НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ УКРАЇНИ
„КИЇВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ”
Фартушний І.Д.
Охріменко М.Г.
Дзюбан І.Ю.
КУРС ДОСЛІДЖЕННЯ ОПЕРАЦІЙ
Навчальнй посібник
для студентів вищих навчальних закладів
КИЇВ – 2016
УДК 519.8(075.8)
ББК 65вбя73
Ф43
Затверджено
Міністерством освіти і науки України
як підручник для студентів вищих навчальних закладів
(лист №1/11-10435 від 08.07.2014 р.)
Рецензенти: О.М. Станжицький – доктор фіз.-мат. наук, проф.
В.В. Новицький – доктор фіз.-мат. наук, проф.
Т.В.Блудова – доктор екон. наук, проф.
Фартушний І.Д.
Ф43 Курс дослідження операцій [Текст]: навч. пос./ І.Д.Фартушний І.Д.,
М.Г. Охріменко М. Г., І.Ю. Дзюбан. – К.: НТУУ «КПІ», 2016. – 212 с. –
Бібліогр.: с. 206-207. – 300 пр.
ISBN 966-622-186-1
Викладено основні принципи та задачі дослідження операцій, основи
прийняття рішень в умовах визначеності та невизначеності за допомогою
математичних моделей. Розглянуто та проілюстровано методи розв’язку задач
лінійного програмування: симплекс-метод та графоаналітичний, задачі
транспортного типу, задач, пов’язаних з моделями В. В. Леонтьєва, виробничо-
транспортних. Проілюстровано розв’язок динамічної задачі інвестування
виробництва оригінальним методом, з використанням принципу максимуму Л.
С. Понтрягіна. Проведено оптимізацію діяльності страхової компанії за рахунок
витрат на рекламу. Вперше в літературі наведено алгоритм розв’язку
макроекономічної задачі В. М. Глушкова про оптимальний розподіл робочих
місць в двохсекторній макроекономічній моделі. Доведено доцільність
використання в економічних дослідженнях рівновагових співвідношень за
допомогою інтегральних рівнянь. Викладено і проілюстровано основні
елементи принципу динамічного програмування Р. Беллмана. Детально
розкрито основні положення теорії ігор.
Посібник містить велику кількість розрахунків і задач для
індивідуального розв’язування, може бути використаний для вивчення курсу,
виконання самостійних завдань, курсового та дипломного проектування.
Посібник рекомендується для використання у своїй практичній діяльності
студентам, аспірантам і викладачам вищих навчальних закладів.
УДК 519.8(075.8)
ББК 65вбя73
ISBN 966-622-186-1
3
Зміст
Вступ ............................................................................................................................5
Розділ 1. Сутність дослідження операцій.......................................7
1.1. Основні визначення дослідження операцій ......................................................7
1.2. Математична модель операції ............................................................................8
1.3. Модель «затрати-випуск» В. В. Леонтьєва .....................................................10
1.4. Модель розподілу ресурсів ...............................................................................20
1.5. Завдання для самостійних та контрольних робіт з аналізу систем
В.В. Леонтьєва...................................................................................................22
Розділ 2. Лінійне програмування…………………………24
2.1. Загальний вигляд задачі лінійного програмування ........................................24
2.2. Графічний метод розв’язування задачі лінійного програмування ...............25
2.3. Алгоритм розв’язування задачі лінійного програмування за допомогою
симплекс-методу................................................................................................27
2.4. Спряжені (двоїсті) задачі лінійного програмування.
Основні властивості ..........................................................................................33
2.5. Економічна інтерпретація основної та спряженої задач лінійного
програмування ...................................................................................................35
2.6 Завдання для самостійних і контрольних робіт до розділу 2..........................37
Розділ 3. Задачі транспортного типу ……………………..45
3.1. Постановка задачі ..............................................................................................45
3.2. Знаходження опорного плану……………………………................................48
3.3. Поліпшення плану перевезень..........................................................................51
3.4. Задачі транспортного типу з неправильним балансом ..................................61
3.5. Завдання для самостійних і контрольних робіт до розділу 3……………….64
Розділ 4. Задачі цілочисельного програмування ...............69
4.1. Метод ланцюгів та границь ..............................................................................69
4.2. Метод двосторонніх цілочисельних наближень……………………………..75
4.3. Завдання для самостійних і контрольних робіт до розділу 4.........................80
Розділ 5. Динамічні моделі оптимального керування………….86
5.1. Постановка задачі. Принцип максимуму Л. С. Понтрягіна.............………..86
5.2. Принцип динамічного програмування Р. Беллмана. Багатокрокові
задачі дослідження операцій.............................................................................92
5.3. Задача про розподіл коштів між підприємствами ..........................................94
5.4. Загальна схема застосування методу ДП. Задача про оптимальний
4
розподіл ресурсів між галузями на n років ..................................................100
5.5. Завдання для самостійних та контрольних робіт до розділу 5……………104
Розділ 6. Прикладні економічні моделі …………............................119
6.1. Виробничо-транспортна задача.......................................................................119
6.2. Оптимізація розподілу ресурсів в умовах кризи. Оптимальність
за Парето ...........................................................................................................122
6.3. Оптимізація діяльності страхової компанії за рахунок витрат на
рекламу..............................................................................................................124
6.4. Модель розподілу робочих місць у двохсекторній макроекономічній
моделі.................................................................................................................132
6.5. Завдання для самостійних і контрольних робіт до розділу 6.......................137
Розділ 7. Елементи теорії ігор ....................................................144
7.1. Класифікація ігор..............................................................................................146
7.2. Матрична гра двох гравців з нульовою сумою..............................................148
7.3. Змішане розширення матричної гри...............................................................151
7.4. Властивості розв’язків матричних ігор..........................................................152
7.5. Ігри порядку 2 2 .............................................................................................157 7.6. Графічний метод розв’язку ігор 2 n та 2m ..............................................158
7.7. Зведення матричної гри до ЗЛП......................................................................161
7.8. Завдання для самостійних і контрольних робіт до розділу 7…...…………163
Розділ 8. Типові задачі теорії ігор ...........................................171
8.1. Нескінченні антагоністичні ігри.....................................................................171
8.2. Ігри з опуклими функціями виграшів.............................................................176
8.3. Безкоаліційні ігри….........................................................................................181
8.4. Ігри двох гравців з довільною сумою .......................................... ................181
8.5. Кооперативні ігри ............................................................................................188
8.6. Розрахунок характеристичних функцій з малою кількістю гравців ….......191
8.7. Аксіоми Шеплі .................................................................................................199
8.8. Завдання для самостійних та контрольних робіт до розділу 8....................201
Список використаних джерел….…………………. .....................................206
5
Вступ
Економічна наука з кожним роком все більшу увагу приділяє питанням
організації та керування. Це обумовлено цілим рядом обставин.
Швидкий розвиток та ускладнення техніки, збільшення масштабів та вартості
здійснюваних заходів, широке впровадження автоматизації в сферу керування –
все це приводить до необхідності наукового аналізу складних
цілеспрямованих процесів з метою удосконалення структури та організації їх
діяльності для підвищення ефективності. Від науки чекають рекомендацій
щодо найкращого (оптимального) керування такими процесами.
Ці потреби практичної діяльності людини чи групи людей обумовили
виникнення спеціальних наукових методів, об’єднаних спільною назвою
„дослідження операцій”. Під останньою розуміють застосування математичних
кількісних методів для обґрунтування рішень в усіх галузях цілеспрямованої
людської діяльності.
Необхідність прийняття рішень така ж давня як і саме людство. Протягом
століть, люди, намагаючись здійснити свої наміри, розмірковували над їх
можливими наслідками і приймали рішення, підбираючи тим чи іншим
способом залежні від них параметри. До деякого часу рішення могли
прийматися без спеціального математичного аналізу, на основі досвіду та
здорового глузду. Такий спосіб прийняття рішень не втратив свого значення і в
наш час.
Наприклад, людина виходить зранку з дому і їде громадським
транспортом на роботу. Перед цим їй доведеться прийняти цілий ряд рішень: чи
брати з собою парасольку, де перейти вулицю, яким видом транспорту
скористатися (в залежності від того як багато часу залишилося до початку
роботи) та багато інших.
Візьмемо інший приклад. Будемо вважати, що організовується робота
міського транспорту. В нашому розпорядженні є кілька видів транспортних
засобів. Необхідно прийняти ряд рішень, наприклад: яку кількість і яких
транспортних засобів спрямувати тим чи іншим маршрутом, яка частота руху
машин у різний час доби, де розташувати зупинки і т. ін.
Рішення в другому випадку більш відповідальне. Через складність явища
наслідки не очевидні, і для того, щоб спрогнозувати ці наслідки, слід провести
певні розрахунки. Від цих розрахунків багато чого залежить. У першому
прикладі неправильний вибір рішень торкнеться інтересів однієї людини, у
другому – може відобразитися на діяльності всього міста.
Зрозуміло, що і в другому прикладі, приймаючи рішення можна діяти
інтуїтивно, спираючись на досвід і здоровий глузд. Але рішення будуть суттєво
розумнішими та практичнішими, якщо підкріплюватимуться кількісними
математичними розрахунками. Попередні розрахунки допоможуть уникнути
тривалого та витратного пошуку правильного рішення.
Складність із прийняттям рішення виникає, коли мова йде про заходи,
досвіду в проведенні яких ще не існує, а інтуїція, як правило, часто підводить.
6
Узагалі кажучи, чим складніший захід, чим більше вкладається в нього
матеріальних цінностей, чим ширший спектр його можливих наслідків, тим
менше допустимі так звані „вольові рішення”, які не спираються на науковий
аналіз та розрахунки, і тим більше значення має сукупність наукових методів,
що дозволяють наперед оцінити наслідки кожного рішення, відкинути
недопустимі варіанти і рекомендувати ті, що вважаються найбільш вдалими.
Такими математичними розрахунками, що полегшують процес прийняття
правильних рішень і займається наука „Дослідження операцій”. Зародившись у
сфері переважно військових задач, дослідження операцій із часом вийшло з цієї
вузької сфери використання. На сьогодні, „Дослідження операцій” – наука, що
швидко розвивається, знаходячи своє застосування в різних сферах народного
господарства: промисловості, сільському господарстві, торгівлі, транспорті,
охороні здоров’я. Задачі дослідження операцій (ДО), до якої б сфери вони не
належали, мають спільні ознаки, а під час їх розв’язання застосовуються схожі
методологічні прийоми. Наприклад, методику кількісного дослідження,
вироблену для аналізу процесу утворення черг у системах масового
обслуговування (перукарнях, ремонтних майстернях тощо) можна майже без
змін перенести на деякі задачі електронно-обчислювальної техніки, а також
задачі з організації протиповітряної оборони, задачі прийняття колективних
рішень в соціальних сферах та ін.
Для розв’язання практичних задач дослідження операцій має цілий
арсенал математичних засобів. До них належать: математичні методи
оптимізації, від найпростіших до сучасних, таких, як лінійне програмування,
принцип динамічного програмування, діофантові задачі, принцип максимуму
Л. С. Понтрягіна, задачі багатокритеріальної оптимізації; методи теорії ігор.
Серед цих методів в даному посібнику, адресованому студентам старших
курсів, аспірантам, докторантам, висвітлюються далеко не всі, а лише
найпростіші та найуживаніші в економічних, гуманітарних та технічних
дослідженнях.
Для розуміння тексту студентові достатньо володіти основами
математичного аналізу, лінійної алгебри, аналітичної геометрії, диференційним
та інтегральним численням, математичного програмування.
У посібнику містяться численні приклади, які ілюструють запропоновані
методи, а також, поряд із стандартними широко вживаними методами, новітні
оригінальні досягнення ДО. Підбираючи умови для цих прикладів, автори
виходили з методологічних міркувань. З цієї причини матеріалами не можна
користуватися як довідником.
Методи і моделі розділів 4 (§4.2), 5,6, у навчальній літературі
розглядаються вперше.
Глибока впевненість авторів в актуальності і необхідності освоєння
розглянутих в посібнику методів дослідження операцій, виправдовує його
написання.
Автори: І.Д. Фартушний, М.Г. Охріменко, І.Ю. Дзюбан
7
Розділ 1. Сутність дослідження операцій
§1.1 Основні визначення дослідження операцій
Під операцією будемо розуміти систему заходів або дій об’єднаних
єдиною метою і направлених на досягнення цієї мети. (Наприклад, проводиться
система заходів по підвищенню рентабельності промислового підприємства з
метою збільшення прибутку за деякий термін його функціонування;
здійснюється система перевезень по забезпеченню ряду пунктів деякими
товарами, і. т. ін).
Будемо вважати, що операція – завжди керований захід. Це означає, що
дослідник операцій має можливість вибирати тим чи іншим способом деякі
параметри, які характеризують операцію. Наприклад, деякі технічні засоби для
її здійснення можуть бути обрані з можливого їх арсеналу.
Будь-який визначений набір залежних від нас параметрів будемо вважати
рішенням.
Рішення можуть бути вдалими або невдалими, розумними та
нерозумними. Рішення, які забезпечують досягнення мети найвигіднішим
способом, називаються оптимальними.
Основне завдання дослідження операцій – попереднє кількісне
обґрунтування оптимальних рішень.
Зауважимо, що прийняття рішення виходить за рамки дослідження
операцій і належить до компетенції осіб, що приймають рішення (ОПР).
Здійснюючи вибір, ОПР може керуватися не тільки рекомендаціями, які
випливають з математичного розрахунку, а й міркуваннями, не врахованими в
розрахунках. Наприклад, ОПР може враховувати стратегію розвитку
кон’юнктури ринку або керуватися політичними міркуваннями.
Отже, дослідження операцій не ставить своїм завданням повну
автоматизацію процесу прийняття рішень і повне виключення з цього процесу
людини чи групи людей, які думають, оцінюють, критикують. Завдання
дослідження операцій – підготувати кількісні дані та рекомендації, що
допомагають людині прийняти розумне (оптимальне) рішення, або, як часто
говорять, „здійснити операцію найбільш ефективно”.
Щоб говорити про ефективність операції, необхідно мати кількісний
критерій оцінки або показник ефективності, який строго математично визначає
мету здійснення операції. Часто критерій оптимальності називають цільовою
функцією. Критеріїв оптимальності може бути декілька (багато), тоді говорять
про багатокритеріальну оптимізацію.
8
§1.2 Математична модель операції
Для використання кількісних методів дослідження в будь-якій сфері
людської діяльності треба побудувати математичну модель того чи іншого
явища. Дослідження операцій не виняток із цього правила. Побудова
математичної моделі явища (операції) певним чином спрощує його, схематизує.
Із нескінченної множини факторів, які впливають на явище, виділяється
порівняно невелика кількість найбільш важливих, а одержана схема описується
за допомогою того чи іншого математичного апарату. У результаті
встановлюється кількісний зв’язок між умовами здійснення операції,
параметрами рішення та результатами здійснення операції – показником
ефективності (критерієм оптимальності).
Чим краще підібрана математична модель, тим краще вона характеризує
ознаки явища, тим успішнішим буде дослідження і кориснішими рекомендації,
які з нього випливають.
Універсальних способів побудови математичних моделей не існує. У
кожному конкретному випадку модель будують, виходячи з цільової
направленості операції, з урахуванням вимог точності дослідження, а також
точності вихідних даних.
Вимоги до моделі часто суперечать одна іншій. З одного боку, модель має
бути досить повною, у ній мають бути враховані всі важливі фактори, від яких
залежить результат операції. З іншого боку, модель має бути достатньо
простою, щоб була можливість установити залежності між параметрами, які
суттєво впливають на операцію. Модель не повинна бути „забруднена”
дрібними другорядними факторами, оскільки останні ускладнюють
математичний аналіз і роблять результати дослідження громіздкими. Вибір
математичної моделі операції, у свою чергу, сам є предметом дослідження.
Якщо ми захочемо включити в нашу математичну модель забагато
характеристик, притаманних дійсності, то ми заплутаємося в аналізі складних і
багаточисельних математичних співвідношень, які містять невідомі параметри і
функції. Визначення цих функцій приведе до ще складніших та чисельніших
співвідношень з ще більшою кількістю невідомих параметрів і функцій. Якщо
ж, навпаки, побудуємо спрощену модель, то незабаром встановимо
неспроможність прогнозувати подальший хід явища настільки, щоб
задовольнити нашим вимогам.
Отже, дослідник, подібно мандрівнику, повинен іти прямою і вузькою
стежкою, йти навпростець, між пастками і лабіринтами її заплутування і
ускладнення.
Усвідомлюючи, що жодна математична модель не може дати вичерпного
опису дійсності, ми в своїх прагненнях встановити істину реального світу
повинні змиритися з необхідністю використання послідовності моделей все
більшої повноти і складності. Якщо в процесі вивчення деякої послідовності
моделей в них спостерігається схожість побудови та висновків з їх аналізу, то
9
можна вважати, що в нашому розпорядженні є деяке наближення до того, що
зазвичай називають «законом природи».
Зауважимо, що при побудові математичних моделей реальних процесів
слід турбуватися не лише про точність і простоту їх наближень до справжнього
явища, а й про наявність математичного, технічного та інформаційного апарату
для аналізу. Наприклад, нам вдалося побудувати досить адекватну до реального
явища математичну модель у вигляді системи рівнянь, але алгоритми для їх
розв’язку невідомі. З аналізу цієї досить точної математичної моделі не можна
зробити більш-менш корисного висновку. В той же час, деяке спрощення
системи рівнянь, що описують модель, яке тягне за собою огрубіння моделі,
дозволяє уникнути такої неприємності.
Крім того, необхідно турбуватися про побудову таких моделей, аналіз і
висновки яких забезпечуються за потрібний час. Справа в тому, що запізно
одержані результати можуть бути непотрібними, а ресурси на їх одержання
були використані. Така ситуація зустрічаються досить часто в реальній
діяльності економічних, соціальних, військових систем.
Математичні моделі, які використовують у задачах ДО, можна грубо
розділити на два види: аналітичні та статистичні.
Для аналітичних моделей характерне встановлення формальних
аналітичних залежностей між параметрами задачі, записаних в будь-якому
вигляді: алгебраїчних рівнянь, звичайних диференціальних рівнянь, рівнянь із
частинними похідними, інтегральних чи функціональних рівнянь. За
допомогою аналітичних моделей вдається із заданою точністю описати лише
порівняно прості операції, де кількість елементів, що взаємодіють, не дуже
велике.
У складних операціях, де переплітається вплив факторів великого
масштабу, з наявністю випадкових явищ, на перший план виходить метод
статистичного моделювання. Суть його виражається в тому, що процес
розвитку операції „імітується” на обчислювальному комплексі з усіма
супутніми йому випадковостями. Статистичні моделі мають перед
аналітичними ту перевагу, що дозволяють ураховувати велику кількість
факторів і не потребують грубих спрощень і допущень. Деякі „грубі”
аналітичні моделі описують явище наближено, проте результати відрізняються
наочністю і простотою, яскраво ілюструють основні закономірності,
притаманні операції.
Найкращі результати часто одержують уразі сумісному використанні
аналітичних та статистичних моделей: проста аналітична модель дозволяє
виокремити основні фундаментальні закономірності явища, головні контури, а
будь-яке подальше уточнення можна одержати статистичним моделюванням.
Слід зазначити, що за будь-якого ДО (якими б точними моделями не
користуватися) поради ОПР будуть завжди приблизними, неточними, через
неможливість побудувати точну математичну модель явища. Найточнішою
своєю моделлю є сама система чи явище, а їх усебічне (системне) та повне
10
дослідження неможливе через величезну кількості факторів впливу та
переважно неймовірну складність явищ, які вивчаються і досліджуються.
Видатний фахівець з ДО Т. Л. Сааті в книзі [1] дав таке іронічне
визначення: „дослідження операцій – мистецтво давати погані відповіді на ті
практичні питання, на які даються ще гірші відповіді іншими методами”.
Але в досить простих, за сучасних досягненнях людського розуму,
ситуаціях, у практичній діяльності людини ДО може надати ОПР корисну
допомогу.
Для прикладу, перейдемо до аналізу найпростіших аналітичних моделей
економіки.
§1.3. Модель «затрати-випуск» В. В. Леонтьєва
Розглянемо найпростішу модель «затрати-випуск» – замкнену і статичну
[2]. Будемо вважати, що об’єкт економічної діяльності випускає n видів
продукції 1 2( , ,..., )nx x x*
X , де значок «*» при векторі X означає операцію
транспонування. Крім того, ,X=Z+Y
де Z – вектор внутрішнього споживання продукції об’єктом;
Y – вектор кінцевої продукції (продукції, яка йде на продаж, у запаси, тощо).
Будемо вважати, що
,Z=AX
де , 1
n
ij i ja
A – невід’ємна матриця своїх елементів, які є коефіцієнтами
прямих затрат при виробництві продукції. Або
X=AX+Y (1.3.1)
У деталізованому вигляді матричне рівняння (1.3.1) має вигляд:
1 11 1 12 2 1 1
2 21 1 22 2 2 2
3 31 1 32 2 3 3
1 1 2 2
;
;
;
. . .
. . .
. . .
. . .
. . . ,
nn
nn
nn
n nn n nn n
x a x a x a x y
x a x a x a x y
x a x a x a x y
x a x a x a x y
(1.3.2)
де jia – кількість продукції і-го виду, потрібної для виробництва одиниці
продукції j-го виду. 1 2( , , . . . , )ny y y*
Y – компоненти вектора кінцевого
випуску. Зміст компонентів вектора 1 2( , ,..., )nx x x*
X – кількість валового
продукту відповідної номенклатури.
Будемо вважати, що технологічні коефіцієнти jia задано наперед. Модель
(1.3.2) дозволяє за умов, коли задано вектор Y, визначити розміри відповідних
значень вектора валового продукту X , виробничу собівартість випуску
кожного виду продукції, матрицю повних затрат і дослідити на продуктивність
матрицю А.
11
Матриця А називається продуктивною (інколи вживають термін цілком
продуктивна), якщо матриця -1(E-A) не має від’ємних елементів. Матриця
Е – одинична матриця розмірності (n×n).
1 0 0 . . . 0
0 1 0 . . . 0
. . .
0 0 0 . . . 1
E
Приклад 1. Нехай матриця А має вигляд
0 0,2 0,3 0,1
0,3 0 0,2 0
0,1 0,3 0 0,2
0,4 0,1 0,2 0
A
вектор (17, 7, 5,12)*Y .
Знайти:
а) матрицю повних затрат -1(E-A) ;
б) вектор валового випуску X ;
в) виробничу собівартість S1, S2, S3, S4 кожного виду продукції.
Розв’язування. Шукаємо матрицю :-1 -1B =(E-A)
11 21 31 41
12 22 32 42
13 23 33 43
14 24 34 44
B B B B
B B B B
B B B B
B B B B
-1 -1 1B =(E-A) =ΔB
11 0,2 0,3 0,1
0,3 1 0,2 0
0,1 0,3 1 0,2
0,4 0,1 0,2 1
-1 -1B =(E-A) =
11 12 13 14 ,1 ( 0,2) ( 0,3) ( 0,1)B B B B
де B – детермінант (визначник) матриці B= E-A (det B = B ); ijB –
алгебраїчне доповнення ijb -го елемента матриці B :
1 1
11
1 0,2 0
( 1) 0,3 1 0,2 0,896;
0,1 0,2 1
B
1 2
12
0,3 0,2 0
( 1) 0,1 1 0,2 0,324;
0,4 0,2 1
B
12
1 3
13
0,3 1 0
( 1) 0,1 0,3 0,2 0,276;
0,4 0,1 1
B
1 4
14
0,3 1 0,2
( 1) 0,1 0,3 1 0,446;
0,4 0,1 0,2
B
2 1
21
0,2 0,3 0,1
( 1) 0,3 1 0,2 0,304
0,1 0,2 1
;
B
2 2
22
1 0,3 0,1
( 1) 0,1 1 0,2 0,864;
0,4 0,2 1
B
2 3
23
1 0,2 0,1
( 1) 0,1 0,3 0,2 0,345;
0,4 0,1 1
B
2 4
24
1 0,2 0,3
( 1) 0,1 0,3 1 0,277;
0,4 0,1 0,2
B
3 1
31
0,2 0,3 0,1
( 1) 1 0,2 0 0,362;
0,1 0,2 1
B
3 2
32
1 0,3 0,1
( 1) 0,3 0,2 0 0,288;
0,4 0,2 1
B
3 3
33
1 0,2 0,1
( 1) 0,3 1 0 0,897;
0,4 0,1 1
B
3 4
34
1 0,2 0,3
( 1) 0,3 1 0,2 0,353;
0,4 0,1 0,2
B
4 1
41
0,2 0,3 0,1
( 1) 1 0,2 0 0,162;
0,3 1 0,2
B
4 2
42
1 0,3 0,1
( 1) 0,3 0,2 0 0,09;
0,1 1 0,2
B
13
4 3
43
1 0,2 0,1
( 1) 0,3 1 0 0,207;
0,1 0,3 0,2
B
4 4
44
1 0,2 0,3
( 1) 0,3 1 0,2 0,819;
0,1 0,3 1
B
1 0,896 0,2 0,324 0,3 0,276 0,1 0,446 0,7038;B
0,896 0,304 0,362 0,162
0,324 0,864 0,288 0,091;
0,276 0,345 0,897 0,2070,7038
0,446 0,277 0,353 0,819
-1B
Шукаємо вектор валового випуску X :
.
0,896 0,304 0,362 0,162 3017
0,324 0,864 0,288 0,09 7 201(
0,7038 50,276 0,345 0,897 0,207 20
120,446 0,277 0,353 0,819 30
-1X= E-A) Y
Шукаємо виробничу собівартість S1, S2, S3, S4 :
11 12 13 141 2,76;
B B B BS
B
21 22 23 242 2,54;
B B B BS
B
31 32 33 343 2,70;
B B B BS
B
41 42 43 444 1,82.
B B B BS
B
Часто виникає необхідність встановлення факту продуктивності матриці
A без знаходження елементів матриці -1(E-A) . Справедливі наступні
твердження:
Твердження 1. Для продуктивності матриці A достатнє виконання умов:
1
1 , 1,n
i ji
a j n
або 1
1 , 1, .n
i j
j
a i n
(1.3.3)
Твердження 2. Згідно з [3,4] для продуктивності матриці A необхідне і
достатнє виконання таких умов:
1) існує рядок і0 у матриці A для якого виконується умова:
0 0
1
1;n
i i ji
d a
(1.3.4)
14
2) існує перенумерація рядків і стовпців матриці A , для якої виконуються
умови
1
1 1
1, , 2, .j n
j ij j ij
i i j
d a d a i j n
(1.3.5)
Будемо вважати, що 0 1i , тоді 1 11
1n
jj
d a
.
1
1 1
, , 1,j
j n
i j j i ji i j
d a d a i j n
,
де
2 21 1 23
n
ji
d a d a
3 31 1 32 2 34
n
ji
d a d a d a
...
1 1 1 2 2 1 1. . . ,n n n nn nd a d a d a d
.0 1,iia i n
Зауважимо, допущення, що 0 1,iia i n , не зменшує загальності
міркувань. І справді, можна в рівнянні системи (1.3.2)
1 1 2 2 1 1... ...i i i ii i ii i in n ix a x a x a x a x a x y
перенести член ii ia x вліво і, розділивши праву і ліву частини рівності на число
1 iia , одержати
1 2 1 11 2 1... ...
1 1 1 1
i i ii iii i i
ii ii ii ii
a a a ax x x x x
a a a a
, 1, .1 1
in in
ii ii
a yx i n
a a
В перетвореній системі матриця не міститиме діагональних елементів.
Звідси випливає, що продуктивність матриці A можна встановити за допомогою незначних обчислень і перенумерації компонент вектора X та
елементів матриці A .
Зауваження 1. Як правило, системи балансових рівнянь В. В. Леонтьєва
(1.3.1) в реальних умовах економічної діяльності мають велику розмірність
(сотні, тисячі і мільйони рівнянь). Розв’язування їх прямими методами (метод
Крамера, Гауса та ін.) складає собою довготривалий процес, навіть на сучасних
швидкодіючих електронно-обчислювальних комплексах. Наприклад, одним з
ефективних і найбільш використовуваних в практичній діяльності прямих
методів є метод Гауса (у різних його модифікаціях). Його реалізація потребує
реалізації 3
3
nC
арифметичних операцій, де C визначає константу, яка не
15
залежить від n . Для спрощення міркувань, покладемо 1C (насправді 1C
1). Далі будемо вважати, що номенклатура продукції, що випускається в
державі, сягає десятків мільйонів ( 72 10n ). Покладемо для визначеності 610n . Вважатимемо, що обчислювальний комплекс здійснює за 1 секунду 910
арифметичних операцій. Зауважимо, що крім арифметичних, обчислювальні
пристрої здійснюють величезну кількість логічних операцій, які лише в 3-4 рази
виконуються швидше за арифметичні.
Оцінюючи час, необхідний для знаходження розв’язку системи рівнянь
(1.3.2), обмежимося лише витратами на проведення арифметичних операцій.
Отже, для проведення
363 1810 10
3 3 3
n арифметичних операцій потрібно
185
9
1010
3 3600 10
год. (1 год.=3600 сек.), або
510107
8760 років (8760=24 365 ).
Якщо обчислювальний пристрій працюватиме зі швидкістю 1010 за
секунду, то система (1.3.2) буде розв’язуватися не менше року і це не
враховуючи витрати часу на проведення каскаду логічних операцій
(завантаження, розвантаження, багаторазове переміщення величезних масивів
даних та інше).
Оскільки використання прямих методів розв’язку системи лінійних
алгебраїчних рівнянь (СЛАР) у багатьох випадках є завданням трудомістким і
довготривалим, а висока точність їх розв’язання не завжди доцільна, часто
використовують ітераційні методи розв’язку. Суть ітераційних методів
розв’язку СЛАР полягає в знаходженні наближеного розв’язку за наперед
заданою допустимою похибкою . Якщо точний розв’язок x є, то дослідника
влаштовує будь-який розв’язок x , який задовольняє нерівності
x x x , або нерівності
1,max i i ii n
x x
(знак означає абсолютне значення числа, що містися всередині).
Найпростішим і широковживаним ітераційним методом є метод простої
ітерації. Проілюструємо його схему на системі рівнянь (1.3.2).
1. Задаємо довільний вектор 0 0 0 01 2, , , ;nx x x x 2. Обчислюємо
1 0 0 01 11 1 12 2 1 11 0 0 02 21 1 22 2 2 2
1 0 0 01 1 2 2 ,
n n
n n
n n n nn n n
x a x a x a x y
x a x a x a x y
x a x a x a x y
(1.3.6)
Вектор 1 2, , , ny y y y та потрібну точність обчислень вважатимемо заданими величинами. 1 Операція означає число, що значно перевищує одиницю
16
3. Перевіряємо виконання умови
1 0 1 01,
maxi i i ii n
x x x x
(1.3.7)
(де знак означає норму вектора, що міститься всередині). За умови
виконання (1.3.7) задача розв’язана і шуканий розв’язок є
.x x (1.3.8)
Якщо умова (1.3.7) не виконується, тоді виконують пункт 4.
4. До верхнього індексу в (1.3.7) додаємо одиницю і повторюємо процедуру
(пункти 2-3). Розв’язком буде kx x , де k – номер верхнього індексу, за якого
виконалася умова
1k kx x .
Приклад 2. Задана СЛАР:
1 2 3 4
2 1 3 4
3 1 2 4
4 1 2
0,1 0,3 0,2 2,2;0,2 0,2 0,1 4,1;0,3 0,2 0,2 5,3;
0,2 0,4 0,4;
x x x xx x x xx x x x
x x x
та 0,06.
Розв’язування. Виконаємо покроково пункти, описані схемою вище.
1. Задаємо початкові значення, наприклад, 0 01 20, 0,x x 0 03 40, 0x x .
2. Обчислюємо 1 1 1 11 2 3 4, , ,x x x x . 1 1 1 11 2 3 42,2; 4,1; 5,3; 0,4.x x x x
3. Перевіряємо виконання умови (1.3.7) 1 01 1 2,2 0,06.x x
Абсолютну різницю по інших компонентах перевіряти не доцільно,
оскільки вона має виконуватися для всіх , ( 1,4).ix i Обчислюємо 2 2 2 21 2 3 4, , , .x x x x
Одержимо: 212223
24
0,1 4,1 0,3 5,3 0,2 0,4 2,2 4,28;
0,2 2,2 0,2 5,3 0,1 0,4 4,1 5,64;
0,3 2,2 0,2 4,1 0,2 0,4 5,3 6,86;
0,2 2,2 0,4 4,1 0,4 2,48;
x
x
x
x
Перевіряємо виконання умови (1.3.7) 2 11 1 4,28 2,2 2,08 0,06.x x
Продовжуємо процес ітерацій. Результати подальших розрахунків
наведені в табл.1.
Зробимо перевірку по інших компонентах вектора 9, ( 2,4)ix i :
9 82 2
9 83 3
9 84 4
7,93641 7,893314 0,043096 0,06;
9,918593 9,863376 0,055217 0,06;
4,932405 4,886552 0,045853 0,06.
x x
x x
x x
17
Таблиця 1.
k 1kx 2
kx 3kx 4
kx 1
1 1k kx x
3 5,318 6,576 8,208 3,512 1,038
4 6,0224 7,1564 8,913 4,094 0,7044
5 6,40834 7,49648 9,3568 4,46704 0,38594
6 6,650096 7,699732 9,615206 4,68026 0,241756
7 6,790587 7,821086 9,771027 4,809912 0,140491
8 6,875399 7,893314 9,863376 4,886552 0,084812
9 6,925655 7,93641 9,918593 4,932405 0,050255
Відповідь. Наближений розв’язок: (6,925655; 7,93641; 9,918593; 4,932405)x .
Слід зауважити, що окремі помилки, під час обчислень, суттєво не
впливають на кінцевий результат. Вони можуть лише збільшити або зменшити
кількість ітерацій, за яких виконується умова (1.3.7).
Метод простої ітерації вдається застосувати лише за умови збіжності до
розв’язку:
kkLimx x
(1.3.9)
Для СЛАР В. В. Леонтьєва умови збіжності (1.3.9) співпадають з умовами
продуктивності матриці (1.3.3)-(1.3.5) (твердження 1, 2). За виконання цих умов
метод простої ітерації збігається для довільного початкового наближення 0x .
Зауваження 2. Застосовуючи метод простої ітерації спочатку знаходяться
всі компоненти вектора kx , а потім обчислюється уточнені значення 1kx
1 , 0,1,2...,k kx x y k A (1.3.10)
0x – довільний вектор. Оскільки обчислення компонент вектора 1kx
відбувається не паралельно, а послідовно, то після знаходження першої
компоненти 11kx на основі значень вектора kx
11 11 1 12 2 1 1k k k k
n nx a x a x a x y ,
для обчислення 12kx можна використати результат уточнення компоненти 11
kx 1 1
2 21 1 22 2 2 2k k k k
n nx a x a x a x y .
Далі процес використання уточнених значень компонент можна продовжувати 1 1 1
3 31 1 32 2 3 3k k k k
n nx a x a x a x y і т. д.
1 1 1 11 1 2 2 1 1
1 1 11 1,1 1 1, 1, 1 1 1, 1
1 1 1 11 1,1 1 1,2 2 1, 1 1 1, 11 1
1 1
;
;
;
k k k k k kk k k k k k kk k kn n kk k k k kk k k k k k k k k n n k
k k k k kn n n n n n n n n nk kn n
x a x a x a x a x a x y
x a x a x a x a x y
x a x a x a x a x y
x a x
1 12 2 , 1 1 .k k k
n n n n nn n na x a x a x y
(1.3.11)
У векторній формі процес (1.3.11) можна зобразити [5]
1 1 ,k k kx x x y B C (1.3.12)
де B C A , відповідно, нижня та верхня трикутні матриці
18
21
31 32
, 11 2 3
0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0
0n nn n n
a
a a
aa a a
B
1, 113 111 12
2, 123 222
3, 133 3
00 0 0
0 0 0 0
n n
n n
n n
nn
aa aa aaa aaaa a
a
C
Процеси (1.3.10)-(1.3.11) фактично ілюструють суть методу Гауса-
Зейделя: уточнені значення компонент відразу використовуються для
уточнення наступних значень шуканого вектора.
Розв’яжемо попередній приклад методом Гауса-Зейделя. Отримаємо: 0 (0,0,0,0);x
11 11213141 01 1
2,2;
0,2 2,2 4,1 4,54;
0,3 2,2 0,2 4,54 5,3 6,868;
0,2 2,2 0,4 4,54 0,4 2,656;
2,2 0,06.
x y
x
x
x
x x
Далі продовжуємо процедуру (1.3.11) 1 (2,2; 4,54; 6,868; 2,656);x
21222324
0,1 4,54 0,3 6,868 0,2 2,656 2,2 5,2456;
0,2 5,2456 0,2 6,868 0,1 2,656 4,1 6,78832;
0,3 5,2456 0,2 6,78832 0,2 2,656 5,3 8,762544;
0,2 5,2456 0,4 6,78832 0,4 4,164448.
x
x
x
x
Оскільки, у збіжних ітераційних схемах, помилки обчислень суттєво не
впливають на процес збіжності, для спрощення розрахунків, зробимо
заокруглення до трьох знаків після коми 2 2 21 2 35,246; 6,788; 8,763;x x x 24 4,164.x
Оскільки умова збіжності (1.3.7) не виконується ( 2 11 1 3,0456 0,06x x ),
продовжуємо ітерування. Результати подальших ітерацій наведено в табл. 2.
Таблиця 2.
k 1kx 2
kx 3kx 4
kx 1
1 1k kx x
3 6,340 7,537 9,542 4,683 1,095
4 6,753 7,827 9,828 4,882 0,413
5 6,907 7,935 9,936 4,956 0,154
6 6,965 7,976 9,976 4,983 0,058
Робимо перевірку по інших компонентах вектора 6, ( 2,4)ix i :
19
6 52 2
6 53 3
6 54 4
0,041 0,06;
0,04 0,06;
0,027 0,06.
x x
x x
x x
Відповідь: (6,965; 7,976; 9,976; 4,983)x .
Метод Гауса-Зейделя, у даному випадку, є більш доцільним, оскільки, для
одержання розв’язку із заданою точністю використано 6 ітерацій, тоді як
методом простої ітерації – 9. Зі збільшенням розмірності матриці A перевага, в
оперативному способі використання інформації, зростає швидше. Діапазон
збіжності методу Гауса-Зейделя в значній мірі ширший за метод простої
ітерації. Він збігається там, де порушуються умови достатні для збіжності
методу простої ітерації (1.3.3), але виконуються умови (1.3.4) тоді, коли норма
матриці A може бути більша за одиницю. Наприклад,
1, 1
max 1.n
ijI i n j
a
A
І справді, процес (1.3.11) можна записати у вигляді: 1 1 1( ) ( ) .k kx x y E B C E B
Це можна зробити завжди, оскільки матриця E B – невироджена із
визначником det( ) 1 E B . Згідно з [5] суми елементів матриці 1( )E B C
дорівнюють 1
1
,l n
i ij j ijj j l
S a S a
де 1,l n , а 1
0.l
ij jj
a S
Якщо рівняння в системі (1.3.2) розташувати так, щоб виконувалася умова
1
1, 1
min ,l n
i ij j ijl n j j l
S a S a
(1.3.13)
тоді відповідно до теореми 1 [5] 1( ) ,
II
E B C A
а це означає, що можливий варіант, коли
1,IA а 1( ) 1
I
E B C .
Якщо нижче головної діагоналі матриці A є елементи 1ija , а числа
1iS для рядків попередніх до того, в якому міститься цей елемент, тоді при
достатньо малій сумі елементів рядка на яку множиться цей елемент, операцією
множення гаситься її відхилення від одиниці.
Наприклад, для матриці
0 0,01 0,025 0 0,038 4 0
A
12IA , а норма матриці 1( ) max 0,03;0,18; 0,96 0,96.
I
E B C
20
Дійсно,
1
1 0 05 1 0 ,28 4 1
E B
а
11 0 0 0 0,01 0,02 0 0,01 0,02
( ) 5 1 4 0 0 0,03 0 0,05 0,013 .0 0 0 0 0,28 0,6828 4 1
E B C
Сума елементів останнього рядка дорівнює нормі матриці 1( )E B C .
Розташування рівнянь в системі (1.3.2) у порядку (1.3.13) (досягнути
цього можна перенумерацією змінних) суттєво прискорює процес збіжності
(1.3.11). Розв’язуючи СЛАР В. В. Леонтьєва за початкове наближення для
прискорення збіжності доцільно вибирати
1
0
2,
yx x
y (1.3.14)
де 1y – вектор кінцевого випуску за минулий період планування; 2y – вектор
кінцевого випуску на даний період планування; x – вектор валового випуску за минулий період. Операції над векторами мають покомпонентний сенс:
1 1 10 0 01 2 31 1 2 2 3 32 2 2
1 2 3
, , , ... .y y y
x x x x x xy y y
Вибір (1.3.14) значно прискорює збіжність процесу (1.3.11).
§1.4 Модель розподілу ресурсів
Модель «затрати-випуск» В.В. Леонтьєва характеризує лише деякі
особливості закритого виробництва. Насправді ситуація складніша, оскільки за
умови закритого виробництва необхідні початкові ресурси для початку
виробництва, які під час функціонування економічної системи можуть
відтворюватися, але в стартовій ситуації мають бути в наявності як складова
частина виробництва. Залежно від кількості цих ресурсів прибуток буде різним,
а тому виникає задача раціонального (оптимального) їх розподілу.
Будемо вважати, що, крім балансових рівнянь В.В. Леонтьєва (1.3.1),
(1.3.2) у нашій моделі є критерій оптимальності:
1 1 2 2 ,. . . n nL c y c y c y
який характеризує сумарний прибуток об’єкта економічної діяльності.
1 2( , ,..., )nc c c*
C – вектор вартостей; ic – вартість одиниці продукції і-го виду
ni ,1 .
21
Крім того, задано вектор 1 2( , ,..., )mb b b
*b , що характеризує запаси
ресурсів, які є на виробництві. Задано матрицю ,
, 1
m n
iji j
b
B з невід’ємними
елементами, тоді можна записати x bB
або
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
;
;
,
. . .
. . .
. . .
. . .
nn
nn
mn n mm m
b x b x b x b
b x b x b x b
b x b x b x b
де ji
b – нормативний коефіцієнт, який характеризує кількість і-го ресурсу
необхідного для виготовлення одиниці j-го продукту із застосуванням заданого
технологічного циклу в виробництві.
Звідси випливає, що задачу розподілу ресурсів можна сформулювати так:
потрібно знайти такий набір значень компонент вектора 0 0 01 2( , , . . . , )ny y y*y для
якого виконується умова (забезпечення максимального прибутку): 0 0( , ) ( , )L c y L c y
при 0 0 0x Ax y
та
0 0 0, 0.Bx b x y (1.4.1)
Якщо матриця A продуктивна, то з (1.3.1) можна знайти 0 0x y -1(E-A) ,
а підставивши х0 у (1.4.1) одержимо задачу: знайти 0 0 01 2, , . . . , ny y y такі, щоб
0( , ) maxL c y , (1.4.2)
а
0 0 ,y y b -1B(E- A) R (1.4.3)
де ,
, 1
m n
iji j
r
R , .-1R = B(E- A)
До виробничих (технологічних) обмежень можуть бути залучені і
обмеження екологічного, соціального характеру та ін. Тому серед обмежень
(1.4.2), (1.4.3) можуть бути і такі, що потребують виконання їх або нерівностей
оберненого знака до (1.4.2), (1.4.3). У загальному вигляді задача оптимального
розподілу ресурсів зводиться до розв’язування задачі лінійного програмування
(ЗЛП). (Див. розділ 2 ).
22
§1.5 Завдання для самостійних і контрольних робіт з аналізу систем В. В. Леонтьєва
Знайти:
a) вектор валового випуску;
b) матрицю повних затрат;
c) виробничу собівартість кожного виду продукції; 1.
1 2 3
2 1 3 4
3 1 2 4
4 1 2
0,1 0,1 8;
0,03 0,2 0,1 4;
0,4 0,1 0,02 2;
0,1 0,1 8.
x x x
x x x x
x x x x
x x x
2. 1 2 3
2 1 3 4
3 1 2 4
4 1 2
0,1 0,1 8;
0,2 0,3 0,08 8;
0,09 0,2 0,2 2;
0,2 0,1 7.
x x x
x x x x
x x x x
x x x
3. 1 2 3
2 1 3 4
3 1 2 4
4 1 2
0,1 0,1 8;
0,25 0,2 0,1 4;
0,08 0,05 0,2 2;
0,3 0,1 6.
x x x
x x x x
x x x x
x x x
4. 1 2 3
2 1 3 4
3 1 2 4
4 1 2
0,1 0,1 8;
0,03 0,02 0,1 4;
0,04 0,2 0,1 2;
0,4 0,1 5.
x x x
x x x x
x x x x
x x x
5. 1 2 3
2 1 3 4
3 1 2 4
4 1 2
0,1 0,1 8;
0,2 0,08 0,1 4;
0,4 0,15 0,3 2;
0,05 0,07 4.
x x x
x x x x
x x x x
x x x
6. 1 2 3
2 1 3 4
3 1 2 4
4 1 2
0,1 0,2 8;
0,3 0,2 0,1 4;
0,08 0,02 0,2 2;
0,06 0,1 3.
x x x
x x x x
x x x x
x x x
7. 1 2 3
2 1 3 4
3 1 2 4
4 1 2
0,1 0,09 8;
0,3 0,2 0,05 4;
0,08 0,25 0,2 2;
0,07 0,1 2.
x x x
x x x x
x x x x
x x x
8. 1 2 3
2 1 3 4
3 1 2 4
4 1 2
0,1 0,2 8;
0,3 0,1 0,1 4;
0,2 0,1 0,2 2;
0,08 0,3 1.
x x x
x x x x
x x x x
x x x
9. 1 2 3
2 1 3 4
3 1 2 4
4 1 2
0,1 0,1 8;
0,3 0,25 0,05 4;
0,08 0,2 0,2 2;
0,09 0,1 .
x x x
x x x x
x x x x
x x x
10. 1 2 3 4
2 1 3 4
3 1 2 4
4 2
0,1 0,2 0,1 6;
0,3 0,1 0,1 4;
0,04 0,3 0,2 2;
0,1 9.
x x x x
x x x x
x x x x
x x
11. 1 2 3 4
2 1 3 4
3 1 4
4 1 2
0,1 0,2 0,1 6;
0,3 0,2 0,1 4;
0,1 0,2 2;
0,2 0,1 7.
x x x x
x x x x
x x x
x x x
12. 1 2 3 4
2 1 3 4
3 1 2 4
4 1 2
0,1 0,2 0,1 6;
0,3 0,2 0,1 4;
0,4 0,2 0,2 2;
0,1 0,1 8.
x x x x
x x x x
x x x x
x x x
13. 1 2 3 4
2 1 3 4
3 2 4
4 1 2
0,1 0,2 0,1 6;
0,3 0,2 0,1 4;
0,2 0,2 2;
0,4 0,1 5.
x x x x
x x x x
x x x
x x x
14. 1 2 3 4
2 1 3 4
3 1 2 4
4 2
0,1 0,2 0,1 6;
0,3 0,2 0,1 4;
0,4 0,2 0,2 2;
0,1 6.
x x x x
x x x x
x x x x
x x
23
15.
1 2 3 4
2 3 4
3 1 2 4
4 1 2
0,1 0,2 0,1 6;
0,2 0,1 4;
0,4 0,2 0,2 2;
0,1 0,1 4.
x x x x
x x x
x x x x
x x x
16. 1 2 3 4
2 1 3 4
3 1 2 4
4 1 2
0,1 0,2 0,1 6;
0,3 0,2 0,1 4;
0,4 0,2 0,2 2;
0,06 0,1 3.
x x x x
x x x x
x x x x
x x x
17. 1 2 3 4
2 1 3 4
3 2 4
4 1 2
0,1 0,2 0,1 6;
0,3 0,2 0,1 4;
0,2 0,3 2;
0,1 0,1 2.
x x x x
x x x x
x x x
x x x
18. 1 2 3 4
2 1 4
3 1 2 4
4 1 2
0,1 0,2 0,1 6;
0,3 0,1 4;
0,4 0,2 0,2 2;
0,2 0,1 1.
x x x x
x x x
x x x x
x x x
19. 1 2 3 4
2 1 3 4
3 1 2 4
4 1 2
0,1 0,2 0,1 6;
0,3 0,2 0,1 4;
0,1 0,2 0,2 2;
0,2 0,1 .
x x x x
x x x x
x x x x
x x x
20. 1 2 3 4
2 1 3 4
3 1 2 4
4 2
0,1 0,3 0,2 4;
0,3 0,2 0,1 4;
0,4 0,2 0,2 2;
0,1 9.
x x x x
x x x x
x x x x
x x
21. 1 2 3 4
2 1 3 4
3 1 2 4
4 1 2
0,1 0,3 0,2 4;
0,3 0,2 0,1 4;
0,4 0,2 0,2 2;
0,1 0,1 8.
x x x x
x x x x
x x x x
x x x
22. 1 2 3 4
2 1 3 4
3 1 2 4
4 1 2
0,1 0,3 0,2
0,3 0,2 0,1 4
0,4 0,2 0,2 2
0,2 0,1 7
5x x x x
x x x x
x x x x
x x x
23. 1 2 3 4
2 1 3 4
3 1 2 4
4 1 2
0,1 0,3 0,2 4;
0,3 0,2 0,1 4;
0,4 0,2 0,2 2;
0,1 0,1 6.
x x x x
x x x x
x x x x
x x x
24. 1 2 3 4
2 1 3 4
3 1 2 4
4 1 2
0,1 0,3 0,2 4;
0,1 0,2 0,1 4;
0,4 0,1 0,2 2;
0,2 0,1 5.
x x x x
x x x x
x x x x
x x x
25. 1 2 3 4
2 1 3 4
3 1 2 4
4 1 2
0,1 0,03 0,2 4;
0,3 0,2 0,1 4;
0,04 0,2 0,2 2;
0,05 0,1 4.
x x x x
x x x x
x x x x
x x x
26. 1 2 3 4
2 1 3
3 1 2 4
4 1 2
0,1 0,3 0,2 4;
0,3 0,2 4;
0,2 0,08 0,3 2;
0,06 0,1 3.
x x x x
x x x
x x x x
x x x
27. 1 2 3
2 1 3 4
3 1 2 4
4 1 2
0,1 0,3 4;
0,3 0,1 0,1 4;
0,2 0,06 0,2 2;
0,07 0,1 2.
x x x
x x x x
x x x x
x x x
28. 1 2 3 4
2 1 3 4
3 1 2 4
4 1 2
0,1 0,3 0,2 4;
0,3 0,02 0,1 4;
0,04 0,2 0,2 2;
0,08 0,1 1.
x x x x
x x x x
x x x x
x x x
29. 1 2 3 4
2 1 3 4
3 1 2 4
4 1 2
0,1 0,3 0,2 4;
0,3 0,2 0,1 4;
0,1 0,2 0,3 2;
0,09 0,1 2.
x x x x
x x x x
x x x x
x x x
30. 1 2 3 4
2 1 3 4
3 2 4
4 2
0,1 0,4 0,3 2;
0,3 0,2 0,1 4;
0,2 0,2 2;
0,1 9.
x x x x
x x x x
x x x
x x
24
Розділ 2. Лінійне програмування
§2.1. Загальний вигляд задачі лінійного програмування
Задача лінійного програмування формулюється так: знайти вектор
1 2( , ,..., )nx x x*
X , який забезпечує найбільше (max) або найменше (min)
значення функції:
1 1 2 2 . . . max(min)n nL c x c x c x (2.1.1)
за виконання умов:
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
... ;
... ;
...
... ;
n n
n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
(2.1.2)
1 20, 0, ... , 0.nx x x (2.1.3)
Числа , , , , 1, , 1,i ij ic a b i j i m j n – довільні дійсні числа.
Будемо вважати, що завжди в (2.1.1) стоїть знак «mах». Це припущення
не зменшує загальності міркувань, адже заміною змінних LL будь-яку ЗЛП
завжди можна звести до процедури максимізації L, якщо для L у (2.1.1) стояла
вимога її мінімізації. Так само в (2.1.2) множенням на «–1» правої та лівої
частини нерівності, у якій стоїть знак «≥», можна досягнути стандарту (2.1.2).
Якщо в нерівностях (2.1.2) є знак «=», наприклад, при і0-ій нерівності, тоді
замість однієї рівності можна записати дві еквівалентні нерівності:
1
01 1 02 2 0 1
01 1 02 2 0
;
.
. . .
. . .
ni i i n
ni i i n
a x a x a x b
a x a x a x b
Задачу (2.1.1)-(2.1.3) можна розв’язати за допомогою симплекс-методу
[6], а задачі малої розмірності (n=2, 3) – графічно.
25
§2.2. Графічний метод розв’язування задачі лінійного програмування
Графічний метод розв’язування задач лінійного програмування
розглянемо на прикладі.
Приклад. Знайти найбільше та найменше значення функції
1 22 (2, 1),LL x x n
якщо х1 та х2 задовольняють нерівностям (лежать в області D1):
1 2 1
1 2 2
1 1 2 3
1 2 4
1 2
;
6 (1,1);
3 3 ( 1,3);
: 3 6 (3, 1)
4 3 12 (4,3);
0 4, 1 6.
x x n
x x n
D x x n
x x n
x x
(2.2.1)
Розв’язування: , 1, 2, 3, 4,in i L – нормалі до прямих, які утворені заміною
знаків «≤» та «≥» на знак «=». Ln – нормаль до прямої 1 22 0.L x x
Будуємо область D1 (Мал. 1).
Мал. 1
Алгоритм побудови області D1, може бути таким:
1. Будуємо прямокутник Р: ( 1 20 4,1 6x x ).
2. У побудованому прямокутнику шукаємо точки, які задовольняють першу нерівність 1 2 6.x x Для цього будуємо пряму 1 1 2: 6l x x за двома
точками перетину з осями координат (0, 6) та (6, 0). Пряма ділить прямокутник
l3
l4
x1 = 0 x1 = 4
х2 = 1
х2 = 6
D1
А
В 6
x1
C
D
Р
-3
-1
L=2x1-x2 = 0
x2
l2
E
6
l1
26
Р на дві частини. Та частина прямокутника, яка лежить у напрямку 1n від
прямої, має значення лівої частини рівності більші за 6 (у напрямку нормалі
лінійна функція 1 2 1 2( , )f x x x x зростає), але щоб задовольнити першу
нерівність треба розглядати всі значення х1 та х2 для яких ліва частина
нерівності менша за 6. Цю умову буде виконано якщо в прямокутнику Р узяти
частину, яка лежить на самій прямій та в напрямку антинормалі 1( 1, 1)n .
Тобто, щоб задовольнити першу нерівність, треба брати точки прямокутника Р,
які лежать на прямій 1 1 2: 6l x x і нижче від неї.
3. В одержаному чотирикутнику (трапеції), слід залишити лише ті точки, які задовольняють другу з нерівностей (2.2.1): 1 23 3x x . Аналогічно, як і в
попередньому пункті, будуємо пряму 2 1 2: 3 3l x x . Точки, що нас цікавлять
(де 1 23 3x x ) лежать в напрямку нормалі до прямої l2, 2( 1,3)n та на самій
прямій.
4. В одержаному трикутнику слід вилучити точки, які не задовольняють умову 1 23 6x x (третій нерівності в (2.2.1)). Будуємо пряму 3 1 2: 3 6l x x
і вибираємо точки на прямій та поза прямою в бік антинормалі 3( 3,1)n .
Одержимо знову чотирикутник (див. мал. 1).
5. Завершуємо побудову області D1, вилученням з одержаного чотирикутника точок, що не задовольняють нерівності 1 24 3 12x x . Це точки,
які лежать поза прямою 4 1 2: 4 3 12l x x в напрямку антинормалі 4( 4, 3)n .
Одержуємо п’ятикутник АВСDE. Переходимо до виконання пункту 2.
Шукаємо оптимальні розв’язки.
1. maxL знаходиться в крайній точці області D1, в напрямку нормалі Ln до L, (2, 1)Ln .
2. minL знаходиться в крайній точці області D1 в напрямку антинормалі
Ln . Крайньою точкою області D1 будемо називати точку в якій
перетинаються пряма 1 22L x x d з областю так, що будь-яке зміщення
цієї прямої в окіл точки ( в напрямку Ln ) спричиняє відсутність на прямій точок
області D1; d – величина (відстань) на яку зміщується пряма 1 22 0x x в
напрямку нормалі або антинормалі. maxL знаходиться шляхом обчислення функції L у точці перетину прямих l2
та l3 (напрям Ln ). Точку перетину знаходять як результат розв’язку системи
рівнянь 1 2
1 2
3 3;
3 6.
x x
x x
minL – значення функції L у точці перетину осі х2 з
прямою l1 (напрям Ln ). Точку перетину знаходять через розв’язання системи
рівнянь 1
1 2
0;
6.
x
x x
Відповідь: max min21 15 27
( , ) , (0,6) 68 8 8
L L .
27
§2.3 Алгоритм розв’язування задачі лінійного програмування
за допомогою симплекс-методу
Алгоритм симплекс-методу дозволяє повністю дослідити ЗЛП. Якщо
розв’язок існує, то його буде знайдено симплекс-процедурою, якщо розв’язку
немає то в процесі реалізації симплекс-процедури буде встановлено факт його
відсутності. Схема розв’язання має такий вигляд.
І. Згідно [6], записуємо ЗЛП (2.1.1)-(2.1.3) в нормальному стандартному
вигляді.
1 1 2 2
1 1 11 1 12 2 1
2 2 21 1 22 2 2
1 1 2 2
1 2 1 2
