Grado: ............... Seccion: ........................ Area: ..................................................

Nombres: ...................................................................................................................Profesor: .....................................................................................................................

INTEGRANDOCOLEGIO ““Calidad Educativa con Inteligencia Emocional”Calidad Educativa con Inteligencia Emocional”

IntegrandoIntegrandoIntegrandoIntegrandoInstitucion Educativa ParticularInstitucion Educativa ParticularInstitucion Educativa Particular

ColegioINTEGRANDO

Av. Berriozabal 312

982 002972INTEGRAN DO

COLEGIO

1

INTE

GRANDO

COLEGIO

SERIES NOTABLES

Son series diferentes de las series aritméticas y series geométricas, pero con una fórmula de resolución conocida.

Alguna de las series notables más conocidas son:

• 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = n n2

1+_ i

• 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n - 1) = n2

• 12 + 22 + 32 + 42 + ... + n2 = n n n6

1 2 1+ +_ _i i

• 13 + 23 + 33 + 43 + ... + n3 = n n

21 2+_ i

> H

• 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + 4 × 5 + ... + n(n+1) =

= ( )( )n n n31 2+ +

• 1 × 2 × 3 + 2 × 3 × 4 + 3 × 4 × 5 + ... + n(n+1)(n+2) =

= ( )( )( )n n n n4

1 2 3+ + +

• ... ( )n n1 21

2 31

3 41

4 51

11

# # # #+ + + + +

+ =

= nn1+

Donde “n” es el número de término, NO es el último término.

SUMATORIA(S)

Símbolo que nos indica la adición de los términos de nuestra regla de definición, donde:

Propiedades:

• k nki

n

1=

=/ donde “k” es una constante

• ( )ki k ii

n

i

n

1 1=

= =/ /

• ( ... )k i k i k i kn n nn

i

n

0 11

22

1+ + + +- -

=/

= ...k i k i k i kon

i

nn

i

nn

i

n

ni

n

11

1

12

2

1 1+ + + +

=

-

=

-

= =_ _ _i i i/ / / /

• ki ki kii

n

i

m

i m

n

1 01

1= +

=

-

=/ / /

Series notables y sumatorias

INTEGRAND OCOLEGIO

AcademiaINTEGRANDO

Av. Berriozabal 312ColegioIntegrando

“CALIDAD EDUCATIVA CON INTELIGENCIA EMOCIONAL”“CALIDAD EDUCATIVA CON INTELIGENCIA EMOCIONAL”MATEMATICAMATEMATICA

2

INTE

GRANDO

ACADE

MIA

Trabajando en clase

Integral

1. En una base cuadrangular se han empleado 400 bolas de billar. ¿Cuántas bolas de billar se han em-pleado en toda la pirámide?

2. Indica el valor de “A” en:

A = ( )k 4k

2

2

7-

=/

3. Calcula el valor de la expresión:

S = k k k2k k k

4

1

33

2

5

3

6+ +

= = =/ / /

PUCP

4. Si: an = ( )n n1

11-+

Halla: a1 + a2 + a3 + ... + a99

(Tipo PUCP 2003 – I)

Resolución:

Reemplazando en la ley de formación tendría-mos:

a 11

21

1 = -

a 21

31

2 = -

a 31

41

3 = -

h

a 991

1001

99 = -

Entonces tendríamos:

...

...

a a a a

11

21

21

31

31

41

991

1001

1 2 3 99+ + + +

= - + - + - + + -

... 99a a a a 1 1001

10021 3 99+ + + + = - =

La suma es 0,99

5. Calcula el valor de:

A = ...21

61

121

201

9301+ + + + +

6. Halla el valor de “S” en:

S = 1 × 4 + 2 × 5 + 3 × 6 + 4 × 7 + … + 22 × 25

7. Halla la suma de todos los números de la pirámi-de mostrada, sabiendo que tiene 16 filas.

1

3 5

7 9 11

13 15 17 19

i h h j

UNMSM

8. Calcula el valor de:

S = 15 × 1 + 14 × 2 + 13 × 3 + 12 × 4 + … + 1 × 15

Resolución:

Tenemos:

15 × 1 + 14 × 2 + 13 × 3 + … + 1 × 15

Dándole forma a la serie:

S=(16-1)×1+(16-2)×2+(16-3)×3+…+(16-15)15

S=16×1–12 + 16×2–22 + 16×3–32+ … + 16×15–15

S=16(1+2+3+4+…+15)–(12+22+32+42+…+152)

S=16 215 16

615 16 31# # #-b bl l

S = 1920 – 1240 = 680

9. A Mirtha le preguntaron acerca de su sueldo mensual y respondió: “Mi sueldo se puede expre-sar mediante la siguiente suma:

1 × 3 + 2 × 4 + 3 × 5 + 4 × 6 + … + 21 × 23

¿Cuál es el sueldo de Mirtha?

INTEGRAND OCOLEGIO

ColegioINTEGRANDO

Av. Berriozabal 312

982 002972

GRUPOEDUCATIVOGRUPOEDUCATIVO ININTETEGRAGRANNDODO

3

INTE

GRANDO

COLEGIO

Trabajando en clase

Integral

1. En una base cuadrangular se han empleado 400 bolas de billar. ¿Cuántas bolas de billar se han em-pleado en toda la pirámide?

2. Indica el valor de “A” en:

A = ( )k 4k

2

2

7-

=/

3. Calcula el valor de la expresión:

S = k k k2k k k

4

1

33

2

5

3

6+ +

= = =/ / /

PUCP

4. Si: an = ( )n n1

11-+

Halla: a1 + a2 + a3 + ... + a99

(Tipo PUCP 2003 – I)

Resolución:

Reemplazando en la ley de formación tendría-mos:

a 11

21

1 = -

a 21

31

2 = -

a 31

41

3 = -

h

a 991

1001

99 = -

Entonces tendríamos:

...

...

a a a a

11

21

21

31

31

41

991

1001

1 2 3 99+ + + +

= - + - + - + + -

... 99a a a a 1 1001

10021 3 99+ + + + = - =

La suma es 0,99

5. Calcula el valor de:

A = ...21

61

121

201

9301+ + + + +

6. Halla el valor de “S” en:

S = 1 × 4 + 2 × 5 + 3 × 6 + 4 × 7 + … + 22 × 25

7. Halla la suma de todos los números de la pirámi-de mostrada, sabiendo que tiene 16 filas.

1

3 5

7 9 11

13 15 17 19

i h h j

UNMSM

8. Calcula el valor de:

S = 15 × 1 + 14 × 2 + 13 × 3 + 12 × 4 + … + 1 × 15

Resolución:

Tenemos:

15 × 1 + 14 × 2 + 13 × 3 + … + 1 × 15

Dándole forma a la serie:

S=(16-1)×1+(16-2)×2+(16-3)×3+…+(16-15)15

S=16×1–12 + 16×2–22 + 16×3–32+ … + 16×15–15

S=16(1+2+3+4+…+15)–(12+22+32+42+…+152)

S=16 215 16

615 16 31# # #-b bl l

S = 1920 – 1240 = 680

9. A Mirtha le preguntaron acerca de su sueldo mensual y respondió: “Mi sueldo se puede expre-sar mediante la siguiente suma:

1 × 3 + 2 × 4 + 3 × 5 + 4 × 6 + … + 21 × 23

¿Cuál es el sueldo de Mirtha?

10. Si la suma de los dígitos del número abc es 9 calcule:

abc cab bcai

n

i

n

i

n

1 1 1+ +

= = =/ / /

(UNMSM 2011 – II)

11. Si: • ... ( )...A n

n1 3 5 7 2 1

2 4 6 8 2n = + + + + + -

+ + + + +

• Bn = 3 + 5 + 7 + 9 + ... + (2n+1)

Halle la media aritmética de A40 y B20

(UNMSM 2007 – II)

UNI

12. Determina la suma de los 100 primeros térmi-nos de la sucesión:

2; 5; 5; 3; 4 ;5; 7; 3; …(UNI 2006 – I)

Resolución:

Juntamos parejas tendremos:

Suma = 256 57

26 7 1575# #- =

13. Calcula el valor de la siguiente serie:

1 + 1 + 4 + 3 + 9 + 5 + 16 + ... 1444444442444444443 100 términos

14. Halla“n”,

Si 2 8184k

k

n1

2=+

=/

Sigo practicando

16. Luis al armar una torre con latas coloca 1 lata en la primera fila, 2 en la segunda, 3 en la tercera, 4 en la cuarta y así sucesivamente. Si va a armar una torre de 20 filas, ¿cuántas latas necesitará?

a) 180 c) 200 e) 240b) 190 d) 210

17. Calcula:

( )2 4 33 2

1x x x

k

n− +

=∑

a) 24200 c) 24800 e) 25600b) 24000 d) 24200

18. Calcula:

( )2 31

kk

n+

=∑

a) n2 b) n2 + n c) n2 + 2n

d) n2 + 3ne) n2 + 4n

19. Calcula el valor de: E = 0,001 + 0,002 + 0,003 + … + 0,024

a) 0,1 c) 0,3 e) 0,5b) 0,2 d) 0,4

20. Calcula: S = 1x19+2x18+3x17+4x16+…+19x1

a) 1280 b) 1330 c) 1440 d) 1680e) 1728

21. Halla la suma de todos los números de la pirámi-de mostrada, sabiendo que tiene 25 filas.

11 2

1 2 31 2 3 4

1 2 3 4 5N M M M O

a) 2425 c) 3025 e) 3225b) 2925 d) 2225

INTEGRAND OCOLEGIO

AcademiaINTEGRANDO

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“CALIDAD EDUCATIVA CON INTELIGENCIA EMOCIONAL”“CALIDAD EDUCATIVA CON INTELIGENCIA EMOCIONAL”MATEMATICAMATEMATICA

4

INTE

GRANDO

ACADE

MIA

22. Calcula: “x + y + z”, donde: Sn: suma de los “n” primeros términos

1 3 5 7400

900

+ + + + + + + + +=

=

... ... ...x y zS

S

S

a

b

1 2444 3444

1 24444 34444

cc=12251 2444444 3444444

a) 150 c) 175 e) 105b) 165 d) 167

23. Calcula el valor de la siguiente serie: 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + … + 120

a) 440 c) 620 e) 720b) 560 d) 680

24. Calcula:

( )3 23

15

8

20n n

nn+

==∑∑

a) 720 c) 760 e) 820b) 750 d) 780

25. Si:115

135

163

1 0 153+ + + + =... ,M�

Halla la suma de las cifras de “M”.

a) 16 c) 18 e) 23b) 17 d) 20

26. Calcula el valor de la siguiente serie: S = 1 + 9 + 25 + 49 + … + 289

a) 1140 c) 969 e) 928b) 990 d) 980

27. Si: Sn = 1 + 2 + 3 + 4 + … + n Halla “A” en: A = S1 + S2 + S3 + S4 + … + S25

a) 2925 c) 2975 e) 3025b) 2950 d) 3000

28. Halla el valor de:

2 1

3

10k

k

+

=∑

a) 4096 c) 2044 e) 4080b) 2048 d) 1023

29. La suma de “n” números pares consecutivos es “S”. ¿Cuál es la suma de los “n” siguientes?

a) S + 2n2 c) S + n2 e) (S + n)2

b) S + n d) S2 + n

30. En el siguiente arreglo, calcula la suma de todos los términos denominados por la línea hasta la fila 16.

11 1

1 2 11 3 3 1

1 4 5 4 11 5 10 15 5 1

1 6 15 20 15 6 1

a) 560 c) 640 e) 720b) 600 d) 680