1. เขยนความสมพนธแบบแจกแจงหรอแบบบอกเงอนไขได
2 . หาโดเมนและเรนจของความสมพนธได 3 . เขยนกราฟของความสมพนธทกำาหนดใหได 4 . หาอนเวอรของความสมพนธทกำาหนดใหได
พรอมทงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธได 5 . เขยนกราฟของอนเวอรของความสมพนธท
กำาหนดใหได
41. คอนดบ มงใหผเรยนสามารถบอกไดวา ค
อนดบ 2 คทกำาหนดใหเทากนหรอ ไม และนำาความรในเรองนไปใชได
เรองของความสมพนธจะเกยวของกบเรอง ของคลำาดบ
และผลคณคารทเชยน ดงน คลำาดบ (Ordered pairs)
คลำาดบ (a, b) คอคสมาชกทม a เปนสมาชกตวหนา หรอพกด x b เปนสมาชกตวหลง หรอพกด y (a, b) = (c, d) กตอเมอ a = c และ b = c
(a, b) น (b, a) เมอ a นb
4 2. ผลคณคารทเชยล มงใหผเรยนสามารถ
1. เขยนผลคณคารทเชยลของเซต 2 เซตท กำาหนดใหได
2. บอกจำานวนสมาชกของผลคณคารทเชยล ของเซตจำากด 2 เซตทกำาหนดใหได
นยาม A x B = {(a, b) / a น A และ bน B}ตวอยาง ให A = {1, 2, 3} ; B = {0, 7}; C = { }
A x B = {(1, 0), (1, 7), (2, 0), (2, 7), (3, 0), (3, 7)}
B x A = {0, 1}, (0, 2), (0, 3), (7, 1), (7, 2), (7, 3)}
A x C = { }
ตวอยาง ให A = {1, 2, 3, 4, 5} ; B = {0, 1}; C = { 4, 5, 6 } จงหาA - C = (A - C) x B = (A นC) x (A นB) =A x B =
C x B =(A x B) น(C x B) =
}3,2,1{
)}1,3(),0,3(),1,2(),0,2(),1,1(),0,1{()}1,5(),1,4{(
),1,4(),0,4)(1,3(),0,3(),1,2(),0,2(),1,1(),0,1{()}1,5(),0,5(
)}1,6(),0,6(),1,5(),0,5(),1,4(),0,4{()}1,5(),0,5(),1,4(),0,4{(
43. ความสมพนธ มงใหผเรยนสามารถ
1. บอกความหมายของความสมพนธจาก A ไปB ได
2. บอกความหมายของความสมพนธในเซต A ได
3. เขยนความสมพนธตามเงอนไขทกำาหนดใหได
นยาม ความสมพนธ คอเซตของคลำาดบแทน
ดวย r และ r เปนความสมพนธ จาก A ไป B ก
ตอเมอ r เปนสบเซตของ A x B
ตวอยาง A = {0, 1, 2, 3} ; B = {2, 5, 6, 7} ขอใดเปนความสมพนธจาก A ไป B
r1 = {(0, 3), (1, 7) ,(0, 7)} r2 = {(2, 2), (3, 5), (1, 6) , (0,
2)} r3 = {(2, 0), (5, 1), (5, 0), (6,
3)}A x B = {(0, 2),(0, 5), (0, 6), (0, 7), (1,
2),(1, 5), (1, 6), (1, 7), (2, 2),(2, 5), (2, 6), (2, 7), (3, 2),(3, 5), (3, 6), (3, 7),}
ตวอยาง ให A = {1, 2, 3, … , 10 } จงหา r แบบแจกแจง r1 = {(x, y) น A x A / x + y น 4} r2 = {(x, y) น A x A / x = 2y } r3 = {(x, y) น A x A / y = 2x - 5 } r1 = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1)}
r2 = {(2,1), (6,3), (8,4), (10,5)}
r3 = 35)1(2 y15)2(2 y15)3(2 y
35)4(2 y55)5(2 y
)}9,7(),7,6(),5,5(),3,4(),1,3{(
75)6(2 y
95)7(2 y115)8(2 y
44. โดเมนและเรนจของความสมพนธ มงใหผเรยนสามารถ
1. หาโดเมนของความสมพนธทกำาหนดใหได
2. หาเรนจของความสมพนธทกำาหนดใหได
โดเมนของความสมพนธ คอ เซตของสมาชกตวหนาของ
คลำาดบ Dr = {x / (x, y) น R}เรนจของความสมพนธ คอ เซตของสมาชกตวหลงของ
คลำาดบ Rr = {y / (x, y) น R}
ตวอยาง กำาหนดให r1 = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1)}
Dr = {1, 2, 3} ; Rr = {1, 2, 3} r2 = {(2,1), (6,3), (8,4), (10,5)} Dr = {2, 6, 8, 10} ; Rr = {1, 3, 4,
5} r3 = {(-1,3), (0,5), (4,7), (6, 10)} Dr = {-1, 0, 4, 6} ; Rr = {3, 5,
7, 10}
ตวอยาง กำาหนดให หา Dr , Rr
r1 = {(x,y) น I x I / y = 2x} = {(0,0), (1,2), (2,4), … (-1,-2), (-2,-4),(-3,-6), ...}
Dr = {…,-2, -1, 0, 1, 2, 3,...} Rr = {… , -6, -4, -2, 0, 2, 4, ...}
ตวอยาง กำาหนดให r1 = {(x,y) น I x I / y = x + 3} = {(0,3), (1,4), (2,5), … (-1,2), (-2,1),(-3,0), ...}
Dr = {…,-2, -1, 0, 1, 2, 3,...} = {x / x น I}
Rr = {…,-2, -1, 0, 1, 2, 3,...} = {x / x น I}
ตวอยาง กำาหนดให r1 = {(x,y) น I x I / y = 3x - 5} = {(0,-5), (1,-2), (2,1), … (-1,-8), (-2,-11),(-3,-14), ...}
Dr = {…,-1, -2, -3, 0, 1, 2, 3,...} = {x / x น I}
Rr = {…,-5, -2, -8, -11, -14,...}
ตวอยาง กำาหนดใหr1= {(x,y) น I x I /y = x+3} ; r2= {(x,y) น R x R / y = x+3}
Y Y
X X
11 }/{ rr RIxxD 22
}/{ rr RRxxD
ตวอยาง กำาหนดให r1 = {(x,y) น I x I / y = 7 + 4x} Dr = {x / x น I} ; Rr = {x / x น I} r2 = {(x,y) น R x R / y = 5 - 2x} Dr = {x / x น R} ; Rr = {x / x น R} r3 = {(x,y) / y = 9x - 5} Dr = {x / x น R} ; Rr = {x / x น R}
สรป ถาความสมพนธ อยในรป y = ax + b
และ A น I x I แลว Dr = Rr = I =
{x / x น I} A น R x R แลว Dr = Rr = R =
{x / x น R}
ความสมพนธอยในเครองหมาย root หาโดเมน จำานวนทอยใน root ตองมคา
มากกวา หรอ เทากบ 0 แลวแกสมการหาคา x เรนจ คอคาของ y ตองมคามากกวา หรอ
เทากบ 0 เสมอ
baxy
จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ }3/),{( xyyxr
}3/{ xxDr}0/{ yyRr
คดแบบนครบ
3x03x ตอบ
จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ }25/),{( xyyxr
}/{ 52 xxDr}0/{ yyRr
คดแบบนครบ
025 x
52
x ตอบ
จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธxy 34
}34/{ xxDr
}0/{ yyRr
คดแบบนครบ
034 x43 x
34
x ตอบ
จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ
คดแบบนครบ
42 xy
042 x
0)2)(2( xx
}22/{ xxxDr หรอ}0/{ yyRr
- 2 2-
2 x หรอ -2x
ตอบ
จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ
คดแบบนครบ
52 xy
052 x
0)5)(5( xx
}55/{ xxxDr หรอ}0/{ yyRr
- 5 5-
5 x หรอ 5-x
ตอบ
จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ
• คดแบบนครบ
94 2 xy
094 2 x
0)32)(32( xx
}23
23/{ xxxDr หรอ
}0/{ yyRr
- 23 2
3-
23 x หรอ 2
3x
ตอบ
จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ
• คดแบบนครบ
24 xy 04 2 x
0)2)(2( xx}22/{ xxDr
}20/{ yyRr
- 2 2-22 x
042 x042 x ตอบ
จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ
• คดแบบนครบ
225 xy 025 2 x
0)5)(5( xx}55/{ xxDr
}50/{ yyRr
- 5 5-55 x
0252 x0252 x ตอบ
สรป 1. ความสมพนธในรป
baxy
}0/{ baxxDr }0/{ yyRr
a 2x yธในรปความสมพน 2.}/{ axaxxDr หรอ
}0/{ yyRr
สรป 3. ความสมพนธในรป
2xay
}/{ axaxDr
}0/{ ayyRr
ความสมพนธอยรปเศษสวนหาโดเมน เศษสวนทกจำานวนสวนตองไม
เทากบ 0 แลวแกอสมการเรนจ คอคาของ y ; y ไมมโอกาส
เปน 0
cbxay
จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ
• คดแบบนครบ
523
x
y 052 x
25
x
}25/{ xxDr
}0/{ yyRr
ตอบ
จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ
• คดแบบนครบ
731
x
y073 x
37
x
}37/{ xxDr
}0/{ yyRr
ตอบ
จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ
• คดแบบนครบ
xy
724
072 x
27 x
}72/{ xxDr
}0/{ yyRr
72
x
ตอบ
จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ
• คดแบบนครบ
63
xxy
xxy 3)6( xyxy 36
}6/{ xxDr
}3/{ yyRr
yxxy 63 yyx 6)3(
36
yyx
03y3y
ตอบ
จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ
• คดแบบนครบ
432
xxy
xxy )43(xyxy 243
}34/{ xxDr
}32/{ yyRr
yxxy 423 yyx 4)23(
234
yyx
023 y
32
y
ตอบ
จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ
• คดแบบนครบ
xxy52
xxy )52(xxyy 52
}52/{ xxDr
}51/{ yyRr
yxxy 25 yxxy 25 yyx 2)15(
152
yyx
015 y 51
y
ตอบ
จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ
จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ
xxy
23
145
xxy
}2/{ xxDr}3/{ yyRr
}41/{ xxDr
}45/{ yyRr
ตอบ ตอบ
สรป ความสมพนธอยรปเศษสวน 1. ความสมพนธในรป cbx
ay
}0/{ cbxxDr }0/{ yyRr
cbxaxy
ธในรปความสมพน 2.
}0/{ cbxxDr }/{bayyRr
สรป การหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ
• การหาโดเมน จดรป y = f(x) แลวพจารณาดวา x เปนอะไรไดบาง
• การหาเรนจ จดรป x = f(y) แลวพจารณาดวา y เปนอะไรไดบาง
จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ
• คดแบบนครบ5)3( 2 xy
5)3( 2 yx
}/{ RxxDr
}5/{ yyRr
5)3( yx
35 yx
05y
5)3( 2 xy
5y
ตอบ
จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ
• คดแบบนครบ
}1/{ xxDr
}1/{ yyRr
11
xxy
1)1( xxy
1 xyxy1 yxxy1)1( yyx
11
yyx
ตอบ
45. อนเวอรสของความสมพนธ มงใหผเรยนสามารถ
1. หาอนเวอรสของความสมพนธทกำาหนดใหได
2. บอกโดเมนและเรนจของอนเวอรสความสมพนธทกำาหนดใหได
3. เขยนการฟของอนเวอรของความสมพนธนนเมอกำาหนดความสมพนธใหได
นยาม อนเวอรสของความสมพนธ r คอความสมพนธทเกดจากการสลบทของ
สมาชก ตวหนาและสมาชกตวหลงของความ
สมพนธ r เขยนแทนดวย r-1 เชน r = {(1,3), (2,5), (0, -1)} r-1 = {(3,1), (5,2), (-1,0)}
กำาหนดให r = {(0,5), (4,x), (1,y),(-2,4)} จงหา r-1
และ Dr , Rr
r-1 = {(5,0), (x,4), (y,1), (4,-2)}
สงเกต rrRyxD },,5,4{1
rrDR }4,1,0,2{1
ให r = {(x,y) / y = 2x+7} จงหา r-1
• คดแบบนครบ
}72/),{(1 xyxyr
}27/),{(1
yxxyr
}27/),{(1
xyyxr
72 xy
72 yx
27
yx
ให จงหา r-1
• คดแบบนครบ
}14/),{(1 xyxyr
}041/),{(
21
yyxxyr และ
14 xy
142 xy
14 2 yx
}14/),{( xyyxr
}041/),{(
21
xxyyxr และ 4
12 yx
ให r = {(x,y) / y = x 2 3+ }
จงหา r-1
• คดแบบนครบ
}3/),{( 21 xyxyr
}33/),{(1 yyxxyr และ
32 xy
32 yx
3 yx
}33/),{(1 xxyyxr และ
ให จงหา r-1
• คดแบบนครบ
}35
7/),{(1
xyxyr
}537/),{(1
yyxxyr
357
x
y
7)35( xy
yx 735
}35
7/),{(
x
yyxr
}537/),{(1
xxyyxr
375 y
x
yyx
537
นยาม ถา r เปนความ สมพนธจาก A ไป B
แลว r จะเปนฟงกชน เมอ• สมาชกใน A ถกใชหมดทก
ตว และ• สมาชกตวหนาของ r ตอง
ไมซำากน (ถาสมาชกตวหนา ชำากน สมาชกตวหลงตอง
เหมอนกน)
021
654
)}6,0(),5,2(),4,1{(1 r
ความสมพนธทเปนฟงกชน
021
6
4 )}6,0(),4,2(),4,1{(2 r
021
654 )}5,0(),5,2(),5,1{(3 r
ความสมพนธทไมเปนฟงกชน
021
6
4 )}6,2(),4,1{(4 r
0
1
654 )}6,0(),5,0(),4,1{(2 r
จงพจารณาความสมพนธใดเปนฟงกชน r1 = {(1,x), (2,y), (3,z)} r2 = {(1,x), (2,x), (3,x)} r3 = {(1,x), (2,y), (2,z)} r4 = {(x,y) / y = 2x + 9} r5 = {(x,y) / y = x 2} r6 = {(x,y) / x = y 2}
สญลกษณแทนฟงกชน นยมใช f , g, h แทนฟงกชน f = {(1,a), (2,b), (3,c)} g = {(x,y) / y = x 2+ 5} ถา (x,y) น f จะใช y = f(x)
หมายความวา y เปนคาของฟงกชน f ท x นนคอ f = {(x,y) / y = f(x)} และ
(x,y) = (x, f(x))
กำาหนด y = 4x + 5 อาจเขยน f(x) = 4x + 5
ตวอยาง ถา 3y = x2 - 4 จงหา- ( 2 ), (1 ), (), (0 ), (+1- -2 3 2f( ) = ( )2 - -4 3 4=( x ) - 84 12 48
1f( ) =
14)1(3 2
)0(f 44)0(3 2
)(af 43 2 a
)1( xf 4)1(3 2 x4363 2 xx
4)12(3 2 xx
163 2 xx
นยาม A และ B เปนเซตใด ๆ f เปนฟงกชน จาก A ไป B
จะได เซต A เปนโดเมนของฟงกชน
โดยทสมาชกของ A ถกใชหมดทกตว และ เรนจของฟงกชนคอสบเซตของ B
ตวอยาง ให A = {1, 2, 3} ; B = {0, -1, 4, 5}321
5410
A Bf BAf :)}4,3(),1,2(),0,1{( f
ADf }3,2,1{}4,1,0{ fR BRf
ตวอยาง จงหาโดเมนและเรนจของฟงกชนทกำาหนดให
f1(x) = 3 - 2x }/{; RxxDf }/{; RyyRf
2)( 22 xxf }/{; RxxDf }2/{; yyRf
9)( 23 xxf }33/{ xxxDf หรอ ; }0/{ yyRf ;
24 5)( xxf }55/{ xxDf ; }50/{ yyRf ;
5)(5 xxf }/{ RxxDf ; }0/{ yyRf ;
ถา f เปนฟงกชน อนเวอรสของ f เขยนแทนดวย f -1
อนเวอรสของฟงกชนไมจำาเปนตองเปนฟงกชน
)}0,3(),5,2(),0,1{(1 f )}3,0(),2,5(),1,0{(11 f
}34/),{(2 xyyxf }34/),{(12 xyxyf
}43/),{(1
2
yxxyf
}43/),{(1
2
xyyxf
}5/),{( 23 xyyxf }5/),{( 21
3 xyxyf
}5/),{(13 yxxyf
}5/),{(13 xyyxf
}2/),{(4 xyyxf }2/),{(14 xyxyf
}2/),{( 214 yxxyf
}2/),{( 214 xyyxf
การดำาเนนการบนฟงกชน เปนการสรางฟงกชนใหม โดยนำาฟงกชนเดมมา บวก ลบ คณ และหารกน โดยท Df นDg น น โดเมนของฟงกชนทไดใหมเทากบ Df นDg )(f+g)(x) = f(x) + g(x) สำาหรบทก x น
Df นDg
(f-g)(x) = f(x) - g(x) สำาหรบทก x น Df นDg
(f.g)(x) = f(x) . g(x) สำาหรบทก x น Df นDg 0g(x) และ สำาหรบทก
gf DDx
xgxfx
gf
)()()(
กำาหนดให f = {(1,3), (2,5), (3, 7), (4, 0)} g= {(0,-2), (1,7), (2,-4), (4, -
5), (5, 0)} จงหา f+g , f - g , f.g ,
gf
{1,2,4}DD; gf {1,2,3,4}Df }{0,1,2,4,5D; g5)}(4,(2,1),{(1,10),gf
(4,5)}(2,9),4),{(1,gf (4,0)}20),(2,{(1,21),f.g
(4,0)}),45(2,),7
3{(1,gf
กำาหนดให f(x) = 2x + 3 ; g(x) = x 2 - 5 จงหา
(f+g)(x) = (2x + 3) + (x 2 - 5) = x 2 + 2x - 2
(f-g)(x) = (2x + 3) - (x 2 - 5) = - x 2 + 2x + 8
(f.g)(x) = (2x + 3) . (x 2 - 5) =
5 x, 5x32x(x)g
f2
5)3)((2x3)x(2x 2 1510x3x2x 23
กำาหนดให f(x) = 3x2 - 2x + 4 ; g(x) = 3x - 7 จงหา
(f+g)(x) = 3x2 - 2x + 4 + 3x - 7 = 3x2 + x - 3(f-g)(x) = (3x2 - 2x + 4) - (3x -
7) = 3x2 - 5x + 11 (f.g)(x) = (3x2 - 2x + 4) (3x - 7)
37
73423)(
2
x
xxxx
gf ,
กำาหนดให f(x) = (4x+1)2 ; g(x) =
(f+g)(x) =
27
72)14()(2
x
xxx
gf ,
72 x
72)14( 2 xx
72)14())(( 2 xxxgf
72.)14())(.( 2 xxxgf
ฟงกชนคอมโพสท คอฟงกชนใหมทเกด จากฟงกชน 2 ฟงกชนมาผสมกนภาย
ใตเงอนไขวา “ ถา (a, b) นf และ (b, c) นg แลว (a, c) จะอยในฟงกชน
ใหม เรยกฟงกชนใหมนวา ฟงกชน คอมโพสทของ f และ g ”
ใชสญลกษณ gof แทน ฟงกชนคอมโพสทของ f และ g ”
fog แทน ฟงกชนคอมโพสทของ g และ f ”
fof แทน ฟงกชนคอมโพสทของ f และ f ” โดยท
gof(x) = g(f(x)) เมอ Rf น Dg นน
fog(x) = f(g(x)) เมอ Rg น Df นน
กำาหนดให A = {1, 2, 3} ; B = {4, 5, 6} 789; C= { , , } ซง f = {(1 ,4 ), (2 ,5 ), (3 ,6)}
={ (4 ,7 ), (5 ,8 ), (6 ,9 )} จงหา gof และ fog
C B A
g f321
654
987
(3,9)} (2,8), {(1,7), gof(9,3)} (8,2), {(7,1), fog
กำาหนดให 13 26f = {( , ), ( , ), 37 48( , ), ( , )}
={ (0,1), (3,9), (4,2), (6,10), 711( , )} จงหา gof
จาก gof(x) = g(f(x)) และ Rf น Dg นน
gof(1) = g(f(1)) = g(3) = 9 (3,11)} (2,10), {(1,9), gof
)9,1(
g(f(2)) gof(2) g(6) 10 )10,2(
g(f(3)) gof(3) g(7) 11 )11,3(
กำาหนดให f(x) = 3 x + 7 ;8888 8 8 2 +4
จงหา gof(x) , fog(x) จาก gof(x) = g(f(x)) =
7)g(3x 47)(3x 244942x9x2
f(g(x))fog(x) 4)f(x2 74)3(x2 7123x2 213x2
5342x9x2
ให f(x) = 4x2 - 5 ; g(x) =
fof(x) = f(f(x)) = f(4x2 - 5 ) = 4(4x2 -
5 - ) 5 = 16x2 - 20
- 5 = 16x2 -
25
gof(x) =g(f(x))
= g(4x2 - 5 )
=
1-3x
1-5)-3(4x2
1-15-12x2
16-12x2
ให f(x) = 2x 2 + x + 6 ; g(x) =
จงหา fog(3) , gog(1) fog(x) =
f(g(x)) gog(x) =
g(g(x))
3x 2
g(2)
322
)( 2 3xf )( 2 33ffog(3)
)( 12f612)122( 2 61212)2 (
1230
)( 2 3x g)( 2 31 ggog(1)
7
ให f(x) = ; g(x) =
จงหา fog(4) , fof(1)
fog(x) = f(g(x))
fof(x) =f(f(x))
1x
)2f(
)x3x4f(
(0)ffog(4)1
)1xf(
)11f(fof(1)
x3x4
12