Cap. 5 - Vetores

2 Grandezas vetoriais

Por que algumas grandezas são consideradas esca/ares e outns veto-riais? O aluno deve entender que algumas grandezas simp/esrnente seadicionam aritmeticamente, por exemplo: 3 kC + 4 kg : 7 k8, mas aadição de duas velocidades de 3 m/s e 4 m/s nem sempre ê 7 m/s; o resul'tado vai depender da direção dos movimentos que possuem ess as veloci-dades. 5e os movimentos forem perpendiculares, o resultado é 5 m/s, ob'tido por meio da aplicação do teorema de Pitâgoras. Assim como os nÚ'meros sevem para opew com as grandezas escalares, os vetoies seÍvempara operct com as grandezas vetoilais.

Devido à importância dessàs grandezas no desenüolvimento e com-preensão dos capttulos que se seguem, o aluno deve conhecer as opera'ções com os vetoÍes, calcular o môdulo da resultante nos casos maissimples em que os vetoÍes têm a rnesrna direção ou são ortogonais e,também, determinar os componentes de um vetot sobrc eixos ottoglnais. Os conceitos de velocidade vetorial, aceleração tangencial e acel*ração cenülpeta estão desenvolvidos num ntvel adequado para o desen'volvimento dos capitulos seguintes.

Grandezas escalares

Quando dizemos que o resul tado da medida da área de uma su-perf icie ê 7 m2, será que ainda falta algo para caíacterizar essa gran-deza? Por exemplo, temos que pensar "em que direção" ou "paraque fado" a medida ê7 m2?

A resposta é não, pois só o númeÍo (7) e a unidade de medida(ml) caracterizam perfeitamente a grandeza áÍea.

Crandezas perfei tamente caracter izadas por um número e umaunidade conveniente de medida denominam-se grandezas esca-lares.

Exemplos: massa, área, volume. densidade, temperatura, energia eoutras que vamos conhecer durante o curso.

Retas paralelas a uma reta hor izontal s também têm a mesmadireção hor izontal (observe a f igura l l ) .

Retas paralelas e incl inadas'de mesmo ângulo a em relação auma Íeta t têm a direção dada pelo ângulo a (veja a f igura l l l ) .

Direção é a característica comum a um feixe de retas paralelas.

Em uma mesma direção existem dois sentidos.

Exemplos

19) Na direção vert ical existe o sent ido para cima e para baixo.29) Uma gaveta pode ser movimentada na direção horizontal e em

dois sent idos: puxar e empurrar.39) Na direção leste-oeste, o sentido pode ser para leste ou oeste.

Crandezas que, além do número e unidade de medida, exigempara a sua perfei ta caracter ização o conhecimento da direçãoe sentido denominam-se grandezas vetoriais.

i l l

Íetas de di;eçãohorizontal

Íetas de direçãoÍormando ânguloa com a teta I

Vamos inic iar este i tem dando alguma noção de direção e sen-tido.

Retas paralelas a uma reta vert ical r (veja a f igura l ) tambémsão verticais, isto é, essas retas têm a mesma caracteristica da reta r.Essa característica comum apresentada pelas retas do feixe e a reta rdenomina-se direção.

retas dedireçãovertìcal

número (ou modulo): 5unidade de medida: m/sdireção: vert icalsent ido: para c ima

A aceleração de um corpo em queda l ivre,Terra, tem as seguintes características:

62 NOçÕES TUNDAMENTAIS DI FISICA

Exemplos: velocidade, aceleração, forças e outras que vamos conhe-cer durante o curso.

Se um corpo se movimenta vert icalmente para c ima com velo-

cidade de 5 m/s, essa velocidade é caracter izada por:

Cap.S-Vetores 63

Para a notação de vetores, usam-s? letras minúsculas ou maiús-culas. sobre as quais se coloca uma seta.

Exemptos: Í, V, F";E

Os módulos dos vetores são indicados por:

t i t ,g, tFt" tÃãtou simplesmente:

X v,FeAB

A direção de um vetor é determinada pela reta-suporte (retaque o contém), portanto vetores contidos na mesma reta ou em retasparalelas têm a mesma direção.

O sentido de um vetor é determinado pela seta.

4 Vetores iguais e vetores opostos

Vetores iguais são aqueles que possuem mesma direção, mes-

mo sentido e mesmo módulo. l

Os vetores ã, b e ã da f igura abaixo são vetores iguais:

t

frÌü

0

v=5m/s

nas proximidades da

,/

módulo: cerca de 9.8unidade de medida: m/s2direção: vert icalsentido: para baixo

\g = 9,8 m/sl

i letor é um ente matemático'caracterizado por módulo (ou nú-mero), direção e sentido.

3 Vetor

Atenção: Vetor é um ente puramente matemático. portanto não pos-

sui unidade de medida.

De acordo com o conceito de vetor, podemos dizer que as gran-

dezas vetor ia is são caracter izadas por vetor e unidade de medida.Por exemplo, quando dizemos que a aceleração da gravidade de umcorpo em queda vale 9,8 m/s2, s igni f ica que a grandeza vetor ia l ace-leração é caracterizada por unidade de medida m/s2 e vetor de mó-dulo 9,8, d i reção vert ical e sent ido para baixo.

Assim como os entes matemát icos denominados números são

representados graf icamente por s imbolos denominados numerais(por exemplo, o número dois pode ser representado por numerais 2,

l l e : ), os entes matemáticos denominados vetores são representa-dos graf icamente por segmentos orientados.

NoçÕEs FUNDAMTNïAIS DE risrcA

Vetores opostos são os que possuem mesma direção, mesmo

módulo e sentidos contrários.

Indicamos o oposto de um vetorÏ por - i

Cap 5 - Vetorcs

5 Adição de vetores

O vetor sonìa ou resul tante de vetores pode ser obt ido por doismétodos: o método do poligono e o método do paralelofiÍamo.

ìÌ

Método do polígono

Adição de dois vetoÌes

O vetor somaïde dois vetoresãe6e obt ido da seguinte ma-neira:

ü _l;Atenção: Na f igura seguinte, ã = -Ë, mas ã+ Ë, potqr" os sentidos

deãeËsão contrár ios.

Exercícios1. Assinale V para as sentenças verdadeiras e F para as fa lsas, conforme o esquema.

at?=b' ' b)Ë=a* c)Ë=i d)?=Ë e)?=d

2. Com relação ao esquema anter ior , assinale V para as sentenças verdadeiras e F pa

ra as fa lsas.;+

a)ã=-b b)c=-d

V.

19) Deslocamos, sem alterar a direção, õ sentldo e o módulo,os dois vetores (ou qualquer um deles) até que a origem dosegundo vetor coincida com a extremidade do primeiro

ivetof . r* i ' , '+n l ' ' , l ' i ,

29) O vetor que vaida origem do primeiro à extremidade do se-gundoé'ovetorsomJï * l ' ' " ' . " ' , , , ' ; ' . , , " , . . ' , " . .

b

Observe as figuras:

Simbol icamente, escrevemos: ï : ã + b

iz--ï - - ì\/1 i l-+-----+----.-+--i i --.r

Exemplos

ï-

ìt\a\

NOçÕES FUNDAMENÏAIS DE TiSrcA

Exercícios+. + i

3. Em qual das figuras o vetor soma s de a e b esta

4. Dados os vetoresï Ë ãe cl]represente pelo mêtodo do poligono os seguintes veto-

representado corretamente?

b

\-7"\

/,

V(c)

res soma:a) i=ï+Ë. .+ | , +b)52=DtC

.++.+crss=a+cat 5l =?+ Í

b

iï-i:1,,:l::--i---i-\,.L1 l+ t

Cap5-Vetores 67

Adição de mais de dois vetoÌes

Dados os vetores ã, Ï "

õ o vetor soma ï é determinado da se-guinte maneira:19) Obtemos o vetor soúa { = ã + Ë

29) Obtemos o vetorÀsomaï: i t + donde: { '

ïéovetorsomadeã6ed.De Íato, subst i tuindoï = á* 6emï= ïr + Ç temos:

ï=ã+6+ã

Em sintese, o vetor soma é obt ido deslocando-se (sem al terar adireção, o sent ido e o módulo) os vetores consecut ivamente, de mo-do que a or igem de um coincida com a extremidade do outro. O ve-tor soma vai da or igem do pr imeiro à extremidade do úl t imo vetor.

Exemplos

NOçÕfs tuNDAMENÌA|S Dt FislcA

ercíc ios5. RepÍesente o vetoÍ soma de cada um dos esquemas

c

6. Trace o vetor soma aeã Ë d e Í

t r l

Método do Paralelogramo

O vetor somaïde dois vetores ãe É pelo método do paralelo-

gramo, é obt ido da seguinte maneira:

Cap 5 - Vetores

Exercicio

Casos particulares da adição de vetores

Adição de vetores de mesma direção e mesmo sentido

o vetor soma tem módulo igual à soma dos módulos dos veto-

res dados e possui o mesmo sentido desses vetores'

t r

Simbol icamente: ï = ã + iEm módulo, 1ï1 = 1ï1 + 1Ë;

+

Por exemplo, se lãl = 3 e lbl = s, lslserá igual a 8'

Adição de vetores de mesma direção e sentidos contrários

O vetor soma tem módulo igual à diferença dos módulos dosvetores dados e possui o mesmo sentido do vetor de maior módulo.

t -r* l,a_il r+ lI

l * l lls l l# Il l l

ï=ã+Ë .-.;E; =lal - lb l

Selãl =g " lËl =3 r l í=o

69

5

NOçÕES FUNDÁMENIAIS DE TISrcA

Adição de vetores de direções perpendiculares

O vetor soma é obtido pelo método do polígono ou do parale-logramo. O módulo do vetor soma é calculado através do teoremade Pitágoras.

a---------------{>

iigz: ;ip + 161r+ t+

ls l =Vlal2+lbl2

Aplicação

Se um âvião que se desloca de oeste para leste com velocidadev1 = 800 km/h for atingido por um vento de velocidade vz : 70 km/h,a velocidade resultante v do avião será obtida efetuando'se a adiçãodos vetores ü

" Vr, conforme o sentido do vento.

a) Se o vento sopra de oeste para leite: \

l i l = lü l + lü llVl :soo+zolVl = s7o km/h

b) Se o vento sopra de leste para oeste:

lvl = lül- l%llü: s00-70lül : 730 km/h

c) Se o vento sopra de norte para sul:

lVlt: lürl, + lü1,lü2: Sooz + 7o2M: y'Ìmmoo-l1 49oolil s ao: tm/tr

Cap 5 - Vetorcs

erctcros++++

8. Dados os vetores A, B, C e D, represente os seguintes vetores soma:+++

a)5t=4.t-g+++

b)Sr:6. 'ç+++

c)Sr=C*D

71

b

' ïA

--ï t-:i- j--s-'i---, i i jI i | - i - - f r - - i - - i : ï - - l

'-'=:-= -::

r ----------- +r,v2 lt ,Êr+l

oeste-Ì j - ; - - - reste

| + l

i t vz i

i ; i -

vento

llr*,*-\r-

6 Subtração de vetores

Dados os vetores ãeË, ogetor di ferença i = ã-6C obt ido fa-zendo-se a adição de ãcom -b. De fato:

ã' : a-Ëé o mesmoqr"ã = e + t -Ët-Ë = vetor oposto de Ë

--r- l. I i -i j- i rDl I

i l r l l r r i i tr t t ,r l l| , + i | | | 1 t | |

-*- i i Bi r , ' - - - -L---r--- i - - - t - - -J

Nasfigurasanteriores,se: l i ; = 3, ldl = a, tdt : z " lôl : 3, calculeosmódutos

dos vetores soma obtidos no exercício anterior.

Observação: O vetor ã"da f igura foi obtido pelo método do polígono.Tente, também, obtê-lo pelo método do paralelogramo.

NOçÕES FUNDAMENTAIS DE FISICA

erclc lo

10. Dados os vetoresïr, Vr, Vt "

V4, obtenha+++

a) dt = Vr-Vr++

b) d2 = Vr-Vr

+-v l

l---------#

++

c) dr = Vr-V.+ + + +

d) dr = Vr + Vr-V!

#

7 Multiplicação de um número poÍ um vetoÍ

Mult ipl icando um número real n por um vetorü, obtemos o

vetor Ë = n 'V, com as seguintes caÍacterísticas:

Módulo: lËl = lnl ' lVlDireção: a mesma de í

Sent ido: igual aü se n )0; contrár io aï , se n <0

ExercícioÍ1. Dado o vetor ï obtenha os vetoÍes: zl, '|i, d -i -3i e +i'

xIII+-III

IT'II

-LIII

_t_IIII

_r

IIII

LIIIt-IIIIFIIILIIIIL

II

- tI

II

-tII

_ lIII

JIII

.J

r - - - - ì - - - - - i - - - - ir l i rl Ì i rl l r l

-F -- - - -F -- - - l - - - - - it r t lt r t lr l+--- - j - - - - - ] - - - - ri r r lt r l rr t l l

J- ---- l - - - - - r - - - - -1! i r rt l

l i l i-L---- ! - - - - f - - - - - - i

l l

| | | || | | ' ' I

- l - - - - -L ----- l - - - - - - l

Cap. 5 - Vetores

I Projeção de um vetoÍ

Dado um vetor V com aor igem coincidente com a or i -gem do sistema de ei4os ortogo-nais x e y, .projetando'a extremi-dade de V perpendicularmenteaos eixos, obtemos V, e Vu, quesão denominados componentesortogonais ou projeções ortogo-nais de V sobre os eixos x e y.

V, : projeção ortogonal de V sobre o eixo x

: projeção ortogonal de V sobre o eixo y

. _ Sga é*o ângulo formado entre o vetor Ve o eixo x, os módu-los de V, e V, são obt idos da seguinte maneira:

cosrÌ :+*

, "no- *-*

onde:

V é o módulo do vetor V

cateto adiacente ao

cateto adiacentecos c : --Fipo6;rusa send _ caletqoposto

nlpotenusa

V, ='V ' sen 4

NOçõES FUNDAMTNTAIS DE FISrcA

Exercícios12. (Exemplo) O vetoÍ V da figura tem módulo 20. Calcule o módulo de suas proie-

ções sobre os eixos ortogonais x e y.

ResoluçãoPiojetando V perpendicularmentesobre cada um dos eixos dados,obtemos V" e Vu.

V,:V'cos60o=20'0,5

lv ,=to I

V" = V'sen60o = 2O'O,87

O vetor V da f igura tem módulo 10. Calcule o módulo de suas proieções ortogonais sobre os eixos ortogonais x e y.

O vetoÍ da f igura tem nródulo P = 10. Calcule o módulo de suas proieções ortcgonais sobre os eixos ortogonais x e y.

Cap 5 - Vetores

9 Velocidade vetorial

No inic io deste capi tu lo v imos que velocidade é uma grandeza

vetor ia l , portanto será representada através de um vetor '

O vetor V que representa a velocidade vetor ia l de um corpopossui as seguintes caracter ist icas:

Direção: tangente à traietoriaem cada posição P do móvel .

Sent ido: o mesmo do movimen-to do corpo.

Módulo: o mesmo da veloci-dade escalar instantânea(lVl : 1v",."6,1).

Nota: Velocidade instantânea, já v ista no capítulo 1 , ê, a r igor, deno-minada velocidade escalar instantânea.

Quando o movimento é ret i l ineo e uni forme (MRU), a direção,o sent ido e o módulo da velocidade vetor ia l são constantes.

+++

++movimento retilíneo e unìíorme

Quando o movimento e ret i l íneo uniformemente var iado(MRUV), a direção e o sentido da velocidade vetorial são constantes,mas seu módulo var ia uniformernente com o tempo.

+++

- - - - ut

a--- u '

a--- u '

t

movimento retillneo u niÍormemente variado

Quando o movimento é uniforme e a traietória é uma curva, omódulo da velocidade vetorial é constante, porque o movimento éuniforme, mas sua direção e seu sent ido var iam conforme as posi-

çÕes ocupadas pelo móvel.

13.

14.

*nu")Y