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* Definición de matriz
* Tipos de matrices
* Operaciones con matrices
* Matriz inversa
* Rango de una matriz
* Determinante de una matriz
* Propiedades
* PROBLEMAS RESUELTOS
* TEST DE COMPRENSIÓN
Prof. Ximo Beneyto
-Alacant-
MATRICES
MATRIz
A lo largo del tema tomaremos como cuerpo (K, +, A), el cuerpo de los números reales
(ú , +, A), a los números que forman la matriz les llamaremos "entradas" o simplemente
"elementos de la matriz", en nuestro caso serán números reales.
NOTACIÓN
Al conjunto de las matrices de "m" filas y "n" columnas, con elementos reales le
llamamos Mmxn (ú) o simplemente Mmxn. Cuando m=n, decimos que la matriz es CUADRADA,
notamos Mn.
Las matrices vienen representadas habitualmente por letras mayúsculas A, B, C, etc. y
cuando hacemos mención a sus elementos, notaremos A = ( aij ) i = 1,2,..m ; j = 1,2,..,n. Donde
"i" indica el número de la fila y "j" número de la columna que ocupa el elemento..
Al producto indicado ("x") del número de filas por el número de columnas le llamamos
DIMENSIÓN o TAMAÑO de la matriz, y al elemento de la misma que ocupa la posición:
fila "i" columna "j" le representamos por aij.
Definición:
Llamamos matriz, a una tabla rectangular de m A n elementos de un cuerpo (K, +, A),
dispuestos en filas y columnas, de la siguiente forma:
-Alacant-
A es una matriz: 4x3 ( Se lee cuatro por tres ) y alguno de sus elementos son:
a11=2 (fila: 1 columna:1)
a23= 6 (fila: 2 columna: 3)
a42= 0 (fila: 4 columna: 2)
* Los elementos de una matriz de la forma aii se dice que forman la DIAGONAL PRINCIPAL
de la matriz. En el ejemplo anterior, la diagonal principal sería la formada por los números, 2,
4 y 2.
* Dos matrices de las mismas dimensiones se llaman EQUIDIMENSIONALES.
* Dos matrices EQUIDIMENSIONALES, A y B, son IGUALES si tienen los mismos
elementos y dispuestos en la misma posición en ambas matrices.
TIPOS DE MATRICES
En las definiciones que siguen, utilizaremos operaciones con matrices que aún no se han dado,
pasa de largo y más adelante se verán.
* Veamos a continuación algunos de los tipos más usuales de matrices*.
1.-MATRIZ FILA
También se le llama VECTOR FILA, y es una matriz 1 x n.
* Las siguientes definiciones contienen conceptos que se verán más adelante (suma de matrices,
producto, determinante, etc), pero se han puesto aquí para un mejor agrupamiento en la clasificación.
1.-MATRIZ COLUMNA
También se le llama VECTOR COLUMNA, y es una matriz m x 1.
-Alacant-
3.-MATRIZ NULA
Llamamos matriz nula mxn, a una matriz cuyos elementos son todos ceros, la
representamos por Omxn.
4.- MATRIZ OPUESTA
Llamamos matriz opuesta de una matriz A y notamos - A, a la matriz que obtenemos
cambiando de signo todos los elementos de A. Si A = ( aij ) Y
- A = ( -aij )
+ es la suma de matrices y A el producto de dos matrices o el producto de un número por una
-Alacant-
5.- MATRIZ TRASPUESTA
Llamamos matriz traspuesta de una matriz A y notamos At , a la matriz que
obtenemos cambiando filas por columnas en la matriz A. Si A = ( aij ) Y
At = ( aji )
5.1.- Propiedades de la trasposición de matrices:
i) (At)t = A
ii) ( A + B)t = At + Bt
iii) ( A A B )t = Bt A At ( Si el producto AAB está definido )
iv) (a A A)t = a A At, a0ú
matriz
Observa, que al trasponer una matriz, los elementos de la diagonal principal quedan invariables
6.- MATRIZ CUADRADA
Llamamos matriz cuadrada, a una matriz que tiene el mismo número de
filas que columnas. Al número de filas o columnas de una matriz
cuadrada se le llama ORDEN de la matriz.
-Alacant-
Dentro del conjunto de las matrices cuadradas, vamos a citar alguno de los tipos m á s
importantes:
6.1 MATRIZ SIMÉTRICA
Una matriz cuadrada A 0 Mn es una matriz simétrica si es igual que
su matriz traspuesta, es decir:
A 0 Mn es SIMÉTRICA ] At = A
6.2 MATRIZ ANTISIMÉTRICA
Una matriz cuadrada A 0 Mn es antisimétrica si es igual que su matriz opuesta,
es decir:
A 0 Mn es ANTISIMÉTRICA ] At = - A
Recordemos que, al trasponer una matriz, los elementos de la diagonal principal permanecen
invariables, así, la diagonal principal de cualquier matriz antisimétrica deberá estar formada por
ceros. Propiedad: Toda matriz cuadrada se puede descomponer como suma de una matriz
SIMÉTRICA y otra matriz ANTISIMÉTRICA de forma única ( A = ½( A+At ) + ½( A - At ))
6.3 MATRIZ TRIANGULAR
Una matriz cuadrada A 0 Mn es triangular inferior/superior si todos los
elementos de la misma situados por encima/debajo de la diagonal principal
son
-Alacant-
6.4 MATRIZ DIAGONAL
Una matriz cuadrada A 0 Mn es diagonal, si todos sus elementos son
nulos excepto, tal vez, los situados en la diagonal principal.
6.5 MATRIZ UNIDAD
Llamamos matriz unidad de orden n y notamos In, a la matriz diagonal,
cuya diagonal está formada por unos.
-Alacant-
6.8 MATRIZ INVERSA
Dada una matriz cuadrada A 0 Mn , llamamos matriz inversa de A y notamos
A-1 a la única matriz de Mn, que cumple:
A A A-1 = A-1 A A = In
Propiedades de la inversión de matrices:
i) ( A-1)-1 = A
ii) ( A A B )-1 = B-1 A A-1
iii) ( I )-1 = I
iv) ( At)-1 = ( A-1)-t
v) ( 8A)-1 = 8A-1
NOTA: No todas las matrices cuadradas tienen matriz inversa, más adelante veremos las condiciones de existencia de
esta importantísima operación de inversa de una matriz cuadrada.
-Alacant-
Obviamente las definiciones anteriores contienen conceptos nuevos que no se han visto,
¡paciencia!, pero agrupar la mayor parte de los tipos de matrices que hay tiene muchas ventajas
pedagógicas.
OPERACIONES CON MATRICES
A lo largo de este punto, vamos a DEFINIR las operaciones en el conjunto de las
matrices de "m" filas y "n" columnas, Mmxn, con elementos en el cuerpo (ú, +, A).
1. SUMA DE MATRICES
Sean A = ( aij ) 0 Mmxn y B = ( bi j ) 0 Mmxn, definimos la SUMA DE
MATRICES A + B, a la matriz
A+B = ( aij + bij ) 0 Mmxn.
Es decir, la suma de dos matrices se efectúa sumando los elementos de ambas matrices
situados en la misma posición. Obviamente, solo podemos sumar entre sí matrices
EQUIDIMENSIONALES.
PRoPIEdAdES:
1. Asociativa
( A + B ) + C = A + ( B + C ) ú A, B, C 0 Mmxn
2. Conmutativa
-Alacant-
A + B = B + A ú A, B 0 Mmxn
3. Elemento neutro
ú A 0 Mmxn õ O 0 Mmxn / A + O = O + A = A.
(¡¡ Pues claro !! la matriz nula de Mmxn.)
4. Elemento simétrico
ú A 0 Mmxn õ(-A) 0 Mmxn / A + (-A) = (-A) + A = O
( Sí, sí, la matriz opuesta )
Cumpliendo estas cuatro propiedades de la ley de composición interna (Suma de
matrices), el conjunto de las matrices de m filas y n columnas tiene estructura de Grupo
Abeliano
( Mmxn, + ) Grupo Abeliano ( o Grupo Conmutativo )
2. Producto de un número real por una matriz
Sea A = ( aij ) 0 Mmxn y a 0 ú
Definimos el producto de un número real por una matriz , aAA
aAA = ( a A aij) 0 Mmxn
Es decir, el producto de un número real por una matriz se efectúa multiplicando todos los
elementos de la matriz por dicho número
( Nota: Observa que hemos definido aA A y no A Aa, con lo cual, un producto tipo
AA ( aA v ) debemos expresarlo como aA (A A v) )
PRoPIEdAdES
1. Distributiva del producto por un número real respecto de la suma de matrices.
a A ( A + B ) = a A A + a A B ú A, B 0 Mmxn y ú a 0 ú
2. Distributiva de la suma de números reales respecto del producto de un número por una matriz.
( a + b ) A A = a A A + b A A ú A 0 Mmxn y ú a , b 0 ú
3. Asociatividad mixta.
a A ( b A A ) = ( a A b ) A A ú A 0 Mmxn y ú a , b 0 ú
4. Neutralidad.
-Alacant-
1 A A = A ú A 0 Mmxn y 1 0 ú
Por consiguiente, si consideramos las propiedades de la ley de composición interna (Suma de
matrices ) junto con las de la ley de composición externa ( Producto de un número real por una
matriz) obtenemos que el conjunto de las matrices de m filas y n columnas cuyos elementos son
números reales tiene estructura algebraica de Espacio Vectorial Real.
( Mmxn(ú) , + , A ) tiene estructura de Espacio Vectorial Real
¡Ojo! De momento no sabemos que es un espacio vectorial real, ya lo veremos.
.
3. Producto de matrices
Dos matrices cualesquiera A, B no siempre se pueden multiplicar, debemos imponer unas
condiciones dimensionales para que el producto de las mismas se pueda realizar.
Dos matrices: A 0 Mmxn , A = ( aij ) y B 0 Mnxp , B = ( bjk ) , se pueden multiplicar en este
orden ,si la matriz A tiene el mismo número de columnas que filas tiene B
En este caso definimos el producto de matrices: AAB (En este orden ), de la siguiente
forma:
-Alacant-
En particular, cuando tomamos el producto de matrices sobre Mn, es decir, matrices
CUADRADAS, todas las matrices se pueden multiplicar entre sí, cumpliéndose las propiedades:
I. Propiedad asociativa
(A A B) A C = A A (B A C) ú A, B, C 0 Mn
II. Elemento neutro
ú A 0 Mn, õ I 0 Mn / A A I = I A A = A
Y junto con la suma de matrices definida anteriormente:
I. Distributiva de la suma de matrices respecto del producto de matrices
(A+B)AC = AAC+BAC ú A, B, C 0 Mn
II. Distributiva del producto de matrices respecto de la suma de matrices
AA(B + C) = AAB + AAC ú A, B, C 0 Mn
Que junto con las propiedades que ya conocemos de la SUMA DE MATRICES:
( Mn, + , A ) tiene estructura de ANILLO UNITARIO y no CONMUTATIVO.
[ No debes confundir el producto (A) de Matrices con el producto por un número real (A), a pesar
de que empleemos el mismo símbolo].
Potencia n.sima de una matriz
Como aplicación del producto de matrices, dada una matriz cuadrada, A, podemos hallar
potencias sucesivas de la misma multiplicando por sí misma esta matriz tantas veces como
indique el exponente, así:
A2 = A A A, A3 = A A A A A = A2 A A, etc.
En ocasiones, podemos encontrar una relación entre An y sus elementos mediante una fórmula,
lo cual nos da lugar a la potencia n.sima de una matriz.
-Alacant-
RANGO DE UNA MATRIZ
Llamamos rango de una matriz dada A 0 Mmxn, al número de vectores fila/columna
linealmente independientes que forman parte de la matriz. Notaremos el RANGO de
una matriz A:
Rang(A), Rg(A), R(A). En lo sucesivo emplearemos Rang(A).
Propiedades:
i. El RANGO de una matriz no varía si a una fila/columna le sumamos otra u
otras filas/columnas multiplicadas por constantes.
ii. El RANGO de una matriz no varía si cambiamos sus filas por sus columnas
( Rango (A) = Rango (At) )
iii. El RANGO de una matriz es el ORDEN DEL MAYOR MENOR no nulo de
la matriz A.
iv. El RANGO de una matriz no varía si suprimimos una fila/columna de ceros.
v. El RANGO de una matriz no varía si suprimimos una fila/columna que sea
combinación lineal de otras filas/columnas.
-Alacant-
MÉTODOS DE CALCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ
1) Método del PIVOTE
2) Método de MENORES ORLADOS (Se verá después del tema DETERMINANTES)
1) MÉTODO DEL PIVOTE
Utilizando las propiedades mencionadas más arriba, el método del pivote consiste en ir
efectuando transformaciones elementales en las filas de la matriz mediante combinaciones
lineales entre ellas para conseguir una matriz más sencilla del mismo rango.
De forma práctica, haremos ceros los elementos de la matriz situados por debajo de la diagonal
principal, pivotando sobre los elementos a11 , a22, así sucesivamente.
El Rango de la matriz será el número de filas con algún elemento no nulo una vez finalizado
e interpretado el proceso.
No hay prácticamente limitaciones al establecimiento de combinaciones lineales entre
filas/columnas, salvo multiplicar o dividir por cero, aunque tomaremos el mismo consejo del
cálculo de determinantes :
Efectuar una transformación muy ordenada de la matriz por filas y empezando por la primera. Eso
sí, tantas veces como haga falta, podemos permutar la posición de las filas, sin alterar el valor del
RANGO de la matriz.
Observa con detalle los siguientes ejemplos
-Alacant-
-Alacant-
CONEXIÓN MATRICES/ESPACIO VECTORIAL
1.1 Análisis de la dependencia lineal de un Sistema de Vectores.
Sea ( Rn(R), +, A ) , y un Sistema de vectores, sean
las matrices columna formadas con las componentes de cada vector. Si llamamos A = (v1 v2 ...
vp ) a la matriz cuyas columnas/filas son las matrices anteriores, el rango de la matriz nos indica
el número máximo de vectores del Sistema linealmente independientes, y el MENOR que
determina el rango, nos indica cuales de ellos, por ejemplo, son. Puesto que según tomemos un
MENOR u otro tendremos unos vectores u otros.
Obviamente, la matriz con las componentes se puede considerar por filas o columnas, pues el
rango es el mismo.
-Alacant-
Ximo.