ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯelibrary.lt/resursai/Uzsienio...

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ МНОГООБРАЗИЙ ФИГУР

Выпуск 34

Издательство

Калининградского государственного университета 2003

ДИФФЕР

ЕНЦИАЛЬНАЯ

ГЕО

МЕТ

РИЯ

МНОГО

ОБРА

ЗИЙ

ФИГУ

Р

ISSN 0321-4796 КАЛИНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

МНОГООБРАЗИЙ ФИГУР

Выпуск 34

Межвузовский тематический сборник научных трудов

Калининград Издательство Калининградского государственного университета

2003

УДК 514.75(08) ББК 22.151.61я43 Д 503

Редакционная коллегия

Л.Е. Евтушик, д-р физ.-мат. наук, проф. (Москва); В.С. Малаховский, засл. деятель науки РФ, д-р физ.-мат. наук, проф.,

отв. редактор (Калининград); Ю.И.Попов, канд. физ.-мат. наук, проф. (Калининград); А.С. Феденко, д-р физ.-мат. наук (Минск);

Ю.И. Шевченко, канд. физ.-мат. наук, доц., отв. секретарь (Калининград)

Печатается по решению Редакционно-издательского совета

Калининградского государственного университета. Д 503 Дифференциальная геометрия многообразий фигур:

Межвуз. темат. сб. науч. тр. – Калининград: Изд-во КГУ, 2002. – Вып. 34. – 167 с. – Библиогр. 139 назв.

ISBN 5-88874-403-4

В сборнике, подготовленном кафедрой высшей алгебры и геометрии, публикуются статьи, посвященные следующим разделам дифференциальной геометрии: геометрия многообразий и расслоенных пространств, теория связностей в расслоениях, индуцированные связности семейств линейных фигур, римановы и финслеровы многообразия, геометрия дифференциальных уравнений, теория гиперполос, распределений и их обобщений, теория кривых и поверхностей, многообразия треугольников.

УДК 514.75(08) ББК 22.151.61я43

© Коллектив авторов, 2003

ISBN 5-88874-403-4 © Издательство КГУ, 2003

Научное издание

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ МНОГООБРАЗИЙ ФИГУР

Выпуск 34

Межвузовский тематический сборник научных трудов

Редактор М.В. Королева Технический редактор Л.В. Сапожникова

Корректор М.В. Бурлетова Оригинал-макет подготовлен О.М. Жовтенко

Подписано в печать 15.10.2003 г. Бумага офсетная. Формат 60×841/16.

Гарнитура «Таймс». Усл. печ. л. 10,4. Уч.-изд. л. 8,3. Тираж 300 экз. Заказ .

Издательство Калининградского государственного университета,

236041, г. Калининград, ул. А. Невского, 14

3

СОДЕРЖАНИЕ Амишева Н.В. Об инвариантных направлениях и их свойствах на изоэнергетической поверхности неинтегрируемых дифференциальных уравнений Кирхгофа .... 5 Банару М.Б. О гиперповерхностях Кенмоцу 6-мерных эрмитовых подмногообразий алгебры Кэли ................................ 12 Белова О.О. Связности трех типов в расслоении над областью проективного пространства ........................................... 21 Волкова С.Ю. Скомпонованные распределения проективного пространства . ........................................................... 26 Гаер М.А. Теория кривых и гиперповерхностей в семимерном конформно-октавном пространстве . ....................... 32 Долгарев А.И. Поверхности, аналогичные плоскостям, в нильпотентном одулярном пространстве . .................................... 37 Елисеева Н.А. Пучки плоскостей Нордена-Тимофеева H(П) – распределения. .................................................................................. 42 Жовтенко О.М. Геометрическая интерпретация связности, ассоциированной с конгруэнцией плоскостей . ............................ 49 Игошин В.А., Китаева Е.К. О геометрических характеристиках квадратичных квазигеодезических потоков . ............................................................................................................ 53 Игошин В.А., Коткова Н.В. О проективно римановых квазигеодезических потоках ........................................................... 57 Исаев В.М., Степанов С.Е. О конформно килинговом тензоре на римановом многообразии постоянной кривизны . .... 62 Исаева Л.В. Центропроективная и линейная связности, индуцированные нормализацией проективного пространства . ............................................................................................................ 66 Макеев В.И. Об алгебрах Ли инфинитезимальных относительных изометрий пространств yg ,3 определенных классов ............................................................................................... 70 Максакова Т.Ю. Связности, ассоциированные с 75

Дифференциальная геометрия многообразий фигур

4

вырожденной гиперполосой проективного пространства . ......... Малаховский В.С. О дискретных семействах целочисленных равнобедренных треугольников ..................................................... 81 Малаховский Н.В. Коники, порожденные изогональным и изотомическим преобразованиями плоскости ............................. 89 Монахова О.А. О некоторых свойствах горизонтального лифта связности на расслоении дважды ковариантных тензоров ............................................................................................. 95 Мотошкина С.В. Кривые в конформно-псевдоевклидовом пространстве ...................................................................................... 99 Омельян О.М. Понятия распределенной и нераспределенной линейных связностей........................................................................ 103 Паньженский В.И. Метрики финслерова типа, близкие к римановым ........................................................................................ 111 Паньженский В.И., Сорокина М.В. Продолжение Сасаки специальной ( ),βα -метрики на касательное расслоение .......... 116

Попов Ю.И. Флаговые структуры многообразия 0nP (H) ............ 121

Сазонова О.В. Редукция аффинной группы до пространства билинейной связности над оснащенной поверхностью............... 125 Скрягина А.В. Индуцированный пучок связностей 1-го типа на плоскостной поверхности как вырожденном семействе ........ 130 Султанов А.Я., Султанова Н.С. Об аффинных автоморфизмах локально тривиальных расслоений .................... 136 Сурина О.П. Геодезические и экстремали локально конического пространства ............................................................... 141 Fritsch R. Hilberts Beweis der Transzendenz der Ludolphschen Zahe π ................................................................................................. 144 Чешкова М.А. К геометрии резных гиперповерхностей .............. 149 Шевченко Ю.И. Три расслоения проективной группы ............... 154 Юрьева С.Н. Гиперполосное распределение коразмерности два аффинного пространства Аn .................................................... 159 Семинар.............................................................................................. 164

5

УДК 514.852

Н.В. Амишева (Кемеровский государственный университет)

ОБ ИНВАРИАНТНЫХ НАПРАВЛЕНИЯХ

И ИХ СВОЙСТВАХ НА ИЗОЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ НЕИНТЕГРИРУЕМЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ КИРХГОФА

Метод исследования изоэнергетической поверхности интегрируемых дифференциальных уравнений описан в книге [1]. В данной работе рассматриваются неинтегрируемые дифференциальные уравнения Кирхгофа, описывающие движение тела в жидкости. На изоэнергетической поверхности, определенной указанными уравнениями, найдены инвариантные направления и указаны их некоторые свойства.

1. Динамические уравнения Кирхгофа и их интегралы. Динамические уравнения Эйлера

],,[],[' ueKK += ω ],[' ωee = (1)

всегда имеют три интеграла:

,221 ppf i == ∑ ∑ == spKf ii2 ( i, j = 1, 2, 3 ), (2)

f3 = H – интеграл энергии, который при различных движениях имеет разный вид. Если интеграл H имеет вид ∑ ∑ ∑++== ,222 jiijjiijjiij ppcpKbKKaHE (3)

причем i

i

KH

∂∂

=ω , i

i

pHu∂∂

= есть угловая и поступательная

скорости, то этот интеграл называют интегралом Кирхгофа. Система дифференциальных уравнений (1) в этом случае описывает движение конечного твердого тела в идеальной несжимаемой жидкости. Интегралы f1 и f2, зависящие от шести переменных Ki, pi, определяют четырехмерное симплектическое многообразие М4, на котором интеграл энергии задает трехмерную изоэнергетическую


6

поверхность Q3. В работе [2] вводятся координаты 21,,, ξξψθ многообразия М4 по формулам: ,coscos1 ψθpp = ,sincos2 ψθpp = ,sin3 θpp =

ppsKq 1

11 −= , ppsKq 2

22 −= , pp

sKq 333 −= , (4)

,sincos 121 ψξψθξ −= tgq ,cossin 122 ψξψθξ += tgq .23 ξ−=q

Из формул (4) находим ,coscossincos 12111 ψθψξψθξ stgspqK +−=+= ψθψξψθξ sincoscossin 12222 stgspqK ++=+= , (5) θξ sin2333 sspqK +−=+= .

Четырехмерное симплектическое многообразие М4 можно задать вектор-функцией:

=),,,( 21 ξξψθRρ

= θψθψθ sin,sincos,coscos( ppp , ,coscossincos 12 ψθψξψθξ stg +− ,sincoscossin 12 ψθψξψθξ stg ++ ).sin2 θξ s+−

Евклидова метрика пространства R6 порождает риманову метрику IJg~ (I, J = 1, 2, 3, 4) многообразия М4:

),,(~11 θθ RRg = ),,(~

22 ψψ RRgρρ

= ),,(~113 ξθ RRg

ρρ= ),,(~

123 ξψ RRgρρ

=

),,(~12 ψθ RRg

ρρ= ),,(~

224 ξψ RRgρρ

= ),,(~214 ξθ RRg

ρρ= ).,(~

2134 ξξ RRgρρ

=

Изоэнергетическая поверхность Q3 на М4 определяется уравнением .),,,( 21 constH =ξξψθ Если в качестве локальных координат

поверхности Q3 выбрать координаты ,,, 1ξψθ то ее уравнение примет вид: ).,,( 12 ξψθξ f= На шестимерном евклидовом пространстве R6 поверхность постоянной энергии Q3 можно задать вектор-функцией:

,coscos()),,(,,,( 11 ψθξψθξψθ pfRr ==ρρ ,sincos ψθp

,sinθp ,coscossincos),,( 11 ψθψξψθξψθ stgf +− ,sincoscossin),,( 11 ψθψξψθξψθ stgf ++ ).sin),,( 1 θξψθ sf +−

2. Квадратичные формы поверхности Q 3 . Риманова метрика многообразия М4 (или евклидова метрика

пространства R6) порождает на поверхности Q3 риманову метрику:

Н.В. Амишева

7

++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

++==θθθθθ 4

2

2

222

11 coscos1),( ffsprrg ρρ

+ ,cossin2

cos12

cossin2 23 θ

θθθθ

θθ

sffsff −∂∂

−∂∂

,sincos

1cos

1

cossin

cos1),(

1211

3212

θξθ

ξθθ

ξθψ

θθ

ψθψθψθ

sftgffs

ffffrrg

+−∂∂

−∂∂

−

−∂∂

+∂∂

∂∂

==ρρ

,cos

1cossin

cos1),(

13

12

113 1 θξθ

θξθξθξθ ∂

∂−

∂∂

+∂∂

∂∂

==fsffffrrg ρρ

,coscos

1),(1

121

23 1θθθ

ξξ

θξψξθ sftgtgfffrrg ++∂∂

−∂∂

∂∂

==ρρ

++++== θξθθψψ222

12222

22 coscos),( stgfprrg ϖϖ

+ ,cos

12sin2 2

2

1 θψθ

ψξθ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

−ftgfsf

θξξξ 2

2

133 cos

11),(11 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+==frrg ρρ .

Коэффициенты второй квадратичной формы определяются формулами: ),,( nrijij

ρρ=β где n – единичный вектор нормали

поверхности Q3, а ),( nrijρρ – скалярное произведение, определяемое

римановой метрикой )~( IJg многообразия М4. Вектор ),,,( 4321 nnnnnρ можно определить равенствами

,0,,,1

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

ξψθrnrnrnρ

ρρρ

ρ nρ =1.

Если ввести обозначение ,~~~~ 444

334

224

114 ngngngngk +++= то

коэффициенты ijβ принимают вид:

,2

2

11 θβ

∂∂

=fk ,

2

12 ψθβ

∂∂∂

=fk ,

1

2

13 ξθβ

∂∂∂

=fk


8

,1

2

23 ξψβ

∂∂∂

=fk ,2

2

22 ψβ

∂∂

=fk .2

1

2

33 ξβ

∂∂

=fk

Итак, коэффициенты первой и второй квадратичных форм поверхности Q3 определены.

3. Главные направления поверхности Q3 и индикатриса нормальных кривизн.

Собственные значения 321 ,, λλλ матрицы G-1B, где G = (gij), B = =( ijβ ), являются главными кривизнами поверхности постоянной энергии Q3. На поверхности Q3 введем локальную систему координат ),,,,( 4321 eeee ρρρρ где 321 ,, eee ρρρ – главные направления поверхности Q3, а вектор .4 ne ρρ

= В выбранной локальной системе координат индикатриса нормальных кривизн определяется уравнениями: ,)()()( 23

322

221

1 constxxx =++ λλλ ,04 =x (6)

где ,cos 11 ϕ=x ,cos 2

2 ϕ=x ,33 cosϕ=x 321 ,, ϕϕϕ – углы между

касательным к поверхности вектором vρ и главными направлениями этой поверхности. Так как главные направления поверхности находятся из системы уравнений ,0)( =− j

ijij mgλβ где λ – одна из главных кривизн поверхности, то формулы перехода от исходной системы координат

),,,( 4321 EEEEρρρρ

к локальной системе координат ),,,,( 4321 eeee ρρρρ присоединенной к точке Р0 поверхности Q3, можно записать в следующем виде: ,4131

321

211

1 xnxmxmxm +++=θ ,42323

222

121 xnxmxmxm +++=ψ

,43333

232

1311 xnxmxmxm +++=ξ ,4434

324

214

12 xnxcxcxc +++=ξ где

).()()( 01

30

20

14 PfmPfmPfmc iiii ξψθ ∂∂

+∂∂

+∂∂

=

Симплектическая структура Ω многообразия М4 в системе координат ),,,( 4321 EEEE

ρρρρ имеет вид [3]:

,ddcossdddd ψθθψξθξΩ ∧+∧+∧= 21

матрица коэффициентов которой в системе координат ),,,( 4321 eeee ρρρρ запишется так: ),( IJωΩ = где .JIIJ ωω −=


9

4. Инвариантные направления поверхности Q3. Теорема. В касательной плоскости изоэнергетической

поверхности, определяемой интегралом энергии системы дифференциальных уравнений Кирхгофа, существует в общем случае три инвариантных направления.

Доказательство. Для каждой точки ∈P Q3 и для каждого вектора ),v,v,v,v(v 4321

ρ принадлежащего ,Q3PT изотропная плоскость симплектического пространства М4 в системе координат

),,,,( 4321 eeee ρρρρ определяется уравнениями .0=IJIJ xvω Изотропная

плоскость пересекается с плоскостью 3QpT по двумерной плоскости ,2L определенной системой уравнений:

,04 =x .0=ijij xvω (7)

Будем искать такой вектор ,vρ принадлежащий касательной плоскости ,Q3PT для которого плоскость 2L будет сопряжена вектору vρ относительно индикатрисы нормальных кривизн (6). Так как плоскость, сопряженная вектору ∈vρ Q3 относительно индикатрисы нормальных кривизн (6), определяется уравнениями

,04 =x ,0333

222

111 =++ xvxvxv λλλ то указанное свойство вектора

vρ приводит к равенствам :

.0)( =− jiijij vt λδω (8)

Система уравнений (8) имеет ненулевые решения, когда определитель этой системы равен нулю:

33231

23221

13121

00

0

λωωωλωωωλ

tt

t

−−

− = 0. (9)

Каждому решению последнего уравнения соответствует направление, определяемое системой уравнений (8). Теорема до-казана. Замечание. Аналогичные направления для многообразий квадратичных элементов в работе [3] названы основными.

5. Свойства основных направлений. Предложение 1. Всегда одним из корней характеристического

уравнения (9) является корень t = 0. Этот корень либо простой, либо


10

трехкратный. Если t = 0 простой, то два других могут быть или действительные, или комплексно сопряженные.

Доказательство. Характеристическое уравнение (9) можно записать в виде: ( )3

2122

2131

223

3321 )()()( λωλωλωλλλ +++t t = 0. (10)

Отсюда непосредственно вытекает, что одним из корней характеристического уравнения всегда является t = 0; этот корень, как видно из уравнения (10), либо простой, либо трехкратный. Если корень t = 0 простой, то два других корня находятся из уравнения:

( )31222

1312

232

321 )()()( λωλωλωλλλ +++t = 0,

которые могут быть действительными или комплексно сопряженными. Предложение 2. Изотропная плоскость основного направления,

соответствующего корню t = 0, не определена. Доказательство. Так как система уравнений, определяющая

основные направления при t = 0, имеет вид ,03

132

12 =+ vv ωω ,0323

112 =− vv ωω ,02

231

12 =+ vv ωω (11)

то основное направление, соответствующее корню t = 0, можно задать вектором ).,,( 121323 ωωω −vϖ Изотропная плоскость, определенная вектором ),,,( 321 vvvvρ имеет уравнение .0=ji

ij xvω Подставляя в это уравнение координаты вектора ),,,( 121323 ωωω −vρ убеждаемся, что все коэффициенты в указанном уравнении равны нулю.

Определение. Основное направление, соответствующее корню t = 0, назовем особым.

Предложение 3. Корень t = 0 является трехкратным тогда и только тогда, когда основное направление, соответствующее этому корню, является асимптотическим направлением индикатрисы нормальных кривизн.

Доказательство. Необходимость. Корень t = 0 уравнения (10) является трехкратным, если выполнено равенство: .0)()()( 2

1232

1322

231 =++ ωλωλωλ (12)

Уравнения конуса асимптотических направлений индикатрисы нормальных кривизн (6) имеет следующий вид: ,04 =x .0)()()( 23

322

221

1 =++ xxx λλλ (13)

При условии (12) этому уравнению удовлетворяют координаты основного направления ),,,( 121323 ωωω −vρ соответствующего корню


11

t = 0, т.е. это основное направление является асимптотическим направлением индикатрисы нормальных кривизн.

Достаточность. Основное направление ),,,( 121323 ωωω −vρ соответствующее корню t = 0, является и асимптотическим направлением индикатрисы нормальных кривизн, если выполнено равенство (12). Но при выполнении этого равенства корень t = 0 уравнения (10) является трехкратным. Предложение доказано.

Трехкратному корню t = 0 может соответствовать или единственное направление (ранг системы (11) равен двум), или двумерная плоскость (ранг системы (11) равен единице). В силу невырожденности структуры Ω трехкратному корню t = 0 не может соответствовать трехмерная плоскость, т.е. ранг системы (11) не может быть равен нулю. В следующей теореме сформулированы условия, при которых трехкратному корню t = 0 соответствует двумерная плоскость. Предложение 4. Если трехкратному корню t = 0 соответствует двумерная плоскость основных прямых, то проекция индикатрисы нормальных кривизн на эту плоскость есть гипербола, коэффициенты уравнения которой равны коэффициентам ненулевых элементов симплектической структуры.

Доказательство. Умножив второе уравнение системы (11) на 13ω , а третье – на 12ω и вычитая одно из другого, получим систему для определения основных направлений, эквивалентную системе (11): ,03

132

12 =+ vv ωω ,0)( 313

21223 =+ vvωω .03

231

12 =+ vv ωω (14)

Ранг последней системы равен единице, если .012 =ω Следовательно, при 012 =ω трехкратному корню t = 0 соответствует двумерная плоскость, которой, как следует из системы (14), является плоскость (x1,x2). Условие (12) является условием трехкратности корня t = 0, которое при 012 =ω примет следующий вид: .0)()( 2

1322

231 =+ ωλωλ С учетом последнего равенства уравнение индикатрисы нормальных кривизн запишется так: .)()()()()( 23

3222

23212

13 constxxx =+− λωω Предложение доказано.

Следствие. Если корню t = 0 соответствует двумерная плоскость, то она является плоскостью симметрии индикатрисы нормальных кривизн.

Доказательство непосредственно вытекает из уравнений (14).


12

Список литературы

1. Болсинов А.В., Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, топология, классификация. М., 1999. Т. 1, 2.

2. Новиков С.П., Шмельцер И. Периодические решения уравнений Кирхгофа для свободного движения твердого тела в жидкости и расширенная теория Люстерника-Шнирельмана-Морса (ЛШМ-1) // Функциональный анализ и его приложения. 1981. Т. 15. Вып. 3. С. 54 – 66.

3. Амишева Н.В. О семействах алгебраических элементов второго порядка в эквиаффинном пространстве // Геом. сб. Томск, Изд-во Томского ун-та, 1972. Т. 212. Вып. 9. С. 198 – 209.

N. Amisheva

ON INVARIANT DIRECTIONS AND THEIR PROPERTIES ON AN ISOENERGETIC SURFACE OF NON-INTEGRABLE

DIFFERENTIAL KIRCHHOFF’S EQUATIONS

Non-integrable differential Kirchhoff’s equations describing motion of a body in liquid are considered in this work. Invariant directions are found on the isoenergetic surface and some their properties are pointed.

УДК 513.82

М.Б. Банару (Смоленский гуманитарный университет)

О ГИПЕРПОВЕРХНОСТЯХ КЕНМОЦУ

6-МЕРНЫХ ЭРМИТОВЫХ ПОДМНОГООБРАЗИЙ АЛГЕБРЫ КЭЛИ

Доказано, что гиперповерхность Кенмоцу 6-мерного

эрмитова подмногообразия алгебры октав минимальна в том и только том случае, если ее типовое число равно четырем. Также доказано, что минимальная гиперповерхность Кенмоцу 6-мерного эрмитова подмногообразия алгебры октав не может быть вполне омбилической.

1. Теория почти контактных метрических структур занимает

одно из ведущих мест в современных дифференциально-геометри-ческих исследованиях. Это объясняется как многочисленными приложениями ее в математической физике (например, в

М.Б. Банару

13

классической механике [1] и в теории геометрического квантования [2]), так и богатством внутреннего содержания самой теории, а также ее теснейшими связями с другими разделами геометрии.

Напомним, что почти контактной метрической структурой на нечетномерном многообразии N называется такая система { }g,,, ηξΦ тензорных полей на этом многообразии, где Φ – поле

тензора типа )1,1( ; ξ – векторное поле; η – ковекторное поле;

⋅⋅= ,g – риманова метрика. При этом должны выполняться условия:

1)( =ξη ; 0)( =Φ ξ ; 0=Φοη ; ηξ ⊗+−=Φ id2 ;

)()(,, YXYXYX ηη−><=>ΦΦ< , )(, NYX ℵ∈ , где )(Nℵ – модуль гладких векторных полей на многообразии N. Примером почти контактной метрической структуры является косимплектическая структура, характеризуемая тождеством

0=Φ∇=∇η , где ∇ – риманова связность метрики g . Многообразия, наделенные такой структурой, локально эквивалентны произведению келерова многообразия на вещественную прямую [3].

Почти контактные метрические структуры тесно связаны с почти эрмитовыми (almost Hermitian, AH-) структурами. Например, если

{ }),,,,( gN ηξΦ – почти контактное метрическое многообразие, то на многообразии RN × индуцируется почти эрмитова структура [4]. Если эта почти эрмитова структура интегрируема, то исходная почти контактная метрическая структура называется нормальной. Нормальная контактная метрическая структура называется сасакие-вой [4]. Сасакиевы структуры можно охарактеризовать и с помощью тождества ,)(,)( XYYXYX ηξ −=Φ∇ )(, NYX ℵ∈ . (1)

Сасакиевы структуры, например, индуцируются на вполне омбилических гиперповерхностях келеровых многообразий [4]. Они обладают многими замечательными свойствами и играют фундаментальную роль в контактной геометрии.

В начале семидесятых годов двадцатого века Кенмоцу ввел в рассмотрение класс почти контактных метрических структур, характеризуемых тождеством [5]: ,)(,)( XYYXYX Φ−Φ=Φ∇ ηξ )(, NYX ℵ∈ . (2)

(1)

(2)


14

Многообразия Кенмоцу нормальны и интегрируемы, но не являются контактными, и, стало быть, не могут являться сасакиевыми [5]. Несмотря на внешнее сходство тождеств (1) и (2), свойства мно-гообразий Кенмоцу в определенном смысле полярны свойствам сасакиевых многообразий. Заметим, что исчерпывающее описание многообразий Кенмоцу, а также множество различных примеров таких многообразий содержится в новейшем исследовании [6] по данной тематике. Данная статья посвящена гиперповерхностям Кенмоцу 6-мерных эрмитовых подмногообразий алгебры Кэли. Она является продолжением исследований автора, ранее рассматривавшего почти контактные метрические структуры на гиперповерхностях 6-мерных подмногообразий алгебры октав (см., например, [7 – 9] и др.). Отметим, что исследованием различных аспектов геометрии, 6-мерных почти эрмитовых подмногообразий алгебры Кэли занимались такие авторитетные геометры, как А. Грей, Е. Калаби (США) и В.Ф. Кириченко (Россия). 2. Как известно, почти эрмитовой структурой на четномерном многообразии M2n называется пара { }⋅⋅= ,, gJ , где J – почти

комплексная структура; ⋅⋅= ,g – риманова метрика на этом

многообразии. При этом J и ⋅⋅= ,g должны быть согласованы условием ).(,,,, 2nMYXYXJYJX ℵ∈=

Здесь )( 2nMℵ – модуль гладких (класса ∞C ) векторных полей на многообразии M2n. Многообразие с фиксированной на нем почти эрмитовой структурой называется почти эрмитовым (AH-) многообразием. С каждой AH-структурой { }⋅⋅= ,, gJ на многооб-разии M2n связано поле дважды ковариантного кососимметрического тензора (т.е. 2-формы), определяемого равенством

)(,,,),( 2nMYXJYXYXF ℵ∈= и называемого фундаментальной (или келеровой) формой структуры.

Пусть ( )},,{,2 ⋅⋅=gJM n – почти эрмитово многообразие.

Зафиксируем точку nMp 2∈ . Пусть )( 2np MT – пространство,

касательное к многообразию M2n в точке p, { }⋅⋅= ,, pp gJ – почти

эрмитова структура, порожденная парой { }⋅⋅= ,, gJ . Реперы, адаптированные почти эрмитовой структуре (или А-реперы),

М.Б. Банару

15

устроены следующим образом: ),,,,,,( ˆ11 nnp εεεε ΚΚ , где aε –

собственные векторы оператора структуры, отвечающие собственному значению оператора 1−=i , а aε – собственные векторы, отвечающие собственному значению i− . Здесь индекс a принимает значения от 1 до n; naa +=ˆ . Матрица оператора структуры в А-репере в точке p имеет вид

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

n

nkj -iI

iIJ

00

,

где nI – единичная матрица порядка n; k, j = 1,…, 2n. Хорошо известно [10], что матрицы римановой метрики g и фундамен-тальной формы F в А-репере примут соответственно вид

( ) ;⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=0II0

gn

nkj ( ) .⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0iI-iI0

Fn

nkj

Пусть 8RO ≡ – алгебра Кэли. Как известно [11], в ней определены два неизоморфных 3-векторных произведения:

;,,,)(),,(1 YXZXZYZYXZYXZYXP −++−=

.,,,)(),,(2 YXZXZYZYXZYXZYXP −++−=

Здесь O∈ZYX ,, ; ⋅⋅, – скалярное произведение в O , XX → – оператор сопряжения в O . При этом любое другое 3-векторное произведение в алгебре октав изоморфно одному из вышеуказанных.

Пусть O⊂6M – 6-мерное ориентируемое подмногообразие алгебры Кэли. Тогда на нем индуцируется почти эрмитова структура { }⋅⋅= ,, gJα , определяемая в каждой точке 6Mp∈ соотношением

,2,1),,,()( 21 == ααα eeXPXJ

где { }21, ee – произвольный ортонормированный базис нормального к 6M подпространства в точке p, )( 6MTX p∈ [11]. Подмногообразие 6M

называется эрмитовым, если индуцированная на нем почти эрмитова структура интегрируема. Напомним [12], что точка 6Mp∈ называется

общей, если )( 60 MTe p∉ , где 0e – единица алгебры Кэли.

Подмногообразия, состоящие только из общих точек, называются подмногообразиями общего типа [12]. Все рассматриваемые далее


16

подмногообразия O⊂6M подразумеваются подмногообразиями общего типа.

3. Прежде чем привести основные результаты данной статьи, отметим, что типовым числом гиперповерхности риманова многообразия называют ранг ее второй квадратичной формы [13].

Теорема 1. Гиперповерхность Кенмоцу { }),,,,( gN ηξΦ 6-мерного эрмитова подмногообразия алгебры Кэли является минимальной в том и только том случае, если ее вторая квад-ратичная форма σ удовлетворяет условию 0),( =ξξσ .

Доказательство. Воспользуемся первой группой структурных уравнений почти контактной метрической структуры на гиперповерхности эрмитова подмногообразия O⊂6M [8]:

( ) +∧++∧+∧= ωωσωωωωω βαββ

αβ

γγ

αββαβ

α iBBd 32

+ ,2

13 ωωσ β

αβαβ ∧⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+− iB

( ) +∧−+∧+∧−= ωωσωωωωω ββα

βα

βγ

γαββ

βαα iBBd 32

+ ,2

1 3 ωωσ βαβαβ ∧⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−− iB

( ) ( ) +∧++∧−−= βββα

βαβ

αββ

α ωωσωωσω 33

333 222 iBiBBd

+ ( ) .333

βββ ωωσ ∧− iB

Здесь { }cabB и { }c

abB – компоненты тензоров Кириченко [7]. Условимся, что здесь и далее 3,2,1,, =cba ; 2,1,, =γβα ;

6,5,4,3,2,1, =jk ; 3ˆ += aa . Поскольку первая группа структурных уравнений структуры

Кенмоцу должна иметь вид [6]

;αβαβ

α ωωωωω ∧+∧=d ;αββαα ωωωωω ∧+∧−=d ,0=ωd

условия, одновременное выполнение которых есть критерий принадлежности почти контактной метрической структуры на N классу Кенмоцу, таковы:

М.Б. Банару

17

а) 0=γαβB ; б) α

βαββ

α δσ −=+ iB 32 ; в) 02

13 =+− αβαβ σiB ;

г) 0222 33 =−− α

βα

ββα σiBB ; д) 033

3 =− ββ σiB и формулы комплексного сопряжения (ф.к.с.), запись которых мы

опустим. Из условий (3)в следует 32

αβαβσ Bi−= .

Проальтернируем это соотношение [ ] ( ) 3333

][

22220 αββααβαβαβσ BiBBiBi

−=−−=−== .

Следовательно, 03 =αβB , а значит, 0=αβσ . Аналогично, из (3)д получаем 03 =βσ .

Таким образом, условия (3) можно переписать так:

а) 0=γαβB ; б) 0=αβσ ; в) 03 =βσ ; г) α

ββαα

β δσ iBi += 32 (4)

и ф.к.с. Пусть теперь гиперповерхность N будет минимальным

подмногообразием эрмитова подмногообразия O⊂6M . Критерием минимальности является условие [14]:

.5,4,3,2,1,,0 == spg pspsσ

Матрица контравариантного метрического тензора гиперповерхности N имеет вид [8]

=)( psg.

0001000001001001000001000

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

В силу вышесказанного для гиперповерхности Кенмоцу N эрмитова подмногообразия O⊂6M

=++++= 3333

ˆˆ

ˆˆ

ˆˆˆˆ σσσσσσ βα

βαβα

βαβα

βααβ

αβ gggggg psps

= .3333

ˆˆ

ˆˆ σσσ βα

βαβα

βα ggg ++

Из (4) следует

(3)

(4)

(3)


18

333333 2222 σσσ α

ααα =+−−+= iBiiBig ps

ps .

Поэтому 00 33 =⇔= σσ pspsg . Последнее равенство означает, что

0),( =ξξσ . Итак, гиперповерхность Кенмоцу N эрмитова подмногообразия

O⊂6M минимальна в том и только том случае, если 0),( =ξξσ , что и требовалось доказать.

Теорема 2. Гиперповерхность Кенмоцу 6-мерного эрмитова подмногообразия алгебры Кэли минимальна в том и только том случае, если ее типовое число равно четырем.

Доказательство. 1. Пусть N – минимальная гиперповерхность Кенмоцу эрмитова под-

многообразия O⊂6M . Тогда в силу условий (4) и доказанной теоремы 1 матрица второй квадратичной формы гиперповерхности имеет вид

( )⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

000

0000000

0

ˆ

ˆ

βα

βα

σ

σ

σ ps .

Поскольку βαβα σσ ˆˆ = , получаем, что )(2)( ˆβασσ rangrang ps = .

Теперь воспользуемся выражениями для компонент тензора Кириченко 6-мерного эрмитова подмногообразия алгебры Кэли [7]:

hcabh

cab DB ε

21

= ,

где 78hchchc iTTD +±= . Здесь }{ ϕ

hcT – компоненты конфигурационного

тензора эрмитова подмногообразия O⊂6M [15]; 8,7=ϕ ; ,abcabc123εε =

123abcabc εε = – компоненты тензора Кронекера третьего порядка [16].

Вычислим все компоненты «блока» )( ˆβασ с помощью условия (4г):

iiDiDiiBi +−=+=+== 121131

11131

111 )2

1(22 γγεδσσ ;

iiDiDiiBi +=+=+== 122232

22232

222 )2

1(22 γγεδσσ ;

М.Б. Банару

19

222131

22131

221 )2

1(22 iDDiiBi −==+== γγεδσσ ;

111232

11232

112 )2

1(22 iDDiiBi ==+== γγεδσσ .

Покажем, что матрица )( ˆβασ не может быть вырожденной. В самом деле

=−−++−= ))(())(()det( 11221212ˆ iDiDiiDiiDβασ

=−+−= 22111212 )1)(1( DDDD 1)( 22112

12 −− DDD .

В силу того, что для эрмитова подмногообразия O⊂6M справедливо тождество [7] 2211

212 )( DDD = , получаем 01)det( ˆ ≠−=βασ .

Итак, матрица )( ˆβασ не может быть вырожденной, ее ранг равен

двум, и поэтому 4)( =psrang σ , т.е. типовое число гиперповерхности N равно четырем.

2. Если же гиперповерхность Кенмоцу N эрмитова подмногообразия O⊂6M не является минимальной, то типовое число, согласно условиям (4), будет вычисляться так: 1)(2 ˆ += βασrangt . Следовательно, t – нечетное число, поэтому оно не может равняться четырем. Следствие 1. Минимальная гиперповерхность Кенмоцу эрмитова подмногообразия O⊂6M не может быть вполне геодезической. Естественно поставить вопрос: а может ли минимальная гиперповерхность Кенмоцу N эрмитова O⊂6M быть его вполне омбилическим подмногообразием?

Если допустить, что ответ на этот вопрос утвердительный, то тогда constg psps −= λλσ , ,

и, учитывая условия (4), получим 0=λ , что противоречит следствию 1. Таким образом, справедливо следствие 2.

Следствие 2. Минимальная гиперповерхность Кенмоцу эрмитова подмногообразия O⊂6M не может быть вполне ом-билической. Если же исключить требование минимальности для вполне омбилической гиперповерхности Кенмоцу 6-мерного эрмитова подмногообразия алгебры Кэли, то снова в силу условий (4) получим λσ =33 , λ=+− iiD12 , λ=+ iiD12 , 011 =iD , 022 =−iD . (5) (5)


20

Из cоотношений (5) вытекает, что 0=kjD . Таким образом, если

допустить, что через каждую точку 6M проходит вполне омбилическая гиперповерхность Кенмоцу, то условие 0=kjD (6)

выполняется в каждой точке 6M . Но условие (6) есть критерий келеровости для 6-мерных почти эрмитовых подмногообразий алгебры октав [7]. Доказана

Теорема 3. Если через всякую точку 6-мерного эрмитова подмногообразия 6M алгебры Кэли проходит вполне омбилическая гиперповерхность Кенмоцу, то 6M – келерово многообразие.

Список литературы 1. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.:

Наука, 1989. 469 с. 2. Харт Н. Геометрическое квантование в действии. М.: Мир, 1985. 344 с. 3. Kiritchenko V.F. Sur la gèomètrie des variètès approximativement

cosymplectiques // C.R. Acad. Sci. Paris, 1982. Ser. 1. Vol. 295. №12. P. 673 – 676.

4. Blair D.E. Contact manifolds in Riemannian geometry // Lect. Notes Math. 1976. Vol. 509. P.1 – 145.

5. Kenmotsu K. A class of almost contact Riemannian manifolds // Tôhoku Math. J. 1972. Vol. 24. P. 93 – 103.

6. Кириченко В.Ф. О геометрии многообразий Кенмоцу // ДАН. 2001. Т. 380. № 5. С. 585 – 587.

7. Banaru M. Six theorems on six-dimensional Hermitian submanifolds of Cayley algebra // Изв. АН Республики Молдова. 2000. Т. 34. № 3. С. 3 – 10.

8. Idem. On six-dimensional Hermitian submanifolds of Cayley algebra satisfying the G-cosymplectic hypersurfaces axiom // Annuaire de l’universite de Sofia «St. Kl. Ohridski». 2000. T. 94. P. 91 – 96.

9. Он же. Две теоремы о косимплектических гиперповерхностях 6-мерных эрмитовых подмногообразиях алгебры Кэли // Изв. вузов. Сер. мат. 2002. №1. С. 9 – 12.

10. Арсеньева О.Е., Кириченко В.Ф. Автодуальная геометрия обобщенных эрмитовых поверхностей // Математический сборник. 1998. Т.189. №1. С. 21 – 44.

11. Gray A. Vector cross products on manifolds // Trans. Amer. Math. Soc. 1969. Vol. 141. P. 465 – 504.

12. Кириченко В.Ф. Эрмитова геометрия 6-мерных симметрических под-многообразий алгебры Кэли // Вестн. МГУ. Сер. мат., мех. 1994. № 3. С. 6 – 13.

(6)

М.Б. Банару

21

13. Kurihara H. The type number on real hypersurfaces in a quaternionic space form // Tsukuba J. Math. 2000. Vol. 24. P.127 – 132.

14. Норден А.П. Теория поверхностей. М.: Изд-во ГИТТЛ, 1956. 260 с. 15. Gray A. Some examples of almost Hermitian manifolds // Illinois J. Math.

1966. Vol. 10. № 2. P. 353 – 366. 16. Лихнерович А. Теория связностей в целом и группы голономий. М.:

Изд-во ИИЛ, 1960. 216 с.

M. Banaru

ON KENMOTSU HYPERSURFACES IN SIX-DIMENSIONAL HERMITIAN SUBMANIFOLDS OF CAYLEY ALGEBRA

It is proved that a Kenmotsu hypersurface in a six-dimensional Hermitian submanifold of Cayley algebra is minimal if and only if its type number is equal to four. It is also proved that a Kenmotsu hypersurface in a six-dimensional Hermitian submanifold of the octave algebra cannot be totally umbilical. УДК 514.75

О.О. Белова

(Калининградский государственный университет)

СВЯЗНОСТИ ТРЕХ ТИПОВ В РАССЛОЕНИИ НАД ОБЛАСТЬЮ ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА

В проективном пространстве рассмотрена область,

описанная точкой. Над областью возникает главное расслоение, типовым слоем которого является подгруппа стационарности точки. В этом расслоении задана фундаментально-групповая связность по Г.Ф. Лаптеву. Доказано, что оснащение Бортолотти (нормализация Нордена) рассматриваемой области индуцирует центропроективные связности трех типов в ассоциированном расслоении. Получены условия совпадения охватов и формулы, связывающие охваты трех типов. Дана геометрическая интерпретация индуцированной связности 1-го типа.

Отнесем n-мерное проективное пространство Рn к подвижному

реперу {A,AI}, деривационные формулы которого имеют вид

dA = θA+ωIAI, dAI = θAI+ JIω AJ+ωIA, (1)


22

где линейная форма θ играет роль множителя пропорциональности, а формы ωI, I

Jω , ωI (I,J,…= n,1 ) проективной группы GP(n), действующей в пространстве Рn, удовлетворяют структурным уравнениям Картана:

JJIIJ

IKK

IJ

KIK

KJ

IJ

IJ

JI D),(D,D ω∧ω=ωωδ+ωδ∧ω−ω∧ω=ωω∧ω=ω . (2)

В проективном пространстве Рn рассмотрим область V, описанную точкой А, т.е. многообразие Грассмана Gr(0,n). Из формул (1) видно, что точка А фиксируется в области V при ωI =0, т.е. формы ωI – главные. Они удовлетворяют структурным уравнениям (21). Внешние дифференциалы вторичных форм I

Jω , ωI имеют вид (22) и (23). Итак, над областью V построим главное расслоение G(V) – расслоение центропроективных реперов, типовым слоем которого является подгруппа стационарности G точки А. Расслоение G(V) содержит подрасслоение линейных реперов L(V) со структурными уравнениями (21) и (22). Зададим связность в главном расслоении G(V) cпособом Лаптева. Рассмотрим формы фундаментально-групповой связности в G(V):

.Г~,Г~ KJKJJ

KIJK

IJ

IJ ω−ω=ωω−ω=ω (3)

Компоненты объекта связности Г={ IJIJK Г,Г } удовлетворяют

дифференциальным уравнениям

,ГГГ,ГГ KIJKK

KIJIJ

LIJKLJ

IKK

IJ

IJK ω=ω+Δω=ωδ−ωδ−Δ (4)

где оператор Δ действует обычным образом. Из уравнений (4) следует, что объект Г содержит простейший подобъект Г1={ I

JKГ } – объект линейной связности.

Структурные уравнения форм связности (3) запишем в виде

KJIJKJ

JII

LKIJKL

IK

KJ

IJ R~~~D,R~~~D ω∧ω+ω∧ω=ωω∧ω+ω∧ω=ω , (5)

причем компоненты объекта кривизны R={ IJKIJKL R,R } связности Г

имеют следующие выражения:

L]IKJ[L]JK[IIJK

M]JL

IK[M

I]KL[J

IJKL ГГГR,ГГГR +=+= (6)

(квадратные скобки означают альтернирование по крайним индексам). Продолжая дифференциальные уравнения (4), получим

сравнения по модулю базисных форм ωI:

О.О. Белова

23

.0ГГГ2ГГ

,0ГГГГГ

IKJJIKKIJLLIJKIJK

MKMJK

ILJ

ILKK

IJLL

IJK

IJKL

≡ω+ω+ω+ω+Δ

≡ωδ−ω+ω+ω+Δ (7)

Учитывая сравнения (7) и равенства (6), находим дифференциальные сравнения, которым удовлетворяют компоненты объекта кривизны R:

0RR,0R LLIJKIJK

IJKL ≡ω+Δ≡ , (8)

т.е. объект кривизны R является тензором, содержащим подтензор { I

JKLR }. Произведем оснащение Бортолотти [1] (нормализацию Нордена

[2]) области V, которое состоит в присоединении к каждой точке А гиперплоскости Рn-1, не проходящей через А. Определим гиперплоскость Рn-1 совокупностью точек ВI= AI+λIA. Находя дифференциалы точек ВI и учитывая относительную инвариантность гиперплоскости Рn-1, получим дифференциальные уравнения компонент оснащающего объекта λ= {λI}: ΔλI+ωI= λIJωJ. (9)

Дифференциальные уравнения (4; 9) позволяют найти первый

охват IJ01

IJK

01Г,Г{Г = } объекта связности Г квазитензором λ:

JIKK

IJ

0IJK λδ−λδ−=Γ , (10)

JIIJ01Г λλ−= . (11)

Продолжая дифференциальные уравнения (9), получим сравнения ΔλIJ+λIωJ+λJωJ ≡ 0. (12)

Учитывая в уравнении (9) равенства (3), находим выражения ковариантного дифференциала объекта λ относительно групповой связности, задаваемой объектом Г: J

IJI ωλ∇=λ∇ , где компоненты ковариантного дифференциала имеют вид

IJIJII

~~d ω+ωλ−λ=λ∇ ,

а ковариантные производные выражаются по формулам

.IJKIJKIJIJ Γ−Γλ+λ=λ∇ (13)


24

С помощью структурных уравнений (5) находим внешние дифференциалы от компонент ковариантного дифференциала:

D ,T~ KJIJK

JIJI ω∧ω+ω∧λ−∇=λ∇

где .RRT L

IJKLIJKIJK λ−= (14) Теорема 1. Объект неабсолютных перенесений [3] Т={ IJKT }

образует тензор. Действительно, учитывая дифференциальные сравнения (8),

получим сравнения Δ IJKT ≡ 0. Действуя оператором Δ на ковариантные производные (13),

получим, что они образуют тензор, т. е. Δ IJλ∇ ≡ 0. Приравнивая

выражения (13) нулю, подставляя туда охват IJK

0Г (10), находим

второй охват IJ02

IJK

02Г,Г{Г = } компонент связности Г, где

IJ02Г = λIJ –2λIλJ. (15)

Третий охват IJ03

IJK

03Г,Г{Г = } строим при помощи уравнений (4) и

сравнений (12), тогда

IJ03Г = –λIJ. (16)

Теорема 2. Оснащение Бортолотти (нормализация Нордена) области V индуцирует центропроективные связности трех типов в расслоении центропроективных реперов G(V), ассоциированном с областью V проективного пространства Рn.

Следствие 1. Связности трех типов совпадают тогда и только тогда, когда выполняется следующее условие: λIJ= λJλJ.

Следствие 2. Связность 1-го типа является средней по

отношению к связностям 2-го и 3-го типов, т.е. 1Γ =

2

32Γ+Γ .

Замечание. Аналогичный результат получен в статье [4]. Из формул (7; 10; 11; 14 – 16) находим выражения объекта Т в рассмотренных связностях:

О.О. Белова

25

IJK01T = 0, ),(

21T IJKIKJJIKKIJIJK

02λλ−λλ+λλ−λλ= IJK

03T = 0.

Дадим геометрическую интерпретацию связности 1-го типа. Рассмотрим дифференциалы точек ВI:

dBI = [ JK

IJK

JIK

JI

JI B])(~ ωλδ+Γ+ω+θδ +

+[ JJI

KIJKIJI )( ωλλ−Γλ−Γ+λ∇ ]A.

Учтем построенные охваты:

dBI = (θ − λKωK)BI +0

JI

~ω BJ + I

01λ∇ A. (18)

Теорема 3. Гиперплоскость Бортолотти Рn-1 в связности 1-го типа переносить параллельно нельзя.

Доказательство. Приравнивая нулю компоненты ковариантного

дифференциала I

01λ∇ = 0, получим dBI= […] J

I BJ, т.е. гиперплоскость Рn-1 остается на месте.

Теорема 4. Подобъект линейной связности 10Γ характеризуется

центральным проектированием гиперплоскости Рn-1+ dPn-1, смежной с гиперплоскостью Рn-1, из центра А:

1nA

1n1n10

PdPP: −−− ⎯→⎯+Γ .

Доказательство следует из формулы (18), так как при проектировании из центра последнее слагаемое исчезает, а

остальные существенные слагаемые определяются формами 0

IJ

~ω . Теорема 5. Связность 1-го типа принадлежит пучку [5]

связностей 1-го типа. Доказательство. В равенстве (17) введем обозначения

lIJ = ГIJ JIKIJK λλ−Γλ− . Действуя оператором Δ, получим, что объект

l = {lIJ} является тензором: ΔlIJ ≡ 0. Обращение в нуль тензора l определяет принадлежность групповой связности Г пучку 1-го типа,

объект которого обозначим 1Γ , тогда .

101Γ∈Γ


(17)


26

1. Bortolotti E. Connessioni nelle varieta luogo di spazi // Rend. Semin. Fac.

Sci. Univ. Cagliari. 1933. № 3. C. 81 – 89. 2. Норден А.П. Пространства аффинной связности. М.; Л., 1950. 3. Шевченко Ю.И. Оснащения центропроективных многообразий.

Калининград, 2000. 112 с. 4. Белова О.О. Связности трех типов в расслоении, ассоциированном с

многообразием Грассмана // Проблемы мат. и физ. наук. Калининград, 2001. С. 3 – 5.

5. Скрягина А.В. Пучок связностей 1-го типа, индуцированный оснащением Бортолотти плоскостной поверхности // Там же. 2000. С. 35 – 38. O. Belova

CONNECTIONS OF THREE TYPES IN THE BUNDLE OVER AREA OF THE PROJECTIVE SPACE

In the projective space the area described by a point is concidered. Over area there is a main bundle, standard fiber which one is a subgroup of a stationarity of a point. In this bundle preset fundamental-group connection on the Laptev. It is proved, that rigging of Bortolotti (the normalization of the Norden) considered area induces centerprojective connections of 3 types in associate bundle. The conditions of their coincidence are obtained. The geometrical interpretation of induced connection of 1-st type is given.

Работа поддержана грантом Минобразования РФ (СПб КЦФЕ),

кандидатский проект М03–2.1К–550.

УДК 514.75

С.Ю. Волкова (Балтийский военно-морской институт)

СКОМПОНОВАННЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОЕКТИВНОГО

ПРОСТРАНСТВА

Изучается специальный класс скомпонованных трехсоставных распределений проективного пространства Pn [1], который назван S-распределением [2]. Приведено задание S-распределения в репере первого порядка R1. Дана геомет-рическая интерпретация голономности основных

С.Ю. Волкова

27

структурных распределений S-распределения. Рассмотрен двойственный образ регулярного S-распределения и двойственные проективные связности, ассоциированные с S-распределением. Введены в рассмотрение четыре новых класса регулярных гиперполос проективного пространства.

Во всей работе индексы пробегают следующие значения:

nLKJ ,1,, = ; ;,1,,,;,1,,,;,0,, rtsqpmrlkjinLKJ =+==

;1,1,, −+= nmγβα ;,1,ˆ,ˆ;1,1, nrvunrvu +=−+= ω)

;,1ˆ,ˆ,ˆ nm +=γβα ;,1,, mcba = .1,1,,);,1;,1(ˆ −=+= nnmrA τσρ 1. Выделим специальный класс H-распределений [1], для

которых М-распределение скомпоновано [3], т.е. ,)()( XXLX =∩Λ )]X(L),X([Λ )(XM= . Этот класс H-

распределений обозначается символом H(Λ,L) [1]. Кроме того, потребуем, чтобы а) характеристика Ф(Х) (Ф-плоскость) гиперплоскости Н(Х), полученная при смещении центра Х вдоль интегральных линий Λ-распределения, проходила через плоскость L(X); б) характеристика )(XΨ (Ψ -плоскость) гиперплоскости Н(Х), полученная при смещении центра Х вдоль линий L-распределения, проходила через плоскость Λ(X), что в результате приводит к условиям .0,0 =Λ= n

pinipL (1)

Условия (1) выделяют специальный класс скомпонованных H(Λ,L)-распределений, которые назовем S-распределениями [2].

Репер 1-го порядка выбираем так, что

,0AX ≡ ),(}{ 0AAp Λ⊂ ),(}{ 0ALAi ⊂ )()( 001 AAAdef

mn χχα =⊂ −− ,

где )( 0Aχ (χ-плоскость) – характеристика гиперплоскости Н(А0) при смещении центра А0 вдоль интегральных кривых М-распределения. Имеем

.0,0,, 00 ==== nj

np

KiK

iKpK

p HHHH αααααα ωωωω (2)

В силу условий (1; 2) S-распределение в Pn относительно репера R1 задается следующим образом:


28

,, ˆ0ˆ

ˆ0ˆ

ˆ0ˆ

ˆ0ˆ

ˆ0ˆ

ˆ0ˆ

unui

unui

unui

ni

AnAp

AnAp

AnAp

np HMLHM ωωωωωωωω =====Λ=

,, 0000K

iKK

iKiK

pKK

pKp MLM ωωωωωω αααααα ===Λ= (3)

.,,,, 00ˆ

0ˆ00Ki

KiKp

KpnnKp

iKp

iKi

pKip HHHL ωωωωωωωωωω αααα

ββαα ====Λ=

Системы величин },,,,,{ ˆˆˆ1np

iKipKaK

nui

nAp HLLГ βα

α ΛΛΛ= , ,{ 12 ГГ =

,aKHα },,,,, ˆˆˆ

nL

piKL

ipKLaKL

nKui

nKAp HLLL βα

αΛΛ образуют геометрические

объекты [4] соответственно 1-го и 2-го порядков S-распределения. 2. Используем систему из (n+1)2 форм Пфаффа J

Kω [5]:

,,,1

1 00000

000

00 nn

nnKKn

ωωωωωωω ==Φ+

−=

,, 00000 q

pqn

pn

nnqn

pqn

nq

pqn

pp ωωωωωω αα Λ−=ΛΛ+ΛΛ+=

,, 0000000nn

nnnn

knikn

nk

ikn

ii HHLLLL ωωωωωωω βαβααα

α +=++=

,, 00α

βαβ ωωωω nnkikn

in HL −=−= ,,0 q

kikn

nqp

ip

qn

nqpp L ωωωω Λ−=Λ=

,,,1

1 00

0 kn

nkii

qn

nqpp

KK

nn

nn LH

nωωωωωωω β

αβα =Λ−=Φ+

−=

,,1

100

00

qnqp

np

KK

tp

KnqpK

tqn

tp

tp n

ωωωδωωω Λ−=Φ+

−ΛΛ+= (4)

,,1

10

00

jq

pqn

nji

pi

KK

li

KnjiK

ljn

li

li L

nLL ωωωδωωω Λ−=Φ

+−+=

,,, 00 jn

jin

innk

nnkii LHHL ωωωωωω β

βααβαβα −==−=

,,, 0β

βααβ

βααβ

βαα ωωωωωω nnq

npqn

pk

nikn

i HHHL −=Λ−=−=

.1

10

00

KK

KnKn n

HH ωδωωω βαγα

βγβα

βα Φ

+−+=

Формы JKω удовлетворяют структурным уравнениям проективного

пространства и задают инфинитезимальные перемещения тангенциального репера }{ Jτ , где K

KJJD τωτ = . В статье [5]

доказано, что преобразование JK

JKJ ωω →: форм J

Kω проективного


29

пространства по закону (4) является инволютивным, т.е. J = J-1. Имея в виду эту инволютивность, будем говорить, что пространства nP и

nP являются двойственными [6]. Дифференциальные уравнения

регулярного S -распределения, двойственного данному регулярному S-распределению, имеют вид, аналогичный уравнениям (3), (только все формы и функции, входящие в уравнения (3), пишутся с чертой сверху). Доказана

Теорема 1. Регулярное скомпонованное S-распределение проективного пространства nP во второй дифференциальной окрестности его образующего элемента индуцирует 1) проективное пространство nP , двойственное исходному проективному пространству nP относительно инволютивного преобразования J

форм JKω по закону (4); 2) скомпонованное распределение nPS ⊂ ,

двойственное исходному. На основании работы [6] доказаны следующие три теоремы. Теорема 2. На оснащенном в смысле Картана базисном Λ-рас-

пределении данного S-распределения индуцируется первая линейная

проективная связность 1γ , определенная путем проектирования.

Слоевые формы qp

1ω соответствующего пространства

проективной связности rnP ,1

имеют вид

,,1

000

1np

qn

qp

qp

npn

pp ωνωωωνωω −=−=

,, 00

000

000

10000

1n

nv

vnpn

vpvpp xx ωμωωωωμωωω −−=−−=

где ., 000000000 KnKn

vnvp

pnn

vnvnn xvxx ωμωωωμμ =+−+∇Λ−= При любом

смещении центра S-распределения оснащающая плоскость

)(1pnrn vC −− в смысле Картана Λ-распределения не выходит из

нормали 1-го рода тогда и только тогда, когда она неподвижна.


30

При этом плоскость )(1pnrn vC −− является плоскостью Кенигса

нормали pnv , а пространство rnP ,

1 является плоским.

Теорема 3. Оснащенное в смысле Картана регулярное базисное Λ-распределение данного S-распределения в nP , кроме первой

линейной связности проективного типа ,1γ в случае симметрии

основного тензора npqΛ индуцирует еще две линейные связности

,2γ ,

3γ проективного типа, определяемые соответственно

системами форм ,,, 0

1

0

11200

100

2

0

1

0

2vt

pvqn

spqtsn

tp

tp

pp Cb ωωωωωωωω Φ++===

;)()( 0

1

0

10

10

2vs

nnstt

tpv

qsn

nspqt

nspq

tsnpp vbbvCbCb ωωωω +Φ+++=

,,, 0

1

0

11300

100

3

0

1

0

3vt

pvqn

spqtsn

tp

tp

pp CCb ωωωωωωωω ++=== (5)

,)()( 0

1

0

10

10

3vs

nnstt

tpv

qsn

nspqt

nspq

tsnpp vbbCvCbCb ωωωω ++++=

где nvn

vv000

1ωωω Λ−= . При этом а) пространства

1

,rnP и rnP ,

3 являются

двойственными; б) пространства проективной связности 1

,rnP и rnP ,

2

двойственны тогда и только тогда, когда 00 =+=Φ tpv

tvp

tpv xH δ . В этом

случае все три пространства 1

,rnP , rnP ,

2, rnP ,

3 попарно двойственны

между собой. Теорема 4. Оснащение в смысле Картана а) регулярной r-мерной

гиперполосы )(MHr , оснащенной полем касательных m-мерных плоскостей М, 12 −<≤ nm , б) регулярной r-мерной гиперполосы

)(LHr , в) r-мерной полосы )(mrV порядка m, оснащенной полем касательных гиперплоскостей Н, г) вырожденной центрированной распадающейся m-мерной гиперполосы ранга r индуцирует два

пространства проективной связности 1

rrP и 2

rrP , ассоциированных с указанными многообразиями (а – г), причем эти пространства двойственны относительно преобразований (5).


31

3. а) Система уравнений 0ˆ0 =vω , ассоциированная [5] с S-рас-

пределением, вполне интегрируема тогда и только тогда, когда обращается в нуль тензор неголономности базисного Λ-распре-

деления )(21 ˆˆˆ v

qpvpq

vpqr Λ−Λ= . В этом случае проективное

пространство Pn расслаивается 1) на (n-r)-параметрическое семейство регулярных гиперполос )(LSH r специального класса, 2) на (n-m)-параметрическое семейство вырожденных центрированных распадающихся m-мерных гиперполос r

mH ранга r [1].

б) Система уравнений 0ˆ

0 =Aω , ассоциированная с S-рас-пределением (L-распределением), вполне интегрируема тогда и только тогда, когда тензор неголономности A

ijrˆ оснащающего М-рас-

пределения равен нулю и М-распределение несет двухкомпонентную сопряженную систему (Λ,L) [2]. Проективное пространство Pn в этом случае расслаивается на (n-m)-параметрическое семейство m-мерных гиперполос mH , базисная поверхность каждой из которых несет двухкомпонентную сопряженную систему ),( lrS [2]. Такие гиперполосы мы называем касательно (r,l)-сопряженными [7] и обозначаем mSH . Имеет место

Теорема 5. Регулярная гиперполоса mSH во второй дифференциальной окрестности ее образующего элемента индуцирует проективное пространство )( mn VP , двойственное проективному пространству )( mn VP относительно инволютивного преобразования

форм JKω [7]. Определение. Регулярную гиперполосу mH назовем нормально

(l,r)-кооснащенной гиперполосой mNH , если ее базисная поверхность оснащена двумя полями нормальных плоскостей

)(AN ln− и )(AN rn− таких, что в каждой точке mVA∈ выполняется соотношение )()()( ANANAN mnrnln −−− =∩ , где )(AN mn− - нормаль 1-го рода гиперполосы mH в смысле Нордена-Чакмазяна.

Теорема 6. В дифференциальной окрестности 3-го порядка касательно (r,l)-сопряженная гиперполоса mSH порождает относительно инволютивного преобразования структурных форм


32

по закону J1 [7] двойственный ей образ m

defm NHSH = – нормально

(l,r)-сопряженную гиперполосу mNH , определяемую уравнениями

,,,,,0ˆ0

bipb

ip

qpqp

jnij

ni

qnpq

np L ωωωωωωωωω ααα Λ=Λ==Λ==

jij

iqpq

pbpib

pi

jiji

n HHLL ωωωωωωωωω αααααα

α ===== ,,,,0

относительно тангенциального репера }{ Jτ .

Cписок литературы

1. Попов Ю.И. Основы теории трехсоставных распределений проективного пространства. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1992. 172 с.

2. Волкова С.Ю. ,(H Λ L)-распределения проективного пространства // Диф. геом. многооб. фигур. Калининград: Изд-во КГУ, 1991. Вып. 22. С. 23 – 25.

3. Норден А.П. Теория композиций // Пробл. геометрии. М.: ВИНИТИ, 1978. Т. 10. С.118 – 145.

4. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий // Тр. моск. матем. о-ва. М., 1953. № 2. С. 275 – 382.

5. Волкова С.Ю. О двойственных проективных связностях ),(ˆ LH Λ -распределения // Диф. геом. многооб. фигур. Калининград: Изд-во КГУ, 1993. Вып. 24. С. 28 – 37.

6. Столяров А.В. Двойственная теория оснащенных многообразий. Чебоксары: Изд-во Чебоксар. гос. пед. ин-та, 1992. 290 с.

7. Волкова С.Ю. Двойственный образ регулярной гиперполосы mSH // Диф. геом. многооб. фигур / Калинингр. ун-т. Калининград, 1998. Вып. 29. С.16 – 21.

S. Volkova

THE COMPOSED DISTRIBUTIONS OF THE PROJECTIVE SPACE

The special class of the composed three-compound distributions of the projective space is studied, which one is called as S-distribution. The task of S-distribution in a frame of 1-st order is adduced. The geometrical interpretation of a holonomicity of the main structural distributions of S-distribution is given. The dual image of regular S-distribution and dual projective connections, associate with S-distribution is considered. Four


33

new classes regular hyperstrips of the projective space are entered into consideration. УДК 514.75

М.А. Гаер

(Иркутский государственный университет)

ТЕОРИЯ КРИВЫХ И ГИПЕРПОВЕРХНОСТЕЙ В СЕМИМЕРНОМ

КОНФОРМНО-ОКТАВНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

В семимерном конформно-октавном пространстве V проведена канонизация репера кривой и гиперповерхности. Дана геометрическая характеристика канонического репера и инвариантов в пространстве V. Найдены кривые и гиперповерхности, для которых полученные реперы нельзя построить.

Введение

Рассмотрим конформно-октавное семимерное пространство V с фундаментальной группой ( )}0{\2 RG ⋅ , в котором с точностью до скалярного множителя определено векторное произведение [,]. Для октавного репера 7,1, =iei выполняются соотношения

[ ] 321, eee = , [ ] 541, eee = , [ ] 642 , eee = , [ ] 743, eee = , [ ] 231, eee −= , [ ] 451, eee −= , [ ] 761, eee −= , [ ] 671, eee = , [ ] 132 , eee = , [ ] 752 , eee = , [ ] 462 , eee −= ,

[ ] 572 , eee −= , [ ] 653, eee −= , [ ] 563, eee = , (1)

[ ] 473, eee −= , [ ] 154 , eee = , [ ] 264 , eee = , [ ] 374 , eee = , [ ] 365 , eee −= , [ ] 275 , eee = , [ ] 176 , eee −= .

Тройка векторов 321 ,, fff называется полурепером, если она

порождает ортогональный октавный репер, т. е. 11 fe = , 22 fe = ,


34

34 fe = , ],[ 213 ffe = , ],[ 315 ffe = , ],[ 326 ffe = ,

]],[[ 32,17 fffe = . Всякий конформно-октавный репер имеет вид

7711 ,, eeee λλ =′

=′

Κ , где λ – произвольный ненулевой

множитель, а 71 ,, ee Κ – октавный репер, т. е. получается преобра-зованием подобия из октавного репера.

Скалярное произведение < , > определяется с точностью до

константы, причём ⎩⎨⎧

≠=

=>′′<jiесли ,jiесли ,

e,e ji 0

2λ.

Хотя понятие длины отсутствует в нашем пространстве, но имеет смысл ввести термин векторы, равные по длине.

§1. Канонизация репера кривой

Канонизацию репера кривой проводим по методу внешних форм

[2] и получаем следующие деривационные формулы канонического репера кривой:

,;, 43322112

2111

1 eaeaeaedsedeea

dsede

dsdr

+++−=+==

,, 76655441234

5331223 eaeaeaeaea

dsedeaeaea

dsed

++++−=++−=

( ) ,1 75665144335 eaeaeaeaea

dsed

−+−+−−=

( ) ( ) ,1 7426156456 eaaeaeaea

dsed

+++++−=

( ) 7164255467 eaeaaeaea

dsed

++−+−= .

§2. Геометрическая характеристика

канонического репера и инвариантов кривой

Прежде всего определим инвариантный параметр s. Заметим, что мы не можем в качестве натурального параметра взять длину дуги, так как в рассматриваемом пространстве скалярное произведение

(

М.А. Гаер

35

векторов определено с точностью до константы. Тогда определим натуральный параметр как величину угла между касательными

векторами в начальной и текущей точках: ( ) ( )( ) ( )trtr

trtrs

′⋅′

′′=

0

0 ,arccos .

Таким образом, кривая становится параметризованной и тогда 1e определяется как вектор скорости.

Так как { }521 e,e,e − полурепер, то достаточно определить геометрический смысл этих базисных векторов, а остальные – алгебраически через них выражаются. Итак, 1e − направляющий

вектор касательной: re ′=1 . Из формулы (23) следует, что 2e –

вектор, ортогональный к 1e и лежащий в двумерной

соприкасающейся плоскости: rare ′−′′= 12 . Далее,

[ ] [ ]r,re,ee ′′′== 213 . Найдем вычислительные формулы для a1 и a2. Они легко

получаются из деривационных формул (2): 21

,

r

rra

′

′′′= , [ ]

[ ] 22

r,r

r,r,ra

′′′

′′′′′′= .

Геометрически это означает, что a1 – кривизна проекции кривой в двумерную плоскость { }21,ee ; a2 – кручение проекции кривой в 3-

плоскость { }321 e,e,e . И наконец, осталось дать геометрическую интерпретацию третьему

вектору полурепера – вектору 5e . Положим 321 eReReRU ⋅⊕⋅⊕⋅= . Тогда }Uu,w,u/Vw{W ∈∀=><∈= 0 – ортогональное дополнение к

U. В этих обозначениях wudsed

+=3 , где u – проекция dsed 3 на 3-плос-

кость U, а Ww∈ . Таким образом, 53eaw = . Итак, сначала находим

вектор dsed 3 , затем проецируем его в 3-плоскость U, находим вектор

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= u

dsedw 3 и в качестве вектора 5e берём вектор, коллинеарный w и

равный по длине 1e .


36

Далее, [ ]154 e,ee = , [ ]426 e,ee = , [ ]437 e,ee = , 2

5

54

4

e

e,ea

′= ,

26

645

,

e

eea

′= ,

27

746

,

e

eea

′= .

§3. Основная теорема

В процессе построения канонического репера выяснилось, что рассматриваемый репер не строится для точки, прямой, а также для кривых, которые лежат в трёхмерной плоскости { }321 ,, eee , являющейся подалгеброй в V.

Стандартными рассуждениями доказывается основная Теорема. Задание произвольных гладких функций 621 ,,, aaa Κ

определяет кривую с точностью до изоморфизма.

§4. Канонизация репера гиперповерхности

Деривационные формулы гиперповерхности выпишем в следующем виде:

.6,1,,,, 777 =+−=+Ω=Ω= jieeedeeederd jjijjiii

i ϕθθ

При каждом фиксированном значении i набор jiΩ порождает

линейный оператор iA в касательной гиперплоскости. Кроме того, формы jθ образуют оператор B, ϕ – линейная дифференциальная форма, которая не является нулевой, так как пространство конформно.

Нам достаточно определить три из семи базисных векторов, составляющих полурепер. Канонизация проводилась по методу внешних форм и параллельно геометрически. Таким образом, получилось: 7e – вектор нормали к гиперповерхности; 1e – собственный вектор оператора B, принадлежащий собственному значению 10 =λ ; 2e – выбирается так, что линейная оболочка,

натянутая на { }543 ,, eee , содержится в ядре оператора 1A . Здесь

М.А. Гаер

37

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

321

616

615

614

613

612

615

515

514

513

512

614

514

414

213

412

613

513

413

413

312

612

512

412

312

212

00000000

000001

cccaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

B ,

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

000001

000

626

625

624

623

622

621

526

525

524

523

522

521

426

425

424

423

422

421

326

325

324

323

322

321

226

225

224

223

222

221

321

1

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaccc

A ,

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−−−−−−−−

−−−−−−

=

612

512

412

312

212

526

316

525

315

524

314

523

313

522

312

521

536

535

435

335

532

531

436

435

434

334

432

431

336

335

334

333

332

331

321

226

225

224

223

222

221

2

0

000

aaaaaaaaaaaaaaaa

aaaaaaaaaaaaaaaaaacccaaaaaa

A.

Остальные векторы подвижного репера выражаются алгебраически через октавное произведение: [ ]213 ,eee = ,

[ ]734 ,eee = , [ ]275 ,eee = , [ ]716 ,eee = . Исключаются гиперповерхности, для которых а) линейный

оператор B имеет собственное значение 10 =λ кратности не меньше 2; б) линейный оператор B имеет собственное значение 00 =λ .


1. Постников М.М. Лекции по геометрии. 5-й семестр. М., 1982. 2. Щербаков Р.Н. Основы метода внешних форм и линейчатой

дифференциальной геометрии. Томск, 1973.

M. Gaer

THEORY OF CURVES AND HYPERSURFACES IN 7-DIMENSIONAL CONFORMALY-OCTONION SPACE

We construct canonical frames of curves and hypersurfaces in 7-di-

mensional conformaly-octonion space. A geometric characteristic of these frames and invariants of curves and hypersurface are given. We also define all curves and surfaces such that the canonical frames not exist.


38

УДК 514.76

А.И. Долгарев (Пензенский государственный университет)

ПОВЕРХНОСТИ, АНАЛОГИЧНЫЕ ПЛОСКОСТЯМ,

В НИЛЬПОТЕНТНОМ ОДУЛЯРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Рассматриваются аналоги плоскостей в одулярном нильпотентном пространстве. В общем случае кривизна этих поверхностей отлична от нуля.

Одуль на произвольной алгебраической структуре определяется в

результате задания внешней операции [1]. Одули на группах Ли обобщают линейные пространства. Все 3-мерные разрешимые одули на группах Ли приведены в работе [2], среди них содержится единственный нильпотентный одуль – сибсон. Заменяя линейное пространство одулем в аксиоматике Г. Вейля аффинного пространства, получаем вейлевские одулярные пространства, кратко ВО-пространства [3]. На ВО-пространствах определено касательное отображение в одуль, тем самым ВО-пространства включают римановы пространства как частный случай. ВО-пространство, одулем которого является нормированный сибсон, называется ЕС-пространством. Геометрии ЕС-пространства посвящены работы [4 – 6]. Не всякие три неколлинеарные точки ЕС-пространства определяют плоскость. Ниже определены квазиплоскости – аналоги плоскости; а также рассматриваются их свойства. Нормальная кривизна квазиплоскости отлична от нуля.

§ 1. ЕС-пространство

1. Сибсон. На многообразии 3R троек действительных чисел сибсон

Σ задается операциями: ),,(),,(),,( uywzvyuxwvuzyx ++++=+ ,

R),2

)1(,,(),,( ∈−

+= tttxyztytxtzyxt .

А.И. Долгарев

39

Элементы сибсона называются сибсами. Нулевой сибс: )0,0,0(=ϑ ; ),,( zyx− = ),,( xyzyx +−−− . Обозначим α=)0,0,1( , β=)0,1,0( , γ=)1,0,0( . Разложение γβασ zyx ++= сибса σ = ),,( zyx

однозначно, Б = ),,( γβα – базис сибсона Σ . Пусть ),,( wvu=δ . Коммутатор σδσδσδ ++−−=],[ сибсов σ и

δ равен ),0,0(],[ xvuy −=σδ . Имеем γαβ =],[ , значит, сибсон порождается двумя сибсами α и β : βα ,=Σ . Два сибса σ , δ порож-

дают 2-мерный подсибсон δσ , , если и только если они перестано-вочны. Нормой σ сибса ),,( 21 xxx=σ называется x=σ , если 0≠x ;

σ = 2221 )()( xx + , если 0=x . Подсибсон γα , является

галилеевым векторным пространством, подсибсон γβ , является

евклидовым векторным пространством, подсибсон βα , совпадает с Σ . Сибсонная функция )(tσσ = = ))(),(),(( 21 txtxtx , I∈t R⊆ , обобщает векторную функцию. Производная сибсонной функции найдена в работе [7]:

)(tσ ′ = )))()(21)(()(),(),(( 1121 txtxtxtxtxtx −′′+′′′ .

2. ЕС-пространство. Точка O и базис Б сибсона составляют репер ),,,(B γβαO= ЕС-пространства. Всякой паре точек BA, ЕС-пространства соответствует сибс AB . Координатами точки M в репере В называются координаты сибса OM в базисе Б. Сибс AB равен AB = ,ab,ab( 11 −− ))( 122 aabab −−− , где ),,( 21 aaaA = ,

),,( 21 bbbB = . Расстояние AB между точками A и B равно норме

сибса AB . Точка A и сибс ϑσ ≠ порождают прямую σ,A = }R,|{ ∈= ttAMM σ . Две различные точки определяют единственную прямую. Пусть AC=δ , σ,AC∉ , δσδ ++− =

τσ δ = . Прямые σ,C и τ,C параллельны прямой σ,A [6]. Точка A и перестановочные сибсы ρσ , порождают

плоскость ЕС-пространства


40

ρσ ,,A = })v,u(,vuAM|M{ 2R∈+= ρσ . Неколлинеарные точки CBA ,, определяют плоскость, если и только если сибсы AB и

AC перестановочны. Существуют координатные плоскости γα ,,O (это галилеева плоскость) и γβ ,,O (евклидова

плоскость), не существует плоскости, порожденной точкой O и сибсами βα , . Пусть ),,( 21 ccc=σ ; параметрические уравнения

плоскости σγ ,,A таковы: acvx += , 11 avcy += ,

2121

2)1( auvcavcvvccz ++++

−= ; уравнения нелинейны.

3. Кривые и поверхности. Регулярная кривая класса 3C ЕС-пространства определяется сибсонной функцией )(sσ = ))(),(,( sysxs ,

RI ⊆∈s . Векторная функция )(srρ = ))(),(( sysx задает проекцию кривой )(sσ на евклидову плоскость γβ ,,O . Кривизна и кручение кривой )(sσ (см. [6]) соответственно равны

221 )

21( xxyxk &&&&&&& −++= , 2

12

)()(k

xyxxyxk&&&&&&&&&&&&& −−−

= .

Регулярная поверхность класса 3C ЕС-пространства задается сибсонной функцией: ),( vuσ = )),(),,(,( vuyvuxv , 2RD),( ⊆∈vu . Ее проекцией на евклидову плоскость является векторное поле

),( vurρ = )),(),,(( vuyvux . Поверхность не имеет касательной плоскости ни в какой своей точке [6]. Нормальная кривизна

поверхности ),( vuσ равна CBqAqk ++= 22 , где dvduq = , nrA uu

ρρ= ,

nrB uvρρ

= , nxxrC vvvvvρρ ))

21(( γ−+= и ),(

u

u

u

u

rx

ry

n ρρρ

−= есть единичный

сибс нормали поверхности [6].

§ 2. Квазиплоскости


41

1. Определение квазиплоскостей. Рассмотрим единичные сибсы: )sin,cos,0( ϕϕη = , ),,1( 21 cc=ξ . Они не перестановочны, поэтому не

определяют плоскость. Зададим поверхность, определяемую точкой P и сибсами η , ξ , ξη , ηξ . Пусть всякая точка M поверхности определяется равенством TMPTPM += , где (а) ξvPT = , ηuTM = ;

(б) ηuPT = , ξvTM = ; (в) ξvPT = , ξηuTM = ; (г) ηuPT = , ηξvTM = . Эти поверхности называются квазиплоскостями.

Свойство. Квазиплоскости описываются следующими функциями: (а), (в) ),,(),( 2

222111 dgvubvadubvavvu +++++=σ ;

(б) ),,(),( 22

22111 dfuvgvubvadubvavvu ++++++=σ ;

(г) ),,(),( 222111 gvubvadubvavvu ++++=σ .

В случае )0,1,0(== βη и )0,0,1(==αξ имеем следующие квазиплоскости: (ао),(во) ),( vuσ = )0,,( uv ; (бо) ),( vuσ = ),,( uvuv − ; (го) ),( vuσ = ),,( vuv − .

2. Свойства квазиплоскостей. Выполняются 2.1. Теорема. Нормальная кривизна квазиплоскостей отлична от

нуля; в формуле кривизны 0== CA , 0≠B , Bqk 2= . В случаях (а), (в),

(г) ϕ2cos=B ; в случае (б) ϕ2cos1

urB ρ= , )cossin,(cos ϕϕϕ vru −=

ρ .

При 01 =c и 2πϕ = квазиплоскости (а), (в), (г) являются галилеевыми плоскостями и имеют нулевую кривизну.

2.2. Свойство. Квазиплоскости (ао), (во), (го) имеют постоянную

нулевую кривизну. Квазиплоскость (бо) имеет кривизну 21

2

v

qk+

= .

2.3. Теорема. Квазиплоскости являются цилиндрическими поверхностями, их образующие есть прямые евклидовых плоскостей ЕС-пространства, направляющие есть v-линии, представляющие собой галилеевы циклы – прямые ЕС-пространства. В сечениях по-верхностями 0=y лежат линии ненулевой кривизны и ненулевого кручения.


42

Линия )(vσ = )0,)(,( 122

22

11 ddgvva

bbvav +++− есть указанное

сечение квазиплоскости (а). Ее кривизна и кручение соответственно равны

22

2

2

11 )22(4 ggvag

bbk −++= , 2

22

2

2 )22(44

ggvaggk

−++−= .

Кривизна направляющей равна 11 2 agk −= . Сечения ay = квази-

плоскости (бо) таковы: ),,()( avavv −=σ ; 148

221 +−=vav

ak ;

322 4812

vvvk

+−= .


1. Сабинин Л.В. Одули как новый подход к геометрии со связностью //

ДАН СССР. 1977. № 5. С. 800 – 803. 2. Долгарев А.И. Кривые 3-мерных вейлевских одулярных пространств и

кривые евклидовой плоскости // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2001. Вып. 33. С. 25 – 28.

3. Он же. ЕМ-пространства. Дис... канд. физ.-мат. наук. Красноярск, 1991. 95 с.

4. Он же. Кривые одулярного пространства на нильпотентной группе Ли // Труды Математического центра им. Н.И. Лобачевского. Казань, 2000. Т. 5. С. 75 –76.

5. Он же. Поверхности одулярного пространства на нильпотентной группе Ли // Междунар. шк.-семин. по геом. и анализу, посв. 90-летию Н.В. Ефимова: Тезисы докл. Ростов н/Д., 2000. С. 32 – 33.

6. Он же. Дифференциальная геометрия пространства с касательным отображением в одуль галилеевых движений. Саранск, 2002. 50 с. (Препринт №51).

7. Он же. Дифференцирование одулярных функций // Iнтегральнi перетворення та ïx застосування до крайових задач: Зб. наук. пр. Киïв, 1995. Вип. 10. С. 57 – 79.

А. Dolgarew

SURFACES SIMILAR TO PLANES IN NILPOTENT ODULAR SPACE


43

The clones of planes in odular nilpotent space are considered. Generally curvature of these surfaces is distinct from zero. УДК 514.75

Н.А. Елисеева (Калининградский государственный университет)

ПУЧКИ ПЛОСКОСТЕЙ НОРДЕНА-ТИМОФЕЕЕВА

H(П)-РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Рассмотрены построения плоскостей Нордена-Тимофеева, ассоциированные с внутренней нормалью 1-го рода H(П)-рас-пределения [5; 4]. Для оснащающего Н-распределения получены две внутренних нормализации в смысле Нордена-Тимофеева.

Схема использования индексов такова:

, , 0,I K L n= ; , , 1,I K L n= ; , , 1,p q s r= ; , , 1,i j k r m= + ; , , 1,a b c m= ;

, , 1, 1m nα β γ = + − ; , 1, 1u v r n= + − ; , , 1, 1nσ ρ τ = − .

1. Определение [1]. Пару распределений

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ 0

defu u u v q u u Kp p q p v p pKω ω ωΔΛ = ∇Λ −Λ Λ + = Λ ,

ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ 0

defb K

a a b a a aKα α α β α α

βω ω ωΔΜ = ∇Μ −Μ Μ + = Μ

соответственно r-мерных плоскостей Λ (Λ-распределение) и m-мерных плоскостей М (М-распределение) проективного пространства nP с отношением инцидентности 0Α ∈Λ ⊂ Μ ( )1r m n< < − их соответствующих элементов в каждом центре 0A назовем m-полосным распределением Π (Π-распределением), при этом Λ-распределение назовем базисным, а М-распределение – оснащающим. С регулярным П-распределением в первой дифференциальной окрестности инвариантно ассоциируется поле гиперплоскостей ( )1 0nH A− (H-распределение) [2] таких, что 0 0 0 0( ) ( ) ( )A A A A∈Λ ⊂ Μ ⊂ Η . П-

(1)


44

распределение, оснащенное полем Н-плоскостей, назовем H(П)-распределением [1].

В репере 1-го порядка 1R H(П)-распределение задается следующими уравнениями (соответствующие замыкания не выписываются) [3]: 0

n n Kp pKω ω= Λ , 0

i i Kp pKω ω= Λ , 0

Kp pKα αω ω= Λ , ˆ

ˆ 0n n ui iuω ω= Λ ,

0p p K

i iKω ω= Λ , 0K

i iKα αω ω= Λ , ˆ

ˆ 0n n βα αβ

ω ω= Λ , 0p p K

Kα αω ω= Λ , 0i i K

Kα αω ω= Λ .

2. Построение плоскости Нордена-Тимофеева композиции (Λ,Φ) . Фокальное многообразие ( )1 ,n r

r Nϕ − − Φ в нормали 1-го рода

( ) [ ]1 0 1,rN A λ+ = Λ элемента Ф-распределения (Ф-распределение –

распределение плоскостей 1n r− −Φ , где ( )1 0n r A− −Φ – характеристика

гиперплоскости ( )1 0nH A− , полученная при смещении центра 0A вдоль кривых, принадлежащих Λ-распределению [3]) задается уравнениями

0v v nnx xν− = , ( ) ( )0det 0v v n v p v n w v

u pu pu n nu wu n n nx x xδ ν ν ν ν+ Λ −Λ + −Λ = . (3)

Линейная поляра rϕ центра 0A относительно фокального многообразия ( )1 ,n r

r Nϕ − − Φ (3) определяется уравнениями

0v v nnx xν− = , 0 0 0 0,p n

p nx x xσ σ− − = (4)

где ( )0 11

v n vp pv pv nn r

σ ν= − Λ −Λ− −

, 0 0 00K

p p pKσ ω σ ω∇ + = ;

( )0 11

v n u vn nv uv n nn r

σ ν ν ν= − −Λ− −

, 0 0 0 0 00

u p Kn n u p n n nKσ ν ω σ ω ω σ ω∇ + + + = .

Плоскость ( )0r Aϕ (4) пересекает плоскость ( )0AΛ по плоскости

( )1 0r Aϕ − :

0, 0,n vx x= = 0 0 0,ppx xσ− = (5)

которая является нормалью 2-го рода в смысле Нордена элемента Λ-распределения.

Рассмотрим плоскость ( ) ( ) ( )2 0 2 0 1 0,n- n r rA k A Aϕ− − −= ⎡ ⎤⎣ ⎦p ,

натянутую на плоскости ( )1 0r Aϕ − (6) и ( )2 0n rk A− − , где ( )2 0n rk A− − –

(2)

Н.А. Елисеева

45

ось Картана Λ-распределения [3]: 0px = , 0nx = , 0 0 0uux xλ− = , где

0 1 pu uprλ = − Λ , 0 0 0

0K

u u uKλ ω λ ω∇ + = . Плоскость ( )2 0n- Ap :

0nx = , 0 0 0x xσσ− =p , (6)

где 0 0p pσ=p , 0 0

u uλ=p , 0 0 00K

Kσ σ σω ω∇ + =p p , является плоскостью

Нордена-Тимофеева [5] композиции ( ),Λ Φ .

3. Нормализация ( )0,nσ

σpP Нордена-Тимофеева Н-распре-деления.

Сущность соответствия Бомпьяни-Пантази для распределения гиперплоскостных элементов [6; 7] состоит в том, что нормаль 2-го рода, соответствующая в проективитете Бомпьяни-Пантази некоторой нормали 1-го рода, является характеристикой элемента при смещении центра по кривым, принадлежащим распределению этих нормалей 1-го рода.

Пусть плоскость Нордена-Тимофеева ( )0Ap (6), определенная

объектом { }0σp [6], является характеристикой гиперплоскости ( )0AΗ

при смещении центра 0A по кривым, принадлежащим распределению нормалей 1-го рода ( )0AP Н-распределения, определяемых некоторым

геометрическим объектом { }nσP . Построим охват объекта { }n

σP . Предварительно найдем уравнения, определяющие характеристику гиперплоскости ( )0AΗ в репере 1R при смещении центра 0A по кривым

00 0 0 0: , ,n n n

np dσ σω θ ω μ θ θ θ θ= = = ∧P , принадлежащим распределению нормалей ( )0AP . В результате получим

( )0 0n nn nx S xρ σ

σ σρ+ Λ + =P , (7)

где { }, ,n n n nij pqSσρ αβ= Λ Λ Λ ; 0

n n KKS Sσρ σρ ω∇ = [3]; 0

0n n n K

n n nKτ

σ στ σ σω ω ω∇Λ = Λ + +Λ . Плоскость (7) совпадает с плоскостью Нордена-Тимофеева

( )0Ap (6) тогда и только тогда, когда выполняются равенства

( )0 n nn nS ρ

σ σ σρ= − Λ +p P . (8)

(6)


46

В общем случае выполняется [3] соотношение det 0nS Sσρ= ≠ , что

позволяет ввести в рассмотрение обращенный тензор nSστ , удовлетворяющий уравнениям 0

Kn nKS Sρτ ρτω∇ =

и конечным соотношениям n

nS S ρτ τσρ σδ= , n

nS Sτσ τσρ ρδ= .

Свернув уравнения (8) с тензором nSστ , получим

( )0 nn n nSσ στ

τ τ= − + ΛpP , 0K

n n nKσ σ σω ω∇ + =P P . (9)

Итак, ( )2n − − мерные плоскости (7) и ( )0Ap (6) совпадают тогда и только тогда, когда имеет место формула (9) охвата объекта { }n

σP . Отсюда следует, что поле геометрического объекта { }nσP ,

заданное уравнениями (9), определяет поле нормалей 1-го рода Н-распределения. Таким образом, для оснащающего Н-распределения построена нормализация в смысле Нордена-Тимофеева ( )0,n

σσpP ,

т.е. построены поля внутренних нормалей 1-го рода ( )nσP и 2-го

рода ( )0σp Н-распределения, удовлетворяющие соответствию

Бомпьяни-Пантази [7; 6]:

( )0 n nn nS ρ

σ σ σρν ν= − Λ + . (10)

Теорема 1. В дифференциальной окрестности порядка t (t – порядок охвата внутренней нормали { }n

σν 1-го рода H(П)-рас-пределения) к оснащающему H(П)-распределению присоединяется его нормализация ( )0,n

σσpP в смысле Нордена-Тимофеева.

4. Нормализация 0( , )nG gσσ Нордена-Тимофеева Н-распреде-

ления. Аналогично п. 2 фокальное многообразие ( )1 0

mn m Aρ − − в нормали

1-го рода ( )0n mN A− элемента М-распределения задается уравнениями

0a a nnx xν− = , ( ) ( )0det 0a a n a a n c a n

b b b n nb cb n nx x xαα αδ ν ν ν ν+ Λ −Λ + −Λ = . (11)


47

Линейная поляра ( )1 0n m Aρ − − центра 0A относительно фокального многообразия (11) имеет вид: 0a a n

nx xν− = , 0 0 0 0nnx x xα

αρ ρ− − = , (12)

где ( )0 1 a n aa a nmα α αρ ν= − Λ −Λ , 0 0 0

0K

Kα α αρ ω ρ ω∇ + = ,

( )0 1 a n b an na ba n nm

ρ ν ν ν= − −Λ , 0 0 0 0 00

a Kn n a n nK

αα αρ ν ω ρ ω ω ρ ω∇ + + + = .

Плоскость ( )1 0n m Aρ − − (12) пересекает характеристику

( )1 0n m A− −Ε , полученную при смещении центра 0A вдоль интегральных кривых М-распределения [3], по плоскости

( )2 0n m Aρ − − : 0, 0,n ax x= = 0 0 0x xααρ− = , (13)

которая является нормалью 2-го рода Е-распределения. Ось Картана ( )1 0mS A− для Е-распределения [3] задается

уравнениями ˆ 0xα = , 0 0 0a

ax xε− = , (14)

где ( )0 11

na a n an m

α αα αε ν= − Λ − Λ

− −, 0 0 0

0K

a a aKε ω ε ω∇ + = .

Плоскость ( ) ( ) ( )0 2 0 1 0,n-2 n m mA A S Aρ − − −= ⎡ ⎤⎣ ⎦g , натянутую на

плоскости ( )2 0n m Aρ − − (13) и ( )1 0mS A− (14), назовем плоскостью Нордена-Тимофеева композиции ( , )Μ Ε [5; 4], которая задается уравнениями 0,nx = 0 0 0x xσσ− =g , (15) где 0 0

α αρ=g , 0 0a aε=g , 0 0 0

0K

Kσ σ σω ω∇ + =g g .

В проективитете Бомпьяни-Пантази [6; 7], заданном соотношениями (10), нормали 2-го рода ( )0n-2 Ag Н-распределения

соответствует его нормаль 1-го рода { }nσG , где

( )0 nn n nSσ στ

τ τ= − + ΛG g , 0K

n n nKσ σ σω ω∇ + =G G . (16)

n


48

Теорема 2. В дифференциальной окрестности порядка t (t – порядок внутренней нормали { }n

σν 1-го рода H(П)-распределения) к оснащающему Н-распределению присоединяется его нормализация ( ),n

σσG 0g в смысле Нордена-Тимофеева.

По своей структуре построения квазитензоры { }0σp и { }0

σg функционально независимы, что позволяет ввести в рассмотрение (в общем случае нетривиальный) абсолютный тензор { }σL0 :

0 0 0σ σ σ=L p - g , 0 0

0K

Kσ σ ω∇ =L L . Отсюда следует, что в плоскости ( )0AΗ

можно построить однопараметрический пучок ( )U ε плоскостей Нордена-Тимофеева – пучок инвариантных нормалей 2-го рода плоскости ( )0AΗ , который задается уравнениями

( ) ( )0 0 0 0 0U σ σ σ σ σε ε ε= + = + ⋅Lg p - g g . (17)

Теорема 3. Поля объектов { }0σp и { }0

σg определяют в дифференциальной окрестности порядка 2t ≥ ( t - порядок внутренней нормали { }n

σν 1-го рода Н-распределения) поле пучков

( )U ε (17) плоскостей Нордена-Тимофеева – поле пучков нормалей 2-го рода, оснащающего Н-распределения.

Так как поля объектов { }nσν , { }n

σP , { }nσG функционально

независимы (по структуре построения), то справедлива Теорема 4. В дифференциальной окрестности порядка 2t ≥ ( t -

порядок внутренней нормали { }nσν H(П)-распределения) внутренним

образом присоединяются три однопараметрических пучка ( ),n n

σ σν P , ( ),n nσ σν G , ( ),n n

σ σGP нормалей 1-го рода H(П)-рас-

пределения, ассоциированных с нормалью { }nσν , где { }n

σP (9) и

{ }nσG (16) – одномерные нормали 1-го рода Н-распределения,

соответствующие в обобщенном проективитете Бомпьяни-Пантази (10) плоскостям Нордена-Тимофеева p (6) и g (15).

Любая нормаль, принадлежащая одному из пучков ( ),n nσ σν P ,

( ),n nσ σν G , ( ),n n

σ σGP , вместе с нормалью 1-го рода ( )0AΦ порождает


49

[4] двойственную нормализацию базисного Λ-распределения в смысле Нордена-Чакмазяна. Таким образом, имеет место

Теорема 5. С каждой внутренней нормалью { }nσν 1-го рода

H(П)-распределения порядка t ( 2t ≥ ) внутренним образом присоединяются к Λ-распределению три однопараметрических пучка двойственных нормализаций в смысле Нордена-Чакмазяна [8; 9] с общей осью – плоскостью ( )1 0n r A− −Φ .

Аналогично, доказана Теорема 16. С каждой внутренней нормалью 1-го рода { }n

σν

H(П)-распределения порядка 2t ≥ в дифференциальной окрестности того же порядка 2t ≥ внутренним образом присоединяются к М-распределению три однопараметрических пучка его двойственных нормализаций в смысле Нордена-Чакмазяна [8; 9] с общей осью – плоскостью ( )1 0n m A− −Ε .


1. Елисеева Н.А. Полосные распределения проективного пространства //

Тр. IX Межд. конф. женщин-математиков. Н. Новгород, 2001. Т. 9. Вып. 1. С. 49 – 54.

2. Шейдорова Н.М. Поле гиперплоскостей, ассоциированное с М(Λ)-распределением проективного пространства // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1986. Вып. 17. С. 103 – 105.

3. Елисеева Н.А. ( ) -ΠH распределения проективного пространства. Деп. в ВИНИТИ РАН. 01.02.2002. № 206-В2002.

4. Попов Ю.И. Инвариантные подпространства, ассоциированные с ( ( ))Μ ΛH -распределением проективного пространства. II. Деп. в ВИНИТИ.

02.07.84. № 4481 – 84. 5. Норден А.П., Тимофеев Г.Н. Инвариантные признаки специальных

композиций многомерных пространств // Изв. вузов. Мат. 1972. № 8(123). С. 81 – 89.

6. Остиану Н.М. Распределение гиперплоскостных элементов в проективном пространстве // Тр. геом. семинара / ВИНИТИ. М., 1973. Т. 4. С. 71 – 120. 7. Лаптев Г.Ф., Остиану Н.М. Распределения m-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности // Там же. 1971. Т. 3. С. 49 – 94. 8. Норден А.П. Пространства аффинной связности. М., 1976. 432 с.

9. Чакмазян А.В. Двойственная нормализация // Докл. АН АрмССР. 1959. Т. 28. № 4. С. 151 – 157.


50

N. Eliseeva

BUNCHES OF PLANES OF THE NORDEN-TIMOFEEV OF THE H(П)-DISTRIBUTION

The constructions of planes of the Norden-Timofeev, associate with

an internal normal of 1-st kind of H(П)-distribution are considered. For equipping H-distribution two internal normalizations in sense of the Norden-Timofeev are obtained. УДК 514.75

О.М. Жовтенко


ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ СВЯЗНОСТИ, АССОЦИИРОВАННОЙ С КОНГРУЭНЦИЕЙ ПЛОСКОСТЕЙ

Продолжено исследование групповой связности в

расслоении, ассоциированном с конгруэнцией плоскостей [1]. Дана геометрическая характеристика подобъектов этой связности посредством центрального проектирования и параллельных перенесений.

В n-мерном проективном пространстве Рn рассмотрено (n-m)-мер-

ное семейство m-мерных плоскостей Lm – конгруэнция плоскостей Bn-m [2]. Произведена специализация подвижного репера {A, Aa, Aα}, при которой вершины A, Aa помещены на плоскость Lm. Система уравнений конгруэнции Bn-m в специализированном репере имеет вид:

βαβ

α ωΛ=ω aa (a, b = m,1 ; n,1m,, +=γβα ).

С конгруэнцией Bn-m ассоциируется главное расслоение Gs(Bn-m), базой которого является конгруэнция Bn-m, а типовым слоем – s-членная подгруппа стационарности Gs⊂GР(n) (s = n2– nm + m2+ n + m) плоскости Lm, причем проективная группа GР(n) действует в пространстве Рn. Ассоциированное расслоение Gs(Bn-m) содержит подрасслоение проективных реперов с той же базой, типовым слоем которого является действующая на плоскости Lm проективная фактор-группа GР(m) группы Gs.


51

В ассоциированном расслоении Gs(Bn-m) исследуется групповая связность, которая задается по Лаптеву с помощью поля объекта Г= ,Г,Г,Г{ a

ab

aααα ,Гα

βγ }Г,Гaαβαβ на базе Bn-m. Совокупность функций

Г0 = }Г,Г,Г{ aab

aααα ⊂ Г образует подобъект проективной связности.

Произведено оснащение Бортолотти конгруэнции, состоящее в присоединении к плоскости Lm (n-m-1)-плоскости Pn-m-1, не имеющей с ней общих точек. Оно определяется оснащающим квазитензором λ= },{ a

αα λλ . Фундаментальный объект первого

порядка αβΛa конгруэнции плоскостей и оснащающий квазитензор

λ позволяют охватить компоненты объекта связности Г двумя способами. В первом случае получен охват компонент объекта

связности 11

a00

cb

0

a

0a

1},,,,,{ αβαβ

αβγααα ΓΓΓΓΓΓ=Γ по формулам [2]:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

λδ−λδ−λΛ−=Γ

λΛ=Γλδ−λΛ=Γλ=Γ

βαγγ

αββ

αγ

αβγ

ββαααβ

βαααα

,

,,,

aa

0

a

0

aab

ab

0ab

a0

a

(1)

,,1

a1

a γαβγαβ

γαβγαβ Μλ−=ΓΜλ−=Γ

где .bb α

γβα

γβ

γαβ λδ+λΛ=Μ Во втором случае объект связности

22a

00ab

0

a

0a

2},,,,,{ αβαβ

αβγααα ΓΓΓΓΓΓ=Γ охвачен по формулам (1) и

следующим:

.;0

aa

020a

0ab

b0

aa2

aβα

γαβγαβαββαβα

γαβγαβαβ Γλ−Γλ+λ=ΓΓλ−Γλ−Γλ+λ=Γ

Таким образом, оснащение Бортолотти конгруэнции плоскостей

Вn-m индуцирует два типа групповой связности с объектами 1Γ и

2Γ в

ассоциированном расслоении Gs(Bn-m).

Теорема 1. Подобъект αβγ

0Г охваченных объектов связности

1Γ

и 2Γ характеризуется центральным проектированием плоскости

Рn-m-1 + dРn-m-1, смежной с плоскостью Рn-m-1, на исходную плоскость Рn-m-1 из центра – образующей плоскости Lm.


52

Доказательство. Плоскость Рn-m-1 определяется системой точек

.AAAB aa

αααα λ+λ+=

Учитывая формулы (1), приведем дифференциалы точек Bα, входящих в совокупность точек, определяющих смежную плоскость Рn-m-1+ dРn-m-1, к виду

,A)(

A)(B~B)(dB

aa

bbaa

aa

0

βαβ

γβγαβ

βαβ

ββα

γβγαβ

βαββ

βαα

ββα

ωλλ−ωΛλλ−ωλ+

+ωλλ−ωΛλλ−ωλ+ω+ωλ−θ=

где γβαγ

βα

βα ω−ω=ω

00Г~ . Проекция плоскости, смежной с плоскостью

Бортолотти Рn-m-1, на плоскость Рn-m-1 из центра – плоскости Lm –

определяется формами βαω

0~ , которые, в свою очередь, выражаются с

помощью подобъекта связности αβγ

0Г .

Теорема 2. Охваченный подобъект проективной связности

}Г,Г,Г{ a0a

b0a0

ααα характеризуется центральным проектированием плоскости Lm + dLm, смежной с плоскостью Lm, на последнюю из центра – плоскости Бортолотти Рn-m-1.

Доказательство. Плоскость Lm определяется системой точек A,Aa . Дифференциалы этих точек входят в состав точек,

определяющих смежную плоскость Lm + dLm, и имеют вид

,A~A~BA)(dA

,A~BA)(dA

bba

00

aaaa

aa

0

ω+ω+ω+ωλ−θ=

ω+ω+ωλ−θ=

ααα

α

ααα

α

где .Г~,Г~,Г~a

0

aa0b

a0

ba

ba

0a0aа

0α

αα

αα

α ω−ω=ωω−ω=ωω−ω=ω Проекция плоскости, смежной с плоскостью Lm, на исходную плоскостью Lm из центра – плоскости Рn-m-1 – определяется формами связности

ba

0

a

0a

0 ~,~,~ ωωω , которые, в свою очередь, выражаются с помощью

компонент подобъекта проективной связности }Г,Г,Г{ a0a

b0a0

ααα .


53

Неохваченные подобъекты }Г,Г,Г{ aab

aααα , α

βγГ объекта связности Г можно охарактеризовать при помощи следующих параллельных перенесений.

Теорема 3. Подобъект αβγГ характеризуется параллельным

перенесением точки В, принадлежащей плоскости Рn-m-1, т. е. ее сме-щением в (m+1)-мерной плоскости, натянутой на эту точку и плос-кость Lm. Доказательство. Возьмем точку В в плоскости Рn-m-1. Ее разложение имеет вид В = ,Bα

αξ причем ,βαβ

αα ωξ=υξ−ξΔ где форма υ играет роль множителя пропорциональности, а

.d αβ

βαα ωξ+ξ=ξΔ Дифференциал точки В приводится к виду

.B)Г(A)

(A)(B)(dB

aa

bba

aa

a

αγα

βγβαβ

αβγβ

γαβ

βαβ

αββα

γβγαβ

βαβ

αββ

ωξ−ξΔ+ωλλ−ωΛλλ−

−ωλξ+ωλλ−ωΛλλ−ωλξ+ωλ−θ=

Условия смещений точки В в (m+1)-плоскости, натянутой на эту точку и плоскость Lm, имеют вид .Г υξ=ωξ−ξΔ αγα

βγβα

Утверждение теоремы следует из этого выражения. Теорема 4. Подобъект проективной связности }Г,Г,Г{ a

ab

aααα

характеризуется параллельным перенесением точки C, принадлежащей плоскости Lm, т. е. ее смещением в (n-m)-мерной плоскости, натянутой на эту точку и плоскость Бортолотти Рn-m-

1. Доказательство. Берем точку С, принадлежащую плоскости Lm. Разложение точки имеет вид С =A+ ,Aa

aξ причем

,aab

baa ααωξ=ω+ωξξ−ξΔ .d a

bbaa ωξ+ξ=ξΔ

Дифференциал точки С приводится к виду

.A)Г)Г(Г(

B)(C)(dC

aab

bbb

baaaa

aa

aa

aa

ββ

ββ

αα

αβα

βαβα

βαα

α

ωξ−ω−ωξξ+ω−ω+ξΔ+

+ωΛξ+ω+ωΛλξ−ωλ−ωξ+θ=

Условия смещений точки С∈ Lm в (n-m)-плоскости, натянутой на эту точку и плоскость Рn-m-1, имеют вид υξ=ωξ−ω−ω−ωξξ+ω+ξΔ β

βα

αβ

βaa

bba

bbbaaa ГГ)Г( .

Откуда следует утверждение теоремы.


54


1. Жовтенко О.М. Роль оснащения Бортолотти конгруэнции плоскостей // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2000. Вып. 31. С. 14 – 19.

2. Близникас В.И. Некоторые вопросы геометрии гиперкомплексов прямых // Тр. геом. семинара / ВИНИТИ. М., 1974. Т. 6. С. 43 – 110.

3. Шевченко Ю.И. Об оснащениях многообразий плоскостей в проективном пространстве // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1978. Вып. 9. С. 124 – 133.

4. Лумисте Ю.Г. Проективные связности в канонических расслоениях многообразий плоскостей // Мат. сб.1973. Т. 91. Вып. 2. С. 211 – 233.

O. Zhovtenko

GEOMETRICAL INTERPRETATION OF THE CONNECTION,

ASSOCIATED WITH THE CONGRUENCE OF PLANES

The research of group connection in the bundle associated with the congruence of planes is continued [1]. The geometrical performance of subobjects of this connection by means of the central projection and par-allel displacements is given.

Работа поддержана грантом Минобразования РФ (СПб. КЦФЕ),

кандидатский проект М03–2.1К–315.

УДК 514.76

В.А. Игошин, Е.К. Китаева (Нижегородский государственный университет

им. Н.И. Лобачевского)

О ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИКАХ КВАДРАТИЧНЫХ КВАЗИГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ПОТОКОВ

В качестве приложения геометрического (геодезического,

пульверизационного) моделирования [1] получен ряд результатов о подвижности и геометрических характеристиках квадратичных квазигеодезических потоков (КП) ненулевой кривизны. В частности, доказана теорема существования (теорема 2) и теоремы 3, 4 о полях абсолютного параллелизма в пространстве событий квазигеодезических потоков исследуемого класса.

В.А. Игошин, Е.К. Китаева

55

1. Пусть М – (n-1)-мерное многообразие, )f,M(f ≡ – КП на М, имеющий в произвольной карте следующее координатное выражение:

,dt

dx,t,xfdt

xd jji

2

i2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

где 1n,...,1j,i −= . Все объекты, фигурирующие в работе, предполагаются достаточное число раз дифференцируемыми.

Поток )f,M(f = называется [2; 3] квадратичным, или потоком

второй степени (по скорости – первым производным dt

dxi), если

правые части if его координатного уравнения являются полиномами второй степени по

dtdxi

:

( ) ( ) ( )t,xAdt

dxt,xB2dt

dxdt

dxt,xf sisij

kjsi

jki

j

−−Γ−= ,

где ijkΓ – коэффициенты некоторой, зависящей от t симметричной

аффинной связности на М, а iij A,B – компоненты тензорных полей

на М, также зависящих от t, тип которых обозначен индексами .1n,...,1s,k,j,i −=

Рассматриваемая на М неавтономная симметричная аффинная связность ( )t,xsi

jkΓ при фиксированном значении t является аффинной симметричной связностью на М. Она определяет параллельный перенос, тензор кривизны i

jklR и другие понятия. Для нее справедливы теоремы, аналогичные теоремам (см.[4]) об автономной связности, и в частности

Теорема 1. Если тензор кривизны 0=)t,x(R sijkl для аффинной

связности )t,x(ijkΓ , то эта связность будет локально аффинно-экви-

валентна евклидовой связности. Точнее говоря, существует локальное преобразование (замена координат) базового многообразия М вида: )t,x(xx)x( kkkk ′′ =→ , –

которое при каждом фиксированном значении параметра t будет аффинной эквивалентностью связности )t,x(i

jkΓ и евклидовой

связности .ikj 0≡′′′Γ


56

2. В пространстве RMM ×= событий КП определена стандартная аффинная связность )x,x( δδΓ=Γ & квадратичного потока f следующими формулами [5]:

0,A,B, niinn

ij

ijn

ijk

ijk =Γ=Γ=ΓΓ=Γ αβ .

С помощью теоремы 1 и теоремы 3 из [6] получен следующий результат.

Теорема 2. Существует единственный квадратичный максимально подвижный КП ненулевой кривизны, удовлетворяющий условиям

;0ABBB;B;0R 2n

ij

ij,

sj

is

ijn

ij,l

ijln

ijkl =λεδ+−+∂=Γ∂= (1)

βαβα λλ−ε= )1n(R , , (2) βαβα λλ=λ c, , (3)

при каждом фиксированном значении постоянной c в уравнении (3), который в аффинно-евклидовой (по отношению к базовой связности

)t,x( sijkΓ ) системе координат определяется следующими

соотношениями:

)t(bx)t(aA),t,B~,t(BB,0 ikik

io

kl

ij

ij

ijk +===Γ ,

где klB~ – начальные значения аффинорного поля )t(b),t(a,B iii

j –

произвольные дифференцируемые функции от t; αα

∂λ∂

=λx

–

коградиент некоторой функции λ на ;0,0;M ni ≠λ=λ запятая в формуле (1) обозначает ковариантную производную в связности

ijkΓ на М, а в последних двух – в связности α

βγΓ на M .

3. Разберемся в геометрической сути условий (1 – 3), характеризующих максимально подвижные КП ненулевой кривизны.

Теорема 3. Проективно-евклидов КП ,1nMdim),f,М( −= пространство событий RMM ×= которого допускает, по крайней мере, одно поле абсолютно параллельных контравариантных векторов, необходимо является эквиаффинным КП (n > 2).

Доказательство. Пусть 1nMdim),f,M( −= , – проективно-евкли-дов КП, а пространство событий ),RMM( Γ×= потока )f,M(

В.А. Игошин, Е.К. Китаева

57

допускает, по крайней мере, одно поле абсолютно параллельных контравариантных векторов. В силу теоремы 12 из статьи [6] пространство событий M является эквиаффинным пространством, и, следовательно, эквиаффинным является поток )f,M( .

Теорема 4. Поток )f,M( ненулевой кривизны тогда и только тогда будет максимально подвижным, когда он является проективно-евклидовым и его пространство событий

),RMM( Γ×= допускает точно n-1 независимых абсолютно параллельных векторных полей )4n( ≥ .

Доказательство. Пусть КП )f,M( – поток ненулевой кривизны, т.е. таковым является его пространство событий М . В силу теоремы 13 из работы [6] и определения проективно-евклидового КП следует утверждение данной теоремы.

Теорема 5. Если )f,M( максимально подвижный КП ненулевой

кривизны, то каждая гиперповерхность c)x,...,x( m1 =λ его пространства событий RMM ×= является вполне геодезической

)4n( ≥ . Доказательство. Пусть )f,M( – максимально подвижный КП

ненулевой кривизны, т.е. таковым является его пространство событий RMM ×= . Так как )t(λ=λ , то гиперповерхности c=λ совпадают с гиперповерхностями constt = , которые являются вполне геодезическими для любого квадратичного КП, так как линейная форма Пфаффа dt – первый интеграл для произвольного квадратичного КП )f,M( (см. теорему 1 из работы [5]).


1. Игошин В.А. Пульверизационное моделирование квазигеодезических потоков // Доклады АН СССР. 1991. Т. 320. № 3. С. 531 – 535.

2. Шапиро Я.Л. О квазигеодезическом отображении // Изв. вузов. Мат. 1980. № 9. С. 53 – 55.

3. Игошин В.А. Гомоморфизмы квазигеодезических потоков второй степени // Там же. Мат. 1990. № 9. С. 14 – 21.

4. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М., 1967. 664 с. 5. Игошин В.А. Пульверизационное моделирование I, II, III // Изв. вузов.

Мат. 1992. № 6. С. 63 – 70; 1994. № 10. С. 26 – 32; 1995. № 5. С. 39 – 50.


58

6. Егоров И.П. Движения в пространствах аффинной связности // Казань, 1965. С. 5 – 179.

7. Игошин В.А., Китаева Е.К. Об аффинных симметриях квазигеодезических потоков // Диф. геом. многооб. фигур. Калининград, 2001. Вып. 32. С. 49 – 52.

8. Они же. Максимально подвижные квадратичные квазигеодезические потоки ненулевой кривизны // Диф. геом. многооб. фигур. Калининград, 2002. Вып. 33. С. 41 – 44.

V. Igoshin, E. Kitaeva

ABOUT GEOMETRICAL CHARACTERISTICS

OF THE QUADRATIC QUASIGEODESIC FLOWS

As application of geometrical modelling [1] a series of results about mobility and geometrical characteristics of quadratic quasigeodesic flows (QF) with nonzero curvature it is received. In particular, it is proved the following

Theorem 4. In order that a QF (M, f) with nonzero curvature have a maximal mobility, it is necessary and sufficient that the QF be projectively Euclidean and its events space have admits exactly n-1 of linearly independent vector fields of absolute parallelism (n = dimM >3). УДК 514.76

В.А. Игошин, Н.В. Коткова (Нижегородский государственный университет

им. Н.И. Лобачевского)

О ПРОЕКТИВНО РИМАНОВЫХ КВАЗИГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ПОТОКАХ

С помощью пульверизационного моделирования

[1; 2] и результатов [3] получены теоремы о существовании римановой связности, проективно эквивалентной заданной симметричной аффинной связности, а также связности одномерного квазигеодезического потока (КП).

1. Пусть М – двумерное многообразие. На М задана

произвольная симметричная аффинная связность Г

В.А. Игошин, Н.В. Коткова

59

коэффициентами )(xГ δαβγ ( 2,...δ,γ,β,α1 ≤≤ ). Выясним, когда среди

связностей, проективно эквивалентных Г , существует риманова связность .Г

Искомая риманова метрика )(xgg δαβαβ = является решением

системы дифференциальных уравнений в частных производных:

.gГgГx

gασ

σγβσβ

σγαγ

αβ +=∂

∂ (1)

Система (1), очевидно, всегда интегрируема и множество ее решений – наборов функций )g,gg,(g 22211211 = – образует вещественное векторное пространство. Условия полной интегрируемости (1) имеют вид: 0,RgRg αγδ

σσββγδ

σσα =+ (2)

где σγχ

χδβ

σδχ

χγβ

σδβγ

σγβδ

σβγδ ГГГГГГR −+∂−∂= – тензор кривизны

связности Г . Тензоры кривизны α

δβγR и αδβγR проективно эквивалентных

связностей Г и Г удовлетворяют соотношениям (см.[5, c. 537]):

),ψ(ψδψδψδRR βγγβαδβδ

αγγδ

αβ

αδβγ

αδβγ −+−+= (3)

где δγδγγδ ψψψψ −∇= , (4)

абсолютная производная γ∇ берется на базе связности Г .

Существенно различные координаты тензора αδβγR можно

записать так:

⎪⎩

⎪⎨⎧

+−=+=

−=−+=

,ψ2ψRR,ψRR,ψRR,ψ2ψRR

211222

2222

12

12

1121

211221

11

11 (5)

где использованы сокращенные обозначения αβ

α12β RR = .

Полученные уравнения всегда совместны относительно αβψ , следовательно, тензор кривизны всегда можно представить в виде (3).

Из условий (2) следует, что система уравнений (1) вполне интегрируема тогда и только тогда, когда тензор кривизны римановой связности Г равен нулю: 0Rα

δβγ = – и, учитывая соотношения (3),


60

)ψ(ψδψδψδR βγγβαδβδ

αγγδ

αβ

αδβγ −−+−= .

Согласно работе [5, c. 540], при n = 2 последнее условие выполняется для любого тензора кривизны, так что необходимым и достаточным условием проективной евклидовости связности α

βγГ являются лишь следующие соотношения:

0R3)RR(20,R3)RR(2 212

22

111

121

11

222 =∇+−∇=∇+−∇ . (6)

Подставляя соотношения (5) в условия теоремы 2 [3, c. 12] и используя соотношения (6), получаем, что справедлива

Теорема 1. Для того чтобы симметричная аффинная связность α

βγГ была проективно эквивалентна римановой

связности δαγγ

αβ

αβγ

αβγ ψδψδГГ ++= на плоскости, необходимo,

чтобы выполнялось одно из следующих взаимоисключающих друг друга условий:

1)⎪⎩

⎪⎨⎧

=∇+−∇=∇+−∇

,0R3)RR2(,0R3)RR2(

212

22

111

121

11

222 2)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≠−≠

=+−=−+

,ψR,ψR

,0ψψ2R,0ψψ2R

1121

2212

211222

122111

3)⎪⎩

⎪⎨

⎧

≠−=

−≠+

,ψR,ψR

),ψ3(ψRR

1121

2212

211222

11

4)⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−≠

−≠+

,ψR,ψR

),ψ3(ψRR

1121

2212

211222

11

5)⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−=

−≠+

,ψR,ψR

),ψ3(ψRR

1121

2212

211222

11

6)⎪⎩

⎪⎨

⎧

≠−≠

−≠+

,ψR,ψR

),ψ3(ψRR

1121

2212

211222

11

в которых δγδγγδ ψψψψ −∇= , причем абсолютная производная γ∇

берется на базе связности Г . Замечание. Условие 1 теоремы 1 является также достаточным

условием. Теорема 2. При выполнении одного из взаимоисключающих друг

друга условий 2 – 6 теоремы 1 искомая метрика в соответствующих случаях (если существует подходящее решение системы (1)) необходимо имеет вид


61

2) 0,gg 2112 == ( ) ( ),ψRgψRg 22122211

2111 +−−= где 0g22 ≠ , причем

метрика собственно риманова, если ( ) ( ) 0ψRψR 221211

21 <+− , и

псевдориманова, если ( ) ( ) 0ψRψR 221211

21 >+− ;

3) 0g22 = , ( ) ( )1221111211

2111 ψ2ψRgψRg −+−−= , 0g12 ≠

(псевдориманова); 4) ( ) ( )22

12221221

111211 ψRgψ2ψRg0,g +−+== , 0g22 ≠

(псевдориманова); 5) ,0gg 2211 == 0g12 ≠ (псевдориманова); 6) ( ) ( )11

21111221

1112 ψRgψ2ψRg −−+−= ,

( ) ( )11211122

1222 ψRgψRg −+−= 0g11 ≠ , причем метрика

собственно риманова, если

( ) ( )( )211211121

11 ψRψ2ψR −−+ ( ) ( ) 0ψRψR 11

2122

12 <−++ ,

и псевдориманова, если

( ) ( )( ) ( ) ( ) 0ψRψRψRψ2ψR 112122

12

211

211121

11 >−++−−+

(в пунктах 2 – 6 0gαβ ≠ – некоторые функции). 2. Одномерный КП – это КП (R, f) на прямой R, который в

каждой карте x)(U, на R задан обыкновенным дифференциальным уравнением

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

dtdxt,x,f

dtxd2

2.

Для произвольного КП (М, f) можно построить [1; 2] геодезическую (пульверизационную) модель так, что в пространстве событий RMM ×= моделирующая КП (М, f) стандартная связность Г обладает свойством: ее геодезические линии совпадают с интегральными кривыми КП f.

Определение. Назовем КП (М, f) проективно римановым, если его связность является проективно эквивалентной римановой связности.

Теорема 3. Для того чтобы квадратичный КП, заданный уравнением

( ) ( ) t)D(x,dtdxt)C(x,dtdxt)B(x,dtxd 222 ++=


62

на прямой R был проективно римановым, необходимо, чтобы выполнялось одно из следующих взаимоисключающих условий:

1)⎪⎩

⎪⎨⎧

=∂+∂−∂+∂−=∂+∂−∂−∂−∂+∂+∂−

0,CBB2BCB20,BBCB3DD3BD3C2CC2

12211

212

222211

2111

212

2)⎪⎩

⎪⎨

⎧

≠−≠∂−+−∂

−=∂−∂

0,ψ,ψ2C4CBDD

,3ψB2C

11

2222

1

1221 3)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≠−≠−∂+∂−

−≠∂−∂

0,ψ,ψBDD2C4C

),ψ3(ψB2C

11

22122

211221

4)⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−≠−∂+∂−

−≠∂−∂

0,ψ,ψBDD2C4C

),ψ3(ψB2C

11

22122

211221 5)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−=−∂+∂−

−≠∂−∂

0,ψ,ψBDD2C4C

),ψ3(ψB2C

11

22122

211221

6)⎪⎩

⎪⎨

⎧

≠−≠−∂+∂−

−≠∂−∂

0.ψ,ψBDD2C4C

),ψ3(ψB2C

11

22122

211221

Замечание. Условие 1 теоремы 3 является также достаточным условием.

Теорема 4. При выполнении одного из взаимоисключающих друг друга условий 2 – 6 теоремы 3 искомая метрика в соответствующих случаях (если существует подходящее решение системы (1)) необходимо имеет вид:

2) ,0gg 2112 == ( ),ψ2C4CBDDgψg 2222

1221111 +∂−+−∂= где 0g22 ≠ , причем метрика собственно риманова, если

( ) 0ψ2C4CBDDψ 2222

111 >+∂−+−∂ , и псевдориманова, если

( ) 0ψ2C4CBDDψ 2222

111 <+∂−+−∂ ; 3) ,0g22 = ( )122121121111 ψ2ψB2Cgψg −+∂−∂= , где 0g12 ≠

(псевдориманова); 4) ( ) )ψBDD2C4(Cgψ2ψB2Cg 2212

22212212112 +−∂+∂−−+∂−∂= ,

,0g11 = 0g22 ≠ (псевдориманова); 5) ,0gg 2211 == 0g12 ≠ (псевдориманова);

6) ( ) ( ) 1111112212112 ψgψ2ψB2Cg −−+∂−∂= ,


63

( ) ( ) 111112212

222 ψgψBDD2C4Cg −+−∂+∂−= , 0g11 ≠ , причем

метрика собственно риманова, если ( ) ( ) −−+∂−∂ −211

2112121 ψψ2ψB2C

( ) ,0ψψBDD2C4C 1112212

2 <+−∂+∂−− − и псевдориманова, если

( ) ( ) ( ) 0ψψBDD2C4Cψψ2ψB2C 1112212

2211

2112121 >+−∂+∂−−−+∂−∂ −−

(в пунктах 2 – 5 0gαβ ≠ – некоторые функции). Список литературы

1. Игошин В.А. Пульверизационное моделирование квазигеодезических потоков // Доклады АН СССР. 1991. Т. 320. № 3. С. 531 – 535.

2. Игошин В.А. Пульверизационное моделирование 1, 2, 3 // Изв. вузов. Мат. 1992. № 6. C. 63 – 71; 1994. № 10. С. 26 – 32; 1995. № 5. С. 39 – 50.

3. Игошин В.А., Коткова Н.В. Существование римановой метрики плоскости с заданными символами Кристоффеля / Нижегород. гос. ун-т им. Н.И. Лобачевского. Н. Новгород, 2002. Деп. в ВИНИТИ, № 168-В2003.

4. Синюков Н.С. Геодезические отображения римановых пространств. М.: Наука, 1979. 256 с.

5. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.: Гостех-издат, 1967. 664 с.

V. Igoshin, N. Kotkova

ABOUT PROJECTIVELY RIEMANNIAN QUASIGEODESIC FLOWS

The series of theorems is obtained on the basis of the method of

pulverization modelling [1; 2] and the results of [3]. This theorems are about existence of the Riemannian connection, projectively equivalent to the given symmetric affine connection or connection of one-dimensional quasigeodesic flow.

УДК 514.76

В.М. Исаев, С.Е. Степанов (Владимирский государственный педагогический университет)

О КОНФОРМНО КИЛЛИНГОВОМ ТЕНЗОРЕ

НА РИМАНОВОМ МНОГООБРАЗИИ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ


64

Настоящая статья является продолжением работы

авторов [1] и посвящена изучению конформно киллинговых тензорных полей на римановом многообразии постоянной ненулевой кривизны.

1. Введение и основной результат. Хорошо известно (см. [2]), что на n -мерном римановом

многообразии постоянной ненулевой кривизны С произвольный конформно киллинговый тензор ω ранга 1np −≤ с компонентами

p1 i...iω допускает представление

p21p21p21 i...iii...iii...ii pC

1θθω ∇−= , (1.1)

где p21 i...iiθ и

p2 i...iθ – компоненты тензоров Киллинга рангов p и

1p − соответственно. В настоящей статье, опираясь на (1.1), докажем, что справедлива

Теорема. На n-мерном римановом многообразии ( )g,M постоянной ненулевой кривизны C существует локальная система координат x1, …, xn, в которой произвольный конформно киллинговый тензор θ ранга p ( )1np1 −≤≤ имеет компоненты

( ) ( )−+= +p1p1p1 i...i

ki...ki

1pi...i BxAe ψω

[ ] [ ] ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ +−

p21p21p21 i...iii...iik

i...ikip ABxAe

p1

C1

ψψψ (1.2)

для ( ) gdetln1n2

1+

=ψ ; ψψ ii ∂= и произвольных

кососимметричных по всем индексам постоянных p1 i...iA и

p2 i...iB .

2. Доказательство теоремы. 2.1. Известно, что проективный диффеоморфизм ( ) ( )g,Mg,M:f → римановых многообразий можно осуществить

[3, с. 46 – 47] по принципу равенства локальных координат ,xx 11 = …, nn xx = в соответствующих точках x и =x ( )xf этих многообразий. В этом случае справедливы равенства [4, с. 162; 3, с. 73 – 75]

В.М. Исаев, С.Е. Степанов

65

kij

kji

kij

kij

kijT δψδψΓΓ +=−= (2.1)

для компонент kijT тензора деформации ∇−∇=T и объектов k

ijΓ и k

ijΓ связностей Леви-Чивита ∇ и ∇ в общей по отображению

( ) ( )g,Mg,M:f → системе координат x1, …, xn, а также для

ψψ jj ∂= и ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

+ gdetgdet

1n21

lnψ .

Полагаем p1 i...iθ компонентами произвольного тензора

Киллинга-Яно θ ранга p ( )1np1 −≤≤ , которые согласно определению удовлетворяют уравнениям вида

0p2p2 i...kiji...jik =∇+∇ ωω . На основании равенств (2.1)

непосредственно убеждаемся, что для тензорного поля ( ) θθ ψ ∗+−= fe 1p его компоненты

( )p1p1 i...i

1pi...i e θθ ψ+−= (2.2)

удовлетворяют следующим уравнениям: 0p2p2 i...kiji...jik =∇+∇ θθ .

Следовательно, θ является тензором Киллинга-Яно ранга p ( )1np1 −≤≤ уже на многообразии ( )g,M .

2.2. В статье [5] нами было доказано, что в декартовой системе координат ,x 1 …, nx окрестности U произвольной точки x локально плоского многообразия ( )g,M компоненты

p1 i...iθ тензора

Киллинга-Яно ранга p ( )1np1 −≤≤ имеют строение

p1p1p1 i...ik

i...kii...i BxA +=θ для произвольных кососимметричных по

всем индексам постоянных p1 i...kiA и

p1 i...iB . На основании выражения

(2.2) заключаем, что компоненты p1 i...iθ произвольного тензора

Киллинга-Яно ранга p ( )1np1 −≤≤ на n -мерном многообразии ( )g,M постоянной кривизны имеют строение

( )p1p1p1 i...i

ki...ki

pi...i BxAe += ψθ , (2.3)


66

где ( ) ( )gdetln1n2

1+

=ψ , ибо в декартовой системе координат ,x 1 …,

nx компоненты метрического тензора g имеют вид ijijg δ= для

символа Кронекера ijδ . При этом многообразие ( )g,M считается

отнесенным к специальной системе локальных координат n1 x,...,x , в которой согласно равенствам (2.1) символы Кристофеля имеют вид

kij

kji

kij δψδψΓ += . (2.4)

2.3. Найдем теперь выражение для второго слагаемого

p21 i...iipC1

θ∇ в разложении (1.1). Здесь −∂=∇p21p21 i...iii...ii θθ

kiik..i

kiii...k 1p212p

... ΓθΓθ −−− – выражение ковариантной производной

θ∇ тензора Киллинга-Яно θ ранга p – 1. Поскольку в

используемой выше локальной системе координат n1 x,...,x имеем ( )

p2p2p2 i...ik

i...kip

i...i BxAe += ψθ , а символы Кристофеля kijΓ находятся

из равенств (2.4), то

=∇p21 i...iipC

1θ [ ] [ ] ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ +−

p21p21p21 i...iii...iik

i...ikip ABxAe

p1

C1

ψψψ . (2.5)

Теперь на основании равенств (1.1), (2.3) и (2.5) заключаем, что справедливо выражение (1.2) для компонент произвольного конформно киллингова тензора на римановом многообразии ( )g,M постоянной кривизны .0С ≠


1. Исаев В.М., Степанов С.Е. Примеры киллинговой и конформно

киллинговой форм // Диф. геом. многооб. фигур. Калининград, 2001. Вып. 32. С. 52 – 57. 2. Tachibana S.-I. On conformal Killing tensor // Tohoku Math. Journ. 1969. Vol. 21. P. 56 – 64.

3. Синюков Н.С. Геодезические отображения римановых пространств. М.: Наука, 1979.

В.М. Исаев, С.Е. Степанов

67

4. Эйзенхарт Л.П. Риманова геометрия. М.: ИЛ, 1948. 5. Stepanov S.E. On conformal Killing 2-form of the electromagnetic field //

Journal of Geometry and Physics. 2000. Vol. 33. № 3 – 4. P. 191 – 209.

V. Isaev, S. Stepanov

ON CONFORMAL KILLING TENSOR IN A RIEMANNIAN MANIFOLD OF CONSTANT CURVATURE

The view of an arbitrary conformal Killing tensor on a Riemannian

manifold of nonvanishing constant curvature is retrieved.

УДК 514.76

Л.В. Исаева (Калининградский государственный университет)

ЦЕНТРОПРОЕКТИВНАЯ И ЛИНЕЙНАЯ СВЯЗНОСТИ,

ИНДУЦИРОВАННЫЕ НОРМАЛИЗАЦИЕЙ ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА

Рассмотрен пример проективной группы приведенный в

статье Ведерникова, посвященной распространению метода нормализации Нордена на случай расслоенного пространства [1]. Проективная группа представлена нами как расслоение центропроективных реперов. Методом Лаптева показано, что нормализация проективного пространства индуцирует центропроективную связность в этом расслоении. Доказано, что адаптация подвижного репера проективного пространства полю нормализующих гиперплоскостей сужает расслоение цен-тропроективных реперов до расслоения линейных реперов со связностью.

Рассмотрим n-мерное проективное пространство Рn как n-мерное многообразие точек А, т.е. многообразие Грассмана Gr(0,n). Отнесем Pn к подвижному реперу R={A,AI} (I,J,K,… = n,1 ), который является репером нулевого порядка многообразия Gr(0,n). Деривационные формулы вершин репера имеют вид

II AAdA ωθ += , AAAdA IJ

JIII ωωθ ++= . (1)


68

Структурные уравнения проективной группы получаются внешним дифференцированием формул (1) и имеют вид

IJ

JID ωωω ∧= , (2)

IJK

KIK

KJ

IJD ωωωωω ∧+∧= , (3)

JJIID ωωω ∧= , (4)

где JIKK

IJ

IJK ωδωδω −−= . Дифференциальные уравнения на

вспомогательные формы имеют вид IID ωωθ ∧= .

Будем считать формы Iω – базисными, а JIω , Jω – слоевыми,

т.е. представим проективную группу GP(n) как главное расслоение центропроективных реперов G(Pn), где G – подгруппа стационарности точки А.

Исследуем связность в расслоении G(Pn) со структурными уравнениями (2 – 4). Согласно способу Лаптева задания групповой связ-ности рассмотрим преобразования слоевых форм с помощью базисных

KIJK

IJ

IJ

~ ωΓωω −= , JIJII

~ ωΓωω −= , (5)

где IJKΓ , IJΓ – некоторые функции. Внешние дифференциалы форм

(5) имеют вид

LKIPL

PJK

IJK

IJK

KIK

KJ

IJ )(~~~D ωωΓΓωΔΓωωωω ∧−+∧+∧= ,

KJLK

LIJK

KIJIJ

JJ

JII )(~~~D ωωΓΓωΓΔΓωωωω ∧−+∧+∧= ,

причем дифференциальный оператор Δ действует следующим образом:

IL

LJK

LJ

ILK

LK

IJL

IJK

IJK d ωΓωΓωΓΓΔΓ +−−= .

По теореме Картана-Лаптева [2] формы (5) задают связность лишь тогда, когда их внешние дифференциалы есть сумма внешних произведений этих же форм и внешних произведений базисных форм. Поэтому нужно задать поле объекта связности Γ ={ I

JKΓ , IJΓ } со следующими дифференциальными уравнениями компонент:

LIJKL

IJK

IJK ωΓωΔΓ =+ , K

IJKKK

IJIJ ωΓωΓΔΓ =+ . (6)

Л.В. Исаева

69

Объект центропроективной связности Γ содержит подобъект I

JKΓ линейной связности. Таким образом, внешние дифференциалы форм (5) имеют вид

LKIJKL

IK

KJ

IJ R~~~D ωωωωω ∧+∧= , KJ

IJKJJII R~~~D ωωωωω ∧+∧= ,

причем компоненты объекта кривизны R ={ IJKLR , IJKR } связности

Γ выражаются по следующим формулам:

[ ] [ ]ILP

PKJ

IKLJ

IJKLR ΓΓΓ −= , [ ] [ ]KL

LJIJKIIJKR ΓΓΓ −= .

Соответственно объекту центропроективной связности Γ объект R называется объектом центропроективной кривизны. Дифференциальные сравнения для компонент объекта кривизны R имеют вид 0RI

JKL ≡Δ , 0RR LLIJKIJK ≡+ ωΔ .

Теорема 1. Объект центропроективной кривизны R ={ IJKLR ,

IJKR } является тензором, содержащим подтензор IJKLR .

Произведем нормализацию [3] проективного пространства Pn, точнее его области, описанной точкой А. Зададим гиперплоскость Pn-1, не проходящую через точку А, совокупностью точек BI= AI+λIA. (7)

Дифференциальные уравнения на коэффициенты λI, обеспечивающие инвариантность гиперплоскости Pn-1 при фиксации точки А, имеют вид

IIJII ωλωλΔ =+ . (8)

Используя уравнения (6) и (8), построим охваты объекта связности Γ с помощью оснащающего квазитензора λI:

JIKK

IJ

IJK λδλδΓ −−= , JIIJ λλΓ −= .

Теорема 2. Оснащение многообразия Gr(0,n) точек А проективного пространства Pn полем гиперплоскостей Pn-1 (A∉Pn-1) индуцирует центропроективную связность Γ в расслоении центропроективных реперов G(Pn).

Произведем дополнительную канонизацию репера, поместив вершины AI на гиперплоскость Pn-1, натянутую на точки BI, определяемые равенствами (7). Тогда λI= 0. В этом случае из уравнений (8) следует


70

JIJI ωλω = . (9)

Это уравнение нормализованной области проективного пространства Pn, дифференцируя которое, получаем

KIJKIJ ωλλΔ = ( 0]JK[I =λ ). (10)

Структурные уравнения (3) для слоевых форм расслоения линейных реперов принимают вид

LKIJKL

IK

KJ

IJ RD ωωωωω ∧+∧= ,

где ]JL

IK[]KL[

IJ

IJKLR λδλδ −−= .

В силу уравнений (10) 0RIJKL ≡Δ , т.е. объект линейной связности

IJKLR является тензором, что было доказано в общем случае. Таким

образом, линейная связность является внутренней в данном расслоении, ассоциированном с нормализованным проективным пространством. Эту связность А.П. Норден назвал внутренней связностью нормализованного пространства [3].

Теорема 3. При адаптации подвижного репера нулевого порядка пространства Pn, точнее многообразия Грассмана Gr(0,n), полю оснащающих гиперплоскостей Pn-1 (A∉Pn-1) расслоение центропроек-тивных реперов G(Pn) сужается до расслоения линейных реперов L 2n (Pn) со связностью, т.е. до пространства линейной связности L n,n2 . Можно сказать иначе.

Теорема 4. В проективном пространстве Pn с распределением гиперплоскостей 2-го рода [4], т.е. с n-мерным семейством пар (A,Pn-1), где точка A∉Pn-1, ассоциируется пространство линейной связности L n,n2 .

Вывод. С одной стороны, проективная группа GP(n) со структурными уравнениями (2 – 4) не является расслоением со связностью, иначе говоря, пространством групповой связности. С другой стороны, она является пространством классической проективной связности Картана [2]. В статье Ведерникова [1] пример проективной группы отличается от других примеров, так как с точки зрения расслоений проективная группа не является пространством со связностью. Если же проективное пространство нормализовано, то в проективной группе, рассматриваемой как

Л.В. Исаева

71

расслоение центропроективных реперов, индуцируется центропроективная связность. Наконец, адаптация подвижного репера полю нормализующих гиперплоскостей сужает расслоение центропроективных реперов до пространства линейной связности.


1. Ведерников В.И. Обобщение метода нормализации А.П. Нордена на случай расслоенного пространства // Геометрия обобщенных пространств: Ученые записки / Казанский ун-т, Казань, 1963. Т. 123. Кн. 1. С. 3 – 23.

2. Евтушик Л.Е., Лумисте Ю.Г., Остиану Н.М., Широков А.П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Пробл. геом. / ВИНИТИ. М., 1979. Т.9. С. 5 – 247.

3. Норден А.П. Пространства аффинной связности. М. 1976. 4. Остиану Н.М. Распределение гиперплоскостных элементов в

проективном пространстве // Тр. геом. семинара / ВИНИТИ. М., 1973. Т.4. С. 41 – 120. L. Isaeva

CENTERPROJECTIVE AND LINEAR CONNECTIONS, INDUCED BY NORMALIZATION OF PROJECTIVE SPACE

The example of a projective group reduced in the article by

Vedernikov is reviewed, dedicated to distribution of a method of normalization by Norden on a case of a bundle space [1]. The projective group is shown by us as bundle of centerprojective reference marks. A method by Laptev is rotined, that the normalization of projective space induces centerprojective connection in this bundle. It is demonstrated, that the adoptation of a mobile reference mark of projective space to a field of normalizing hyperplanes narrows down bundle of centerprojective reference marks up to bundle of linear reference marks with connection УДК 514.76

В.И. Макеев (Пензенский государственный педагогический университет)

ОБ АЛГЕБРАХ ЛИ ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫХ

ОТНОСИТЕЛЬНЫХ ИЗОМЕТРИЙ ПРОСТРАНСТВ y3,g ОПРЕДЕЛЕННЫХ КЛАССОВ


72

Изучаются инфинитезимальные относительные

изометрии веса w трехмерных общих метрических про-странств y,3g векторных элементов с относительной

метрикой. Получены алгебры Ли 5r,Lr ≥ инфинитезимальных относительных изометрий пространств

y,3g и сами эти пространства, допускающие разрешимые

пятимерные группы относительных изометрий определенных структур.

Пусть M – гладкое n -мерное многообразие и ( )MT – его касательное расслоение. Под общим метрическим пространством y,ng векторных элементов с относительной метрикой понимается пара

( )( )y,xg,M , где ( ),MTy x∈ а ( )y,xg – невырожденное симметрическое М-тензорное [1] поле типа (0,2), компоненты которого по определению относительны весу w и однородны фиксированной степени k по слоевым координатам. Относительной изометрией (веса w ) будем называть, следуя работе [2], дифференцируемое преобразование в M , естественное продолжение которого в ( )MT сохраняет метрику ( )y,xg . Инфинитезимальная относительная изометрия Х на М характеризуется равенством нулю производной Ли от y,ng вдоль полного лифта Xс . В локальных

координатах ( )σσ y,x это означает, что ,0wgggygg =∂+∂+∂+∂+∂ ⋅

σσαβ

σβασ

σασβ

λσλσαβαβσ

σ ξξξξξ (1)

где ( ) σσξ x/xX ∂∂= , σσ x/ ∂∂=∂ , αβg - компоненты ( )y,xg ,

σαβσαβ y/gg ∂∂=⋅ ; n,...,1,..., =βα . При этом

αβσ

σαβ kgyg =⋅ . (2)

Задачу получения алгебр Ли 5r,Lr ≥ инфинитезимальных относительных изометрий решаем для трехмерных пространств

y,3g , в предположении, что последние допускают разрешимые

транзитивные группы относительных изометрий 5G размерности пять. В случае 5r = исходим из классификации [3] структур вещественных алгебр Ли { }515 e,...,eE с двумя линейно ниль-

Л.В. Исаева

73

независимыми элементами 54 e,e . Сначала находим неподобные представления 5E в виде алгебр Ли { }515 X,...,XL векторных полей, затем – компоненты метрик пространств из соотношений (1; 2) с учетом условия невырожденности ( )y,xg . В случае 5r > задача решается путем исследования на полноту каждого класса пространств y,3g с группой 5G .

Пусть 5L сначала принадлежит структуре

[ ] [ ] [ ] ,ee,e,e2e,e,ee,e 242141132 ===

[ ] [ ] [ ] 253352343 ee,e,ee,e,ee,e =−==

алгебры Ли 5E рассматриваемого случая из [3]. Базисные операторы

51 X,...,X этой 5L с транзитивной группой преобразований можно

привести к одному из следующих двух типов ( )σσ x/p ∂∂= :

( ) ;px1pxxpx21X

,pxpx2X,pxpxX,pX,pX

33

232

12

5

22

11

423

12

32211

22+−−−=

+=+=== (3)

.pxpxpx21x

21X

,pxpxpx2X,ppxX,pX,pX

32

23

123

5

33

22

11

4312

32211

22−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

++=+=== (4)

Интегрируя систему дифференциальных уравнений (1), составленную для (3), и учитывая соотношения (2), получаем

( )

( )

( ) ( ),yyu,yyv

,u21v,Cx1y

;u41uuu2g

,u21u

23ug

,u21ug,ug

,uu2g,g

3231

2w3k23w34k3

114

123

132222

233

334

33

113

122

13222

233

23

112

12132

13111212

112

12222

221111

2

==

−=⋅+⋅⋅=

⋅+⋅⋅−+⋅⋅+⋅⋅−⋅=

⋅−⋅⋅++⋅⋅−⋅=

+⋅⋅−⋅=−⋅=

⋅+⋅⋅−⋅==

−−−−− ββη

ηηβηηβηβηβ

ηηβηηβηβ

ηηβηβηηβ

ηηβηβη

μνμν

(5)


74

где постоянные μνC подчинены лишь условию невырожденности

( )y,xg . Следовательно, 5L типа (3) является алгеброй Ли инфинитезимальных относительных изометрий.

Для нахождения полной, т.е. максимальной размерности для данного пространства, алгебры Ли инфинитезимальных относительных изометрий составляем систему дифференциальных уравнений (1) для функций αβg вида (5) с учетом соотношений (2).

Ее интегрирование дает компоненты 321 ,, ξξξ общих инфинитезимальных относительных изометрий искомых 5r,Lr ≥ . В итоге получаем следующее. Если 0w32 ≠+ и 0w3k2 ≠++ , то

( ) ,cx1,cxxaxaxb

,cx21ax2axa

033

032

22

13

02

02

21

12

01

2

2

+=+++=

+++=

ξξ

ξ

где 11000 a,a,c,b,a - постоянные. Поэтому пространства (5), для которых 0w32 ≠+ и 0w3k2 ≠++ , обладают пятимерной полной алгеброй Ли инфинитезимальных относительных изометрий 5L типа (3). При 0w32 =+ и 0k ≠ имеем

( ),dx/d,dx/d

;cx1,cxxx

,x21x2cx

21x

330

330

3222

210

221

2

22

ωωψψ

ξωψξ

ωωψϕξ

=′=′

+−=−+=

′+⋅+−′+=

где ( ) ( ) ( )333 x,x,x ψψωωϕϕ === – функции. В этом случае полная алгебра Ли ∞L бесконечномерна, ее возможный базис имеет вид

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ),...,2,1l,t,s...,pxxplx21xx2x

...,,pxpx2,px1pxxpx21

...,,pxptxx...,,pxpx,p...,,px,...,px,p

232

12311l3

22

1133

232

12

23

12t3

23

12

21s3

13

1

2

22

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅

++−−−

+⋅+

−

а соответствующие пространства y,3g определяются метриками:

Л.В. Исаева

75

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ].0k,0w32,0CC

;Cyyy2Cyx1yg

,CCx1yyg,Cx1yg

,Cx1yg,0gg

21

1312

22k32k3

33

21k321k3

231k3k3

13

2k3k3

221211

222

22

2

≠=+≠⋅⋅−+⋅+⋅=

+⋅+⋅⋅−=⋅+⋅=

⋅+⋅===

−−

−−−

−

При 0w3k2 =++ , 0k ≠ и 0CCCC 233

223

212

211 ≠+++

( )

.axaxc,axxaxbxb

,ax21axab2xa

33

13

03

332

23

12

02

32

22

111

01

2

2

++=+++=

++−+=

ξξ

ξ

Так что полная алгебра Ли 7L семимерна, неразрешима, а

.pxpxxpx

21X,pxpxX

,pxpx2X,pxpxX,pX,pX,pX

33

232

12

733

11

6

22

11

523

12

4332211

22++=+−=

+=+==== (6)

Метрики соответствующих y,3g имеют компоненты (5), для которых

( ) μνμν βη Сy w34k3 ⋅⋅= −− , 0w3k2,0СССС 233

223

212

211 =++≠+++ .

Наконец, если 0w3k2 =++ , 0k ≠ и 0CCCC 33231211 ==== , то

( )

.axxaxax21axbxc

,ax21xxaxxaxxaxbxbxb

,axxax21axab2xaxa

53

43

32

23

12

03

5231

432

321

13

22

11

02

521

42

31

221

12

01

22

2

22

+++++=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++++++=

+++−++=

ξ

ξ

ξ

Здесь полная алгебра Ли 10L является десятимерной: 71 X,...,X – вида (6),

.pxxpx

21xxpxxX

,px21pxxpxX,pxpxX

332

2231

121

10

32

221

11

932

21

8

2

22

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

++=+=

Она также неразрешима. Соответствующие пространства


76

.constC,0k,0w3k2

;0gggg,Cy21yygg 33231211

2k

2311322

2

=≠=++

====⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=−=

Обращаясь к алгебре Ли типа (4), получаем, что она является алгеброй Ли инфинитезимальных относительных изометрий. Полная

5L соответствующего класса пространств y,3g пятимерна. Аналогично проводятся исследования для остальных шести структур алгебр Ли 5E . Таким образом, приходим, в частности, к следующему результату: если пространства y,3g допускают

разрешимую транзитивную группу относительных изометрий 5G , алгебра Ли 5L которой с двумя линейно ниль-независимыми элементами 54 X,X , то полные алгебры Ли инфинитезимальных относительных изометрий этих y,3g могут быть бесконечномерными и конечномерными. Максимальная размерность последних равна десяти.


1. Mok K., Patterson E., Wong Y. Structure of symmetric tensors of type (0,2) and tensors of type (1,1) on tangent bundle // Trans. Amer. Math. Soc. 1977. Vol. 234. P. 253 – 278.

2. Matsumoto M. A relative theory of Finsler spaces // J. Math. Kyoto Univ. 1983. Vol. 23. P. 25 – 37.

3. Мубаракзянов Г.М. Классификация вещественных структур алгебр Ли пятого порядка // Изв. вузов. Мат. 1963. № 3. С. 99 – 106.

V. Makeev

ON THE LIE ALGEBRAS OF THE INFINITESIMAL RELATIVE ISOMETRICS OF THE SPACES y,3g OF A CERTAIN TYPES

We study the infinitesimal relative isometrics of the weight w in the

general metric spaces y,3g of the vector elements with a relative metric.

The Lie algebras 5r,Lr ≥ of the infinitesimal relative isometrics of the spaces y,3g , and the above mentioned spaces, which have solvable

Л.В. Исаева

77

groups of the relative isometrics of the dimension five of a certain structures have been obtained in the article. УДК 514.75

Т.Ю. Максакова (Балтийский военно-морской институт)

СВЯЗНОСТИ, АССОЦИИРОВАННЫЕ С ВЫРОЖДЕННОЙ ГИПЕРПОЛОСОЙ ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА

Построены двойственные аффинные связности и

двойственные проективные связности центрированной тангенциально вырожденной гиперполосы r

mCH [1] проективного пространства nP (1< r < m < n–1). Показано, что

обобщенно нормализованная гиперполоса rmCH порождает: 1)

в расслоении обобщенных нормалей 1-го рода четыре

центропроективные связности ⊥∇ε

(нормальные связности), 2) в расслоении обобщенных нормалей 2-го рода четыре

двойственные им нормальные связности )3,0( =∇ ⊥ εε

, 3) в касательном расслоении )V(T r пять аффинных связностей

)5,1( =σγσ

. Кроме того, установлено, что обобщенно

нормализованная гиперполоса rmCH (двойственный образ

гиперполосы rmCH ) индуцирует пять аффинных связностей

σγ , двойственных соответственно связностям

σγ . Выяснены

условия попарного совпадения связностей ( ⊥∇ε

,σγ ) и

(σεγ,⊥∇ ). В работе используется следующая схема индексов:

;n,0L,K,J = ;m,1rl,k,j,i += ;r,1f,h,t,s,r,q,p =


78

;1n,1m,, −+=γβα ;1n,1rw,v,u −+= ;n,1r, +=τρ

.r,0f,h,t,s,r,q,p =

1. В репере первого порядка R1 гиперполоса rmCH задается

уравнениями (без соответствующих замыканий) [1]:

.b,b,b,b

,a,0,0,0,0,0qp

qpqp

iqpi

qpqp

qipq

ip

qnpq

np

ni

ni

v0

n0

ωωωωωωωω

ωωωωωωω

αααα

αα

====

====== (1)

Определение. Обобщенной нормализацией гиперполосы rmCH

называется нормализация в смысле Нордена-Чакмазяна [2; 3] ее направляющей поверхности rV , при которой в каждой точке r0 VA ∈ плоскость )A(N 0rn− нормального поля проходит через характеристику )A(E 01rn −− гиперполосы.

Поля обобщенных нормалей 1-го рода rnN − (2-го рода lnN − ) определяются соответственно полями квазитензоров

., q0pq

0p

0p

qpnq

pn

pn ωνωνωνων =+∇=+∇ (2)

Согласно работам [4; 11] обращение в нуль тензора

s0ps

0p

sn

nps

0pp

0p T)(T,adT ωννν =∇+−= – (3)

есть условие взаимности [2] обобщенной нормализации гиперполосы n

rm PCH ⊂ относительно поля соприкасающихся

гиперквадрик .xx2)x(Txxl2xxLxxd2xxa n02nn

nvv

vunuv

npp

qpnpq =++++ (4)

Обращение в нуль тензора pnT :

qpnq

pq

qn

nn

pn

pn

pn

pn

defp

n TTTdT,FWT ωωω =+−+= – (5)

есть условие коинцидентности гиперполосы rmCH [5], а обращение в

нуль симметрического тензора Дарбу

⎪⎭

⎪⎬⎫

−−=

=+∇−=

,dadaaD

,DDD,daaD

s)tn

pq()tn

pq(snpqts

npqts

snpqts

npqt

npqt)t

npq(

npqt

npqt ωω 0

02 (6)

Т.Ю. Максакова

79

есть условие касания 3-го порядка поля соприкасающихся гиперквадрик (4) с гиперполосой n

rm PCH ⊂ .

Отметим, что поля нормалей Фубини }F,F{ 0p

pn и Вильчинского

}W,W{ 0p

pn нормализуют гиперполосу n

rm PCH ⊂ взаимно [2].

Под обобщенным оснащением гиперполосы nrm PCH ⊂ в смысле

Э. Картана [6] понимается такое оснащение, при котором каждой точке r0 VA ∈ поставлена в соответствие плоскость )A(K 01rn −− , не имеющая общих точек с касательной плоскостью )A(T 0r направляющей поверхности rV [1].

Будем говорить, что гиперполоса rmCH оснащена в смысле Э. Бор-

толотти [7], если каждой точке r0 VA ∈ поставлена в соответствие гиперплоскость )A(N 01n− , не проходящая через точку 0A . Эта гиперплоскость задается уравнением

;0xxxxv 0n0n

v0v

p0p =−++ μμ (7)

⎪⎭

⎪⎬⎫

=+−−∇

=+∇=+∇

.v

,vv,q

nqnp

npvnvn

qpqpp

qvqvv

ωμωωωμμ

ωωωμωμ00000

000000

(8)

Из (81) следует, что в качестве охватов функций 0vμ можно взять

функции 0vB [1]. Таким образом, в этом случае оснащающая

гиперплоскость )A(N 01n− проходит через первую ось Кенигса

)A(K 02rn −− гиперполосы rmCH .

2. Следуя работам [8; 9] с учетом уравнений (1; 2; 7; 8), получаем предложение.

Теорема 1. На обобщенно нормализованной в смысле Нордена-Картана гиперполосе r

mCH в расслоении обобщенных нормалей

rnN − индуцируются четыре нормальные связности ⊥∇ε

, определяемые системами слоевых форм:


80

,0),v(,v nv

qn

0q

00

uv

uv

uv

qv

0q

0v

0v =−−=−=

εεεθωωδωθωωθ

,Гvv,vBvB p0

nnp

np

pn

p0

0p

00

nn

nn

np

pn

vn

vp

pn

q0

vnq

vn ωωωωωθωωωθ

εεε+++−=−−=

,Гv)vvBv(vBv p0

nnp

0n

np

pn

qn

qv

vn

p0

qnp

0q

0v

vn

0p

pn

0n

0n ωωωωωωωθ

εε+−+−++= (9)

где тензоры nnpГ

ε имеют следующие охваты:

.TaГ,vavlГ,TГ,0Г qn

npq

nnp

3qn

npq

0pp

nnp

20p

nnp

1nnp

0=−−=== (10)

Нами построен во 2-й дифференциальной окрестности двойственный образ r

mCH гиперполосы rmCH относительно инволютивного

преобразования J форм KJω [10]. В силу этого имеет место теорема,

двойственная теореме 1. Теорема 2. На обобщенно нормализованной в смысле Нордена-

Бортолотти гиперполосе rmCH в расслоении нормалей 2-го рода

1rN − индуцируются четыре нормальные связности ⊥∇ε

, определяемые системами слоевых форм:

,0),v(ll),v(l nv

nq

qn

00

uv

q0wvq

uwn

uv

uv

up

pn

un

nuv

0v =−−+=+=

εεεθωωδωωθωωθ

,Гvv),vBBv(l p0

nnp

np

pn

p0

0p

00

nn

nn

q0

0q

0u

q0

0uq

pu

0p

vun

vn ωωωωωθωωωθ

εεε++−−=++=

,Г)vvBv(vBv q0

nnq

0n

q0

0q

0p

vp

0v

q0

0pq

pn

vn

0v

pn

0p

0n

0n ωμωωωωωωθ

εε+−−+−−= – (11)

где ,ГГ,ГГ,ГГ,0Г nnq

3nnq

3nnq

2nnq

2nnq

1nnq

1nnq

0==−== (12)

функции uvn

nuv l,l введены в работе [10].

Из соотношений (9 – 12) с учетом уравнений (1; 3; 5; 6) следует Теорема 3. На обобщенно нормализованной в смысле Нордена-

Чакмазяна гиперполосе rmCH признаки условий попарного

совпадения нормальных связностей имеют вид


81

0T,0T pn

300p

10=⇔∇≡∇=⇔∇≡∇ ⊥⊥⊥⊥ ,

)Fv,Fv(,Fv pn

pn

0p

0p

210p

npn

21==⇔∇≡∇≡∇=⇔∇≡∇ ⊥⊥⊥⊥⊥ . (13)

Согласно работам [11; 4; 10] с использованием формул (1 – 6), получим следующие предложения.

Теорема 4. На обобщенно нормализованной в смысле Нордена-Чакмазяна гиперполосе r

mCH в касательном расслоении )V(T r

индуцируются пять аффинных связностей 51γγ − , определяемых

системами слоевых форм:

;vvv q0

0p

np

qn

s0

0s

qp

00

qp

qp

qp

1ωωωδωδωθ +−−−= q

p

1qp

2θθ = n

spfqsn aa[+ –

−− 0t

npf

qtn v(aa ;)]vav()vav()va f

0sn

nps

0p

qf

sn

nfs

0f

qp

snts ωδδ −−−−−

;Da s0

nfps

qfn

qp

1qp

3ωθθ += ;Ta s

0f

nnsf

qp

qp

1qp

4ωδθθ −= (14)

−−+= ,)TaDa( s0

fn

nsf

qp

nfps

qfn

qp

1qp

5ωδθθ

при этом первые три связности 321

,, γγγ без кручения, а 54

,γγ имеют равные, вообще говоря, ненулевые кручения.

Теорема 5. На обобщенно нормализованной в смысле Нордена-Чакмазяна гиперполосе n

rm PCH ⊂ индуцируются пять аффинных

связностей σγ (двойственных соответственно связностям

σγ ),

определяемых системами слоевых форм:

;qp

1qp

1θθ = ;q

p

1qp

2θθ = ;Da s

0nfps

qfn

qp

1qp

3ωθθ −=

;Ta s0

fn

nsf

qp

qp

1qp

4ωδθθ −= ,)TaDa( s

0f

nnsf

qp

nfps

qfn

qp

1qp

5ωδθθ +−= – (15)

причем первые три связности 31γγ − без кручения, а связности

54,γγ имеют равные, вообще говоря, ненулевые кручения.

В силу формул (3; 5; 6; 14; 15) имеет место

(14)


82

Теорема 6. На обобщенно нормализованной в смысле Нордена-Чакмазяна гиперполосе r

mCH признаки условий попарного

совпадения аффинных связностей σγ имеют вид

,0T,0D pn

5341npqt

5431=⇔≡⇔≡=⇔≡⇔≡ γγγγγγγγ

,0T),0T,0D( 0p

32p

nnpqt

3451=⇔≡==⇔≡⇔≡ γγγγγγ (16)

).0T,0D( 0p

npqt

21==⇔≡ γγ

Замечание. Для двойственного образа гиперполосы rmCH

гиперполосы rmCH признаки попарного совпадения нормальных

связностей (13) и аффинных связностей (16) будут те же, только в

формулах (13; 16) надо связности писать с черточкой сверху, т. е. ε∇ и

σγ .


1. Попова Т.Ю. Центрированные тангенциально вырожденные гиперполосы r

mCH ранга r в проективном пространстве Pn / Калинингр. ВВМУ. Калининград, 1997. Деп. в ВИНИТИ, №197-В97.

2. Норден А.П. Пространства аффинной связности. М., 1976. 432 с. 3. Чакмазян А.В. Двойственная нормализация // Докл. АН АрмССР.

1959. Т. 28. № 4. С.151 – 157. 4. Максакова Т.Ю. Двойственные нормальные связности на

вырожденной гиперполосе rmCH // Диф. геом. многообр. фигур. Кали-

нинград, 2001. Вып. 32. С.65 – 69. 5. Mihailescu T. Geometrie differentiala projective. Bucuresti, 1958. 494 p. 6. Cartan E. Les espaces a connexion projective // Тр. семин. По вект. и

тенз. анализу. М.; Л., 1937. № 4. С. 147 – 159. 7. Bortolloti E. Connessioni nelle varieta luogo di spazi // Rend. Semin. Fac.

Sci. Univ. Cagliari, 1933. Vol. 3. P. 81 – 89. 8. Фисунов П.А. О нормальных связностях, индуцируемых на оснащенной

гиперполосе / Чуваш. пед. ин-т. Чебоксары, 1998. Деп. в ВИНИТИ, № 3394-В98. 9. Он же. Центропроективные связности в нормальных расслоениях

регулярной гиперполосы проективного пространства // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1999. Вып. 30. С. 89 – 94.

10. Максакова Т.Ю. Двойственный образ центрированной тангенциально вырожденной гиперполосы r

mCH // Там же. С. 50 – 54.


83

11. Столяров А.В. Двойственные аффинные связности на регулярной гиперполосе // Изв. вузов. Мат. 1999. № 9. С. 55 – 63.

T. Maksakova

CONNECTIONS, ASSOCIATE WITH VACUOUS HYPERSTRIP OF THE PROJECTIVE SPACE

The dual affine connections are constructed and dual projective connections for the centered tangential vacuous hyperstrip in the projective space.

УДК 514.75

В.С. Малаховский (Калининградский государственный университет)

О ДИСКРЕТНЫХ СЕМЕЙСТВАХ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ

РАВНОБЕДРЕННЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Рассмотрены семейства равнобедренных треугольников с целочисленными основаниями, высотами, опущенными на основание, и боковыми сторонами. Доказано существование единственного целочисленного равнобедренного треугольника с высотой р, с основанием 2р (р > 2) и двух треугольников с боковой стороной р ≥ 5, где р – простое число (р ∈ Р). Определены четыре последовательности, порождаемые множеством простых чисел, и показано, что при р > 5 площадь любого целочисленного равнобедренного треугольника с боковой стороной р ∈ Р кратна 60. Найдены подмножества всех целочисленных равнобедренных треугольников с заданными основанием а, высотой h и боковой стороной с. Даны конкретные примеры таких подмножеств.

§1. Последовательности целочисленных равнобедренных треугольников, порождаемые множеством простых чисел

Рассмотрим равнобедренный треугольник АBC с основанием а = BC, высотой h = AD и боковой стороной с = AB = AC. Назовем треугольник ABC целочисленным, если длины всех его сторон и длина высоты – натуральные числа: а∈ N, h∈ N, c∈ N. Обозначим такой треугольник тройкой чисел (a, h, c). Очевидно, что при любом λ∈ N


84

треугольник (λa, λh, λc), подобный данному, будет также целочисленным.

Так как 4

222 ahc =− ∈ N, то основание а любого целочисленного

равнобедренного треугольника является четным числом, причем а ≥ 6, h ≥ 3, c ≥ 5 (знаки равенства справедливы для минимального пифагорова треугольника ABD: (4, 3, 5) V (3, 4, 5).

Из диофантовых формул для несократимых пифагоровых треугольников (2mn, m2-n2, m2+n2), m,n ∈N, m > n, НОД(m, n) = 1 (1.1) (см. [1]) следует, что любой несократимый целочисленный равнобедренный треугольник определяется одной из двух троек натуральных чисел: (4mn, m2–n2, m2+ n2); (1.2) (2(m2–n2), 2mn, m2+ n2), (1.3) где m > n, НОД(m, n) = 1.

Пусть р > 2 – произвольное простое число. Из (1.2) следует, что существует единственный целочисленный равнобедренный треугольник с высотой h = p: (p2 – 1, p, 1/2(p2+1)). (1.4)

Простое число р > 2 определяет также единственный целочисленный равнобедренный треугольник с основанием а = 2р:

(2р, 21 (p2 – 1),

21 (p2+1)). (1.5)

Возникают две бесконечные последовательности целочисленных равнобедренных треугольников соответственно с высотами h = p, основаниями а = 2p:

(8, 3, 5); (24, 5, 13); (48, 7, 25); (120, 11, 61); (168, 13, 85); (288, 17, 145), (1.6)

(6, 4, 5); (10, 12, 13); (14, 24, 25); (22, 60, 61); (26, 84, 85); (34, 144, 145), (1.7)

и соответственно равными боковыми сторонами. Пусть р = 4k+1 (k∈ N) – произвольное простое число, сравнимое

с единицей по модулю 4. По теореме Эйлера оно единственным образом разлагается на сумму квадратов двух натуральных чисел и,

В.С. Малаховский

85

следовательно, по формуле (1.1) определяет единственный пифагоров треугольник АBD c гипотенузой р = AB. Так как катеты BD и AD прямоугольного треугольника ABD можно менять местами, то простое число р = 4k+1 определяет два целочисленных равнобедренных треугольника с боковой стороной р: (4mn, m2– n2, p); (1.8)

(2(m2– n2), 2mn, p), (1.9) где р = m2+n2.

Формулы (1.8), (1.9) определяют две бесконечные последовательности целочисленных равнобедренных треугольников с боковой стороной р:

(8, 3, 5); (24, 5, 13); (16, 15, 17); (40, 21, 29); (24, 35, 37); (80, 9, 41), (1.10)

(6, 4, 5); (10, 12, 13); (30, 8, 17); (42, 20, 29); (70, 12, 37); (18, 40, 41),… (1.11)

Так как при р>5 площадь прямоугольного треугольника с гипотенузой р кратна 30 [2, c. 55], то при p >5 площадь каждого целочисленного равнобедренного треугольника с боковой стороной р кратна 60.

§2. Подмножества целочисленных равнобедренных

треугольников с заданной боковой стороной

Пусть с >4 – произвольное натуральное число, не являющееся степенью двух:

с = rrp...pp ααα 21

21 , (2.1)

где рi (i = r,1 ) – попарно различные простые числа, αi∈ N. Из выражений (1.2), (1.3) следует, что с может быть боковой

стороной целочисленного равнобедренного треугольника тогда и только тогда, когда с = λ(m2+n2), m∈ N, n∈ N, m > n. (2.2) Значит, если среди простых чисел рi нет ни одного числа вида 4k+1 (k∈N), то не существует целочисленных равнобедренных треугольников с боковой стороной С = АВ.

Пусть число с содержит q≥1 попарно различных простых множителей вида 4k+1. Представим его в виде


86

с = sp1p2…pq. (2.3) Известно [3, c.73], что множество всех пифагоровых

треугольников с гипотенузой (2.3) состоит из ∑=

−q

k

kq

k C1

12 тре-

угольников. Так как катеты AD и BD пифагорова треугольника ABD можно менять местами, то множество всех целочисленных равнобедренных треугольников с заданной боковой стороной (2.3) состоит из 2 ∑

=

−q

k

kq

k C1

12 (2.4)

треугольников. Пусть, например,

c = 308763 = 32⋅7⋅132⋅29. (2.5) Имеем: c* = 13⋅29 = 377; s = 32⋅7⋅13 = 819. Находим четыре пифагоровых треугольника с гипотенузой c* [3, c. 70]: (348, 145, 377); (260, 273, 377); (352, 135, 877); (152, 345, 377) (2.6)

Так как c = 819c*, то умножая пифагоровы тройки (2.6) на 819 и используя формулы (1.2) и (1.3), находим восемь целочисленных равнобедренных треугольников с боковой стороной c = 308763: (570 024, 118755, c); (425 880, 223 587, c); (576 576, 110 565, c); 248 976, 282 555, c); (237 510, 285 012, c); (447 174, 212 940, c); (2.7) (221 130, 288 288, c); (565 110, 124 488, c).

§3. Подмножества целочисленных равнобедренных треугольников с заданной высотой

Формулы (1.2), (1.3) определяют целочисленные

равнобедренные треугольники соответственно с нечетными и четными высотами. Пусть

h = kkp...pp ααα 21

21 (3.1)

– произвольное нечетное число, большее 1. Обозначим h* = p1p2…pk (3.2) и представим число h в виде h = λh*, (3.3)


87

т.е. λ = 112

11

21 −−− kkp...pp ααα . Для любого представления числа h* в виде

произведения двух неравных множителей h* = rs (r > s) (3.4) получаем единственный целочисленный равнобедренный треугольник с высотой h:

(λ(r2-s2), h, 2λ (r2+s2)). (3.5)

Из обозначения (3.2) следует, что при k четном разложение числа h* в произведение двух неравных множителей можно осуществить

tk ≡ 21

21

21 k

k

k

kkok CC...CC ++++

− (3.6)

способами, а при k нечетном –

]k[

kkokk C...CCt~ 21 +++≡ (3.7)

способами. Здесь символом [2k ] обозначена целая часть числа

2k

, а

1def

okC = . В частности, при k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 соответственно получаем

числа tk: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64. Пусть, например,

h = 51975 = 33⋅52⋅7⋅11. (3.8)

Имеем h* = 3⋅5⋅7⋅11 = 1155; λ = 32⋅5 = 45. Находим

h*= 1155⋅1 = 385⋅3 = 231⋅5 = 165⋅7 = 105⋅11 = 77⋅15 = 55⋅21 = 35⋅33. (3.9) По формуле (3.5) находим восемь целочисленных равнобедренных треугольников с высотой h = 51 975: (60 031 080, h, 30 015 585); (6 669 720, h, 3 335 265); (2 400 120, h, 1 201 185); (1 222 920, h, 613 665); (3.10) (490 680, h, 250 785); (256 680, h, 138 465); (1 16 280, h, 77 985); (6 120, h, 52 065).

Рассмотрим теперь случай, когда h~ – произвольное четное число, отличное от степени 2:

h~ = kokp...pp αααα ⋅⋅⋅ 21

212 , (3.11)


88

где простые рi попарно различны и отличны от двух. Из (1.3) следует, что в несократимом целочисленном

равнобедренном треугольнике числа m и n должны быть различной четности. Следовательно, 2mn кратно четырем, т.е. αо≥ 2.

Представим число h в виде ∗= h~~h~ λ , (3.12) где

112

11

2 212 −−−−= kokp...pp~ ααααλ , kp...pph~ 214=∗ . (3.13)

Запишем число h* = p1p2…pk в виде произведения (3.4) двух различных нечетных множителей. Полагая m = 2r, n = s, получим целочисленные равнобедренные треугольники с четной высотой (3.11): (2 λ~ (4r2–s2), h~ , λ~ (4r2+ s2)), r> s. (3.14) При k четном это можно осуществить tk способами, и при k нечетном – kt

~ способами (см.(3.6), (3.7)). К этим случаям следует добавить те, для которых

2s> r. (3.15) Тогда m = 2s, n = r и целочисленные равнобедренные треугольники с высотой h~ определяются тройками чисел:

(2 λ~ (4s2–r2), h~ , λ~ (4s2+ r2)). (3.16) Рассмотрим, например, множество целочисленных

равнобедренных треугольников с высотой

h~ = 7920 = 24⋅32⋅5⋅11. (3.17)

Здесь λ~ = 12, h* = 3⋅5⋅11 = 165. Имеем h* = 165⋅1 = 33⋅5 = 15⋅11 = 55⋅3. Полагая m = 2⋅165 = 330, n = 1; m = 2⋅55 = 110, n = 3; m = 2⋅33 = 66, n = 5; m = 2⋅15 = 30, n = 11, находим четыре целочисленных равнобедренных треугольника с высотой h~ = 7920:

(2 613 576, h~ , 1 306 812); (290 184, h~ , 145 308); (3.18) (103 944, h~ , 52 572); (18 696, h~ , 12 252).

Так как 2⋅11> 15, то существует еще один целочисленный равнобедренный треугольник с высотой h~ , определяемый формулой (3.16): (6216, h~ , 8508). (3.19)


89

§4. Подмножества целочисленных равнобедренных

треугольников с заданным основанием

Пусть а = ko

kp...pp αααα ⋅⋅⋅ 21212 , (4.1)

где рi >2 – попарно различные простые числа. Представим число а в виде а = λ⋅2р1р2…рk. (4.2) Разобьем произведение а* = р1р2…рk всевозможными способами на два сомножителя: а* = rs. Тогда из формулы (1.3) следует, что целочисленный равнобедренный треугольник с основанием а определяется формулой

(а, 2λ (r2-s2),

2λ (r2+s2)), (4.3)

причем при k четном (нечетном) число всех таких треугольников – tk ( kt

~ ) (см.(3.6), (3,7)). Если αо≤ 2, то других целочисленных равнобедренных треугольников с гипотенузой а нет. Если же αо> 2, то можно представить число а в виде

а = λ~ ⋅4⋅2р1р2…рk (4.4)

и кроме треугольников вида (4.3), где λ = 4λ~ , получить еще tk (или

kt~ ) треугольников:

(λ~ 4mn, λ~ (m2-n2), λ~ (m2+n2)), (4.5) где m = 2r, n = s, р1р2…рk = a* = rs, добавив к ним также треугольники вида (4.5), в которых m = 2s, n = r (если 2s> r).

Пусть, например, а = 11088 = 24 ⋅32⋅7⋅11. (4.6) Имеем λ = 24, λ~ = 6, а* = 3⋅7⋅11 = 231. Находим

а* = 231⋅ 1 = 77⋅3 = 33⋅7 = 21⋅11, (4.7) т. е. r = 231, s = 1; r = 77, s = 3; r = 33, s = 7; r = 21, s = 11.


90

Получаем по формуле (4.3) четыре целочисленных равнобедренных треугольника с основанием а = 11 088: (а, 640 320, 640 344); (a, 71 040, 71 256); (a, 12 480, 13 656); (a, 3 840, 6 744). Так как αо = 4 > 2, то получим по формуле (4.5) еще пять таких треугольников с основанием а, полагая m = 462, n = 1; m = 154, n =3; m = 66, n =7; m = 42, n = 11; m =22, n =21: (4.9)

(a, 1 280 658,1 280 670); (a, 142 242, 142 350); (a, 25 842, 26 430); (a, 9 858, 11 310); (a, 258, 5 550).


1. Оре О. Приглашение в теорию чисел. М., 1980. 128 с. 2. Малаховский В.С. О некоторых свойствах базовых

последовательностей пифагоровых треугольников // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2002. Вып. 33. С. 54 – 56.

3. Он же. Диофантовы семейства пифагоровых треугольников // Там же, 2001. Вып. 32. С. 69 – 73.

V. Malakhovsky

ABOUT DISKRETE SETS OF INTEGER ISOSCELES TRIANGLES

The sets of isosceles triangles with the integer basis, altitudes omitted

on the basis, and lateral parties are considered. The existence of an alone integer isosceles triangle with an altitude p, with the basis 2p (p > 2) and two triangles with the lateral party p ≥ 5, where p – prime number (p∈P) is proved. Four sequences generated by set of simple numbers determined and is shown, that at p > 5 areas of any integer isosceles triangle with the lateral party p∈P is aliquot 60.

The subsets of all integer isosceles triangles with the given basis a, given altitude h and given lateral party c are found. The concrete exam-ples of such subsets are given.

(4.10)

(4.8)

Н.В. Малаховский

89

УДК 514.75

Н.В. Малаховский (Калининградский государственный университет)

КОНИКИ, ПОРОЖДЕННЫЕ

ИЗОГОНАЛЬНЫМ И ИЗОТОМИЧЕСКИМ ПРЕОБРАЗОВАНИЯМИ ПЛОСКОСТИ

Методом комплексных чисел в планиметрии [1] найдены

аналитические выражения мнимых изогональной и изотомической коник, изученных в работе [2]. Показано, что ряд известных вписанно-описанных действительных коник треугольника являются взаимными относительно мнимых изогональной и изотомической коник. Корреляционные преобразования плоскости, порождённые изогональной и изотомической кониками представлены конечной последовательностью преобразований плоскости относительно действительных геометрических образов. Доказано, что множество всех преобразований плоскости, порождённых композицией корреляционного преобразования точки в её поляру относительно изогональной коники, и корреляционного преобразования полученной поляры в точку относительно изотомической коники, образует группу, в которой единицей является преобразование, порождаемое равносторонним треугольником.

Рассмотрим два инволютивных преобразования плоскости: изогональное I и

изотомическое T сопряжения плоскости. Относительно заданного невырожденного треугольника ABC , вписанного в единичную окружность, комплексные координаты образов Q и прообразов P этих преобразований связаны соответственно соотношениями

,pqqp 013 =−++≡ σσI

( ) ( )( ) ,qpqpqpqpT 013 211112 =+++−+−+++≡ σσσσσII

где abc,cabcab,cba =++=++= 321 σσσ – симметрические многочлены относительно чисел c,b,a – комплексных координат вершин треугольника ABC . Пусть ABC – произвольный невырожденный треугольник, а P – произвольная точка плоскости. Обозначим ,BCAPAp ∩= ABCPC,CABPB pp ∩=∩= . Точки

,BAABL pp∩= pppp ACCAN,CBBCM ∩=∩= лежат на одной


90

прямой, называемой гармонической полярой [2] (в дальнейшем – поляра), точки P относительно треугольника ABC . При этом точка P называется гармоническим полюсом [2] (в дальнейшем – полюс) прямой MNP относительно треугольника ABC . Изогональной, соответственно изотомической, полярой точки P относительно треугольника ABC , вписанного в единичную окружность 1=z , называется гармоническая поляра точки Q , изогонально, соответственно изотомически, сопряжённая точке P относительно треугольника ABC [2]. Уравнения этих гармонических поляр имеют вид

( ) ( ) 3222323 21112121 ++−−+−++− σσσσσσσ ppzppzpp , (1)

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ++−+−+−+

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −+−+

zpp

zpp

212

11221

21

212

11221

21

23329

23329

σσσσσσσ

σσσσσσσ

+ ( )( ) ( )( ) .pp 09223232

22

1212

11212

11 =−−++−++− σσσσσσσσσσ

Переходя от полярной формы к квадратичной путём замены p на z в уравнениях (1) и (2), получим уравнения изогональной и изотомической коник: ,zzzzzz 03446 2

1112

22

2 =++−−++ σσσσσ (3)

( ) ( ) ( )( ) +−−+−+−+⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ − zzzzz 21

211

2212

21

2212 23393 σσσσσσσσσ

( )( ) .z 0292

2123

2

22

1212

11 =+−−−−+ σσσσσσ

Коники (3) и (4) являются мнимыми кониками, существующими на комплексной проективной плоскости и имеющими действительные центры и действительные оси. Действительно, в случае коники (3), осуществляя композицию параллельного переноса начала координат на вектор

932 2

1

112

−

−=

σ

σσσl , (5)

(2)

(4)


91

где ( )lL – точка Лемуана треугольника ABC , и вращения плоскости

вокруг начала координат, определяемого формулой zz ′= 4

2

2

σσ ,

приведём уравнение коники (3) к виду

( ) ( ) ( ) 09

6 21

22232

12

1 =−

−−−+++

σσσσ accbbazzzz .

Переходя к декартовым координатам y,x , получим каноническое уравнение коники:

( ) ( ) ( )( )( )( )( ) 0

9233 2

1

232

12

1 =−

−−−+−++

σσσσ accbbayx . (6)

Заметим, что в случае невырожденного треугольника ABC , т. е. когда 0≠≠≠ cba ⇒ 31 <σ , число ( )( )( )accbba −−−3σ является чисто мнимым, а значит, его квадрат является отрицатель-ным числом. В этом случае

( ) ( ) ( )( )( )( )( ) 092

33 21

232

12

1 <−

−−−=−++

σσσσ accbbayx ,

откуда следует, что не существует ни одной пары действительных чисел ( )y,x , удовлетворяющих уравнению (6), что и означает, что коника (3) является мнимой с действительными осями и центром в точке Лемуана (5). Оси мнимой изогональной коники и её центр совпадают соответственно с осями и центром коники, касающейся треугольника в основаниях его высот, так называемой ортоконики [2]. Действительно, уравнение ортоконики имеет вид:

( ) ( )

,

zzzzzz

01034

2264

12

12

212

21

121121

2

22

2

=−−+⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −+

−−−−++

σσσσσσ

σσσσσσσσ (7)

откуда следует, в силу совпадения коэффициентов при zz , 2z и 2

z , совпадение асимптотических направлений, а следовательно, и параллельность осей коник. Кроме того, коника (7) также имеет центр в точке Лемуана треугольника ABC . Проводя аналогичные рассуждения в случае коники (4) и осуществляя последовательно параллельный перенос начала координат в точку G – пересечение


92

медиан треугольника ABC с координатой ( )cbag ++=31 – и

вращение плоскости вокруг начала координат zz ′−

−= 4

221

221

3

3

σσ

σσ ,

приведём её к каноническому виду:

( )( )( )( )( ) 0

969

321

9

321 2

1

232

21

2212

21

221

=−

−−−+⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−−+⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−+

σσ

σ

σσ

σ

σσ accbbayx ,

причём, в силу 31 <σ ,

( )( )( )

( )( )( )

03

2

3332

9

32

3332

32

1

1

1

11

112

1

221

11

11

1

1

<−

=

=+−

+≤

−

−≤

+−

−−=

+

−<−

σσ

σσσσ

σ

σσ

σσσσ

σσ

.

Следовательно, коника (4) является мнимой с действительными осями и центром в точке G – пересечение медиан треугольника ABC . Оси мнимой изотомической коники и её центр совпадают соответственно с осями и центром вписанного в треугольник эллипса Штейнера [2]:

( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) .z

zzzzz

034123

23393

21

22112

211

122

1122

122

122

12

=+−−−−+

+−−+−+−+⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

σσσσσσ

σσσσσσσσσ (8)

Действительно, сравнивая уравнения эллипса Штейнера и изотомической коники, убеждаемся в совпадении коэффициентов

при ,zz 2z и 2

z , а следовательно, и совпадении асимптотических направлений и параллельности осей коник. Кроме того, коника (8) также имеет центр в точке пересечения медиан треугольника ABC . Несмотря на то, что коники (3) и (4) являются мнимыми, каждая точка P плоскости имеет действительную поляру относительно этих коник. В частности, если точка P описывает единичную окружность, её поляра относительно коники (3) огибает вписанный в треугольник ABC эллипс Штейнера (8), касающийся сторон


93

треугольника ABC в их серединах. Если же точка P пробегает описанный эллипс Штейнера треугольника ABC :

( ) ( ) ( )( )

( )( ) ,z

zzzzz

09723

23393

2

212

21

2112

211

122

1122

122

122

12

=−−−+−−

+−−+−+−+⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

σσσσσσσσσ

σσσσσσσσσ

её поляра также огибает вписанный в треугольник ABC эллипс Штейнера. Следовательно, описанная окружность треугольника ABC и вписанный в него эллипс Штейнера являются взаимными кониками относительно изогональной коники (3), и аналогично описанный около треугольника эллипс Штейнера и вписанный в него эллипс Штейнера являются взаимными кониками относительно изотомической коники (4). Действительно, находя поляры середин сторон треугольника ABC относительно изогональной, соответственно изотомической коники, получим уравнения прямых BC, CA, AB: 010 =−−+=−−+=−−+ bazabz,aczcaz,cbzbcz , касающихся в серединах сторон ,AB,CA,BC вписанного в треугольник ABC эллипса Штейнера. Наоборот, находя поляры середин сторон треугольника ABC относительно изогональной, соответственно изотомической, коники получим прямые, касающиеся описанной окружности, соответственно описанного эллипса, треугольника ABC в точках C,B,A . Отсюда, в силу произвольности треугольника ABC , и следует доказательство.

Корреляционные преобразования плоскости, порождённые мнимыми изогональной, соответственно изотомической, кониками представляются конечной последовательностью коллинеационных и корреляционных преобразований плоскости [2]. Действительно, корреляционное преобразование точки P в прямую (3) является последовательным выполнением 1) параллельного переноса начала координат на вектор p21 −σ ; 2) изотомического преобразования плоскости; 3) изогонального преобразования плоскости; 4) коррелятивного преобразования относительно единичной окруж-ности. Корреляционное преобразование точки P в прямую (4) является последовательным выполнением параллельного переноса начала


94

координат на вектор p21 −σ и коррелятивного преобразования относительно описанного эллипса Штейнера.

Рассмотрим преобразование ( )QP ϕ= плоскости, порождённое композицией корреляционного преобразование точки P в поляру (6) относительно изотомической коники и корреляционного преобразования поляры (4) в точку Q относительно изогональной коники. Это преобразование ϕ определяется формулой

2111

1212

33

σσσ

σσσσ

−++

−++=

qqqqp , (9)

а обратное преобразование ( )PQ φ= – формулой

( ) ( )

( ) ( ) 21121121

2111122

21

212

21

933

34394

σσσσσσσ

σσσσσσσσσσ

−+−+−

−−+−++−=

pp

ppq . (10)

Заметим, что только в случае равностороннего треугольника ABC pq ≡ , т. е. ϕ является тождественным преобразованием плоскости.

Действительно, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной p в тождестве

( ) 12122

12

12

1 33 σσσσσσσ −++≡−++ ppppp ,

получим 01 =σ . Пусть Φ – множество всех преобразований ϕ . Так как произведение любых двух преобразований множества Φ является преобразованием того же множества Φ и обратное преобразование к любому преобразованию множества Φ также является преобразованием множества Φ , то это множество преобразований Φ образует группу, единицей которой является преобразование, порождаемое равносторонним треугольником. Неподвижные точки преобразования

( )QP ϕ= определяются системой уравнений ( ) ( )pp,pp ϕϕ == , решениями которой являются значения cp,bp,ap === , т. е. неподвижными точками преобразования ϕ являются только вершины треугольника ABC . Из формулы (9), в частности, следует, что коллинеация ϕ тогда и только тогда является аффинным преобразованием плоскости, когда изогональное преобразование


95

плоскости совпадает с её изотомическим преобразованием, т. е. в случае равностороннего треугольника ABC . Аналогично – в случае коллинеации φ (10). Коллинеации ϕ и φ не являются инволютивными преобразованиями плоскости.

Список литературы 1. Малаховский Н.В. Метод комплексных чисел в планиметрии.

Калининград, 1996. 2. Cyril F. Parry. The Isogonal Tripolar Conic // Forum Geometricorum.

2001. Vol. 1. P. 33 – 42. N. Malakhovsky

CONICS INDUCED ISOGONAL AND ISOTOMIC

CONVERSIONS OF A PLANE

By method of complex numbers in planimetry [1] the analytical expres-sions imaginary isogonal and isotomic of conics studied in [2] are given. It is shown, that a series known inscribed-described of real conics of a triangle are mutual concerning imaginary isogonal and isotomic of conics. The correla-tion conversions of a planes induced isogonal and isotomic by conics are shown by final sequence of conversions of a plane concerning real geometri-cal images. It is proved, that the set of all conversions of the plane induced by composition of correlation conversion of a point in its polar concerning an isogonal conic and correlation conversion of an obtained polar in the point concerning isotomic of a conic is form group, in which one unit is the conver-sion induced by an equilateral triangle. УДК 514.76

О.А. Монахова (Пензенский государственный педагогический институт)

О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ

ГОРИЗОНТАЛЬНОГО ЛИФТА СВЯЗНОСТИ НА РАССЛОЕНИИ ДВАЖДЫ КОВАРИАНТНЫХ ТЕНЗОРОВ

Получены условия, которым должна удовлетворять

линейная связность на базе, для того чтобы расслоение дважды ковариантных тензоров со связностью


96

горизонтального лифта было пространством с локально-симметрической связностью и пространством рекуррентной кривизны.

Пусть nM – гладкое многообразие класса ∞С , ∇ – линейная

связность на нем, )M(T n0

2 – расслоение дважды ковариантных тензоров над nM . Произвольная локальная карта (U, xi) на базе nM

порождает карту ,n, i, j, k ),x,x),U(( jki Κ11 =−π на )M(T n

02 , где

π: )M(T n0

2 → nM – каноническая проекция, jki x,x – координатные

функции на расслоении. С помощью вертикальных и горизонтальных поднятий объектов,

заданных на базе расслоенного пространства, можно строить объекты на расслоении [1]. Вертикальным лифтом функции f, заданной на базе nM , является функция ποff V = на )M(T n

02 .

Вертикальные и горизонтальные лифты тензорных полей имеют следующее разложение в натуральном репере, образованном

векторными полями ii x∂

∂=∂ ,

jk

jk

x∂∂

=∂ :

ijVij

V )Q(Q ∂= – вертикальный лифт тензорного поля ji

ij dxdxQQ ⊗= ; kj

kiVi

jVjk

ikVi

jV x)S(S ,x)S(S ∂=∂= 21 – вертикальные лифты

тензорного поля ji

ij dxSS ⊗∂= ;

ijih

Vhsjmj

Vmsi

Vsk

VkH )x)Г(x)Г(()X()X(X ∂++∂= – горизонтальный

лифт векторного поля iiXX ∂= , где k

ijГ – компоненты связности ∇ в карте (U, xi). Далее для удобства записи значок вертикального лифта функций будет опускаться.

Введенные таким образом лифты позволяют построить на ⊂− )U(1π )M(T n

02 подвижной репер {Di, D jk} и дуальный ему

корепер },{ jki ΘΘ , адаптированные к связности ∇, где

=∂= HiiD pq

phhiqmq

mipi )xГxГ( ∂++∂ , jkVkjjk )dxdx(D ∂=⊗= ,

jki

jttiktk

tijjk

ii dxdx)xГxГ( ,dx +−−== ΘΘ .

О.А. Монахова

97

С помощью горизонтального лифта связности ∇ построена в работе [2] линейная связность H∇ на )M(T n

02 , удовлетворяющая условиям:

VX

VHX

HHQ

HX

HHX

VHQ )Q(Q ,X ,)Y(Y ,W HVHV ∇=∇=∇∇=∇=∇ 00 ,

где Q, W – тензорные поля типа (0,2), X, Y – векторные поля на базе nM . Найдены тензоры кривизны R~ и кручения Т~ построенной

связности H∇ на расслоении: 0=== )W,Q(T~)X,Q(T~)Q,X(T~ VVHVVH ,

=)Y,X(T~ HH 21 VVH ))Y,X(R())Y,X(R())Y,X(T( −− ,

где Т – тензор кручения связности ∇, R – тензор кривизны связности ∇;

HHHH )Z)Y,X(R(Z)Y,X(R~ = , 0=VVV U)W,Q(R~ ,

0=HHV Y)X,Q(R~ , 0=HVV Y)W,Q(R~ , 0=VHV W)X,Q(R~

VVHH ))Y,X(RQ)Y,X(RQ(Q)Y,X(R~21•−•−= ,

где X, Y, Z – векторные поля на базе; Q, W, U – тензорные поля типа (0,2) на базе расслоения; R – тензор кривизны связности ∇ на базе

nM ; свертки определены следующими условиями:

( )Y,X(RQ1• )(A,B) = Q(R(X,Y)A,B),

( )Y,X(RQ2• )(A,B) = Q(A,R(X,Y)B).

Получим условия, которым должна удовлетворять связность ∇ на nM , для того чтобы связность H∇ на )M(T n

02 была локально-

симметрической и с рекуррентной кривизной. Напомним, что линейная связность на дифференцируемом

многообразии локально-симметрическая тогда и только тогда, когда 00 =∇= R,T (Т – тензор кручения, R – тензор кривизны связности) [3].

Связность H∇ на )M(T n0

2 будет локально-симметрической, если =)Y,X(T~ HH 21 VVH ))Y,X(R())Y,X(R())Y,X(T( −− = 0. Выпишем разложение левой части в локальных координатах ( jk

i x,x ):


98

0=∂−∂−∂ kjki

ij

jkik

ij

Hs

lkskl x)Y,X(Rx)Y,X(RYXT .

В силу линейной независимости векторных полей адаптированного репера получим

,YXT lkskl 0= .x)Y,X(Rx)Y,X(R j

bkaki

ij

kb

jaik

ij 0=−− δδδδ

Отсюда следует 0=T и R = 0. Тем самым доказано следующее

Предложение 1. Связность H∇ на )M(T n0

2 локально-сим-метрическая тогда и только тогда, когда база расслоенного пространства локально-плоская.

Известно, что пространством рекуррентной кривизны называется пространство аффинной связности, в котором φ⊗=∇ RR , где φ – ковектор в этом пространстве; R – тензор кривизны связности ∇ [3].

Найдем условия, при которых связность H∇ на )M(T n0

2 будет с

рекуррентной кривизной: Φ⊗=∇ R~R~H , где Φ – 1-форма на рас-слоении. Так как HHHHHH ))A,Z,Y,X)(R(()A,Z,Y,X)(R~( ∇=∇ , где X, Y, Z, A – векторные поля на базе nM ; =∇ )A,Q,Y,X)(R~( HVHHH

= ( ) ( ) VAA ))Y,X)(R(Q)Y,X)(R(Q( ∇•−∇•−

21; Q – тензорное поле типа

(0,2), то =∇ H))A,Z,Y,X)(R(( )A()Z,Y,X(R~ HHHH Φ⋅ . Учитывая, что

=)Z,Y,X(R~ HHH H))Z,Y,X(R( и Vii

H )A()A( Φ=Φ , а также то, что горизонтальные лифты векторных полей являются полулинейными гомоморфизмами [4], относительно вертикальных лифтов функций, получим φ⊗=∇ RR , где i

idxΦφ = . Из всего вышесказанного следует

Предложение 2. Расслоенное пространство )M(T n0

2 является

пространством рекуррентной кривизны связности H∇ тогда и только тогда, когда база расслоения – пространство рекуррентной кривизны связности ∇ .


1. Монахова О.А. О некоторых лифтах на тензорном расслоении типа (0,2). Тр. Мат. центра им. Н.И. Лобачевского. Казань, 2000. Т. 5.

2. Она же. Горизонтальный лифт связности в расслоении дважды ковариантных тензоров // Движения в обобщенных пространствах: Межвуз. cб. науч. тр. Пенза, 2002.

О.А. Монахова

99

3. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. М., 1981. Т. 1.

4. Бурбаки Н. Алгебра. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра. М., 1962.

O. Monakhova

ABOUT SOME PROPERTIES OF HORIZONTAL LIFT

OF CONNECTION ON THE BUNDLE OF THE TENSORS OF THE TYPE (0,2)

The conditions which must correspond to the linear connection on the base of the bundle are obtained for the reason that the bundle of the ten-sors of the type (0,2) with the connection of the horizontal lift was locally symmetrical and the space of the recurrent curvature. УДК 514.75

С.В. Мотошкина (Иркутский государственный университет)

КРИВЫЕ В КОНФОРМНО-ПСЕВДОЕВКЛИДОВОМ

ОКТАВНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Рассмотрены кривые в семимерном конформно-октавном псевдоевклидовом пространстве, где возможны три случая в которых:

1) длина касательного вектора положительно определена; 2) длина касательного вектора отрицательно определена; 3) касательный вектор изотропный. Для каждого случая методом внешних форм Картана

построены канонические реперы, найдены их геометрические характеристики. Натуральный параметр вводится как величина угла между касательными векторами в начальной и текущей точках.

Пусть R 8 – алгебра октав и R 8 = R 1 ⊕ V, где V – ортогональное

дополнение к единице. V = R7 является алгеброй относительно векторного произведения [,], определенного в базисе {e1,..,e7} таблицей умножения обобщенной алгебры Кэли. V – антикоммутативная алгебра без единицы. Скалярное произведение определено с точностью до множителя и имеет сигнатуру (3; 4), т. е.


100

e12 = e 22 = e 3

2 = α 2, e4

2 = e 5 2 = e 6

2 = e 7

2 = -α 2. (1)

При изучении кривых в пространстве V возникает необходимость рассмотреть три случая, связанных с длиной касательного вектора. Длина может быть положительной, отрицательной или изотропной в силу того, что пространство псевдоевклидово. Рассмотрим случаи, когда длина положительная и изотропная, а случай отрицательной длины опустим потому, что можно провести аналогию с положительным случаем.

Пусть дана кривая r = r(t) (сразу исключаем вырожденные линии и прямые). Общий подвижной репер пространства V состоит из радиус-вектора r начала координат и семи базисных векторов ei, где i = 1,..,7. Предположим, что (dr)2 > 0, тогда пусть dr || e1, так как e1

2> 0. Применяя метод внешних форм Картана, получим следующие формулы для канонического репера кривой:

С.В. Мотошкина

101

r′ = e1, e1′ = K1 e 1 + e 2,

e2′ = – e 1+ K 1 e 2 + K 2 e 3+ K 3 e4

e3′ = – K 2 e 2 + K 1 e 3 – K 3 e 5, (2) e4′ = K 3 e 2 + K 1 e 4 + K 4 e 5 + K 5 e 6+ K 6 e 7, e5′ = – K 3 e 3 – K 4e 4 + K 1e 5 + (1- K 6) e 6 + K 5e7, e6′ = – K 5 e 4 + (K 6 – 1)e 5 + K 1 e 6 + (K 2 – K 4)e7, e7′ = – K 6 e 4 – K 5 e 5 + (K 4 – K 2) e 6 + K 1 e 7,

где K i = K i (s) – некоторые гладкие функции (i = 1,6). Натуральный параметр s мы не можем определить как длину

дуги, так как наше пространство конформное, т.е. длина определена с точностью до множителя. Однако его можно ввести как величину угла между касательными векторами в начальной и текущей точках.

Вектор e1 – направляющий вектор касательной: e1 = r′. Тогда e1′ = r′′. Из формул (2) следует, что e2 = r′′ – K1r′, e3 = [e1, e2 ] = =[r′, r′′ ].

Найдем вычислительные формулы для K1, K2. Из равенства < e1, e2 > = 0 находим K 1 = < r′, r′′ > / | r′ | 2. (3) Из равенства < e2′, e3 > = K 2 e3

2 получаем

K 2 = (r′, r′′, r′′′) / |[ r′, r′′ ]|2. (4) Из формул (2) имеем e4 = (e2′ + e 1 – K 1 e 2 – K 2 e 3) /K 3, e5 = (- e3 ′ – K 2 e 2 + +K 1 e 3) /K3. Вычислим K 3 из равенства e1 = [e4, e5 ]:

K 3 2 = -|[ r′, r′′′ ]| 2/ 2| r′ | 2 + K 2 (r′, r′′, r′′′) / | r′ | 2 +

+ K 1 (r′, r′′′, [ r′, r′′ ]) / | r′ | 2+2K 1 (r′, r′′, [ r′, r′′′ ]) / | r′ | 2 – – K 1

2 |[ r′, r′′ ]| 2/ 2| r′ | 2+ K 2 (r′, r′′, r′′′) – K 1 2 + K 2

2. Далее, e6 = – [e2, e4 ], e7 = – [e3, e4 ], K 4 = < e 4′, e 5 > / | e 5 | 2, K 5 = < e 4′, e 6 > / | e 6 | 2, K 6 = < e 4′, e 7 > / | e 7 | 2.

Аналогично исследуются кривые, для которых (dr) 2 < 0. Таким образом, справедлива

Теорема 1. Задание произвольных шести гладких функций K i (s), i = 1,..,6, определяет неизотропную кривую в конформно-псевдо-октавном пространстве с точностью до изоморфизма.


102

Особый интерес представляет изучение изотропных кривых. Для этого введем изотропный базис, в котором удобнее исследовать кривую такого типа. Положим E1 = e1 + e5, E2 = e2 + e6, E3 = e3 + e7, E4 = e4, E5 = e1 – e5, E6 = e2 – e6, E7 = e3 + e7.

Ненулевые скалярные произведения базисных векторов E i имеют вид < E 1, E 5 > = < E 2, E 6 > = < E 3, E 7 > = 2α 2, E 4

2 = -α 2. (6) Таблица векторных произведений определяется следующим образом: [ E1, E2 ] = 2E7, [ E1, E3 ] = – 2E6, [ E1, E4 ] = -E1, [ E1, E5 ] = -2E4, [ E1, E6 ] = 0, [ E1, E7 ] = 0, [ E2, E3 ] = 2E5, [ E2, E4 ] = -E2, [ E2, E5 ] = 0, [ E2, E6 ] = -2E4,[ E2, E7 ] = 0, [ E3, E4 ] = -E3, [ E3, E5 ] = 0, [ E3, E6 ] = 0, [ E3, E7 ] = -2E4, [ E4, E5 ] = -E5, [ E4, E6 ] = -E6, [ E4, E7 ] = -E7, [ E5, E6 ] = 2E3, [ E5, E7 ] = -2E2, [ E6, E7 ] = 2E1.

Пусть r = r(t) – изотропная кривая, т. е. (dr)2 = 0. Следовательно, можно выбрать подвижной репер так, что dr || E1 (так как E1

2 = 0). Применяя метод внешних форм Картана, получим следующие

деривационные формулы канонического репера изотропной кривой: r′ = E1,

E1′ = κ1E 1 + E 2 + 2E 4, E2′ = κ 2 E 1+ κ 1 E 2 + E 3+ 2κ 3 E 7,

E3′ = κ 4 E 1 + κ 5 E 2 + 3κ 1 E 3 – 2κ 3 E 4 – 2κ 3 E 6, E4′ = 2κ 3 E 1 + κ 1E 4 + E 5 – κ 3 E 7, (7) E5′ = κ 3 E 2 + 4κ 3 E 4 + κ 1E 5 – κ 2 e 6 – κ 4 E 7, E6′ = – κ 3 E 1 – E 3 – E 5 – κ 5 E 7,

E7′ = E 2 – E 6 – κ 1 E 7, где κ = κ i (σ) – некоторые гладкие функции (i = 1,..,5).

Натуральный параметр вычисляется по формуле (dσ)2 = | [ dr, d3r ] |2 / 4 (dr, d2r, d3r).

Чтобы избежать громоздких формул, построим алгоритм для вычисления базисных векторов Ei и инвариантов κi. Предполагаем, что (r′′) 2 ≠ 0, 4(r′′)2

– (r′, r′′, r′′′) ≠ 0. Сначала находим

(5)

С.В. Мотошкина

103

E1 = r′, E 7 = 0,5[ r′, r′′ ] + r′, κ 1 = 2< r′′, r′′′ > / (4(r′)2 (r′, r′′, r′′′)). Далее получаем векторы

E 4 = [ r′′′, E 7 ] / 6 + κ 1 [ r′, r′′ ] / 3 + 2 r′′ / 3, E 2 = – [ r′′′, E 7 ] / 3 – 2κ 1 [ r′, r′′ ] / 3 – r′′ / 3 – κ 1 r′, E 6 = – E 7′ + E 2 – κ 1 E 7. Затем вычисляем

κ 3 = – (E 4′) 2 /2 (r′′) 2 + κ 12 / 8, E 5 = E 4′ – 2 κ 3 E 1 – κ 1 E 4 + κ 3 E 7, E 3 = 0,5 [ E 5, E 6 ], κ 2 = – 2< E 2′, E 5 > / (r′′) 2, κ 4 = – 2< E 3′, E 5 > / (r′′) 2, κ 5 = – 2< E 3′, E 6 > / (r′′) 2. Итак, мы рассмотрели репер кривой, касательные к которой всюду изотропны. Производные более высокого порядка вектор-функции, задающей кривую, предполагаются неизотропными. Справедлива следующая

Теорема 2. Задание произвольных пяти гладких функций κ i (σ) определяет с точностью до изоморфизма изотропную кривую в конформно-псевдооктавном пространстве.


1. Грушко П. Я., Кузуб Н.М. О псевдоевклидовом варианте алгебры октав // Диф. геом. обобщ. простр. с фунд. группой. Иркутск, 1998. С. 15 – 29. 2. Постников М.М. Группы и алгебры Ли. М., 1982.

3. Фавар Ж. Курс локальной дифференциальной геометрии. М., 1960.

S. Motoshkina

CURVES IN CONFORMALLY PSEUDOEUCLIDEAN OCTONION SPACE

Curves in 7-dimensional conformally octonion pseudoeuclidean

space are considered. There are three cases. 1) tangent vectors are space-like, 2) they are timelike, 3) tangent vectors are isotropic. For each case by the method of the exterior forms of E. Cartan canonical frames are constructed; their geometrical characteristics are detected.

In particularly, the natural parameter is an angle between tangent vec-tors at initial and current points.


104

УДК 514.75

О.М. Омельян (Калининградский государственный университет)

ПОНЯТИЯ РАСПРЕДЕЛЕННОЙ

И НЕРАСПРЕДЕЛЕННОЙ ЛИНЕЙНЫХ СВЯЗНОСТЕЙ

В проективном пространстве Pn рассматривается неголономная поверхность или распределение плоскостей NSn. Продемонстрировано два способа задания связности в расслоениях над разными базами – Pn и NSn, приводящие к так называемым нераспределенной линейной связности и распределенной линейной связности. Дифференциальные уравнения объектов этих связностей отличаются, поэтому найдены инвариантные условия их совпадения. Показано, что объект кривизны распределенной связности в расслоении линейных реперов, принадлежащих плоскостям распределения, теряет тензорность и антисимметрию. Эту антисимметрию можно восстановить с помощью обобщенного альтернирования.

Проективное пространство Pn отнесем к подвижному реперу {A,AI} (I,J,K = n,1 ) с деривационными формулами

IIAAdA ω+θ= ; AAAdA IJ

JIII ω+ω+θ= (1)

и структурными уравнениями проективной группы GP(n)

,D IJ

JI ω∧ω=ω ,D JJII ω∧ω=ω .D K

KIJ

IK

KJ

IJ

IJ ω∧ωδ+ω∧ω+ω∧ω=ω (2)

Рассмотрим неголономную поверхность NSn или распределение 1-го рода [1; 2] m-мерных плоскостей Рm, т.е. через каждую точку пространства Pn проведем плоскость Pm. Получится n-мерное семейство NSn центрированных m-плоскостей *

mP . Осуществим разбиение

значений индекса I = (i,a) следующим образом: i,j,k = m,1 ; a,b,c = .n,1m + Произведем специализацию репера R, помещая вершины А и Аi в соответствующую плоскость *

mP , причем А – в ее центр. Уравнения распределения NSn в таком репере нулевого по-рядка имеют вид: .Ja

iJai ωΛ=ω (3)

О.М. Омельян

105

Продолжая уравнения (3), найдем

KaiJKi

aJ

aiJ ωΛ=ωδ−ΔΛ ( ).0a

]JK[i =Λ Подробнее: ,~ Ka

ijKaij ωΛ=ΔΛ ,Ka

ibKiab

jb

aij

aib ωΛ=ωδ−ωΛ−ΔΛ (4)

где .~ bjK

aib

aijK

aijK ΛΛ+Λ=Λ Дифференциальный оператор Δ действует

обычным образом: .d ki

akj

kj

aik

ab

bij

aij

aij ωΛ−ωΛ−ωΛ+Λ=ΔΛ

Над базой Pn со структурными уравнениями (21) построено [3; 4] главное расслоение G(Рn), типовым слоем которого является подгруппа стационарности G�GP(n) центрированной плоскости

*mP = {A,Pm}, где А�Рm. Расслоение G(Рn) содержит главное

подрасслоение L(Рn) с типовым слоем – линейной фактор-группой L = GL(m) группы G.

Запишем выражение для внешнего дифференциала форм

,~ KijK

ij

ij ωℑ−ω=ω (5)

с помощью которых способом Лаптева [5,6] определяется объект так называемой нераспределенной линейной связности

,ijKℑ соответствующий базе Рn со структурными формами :Iω

;)(~~~D LKikL

kjK

ijK

ijK

Kik

kj

ij ω∧ωℑℑ−ω+ℑΔ∧ω+ω∧ω=ω (6)

,d LK

ijL

kj

ikK

ik

kjK

ijK

ijK ωℑ−ωℑ−ωℑ+ℑ=ℑΔ .j

iKK

ij

ia

ajK

ijK ωδ−ωδ−ωΛ=ω

Из уравнений (6) следует, что компоненты объекта нераспределенной линейной связности удовлетворяют уравнениям .Li

jKLijK

ijK ωℑ=ω+ℑΔ (7)

Запишем их в подробном виде:

,)( LakL

ija

ijkL

ijk

ijk ωΛℑ+ℑ=ω+ℑΔ .Ki

jaKija

ka

ijk

ija ωℑ=ω+ωℑ−ℑΔ (8)

Рассмотрим вместо базы Pn расслоения L(Pn) распределение NSn, которое является базой той же размерности. В результате имеем главное расслоение L(NSn) с тем же типовым слоем. В этом расслоении зададим способом Лаптева объект так называемой распределенной связности Г = { },, i

jaijk ΓΓ который определим с

помощью формы ω) с компонентами


106

.aija

kijk

ij

ij ωΓ−ωΓ−ω=ω

)

Выражение для внешнего дифференциала форм ijω

) , задающих распределенную связность, имеет вид

.

)()(DKai

kKkja

KkilK

ljk

akbka

ijb

lkakl

ija

ija

ka

ijk

ija

aijk

ijk

kik

kj

ij

ω∧ωΓΓ−ω∧ωΓΓ−ω∧ωΛΓ−ω∧ωΛΓ−

−ω+ωΓ−ΔΓ∧ω+ω+ΔΓ∧ω+ω∧ω=ω)))

(9)

Из уравнений (9) видно, что компоненты объекта распределенной связности в силу теоремы Картана-Лаптева [5; 6] удовлетворяют следующим дифференциальным уравнениям:

., bijab

kijak

ija

ka

ijk

ija

aijka

lijkl

ijk

ijk ωΓ+ωΓ=ω+ωΓ−ΔΓωΓ+ωΓ=ω+ΔΓ (10)

Сопоставление уравнений (81) и (101) позволяет произвести отождествление

,,, bka

ijb

ijka

ijka

akl

ija

ijkl

ijkl

ijk

ijk Λℑ+ℑ=ΓΛℑ+ℑ=Γℑ=Γ (11)

а из уравнений (82) и (102) имеем .,, i

jabijab

ijak

ijak

ijk

ijk

ija

ija ℑ=Γℑ=Γℑ=Γℑ=Γ (12)

Таким образом, дифференциальные уравнения (8,10) показывают, что объект нераспределенной связности },{ i

jaijk

ijK ℑℑ=ℑ совпадает с

объектом распределенной связности { },, ija

ijk ΓΓ если выполняются

условия (11; 12). Продифференцируем уравнения (7) внешним образом. В

результате получим сравнения на компоненты объекта ijKLℑ :

,0jL

iK

iaL

ajK

ia

ajKL

LijKK

ijL

ikL

kjK

kjL

ikK

ijKL

≡ωδ−ωΛ+ωΛ+

+ωℑ+ωℑ+ωℑ+ωℑ−ℑΔ (13)

где ., aiJ

iaJa

ajKjK ωδ−=ωωΛ=ω Учитывая действие оператора �,

положим в сравнении (13) K = k, L = l, тогда

.0

d

jlik

ial

ajk

ia

ajkll

ijkk

ijl

isl

sjk

sjl

isk

is

sjkl

Jl

ijkJ

Jk

ijJl

sj

iskl

ijkl

≡ωδ−ωΛ+ωΛ+ωℑ+ωℑ+

+ωℑ+ωℑ−ωℑ+ωℑ−ωℑ−ωℑ−ℑ

Преобразуя это с помощью оператора � и используя уравнения неголономного распределения NSn (3), получим


107

.0jlik

ial

ajk

ia

ajkll

ijkk

ijl

isl

sjk

sjl

isk

ijkl ≡ωδ−ωΛ+ωΛ+ωℑ+ωℑ+ωℑ+ωℑ−ℑΔ (14)

Aналогично, придавая значения индексам K = a, L = k; K = k, L = a; K = a, L = b, найдем

,0jaik

ib

bjkaa

ijkk

ija

ila

ljk

lja

ilk

la

ijkl

ijka ≡ωδ−ωΛ+ωℑ+ωℑ+ωℑ+ωℑ−ωℑ−ℑΔ (15)

,0ibk

bja

ib

bjaka

ijkk

ija

ilk

lja

ljk

ila

la

ijlk

ijak ≡ωΛ+ωΛ+ωℑ+ωℑ+ωℑ+ωℑ−ωℑ−ℑΔ (16)

.0ic

cjabb

ijaa

ijb

ikb

kja

kjb

ika

kb

ijak

ka

ijkb

ijab ≡ωΛ+ωℑ+ωℑ+ωℑ+ωℑ−ωℑ−ωℑ−ℑΔ (17)

Продифференцировав уравнения (10) для объекта распределенной связности, получаем, что компоненты объекта { },,, i

jabijak

ijka

ijkl ΓΓΓΓ

удовлетворяют сравнениям: ,0)( kl

ijjl

ik

ial

ajk

ia

bkl

ajb

ajkl

skl

ijs

isl

sjk

sjl

isk

ijkl ≡ωδ−ωδ−ωΛ+ωΛΛ+Λ+ωΓ−ωΓ+ωΓ−ΔΓ (18)

,0)( kaijja

ik

ib

cka

bjc

bjka

lka

ijl

ila

ljk

lja

ilk

la

ijkl

ijka ≡ωδ−ωδ−ωΛΛ+Λ+ωΓ−ωΓ+ωΓ−ωΓ−ΔΓ (19)

,0ibk

bja

ib

bjak

bak

ijb

lak

ijl

ilk

lja

ljk

ila

la

ijlk

ijak ≡ωΛ+ωΛ+ωΓ−ωΓ−ωΓ+ωΓ−ωΓ−ΔΓ (20)

,0ic

cjab

cab

ijc

ikb

kja

kjb

ika

kb

ijak

ka

ijkb

ijab ≡ωΛ+ωΓ−ωΓ+ωΓ−ωΓ−ωΓ−ΔΓ (21)

где .baJJ

ab

ib

aiJ

abJ ωδ−ωδ−ωΛ−=ω

Проверим инвариантность условий (11; 12). Для этого введем в рассмотрение объект М с компонентами

.M,M

,M,Mijak

ijak

ijak

bka

ijb

ijka

ijka

ijka

ijab

ijab

ijab

akl

ija

ijkl

ijkl

ijkl

ℑ−Γ=Λℑ−ℑ−Γ=

ℑ−Γ=Λℑ−ℑ−Γ= (22)

Найдем дифференциальные сравнения для компонент (22) этого объекта, используя дифференциальные сравнения (4; 8; 14 – 21) и учитывая, что ., i

jaija

ijk

ijk ℑ=Γℑ=Γ Они имеют следующий вид:

.0MMM,0MM

,0MM,0Mka

ijkb

kb

ijak

ijab

la

ijlk

ijak

la

ijkl

ijka

ijkl

≡ω−ω−Δ≡ω−Δ

≡ω−Δ≡Δ (23)

Из сравнений (23) видно, что объект М является тензором, а значит условия (11; 12) инвариантны. Таким образом, имеет место

Tеорема 1. Инвариантные условия (11; 12) являются условиями совпадения объекта нераспределенной линейной связности

(22)

(23)


108

},{ ija

ijk

ijK ℑℑ=ℑ с объектом распределенной линейной связности

{ }, ija

ijk ΓΓ . Сопоставляя дифференциальные сравнения (14; 15) для

пфаффовых производных компонент объекта нераспределенной линейной подсвязности i

jkℑ с соответствующими сравнениями (18;

19) в случае распределенной подсвязности ijkΓ , видим, что они

существенно отличаются. Значит, имеет место Теорема 2. В силу инвариантности условий (11) в общем случае,

когда ,0aiJ ≠Λ справедливы неравенства ., i

jkaijka

ijkl

ijkl ℑ≠Γℑ≠Γ

Введем величины

,L ijak

ijka

ijka Γ+Γ= L ,i

jakijka

ijka ℑ+ℑ=

которые удовлетворяют следующим дифференциальным сравнениям:

,0

)(2Lib

cka

bjcb

bka

ij

bak

ijb

bik

bja

ib

b)ka(j

i)la

lk(j

l)ja

ik(l

l)ka(

ijl

la

i)kl(j

ijka

≡ωΛΛ+ωΛδ−ωΓ−

−ωδΛ+ωΛ−ωΓ−ωΓ+ωΓ+ωΓ−Δ

�L ,0)(2 bbja

ik

ib

b)ka(ja

ijkk

ija

i)la

lk(j

l)ja

ik(l

la

i)kl(j

ijka ≡ωΛδ+ωΛ−ωℑ−ωℑ−ωℑ−ωℑ+ωℑ−

где симметрирование выполняется по двум крайним индексам. Эти сравнения обосновывают в общем случае следующие неравенства:

., ijak

ijka

ijak

ijka −ℑ≠ℑΓ−≠Γ (24)

Вернемся к выражению (6) для внешнего дифференциала форм ,~ i

jω задающих объект нераспределенной связности. Учитывая уравнения (7), соберем слагаемые при произведении базисных форм

LK ω∧ω . С учетом того, что индексы K, L принимают значения одной серии, внешние дифференциалы (6) запишем в виде

;~~~D LKijKL

ik

kj

ij ω∧ωℜ+ω∧ω=ω (25)

,i]kL

kK[j

i]KL[j

ijKL ℑℑ−ℑ=ℜ (26)

где альтернирование выполняется по крайним индексам в квадратных скобках. Из (26) видно, что компоненты объекта кривизны i

jKLℜ нераспределенной линейной связности ijKℑ

(27)


109

антисимметричны по двум последним индексам, т.е. .i

jLKijKL −ℜ=ℜ Дифференциальные сравнения для компонент объекта ijKLℜ имеют вид .0i

jKL ≡ℜΔ Учитывая действие оператора Δ и расписывая значения индексов K и L на две серии, получим:

.0

,0,0,0kb

ijak

ka

ijkb

ijab

la

ijlk

ijak

la

ijkl

ijka

ijkl

≡ωℜ−ωℜ−ℜΔ

≡ωℜ−ℜΔ≡ωℜ−ℜΔ≡ℜΔ (27)

Из сравнений (27) видно, что объект кривизны },,,{ ijab

ijak

ijka

ijkl ℜℜℜℜ=ℜ

нераспределенной линейной связности ijKℑ является тензором,

содержащим один простейший подтензор ijklℜ и два простых

},{},,{ ijkl

ijak

ijkl

ijka ℜℜℜℜ подтензора, причем последние фактически

совпадают. Замечание. Если в сравнении (272) поменять местами индексы k

и a, то не получится сравнение (273), но результаты альтернирования сравнений (272) и (273) по этим индексам разных серий совпадают.

Выражение (9) для внешнего дифференциала форм ,ijω

) задающих распределенную связность, с учетом дифференциальных уравнений (10) и значений, которые принимает индекс К, имеет следующий вид:

.

D

baikb

kja

kailk

lja

akila

ljk

lkisl

sjk

akbka

ijb

lkakl

ija

bijab

a

kijak

aaijka

klijkl

kik

kj

ij

ω∧ωΓΓ−ω∧ωΓΓ−ω∧ωΓΓ−

−ω∧ωΓΓ−ω∧ωΛΓ−ω∧ωΛΓ−ωΓ∧ω+

+ωΓ∧ω+ωΓ∧ω+ωΓ∧ω+ω∧ω=ω)))

Приведем в этом выражении подобные слагаемые, учитывая, что если пара последних индексов принимает значения одной серии, то ставится знак альтернации, ;RRRRD bai

jabkai

jakaki

jkalki

jklik

kj

ij ω∧ω+ω∧ω+ω∧ω+ω∧ω+ω∧ω=ω

))) (28)

,R,R i]kb

ka[j

i]ab[j

ijab

i]sl

sk[j

a]kl[

ija

i]kl[j

ijkl ΓΓ−Γ=ΓΓ−ΛΓ−Γ= (291)

.R,R ilk

lja

ijak

ijak

ila

ljk

bka

ijb

ijka

ijka ΓΓ−Γ=ΓΓ−ΛΓ−Γ= (292)

Из формул (291) видно, что компоненты объекта кривизны ijklR и

ijabR антисимметричны по двум последним индексам, в то время как

(30)


110

из формул (292) следует, что компоненты объекта кривизны ijkaR и

ijakR не являются антисимметричными. Таким образом, объект

кривизны распределенной связности теряет антисимметрию по двум последним индексам. Дифференциальные уравнения для компонент объекта R = }R,R,R,R{ i

jabijak

ijka

ijkl имеют вид [4]

,0)(R aa

]kl[ij

sa

b]kl[

ajb

is

a]kl[

is

a]kl[

ijs

ijkl ≡ωΛδ−ωΛΛδ−Λδ−ΛΓ−Δ

,0)()(

)(R

bbja

ik

bka

ij

ib

cka

bjc

bjka

ljk

ila

lja

ilk

lka

ijl

la

sjk

isl

bkl

ijb

ijkl

ijka

≡ωΛδ+Λδ−ωΛΛ+Λ+

+ωΓ−ωΓ−ωΓ−ωΓΓ−ΛΓ+Γ−Δ

,0

)(R

bbja

ik

ib

bjak

bak

ijb

ljk

ila

lja

ilk

lak

ijl

la

isk

sjl

blk

ijb

ijlk

ijak

≡ωΛδ−ωΛ+ωΓ−

−ωΓ−ωΓ−ωΓ−ωΓΓ−ΛΓ+Γ−Δ

.0)(R k]b

ilk

la[j

iak[j

ia[l

ljk

ca[k

ijc

ba[k

ijb

ia[jk

ijab ≡ωΓΓ+Γ−ΓΓ−ΛΓ−ΛΓ+Γ+Δ

При сопоставлении уравнений (27) и (30) мы видим, что дифференциальные сравнения для компонент объектов ℜ и R принципиально различны. Заметим, что при рассмотрении голономного распределения только сравнения (301) принимают тензорный вид ,0R i

jkl ≡Δ а все остальные сравнения (30) остаются неизменными. Вернемся к выражению (28) для внешнего дифференциала форм

.ijω

) В этом выражении можно привести подобные слагаемые, если

ввести знак обобщенного альтернирования “ ][ ”, когда действие производится не над одним объектом, а берется полуразность двух разных объектов. С учетом соотношений (24; 292) имеем

.

21

)(21)RR(

21RR

bka

ijb

i]la

lk[j

i]ka[j

ilk

lja

ijak

ila

ljk

bka

ijb

ijka

ijak

ijka

i]ka[j

ijka

ΛΓ−ΓΓ−Γ=

=ΓΓ+Γ−ΓΓ−ΛΓ−Γ=−==)

Таким образом, структурные уравнения (28) упрощаются: ,R2RRD aki

jkabai

jablki

jklik

kj

ij ω∧ω+ω∧ω+ω∧ω+ω∧ω=ω

))))

причем дифференциальные сравнения на компоненты ijkaR

)имеют

следующий вид:

.0RR bak

ijbb

bka

ij

ib

cka

bjc

l]ka[

ijl

la

ijkl

ijka ≡ωΓ+ωΛδ−ωΛΛ+ωΓ−ω−Δ

) (31)

(30)

(30)


111

Из сравнений (31) видно, что подобъект { }R,R ijkl

ijka

)в отличие от

подобъекта { }, ijkl

ijka ℜℜ не является тензором.

Вывод. Задание связности способом Лаптева в расслоениях с одним типовым слоем над разными базами одинаковой размерности приводит к двум разным связностям – распределенной и нераспределенной. Если объекты этих связностей еще можно отождествить, то их объекты кривизны существенно отличаются. Объект кривизны распределенной связности теряет тензорный характер и антисимметрию по двум последним индексам.


1. Остиану Н.М. Распределение гиперплоскостных элементов в проективном пространстве // Тр. геом. семинара / ВИНИТИ. М., 1973. Т.4. С. 71 – 120. 2. Шевченко Ю.И. Две проективные связности на неголономной поверхности // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1999. Вып. 30. C. 102 – 112.

3. Шевченко Ю.И. Оснащения центропроективных многообразий. Калининград, 2002. 112 с.

4. Омельян О.М. Нетензорность объекта кривизны групповой связности на распределении плоскостей // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2002. Вып. 33. С. 74 – 78.

5. Евтушик Л.Е., Лумисте Ю.Г., Остиану Н.М., Широков А.П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Пробл. геом. / ВИНИТИ. М., 1979. Т. 9. С. 5 – 247.

6. Лаптев Г.Ф. Основные инфинитезимальные структуры высших порядков на гладком многообразии // Тр. геом. семинара / ВИНИТИ. М., 1966. Т. 1. С. 139 – 189.

O. Omelyan

THE NOTIONS OF DISTRIBUTED AND NON- DISTRIBUTED CONNECTIONS

In the projective space Pn non-holonomic surface or distribution of planes NSn is considered. It is displayed two methods of assignment of the connection in the bundles over different bases – Pn and NSn, leading to so called the non-distributed linear connection and to so called the dis-tributed linear connection. Differential equations of these connections ob-jects are distinguished, therefor the invariant conditions of their coinci-dence are found. It is shown, that the curvature object of the distributed connection in the bundle of linear frames, belonging to planes of the dis-


112

tributon, loses tensority and antisymmetry. This antisymmetry we may re-store by means of generalized alternation.

Работа поддержана грантом Минобразования РФ (СПб КЦФЕ),

дипломный проект. М03-2.1Д-94. УДК 514.76

В.И. Паньженский (Пензенский государственный педагогический университет)

МЕТРИКИ ФИНСЛЕРОВА ТИПА,

БЛИЗКИЕ К РИМАНОВЫМ

Известно большое число специальных финслеровых метрик и метрик финслерова типа (обобщенно финслеровых, лагранжевых, обобщённо лагранжевых), в построении которых участвуют римановы метрики [1; 2].

В настоящей работе мы предлагаем конструкцию построения метрик финслерова типа, близких к римановым, основанную на разложении в ряд Тейлора метрического тензора по степеням касательного вектора. Специализируя входящие в этот ряд тензоры, мы получаем известные мет-рики, вводимые авторами по другим соображениям.

1. Пусть М – n-мерное гладкое многообразие, ТМ – касательное рас-

слоение над М, ( )ix – локальные координаты на М, ( )ii y,x – естественные локальные координаты на ТМ. Задание невырожденного симметрического тензорного поля ji

ij dxdx)y,x(gg ⊗= определяет на М обобщённую ла-

гранжеву структуру, а )g,M(£ n = называется обобщённым лагранжевым пространством. Если существует функция F на ТМ, порождающая метрический тензор )y/FF(Fg:g i

ijiij ∂∂== ⋅⋅⋅ , то мы имеем

лагранжево пространство )F,M(Ln = . Если функции )y,x(gij на ТМ

являются однородными нулевой степени по слоевым координатам iy , то обобщённое лагранжево пространство называется обобщённым финслеровым nΦ , и если существует функция F на ТМ, порождающая метрический тензор g пространства nΦ , то мы имеем финслерово про-

странство nF .

В.И. Паньженский

113

Компоненты метрического тензора пространства n£ разложим в ряд Тейлора по степеням касательного вектора:

...y...y),x(g!p

...y),x(g),x(g)y,x(g p

p...

kkkkij

kkijijij ++++= ⋅⋅⋅⋅

1

1

1

10100 (1)

Введём следующие тензоры на М:

),x(g!p

)x(h),,x(g)x(h),,x(g)x(hp...p... kkijkijkkijijkijij 0100

1111 ⋅⋅⋅⋅ ===

и в соответствии с разложением (1) построим тензор p

p...

kkkijk

kijkijij y...yh...yhh)y,x(g 1

1

1

1+++= . (2)

Определение 1. Метрика (2) называется обобщённой лагранжевой метрикой, близкой к римановой порядка р.

При р = 0 мы имеем риманову метрику с метрическим тензором ijh . Так как функции )y,x(gij , определённые равенствами (2), не

обладают однородностью по координатам касательного вектора, то они не могут служить компонентами финслерова или обобщённого финслерова метрического тензора. Однако, имея риманов метрический тензор ijh , мы можем нормировать касательный вектор

y . Обозначив через jiij yyhy = длину вектора y в римановой

метрике h , построим тензор

p

kk

kijk

k

ijkijijy

y...yh...y

yhh)y,x(gp

p...

1

1

1

1+++= . (3)

Определение 2. Метрику (3) назовём обобщённой финслеровой метрикой, близкой к римановой порядка р.

2. Напомним, что под римановой геометрией понимается геометрия гладкого многообразия, наделённого метрическим тензором и связностью Леви-Чивита. Аналогом связности Леви-Чивита для обобщённых метрических пространств является связность Картана. Пусть )x(k

ijΓ – компоненты связности Леви-Чивита ∇

римановой метрики h , а )y,x(k*ijΓ – компоненты усечённой

связности Картана *∇ обобщённой метрики g . Эта связность


114

согласована с метрическим тензором 0=∇ g* и без кручения k*

jik*

ij ΓΓ = . Из этих условий следует, что коэффициенты связности Картана являются решением системы уравнений

)ggg(g ijsisjsjiksk*

ij δδδΓ −+=21 , (4)

где ksg – контрвариантные компоненты метрического тензора, а jk*

ijk*

ik

ki

ikk*

iii y,y/,x/, ΓΓΓδ =∂∂=∂∂∂=∂∂−∂= 00&& . Если система

(4) имеет единственное решение, то обобщённую метрику g называют регулярной.

Под геометрией обобщённого пространства n£ или nΦ мы будем понимать геометрию гладкого многообразия, наделённого регулярной метрикой и связностью Картана.

Теорема 1. Связность Картана обобщённого лагранжева пространства с метрикой (2) совпадает со связностью Леви-Чивита римановой метрики h тогда и только тогда, когда входящие в (2) тензоры

p...kijkijk h,...,h11

ковариантно постоянны.

Доказательство. Пусть связность Картана совпадает со связностью Леви-Чивита: ∇=∇* . Так как связность Картана стабильна, т. е. 0=∇ y* , то из (2) имеем 01

1

1

1=∇++∇ p

p

kkk...ijk

kijk y...yh...yh , (5)

откуда следует, что

0011

=∇=∇pk...ijkijk h...,,h . (6)

Обратно, пусть тензоры в (2) ковариантно постоянны относительно связности Картана *∇ , т.е.

0011

=∇=∇pk...ijk

*ijk

* h...,,h , (7)

тогда и 0=∇ ij*h , откуда следует, что k

jik*

ij ΓΓ = и, следовательно,

∇=∇* . 3. Приведём некоторые примеры.


115

• Метрики первого порядка близости. В этом случае обобщённая лагранжева метрика (2) примет вид

kijkijij yhhg += , (8)

а обобщённая финслерова –

y

yhhgk

ijkijij += . (9)

Для метрики (9) так же, как и для (8), справедлива предыдущая теорема,

так как из 0=∇y

yhk

ijk следует, что 0=∇ ijkh ( )00 =∇=∇ y,y .

Положив kijijkijij bah,ah == , где ija – риманов метрический тензор, а kb – компоненты дифференциальной формы на М, получим ),( βα -метрики, близкие к римановым:

ijk

kij a)yb(g += 1 , (10)

ijkk

ij a)yy

b(g += 1 . (11)

Из теоремы 1 следует Теорема 2. Связность Картана для ),( βα -метрик (10) и

(11) совпадает со связностью Леви-Чивита α-метрики тогда и только тогда, когда дифференциальная форма β ковариантно постоянна.

Замечание. На наш взгляд, представляют интерес и метрики первого порядка близости, если в качестве тензора ijkh взять ijk R∇ , где ijR – тензор Риччи для метрического тензора ijh , т.е.

kijkijij yRhg ∇+= , (12)

yyRhg

k

ijkijij ∇+= . (13)

• Метрики второго порядка близости. В качестве примера рассмотрим обобщённые лагранжевы и обобщённые финслеровы метрики, положив ,hh)x(ah,h jlikijklijk == 0 где )x(a – скалярная функция на М. Тогда


116

jiijij yy)x(ahg += , (14)

2y

yy)x(ahg ji

ijij += , (15)

где мы положили kiki yhy = . Метрики вида (14), в частности, при

2

1c

a = рассматривались в работе [3], а метрика (15) является

локально конической метрикой, введенной автором в работе [4]. Из теоремы 1 следует

Теорема 3. Связность Картана метрик (14) и (15) совпадает со связностью Леви-Чивита тогда и только тогда, когда const)x(a = .


1. Рунд Х. Дифференциальная геометрия финслеровых пространств. М.,1981.

2. Matsumoto M. Foundation of Finsler geometry and special Finsler spaces. Otsu, Japan, 1986.

3. Kawaguchi T., Miron R. On the generalized Lagrange spaces with the met-ric jiij yy)c/()x( 21+γ // Tensor. 1989. № 48. P.52 – 63.

4. Паньженский В.И. Исследование локально конических многообразий с помощью соприкасающихся римановых метрик // Геометрия погруженных многообразий // МГПИ. М., 1986. C. 65 – 70.

V. Panzhenskiy

METRICS OF FINSLERIAN TYPE NEAR TO RIEMANNIAN On the basis of the decomposition metric tensor of Finslerian type in

the Tailor row on degree of tangent vector author introduce notion gener-alized Lagrange and generalized Finslerian metrics near to Riemmanian in order p: p

p...

kkkijk

kijkijij y...yh...yhh)y,x(g 1

1

1

1+++= ,

or


117

p

kk

kijk

k

ijkijijy

y...yh...y

yhh)y,x(gp

p...

1

1

1

1+++= ,

where )x(hij is Riemmanian metric tensor, )x(h),...,x(hp...kijkijk 11

are ten-

sors of basis manifold, jiij yyhy = is norm of a vector y. Examples

metrics of the first and second order nearless are reduced. УДК 514.76

В.И. Паньженский, М.В. Сорокина (Пензенский государственный педагогический университет)

ПРОДОЛЖЕНИЕ САСАКИ СПЕЦИАЛЬНОЙ

(α, β)-МЕТРИКИ НА КАСАТЕЛЬНОЕ РАССЛОЕНИЕ

Продолжается исследование обобщенного лагранжева пространства nL c (α, β)-метрикой вида [1]:

( ) ( )xaey,xg ij)z(

ijσ2= , (1)

где ( )xaij – компоненты риманова метрического тензора α;

σ – произвольная функция аргумента ss ybz = ; ( )xbi –

компоненты дифференциальной линейной формы β. В настоящей работе изучается продолжение типа Сасаки

метрики (1) с базы на ее касательное расслоение. Получены необходимые и достаточные условия того, чтобы соответствующая почти эрмитова структура принадлежала тому или иному классу Грея-Хервеллы [2].

1. Пусть М – n-мерное дифференцируемое многообразие Υ

MxxMTTM

∈= – касательное расслоение над М; MTM: →π –

каноническая проекция. Если )x(x i→ – локальные координаты в

MU ⊂ , то в ( ) TMU ⊂−1π возникают естественные локальные

координаты )y,x()y,x( ii→ , где )x( i – базисные координаты точки


118

Ux∈ , а )y( i – слоевые координаты вектора MTy x∈

относительно натурального базиса { }i∂ )x( ii ∂∂=∂ .

Рассмотрим продолжение типа Сасаки обобщенной лагранжевой метрики (1) на касательное расслоение, т.е. риманову метрику G на ТМ, определенную следующими условиями:

)Y,X(g)Y,X(G)Y,X(G vvhh == , 0== )Y,X(G)Y,X(G hvvh , (2)

где X, Y – векторные поля на М, vv Y,X , а hh Y,X – их вертикальные и горизонтальные лифты относительно связности Леви-Чивита ∇ римановой метрики ( )xaij . В адаптированном репере ),( ini +∂δ , где

lnkl

ikii y +∂−∂= Γδ , likΓ – коэффициенты связности ∇, метрика G

имеет диагональный вид

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

ij

ij

gg

G0

0 . (3)

Коммутаторы векторных полей адаптированного репера будут иметь вид kn

kijji R],[ +∂=δδ , kn

kijjni ],[ ++ ∂=∂ Γδ , 0=∂∂ ++ ],[ jnin , (4)

где kijl

lkij RyR = , k

ijlR – тензор кривизны римановой метрики )x(aij .

Распределение горизонтальных площадок связности ∇ определяет на ТМ каноническую почти комплексную структуру J:

vh XJX = , hv XJX −= . Метрика (3) является эрмитовой от-носительно J: )Y,X(G)JY,JX(G = , и мы имеем на ТМ почти эрмитову структуру (G, J). Обозначим через ∇ каноническую финслерову связность обобщенного лагранжева пространства nL с метрикой (1). Если

)C,F( kij

kij – коэффициенты связности ∇ , определяемые разложением

kk

ijj Fi

∂=∂∇δ , kkijj C

in∂=∂∇

+∂ , то

В.И. Паньженский, М.В. Сорокина

119

)ggg(gF ijkisjsjiksk

ij δδδ −+=21 , (5)

)ggg(gC sijjisisjksk

ij ⋅⋅⋅ −+=21 . (6)

Для метрики (1) находим следующее выражение компонент связности ∇ :

)aa)(bb(yF ijkpp

jki

pi

kjmpl

lpm

mkij

kij −+∂−′−= δδδδΓσΓ . (7)

2. В работе [3] приведены тензорные признаки классов Грея-Хервеллы почти эрмитовой структуры (ТМ, G, J) в случае, если g – произвольная лагранжева метрика, а ∇– произвольная, вообще говоря, нелинейная связность.

Почти эрмитова структура (ТМ, G, J) является келеровой, если [3] jikkij gg ⋅⋅ = , jikikjijk BBB == , 0=ijkR , (8)

где kijkij y/gg ∂∂=⋅ , tk

tijijk gRR = , tk

tijijk gBB = , tk

tijijk gBB = , k

ijk

ijkij FB −= Γ .

Для метрики (1) имеем

)aaa)(bb(yeB ijp

kikpjjk

pimpl

lpm

m)z(ijk δδδΓσ σ −+∂−′= 2 , (9)

а первое условие в (8) принимает вид: 02 =−′ )baba( jikkijσ . Это равенство справедливо тогда и только тогда, когда σ = const (предполагается, что форма β ненулевая). Это означает, что метрика (1) риманова и, следовательно, k

ijk

ijF Γ= , 0=kijB . Из условия

0=ijkR следует, что 0=lijkR , т.е. риманово пространство (М, α), –

локально евклидово. Таким образом, справедлива следующая Теорема 1. Почти эрмитова структура (ТМ, G, J) является

келеровой тогда и только тогда, когда метрика (1) локально евклидова.

Анализ условий, определяющих приблизительно келеровы структуры W1[3], приводит нас к выводу, что приблизительно келеровы структуры необходимо являются келеровыми.

Почти эрмитова структура является почти келеровой (принадлежит классу W2), если [3] jikkij gg ⋅⋅ = , kijijk BB = , 0=++ kijjkiijk RRR . (10)


120

Как было показано выше, первая серия равенств выполняется лишь в том случае, если метрика (1) является римановой, и, следовательно, 0== kijijk BB . Последняя серия равенств (10) выполняется тождественно в силу известного тождества для риманова тензора кривизны. Следовательно, имеет место

Теорема 2. Почти эрмитова структура (ТМ, G, J) является почти келеровой тогда и только тогда, когда метрика (1) является римановой.

Почти эрмитова структура является эрмитовой семикелеровой (принадлежит классу W3), если [3]

0=− ⋅⋅ )gg(g jikkijki , 0=− )BB(g ikjijk

ik , kijijk BB = , 0=ijkR (11)

Из 0=ijkR следует, что базисное многообразие (М, α) является локально евклидовым. Из первой серии равенств в (11) имеем

01 =−′=−′=− ⋅⋅ jjikkijik

jikkijki b)n()baba(a)gg(g σσ .

Это условие выполняется только тогда, когда σ = const, т.е. метрика (1) является римановой. Значит, эрмитова семикелерова структура (ТМ, G, J) необходимо является келеровой.

Почти эрмитова структура является локально конформно келеровой (принадлежит классу W4), если [3]

))gg(gg)gg(gg(n

gg jsttsjts

ikksttskst

ijjikkij ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ −−−−

−=−1

1 ,

))BB(gg)BB(gg(n

BB stjtjsts

ikstktksst

ijijkikj −+−−−

−=−1

1 , kijikj BB = , 0=ijkR .

Из последнего условия следует, что пространство (М, α) локально евклидово. Рассмотрим первую серию равенств в (12). Вычисляя левую ее часть, получим

)baba(egg jikkij)z(

jikkij −′=− ⋅⋅σσ 22 .

Вычисляя правую часть, будем иметь

(12)

В.И. Паньженский, М.В. Сорокина

121

=−−−−

− ⋅⋅⋅⋅ ))gg(gg)gg(gg(n jsttsj

tsikksttsk

stij1

1

=−−−′−

−= ))nbb(a)nbb(a(en jjikkkij

)z(σσ 221

1

)baba(e)baba)(n(en jikkij

)z(jikkij

)z( −′=−−′−

−= σσ σσ 22 2121

1 .

Откуда следует, что первое условие в (12) выполняется тождественно. Рассмотрим вторую серию равенств в (12). Для метрики (1) имеем )aa)(bb(yeBB ij

pkik

pjmpl

lpm

m)z(ijkikj δδΓσ σ −∂−′=− 2 ,

=−+−−−

− ))BB(gg)BB(gg(n stjtjs

tsikstktks

stij1

1

+−∂−′−−

−= )aa)(bb(yeaa(n ts

pkks

ptmpl

lpm

m)z(stij δδΓσ σ2

11

=−∂−′+ ))aa)(bb(yeaa tspjjs

ptmpl

lpm

m)z(tsik δδΓσ σ2

=−+−−∂−′−

−= ))n(a)n(a)(bb(yen

pj

pjik

pk

pkijmpl

lpm

m)z( δδδδΓσ σ2

11

)aa)(bb(ye ijp

kikpjmpl

lpm

m)z( δδΓσ σ −∂−′= 2 ,

и, следовательно, второе условие в (12) выполняется тождественно. В силу того, что k

ijB симметричны по нижним индексам, условие

kijikj BB = выполняется тождественно. Итак, имеет место Теорема 3. Почти келерова структура (ТМ, G, J) является

конформно келеровой тогда и только тогда, когда пространство (М, α) локально евклидово.

Анализ инвариантных характеристик следующих шести классов почти эрмитовых структур позволяет сделать следующее заключение

Теорема 4. Почти эрмитова структура (ТМ, G, J), определяемая метрикой (1) принадлежит классу W2⊕ W4, т. е. является локально конформно почти келеровой структурой.

Действительно, этот класс пространств характеризуется первыми двумя условиями в (12), которые, как было показано, выполняются тождественно, и последним равенством в (10), которое также является тождеством.



122

1. Маштакова М.В. Связность Картана в пространствах со специальной (α,β)-метрикой // Движения в обобщенных пространствах: Межвуз. сб. науч. тр. Пенза, 2002. С. 162 – 167.

2. Grey A., Hervella L.M. The sixteen classes of almost hermitian manifolds and their linear invariants // Annals Math. Pure and Appl. 1980. Vol. 123. № 4. P. 35 – 38.

3. Паньженский В.И., Ширяев К.Б. Тензорные признаки классов почти эрмитовых структур на касательном расслоении гладкого многообразия // Движения в обобщенных пространствах: Межвуз. сб. науч. тр. Пенза, 1999. С. 126 – 132.

V. Panzhenskiy, M. Sorokina

SASAКI CONTINUATION OF SPECIAL

(α, β)-METRICS ON TANGENT BUNDLE

The investigation of generalised Lagrange space nL with (α, β)-metrics of form ( ) ( )xaey,xg ij

)z(ij

σ2= , (1)

where ( )xaij are the components of Riemannian metric tensor

(α-metrics), σ is arbitrary function of argument ss ybz = , ( )xbi are the

components of differential form β is continues. This paper is devoted to continuation Sasaki type of metrics (1) on

tangent bundle research. Necessary and sufficient conditions of almost Hermitian structure membership to one of Grey-Hervella classes are obtained. УДК 514.75

Ю.И. Попов (Калининградский государственный университет)

ФЛАГОВЫЕ СТРУКТУРЫ МНОГООБРАЗИЯ 0

nP (H)

Тройку распределений, образованную соответственно распределениями r-плоскостей Λ (Λ-распределение), m-плоскостей М (М-распределение), гиперплоскостей Н (Н-распределение, r<m<n-

Ю.И. Попов

123

1) проективного пространства nP с отношением инцидентности HMX ⊂⊂∈Λ их соответствующих элементов в каждом центре Х,

назовем трехсоставным распределением или H-распределением пространства nP [4], при этом Λ-распределение назовем базисным распределением, а М-распределение и Н-распределение – оснащающими распределениями. H -распределение проективного пространства nP будем трактовать как H-подрасслоение многообразия

0nP (H) [1; 2; 4].

Многообразие 0nP , в котором задано H-подрасслоение, назовем

расслоенным многообразием 0nP (H)-структуры, или кратко

многообразием 0nP (H).

Определение. Базисное Λ-подрасслоение называется дополнительно реперированным [1; 2], если к Λ-подрасслоению присоединены (n-r) инвариантных полей прямых, натягивающих в каждом центре Х (n-r)-мерную плоскость )X(N rn

∗− , имеющую с

соответствующей Λ-плоскостью одну общую точку Х. Пусть на многообразии 0

nP (H) задано поле инвариантных нормалей )X(ν 1-го рода H-подрасслоения [5; 6; 8], внутренним образом присоединенных в дифференциальной окрестности порядка 2≥t . Известно [5; 6], что (n-2)-плоскости A (ν), B (ν), C(ν) являются соответственно плоскостями A (Х), B(Х), C (Х), ассоциированными с нормалью )X(ν и проходящими через

центр Х многообразия 0nP (Х).

В данной работе показано, что с каждой из пар (ν,A ), (ν,B ), (ν,C) ассоциируются и внутренним образом определяются при дополнительном реперировании Λ-подрасслоения ( соответственно при дополнительном реперировании М-подрасслоения [7]) либо три однопараметрических семейства флаговых структур, либо три однопараметрических семейства обобщенно-флаговых структур [3]. Исследование ведется относительно специализированного репера )M,H(Lℜ [5, §3].

1. Используя конструкцию, данную в работах [1; 2], построим флаговую структуру в базисном Λ-подрасслоении.


124

При этом мы исходим из того, что в основу построения дополнительно реперированного Λ-подрасслоения [7] положены заданные внутренние поля нормалей Михэйлеску M(Х) и (n-2)-плоскостей C(Х). Известно [1, § 5], [7, § 1], что Λ(Х) ⊂ C(Х) тогда и только тогда, когда тензор Cр равен нулю. Так как тензор Cр в общем случае ненулевой, то плоскость C(Х) сечет плоскость Λ(Х) по (r-1)-плоскости

)(1Λ (Х), которая в репере M,H(Lℜ ,C)

задается системой уравнений:

)n,ru(y;y u 1001 +=== . (1)

Сравнивая уравнения (1) плоскости )(1

Λ (Х) с уравнениями плоскости

)(C1

(Х) [7, § 1]:

),n,,(y,y,yCy n 1300 22122 2

2−==== τσσ

σ

где ),C/C(Cdef

12

1

222 σσ −= K

KCCCC 022

2222

22

2

222ωθθ σσ

ττσσ =+−∇ , –

убеждаемся, что равенство нулю тензора )r,p(C p 211= является

необходимым и достаточным условием для того, чтобы )(1

Λ (Х)⊂)(

C1

(Х).

Но тензор 1pC в общем случае не нулевой, и, следовательно,

)(1Λ (Х)

⊄)(

C1

(Х). Значит, плоскость )(

C1

(Х) сечет плоскость )(1

Λ (Х) по (r-2)-

плоскости )( 2

Λ (Х), уравнения которой в репере )C,C,M,H()(

L1

ℜ

имеют вид .y,y,y u 000 21 ===

Продолжая этот алгоритм (включительно до (n – r – 1)-го шага) приходим к выводу, что плоскости С(Х),

)(C1

(Х), )(

C2

(Х),…, )rn(

C1−−

(Х) [7],

возникающие при построении и лежащие в гиперплоскости Н(Х),

высекают из плоскости )(

def)X(

0ΛΛ = (Х) последовательность вложенных

друг в друга плоскостей )rn( 1−−

Λ (Х) ⊂…⊂)( 2

Λ (Х) ⊂ )(1

Λ (Х) ⊂)( 0

Λ (Х),

Ю.И. Попов

125

размерность которых на каждом шаге убывает на единицу. Возможны два случая:

1. Если

2

11 )r(rrnr +<−≤+ , (2)

то плоскость)r(

C2−

(Х) сечет плоскость )r( 2−

Λ (Х) по прямой, т.е.

размерность плоскости )r( 1−

Λ (Х) равна единице. Все последующие

плоскости )r(

C1−

(Х),)r(

C (Х),…,)rn(

C1−−

(Х) имеют с плоскостью Λ(Х)

только одну общую точку – центр Х многообразия 0nP (H). Итак, при вы-

полнении условия (2) Λ-подрасслоение несет флаговую структуру [3], определенную последовательноcтью плоскостей

)rn,...,,()(

110 −−=μΛμ

. 2. Если

1+<− rrn , (3) то в последовательности вложенных друг в друга плоскостей

)( μΛ размер-

ность последней плоскости будет равна 2r – n+1. В этом случае Λ-расп-ределение несет обобщенно-флаговую (ступенчатую) структуру [3].

Замечание. Построенные флаговые структуры (при 1+≥− rrn ) и обобщенно-флаговая структура (при 1+<− rrn ) Λ-

подрасслоения ассоциированы с парой (M, C) и, следовательно, определены внутренним инвариантным образом в дифференциальной окрестности порядка (n – r + 1) образующего элемента H-подрасслоения. Каждое Н Λ-виртуальное дополнительное реперирование Λ-подрасслоения [7] порождает флаговую структуру на Λ-подрасслоении при условии (2) или обобщенно-флаговую (ступенчатую) структуру при условии (3). Учитывая это замечание и результаты работы [7, теоремы 2, 3], приходим к выводу:

Теорема 1. В дифференциальной окрестности порядка (n – r+1) (соответственно порядка (n – r – 1)+t) c каждой парой (M, A), (M, B) (M, C) (соответственно с каждой парой (ν, A), (ν, B), (ν, C)) в отдельности ассоциируются и внутренним инвариантным образом определяются в слоях Λ-подрасслоения


126

многообразия 0nP (H) при rrn ≥−− 1 три однопараметрических

семейства флаговых структур, а при rrn <−− 1 – три однопараметрических семейства обобщенно-флаговых структур.

2. Проводя аналогичные построения при дополнительном реперировании М-подрасслоения [7] данного многообразия 0

nP (H), получим следующую теорему.

Теорема 2. В дифференциальной окрестности порядка n – m + 1 (соответственно порядка (n – m+1)+t) внутренним инвариантным образом определяются в слоях M-подрасслоения многообразия

0nP (H) при mmn ≥−− 1 три однопараметрических семейства

флаговых структур, а при mmn <−− 1 – три однопараметрических семейства обобщенно-флаговых структур, ассоциированных c каждой из пар (M, A), (M, B) (M, C) в отдельности (соответственно с каждой из пар (ν, A), (ν, B), (ν, C) в отдельности).


1. Балазюк Т.Н. Дифференциальная геометрия m-мерных линейных

элементов, оснащенных конусом. III / ВИНИТИ. М., 1978. Деп. в ВИНИТИ, № 465. 2. Остиану Н.М., Балазюк Т.Н. Многообразия, погруженные в пространства проективной структуры // Проблемы геометрии. ВИНИТИ. М., 1978. Т. 10. С. 75 – 115.

3. Остиану Н.М. Ступенчато-расслоеные пространства // Тр. геом. семинара / ВИНИТИ. М., 1974. Т. 5. С. 259 – 309.

4. Попов Ю.И. Основы теории трехсоставных распределений проективного пространства / Калинингр. ун-т. Калининград, 1990. Деп. в ВИНИТИ, № 5625-90.

5. Он же. Инвариантные подпространства, ассоциированные с ))(M(H Λ -распределением проективного пространства. I / Калинингр.

ун-т. Калининград, 1984. Деп. в ВИНИТИ, № 4481. 6. Он же. Инвариантные подпространства, ассоциированные с

))(M(H Λ -распределением проективного пространства. II / Калинингр. ун-т. Калининград, 1984. Деп. в ВИНИТИ, № 252.

7. Он же. Инвариантные подпространства, ассоциированные с ))(M(H Λ -распределением проективного пространства. Ш / Калинингр.

ун-т. Калининград, 1985. Деп. в ВИНИТИ, № 1275.

Ю.И. Попов

127

8. Он же. Об одномерных нормалях первого рода ))(M(H Λ -распределения / Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1985. Вып. 16. С. 57 – 66.

Yu. Popov

THE FLAG STRUCTURES OF MANIFOLD )H(Pn0

УДК 514.75

О.В. Сазонова (Калининградский государственный университет)

РЕДУКЦИЯ АФФИННОЙ ГРУППЫ

ДО ПРОСТРАНСТВА БИЛИНЕЙНОЙ СВЯЗНОСТИ НАД ОСНАЩЕННОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ

Аффинная группа GA(n), действующая в n-мерном

аффинном пространстве nA , является пространством

линейной связности n,nL 2 без кручения и кривизны. Задание

поверхности nm AS ⊂ сужает пространство n,nL 2 до

пространства m,nL 2 . Адаптация подвижного репера полю

касательных плоскостей mT редуцирует суженное

пространство линейной связности m,nL 2 до главного

расслоения )S(G m с типовым слоем – подгруппой

стационарности G касательной плоскости mT . Дальнейшая

адаптация подвижного репера полю нормалей mnN −

редуцирует расслоение )S(G m до пространства билинейной связности, типовым слоем которого является прямое произведение GL(m)× GL(n-m) двух линейных фактор-групп, действующих соответственно в центрированных плоскостях mT и mnN − .


128

1. Аффинное пространство nA отнесем к подвижному реперу

R = {A, Ie }, где A – точка пространства; nA , Ie – базисные векторы

пространства (I,J,K,... = n,1 ). Инфинитезимальные перемещения точки A и базисных векторов Ie пространства nA задаются

следующими формулами: dA = Iω Ie , d Ie = JIω Je . Базисные

формы Iω , JIω аффинной группы GA(n), dim GA(n) = n(n+1),

действующей в пространстве nA , удовлетворяют структурным уравнениям Картана D Iω = Jω ∧ I

Jω , D JIω = K

Iω ∧ JKω . (1)

Уравнения (1) показывают, что над аффинным пространством nA возникает главное расслоение линейных реперов 2nL ( nA ), типовым слоем которого является линейная группа 2nL = GL(n) – подгруппа ста-

ционарности точки А, т.е. центроаффинная группа, dimGL(n) = 2n . В этом расслоении есть внутренняя связность, поэтому аффинная группа GA(n) есть пространство линейной связности n,nL 2 [1] без кручения и кривизны. 2. Рассмотрим точечное m-мерное многообразие mS , иначе говоря, поверхность mS , погруженную в аффинное пространство nA .

Произведем специализацию подвижного репера R = {A, ie , αe }, (i,j, k,... = m,1 ; ,α ,β γ = n,m 1+ ), помещая вершину A в текущую точку погруженного многообразия mS . Уравнения точечного многообразия

mS записываются в адаптированном репере нулевого порядка 0R в ви-де αω = αΛi

iω . (2)

Продолжая уравнения (2), получаем дифференциальные уравнения для функций αΛi , составляющих фундаментальный объект 1-го порядка многоообразия mS

Δ αΛi - αΛ jβΛi

jβω + αω i = αΛij

jω , причем [ ]

αΛ ij = 0. (3)

О.В. Сазонова

129

С поверхностью mS ассоциируется главное расслоение 2nL ( mS ) со структурными уравнениями

D jω = iω ∧ jiθ , D J

Iω = KIω ∧ J

Kω , (4)

где введено обозначение jiθ = j

iω + αΛijαω . Базой расслоения

2nL ( mS ) является точечная поверхность mS , а типовым слоем служит подгруппа стационарности 2nL . Это расслоение есть сужение расслоения 2nL ( nA ) на поверхность mS ⊂ nA . В суженном расслоении 2nL ( mS ), как и в исходном рассло-ении 2nL ( nA ), задана внутренняя связность, поэтому оно является подпро-странством линейной связности m,nL 2 пространства n,nL 2 . Таким образом,

задание поверхности ⊂mS nA сужает пространство n,nL 2 до

пространства m,nL 2 . 3. Произведем дальнейшую специализацию подвижного репера 0R = {A, ie , αe }. Помещая векторы ie в касательную плоскость mT к

mS в точке A, получим репер 1-го порядка 1R поверхности mS , при этом

αΛi = 0. (5)

Обозначим через T mS точечную поверхность mS , оснащенную касательны-ми плоскостями mT внутренним образом, иначе говоря,

семейство касательных плоскостей. Репер первого порядка 1R поверхности mS , рассматриваемой как точечное многообразие,

является репером нулевого порядка 0TR многообразия касательных

плоскостей T mS , которое определяется системой уравнений [2]

αω = 0, αω i = αΛijjω . (6)

Продолжая уравнения системы (6), получим дифференциальные уравнения компонент объекта Λ поверхности mS , отнесенной к

реперу 0TR :

Δ αΛij = αΛijkkω , (7)

причем [ ]

αΛ jki = 0. (8)


130

Используя симметрию (3) в уравнениях (7) и учитывая условие (8), получим то, что функции αΛijk симметричны по всем нижним

индексам. Функции αΛij составляют фундаментальный тензор поверхности mS . Поверхность mS будем называть базой семейства T mS . Уравнения (4) с учетом формул (5; 6) преобразуются к виду: D iω = jω ∧ i

jω , (9)

D ijω = k

jω ∧ ikω + kω ∧ i

jkω , (10)

D αβω = γ

βω ∧ αγω + iω ∧ α

βω i , (11)

D iαω = j

αω ∧ ijω + β

αω ∧ iβω , (12)

где ijkω = αΛ jk

iαω , α

βω i = - αΛ jijβω . Значит, с поверхностью T mS

ассоциируется главное расслоение G( mS ) со структурными уравнениями (9 – 12). Пространство линейной связности m,nL 2 редуцируется до

главного расслоения G( mS ), ассоциированного с многообразием касательных плоскостей T mS , c типовым слоем – подгруппой стационарности G центрированной касательной плоскости mT ,

dimG = 2n + 2m – nm . Главное расслоение G( mS ) содержит два подрасслоения со следующими структурными уравнениями:

• (9; 10) – подрасслоение касательных линейных реперов 2mL ( mS ), типовым слоем которого является линейная факторгруппа

2mL = GL(m), действующая в центроаффинном подпространстве mT ; • (9; 11) – подрасслоение двойственных касательным линейных

реперов 2)mn(L −( mS ) с типовым слоем 2)mn(L −

= GL(n-m) – линейной факторгруппой, действующей в нормальном факторпространстве

mn−ℵ = nA / mT . 4. Оснастим поверхность T mS полем нормалей mnN − : mT + mnN − =

= nA . Нормализованное семейство T mS касательных плоскостей mT назовем нормализованной поверхностью и обозначим ее NT mS . Поместим векторы αe подвижного репера 0

TR в плоскость mnN − . Система уравнений нормализованного многообразия NT mS в таком

О.В. Сазонова

131

pепере нулевого порядка 0NTR имеет вид αω = 0, αω i = αΛij

jω , iαω = i

jαλjω . Продолжая эту систему, получим уравнения (8), а также:

Δi

jαλ = i

jkαλkω , (13)

причем i]jk[αλ = 0. Структурные уравнения (11; 12) преобразуются

следующим образом: D i

jω = kjω ∧ i

kω + ijklR kω ∧ lω ,

D αβω = γ

βω ∧ αγω + α

βijR iω ∧ jω ,

где ijklR = [

αΛ kj ]i

lαλ , αβ jiR = [

αΛ ik ]k

jβλ , причем квадратные скобки обозначают альтернирование по крайним индексам в них. Значит, глав-ное расслоение G( mS ), ассоциированное с многообразием T mS касательных плоскостей mT поверхности mS , редуцируется до главного расслоения hH ( mS ), типовым слоем которого является прямое произведение двух линейных фактор-групп hH = GL(m)× GL(n – m),

h = dim hH = = 2n + 2 )nm(m − , действующих соответственно в центрированных плоскостях mT и mnN − . В главном расслоении

hH ( mS ) имеется групповая связность, поэтому оно является пространством групповой связности, которое назовем пространством билинейной связности m,hH . Таким образом, главное расслоение G( mS ), ассоциированное с многообразием T mS касательных плоскостей mT поверхности mS , при оснащении сужается до пространства билинейной связности m,hH .


1. Шевченко Ю.И. Оснащения голономных и неголономных гладких

многообразий. Калининград, 1998. 2. Сыроквашина А.Н. Параллельные перенесения нормали поверхности

аффинного пространства // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград,1999. Вып. 30. С. 84 – 88.

O. Sazonova

THE REDUCTION OF THE AFFINE GROUP TO THE SPACE OF

THE BILINEAR CONNECTION OVER EQUIPPED SURFACE


132

The affine group, operating in the n-dimensional affine space nA , is the

space of the linear connection n,nL 2 without torsion and curvature. The repre-

sentation of the surface mS ⊂ nA narrow the space n,nL 2 to the space m,nL 2 .

The adaptation of the mobile base to the field of the tangential planes mT re-duce the narrowed space of linear connection m,nL 2 to the main bundle

G( mS ) with sub-group of stationarity G of tangential plane mT as the type layer. The subsequent adaptation of the mobile base to the field of normals

mnN − reduce the stratification G( mS ) to the space of the bilinear connection with the type layer – the direct product GL(m)× GL(n-m) of the two linear factor groups, operating in centralised planes mT and mnN − .

УДК 514.75

А.В. Скрягина


ИНДУЦИРОВАННЫЙ ПУЧОК СВЯЗНОСТЕЙ 1-ГО ТИПА НА ПЛОСКОСТНОЙ ПОВЕРХНОСТИ КАК ВЫРОЖДЕННОМ СЕМЕЙСТВЕ

В проективном пространстве плоскостная поверхность

представлена как вырожденное семейство, описанное тройкой, состоящей из точки, плоской образующей и касательной плоскости. С поверхностью ассоциировано главное расслоение, типовым слоем которого является подгруппа стационарности тройки. Произведено композиционное оснащение плоскостной поверхности, состоящее в присоединении к каждой точке трёх плоскостей, дополняющих соответственно 1) точку до образующей; 2) образующую до касательной плоскости; 3) касательную плоскость до пространства. Введены понятия пучка групповых связностей 1-го типа, 1-го и 2-го предпучка, 1-го и 2-го слабого предпучка и линейных комбинаций 1-го и 2-го предпучка. Доказано, что композиционное оснащение плоскостной поверхности индуцирует пучок групповых связностей 1-го типа.

В работе индексы принимают следующие значения:


133

.m,h,...i;h,,...a;n,m,...;m,,...u;n,,...I 11111 +==+=== α В n -мерном проективном пространстве nP плоскостная

поверхность rhX + рассматривается как вырожденное многообразие [1] троек )T,L,A( mh , причём точка )TLA(A mh ⊂∈ и касательная плоскость mT описывают m -мерные семейства, а образующая hL – r-мерное семейство )hmr( −= [2].

Уравнения плоскостной поверхности rhX + имеют вид [3]:

.,,, aia

jiji

iaia

jiaj

ia ωΛωΛωωΛωωΛωω αααααα +==== 0 (1)

Объект },,,{ iaijaiiaj

ααα ΛΛΛΛΛ = является фундаментальным

объектом многообразия rhX + , причем αααα ΛΛΛΛ jiijiaai , == . С поверхностью rhX + ассоциировано главное расслоение )X(G rh+ ,

базой которого является сама поверхность, а типовым слоем – подгруппа стационарности )n(GPG ⊂ тройки )T,L,A( mh , причём

mr)mn(nGdim ++−= 1 2h+ . Групповая связность в главном расслоении )X(G rh+ задана по Лаптеву [4] с помощью поля объекта связности },,,,,,,,,,,,,,,,,{ i

jiaai

ab

aiaiiaij

aib

aij

ijk

ija

abc

abiabai αα

αβ

αβαααα ΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓ =

Произведено композиционное оснащение поверхности rhX + , состоящее в задании на ней полей трёх плоскостей ,LPA:P hhh =⊕ −− 11 ,TPL:P mhmhhm =⊕ −−−− 11 ,PPT:P nmnmmn =+ −−−− 11

причём оснащающие плоскости определены совокупностями точек

,AAC aaa λ+= ,AAAC iaaiii λλ ++= .AAAAC i

ia

aααααα λλλ +++=

Объект },,,,,{ iai

aia ααα λλλλλλλ = является оснащающим

квазитензором поверхности rhX + . Найдём дифференциалы точек

αC,C,C ia , подставляя вместо дифференциалов компонент оснащающего квазитензора λ их выражения через ковариантные диф-ференциалы [5]: ,A)ll(C)(CCdC i

aib

abaiji

jaajii

aji

aibbaa ωωλωδλΛλΛωΛθ α

ααα ++∇++−++=

+++∇++++= aja

ijba

ibai

aia

jaj

aiijj

jii C)ll(C])[(CdC ωωλωΛωΛλΛθ α

ααα

,A)LL( jij

aiai ωωΩ +++


134

++++++∇+= aia

iba

ba

iji

jai

ai C)LL(C)ll(CdC ωωΩωωλθ ααααααβ

βαα

.A)LL( ii

aa ωωΩ ααα +++

Здесь введены следующие обозначения:

,l bac

abcabab λλΓλΓ −−=

−+−+−+−−= αα

αα

αα

αα ΛλλΛλλλΛλλΛλλλλλλΓλΓ aib

baib

bj

jaij

jaib

biaia

baibaiail

,bjai

bj

jaij λΛλΛλ +−

,l iabib

aj

jib

ajib

aj

acb

ci

aib

aib λδΛλλΛλΓλΓλΓ α

αα

α ++−−+=

,l iajbj

ak

kbibj

abi

kbj

ak

biij

aij

kak

kij

ak

abj

bi

aij

aij λλΛλλλΛλλΛλλΛλΛλλΓλΓλΓ α

αα

αα

αα

α −+−−−+−+=

,l iajj

iaj

iajbabiiaia

αα

αα ΛλλΛλΓλΓλΓ +−−+=

,l ijajaiaj

ai

kk

kajk

aiijij

kk

kijkaj

aiijij λλΛλλΛλλλΛλλΛλΛλλΓλΓλΓ α

αα

αα

αα

α −−+−−+−+=

,l jaij

aii

jaji

aia

ββα

βαβααα ΛλλΓλΓλΓ −−+=

,l ijkj

ikaj

iaiaj

aj

iikj

kij

ij α

ββα

ββαα

βαβααα λδΛλλΛλλΛλΓλΓλΓ +−−+−+= (4)

,l abib

iaaib

ib

aacb

cab

ab α

βαβα

βαβααα λδΛλλΓλΓλΓλΓ +−+−+=

,l jija

bibaa

jij

iaa

biba

iai

βαβ

βαβα

βαβααα ΛλλΛλλΓλΓλΓλΓ −−+−+=

,l iai

iai

abab

aaβ

αβαβαβααα ΛλλΓλΓλΓλΓ −+−+=

;l jij

aia

iaia

jij

iiβ

αββ

βαβαβαααα ΛλλΛλλΓλΓλΓλΓ −−−++=

,llL biabiaia λ−= ,llL a

ijaijij λ−= ,llL ib

ai

ab

ab ααα λ−= ,llL j

iaj

ai

ai ααα λ−=

,llllL iab

bi

bab

iaiaa ααααα λλλλ +−−= ;llllL j

iaaj

aia

jijii ααααα λλλλ +−−=

,aiaii λλλΩ ∇−∇= ,ia

iaa

ααα λλλΩ ∇−∇=

,ia

ai

aa

ii ααααα λλλλλλλλΩ ∇+∇−∇−∇=

причем ,(...)~D vu

iuvj

iji ωωωΩΩ ∧+∧−=

,(...)~~D vuauv

aab

ba ωωωΩωΩΩ αβαβαα ∧+∧−∧−= .(...)~D vu

uv ωωωΩΩ αβαβα ∧+∧−=

Дифференцируя выражения (4) с учётом дифференциальных сравнений на компоненты объекта связности Γ , фундаментального

(5)

(6)

(5)

(6)


135

объекта Λ и оснащающего квазитензора λ [4], получим следующие сравнения:

,lab 0≡Δ ,ll biabai 0≡− ωΔ

,l aib 0≡Δ ,ll b

jaib

aij 0≡− ωΔ

,ll bbiaia 0≡+ ωΔ ,lll a

jiaaaijij 0≡−+ ωωΔ

,l ia 0≡αΔ ,ll a

jia

ij 0≡− ωΔ αα

,ll ai

ib

ab 0≡+ ωΔ αα ,lll b

iab

aj

ji

ai 0≡−+ ωωΔ ααα

,lll bbai

iaa 0≡++ ωωΔ ααα .llll a

iaaaij

jii 0≡−++ ωωωΔ αααα

Теорема 1. Объект }l,l,l,l,l,l,l,l,l,l,l,l{l iaai

ab

ij

iaijia

aij

aibaiab αααααα= ,

компоненты которого определяются формулами (4), является тензором, содержащим три простейших подтензора }l{ ab , }l{ a

ib ,

}l{ iaα и девять простых подтензоров }l,l{ abai , }l,l{ a

ibaij , }l,l,l,l{ ia

aib

aijij ,

}l,l{ biaia , }l,l{ i

aij αα , }l,l,l,l{ a

bia

ij

ai αααα , }l,l{ i

bab αα , }l,l,l,l,l,l{ a

ab

ai

ia

jii αααααα ,

}l,l,l{ ba

iaa ααα . Дифференциальные сравнения величин (5) имеют вид

,Lia 0≡Δ ,LL ajiaij 0≡− ωΔ

,Lab 0≡αΔ ,LL b

ia

ba

i 0≡− ωΔ αα

,L a 0≡αΔ .LL aiai 0≡− ωΔ αα

Теорема 2. Объект }L,L,L,L,L,L{L iaa

ia

bijia αααα= , компоненты которого определяются соотношениями (5), является тензором, содержащим три простейших подтензора }L{ ia , }L{ a

bα , }L{ aα и

три простых подтензора }L,L{ iaij , }L,L{ ab

ai αα , }L,L{ ai αα .

Определение. Будем говорить, что групповая связность Γ принадлежит:

– пучку связностей 1-го типа, если тензор l равен нулю, т. е. выполняются равенства

,l,l,l,l,l,l ijiaaij

aibaiab 000000 ======

,l,l,l,l,l,l ia

ai

ab

ij

ia 000000 ====== αααααα

– пучку групповых подсвязностей 1-го типа, если ;l,l aiab 00 ==

(7)


136

– 1-му предпучку групповых связностей, если ,l,l,l ia

aij

aib 000 === ;lij 0=

– 1-му слабому предпучку групповых связностей, если ;l,l aij

aib 00 ==

– линейной комбинации 1-го предпучка групповых связностей, если

;L,L iaij 00 ==

– 2-му предпучку групповых связностей, если

;l,l,l,l,l,l ab

ai

ia

ijia 000000 ====== αααααα

– 2-му слабому предпучку групповых связностей, если ;l,l i

aij 00 == αα

– 1-й линейной комбинации 2-го предпучка групповых связностей, если

;L,L ab

ai 00 == αα

– 2-й линейной комбинации 2-го предпучка групповых связностей, если

.L,L ai 00 == αα

Замечание. Принадлежность связности Γ 1-му предпучку групповых связностей эквивалентна принадлежности 1-му слабому предпучку и линейной комбинации 1-го предпучка. Аналогично принадлежность 2-му предпучку групповых связностей эквивалентна принадлежности 2-му слабому предпучку и двум его линейным комбинациям.

Выполнение равенств (7) эквивалентно следующим соотношениям:

,bac

abcab λλΓλΓ +=

−+−+−+= αα

αα

αα ΛλλλΛλλΛλλλλλλΓλΓ aib

bj

jaij

jaib

biaia

baibai

−+− jaijaib

b ΛλΛλλ αα ,b

jai

bj λΛλ

,ajibj

ak

kbi

abj

bi

ak

kbj

biij

aij

ak

kabj

bi

kij

ak

aij λλΛλλλλΛλλΛλΛλΛλλΓλΓλΓ α

αααα

αα

α +−+++−−=

,iabib

aj

jib

aacb

ci

jib

aj

aib λδΛλλΛλΓλΓλΓ α

αα

α −−+−=

−−−+−+−= )( kajb

bkbaj

bajb

bk

kba

bjja

bajb

ai

kijkij ΛλλλΛλΛλλλλλλλλΓλλΓλΓ α

αα

α

,jiijijk

k λλΛλΛλλ αα

αα ++−


137

,)( iaiaj

jabc

bacbi

jiajia

αα

αα ΛλΛλλλλΓλλΓλΓ +−+−=

,ikj

kijaj

iaiaj

aikj

kj

iij β

βαα

ββααα

βαβα λΛλλδΛλλΛλΓλΓλΓ +−+−−=

,jaiji

jaj

aii

aβ

βααβαβα ΛλλΓλΓλΓ +−= (8)

−++−−−−= abi

bj

kbi

ak

bjji

ak

kabi

bj

kji

ak

jabi

bi

aai ( β

βββαα

βαβα λΛλΛλλΛλλΓλΓλλΓλΓλΓ

+− ββ Λλλλ bi

ak

kbj ,) bi

abaij

ββα Λλλλλ +

,)( abi

abib

aj

jacb

ci

jib

aj

iacb

cb

aab α

ββαα

βαβα λδλδΛλλΓλΓλλΓλΓλΓ −−−−−−=

+−+−−−= ββα

βαβα ΛλλλλλλλλλλλΓλλΓλλΓλΓ aib

bk

kajba

bi

ajia

aj

baib

aj

kjik

jii (

−−+−+−+− biabai

baib

ajiji

kk

kaib

bk

ajaib

baj () λλλλλΓλλλλΛλλΛλλλΛλλλ α

ββ

ββ

),jaib

bj

jaijai

bbaib

bj

jaij

j ΛλλΛλΛλλΛλλλΛλλ ββ

ββ

ββ −+−+−

+−−−−+−= αααα

βαβα ΛλλλλλΓλλΓλλλλΓλλΓλΓ ia

jjab

bi

cbac

bi

jiaj

iba

cbac

baa ()(

.) iai

iaβ

αβα

α ΛλλΛλ ++

Групповая связность может быть сведена к подсвязности ΓΓΓΓΓΓΓΓ α

βαβ ⊂= },,,,,{ i

jaijkia

abi

abc1 по формулам (8). Так возникает

]rh)mn[(m 222 ++− -мерный пучок групповых связностей 1-го типа. Теорема 3. Композиционное оснащение плоскостной

поверхности rhX + индуцирует пучок групповых связностей 1-го типа. Замечание. Если в выражения (8) вместо компонент подсвязности 1Γ подставить охват вида ),( λΛΓΓ 11 = , то получим

охваты компонент объекта связности 1-го типа 01Γ .


1. Малаховский В.С. Дифференциальная геометрия многообразий фигур

и пар фигур в однородном пространстве //k Тр. геом. семинара / ВИНИТИ. М., 1969. Т. 2. С. 179 – 206.

2. Шевченко Ю.И. Оснащения плоскостной поверхности, рассматриваемой с трёх точек зрения // Диф. геом. многообр. фигур. Кали-нинград, 1993. Вып. 24. С.112 –123.

3. Скрягина А.В. Объект кривизны на центрированной плоскостной поверхности // Докл. междунар. мат. семинара. Калининград, 2002. C. 152 – 159.

4. Евтушик Л.Е., Лумисте Ю.Г., Остиану Н.М., Широков А.П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Пробл. геом. / ВИНИТИ. М., 1979. Т.9. С. 5 – 247.

A. Skriagina


138

INDUCED BUNCH OF CONNECTIONS OF THE FIRST TYPE

ON THE PLANE SURFACE AS DEGENERATED FAMILY

The centered plane surface as the degenerated family, described by triple of point, generator and tangent planes is considered in the projective space. The principal bundle associated with the surface, the typical fiber of which is a subgroup of stationarity of triple. Composition equipment of plane surface, consisted in adding to each point three planes, supple-mented accordingly: 1) plane to generator; 2) generator to tangent plane; 3) tangent plane to space is made. The concepts of bunch of group con-nections of the first type, first and second pre-bunch, first and second weak pre-bunch and linear combination first and second pre-bunch are entered. It is proved, that composition equipment of plane surface induces bunch of group connection of the first type.

УДК 514.76

А.Я. Султанов, Н.С. Султанова (Пензенский государственный педагогический университет)

ОБ АФФИННЫХ АВТОМОРФИЗМАХ ЛОКАЛЬНО

ТРИВИАЛЬНЫХ РАССЛОЕНИЙ

Пусть ( )M,,E π – гладкое локально тривиальное

расслоение со стандартным слоем F ; ∇~

– проектируемая линейная связность на Е, а G – группа аффинных автоморфизмов расслоения ( )M,,E π . Доказано, что G –

группа Ли и ( )( )nmmnGdim +++≤ 12 , где Mdimn = , Fdimm = .

§ 1. Основные определения и факты

Пусть ( )M,,E π – гладкое локально тривиальное расслоение над

связным гладким класса ∞C многообразием M . Предположим, что M и E конечномерны и Fdimm,Mdimn == , где F – стандартный слой расслоения.

А.Я. Султанов, Н.С. Султанова

139

Диффеоморфизм EE: →Φ называется автоморфизмом, расслоенным над диффеоморфизмом MM: →ϕ , если Φππϕ οο = [1]. Рассмотрим диффеоморфизмы 0Φ , расслоенные над тождественным отображением Mid базы расслоения. Очевидно, MM idid οο ππ = . Заметим, что для каждой точки Epx ∈ ее образ ( )xp0Φ принадлежит

слою ( )x1−π над x . Действительно, ( )( ) ( ) ( ) ( ) xxidpidpp MxMxx ==== πΦπΦπ ο00 . Отсюда следует, что ог-

раничение диффеоморфизма 0Φ на каждый слой xF является диффео-морфизмом этого слоя на себя. Предложение 1.1. Автоморфизм Φ является расслоенным над диффеоморфизмом ϕ тогда и только тогда, когда 1−Φ –

автоморфизм расслоенный над 1−ϕ . Доказательство. Условие Φππϕ οο = равносильно условию

( )Φπϕπ οοο 1−=Mid . Отсюда получим πϕΦπ οο 11 −− = . Предложение 1.2. Если 1Φ и 2Φ – автоморфизмы расслоения

( )M,,E π над диффеоморфизмом MM: →ϕ , то существуют автоморфизмы 0Φ и 0Ψ над Mid такие, что 012 ΦΦΦ ο= и

102 ΦΨΦ ο= . Доказательство. Пусть 1Φππϕ οο = и 2Φππϕ οο = . Тогда в силу

предложения 1.1 имеет место равенство 12

11

−− = ΦπΦπ οο . Отсюда

получим ( )11

2 ΦΦππ οοο −=Eid . Так как ππ οο ME idid = , то

диффеоморфизм 11

2 ΦΦ ο− является автоморфизмом расслоения

( )M,,E π над Mid . Положим 101

12

−− =ΦΦΦ ο . Отсюда следует, что

012 ΦΦΦ ο= . Из равенства 21 ΦπΦπ οο = следует равенство =ποMid

= ( )112−ΦΦπ οο . Это равенство означает, что диффеоморфизм

1120−= ΦΦΨ ο является автоморфизмом над Mid . Значит, 102 ΦΨΦ ο= .

Предложение 1.3. 1. Множество G всевозможных автоморфизмов расслоения ( )M,,E π образует группу относительно композиции автоморфизмов.


140

2. Множество GG ⊂0 всевозможных автоморфизмов над Mid относительно композиции является нормальным делителем группы ( )ο,G . Доказательство 1. Композиция автоморфизмов ассоциативна, автоморфизм Eid является нейтральным элементом относительно композиции автоморфизмов. Пусть Φ и Ψ – автоморфизмы расслоения ( )M,,E π над диффеоморфизмами ϕ и ψ соответственно. Тогда

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) πψϕπψϕΨπϕΨπϕΨΦπΨΦπ οοοοοοοοοοοο ===== .

Отсюда следует, что ΨΦ ο - автоморфизм над ψϕ ο . Значит, алгебра ( )ο,G – группа.

2. Пусть 00 G∈Φ и 00 G∈Ψ . Рассмотрим композицию 100−ΨΦ ο .

Имеем: ( ) ( ) ( ) ( )==== −−−− 10

10

100

100 ΨπΨπΨΦπΨΦπ οοοοοοοο MM idid

= οMid 1−Mid( ο ππ οMid) = . Следовательно, 0

100 G∈−ΨΦ ο . Значит,

( )ο,G0 – подгруппа группы ( )ο,G . Для произвольных 00 G∈Φ и

G∈Ψ рассмотрим композицию ( )ΨΦΨΨΦΨ οοοο 01

01 −− = . В силу

предложения 1.2 существует автоморфизм 00 G∈Ψ такой, что

00 ΨΨΨΦ οο = . Тогда ( ) 001

01 ΨΨΨΨΨΦΨ == −− οοοο .

Таким образом, 001 G∈− ΨΦΨ οο . Тем самым мы убедились в том,

что 0G – нормальный делитель группы G .

§ 2. Проектируемые линейные связности на ( )M,,E π и их аффинные автоморфизмы

Как известно, векторное поле X~ на E называется

проектируемым, если существует векторное поле X на базе M расслоения, что выполняется равенство XX~d =π , где πd – дифференциал канонической проекции.

Линейная связность ∇~ на E называется проектируемой, если существует линейная связность ∇ на базе M такая, что для любых проектируемых векторных полей X~ и Y~ имеет место равенство

( ) Y~dY~~d X~dX~ ππ π∇=∇ [2].


141

Диффеоморфизм EE: →Φ называется аффинным, если ( ) Y~d~Y~~d X~dX~ ΦΦ Φ∇=∇ для любых векторных полей X~ , Y~ на E .

Здесь Φd является дифференциалом отображения Φ . Мы будем рассматривать такие аффинные преобразования пространства E , которые являются и автоморфизмами расслоения ( )M,,E π .

Предложение 2.1. Пусть EE: →Φ – аффинный автоморфизм над MM: →ϕ расслоения ( )M,,E π , снабженного проектируемой

линейной связностью ∇~ . Тогда ϕ - аффинное преобразование

пространства ( )∇,M .

Доказательство. Пусть X~ , Y~ - произвольные проектируемые векторные поля и XX~d =π , YY~d =π . Так как Φ - аффинный автоморфизм, то

( )( ) ( ) ( ) ( )Y~ddY~d~dY~~dd X~ddX~dX~ ΦπΦπΦπ ΦπΦ ∇=∇=∇ . (1)

Поскольку ( )ΦπΦπ οο ddd = , а πϕΦπ οο = , то πϕΦπ dddd οο = . Поэтому равенство (1) примет следующий вид:

( )( ) YdY~~dd XdX~ ϕπϕ ϕ∇=∇ .

Отсюда получим ( ) YdYd XdX ϕϕ ϕ∇=∇ . Утверждение доказано. Пусть Φ и Ψ – аффинные автоморфизмы над ϕ и ψ

соответственно. В силу предложения 2.1 ϕ и ψ – аффинные преобразования базы ( )∇,M . Композиция ΨΦ ο – автоморфизм расслоения ( )M,,E π над ψϕ ο , а так как Φ , Ψ – аффинные преобразования, то их композиция ΨΦ ο и ее проекция ψϕ ο – аффинные преобразования. Следовательно, композиция ΨΦ ο – аффинный автоморфизм расслоения ( )M,,E π над аффинным

преобразованием ψϕ ο . Преобразование 1−Φ , обратное аффинному автоморфизму Φ расслоения, является аффинным автоморфизмом. Это следует из предложения 1.1 и из того, что обратное преобразование к аффинному преобразованию – аффинное преобразование. Преобразование Eid является аффинным


142

автоморфизмом. Отсюда получаем, что множество всевозможных аффинных автоморфизмов расслоения ( )M,,E π является группой. Эта группа G является подгруппой группы Ли всех аффинных преобразований расслоения ( )M,,E π с проектируемой связностью

∇~ . Из условия Φππϕ οο = , которому удовлетворяют преобразования группы G , следует, что группа G – замкнутая подгруппа группы Ли всех аффинных преобразований расслоения ( )M,,E π . Следовательно, группа всех аффинных автоморфизмов расслоения ( )M,,E π является группой Ли. Таким образом, имеет место следующее

Предложение 2.2. Группа G всех аффинных автоморфизмов расслоения ( )M,,E π с проектируемой связностью ∇

~ является группой Ли.

Из предложения 1.3 следует, что группа аффинных автоморфизмов 0G над группой { }Mid является нормальным де-лителем. В заключение отметим, что имеет место следующее

Предложение 2.3. 1. Размерность группы G аффинных автоморфизмов расслоения ( )M,,E π с проектируемой связностью

∇~ не больше, чем ( )( )nmmn +++ 12 .

2. Размерность нормального делителя 0G группы G не больше, чем ( )1++ nmm .


1. Хьюзмоллер Д. Расслоенные пространства. М., 1970. 442 с. 2. Шапуков Б.Н. Связности на дифференцируемых расслоениях //

Проблемы геометрии. М., 1983. Т. 15. С. 61 – 93.

A. Sultanov, N. Sultanova

ABOUT AFFINE AUTOMORPHISMS LOCALLY TRIVIAL BUNDLES

Let ( )M,,E π be smooth local trivial bundle with standart fibre F, ∇~ is projected linear connection of E, G is a group of affine automorfisms of bun-


143

dle ( )M,,E π . Proved that G is Lie group and ( )( )nmmnGdim +++≤ 12 , where Mdimn = , Fdimm = .

УДК 514.76

О.П. Сурина (Пензенский государственный педагогический университет)

ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ И ЭКСТРЕМАЛИ

ЛОКАЛЬНО КОНИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА

В работе [1] введено понятие локально конического пространства nK и вычислены коэффициенты связности Картана. В настоящей работе мы устанавливаем, что геодезические локально конического пространства в связности Картана совпадают с экстремалями.

Обобщенное финслерово пространство называется локально

коническим пространством nK , если метрический тензор этого пространства имеет вид [1]

( ) spps

spjsip

ijij yy)x(yy)x()x(

)x(a)x(y,xgγ

γγγ 2+= , (1)

где ( )xijγ – компоненты риманова метрического тензора базисного

многообразия М; ( )xa – скалярная функция на М; )x( i – локальные

координаты на М; )y,x( ii – естественные локальные координаты на ТМ. Введем следующие обозначения: p

ipi yy γ= , sppso yyy γ= , тогда

выражение (1) примет вид:

o

jiijij y

yyag 2+= γ .

Непосредственной проверкой можно убедиться, что

oyyy

aag

jiijij

12

2

+−= γ

являются контрвариантными компонентами метрического тензора, а


144

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−+=•o

kjiijkjik

okij y

yyyyy

yag 2

2

γγ ;

)yyy

(ago

kjjkkoj −=• γ2 , 0=•koog .

Ассоциированное финслерово пространство nF является римановым, метрика которого конформна метрике ijγ .

Фундаментальная функция и метрический тензор пространства nF имеют вид: ji

ij yy)a(F γ121 2 += , ijij )a(f γ12 += .

Определитель метрического тензора локально конического пространства не зависит от координат касательного вектора, так как. 0== •• kps

psijkij gggdet)g(det ,

потому что 0=•kpsps gg .

Это свойство метрического тензора позволяет в локально коническом пространстве инвариантным образом определить элемент объема.

Кривая bta),t(xx:с ii ≤≤= называется экстремалью пространства nK , если она является экстремалью функционала

∫=b

adtxI 2& , (2)

где )t(x)t(x))t(x),t(x(gx jiij &&&& =

2 – квадрат длины касательного

вектора i

i

dtdxx ∂=& . Так как для метрики (1)

jiij xx)a(Fx &&& γ12 22

+== , то уравнения Эйлера-Лагранжа экстремалей примут вид:

0=+ jikij

k xxGx &&&& , (3) где

)fff(fG ijsisjsjiksk

ij ∂−∂+∂=21 . (4)

Коэффициенты связности Картана были вычислены в работе [1]. Они имеют вид:

О.П. Сурина

145

)ayyayyayy(y)a( p

kpjiji

kij

k

o

kij

k*ij

2222 12

1∂−∂+∂

++= γΓΓ . (5)

Нетрудно убедиться, что выражение (5) можно представить в виде

⎪⎩

⎪⎨⎧

−∂⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+∂⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

++= 22

2 121 a

yyy

ay

yyy)a(

G jki

o

ik

ikj

o

jk

o

kij

k*ij δδΓ

⎪⎭

⎪⎬⎫

∂⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−− 2a

yyy

pkp

ijo

ji γγ . (6)

Свернув (6) с jy , будем иметь

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−∂

++= k

io

ik

pp

o

kio

k*io y

yyay

y)a(G δΓ 2

2 121 . (7)

Отсюда следует, что связность k*io

kiN Γ= , порожденная связностью

Картана, является нелинейной. Эта связность будет линейной тогда и только тогда, когда const)x(a = .

Дифференциальные уравнения геодезических в связности Картана имеют вид: 0=+ jik*

ijk xxx &&&& Γ . (8)

Свернув (7) с iy получим

koo

k*oo G=Γ . (9)

Это означает, что уравнения (3) и (8) совпадают, т. е. совпадают геодезические и экстремали локально конического пространства nK .


1. Паньженский В.И. Исследование локально конических многообразий с помощью соприкасающихся римановых метрик // Геометрия погруженных многообразий. М.: МГПИ, 1986. С. 65 – 70.

О. Surina

GEODEZICAL AND EXTREMALS LOCCALY CONICAL SPACE

Loccaly conical space is generalized Finsler spaces with the metric

tenzor


146

( ) spps

spjsip

ijij yy)x(yy)x()x(

)x(a)x(y,xgγ

γγγ 2+= ,

where )x(ijγ – Riemannian metrical tensor; )x(a – scalar function. Proff, what geodezical in Cartan connection coincide with extremals loc-caly conical space. УДК 514.75

R. Fritsch (Ludwig-Maximilians-Universität München)

HILBERTS BEWEIS DER TRANSZENDENZ

DER LUDOLPHSCHEN ZAHL π

Im Jahr 1882 hat Ferdinand Lindemann (1852 – 1939, damals Professor in Freiburg im Breisgau) das Problem der Quadratur des Kreises erledigt, indem er die Transzendenz der Ludolphschen Zahl π bewies. Dadurch wurde er weltberühmt und an die im 19. Jahrhundert ein mathematisches Zentrum von Weltgeltung bildende Albertina in Königsberg berufen. Sein ur-sprünglicher Beweis ist heute nur schwer nachzuvollziehen. Im Jahr 1893 gelang seinem aus Königsberg stammenden und zu dem Zeitpunkt noch hier wirkenden Schüler David Hilbert (1862 – 1943) eine wesentliche Vereinfachung des Beweises. Damit hat die Transzendenz von π einen starken lokalen Bezug zum Er-scheinungsort dieser Zeitschrift, was rechtfertigt, die Grundideen von Hilberts Beweis hier darzustellen.

Zur Erinnerung. Eine komplexe Zahl z heißt algebraisch, wenn sie Wurzel eines Polynoms mit ganzen Koeffizienten, oder gleichbedeutend, Wurzel eines normierten Polynoms mit rationalen Koeffizienten ist. Die erste Formulierung bedeutet: es gibt eine natürliche Zahl n und ganze Zahlen a0, a1, …, an, derart dass gilt: an ≠ 0 , a0 + a1z + a2z2 + … + anzn = 0.

Für z ≠ 0 kann dabei auch immer a0 ≠ 0 angenommen werden. Die Zahl z heißt ganz algebraisch, wenn sie Wurzel eines normierten Poly-noms mit ganzen Koeffizienten ist, das heißt, an = 1 gewählt werden kann und die übrigen Koeffizienten trotzdem ganz bleiben.

R. Fritsch

147

Lemma 1. Ist die komplexe Zahl z algebraisch und sind a0, a1, …, an ganze Zahlen, die die genannten Bedingungen erfüllen, so ist anz ganz al-gebraisch.

Eine komplexe Zahl heißt transzendent, wenn sie nicht alge-braisch ist.

Konstruktionen mit Zirkel und Lineal produzieren – algebraisch be-trachtet – nur algebraische Zahlen. Deswegen bedeutet der Nachweis der Transzendenz der Zahl π, dass die Quadratur des Kreises mit Zirkel und Lineal unmöglich ist; dies war eine Aufgabe, die dem griechischen Phi-losophen Anaxagoras im 5. Jahrhundert vor Christus eingefallen ist, als er wegen Gotteslästerung im Gefängnis saß.

Ein wesentliches Hilfsmittel für Hilberts Beweis der Transzendenz der Zahl π ergibt sich aus dem in jedem Lehrbuch der Algebra nachzule-senden Hauptsatz über symmetrische Funktionen.

Satz 2. Sind a0, a1, …, an ganze Zahlen mit an ≠ 0, so gilt: a) Jede symmetrische Funktion in n Unbestimmten, liefert angewandt

auf die Wurzeln des Polynoms P = a0 + a1x + a2x2 + … + anxn einen ra-tionalen Wert.

b) Ist an = 1, so liefert jede symmetrische Funktion in n Unbes-timmten mit ganzen Koeffizienten angewandt auf die Wurzeln des Poly-noms P einen ganzen Wert.

Hilbert führt – wie schon Lindemann – einen Widerspruchsbeweis. Er nimmt an, dass π algebraisch ist. Dann ist auch iπ algebraisch, also Wur-zel eines normierten Polynoms P mit rationalen Koeffizienten. Man wählt ein derartiges Polynom P; es habe den Grad n. Mit z1 = iπ, z2, …, zn seien die Wurzeln von P bezeichnet. Da iπ eine komplexe Wurzel des reellen Polynoms P ist, ist auch -iπ eine Wurzel von P; es kann z2 = -iπ ange-nommen werden. Wegen eiπ = -1 gilt

)e( )e( )e( nzzz 1110 21 +++= Κ . Durch Ausmultiplizieren der rechten Seite dieser Gleichung ergibt sich:

0 = 1ye + 2ye + … + Nye + 1, wobei die Exponenten yl Summen der Wurzeln zj sind, mit N = 2n-1. Manche der Exponenten yl haben den Wert 0, zum Beispiel yl = z1 + z2 und liefern damit den Beitrag 1 zu der Summe auf der rechten Seite. Die Numerierung der yk wird so gewählt, dass die ersten M (<N) un-


148

gleich 0 und die übrigen gleich 0 sind. Damit erhält die Gleichung die Form

0 = 1ye + 2ye + … + Mye + a, wobei die Terme lye nichttriviale Potenzen von e und a=N–M+1 eine natürliche Zahl ist. Im folgenden wird gezeigt, dass diese Gleichung nicht bestehen kann.

Dazu werden die Polynome P1 = P = (x - z1) (x - z2) … (x - zn), P2 = (x - z1 - z2) (x - z1 - z3) … (x - zn-1 - zn), P3 = (x - z1 - z2 - z3) (x - z1 - z2 - z4) … (x - zn-2 - zn-1 - zn), Μ Pn = x - z1 - z2 - … -zn, P# = P1 P2 … Pn betrachtet. Die Koeffizienten des Polynoms P# sind symmetrische Funk-tionen der Wurzeln zj, also nach Teil a) von Satz 2 rationale Zahlen, die Wurzeln von P# sind 0 und die eben definierten Zahlen yk; dabei hat die Wurzel 0 die Vielfachheit N-M. Multiplikation mit dem Hauptnenner der Koeffizienten und Division durch xN-M liefert das Polynom Q = b0 + b1x + b2x2 + … + bMxn mit ganzen Koeffizienten, b0, bn ≠ 0 , und den Wurzeln y1, y2, …, yM. Nach Lemma 1 handelt es sich bei den bM yl um ganze algebraische Zahlen.

Nun sei k eine natürliche Zahl, zunächst beliebig; später erzeugt eine geeignete Wahl von k den gewünschten Widerspruch. Hilbert betrachtet die komplexe Funktion g: C → C, die gegeben ist durch g(z) = bM

M Q(z) und bildet das Integral

w0 = dze)z(gz zkk −+∞

∫ 1

0

.

Da für alle natürlichen Zahlen n gilt:

dzez zn −∞

∫0

= n!

ist w0 von der Form w0 = (bM

M b0)k+1 k! + c0 (k+1)!, wobei auch c0 eine ganze Zahl ist.

R. Fritsch

149

Hilberts Ziel ist nun zu zeigen, dass bei geeigneter Wahl von k gilt:

⋅!k

w0 ( 1ye + 2ye + … + Mye + a) = s + p,

mit einer reellen Zahl s vom Betrag kleiner als 1 und einer von Null ver-schiedenen ganzen Zahl p. Dann kann die rechte Seite dieser Gleichung nicht gleich Null sein, also auch nicht der zweite Faktor auf der linken Seite, woraus sich der Widerspruch ergibt.

Dazu wird das Integral

w0 = limu→∞ dze)z(gz zku

k −+∫ 1

0

für alle j∈{1, 2, …,M} zerlegt. Da der Integrand eine Stammfunktion be-sitzt, ist das eigentliche Integral unabhängig vom Integrationsweg. Für j∈{1, 2, …,M} und u > Re yj betrachtet Hilbert den folgenden zusam-mengesetzten Integrationsweg:

ωj(v) = v⋅yj, v∈[0,1], ωj,u(v) = v + i Im yj, v∈[Re yj,u], ϖj,u(v) = u + (1-v)⋅i Im yj, v∈[0,1].

Damit wird das Integral dze)z(gz zku

k −+∫ 1

0

in drei Teile zerlegt. Für den

dritten Teil gilt:

∞→ulim .dv)y Im i (e)y Im i )v(u(g)y Im i )v(u( j

)yIm i )v(u(kj

kj

j 011 111

0

=−−+⋅−+ −+−+∫

Hilbert setzt nun

vj = dvye)vy(g)vy( jvyk

jk

jj ⋅⋅⋅ −+∫ 1

1

0

,

wj = limu→∞ dze)y Im iv(g)y Im iv( )y Im iv(kj

u

y Re

kj

j

j

+−+++∫ 1 =

= limu→∞ dze)yv(g)yv( )yv(kj

uk

jj+−+++∫ 1

0

und hat w0 = vj + wj für alle j∈{1, 2, …,M}.

0 u

ωj yj

ϖj,u


150

Hilbert definiert

;!k

ewewewawpMy

Myy ++++

=Λ21

210 .!k

evevevsMy

Myy +++

=Λ21

21

Da stetige Funktionen auf kompakten Intervallen beschränkt sind, gibt es Schranken s1 und s2 derart, dass gilt

|)ey||ey||ey(|s!k

s|s| MyM

yyk

+++≤ Λ21212

1

Damit wird für genügend großes |s|<1 wie gewünscht. Weiter ergibt sich für alle j ∈ {1,2,…,M}:

),yb(K)!k(ew jMy

jj 1+=⋅

wobei K ein Polynom mit ganzen Koeffizienten bezeichnet. Nach Teil b) von Satz 2 ist damit

MyM

yy ewewew +++ Λ2121

eine ganze durch (k+1)! teilbare ganze Zahl. Damit gilt

).k()cc()bb(ap kMM 110

10 +⋅++= +

Wird k so gewählt, dass k+1 eine Primzahl größer als a, bM und b0 ist, dann ist sicher p ≠ 0. Da es unendlich viele Primzahlen gibt, gibt es ein solches k, für das zusätzlich |s|<1 wird. Damit ist das Ziel erreicht.

P. Фрич

ГИЛЬБЕРТОВО ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТРАНСЦЕНДЕНТНОСТИ ЧИСЛА π

В 1882 году Фердинанд Линдеман (1852 – 1939) будучи

профессором в Фрайбурге в Брайсгау решал задачу квадратуры круга, в которой доказывал трансцедентность числа π. Благодаря этому он получил мировую известность и еще в XIX веке был приглашен математическим центром всемирно известной Альбертины в Кёнигсберг. Сегодня его первоначальное доказательство даже сложно себе представить. В 1893 году его ученику Давиду Гильберту (1862 – 1943), родившемуся и

R. Fritsch

151

работавшему в Кенигсберге, удалось существенно упростить доказательство. Поэтому трансцендентность числа π имеет некоторое отношение к месту (городу) издания этого сборника, что оправдывает представление в нем основных идей доказательства Гильберта. УДК 514.75

М.А. Чешкова (Алтайский государственный университет)

К ГЕОМЕТРИИ РЕЗНЫХ ГИПЕРПОВЕРХНОСТЕЙ

Изучается резная гиперповерхность в евклидовом

пространстве nE .

Резными называются поверхности, у которых плоскости одного семейства плоских линий кривизны ортогональны поверхности. Семейство плоских линий кривизны рассматриваемой поверхности будет геодезическим [1, с.374]. Резную поверхность можно рассматривать как поверхность, составленную из ортогональных траекторий однопараметрического семейства плоскостей. Дадим следующее Определение. Гиперповерхность M называется резной, если одна линия кривизны – геодезическая, а )n( 2− -распределение Δ , ортогональное касательному к ней, является инволютивным.

В этом случае геодезическая линия кривизны γ – плоская, а интегральные многообразия инволютивного распределения Δ определяют )n( 2− -мерные ортогональные траектории Q .

Обозначим через U),n,...,i(X i 21 −= – орты главных

направлений, ,ki k – главные кривизны гиперповерхности M , при-

чем k,U соответствуют геодезической линии γ . Если главные кривизны отличны от нуля, то определены фокальные гиперповерх-ности )F(),F( i конгруэнции нормалей гиперповерхности M , где

;n,...,i;kk;nk

rF;nk

rF ii

i 21011−=≠+=+= r – радиус-вектор

текущей точки гиперповерхности M; n-орт нормали. Ранее были получены следующие результаты [2].


152

Теорема А. Если резная гиперповерхность в nE не имеет равных главных кривизн, то n-2 фокальные гиперповерхности 21 −= n,...,i),F( i конгруэнции нормалей – 1-параболические.

Теорема B. Если резная гиперповерхность в nE не имеет равных главных кривизн, то прямолинейные образующие фокальных гиперповерхностей 21 −= n,...,i),F( i конгруэнции нормалей принадлежат 2-плоскости, содержащей геодезическую линию кривизны. В данной работе продолжается исследование гиперповерхностей

)F(),F( i . Теорема 1. Если резная гиперповерхностьM в nE не имеет равных

главных кривизн и ,k 0≠ то фокальная гиперповерхность )F( конгруэнции нормалей – резная. Теорема 2. Если все фокальные гиперповерхности ),F( i 21 −= n,...,i

цилиндрические, то прямолинейные образующие цилиндров параллельны. Теорема 3. Если все фокальные гиперповерхности ),F( i

21 −= n,...,i цилиндрические, то (n-2)-поверхности Q принадлежат параллельным гиперплоскостям, ортогональным прямолинейным образующим цилиндров.

1. Основные формулы. Рассмотрим гладкую гиперповерхность в евклидовом пространстве nE . Обозначим )M(F – R-алгебру дифференцируемых на M функций; q

sT – F-модуль дифференци-руемых на M тензорных полей типа )s,q( ; −)M(χ алгебру Ли векторных полей на M ; −∂ дифференцирование; −, скалярное

произведение в nE . Формулы Гаусса-Вейнгартена гиперповерхности M имеют вид [3, с. 36] AXn,n)Y,X(YY XXX −=∂+∇=∂ β , (1) где −=∈∈ )Y,AX(g)Y,X(),M(Y,X),M(TA βχ1

1 вторая фундаментальная форма, −A оператор Вейнгартена; −∇ связность Леви-Чивита метрики Y,X)Y,X(g = .

Выполняются уравнения Гаусса-Кодацци ,AY)Z,X(AX)Z,Y(Z)Y,X(R ββ −= ,)Y,X(dA 0= (2)

М.А. Чешкова

153

где −∇−∇∇−∇∇= ZZZZ)Y,X(R ]Y,X[XYYX тензор кривизны связности ∇ ; −−∇−∇= ]Y,X[AAXAY)Y,X(dA YX внешний дифференциал поля A в связности ∇ .

Так как U,n,...,i,X i 21 −− – орты главных направлений, ,ki k –

главные кривизны гиперповерхности M , причем k,U соответствуют геодезической линии γ , то

kAU,XkAX iii == .U,U U 0=∇ (3) Кроме того,

;X,X,U,U,U,X iiUXiU i000 =∇=∇=∇

.X,UU,X jXjX ii0=∇+∇ (4)

Из равенства 0=)U,X(dA i в силу (3; 4) получим

210 −== n,...,i,kX i ; (5)

;kk

Ukh,Xh)U(

i

iiii

iX i −

−==∇ (6)

,ji,)X)(kk()U)(kk( jiUji

jXj i

≠=∇−−∇− 0 (7)

где −i(.) составляющая, параллельная iX . Так как по условию −− )n( 2 распределение Δ , определяемое полями 21 −nX,...,X ,

инволютивное, то ,)X()X(]X,X[ iXjXji ji

0=∇−∇= ⊥⊥⊥ (8)

где −⊥(.) составляющая, параллельная U . Рассмотрим

.]X,X[AXkX)kX(Xk

X)kX(]X,X[AAXAX)X,X(dA

jiiXiiijjXj

jjijiiXjXji

ji

ji

0=−∇−−∇+

+=−∇−∇=

Используя (8) и приравнивая нулю составляющую, параллельную U , получим .)X(k)X(k iXijXj ji

0=∇−∇ ⊥⊥ (9) При 0≠− ji kk из (8; 9) имеем

.ji,)X( jX i≠=∇ ⊥ 0 (10)

Из равенств (4; 10) имеем .ji,U,XiXj ≠=∇ 0 В силу (6; 4) получим


154

.kk

Ukh,XhU

i

iiiiX i −

−==∇ (11)

Из (4; 7; 11) следует, что .X iU 0=∇ (12) Рассмотрим .UUUU)U,X(R ]UX[XUUXi iii

∇−∇∇−∇∇= Имеем

,XhXU]U,X[ iiiUXi i=∇−∇= .X)hUh(U)U,X(R iiii

2+−=

С другой стороны, в силу (2) .XkkU)U,X(R iii = Откуда .hkkUh iii

2−−= (13) 2. Доказательство теоремы 1. Если 0≠k , то рассмотрим

фокальную гиперповерхность ).F( Имеем

.nk

kUF,Xk

kkF Uii

Xi 2−=∂−

=∂ (14)

Таким образом, FnU = есть орт нормали к гиперповерхности ).F( Рассмотрим отображение FM:f → . Имеем

;nk

kUdfU,Xk

kkdfX ii

i 2−=−

=

;kkkhk,dfXkXhn)U,X(bUUn

i

iiiiiiiXX

FX iii −

===+∇=∂=∂

.kUkk,dfUknkn)U,U(bUUn UU

FU

3−

===+∇=∂=∂

Главные направления U,X i гиперповерхности M при отображении df перешли в главные направления dfU,dfX i гиперповерхности )F( , вектор n есть орт главного направления dfU , а линия )(f~ γγ = есть линия кривизны на )F( . Соприкасающаяся плоскость )~(γΠ кривой γ~ определяется век-торами n,n U∂ , т.е. { }U,n)~( =γΠ . Плоскость )~(γΠ проходит через нормаль UnF = . Таким образом, линия кривизны )(f~ γγ = есть геодезическая, а гиперповерхность )F( есть резная ги-перповерхность. Следствие. Линия −= )(f~ γγ плоская.

М.А. Чешкова

155

Доказательство. Рассмотрим соприкасающуюся плоскость { }U,n)~( =γΠ кривой )(f~ γγ = . Так как )~(U),~(n UU γΠγΠ ∈∂∈∂ ,

то соприкасающаяся плоскость Π есть постоянная вдоль кривой )(f~ γγ = , следовательно, кривая −= )(f~ γγ плоская.

3. Доказательство теоремы 2. Так как

,n)k

X(Fi

ii

X i

1=∂ ,ji,X

kkk

n)k

X(F ji

ji

ij

iX j

≠−

+=∂1 ),nhUk(

kkk

F iii

iiU +

−=∂ 2

++∇+=+∂ )n)U,U(U(kU)Uk()nhUk( UiiiiU β ),nhUk(hUkhn)Uh( iiiii +−=−

то нормалью in к гиперповерхности iF является орт iX . А так как

,Xn iUi

U 0=∂=∂ то гиперповерхность )F( i имеет нулевую главную кривизну, т.е. является 1-параболической [4]. Интегральной кривой поля U на гиперповерхности )F( i соответствует прямая линия с направляющим вектором .nhUkl iii +=

Потребуем, чтобы гиперповерхность )F( i была цилиндрической. Тогда iX l

j∂ // il . Имеем

=−++∇+=∂ jjiijjXiijiX Xkhn)hX()n)U,X(U(kU)kX(ljj

β n)hX(X)khhk(U)kX( ijjjijiij +−+= // .nhUk ii +

Таким образом,

.h

hXk

kX,hkhk

i

ij

i

ijijji == (15)

Положим .tkh

kh

j

j

i

i == Формулы (15) примут вид:

.tX,tkh jii 0== (16) Таким образом, )tnU(kl ii += и все образующие цилиндров параллельны.

4. Доказательство теоремы 3. Рассмотрим соприкасающееся пространство )Q(Π к (n-2)-поверхности Q . Оно определяется векторами iXi X,X

j∂ . Имеем в силу (10) ji,X iX j

≠∈∂ Δ .

Дифференцируя равенство 0=U,X i вдоль iX и используя (11),

получим =∇ ⊥)X( iX iUhi− , =∂ iX X

i)ntU(knkUh iii +−=+− . Откуда


156

следует, что вектор tnUl += есть нормаль )Q(Π , он постоянный и )Q(Q Π∈ .


1. Шуликовский В.И. Классическая дифференциальная геометрия

в тензорном изложении. М., 1963. 540 с. 2. Чешкова М.А. Резные гиперповерхности // Материалы

четвертой краевой конференции по математике. Барнаул, 2001. С. 14. 3. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной

геометрии. М., 1981. Т. 2. 414 с. 4. Борисенко А.А. О полных параболических поверхностях //

Укр. геом. сб. 1985. Вып. 28. С. 8 – 19.

M. Cheshkova

ON GEOMETRY OF CUT HYPERSURFACES

The cut hypersurface in Euclidean space nE examined. УДК 514.76

Ю.И. Шевченко (Калининградский государственный университет)

ТРИ РАССЛОЕНИЯ ПРОЕКТИВНОЙ ГРУППЫ

Рассмотрена группа преобразований GP(n) n-мерного

проективного пространства Pn, выделяемая факторизацией из линейной группы GL(n+1). Проективная группа GP(n) содержит аффинную группу GA(n), коаффинную группу GA*(n) и линейную группу GL(n), являющиеся подгруппами стационарности гиперплоскости Pn-1, точки А и 0-пары (A,Pn-1), A∉Pn-1. Показано, что проективная группа GP(n) представляется в виде трех главных расслоений, типовыми слоями которых являются подгруппы GA(n), GA*(n) и GL(n): 1) аффинных реперов над двойственным проективным пространством гиперплоскостей )n,n(GrP*

n 1−= – многообразием Грассмана гиперплоскостей; 2) коаффинных реперов над исходным проективным пространством Рn = Gr(0,n) – многообразием Грассмана точек;

Ю.И. Шевченко

157

3) линейных реперов со связностью над 2n-мерным пространством 0-пар П2n – подмножеством неинцидентных пар (A,Pn-1) прямого произведения

).n,1n(Gr)n,0(GrPP *nn −×=×

1. Отнесем n-мерное проективное пространство Pn к подвижному

реперу {A,AI} (I,J,K,L = n,1 ). Деривационные формулы вершин репера имеют вид ,AAAdA,AAdA IJ

JIIII

I ω+ω+θ=ω+θ= (1)

причем базисные формы IIJ

I ,, ωωω эффективно действующей в пространстве Pn проективной группы GP(n) удовлетворяют струк-турным уравнениям (см., например. [1, с. 173]):

,D IJ

JI ω∧ω=ω (2)

,D IJ

KK

IJ

IK

KJ

IJ ω∧ω+ω∧ωδ+ω∧ω=ω (3)

.D JJII ω∧ω=ω (4)

2. Пусть в проективном пространстве Pn фиксирована гиперплоскость Pn-1, тогда пространство Pn становится гиперцентропроективным пространством },P,P{P 1nn

1nn −− =

эквивалентным расширенному аффинному пространству .A~ n Поместим вершины AI репера {A,AI} в гиперплоскость Pn-1. Из формул (12) находим уравнения стационарности гиперплоскости Pn-1: ,0I =ω которые в силу структурных уравнений (4) образуют вполне интегри-руемую систему и упрощают уравнения (2; 3) ).|(D,D 0I

IK

KJ

IJ

IJ

JI

=ωω=ππ∧π=ππ∧π=π (5)

Получили структурные уравнения аффинной (гиперцентропроективной) группы GA(n), действующей в пространствах 1n

nP − и .A~ n Замечание 1. Норден [2] назвал 1nnP − рассеченным

пространством. Если из пространства 1nnP − удалить гиперплоскость

Pn-1, то получим разрезанное [3, c. 65] гиперцентропроективное пространство ,P 1n

n− эквивалентное аффинному пространству An, в

котором также действует аффинная группа GA(n).


158

Из структурных уравнений (52) видно, что система уравнений 0I

J =π вполне интегрируема. Она выделяет в аффинной группе

GA(n) n-членную подгруппу Tn трансляций точек пространства 1nnP −

с внешними уравнениями ).|(0D 0I

J

III

=ππ=π=π

Подгруппа Tn абелева и является нормальным делителем группы GA(n), поэтому имеется линейная факторгруппа GL(n) = GA(n)/Tn со структурными уравнениями (52).

Утверждение 1. Аффинная группа GA(n) содержит линейную подгруппу GL(n), выделяемую вполне интегрируемой системой уравнений 0I =π и изоморфную факторгруппе GL(n), действующей неэффективно в двух (n-1)-мерных проективных пространствах: Pn-

1 и *1nP − – пространстве (n-2)-мерных плоскостей, принадлежащих

гиперплоскости Pn-1, и многообразии Грассмана Gr(n-2,n-1). В пространстве Pn рассмотрим пространство *

nP гиперплоскостей, т.е. многообразие Грассмана Gr(n-1,n). Пространство *

nP = Gr(n-1,n) является n-мерным проективным пространством гиперплоскостей, двойственным исходному точечному пространству Pn. В уравнениях (3) вынесем базисные формы Kω пространства *

nP : ).(D IK

JKI

JKIK

KJ

IJ ωδ+ωδ∧ω+ω∧ω=ω (6)

Утверждение 2. Проективная группа GP(n) есть главное расслоение аффинных реперов )P(A *

n)1n(n + со структурными уравнениями (4; 6; 2), базой которого является двойственное проективное пространство *

nP , а типовым слоем служит n(n+1)-членная аффинная группа ).n(GAA )1n(n =+

Утверждение 3. Для задания (полной) аффинной связности },{ IK

JIJ ΓΓ в расслоении )P(A *

n)1n(n + достаточно произвести оснащение Бортолотти многообразия Грассмана Gr(n-1,n), т.е. к каждой гиперплоскости Pn-1 присоединить точку B∉Pn-1.

3. Зафиксируем в проективном пространстве Pn точку А, тогда Pn станет центропроективным пространством


159

},A,P{P n0n = эквивалентным расширенному коаффинному

пространству .A*n Из формулы (11) получим уравнения

стационарности точки А: ,0I =ω которые в силу структурных уравнений (2) образуют вполне интегрируемую систему и упрощают уравнения (3; 4) ).|(D,D 0IJ

JII

IK

KJ

IJ =ω

ω=ππ∧π=ππ∧π=π (7)

Нашли структурные уравнения коаффинной (центропроективной) группы GA*(n), действующей в пространствах 0

nP и .A*n

Замечание 2. Если из центропроективного пространства 0nP

удалить точку А, то получим проколотое центропроективное пространство 0

nP , эквивалентное коаффинному пространству ,A*n в

котором также действует коаффинная группа GA*(n). Из структурных уравнений (71) видно, что система уравнений

0IJ =π вполне интегрируема. Она выделяет в коаффинной группе

GA*(n) n-членную подгруппу *nT трансляций гиперплоскостей

пространства 0nP с внешними уравнениями

).|(0D 0IJ

III =ππ=π=π

Подгруппа *nT абелева и является нормальным делителем группы

GA*(n), поэтому имеется линейная фактор-группа GL *(n) = GA*(n)/ *nT

со структурными уравнениями (71). Утверждение 4. Коаффинная группа GA*(n) содержит линейную

подгруппу GL(n), выделяемую вполне интегрируемой системой уравнений 0I =π и изоморфную фактор-группе GL *(n), действующей неэффективно в двух (n-1)-мерных проективных пространствах: Pn-1 и P *

1n− – связках прямых и гиперплоскостей с центром А. В уравнениях (3) вынесем базисные формы Kω проективного пространства Pn:

).(D JIKK

IJ

KIK

KJ

IJ ωδ−ωδ−∧ω+ω∧ω=ω (8)


160

Утверждение 5. Проективная группа GP(n) есть главное расслоение коаффинных реперов )P(A n

*)1n(n + со структурными

уравнениями (2; 8; 4), базой которого является проективное пространство Pn, а типовым слоем служит n(n+1)-членная коаффинная группа ).n(GAA **

)1n(n =+

Утверждение 6. Для задания коаффинной связности }, IJIJK ΓΓ в

расслоении )P(A n*

)1n(n + достаточно осуществить нормализацию Нордена пространства Pn, т.е. к каждой точке А присоединить гиперплоскость Pn-1, несодержащую точку А.

4. Пусть в пространстве Pn дана 0-пара [4, c. 378] (A,Pn-1) с уравнениями стационарности .0,0 I

I =ω=ω В этом случае проективное пространство Pn назовем парацентропроективным пространством 1n,0

nP − = {Pn,A,Pn-1}, A∉Pn-1. Системы уравнений (5) и (7) принимают вид ).|(D 0,0 I

IIK

KJ

IJ =ω=ω

ω=ππ∧π=π

Получили структурные уравнения линейной группы GL(n), действующей в пространстве 1n,0

nP − , которое можно отождествить с n-мерным векторным пространством.

Утверждение 7. Аффинная, коаффинная и линейная подгруппы проективной группы связаны следующими включениями: GP(n) ⊃ GA(n) ⊃ GL(n) ⊂ GA*(n) ⊂ GP(n).

В проективном пространстве Pn рассмотрим 2n-мерное пространство П2n 0-пар (A,Pn-1), которое можно представить двумя способами: 1) к каждой точке A∈Pn присоединить множество гиперплоскостей, не проходящих через точку А; 2) к каждой гиперплоскости Pn-1∈ *

nP присоединить множество точек, не лежащих в гиперплоскости Pn-1. Таким образом,

*nnn2 PP ×=Π ⊂ ,PP *

nn × где черта выделяет в прямом произведении *nn PP × подмножество неинцидентных пар (A,Pn-1). Запишем

уравнения (3) в виде ,RD LK

IKJL

IK

KJ

IJ ω∧ω+ω∧ω=ω (9)

.R IL

KJ

KL

IJ

IKJL δδ+δδ= (10)


161

Утверждение 8. Проективная группа GP(n) есть главное расслоение линейных реперов )(L n2n 2 Π со структурными уравнениями (2; 4; 9), в котором задана связность. Базой этого расслоения является пространство 0-пар П2n, а типовым слоем служит n2-членная линейная группа ).n(GLL 2n = Иначе говоря, группа GP(n) есть пространство линейной связности n2,n2L с n2-мерными слоями и 2n-мерной базой, причем ненулевые компоненты тензора кривизны находятся из формулы (10).


1. Кобаяси Ш. Группы преобразований в дифференциальной геометрии. М., 1986.

2. Норден А.П. Теория композиций // Проблемы геометрии / ВИНИТИ. М., 1978. Т. 10. С. 117 – 145.

3. Шевченко Ю.И. Оснащения центропроективных многообразий. Калининград, 2000.

4. Розенфельд Б.А. Многомерные пространства. М., 1966.

Yu. Shevchenko

THREE BUNDLES OF A PROJECTIVE GROUP

The transformation group GP(n) of n-measurement projective space Pn, al-located by a factorization from a linear group GL(n+1) is considered. A projec-tive group GP(n) is contain affine group GA(n), coaffine group GA*(n) and lin-ear group GL(n) being subgroups of stationarities of a hyperplane Pn-1, point A and 0-pair (A,Pn-1), А∉Pn-1. It is shown, that the projective group GP(n) is repre-sented by the way of three main bundles, standard layers which one the sub-groups GA(n), GA*(n) and GL(n) are: 1) affine frames over dual projective space of hyperplanes )n,1n(GrP*

n −= – manifold of Grassmann of hyper-planes; 2) coaffine frames over initial projective space Pn = Gr (0, n) – manifold of Grassmann of points; 3) linear frames with connection over 2n-measurement space of 0-pairs П2n – subset not incident pairs (A,Pn-1) of direct product

).n,1n(Gr)n,0(GrPP *nn −×=×


162

УДК 514.75

С.Н. Юрьева (Калининградский государственный университет)

ГИПЕРПОЛОСНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КОРАЗМЕРНОСТИ

ДВА АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА An

Изучается дифференциальная геометрия гиперполосных распределений (n-2)-мерных линейных элементов аффинного пространства Аn.

Схема использования индексов такова:

;n,1n,,,;2n,1t,s,l,k,j,i −=ηγβα−=

n,1L,K,J,I,1n,1c,b,а =−= .

1. Рассмотрим n-мерное аффинное пространство Аn со структурными уравнениями ,D,D K

LLI

KI

IL

LI ωωωωϖω ∧=∧= (1)

отнесенное к подвижному реперу ( )n21 е,...,е,е,А , дифференциальные уравнения инфинитезимального перемещения которого имеют вид

.еdАd К

K

JJК ее ,K ρρ ρϖ ωω ==

Пусть (n-2)-мерная плоскость М(А) задана линейно независимыми векторами α

α+= eMem iiiρϖρ

. Тогда известно [1; 2], что структурные формы многообразия m-мерных плоскостей n-мерного аффинного пространства имеют вид

ααβαα ωωΔ ij

bjiii MMMМ +−∇= .

Равенство 0М i =Δ α представляет собой условие стационарности плоскости М(А) при допустимых преобразованиях репера. Аналогично структурные формы многообразия гиперплоскостей, заданных (n–1) линейно независимыми векторами n

naaa eНel += , запишутся в виде

na

сn

nc

na

na

na НННН ωωΔ +−∇= .

С.Н. Юрьева

163

Согласно [1; 2] n-мерные погруженные многообразия в пространствах представления { }J

i ,M ωΔ α , { }Jna ,Н ωΔ , задаваемые

дифференциальными уравнениями

,НН,MM KnaK

na

KiKi ωΔωΔ αα == (2)

называются распределениями соответственно (n-2)-мерных плоскостей и гиперплоскостей.

Потребуем, чтобы в некоторой области пространства Аn для любого центра А имело место соотношение А∈М(А)⊂Н(А). Распределение (2) с таким отношением инцидентности их соответствующих элементов называется гиперполосным распре-делением H(М) или H-распределением. При этом распределение плоскостей Мn-2 называется базисным распределением (или М-распределением), а распределение гиперплоскостей Нn-1 – оснащающим распределением (или Н-распределением).

Произведем следующую канонизацию репера { }Iе,А : поместим векторы { αe

ρ } в гиперплоскость Н(А), а векторы { iеρ } – в плоскость

M(А). Выбранный таким образом репер назовем репером 0-го порядка 0R . Дифференциальные уравнения H-распределения относительно репера 0R принимают следующий вид:

,H,M,HМ KnK,n

nn

KniK

ni

KniK

KniK

ni ωωωωωωω 11

11−−

−− ==== (3)

где функции { } { } { }nК,n

niK

niK ,M,M 1

1−

− Η удовлетворяют соответственно уравнениям

.M

,MMM,MMKn

LK,nin

niL

nL,n

KniLK

nn

niL

niL

KniLK

niL

ωΗωΗωωω

111

111

−−−

−−−

=+∇

=+∇=∇ (4)

Итак, относительно репера 0R H(М)–распределение задается уравнениями (3; 4), а геометрический объект Г1 = { }n

К,nniK

niK ,M,M 1

1−

− Η является его фундаментальным объектом 1-го порядка. Справедлива

Теорема 1. Гиперполосное распределение H(М) относительно репера нулевого порядка аффинного пространства Аn существует с произволом 2n-3 функций n аргументов.


164

Для регулярного H-распределения согласно лемме Н.М. Остиану возможна частичная канонизация репера 0R , как это следует из дифференциальных уравнений

LnjL,n

in

nij

nj,n HMH ωω 111 −−− =+∇ (5)

Действительно, полагая 01 =−n

j,nH , мы разрешим уравнения (5)

относительно форм in 1−ω :

KiK,n

defKn

jK,nijn

in HHM ωωω 111 −−− =−=

Геометрический смысл такой канонизации заключается в том, что вектор { 1−neρ } помещается в характеристику )A(Е1 гиперплоскости Н(А). Выбранный таким образом репер назовем репером 1-го порядка 1R . Дифференциальные уравнения H-распределения относительно репера 1R принимают следующий вид:

,H,H,M,M KiKn

in

n,n

nn

KniK

ni

KniK

ni ωωωωωωωω β

β 111111

−−−−−− ==== (6)

где функции iK,n

n,n

niK

niK H,H,M,M 11

1−−

−β удовлетворяют соответственно

уравнениям (4) и уравнениям

.

,,Ki

nK,nin

nn,n

nn

in,n

jn

ij,n

in,n

KiKn,n

in

nn,n

in,n

KijK,n

ij,n

ωΗωΗωΗωΗΗ

ωΗωΗΗωΗΗ

111

1111

11111111

−−−

−−−−

−−−−−−−−

=+−−∇

=+∇=∇

Геометрические объекты { }n,n

niK

niK H,M,MГ β1

11 −

−= , { }iK,n1 H,ГГ 12 −=

являются фундаментальными объектами соответственно 1-го и 2-го порядка регулярного H-распределения относительно репера 1R . Имеет место

Теорема 2. Гиперполосное распределение �(М) относительно репера первого порядка аффинного пространства А n существует с произволом 3(n-2) функций n аргументов.

2. Для тензора nn,nН 11 −− введем обратный тензор:

Kn,nnK

n,nn HH ω1111 −−−− =∇ . Введем в рассмотрение функции

С.Н. Юрьева

165

{ } { }111111

111 −−−−−−

−−− =−=−= nn

in

defan

n,nn

in,n

in

nn,n

n,nn

nn H,HH,HHH,HHH .

Непосредственной проверкой убеждаемся, что функции an

in

nn H,H,H 1− образуют квазитензоры 1-го порядка:

KanK

an

an

KinK

in

in

KnnK

nn

nn HH,HH,HH ωωωωωω =+∇=+∇=+∇ −−− 111 .

Поле квазитензора { }anH задает инвариантное поле аффинной

нормали [ ]nh,AHρ

=1 , где поле векторов

nnnni

inna

ann eeHeHeeHh ρρρρρρ

++=+= −−

11 внутренним образом определено

H(М)-распределением. Справедлива Теорема 3. В дифференциальной окрестности 1-го порядка внутренним образом присоединяется к H(М)-распределению поле его нормалей 1-го рода 1H такое, что при смещении центра А H (М)-

распределения вдоль кривых ,H nan

a ωω = принадлежащих этому

полю нормалей 1H , гиперплоскость H(A) переносится параллельно самой себе.

Поля квазитензоров 1-го порядка { }inH , { }1−n

nH задают поля

нормалей 1-го рода [ ]112 H,EN = ; [ ]121 H,MN nn −− = соответственно М-распределения и Е-распределения в смысле Нордена-Чакмазяна.

Заметим, что в каждом центре А выполняется соотношение ).A(N)A(N)A(H n 121 −∩= В соответствии Бомпьяни-Пантази

11

11111

11

111−−

−−−−−

−−

−−− −−=⇔−−=

−−=⇔−−=

−−=⇔−−=

n,nnn

nn,n

n,nn

nn

nn,n

nn

nn,nn

ijni

nkn

jkn

jni

jn

niji

bana

nan

ban

bn

nan

bn

naba

HHHHH

,MMMMM

,HHHHH

νννν

νννν

ννννββ

нормалям { }anH , { }i

nH , { }1−nnH 1-го рода соответственно Н-рас-

пределения, М-распределения и Е-распределения в каждом центре А ставятся в соответствие нормали 2-го рода Н-распределения, М-распределения и Е-распределения.

Теорема 4. В дифференциальной окрестности 1-го порядка внутренним образом присоединяются соответственно нормализации в смысле Нордена-Чакмазяна


166

)h,H(),h,H( nnni

in 1

1−

− основных структурных М-, Е-подрасслоений

данного H (М)-распределения и нормализации в смысле )h,H( aan для

Н-распределения.


1. Алшибая Э.Д. Дифференциальная геометрия гиперповерхности в многомерном аффинном пространстве // Тр. Тбилисского ун-та. Тбилиси, 1968. Т. 129. С. 319 – 341.

2. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий // Тр. Московского матем. о-ва. 1953. Т. 2. С. 275 – 382.

S. Jureva

HYPERSTRIP DISTRIBUTION CODIMENSION TWO OF AFFINE SPACE An

It is studied differential geometry of hyperstrip distributions of

(n-2)-measured lenear elements of affine space An.

СЕМИНАР

по дифференциальной геометрии многообразий фигур при Калининградском госуниверситете

В предыдущих выпусках сборника освещена работа семинара по

25 декабря 2001 года. Ниже приводится перечень докладов, обсужденных на семинаре в 2002 году.

11.02.02. В.С. Малаховский. О некоторых свойствах базовых

последовательностей пифагоровых треугольников. 18.02.02. М.Л. Винокур. Пространство окружностей на плоскости

как объединение пучка окружностей и ортогональных ему конгруэнций.

25.02.02. Н.В. Малаховский. Окружности пропорциональных сечений треугольника.

04.03.02. А.В. Скрягина. Основы проективно-дифференциальной геометрии.

Семинар

167

11.03.02. Б.А. Андреев. Гиперквадрика Чеха точечного соответствия.

18.03.02. К.В. Полякова. Групповая связность в пространстве элементов Лаптева.

25.03.02. И.Е. Волкова. Цилиндрические распределения на гиперполосе SHm.

01.04.02. А.В. Скрягина. Геометрические образы, двойственные плоскостной поверхности.

08.04.02. С.Ю. Волкова. Двойственный образ гиперполосы SHr(L). 15.04.02. Н.А. Елисеева. Двойственный образ H (П)-распределения. 22.04.02. Н.Н. Иванищева. Дифференцируемое отображение

проективного пространства в многообразие гиперквадрик центропроективного пространства.

29.04.02. К.В. Полякова. Некоторые понятия теории индуцированных связностей на поверхности.

06.05.02. Т.Ю. Максакова. Двойственные аффинные связности гиперполосы r

mCH . 13.05.02. О.М. Омельян. Нетензорность объекта кривизны

групповой связности на распределении плоскостей. 20.05.02. W.S. Malachowskij. Anwendurgen Cartan’s Methode zu

Differentialgleichungen. 27.05.02. О.И. Жовтенко. Продолжение главного расслоения,

ассоциированного с конгруэнцией плоскостей. 03.09.02. Ю.И. Попов. Инвариантные оснащения гиперполосы Hm(Δ). 10.09.02. Ю.И. Шевченко. Обзор статей калининградских геометров в

сборнике “Инвариантные методы исследования на многообразиях структур геометрии, анализа и математической физики”, МГУ, 2001.

17.09.02. Е.П. Юрова. Специальные характеристические конфигурации многообразия гиперквадрик.

24.09.02. O.M. Zhovtenko. Connections induced by Bortolotti’s equipment of the cocongruence of planes.

30.09.02. В.С. Малаховский. Выдающаяся роль Давида Гильберта в развитии математики в ХХ веке – пленарный доклад на международном математическом семинаре в Калининграде.

02.10.02. Секционные доклады на международном математическом семинаре в Калининграде:

В.С. Малаховский. Дискретные семейства фигур, порождаемые простыми числами.

168

Ю.И. Попов. Дифференциально-геометрические структуры многообразия ).H(Pn

0 В.С. Кальницкий (Санкт-Петербург). Средние, характеризующиеся

коническими сечениями, для обобщенного уравнения Лагранжа. Ю.И. Шевченко. Обобщения аффинной, коаффинной и линейной

групп. 03.10.02. Доклады на международном математическом семинаре: Р. Фритч (R. Fritsch, Munchen). Некоторые новые результаты

геометрии тетраэдра. Н.В. Малаховский. Об одной геометрической интерпретации

аффинной классификации действительных коник. О.О. Белова. Геометрическая связность в пространстве

центрированных плоскостей. Н.А. Елисеева. Полосные распределения проективного

пространства. О.М. Жовтенко. Связности, ассоциированные с конгруэнцией

плоскостей. К.В. Полякова. Псевдосвязность как специальная геометрическая

связность. А.В. Скрягина. Продолженное расслоение, ассоциированное с

плоскостной поверхностью. 08.10.02. Ю.И. Шевченко. Итоги работы секции “Геометрия и

алгебра” на международном математическом семинаре в Калининграде, посвященном 140-летию со дня рождения Давида Гильберта из Кенигсберга и 25-летию математического факультета.

15.10.02. С.Ю. Волкова. Двойственные нормальные связности гиперполосы SHr(L).

22.10.02. А.В. Скрягина. Объект кривизны на плоскостной поверхности.

29.10.02. Н.А. Елисеева. Инвариантные оснащения H (П)-распре-деления в смысле Э. Бортолотти.

05.11.02. К.В. Полякова. О деривационных формулах и структурных уравнениях (по книгам В.С. Малаховского и А.В. Столярова).

12.11.02. С.Н. Юрьева. Гиперполосные распределения (n-2)-мер-ных линейных элементов аффинного пространства An.

19.11.02. О.М. Омельян. Об оснащениях распределения плоскостей.

26.11.02. К.В. Полякова. Однородная связность как специальная геометрическая связность.

Семинар

169

03.12.02. К.С. Горшовская. Об оснащениях Близникаса гиперкомплекса прямых.

10.12.02. Доклады и впечатления о международной молодежной научной школе-конференции в Казани (28 ноября – 1 декабря 2002 г.):

О.О. Белова. Связности в главном расслоении над областью проективного пространства.

О.М. Жовтенко. Оснащение Бортолотти семейства плоскостей в проективном пространстве.

О.М. Омельян. Об объекте кривизны групповой связности на распределении плоскостей.

К.В. Полякова. Псевдосвязность как специальная геометрическая связность.

А.В. Скрягина. Связность в продолжении расслоения проективных реперов, ассоциированном с плоскостной поверхно-стью. 17.12.02. К.В. Полякова. Об уравнениях структуры проективного пространства.

24.12.02. Ю.И. Шевченко. О статьях О.М. Жовтенко и А.В. Скря-гиной в межвузовском сборнике научных трудов “Движения в обобщенных пространствах” (Пенза, 2002).

Date post:	22-Aug-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	6 times
Download:	0 times

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯelibrary.lt/resursai/Uzsienio...

Documents