T < nC 1 2 3 4
1 11 1 2 3 12 11 3 4 1 1Σ 22 4 6 4 2
Dans ce cas de figure les modèles précédents ne permettent plus de trouver une solution adéquate. Par hypothèse, nous supposons que la relation est tjs linéaire
minai*i=1nai*-ai2sc. i=1nai*+xit=Ct pour tout t=1…
Le choix de l’estimation de base ai peut être laissé au décideur ou peut correspondre à la solution d’une règle classique de répartition. En particulier pour l’exemple précédent, nous pourrions admettre que les coefficients ai correspondent à une règle en proportion des quantités.
100013010024001031000111123100341100Les carrés noirs sont toujours organisés comme ça lorsque j’ai des équations de ce genre, pour ce qu’y est des carrés rouges, il s’agit des nombres qui se trouvent dans le tableau….
a1=1.375-λ-3γ=>1.0082a2=1.375-2λ-4γ=>1.0998a3=1.375-3λ-γ=>2.1082a4=1.375-λ-γ=>1.4666Remplace dans la contrainte :
s.c:(1.375-λ-3γ)+2(1.375-2λ-4γ)+3(1.375-3λ-γ+1.375-λ-γ-11=0=9-625-11-15λ-15γ=0=15λ-15γ=-1.375s.c:31.375-λ-3γ+41.375-2λ-4γ+1.375-3λ-γ+1.375-λ-γ-11=012.375-11-15λ-27γ=0=-15λ-27γ=1.37515151527 x λγ = -1.375 1.375Det=15×27-15×15=180λ=-1.375151.37527=-1.375×27-15×1.375÷180=-0.3208
180
(Même calcule pour γ) =15×-1.375-15×1.375÷180=0.2292Remplace dans les équations de a1234 retour en haut en vert !!
La modélisation précédente s’identifie au modèle dit quasi optimale. En effet, les solutions que nous obtenons correspondent à des approximations. De fait nous n’avons aucune certitude que la solution que nous obtenons correspond exactement au prix unitaire recherché. Ce modèle possède cependant une propriété intéressante car le nombre de période est identique au nombre de produit, le modèle optimale donne exactement la même solution que le modèle quasi-optimal (modèle carré). On remarquera aussi que ce modèle est extrêmement sensible à la solution initiale, en particulier la modification de l’estimation de départ peut influer sur la solution finale.
Sur la base d’une estimation initiale dite en proportion des quantités, calculer la solution quasi optimale pour les 5 produits.a i-> a1 = a2 = a3= a4 = a5 (51/27) = 1.8889
886 (30x0 – 10x10) – 304 (61x0 – 27x10) + 128 (61x10 – 27x30)= (88600 – 8208 + 103880)/8030a1 = 4 a2 = 2Par principe les modèles quadratiques aboutissent tjs à des systèmes symétriques et carrés. Les contraintes définissent des vecteurs colonnes et des vecteurs lignes qui viennent s’ajouter au système de base qui correspondent soit à une matrice identité, soit au produit de la matrice transposée par la matrice initiale. Suivant ces remarques, le calcul des dérivés n’est pas indispensable moyennant le recours au calcul matriciel et aux transposés.
Des règles classiques à l’allocation optimale
Dans les discussions précédentes nous avons suggérer une solution telle que le prix de revient corresponde à un problème d’optimisation. Cela revient à dire que nous avons là un système de répartition reposant, entre autre, sur l’hypothèse de linéarité. De plus, nous savons que tout mécanisme de répartition doit répondre à trois propriétés : identité, unicité, monotonicité. Sous les hypothèses que nous avons admises, le modèle optimal répond à ses trois conditions. Tout le problème maintenant revient à savoir comment se positionne le modèle optimal par rapport aux règles classiques. Pour fixer les idées :
minait=1T(Ct-i=1naixit)²s.c:tCt=tiaixitai=aj pour tout i≠jPropriété 1 : Les règles classiques de la répartition ne sont qu’un cas particulier de la règle optimalePropriété 2 : L’erreur d’estimation de la règle optimale est tjs plus faible que l’erreur d’estimation des règles classiques.
Exa : - un exo sur les sections homogènes (3 sections principales et une auxiliaire)- un exo sur l’analyse des écarts- un exo avec un peu de tout (allocation optimale, coûts standards, …)
Le modèle précédent permet d’observer que l’introduction d’une contrainte supplémentaire nous permet de retrouver une règle classique qui est dite en proportion des quantités. Cette observation permet alors de supposer que toute règle classique pourrait aussi se ramener à un problème d’optimisation. En fait si l’on considère la contrainte 2, on peut alors imaginer que le modèle d’optimisation pourrait prendre la forme suivante :
minait=1T(Ct-i=1naixit)²
s.c:tCt=tiaixitaihi=ajhj pour tout i≠jaihiquantité=ajhjquantitéSi l’on ne considère que cette dernière formulation, le facteur h présent au dénominateur de la contrainte correspond strictement à la valeur du critère que l’on se donne. Par exemple, si nous voulons retrouver la règle en proportion du CA, nous placerons au dénominateur un facteur h correspond au prix de vente unitaire. Corrélativement, si nous voulons retrouver la règle en proportion de la charge directe, le facteur h sera alors la charge directe unitaire. Bien évidemment, tous les critères conduisent nécessairement à une contrainte particulière. De fait, nous avons ici une formulation très générale où il suffit de connaître le critère de répartition pour pouvoir modéliser une solution du problème d’optimisation.
Après exercice juin 2009Une attention particulière doit être apportée dans la combinaison des coûts unitaires et des quantités physiques : soit on raisonne systématiquement en terme physique, soit systématiquement en terme monétaire. Ce dernier permettant l’obtention du coût complet. Le budget, lui, correspond simplement aux quantités prévues que l’on va multiplier par les prix de vente et les prix de revient que l’on a calculé. Par hypothèse et par principe le prix de revient est défini par la règle de répartition qui permet l’obtention du meilleur R². Théoriquement, c’est tjs la règle optimale qui donne le meilleur R² car ses résidus sont tjs les plus faibles. Au niveau de la révision des coûts standards, on se sert du modèle quasi optimal, ce qui nous permet d’obtenir de nouveaux coûts unitaires et de procéder dès lors à une analyse des écarts en faisant la différence coûts standards – coûts réels et en introduisant éventuellement les différentiels de prix d’achats des facteurs (matière et m-o) et le différentiel de production
Dans la présentation et les modélisations précédentes, nous avons envisagé la relation d’une charge versus une production de biens et de services. Dans ce schéma, les charges ne sont pas supposées transiter par des structures intermédiaires telles des départements ou des sections. A ce schéma simplifié, on pourrait substituer l’idée de structures dans lesquelles les productions intermédiaires recevraient des charges. On aurait donc un schéma triangulaire où les charges suivraient le schéma suivant.Si on étudie ce schéma, en fait nous avons deux systèmes de répartitions : une répartition charges sur sections, une deuxième répartition section sur produit. Dans la répartition 1 en fait si nous résonnons dans la philosophie des sections, nous allons calculer les coûts des unités d’œuvres à partir d’un système d’optimisation pour chaque type de charges. Dans la répartition 2 on répartira les unités d’œuvres valorisées sur les produits ou services. On peut supposer que les produits ou services finaux devraient voir leurs coûts soit exprimés en termes physiques, soit exprimés en terme monétaire, aboutissant ainsi à un concept de coûts complets. Pour fixer les idées et en ne considérant qu’une charge :
- Ct (donc le point de départ de mon raisonnement c’est que je considère qu’une seule charge), - ujt (le nombre d’unités d’œuvres réalisées à l’instant t à la section j avec j=1…m et t=1…..T,
T>m)
- xit la quantité de biens i réalisés à l’instant t.
- bj le coût unitaire des unités d’œuvres de la section j
- aji le coût du bien i par rapport à la section j
Nous avons alors deux systèmes de relation :
La 1ère définit le rapport entre la charge et les sections, la seconde relation va définir le rapport entre la production d’unités d’œuvres et les biens réalisés. Pour chacune des ces relations on peut alors définir un ensemble de modèles d’optimisation. On peut de façon similaire, écrire un modèle d’optimisation permettant de calculer les coûts ai pour une section j. On remarquera ici que le coefficient ai se réfère à des unités d’œuvres u. Le coefficient ai est donc décrit en terme d’unités d’œuvres (ce n’est pas un prix de revient monétaire c’est un nombre u-o par production). Bien évidemment comme nous connaissons le coût d’unités d’œuvre b j nous pouvons exprimer facilement le coût des produits
Problème étoile sur excel:
Ct≅j=1mbjujt ↔sectionuit=inSection→produit
(1) mint=1TCt-j=1mbjujt2sc=t=1TCt=t=1Tj=1mbjujt
(2) mint=1Tujt-i=1naPour l’exercice quand chercher %quantité et CD
Quand on trace le graphique des répartitions, remplacer dans la sc le a1 puis le a2 pour trouver les valeurs pour tracer la courbe de condition puis tracer les autres droites en se servant des nombres trouver lors du calcul des %. (+ Feuille)
Les coûts unitaires par produit et section il faut ajouter que la charge fixe se monte à 40000Fr et que le prix de l’heure est de 15F et de matière 35F. Préparez les budgets correspondants pour un prix d’achat de la matière de 39F et de production respectives de 5 et 10 unités.
Le problème précédent peut se décomposer en 2 ensembles de répartitions. Les charges réparties sur les unités d’œuvres des sections, les unités d’œuvre des sections réparties sur les produis.
Dans le cas d’une modélisation où l’on intègre à la fois les charges, les départements et les produits, on considère simplement les sections comme productrice d’unité d’œuvre que l’on va « charger » par l’ensemble des frais occasionnées par leur production. Quand on passe des sections vers les produits, on va alors répartir les unités d‘œuvres de chacune des sections par produits finaux. On aura alors le coût d’un produit en termes d’unité d’œuvre de l’une quelconque des sections. Ce coût de produit peut se transformer en unité monétaire si l’on connait le prix d’achat des facteurs, et à la limite, en additionnant ces différents coûts de sections en terme monétaire, on peut obtenir un coût complet.
Ct≅i=1naixit+εtUn modèle simplifié serait de transférer directement la charge sur les produits ( ) correspondant ainsi à une interprétation classique du modèle de la règle optimale. On peut se poser la question avec un même jeu de donnée, est ce que les deux traitements induisent les mêmes prix de revient ? À cette question, la réponse est négative car les estimations des erreurs sont différentes. Globalement les différences sont minimes mais elles existent.
Corrélativement, on peut s’interroger sur la meilleure estimation possible. En termes d’information, il n’est pas douteux que les coûts des sections présentent un gros avantage dans une perspective budgétaire et pour connaitre les coûts de fabrication à chacune des étapes du processus.Dans une perspective d’une information où la rapidité prime, il ne fait aucun doute que le circuit simple charges vers produit, est le plus intéressant.
Au delà de cette spécificité, il faut remarquer ici qu’une fois de plus la qualité des résultats repose sur la qualité des données de base : charge, unité d’œuvre, production.
Si on revient à présent à un cas plus classique qui correspond à un système où nous avons plus de produits que de période et supposons l’exemple suivant :
C 1 2 328 5 7 3
Par hypothèse imaginons que notre coefficient (ai*) correspond simplement à la règle en proportion des quantités.
ai* 7+5+3 = 15
ai* = 2815 a1*=a2*=a3*=1.87
mina1a2a3(a1-1.86)2+(a2-1.86)2+(a3-1.86)2
sc:5a1+7a2+3a3=28
On peut trouver la matrice tout de suite :
1005 0107 0013 5730 x a1a2a3λ = 1.861.861.8628
Solution a1 ; a2 ; a3 = 1,86 (obtenu par la matrice), alors que la vrai solution c’est a1 = 3 ; a2 = 1 ; a3 = 2
Dans le cas du modèle quasi optimal avec une seule période d’information et si l’on choisi une règle pour une approximation initiale correspondant au prorata quantité, la solution du modèle nous ramène à ce même prorata et ne nous permet d’obtenir les véritables coûts unitaires.Cette particularité extrêmement fâcheuse nous rappelle que le modèle quasi optimal ne nous donne qu’une approximation et que dans le cas mono période, l’approximation correspond exactement à la répartition initiale. De fait, le modèle est extrêmement influencé par la solution initiale.
Supposons à présent que nous disposons du jeu de données suivant :
C 1 2 328 5 7 334 4 6 8
Sur la base de cet information et en se servant tjs de la règle en proportion des quantités, estimons la solution quasi optimal.
a1*=a2*=a3*=1.87
min=(a1-1.87)2+(a2-1.87)2+(a3-1.87)2
sc=5a1+7a2+3a3=28
sc=4a1+6a2+8a3=34
1005401076001385730046800 x a1a2a3λ1λ2 =
1.871.871.872834
On trouve alors les solutions suivantes : a1 = 1.85 ; a2 = 1.846 ; a3 = 1.44.Ce n’est pas tout à fait la même solution car une 2ème ligne (contrainte supplémentaire) apparaît : ça apporte de l’information.
On remarquera dans ce dernier exemple que les solutions du modèle ne correspondent plus à l’estimation initiale en proportion des quantités. Cela découle du fait que l’on a rajouté de l’information sous la forme d’une ligne supplémentaire. C’est cette nouvelle période qui fait varier l’estimation. Toutefois, nous n’obtenons tjs pas la vraie solution. Le modèle n’est donc pas parfait. Il demeure tjs très sensible à l’estimation initiale.
Dans l’hypothèse on l’on dispose tjs de peu d’information, on pourrait alors introduire des contraintes sur la base d’une information subjective tel que nous ayons une contrainte classique mais où l’on admettrait que certains coûts unitaires sont supérieurs ou inférieurs à certains autres.
minaii=1n(ai-ai*)2sc=i=1naixit=Ct∀t=1….t*ai≥aj ∀ i≠jEvidemment la création de ces contraintes demande une information supplémentaire sur les rapports pouvant exister entre les coûts unitaires (ai et aj). Si cette information n’est pas pertinente, on pourrait se retrouver dans le cas classique de règles arbitraires.En ce qui concerne ce modèle, sa résolution est assez délicate car en plus des contraintes classiques d’égalité, nous rajoutons des conditions d’inégalité qui sont difficiles à résoudre.
Exercice sur la répartition Excel (Analyse des écarts)
min=(a1-1.1142)2+(a2-1.0114)2sc=7a1+3a2=12
min=(a1-2.1142)2+(a2-2.0114)2sc=7a1+3a2=25
107013730 x a1a2λ = 1.11421.011412
107013730 x a1a2λ = 2.11422.011425
Standard Réel Ecart Nature des écartsMO 1.1142
1.01141.25481.0722
- 0.14- 0.6
DéfavorableDéfavorable
MA 2.11422.0114
2.61682.2274
- 0.5- 0.21
DéfavorableDéfavorable
Dans le calcul des écarts, dans la forme présente avec des productions et des réalisations identiques et sans connaissance du prix d’achat des facteurs, l’écart prix et l’écart quantité se résume à la différence entre les coûts unitaires standards et les coûts unitaires réels. Le problème pourrait être différent si par exemple, les quantités prévues devenaient différentes des quantités réelles. A ce moment la on pourrait faire une interprétation en termes d’écart de volume lié à la variation de la production.
