افزار نرم آموز خود

> cylinderplot([z*theta,theta,cos(z^2)],theta=0..Pi,z=-2..2);

گيالن دانشگاه اي رايانه محاسبات و افزار نرم مركزخالقی اسماعيل

: مقدمــه

مشخصي هــاي منظــور بــراي مختلفي افزارهــاي نــرم كــامپيوتر پيشــرفت و پيــدايش باــرم اين كه شد ســاخته و طــراحي ــور از بســياري نمــودن برآســان عالوه افزارها ن در اماند. نموده ايفا را مهمي نقش علوم سريع پيشرفت

اهـداف واجـرا محاسـبات انجام جهت در نيز مهندسين و محققين رياضيدانان ميان اين در زمــان در يك هر كه اند نمــوده وعرضه طــراحي گونــاگوني محاســباتي افزارهاي نرم خود

است. بوده ومحاسني معايب خودداراي . استMaple محاسبــــاتي افــزار نــرم دســتورات از استفاده خودآموز داريد رو پيش آنچهــرم اين ــزار ن ــدين توسط بعد به هشــتاد دهه از اف ــاتي رياضي موسسه چن نظــير وتحقيق

روشهای اعمال و قبلی های نسخه رفع با و طراحیDrexel دانشگاه و Waterloدانشگاه. گرديد عرضه محاسباتی امور انجام برای رياضی جديد يك، Matlabو Mathematica نظـير محاســباتي افزارهــاي نـرم ديگر همانند ، افزار نرم اين

ويژگيهــاي از يكي و است ت محاســبا انجام در هوشمند و قوي كامپيوتري جبري سيستمــاط از يكي باشد. لذا مي افزارها نرم اين باMapleمهم توابع و دستورات پيوند آن مهم نق

ســادگي آن بر عالوه وMatlab وMathematica كامل دادن پوشش افــزار نــرم اين قــوت نــرم اين با كــردن كــار مــدتي از بعد كه باشد مي خروجي هاي داده ويرايش و دستورات

. شد خواهد روشن كاربر بر آن مطاوب ت نكا افزارMapleمحاســبه عــددي يا تحليلي صــورت به را محاســبات از بســياري است قــادر تنها نه اين با ، بــرد بكــار بــاال سطح نويسي برنامه زبان يك عنوان به را آن توان مي بلكه نمايد

ســاير از ، قدرتمند اي كتابخانه توابع و ها ســابروتين داشتن علت به افزار نرم كه تفاوت . اما باشد مي تر قـوي و تر راحت پاســكال و فرتـرن نظـير نويسي برنامه هـاي كامپايلر

و نيست گر معجزه افزار نرم هيچگاه كه برد ياد از را نكته اين نبايد ــتور يك با مسلما دس نــرم حــال هر به . ولي نمــود را پيچيــده العــاده فوق محاسبات توقع نبايد آن ساده بسيار محاســباتي كــار به نيــاز كه است كســاني دســترس در مناسب ابــزار يك عنــوان به افزار مي كه است رياضي روشــهاي و قضــايا به آشــنا و توانا گر محاســبه اين واقع در و دارندــزار نرم ، رياضي روشهاي از استفاده و افزار نرم دستورات تركيب با تواند ــور را اف مجب

. نمايد سنگين و پيچيده بسيار محاسبات انجام به

Maple كار اساســتم اساس و پايه كه آن هسته فقط ، شود مي اجرا و اندازي راهMaple وقتي است سيس

C زبان به . هسته شود مي منتقل حافظه به باشد مي اوليه و بنيادي ت دستورا شامل و به افــزار نــرم اين طراحــان كه استMaple سيستم كل از درصد ده تقريبا و شده نوشته زبان به افزار نرم درصد نود و داشته نگه كوچك را هسته بيشتر كارايي و سرعت منظور

Maple كتابخانه ودر شده نوشته Mapleدارد. قرار

: گردد مي تقسيم دسته سه به كتابخانه به ســريع خيلي خــواني فرا صورت در كه است دستوراتي شامل : اصلي كتابخانه-1

مي اجــرا()...with دســتور با بيشــتر دســتورات ميگردد. اين اجرا و منتقل حافظه. گردد

: مثال

خطي جــــبر توابع و دســــتورات به بــــوط مرLinalg بســــته ســــازي الــــف- بــــارwith(Linalg)

گــــــــرافيكي ســــــــيمات تر به مربــــــــوطplots بســــــــته ســــــــازي ب- بــــــــارwith(plots)

2- و روند مي ر بكا كمــتر كه است دستوراتي از بسياري شامل: متفرقه بخانه كتا . نمود فراخواني)..(readilb دستور با استفاده از قبل بايد را آنها

مثال ل اعما ارزش تعـــــــــــيين بـــــــــــرايcost بســـــــــــته ســـــــــــازي بـــــــــــار

readlib(cost)

Maple ر افزا نرم در موجود مهم 1هاي بسته ليست

student -و ذوزنقه روشــهاي– ها دنباله– ها ســري– انتگــرال و ديفرانســيل حســاب و... انتگرالگيري در سيمپسون

combinate -( اعداد , افراز ليستها جايگشتها, تركيب )محاسبه تركيباتي توابعcombstract - كيباتي تر ساختارهاي شمارش و توليد

-DEtoolsديفرانسيل معادله دستگاههاي رسم difforms -ديفرانسيل( هندسه به مربوط )مسائل ديفرانسيل فرمهايdomains -و...( , ماتريسها ايها جمله چند )براي محاسبه هاي دامنه ايجاد

-gaussIntو...( بودن , اول گيري )فاكتور گاوسي صحيح اعداد با كارgeometry -بعدي( قليدسي)دو ا هندسه

-geo3dبعدي( )سه اقليدسي هندسهgroupمتناهي گروههاي و جايگشت - گروههايlinalgماتريسها با كار و خطي - جبر

grobnerپايه در ت - محاسبا Grobnerinttransآنها س معكو و لي انتگرا - تبديالت

liesymmجزئي ت مشتقا با ديفرانسيل دستگاههاي متقارن - ارتباط logicبولي توابع و عبارات با - كار

LREtoolsخطي گشتي باز معادالت حل و - رسم networksگراف - نظريه

numapproxبازه يك روي توابع براي اي جمله چند - تقريب umtheoryاعداد - تئوري

orthoplyمتعامد ايهاي جمله چند - توليدplotsخاص هاي نمودار انواع - رسم

powseriesتواني - سريهاي simplexسيمپلكس - الگوريتم

sum toolsمتناهي نا و متناهي هاي عه مجمو - محاسبهpadicتقريبات - p-adic

plottoolsگرافيكي عناصر گيري - بكار processتحت نويسي نامه - بر UNIX

statsآماري هاي - كار tensorتانسورها با - اعمال

Help به رجــوع با كــاربر كه است موجــود افــزار نرم كتابخانه در ديگري هاي بسته البته نــرم بســته هر نمايــد. بارسازي و گيري ياد را(pakages) ها بسته اين تواند مي افزار نرم

1- pakages

صــورت به بســته اين دســتورات تمــام و شــده ســازي بار(...)with دستور با افزاري. شود مي داده نمايش خروجي

دارد را كــاربرد بيشــترين كه مهمي دستورات تا است شده سعي بيشتر آموز خود اين در مطــرح فــني هــاي رشته و رياضي كارشناسي هاي دوره در كه رياضي مختلف مسائل و

ــري پيشــرفته رياضي دانش كه مسائلي به پرداختن از و ذكر ، گردد مي طلبد مي را ت هــاي بســته از يكي از خاصي دســتور به چنانچه حــال هر به . ولي است شــده خــودداري

طــرز تــوان ميF1 كليد دادن فشــار و دســتور آن انتخــاب با ، باشــيم داشــته نيــاز فــوق. نمود مالحظهHelp در را مثال چند همراه به توضيحات و دستور آن نوشتار

. كنيم مي بارسازي را هاست نمودار و توابع رسم به مربوط كهplot بسته: مثال> with(plots);

animate animate3d animatecurve changecoords complexplot complexplot3d, , , , , ,[conformal contourplot contourplot3d coordplot coordplot3d cylinderplot, , , , , ,densityplot display display3d fieldplot fieldplot3d gradplot gradplot3d, , , , , , ,implicitplot implicitplot3d inequal listcontplot listcontplot3d listdensityplot, , , , , ,listplot listplot3d loglogplot logplot matrixplot odeplot pareto pointplot, , , , , , , ,

pointplot3d polarplot polygonplot polygonplot3d polyhedra_supported, , , , ,polyhedraplot replot rootlocus semilogplot setoptions setoptions3d spacecurve, , , , , , ,sparsematrixplot sphereplot surfdata textplot textplot3d tubeplot, , , , , ]

در الفبا حـــروف طبق برplot بســـته دســـتورات تمـــام گـــردد مي مالحظه كه همانگونه. است شده داده نشان دستور خروجي

Maple ت دستورا اجرا مورد در اوليه نكات

درج كالن( را )سمي; عالمت دستور انتهاي در بايدMaple دستور هر اجرا ي - برا1 نكته. دهيم فشار راEnter كليد و نموده

خروجي ولي گردد مي اجرا , دستور شود استفاده : ز ا; بجاي دستور هر انتهاي در اگرشود. نمي داده نمايش آن

ــيز ها خروجي ردهيم قرا, عالمت خط يك درMaple دستورات بين - اگر2 نكته يك ر د نشود. مي داده نمايش خط مثال

> 2^10,2^15,2^20;, ,1024 32768 1048576

داده نمــايش ســتوني صــورت به خــروجي كــنيم اســتفاده; عالمت از دســتورلت بين اگر

ميشود.> 10!;15!;20!;

3628800

1307674368000

2432902008176640000

. كنيم مي استفاده][ عالمت از انديس درج - براي3 نكته: مثال

> a[1],a[2],a[3];, ,a1 a2 a3

. نمود استفاده% عالمت از توان مي خروجي آخرين به دسترسي جهت– 4 نكته : مقدماتي دستورات و اعمالاست: زير صورت به كامپيوتري هاي برنامه ساير همانند ، اعمال

^توان*ضرب/تقسيم

+جمع-تفريق

و ) ( ^ اعمال با ترتيب به اجرا اولويت و و / + - *و و . استو

مثال:>3.2^35;>45^2*3.2/4;

ــبي صورت به كسر دهيم ( قرار . ) نقطه عالمت اعداد تقسيم محاسبه در : اگرتذكر تقري

شود. مي داده نمايش اعشاري ومثال:

>2/3.;>34/3.+69/5.;

رياضي: ثابتهاي تعريف

gammaاويلر ثابتPiپي عددe exp(1)نپر عدد

Iموهومي واحدinfinity بينهايت

مثال: >I^2; >exp(3);>Pi*5^2;

a:=value اسامي به مقادير دادن اختصاص;’a:=’a زحافظه ا مقدار كردن پاك

مثال:. دهيم مي اختصاص4 , 3.1 مقاديرart وكلمهa حرف به

>a:=3.1;>art:=4;>a+art;>a:=’a’; >a+art;

كرد. استفاده توان مي دهي مقدار براي نيزassign , unassignدستور دو ازتذكر:مثال:

>assign(a,5);>unassign(‘a’);

كرد. تعريف ميتوان مخالف عنوان به را > < يا و< يا> مقاديرمثال:

> a<>0;>b>=3;>x^3-3*x^2+4*x<1;

از: عبارتند كه ست ا شده تعريف اسم نوع دوmaple : در1تذكر

protected شده حفاظت الف-اسامي unprotected نشده حفاظت ب- اسامي

protectedمحيط بـراي افـزار نرم طراحان بوسيله قبل از ها maple ونمي شـده تعريف كرد. استفاده آن گذاري مقدار ويا متغير يك نامگذاري براي را آن توان

كه اند شده حفاظت اسامي از اي نمونه,...Pi,exp, assign ديديم قبال كه همانگونهمثال: اسم يا اعــداد آنها به توان نمي لذا روند مي بكار ، دهي مقدار دستور وe و پي اعداد براي

ببينيد( را خطا د.)پيغام دا اختصاص ديگري> Pi:=6;Error, attempting to assign to `Pi` which is protected >exp:=b;Error, attempting to assign to `exp` which is protected

از بايد كـنيم اسـتفاده متغـير عنـوان به كلمـات و حروف از بخواهيم محاسبات در اگر پسكنيم. استفاده شده حفاظت غير اسامي

بــالعكس و نشــده حفــاظت به توان مي را شده حفاظت اسامي زير دستورات با:2تذكركرد. تبديل

ــير و شده حفاظت اسم به راc نشده حفاظت اسم ــير قابل غ در تغيmaple كند مي تبديل

protect(c);

ــاظت اسم ــده حف ــاظت اسم به راd ش ــده حف ــير قابل نش در تغيmaple كند مي تبديل

unprotect(d);

مثال:>c:=3.99999; >protect(c); >c:=4;

Error, attempting to assign to `c` which is protectedمثال:

>unprotect(Pi);>Pi:=6;

: مقدماتي جبر اعمال و عبارات

p p:=expr نام باexpr جبري عبارت ثبت

مثال:>P:=x^2+3*x^3+4;

factor(p(; جــبري عبــارت يك از فاكتورگيريp

expand(q(; q جبري عبارت يك بسط

مثال:>q:=(x+y)^3*(x-y);>expand(q);

x4 2 x3 y 2 x y3 y4

>factor(%);) (x y 3 ) (x y

simplify(p(; فـــرم تـــرين ســـاده بهp يل تبدممكن

: مثال> p:=exp(3*x*y)*4*exp(4*x*y);

:= p 4 e ) (3 x y e ) (4 x y

> simplify(p);4 e ) (7 x y

normal(q(; عبارت يك گوياي فرم ترين ساده كسري

: مثال> p:=(x^2-1)^12/(x-1)^2;> normal(p);

> normal( 1/x+x/(x+1) );

numer(p(; ــورت به دسترسي ــ ــرج و ص ــ مخ

denum(p(; p كسر

: مثال>numer(p);>denumer(p);

> q:=1/x^3-(1-x+x^2)/x^3;> denom(q);> denuom(normal(q));

divide(p,q(; جبري عبارت پذيري بخش تحقيقp بر q

:1 مثال> p:=x^3-3*x^2+4:> q:=x^2-2:> divide(p,q);

false

: 2 مثال> R:=x-2:> divide(p,R);

true

> factor(p);

rem(p,q,x(; q بر p عبــارت تقسيم باقيمانده محاسبهx حسب بر

quo(p,q,x(; برq بر p عبــارت قسمت خارج محاسبهx حسب

: مثال> rem(p,q,x);> quo(p,q,x);

نمائيد. اجرا را زير دستور فوق موارد نمودن چك جهت در> normal(%*q+%%);

تــوان مي نــيز زير دســتور از اي چندجمله دو قســمت خارج و باقيمانده تعيين : براي تذكر. نميباشد quo دستور درج به نياز دستور اين .در نمود استفاده

> rem(p,q,x,w);> w;

coff(p,x^k(; p عبارت در xk ضريب تعيينمثال:

> p:=(x+y+z)^22;> coeff(p,x^16);

. نمائيد ساده را x16 ضريب زير بادستور و

> simplify(%);

: مثال. گردد مي تعيين p عبارت در x ضريب زير دستور با

> p := 3*a*(x+1)^2 + sin(a)*x^2*y - y^2*x + x - a:> coeff(p,x);

collect(p,x(; صــورت بهp عبــارت بنــدي دستهx توانهاي

مثال:> p := 3*a*(x+1)^2 + sin(a)*x^2*y - y^2*x + x - a:> collect(p,x);

gcd(p,q(; عليه مقســوم بزرگــترين محاســبهq وpمشترك

: مثال> p:=x^7-y^7;> q:=x^4-y^4;> gcd(p,q);

subs(x=a,p(; p عبارت درx=a مقدار جايگذاريمثال:

> p:=x^7-x^3-x+4^x+x^2.3-x^x/2*x;> subs(x=2.044,p);

: نامعادالت و معادالت حل

Solve(p,x( x متغير به نسبت P معادله حلمثال:

> p:=x^7-x^3-x+x^2.3;> solve(p,x);

.4718061030 .7428187119 I .4718061030 .7428187119 I, ,-.3899538315 1.029759568 I -.3899538315 1.029759568 I 0. 1., , ,

:1 تذكر p عبــارت حقيقي و مختلط هاي ريشه تمام ميگردد مالحظه نيز فوق مثال در كه همانگونه اســمي فــوق جــواب مجموعه به است بهــتر ، محاســباتي روشــهاي . در گرديــده محاسبه

. باشد فراخواني قابل جوابها از يك هر محاسباتمان بعدي مراحل در تا ، داده نسبت مي فراخــواني را ريشه ســومين ، فــوق جــواب مجموعه بهs1 اسم دادن نســبت مثال: با

كنيم.

> s1:= solve(p,x);> s1[3];

.4718061030 .7428187119 I

. ميكنيم جاگذراي p عبارت در را چهارم : ريشهمثال> subs(x=s1[3],p);

.1 10-9 .1 10-9 I

مي داده نشان ...RootOf صورت به خروجيsolve دستور اجراء از پس : گاهي2 تذكرevalf دستور با كه شود. آورد بدست را معادله هاي ريشه تقريبي مقدار توان مي

: مثال> p:=x^7-x^3+x^2+1;> s1:=solve(p,x);s1 I I ) (RootOf , _Z5 _Z3 1 index 1 ) (RootOf , _Z5 _Z3 1 index 2, , , , :=

) (RootOf , _Z5 _Z3 1 index 3 ) (RootOf , _Z5 _Z3 1 index 4, ,) (RootOf , _Z5 _Z3 1 index 5

> evalf(s1);1. I -1. I .9590477179 .4283659563I -.3407948662 .7854231030I -1.236505703, , , , ,

-.3407948662 .7854231030I .9590477179 .4283659563I,

حل تقريبي صورت به ميتوان نيز عددي روشهاي به را جبري معادله يك هاي ريشه البته. است شده داده ذيل در آن دستورات كه ، نمود

realroot(p,1/k(; كه k/ــ 1 دقت با اي بــازه تعــيين بــازه اين درp حقيقي هــاي ريشه. دارند قرار

مثال:> p:=x^7-x^3+x^2+1;> realroot(p,1/1000);

,

-12671024

-633512

است دقيقتر و كوچكتر حقيقي هاي ريشه بازه باشد بزرگتر عدديk چه هر كه شود دقت.

Solve(p<q,x(; x متغير به نسبه نامعادله يك حلمثال:

> solve( x^2+x+1>=5, x );,

RealRange ,

12

12 17

RealRange ,

12

12 17

مثال:> solve( x^3+4*x>5, x );

) (RealRange ,) (Open 1

Solve({p,q,R},{x,y,z}(; p معــادالت دستگاه حل وy وx به نسبتR وq وz

مثال:> p:=4*x+3*y+4*z=2; q:=x+2*y-3*z=1; R:=3*x-4*y-7*z=3;

> solve({p,q,R},{x,y,z});{ }, ,z

-215 y

-275 x

4975

. نمود حل توان مي نيز را خطي غير معادالت دستگاه از بسياري فوق دستور با: تذكر: مثال

> p:=4*x+3*y^2+4*z^2=2; q:=x*y+2*y-3*z=1; R:=3*x*y-7*z=3;

> solve({p,q,R},{x,y,z});y ) (RootOf 26 _Z 4 39 _Z3 x

12

394 ) (RootOf 26 _Z 4 39 _Z3 2

, ,{

z 3 ) (RootOf 26 _Z 4 39 _Z3 }

. آيد مي بدست تقريبي جواب evalf دستور با كه> evalf(%);

{ }, ,y -.1488947390 x .2838459778 z -.4466842170

. بود خواهد ذيل صورت به عددي روشهاي با و غيرخطي معادالت دستگاه حل

fsolve(p,x(; نسبت p معادله عددي حلx به

: مثال> p:=exp(x)*x^2-3*x^4+4;

:= p e x x2 3 x4 4

> fsolve(p,x);1.430011919

fsolve({p,q,R},{x,y,z}(; p معــادالت دستگاه حل وy وx به نسبتR وq وz

: مثال> p:=4*x+3*y^2+4*z^2=2; q:=x*y+2*y-3*z=1; R:=3*x*y-7*z=3;> fsolve({p,q,R},{x,y,z});

{ }, ,y -.1488947390 x .2838459779 z -.4466842169

انتگرال و ديفرانسيل حساب

f(x)f:=x->exprتابع تعريف: مثال

> f:=x->3*x^2+exp(x);

بهexprعبارت تبديلf تابع

f:=unapply(expr,x(

: مثال> p:=3*x^2+exp(x);> f:=unapply(p,x);

معادله يك صــورت بهp اگر ، ديــديم قبلي دســتورات در كه همانگونه :تــذكر راa مقدار x جاي به درآن بخواهيم و باشد شده تعريفx متغير شامل جبري

تــابع يك عنوان بهpاگر ولي كنيم. استفاده subs دستور از بايد كنيم جايگذاري اجــرا راp(a) دســتور فقطp(a) محاســبه بــراي باشد شــده تعريفx حسب بر

.ميكنيممثال:

جبري عبارت يك بعنوانp تعريف> p:=3*x^2+exp(x);> subs(x=6,p);

x از تابعي يك بعنوان pتعريف> p:=x->3*x^2+exp(x);> p(6);

f:=x->piecewise(x<a1,p1,x>a1 اي ضابطه چند توابع تعريفandx<a2,p2,x<a2,p3(;

: مثال> f:=x->piecewise(x<0,x^2,x>0and x<1,exp(x),x>1,x^3-sin(x));

:= f x ) (piecewise , , , , ,x 0 x2 and 0 x x 1 e x 1 x x3 ) (sin x

بدست را تابع استاندارد شكل توان مي نياز صورت در نيزnormal دستور با. آورد

> normal(f(x));

x2 x 0e x and x 0 x 1

x3 ) (sin x 1 x

توابع تركيب

ــراراين وبا كنيم مي استفاده@ عملگر ازfog توابع تركيب محاسبه براي عملگر تككرد. حساب را توابع اين تركيبn مقدار توان مي

fog(x)(f@g()x) تعيين

: مثال> g:=x->x^2;> f:=x->sin(x)+Ln(x);> (f@g)(x);

) (sin x2 ) (Ln x2

f(x)invfunc تابع معكوس

: مثال> invfunc[exp](x);

. كرد استفاده توان مي نيز@@ عالمت از توابع معكوس محاسبه در: تذكر: مثال

> sin@@(-1);

وپيوستگي: حد

نقطه درf(x) حدx=a

limit(f(x(,x=a(

: مثال> limit(sin(x^2)/(3*x^2),x=0);

13

;)x=alimit(f(x(,x=a,left نقطه درf چپ حد نقطه درf راست حد

x=a

limit(f(x(,x=a,right(;

: مثال> limit(1/x,x=0,left);> limit(1/x,x=0,right);

يك آن خروجــي كردكه اجرا صــــورتي به را limit دستور توان مي : تذكر اول حــرف منظــور اين باشــد.بــراي درك وقابل داشــته بهــتري وار رياضي نمــاد

. كنيم مي تايپ بزرگ حروف با را دستورمثال:

> Limit(sin(x^2)/(3*x^2),x=0)= limit(sin(x^2)/(3*x^2),x=0);

limx 0

13

) (sin x2

x213

مي و... نيز مشتق,انتگرال محاسبه نظـــــير maple دستـــورات از بعضـــي دركرد. عمل گونه هــمين به توان

خطي تركيب خاصيت از كه داريم نياز تابع يك حد محاسبه براي گاهي: يعني كنيم استفاده

limit(af(x)+bg(x))=alimitf(x)+blimitg(x) دهيم مي انجام زير دستورات باmaple در را كار اين

;)h(x)=a1f1(x)+a2f2(x)+...+anfn(x) expand(limit(h(x(,x=a وقتيh(x) حد بسط

: مثال> expand(limit(x^3+4*sin(x)+exp(x^6),x=2));

8 4 ) (sin 2 e64

limf(x)+limg(x)+c, تركيب

حد يك صورت بهcombine(Limit(f1,x=a(*Limit(f2,x=a(+c(;

مثال:> combine(Limit(x^3,x=1)+Limit(sin(X),x=1)^2+5);

limx 1

x3 ) (sin x 2 5

> evalf(%);6.708073418

در تابع حد دهيم قرار بينهايت ،aجاي به حــــد اجرائي دستــور در اگر: تذكر گردد. مي محاسبه بينهايت

مثال:

> limit((x^2+3*x)/(4*x^2),x=infinity);

> limit(1/x,x=0);undifined

ندارد حد كه تابعي وضعيت توان مي شهودي صورت به a نقطه همسايگي در تابع يك رسم با

نمودار رسم بخش به نياز صورت ) در كرد بررسي را نقطه آن در تابع حدشود( مراجعه

مثال:> plot(sin(1/x),x=-1..1);

ندارد. حدx=0 در تابع صفر نزديكي درsin(1/x) تابع نوسان علت به

; )f(x(discont(f(x(,xناپيوستگي نقاط تعيين

اي كتابخانه تابع است بهتر فوق دستور صحيح اجرا براي : تذكر

discontگردد. فراخوانيمثال:> readlib(discont);> discont(1/(x^2-5*x+6),x);

{ },2 3

درفاصلهf آياتابع اينكه تحقيقa<x<b خير؟ يا است پيوسته

iscont(f(x(,x=a..b(;

اي كتابخانه تابع است بهتر فوق دستــــور صحيح اجراء براي:1تذكرiscontشود. فراخواني

: مثال> readlib(iscont);> iscont(sin(1/x),x=-1..1);

false> iscont(sin(x),x=-1..1);

true

نقطه مقدارحددر هرگاه است پيــوسته x=a در تابع يك دانيم مي :2تذكرx=aبا f(x)در را مطلب باشد.اين برابر mapleكنيم مي تعيين زير صورت به

:

. ميگيريم نظر در راf اي قطعه تابعمثال:

>f:=x->piecwise(x<=2,x^2+1,x>2,2*x+1); { x2 1 x 2

2 x 1 2 x> limit(f(x),x=2);> f(2);

مشتق:

يا ;)xD(f((x به نسبتf مشتق

diff(f(x(,x(;

هر به ولي ميگــردد اســتفاده جــزئي مشــتقات محاسبه براي بيشترdiff دستور از:1تذكركرد. استفاده آن از توان مي نيز معمولي ديفرانسيل تعيين براي حال

مثال:> diff(arctan(x)+3*x^2,x);

1

1 x2 6 x

مثال:> f:=x-> arctan(x)+3*x^2:> D(f)(x);

1

1 x2 6 x

توان مي چگونهx=a نقطه در را تابع يك مشتق مقدار كه دهد مي نشان زير مثال :2تذكرآورد. بدستمثال:

> f:=x->arctan(x)+3*x^2: > D(f)(0);

كرد. محاسبه توان مي نيز زير صورت به يا> diff(f(x),x); > subs(x=0,%);

تــوان مي نــيز ، يعــني مشــتق تعريف از استفاده با نياز صورت : در3تذكركرد. بررسيx=x0 نقطه در راf تابع مشتق مقدار

باال مراتب ت مشتقا

f(D@@n()f;) تابع امn مرتبه مشتق*diff)f)x(,x$n(;

f تابع سوم مشتق : محاسبهمثال> f:=x-> arctan(x)+3*x^2:> diff(f(x),x$3);

8x2

) (1 x2 32

) (1 x2 2

. كرد محاسبه توان مي نيز زير صورت به يا> (D@@3)(f);

x 8x2

) (1 x2 32

) (1 x2 2

، f مشــتق محاســبه در ، گــردد مي مشــاهده نــيز فوق مثالهاي در كه : همانگونه تذكر صورت به و f مشتق ،D دستور خروجي كه است اين در)D)f وdiff دستور دو تفاوت

باشد مي جبري عبارت يك صورت به وf مشتق ،diff دستور خروجي ولي ، است تابع يك.

با عبارت يك ضمني مشتق مستقل متغيرx اينكه فرضاست.

implicitdiff(expr,y,x(;

مثال:> p:=x^2*y-3*x*y+y^2:> implicitdiff(p,y,x);

y ) (2 x 3 x2 3 x 2 y

يك اكسترمم مقدار محاسبهتابع

extrema(f(x(,x(;

شود. فراخواني extrema اي كتابخانه تابع بايد فوق دستور اجرا از :قبلتذكرجزئي: مشتقات

به نسبتf جزئي مشتق*iمتغير امين

D[i](f(;diff(f,var(;

به نسبتf جزئي مشتقi,j,kمتغير امين

D[i,j,k](f(;Diff(f,var1,var2,var3(;

: گيريم مي نظر در زير صورت به را f(x,y) متغيره دو تابعمثال:> f:=(x,y)->x^2+y^2-3*x*y;

محاسبه> D[1](f)(x,y);

2 x 3 y

. نمود محاسبه توان مي نيز زير دستور با را مشتق اين> diff(f(x,y),x);

2 x 3 y

محاسبه> D[1,2](f)(x,y);

-3

يا> diff(f(x,y),x,y);

3-

محاسبه

> D[1$2](f)(x,y);2

يا > diff(f(x,y),x$2);

2

محاسبه

> D[1$2,2](f)(x,y); يا

> diff(f(x,y),x$2,y);

كرد. راتعيين اكسترمم ميتوان نيز متغيره چند توابع مورد در

;))f(x,y)minimize(f(x,y متغيره دو تابع مينيمم

شود. بارسازيstudent بسته بايد :ابتداتذكر: مثال

> with(student);> f:=(x,y)->x^2+y^2-3*x*y;> minimize(f(x,y));

;))f(x,y)maximize(f(x,y متغيره دو تابع ماكزيمم

f)x,y متغيره دو تابع مينيممx به نسبت)

minimize(f(x,y(,{x}(;

f)x,y متغيره دو تابع مينيممx,y به نسبت)

minimize(f(x,y(,{x,y}(;

متغيره دو تابع مينيممf(x,y)به نسبتx,yدر

a<x<b,c<y<d فاصله

minimize(f(x,y(,x=a..b,y=c..d(;

:مثال> f:=(x,y)->exp(y*x)+(x^2+y^2):> minimize(f(x,y),x=-5..5,y=0..5);

1

مثال:> with(student):> p:=x^2+3*x+4*x^5-2;> extrema(p,x);

مي نــيز ايم آموخته تــاكنون كه دســتوراتي از عطف نقطه و اكسترمم ر مقدا تعيين برايكرد. استفاده توان

بادســتور و گرفته مشــتق آن ازdiff دســتور باf تــابع مــاكزيمم تعيين براي مثال طور بهsolveآوريم. مي رابدست آن هاي ريشه

نقطه درf بر مماس خط نمايشx=a

showtangent(f,x=a(;

. شود سازي بارstudent بسته تا است الزم دستور اين اجراء براي: تذكرمثال:

> with(student):f:=x->x^2+exp(x)+2:

> showtangent(f,x=7);

انتگرال: نسبتf معين نا انتگرال محاسبه

x بهint(f(x(,x(;

مثال:> f:=x->x^2+exp(x)+2;> int(f(x),x);

13 x3 e x 2 x

;)b int(f(x(,x=a..b تاa ازf معين انتگرال محاسبه

: مثال> int(f(x),x=0..1);

43 e

ناســره انتگــرال بعنــوان راinfinity,-infinity مقــادير تواند ميa,b فــوق دســتور در تــذكر:كند. انتخاب

معين انتگرال محاسبهدوگانه

Doubleint(f(x,y(,x=a..b,y=c..d(;value;(%(

اجــراء از پس و شــده بارســازيstudent بســته ابتــدا دوگانه انتگــرال محاســبه : در تــذكر. ميكنيم اجراء راevalf يا value دستور مقدار آوردن بدست براي دوگانه انتگرال دستورمثال:

> f:=(x,y)->x^2+x*y+sin(x*y):> Doubleint(x*y,x=0..Pi/2,y=0..1);

d0

1

d0

/1 2

y x x y

> value(%);

116 2

نمود. محاسبه ميتوان زير صورت به نيز را فوق متغيره دو تابع دوگانه انتگرال> Doubleint(x*y,x,y);

d

d

y x x y

> value(%);14 y2 x2

محاسبه انتگرال

سه معينگانه

Tripleint(f(x,y,z(,x=a..b,y=c..d,z=k..h(;

مثال:> f:=(x,y,z)->x*y*z+(4*x*y)/z;> Tripleint(f(x,y,z),x=0..1,y=0..1,z=0..1);

d

0

1

d

0

1

d

0

1

x y z4 x y

z x y z

> value(%);

. است زير صورت به نيز فوق تابع نامعين انتگرال محاسبه> Tripleint(f(x,y,z),x,y,z):> value(%);

18 x2 y2 z2 y2 x2 ) (ln z

( نــيز زير ) مثــال درتو تو صــورت به گانه سه يا گانه دو انتگــرال محاســبه بــرايتــذكر:كرد. عمل ميتوانمثال:

> int(int(f(x,y),x),y);شود: عمل زير صورت به است بهتر البته كه

> R1:=int(f(x,y),x);> int(R1,y);

;)t1:=int(f(x(,xانتگرال حل در متغير تغيير روشchangevar(g(x(=u,t1,u(;

محاســبه به قــادر خــود گيري انتگرال دستور با افزار نرم كه افتد مي اتفاق : بسيار تذكر مختلف روشــهاي بكــاربردن با كــاربر كه است مواقع اين در ، نيست انتگــرال يك صــريح. سازد مجبور انتگرال محاسبه به را افزار نرم تواند مي گيري انتگرال

صورت به كهf تابع نامعين انتگرال محاسبه به قادر افزار نرم گيري انتگرال دستور مثال:. نيست ميگردد، تعريف زير

> f:=x->(cos(x)+1)^3*sin(x)^x; := f x ) () (cos x 1 3 ) (sin x x

> int(f(x),x);d

) () (cos x 1 3 ) (sin x x x

u گـرفتن نظر در با و متغـير تغيــير روش از استفاده با لذا = cos(x)+1زير صـورت به : كنيم مي حل را انتگرال

> t1:=Int(f(x),x):> changevar(cos(x)+1=u,t1,u);

d

u3 ) (2 u u2) (arccos 1 u

2 u u2u

> value(%);

2) ( /1 2 /1 2 ) (arccos 1 u

u) (/7 2 /1 2 ) (arccos 1 u

hypergeom

, ,

,

12 ) (arccos 1 u

12

72

12 ) (arccos 1 u

92

12 ) (arccos 1 u

12 u

72

12 ) (arccos 1 u

، كرده جاگذاري فوق عبارت در راu = cos(x)+1 مقدارsubs دستور از استفاده با حال: ميكنيم ساده را آن سپس

> subs(u=cos(x)+1,%):> simplify(%);

2) (/1 2 /1 2 ) (arccos ) (cos x ) () (cos x 1 ) (/7 2 /1 2 ) (arccos ) (cos x hypergeom

, ,

,

12 ) (arccos ) (cos x

12

72

12 ) (arccos ) (cos x

92

12 ) (arccos ) (cos x

12 ) (cos x

12

7 ) (arccos ) (cos x/) (

. است )f)xكه عبارت اخير جواب انتگرال ;)T1:=int(f(x(,xانتگرال حل در جز جزبه روش

t3:=intparts(T1,u(; مي راحــتي به فــوق گــيري انتگــرال دســتورات با انتگــرال از كاربردهايي عنوان بهتوجه: ها y يا هاx محور حول منحني يك دوران از حاصل حجم منحني دو بين محصور ناحيه توان

آورد. بدست را منحني يك طول و

: انتگرال عددي حل

انتگرال حل در ذوزنقه روشمعين

trapezoid(f(x(,x=a..b,n(;

مثال:> f:=x->exp(x^3)+2*x:> with(student):

> trapezoid(f(x),x=0..1);

38

14

i 1

3

e ) (/1 64 i3 1

2 i18 e

> evalf(%);2.383213746

;)Simpson(f(x(,x=a..b,nسيمپسون روش

: مثال> simpson(f(x),x=0..1);

14

112 e 1

3

i 1

2

e ) () (/1 2 i /1 4 3

i12

16

i 1

1

) (e ) (/1 8 i3 i

> evalf(%);2.345570101

باشد بيشتر تعداد اين چه هر است واضح كه است[a,b] بازه در فاصله زير تعداد n : تذكر فــرض پيش بطور افزار نرم n درج عدم صورت در است. و تر دقيق مقدارانتگرالگيري

. گيرد مي نظر در را فاصله زير چهار> simpson(f(x),x=0..1,1000);

11000

13000 e

1750

i 1

500

e ) () (/1 500 i /1 1000 3 1

250 i1

500

11500

i 1

499

e ) (/1 125000000i3 1

250 i

> evalf(%);2.3419043

سريها: و ها دنباله

;)seq(an,n=1..m دنبالهمثال:

> seq(1/(n^2),n=1..10);, , , , , , , , ,1

14

19

116

125

136

149

164

181

1100

توضيح جهت كه ، نمود رسم را ها دنباله توان مي pointplot دستور از استفاده با : تذكر. نمائيد مراجعه نمودار رسم قسمت به توانيد مي بيشترمثال:

> with(plots);> pointplot({seq([n,1/(n^2)],n=1..10)});

ــابه وlimit دستور از دنباله يك واگرايي يا و همگرايي تعيين براي :تذكر بخش در آنچه مشنمود. استفاده توان مي شد بحث توابعمثال:

> limit(1/(n^2),n=infinity);

مجموع محاسبهSum(an , n=0..N(;

مثال:> Sum(1/n,n=1..100);

n 1

100 1n

> evalf(%);5.187377518

مثال:> Sum(1/(n^2),n=1..infinity);

n 1

1n2

> value(%);16 2

دســتورات ســري يك دربــاره تــوان مي راحتي به را همگرايي آزمونهاي از يك : هر2تذكرmapleبرد. بكارسري همگرايي تعيين براي داالمبر آزمونمثال:

> a:=n->(-1)^n*n^n/n!:> limit(abs(a(n+1)/a(n)),n=infinity);

limn

) (-1) (n 1

) (n 1) (n 1

!n!) (n 1 ) (-1 n nn

> evalf(%);2.718281828

. واگراست سري پس است بيشتر يك از حد مقدار چون كه تــوان ميmaple ابتــدايي دســتورات همين از استفاده با نيز را انتگرالي همگرايي آزمون

. بكاربست

;)product(ak,k=0..nحاصلضرب محاسبه

مثال:> product(k^2,k=1..5);

14400

f)x تابع تواني سري محاسبهجملهn باx=a نقطه حول)

Series(f(x(,x=a,n(;

مثال:> f:=x->sin(x)/x;

:= f x) (sin xx

> p:=series(f(x),x=0,10);

:= p 116 x2 1

120 x4 15040 x6 1

362880 x8 ) (O x9

يا دهي مقــدار ســري به تــوان نمي فوق دستور خروجي در)O)xn جمله وجود بعلتتذكر: به جملهn تا را)f)x تــواني ســري و كــرده حذف را آنconvertدستور با لذا كرد رسم را آن

كنيم. مي محاسبه اي جمله چند صورت به)f)x از تقريبي عنوانمثال:

> convert(p,polynom); 1

16 x2 1

120 x4 15040 x6 1

362880 x8

باx=a نقطه حول )f)xتيلر سريجملهn گرفتن نظر در

taylor(f(x(,x=a,n(;

مثال:> f:=x->x*sin(x)/(x+2);

:= f xx ) (sin x

x 2

> taylor(f(x),x=1,5);13 ) (sin 1

13 ) (cos 1

29 ) (sin 1 ) (x 1

29 ) (cos 1

1354 ) (sin 1 ) (x 1 2

781 ) (sin 1

754 ) (cos 1 ) (x 1 3

181 ) (cos 1

831944 ) (sin 1 ) (x 1 4

) (O ) (x 1 5

برش خطاي با تيلر سري تقريبي اي جمله چند به دستيابي براي اينجا در فوق تذكر همانندnدستور از convertكنيم. مي استفاده

> P:=convert(%,polynom);

ــده گر حاصل تيلر سري از كه آن تقريب و)f)x نمودار مشاهده براي زير دســتور است ديكنيد. اجرا را

> plot({P,f(x)},x=-1.6..1.6);

دد. ميگر حاصل لورن مك سريa=0 قراردادن با فوق دستور در> taylor(f(x),x=0,5);

12 x2 1

4 x3 124 x4 ) (O x5

تا متغيره دو تابع تيلر بسط حول n از كمتر توانهاي

(a,b) نقطه

mtaylor(f(x,y(,[x,y],n,[a,b](;

شود. فراخواني بايدmtaylor اي كتابخانه تابع فوق دستور اجرا از قبلتذكر:مثال:

> f:=(x,y)->sin(x^2+y^2);> readlib(mtaylor);> mtaylor(f(x,y),[x,y],10);

x2 y2 16 x6 1

2 y2 x4 12 y4 x2 1

6 y6

سوئي مشتق و گراديان

;)f)x,y,z(grad(f(x,y,z(,[x,y,z] گراديانشود. بارسازيlinalg بسته است الزمgrad دستور اجرا : برايتذكر

مثال:> with(linalg): grad(x^2*y-3*x*z^2+x*y*z,[x,y,z]);

[ ], , 2 x y 3 z2 y z x2 x z 6 x z x y

كرد. رسم بعدي سه يا دوبعدي صورت به را گراديان تابع توان مي زير دستور با> gradplot(f(x,y),x=a..b,y=c..d,arrows=SLIM);> gradplot3d(f(x,y,z),x=a..b,y=c..d,z=k..h);

عبارت است از ضرب نقطــه u در جهت بردار يكه fمي دانيم كه مقدار مشتق سوئي پس يعني u در بردار يكه اي

در سوئي مشتقuجهت

dotprod(grad(f(x,y,z(,[x,y,z](,u(;

مثال:>f:=(x,y,z)->x^2+y^2+z^2;> with(linalg);> v:=[3,1,7];> u:=normalize(v);> grd:=grad(f(x,y,z),[x,y,z]);

:= grd [ ], ,2 x 2 y 2 z

> dotprod(grd,u);

659 x 59

259 y 59

1459 z 59

ــاكنون و... كه جــزئي مشــتق دســتورات از اســتفاده با ــوان مي راحــتي به ايم آموخته ت ت رسم و حساب را قائم خط معادله و( x,y,z) نقطه در منحني بريك مماس صفحه معادله

د. كر

;)fdiverge(f,[x,y,z]پتانسيل تابع ديوژانس

مثال:> with(linalg);> f:=[x^2,y^2,z^2];> diverge(f,[x,y,z]);

2 x 2 y 2 z

;)fCurl(f,[x,y,z] پتانسيل تابع كرل محاسبه

خطي جبر دســتور باLinearAlgebra بســته تا است الزم خطي جــبر دســتورات اجــراء از قبل: تــذكر

with)linalg( ;بسته اين در توان مي را خطي جبر تر پيشرفته .دستورات گردد بارسازي . گرفت كمك نيز افزار نرمHelp از توان مي و نمود مشاهده

> with(linalg);

BlockDiagonal GramSchmidt JordanBlock LUdecomp QRdecomp Wronskian addcol, , , , , , ,[addrow adj adjoint angle augment backsub band basis bezout blockmatrix, , , , , , , , , ,charmat charpoly cholesky col coldim colspace colspan companion concat cond, , , , , , , , , ,copyinto crossprod curl definite delcols delrows det diag diverge dotprod, , , , , , , , , ,eigenvals eigenvalues eigenvectors eigenvects entermatrix equal exponential, , , , , , ,

extend ffgausselim fibonacci forwardsub frobenius gausselim gaussjord geneqns, , , , , , , ,genmatrix grad hadamard hermite hessian hilbert htranspose ihermite indexfunc, , , , , , , , ,innerprod intbasis inverse ismith issimilar iszero jacobian jordan kernel, , , , , , , , ,laplacian leastsqrs linsolve matadd matrix minor minpoly mulcol mulrow, , , , , , , , ,multiply norm normalize nullspace orthog permanent pivot potential randmatrix, , , , , , , , ,

randvector rank ratform row rowdim rowspace rowspan rref scalarmul, , , , , , , , ,singularvals smith stackmatrix submatrix subvector sumbasis swapcol swaprow, , , , , , , ,sylvester toeplitz trace transpose vandermonde vecpotent vectdim vector, , , , , , , ,wronskian ]

: آرايه و ها بردار تعاريف

;)array(1..n,[x1,x2,...,xn] عضويn آرايه

: مثال> array(1..3,[6,5,9]);

[ ], ,6 5 9

;)vector([x1,x2,...,xn] عضويn بردار: مثال

> vector([3,5,7]);[ ], ,3 5 7

. باشد3 عدد همگي كه مؤلفه چهار با برداري: مثال> vector(4,3);

[ ], , ,3 3 3 3

;)randvector(n عضويn تصادفي بردار

: مثال> randvector(4);

[ ], , ,-85 -55 -37 -35

ماتريس تعاريف

× mماتريسn

matrix)n,m,[a11,...a1m,a21,...anm](;يـا

matrix)[[a11,...a1m],[a21,...a2m],...,[an1,...anm]](;

مثال: > matrix(2,3,[1,2,3,4,5,6]);

1 2 34 5 6

> matrix([[1,2,3],[4,5,6]]);

1 2 34 5 6

درايه تمام كه ايm×n ماتريساستp عنصر هايش

matrix(n,m,p(;

: مثال

> matrix(4,4,.02);

.02 .02 .02 .02

.02 .02 .02 .02

.02 .02 .02 .02

.02 .02 .02 .02

;)m×nrandmatrix(n,m تصادفي ماتريس

مثال:> randmatrix(3,2);

-85 -55-37 -3597 50

باال تصادفي ماتريسمثلثي

randmatrix(n,m,unimodular(;

: مثال> randmatrix(4,4,unimodular);

1 92 43 -620 1 77 660 0 1 540 0 0 1

ازتابع آن هاي درايه كه ماتريسيf)x,y( آيد مي بدست

matrix(n,m,f(;

مثال:> f:=(i,j)->1/(i*j);

:= f ) (,i j1i j

> matrix(4,4,f);

112

13

14

12

14

16

18

13

16

19

112

14

18

112

116

مشتق آن هاي درايه كه ماتريسياستA هاي درايه

map(diff,A,x(;

: مثال> f:= (i,j) -> x^(i+j-1):A:=Matrix(2,f);

:= A

x x2

x2 x3

> map(diff,A,x);

1 2 x2 x 3 x2

آن هاي درايه كه ماتريسي به نسبتA هاي درآيه انتگرال

xاست

map(int,A,x(;

: مثال> map(int,A,x);

12 x2 1

3 x3

13 x3 1

4 x4

ستوني: و سطري عمليات

)Arow(A,i امi سطر به دسترسي

A ماتريس دوم سطر به دسترسي : مثال > A:=matrix(3,3,[1,2,3,4,5,6,7,8,9]);

:= A

1 2 34 5 67 8 9

> row(A,2);[ ], ,4 5 6

;)Acol(A,j امj ستون به دسترسي

A ماتريس سوم ستون به دسترسي : مثال> col(A,3);

[ ], ,3 6 9

; )Arow(A,i..k امk تا امiسطر

: مثال

> row(A,1..2);

,[ ], ,1 2 3 [ ], ,4 5 6

;)Adelrows(A,r..s امsتا امrسطر حذف

: مثال > delrows(A,2..3);

[ ]1 2 3

;)A delcols(A,r..s امsتا امrستون حذف

: مثال> delcols(A,1..2);

369

;)i,kswaprow(A,i,kسطر جابجايي

: مثال> swaprow(A,2,3);

1 2 37 8 94 5 6

;)i,tswapcol(A,i,t ستون جابجايي

: مثال> swapcol(A,1,2);

2 1 35 4 68 7 9

;)amulrow(A,i,aاسكالر در امiسطر ضرب

: مثال

> mulrow(A,3,5.5);

1 2 34 5 6

38.5 44.0 49.5

)bmulcol(A,i,a اسكالر در امjستون ضرب

: مثال> mulcol(A,2,3.01);

1 6.02 34 15.05 67 24.08 9

i برابرسطرaاضافه به امjسطر

امaddrow(A,i,j,a(;

: مثال> addrow(A,1,2,a);

1 2 3a 4 2 a 5 3 a 67 8 9

برابرaاضافه به امjستون امiستون

addcol(A,i,j,a(;

: مثال

> addcol(A,2,3,x);

1 2 2 x 34 5 5 x 67 8 8 x 9

; )Ascalarmul(A,aماتريس درaاسكالر ضرب

: مثال> scalarmul(A,2.02);

2.02 4.04 6.068.08 10.10 12.12

14.14 16.16 18.18

ماتريسها ل اعما از برخي محاسباتي كه بردار يا ماتريس يك ارزيابي براي ، ها بردار و ماتريسها با كار هنگام: تذكر

. كنيم مي استفادهevalm دستور از شده انجام آن روي بر

;)A , Bevalm(A+B ماتريس دو جمع محاسبهmatadd(A,B(;

آمد خواهد ذيل در كه دستوراتي و دستور اين و معرفي را A , B ماتريس دو ابتدا : مثالاعمال ماتريس دو اين بر

. كنيم مي> A:=matrix(3,3,[1,2,3,4,5,6,7,8,9]);

:= A

1 2 34 5 67 8 9

> B:=matrix(3,3,[1,0,2,0,3,6,5,8,1]);

:= B

1 0 20 3 65 8 1

> evalm(A+B);

2 2 54 8 12

12 16 10

. نمود استفاده ميتوان نيزmatadd دستور از ماتريس دو جمع محاسبه براي> matadd(A,B);

2 2 54 8 12

12 16 10

;)A , Bevalm(A-B ماتريس دو تفريق محاسبه

;)A , Bevalm(A&*B ماتريس دو ضرب محاسبهmultiply(A,B(;

: مثال> evalm(A&*B);

16 30 1734 63 4452 96 71

. نمود استفاده ميتوان نيزmultiply دستور از ماتريس دو ضرب محاسبه براي> multiply(A,B);

16 30 1734 63 4452 96 71

;)Atranspose(A ماتريس ترانهاده محاسبه

: مثال> transpose(A);

1 4 72 5 83 6 9

;)Ainverse(A ماتريس معكوس محاسبه

: مثال> inverse(B);

35

-1675

225

-25

325

225

15

875

-125

زير خطاي پيغامinverse دستور اجراء هنگام نباشد پذير وارونA ماتريس : اگر تذكرگردد. مي ظاهر

> inverse(A);Error, (in inverse( singular matrix

B بردار يا ماتريس كردن اضافهA بردار يا ماتريس به

augment(A,B(;

: مثال> augment(A,B);

1 2 3 1 0 24 5 6 0 3 67 8 9 5 8 1

)Adet(A دترمينان محاسبه

: مثال> A:=matrix(3,3,[1,2,3,3,5,6,7,8,9]);

:= A

1 2 33 5 67 8 9

> det(A);-6

)Atrace(A اثر محاسبه

: مثال> trace(A);

15

)ACharmat(A,x ويژه ماتريس محاسبه

: مثال> charmat(A,x);

x 1 -2 -3-4 x 5 -6-7 -8 x 9

ويژه اي جمله چند محاسبهA ماتريس

charpoly(A,x(

: مثال> charpoly(A,x);

x3 15 x2 18 x

;)Aeigenvalues(A ماتريس ويژه مقادير محاسبه

: مثال> eigenvalues(A);

, ,0 152

32 33

152

32 33

ماتريس ويژه هاي بردار محاسبهA

eigenvectors(A(;

: مثال> eigenvectors(A);[ ], ,0 1 { }[ ], ,1 -2 1

, ,

152

32 33 1 { }

, ,

12

322 33

14

344 33 1, ,

, ,

152

32 33 1 { }

, ,

12

322 33

14

344 33 1

> evalf(%);[ ], ,0. 1. { }[ ], ,1. -2. 1. [ ], ,16.11684397 1. { }[ ], ,.2833494519 .6416747259 1., ,

[ ], ,-1.116843969 1. { }[ ], ,-1.283349452 -.1416747259 1.

حذفي روند باA ماتريس كردن مثلثيگاوس

gauselim(A(;

: مثال> gausselim(A);

1 2 30 -3 -60 0 0

)Anorm(A ماتريس نرم: مثال

> norm(A);24

افزار نرم .البته نمود محاسبه را مختلف هاي نرم توان مي ها بردار و ماتريسها براي. كند مي محاسبه را بينهايت نرم فرض پيش بطور

> norm(A,infinity);24

> norm(A,2);

12 321

12 249

> norm(A,frobenius);285

ماتريسها تجزيه

LU تجزيهLudecomp(A,L=l,U=u(;

A = LU بطوريكهU مثلثي باال وL مثلثي پايين ماتريس يك بهA ماتريس تجزيه: مثال> A:=matrix(3,3,[1,0,2,0,3,6,5,8,1]);

:= A

1 0 20 3 65 8 1

> LUdecomp(A,L=l,U=u):> L:=evalm(l); U:=evalm(u);

:= L

1 0 00 1 0

583 1

:= U

1 0 20 3 60 0 -25

> evalm(L&*U);

1 0 20 3 65 8 1

QR تجزيهQrdecomp(A(;

A = Q R صورت بهA ماتريس تجزيه : مثال> R:=QRdecomp(A,Q=q);

:= R

262013 26

726 26

01

13 19371981937 1937

0 075

298 298

> Q:=evalm(q);

:= Q

126 26

201937 1937

15298 298

03

149 19374

149 298

526 26

41937 1937

3298 298

> evalm(Q&*R);

1 0 20 3 65 8 1

;)Cholesky(A چولسكي تجزيهA صورت بهA متقارن ماتريس تجزيه : مثال = M Mtآن در كه Mپــائين ماتريسي

. باشد مي مثلثي> A := matrix([[1, 2, 3], [2, 5, 7], [3, 7, 26]]);

:= A

1 2 32 5 73 7 26

> M:=cholesky(A);

:= M

1 0 02 1 03 1 4

> tM:=transpose(M);

:= tM

1 2 30 1 10 0 4

> evalm(M&*tM);

1 2 32 5 73 7 26

;)ismith(A,u,vاسميت تجزيهeval(u(;eval(v(;

: مثال> A:=matrix(3,3,[1,2,3,3,5,6,7,8,9]);

:= A

1 2 33 5 67 8 9

> ismith(A,u,v);

1 0 00 1 00 0 6

> eval(u);

1 0 03 -1 0

11 -6 1

> eval(v);

1 -2 30 1 -30 0 1

)A jordan(A جردن تجزيه

. نمود برآورد توان مي نيز راp ماتريس و J=p-1Apو است قطري ماتريسي كه: مثال

> A := matrix(2,2,[1,0,3,2]);

:= A

1 03 2

> J := jordan(A, 'P');

:= J

1 00 2

> print(P);

1 0-3 3

> evalm(P^(-1)&*A&*P);

1 00 2

خطي معادالت دستگاه حل

خطي معادالت دستگاه حل درMaple داخلي دستور از - استفاده1

;)Ax = blinsolve(A,b دستگاه حل

: مثال> A:=matrix(3,3,[1,2,3,3,5,6,7,8,9]); b:=vector([3,5,6]);

:= A

1 2 33 5 67 8 9

:= b [ ], ,3 5 6

> x:=linsolve(A,b); := x

, ,

-12

-12

32

گاوس حذفي روند از - استفاده2 وبا تشكيل را افزوده ماتريس augmentدستور با ابتدا ، گاوس حذفي روند از استفاده در

اينbacksub دستور با سپس ، كنيم مي مثلثي را افزوده ماتريسgausselim دستور. آيد مي بدست معادالت دستگاه جواب كرده حل باال روبه را دستگاه

را شد داده فوق مثال در كهAx = b دستگاه: مثال حذفي روند از استفاده با مجددا. كنيم مي حل گاوس

> B:=augment(A,b);

:= B

1 2 3 33 5 6 57 8 9 6

> gausselim(B);

1 2 3 30 -1 -3 -40 0 6 9

> x:=backsub(%); := x

, ,

-12

-12

32

LU تجزيه از - استفاده3 . داريم كنيم مي تجزيهL وU مثلثي پائين و باال ماتريس دو به راA ماتريس ابتدا

A = LUلذا

جاگذاري پائين به رو را دستگاه اين كافيست لذا داريم دهيم قرار اگر حال x بردار تا ، جايگذاري باال به رو را دستگاه آن از پس و آيد بدستc بردار تا كرده

. آيد بدست. گيريم مي نظر در فوق مثال از راAx = b : دستگاه مثال

> LUdecomp(A,L=l,U=u):

> L:=evalm(l);U:=evalm(u);

:= L

1 0 03 1 07 6 1

:= U

1 2 30 -1 -30 0 6

> c:=forwardsub(L,b); := c [ ], ,3 -4 9

> x:=backsub(U,c); := x

, ,

-12

-12

32

مربعات كمترين روش از - استفاده4

leastsquar مربعات كمترين روشLeastsqrs(A,b(

كمترين روش با را آن ، ميگيريم نظر در را فوق مثال خطي معادالت دستگاه: مثال. كنيم مي حل مربعات

> x:=leastsqrs(A,b); := x

, ,

-12

-12

32

خاص ماتريسهاي تعاريف

...,a1 قطر باn×n قطري ماتريس,an

diag(a1,...,an(

: مثال> diag(2,3,6);

2 0 00 3 00 0 6

: مثال> A:=randmatrix(3,3): B:=diag(2,3,6):> diag(A,B);

-8 -93 92 0 0 043 -62 77 0 0 066 54 -5 0 0 00 0 0 2 0 00 0 0 0 3 00 0 0 0 0 6

آن قطر كهn×n قطري ماتريس استaعنصر

band([a],n(;

: مثال> band([2.01],3);

2.01 0 00 2.01 00 0 2.01

;)n×nband([a,b,c],nقطري سه ماتريس: مثال

> band([a,b,c],4);

b c 0 0a b c 00 a b c0 0 a b

;)nhilbert(n مرتبه هيلبرت ماتريسمثال:

> hilbert(3);

112

13

12

13

14

13

14

15

مثال: > hilbert(3,x+3);

1 1 x

1x

11 x

1x

11 x

12 x

11 x

12 x

13 x

;)vandermonde([x,y,z,...]موند واندر ماتريسمثال:

> vandermonde([x,y,z]);

1 x x2

1 y y2

1 z z2

;)hermit)A,xهرميت ماتريس

;)v=)x1,...xn(jacobian(v,[x1 ,..., xn] بردار ژاكوبين: مثال

> v:= vector( [x^2, x*y, x*z] ); := v [ ], ,x2 x y x z

> jacobian(v,[x,y,z]);

2 x 0 0y x 0z 0 x

;)issimilar)A,B,pمشابه ماتريس

A=p-1Bp بطوريكهp پذير وارون ماتريس برآورد وA ,B ماتريسهاي تشابه بررسي: مثال

كنيم مي تعريف زير صورت به راB وA ماتريسهاي > A := matrix(3,3,[1,2,3,4,5,6,7,8,9]);

:= A

1 2 34 5 67 8 9

> B := matrix([[0, 0, 0], [0, 15/2+3/2*33^(1/2), 0], [0, 0, 15/2-3/2*33^(1/2)]]);

:= B

0 0 0

0 152

32 33 0

0 0 152

32 33

خير يا اند متاشبه ماتريس دو اين آيا كه كنيم مي بررسي> issimilar(A,B,P);

true

. كنيم مي برآورد راp ماتريس> print(P);

16

-13

16

5

127

132 33 16

1198 33

112

17396 33

5

127

132 33 16

1198 33

112

17396 33

. استA ماتريس برابر كه گردد مي مالحظه و محاسبه را p-1 B p حاصلضرب> map(normal,evalm(P^(-1) &* B &* P));

1 2 34 5 67 8 9

;)nfibonacci(n مرتبه ناچي فيبو ماتريس

مثال:> fibonacci(3);

1 1 11 0 11 1 0

;)A:=vector([f1(x(,...,fn(x(]رونسكينwronskian(A,x(;

det;(%(: مثال

> A := vector([exp(x),cosh(x),sinh(x)]); := A [ ], ,e x ) (cosh x ) (sinh x

> Wr := wronskian(A,x);

:= Wr

e x ) (cosh x ) (sinh xe x ) (sinh x ) (cosh xe x ) (cosh x ) (sinh x

> det(Wr);

;)Aorthog)A ماتريس بودن متعامد تحقيقخير؟ يا است متعامدA ماتريس آيا اينكه : تحقيق مثال

> A := matrix(3,3,[1,2,3,4,5,6,7,8,9]);

:= A

1 2 34 5 67 8 9

> orthog(A);false

;)Akernel(A هسته

: مثال> A := matrix(3,3,[1,2,3,4,5,6,7,8,9]);

:= A

1 2 34 5 67 8 9

> kernel(A);{ }[ ], ,1 -2 1

;)Afrobenius(Aفروبينيوس ماتريسfrobenius(A,p(;print(p(;

: مثال> A := matrix(3,3,[1,2,3,4,5,6,7,8,9]);

:= A

1 2 34 5 67 8 9

> frobenius(A,p);

0 0 01 0 180 1 15

> print(p);

1 1 300 4 660 7 102

;)toeplitz)[x1,...xn]تاپليس ماتريسمثال:

> toeplitz([x,y,z]);

x y zy x yz y x

;)Aadj(Aالحاقي ماتريس: مثال

> A := matrix([[1, 2, 3], [2, 5, 7], [3, 7, 26]]);

:= A

1 2 32 5 73 7 26

> adj(A);

81 -31 -1-31 17 -1-1 -1 1

مينور ماتريس i سطر حذف از حاصل ماتريسj وستون

minor(A,i,j(;

: مثال> A := matrix([[1, 2, 3], [2, 5, 7], [3, 7, 26]]);

:= A

1 2 32 5 73 7 26

> minor(A,2,3);

1 23 7

هندسي واشكال ها-توابع منحني رسم شودوليكن مي سازي بار خودكار بطور ترسيمي مقدمــاتي دستوراتmaple اجرا هنگام گــردد. دســتورات ســازي بــارplots بســته بايد تر پيشــرفته ترسيمي دستورات اجرا براي

. نمائيد مشاهده توانيد مي بسته اين در را ترسيمي> with(plots);

animate animate3d animatecurve changecoords complexplot complexplot3d, , , , , ,[conformal contourplot contourplot3d coordplot coordplot3d cylinderplot, , , , , ,densityplot display display3d fieldplot fieldplot3d gradplot gradplot3d, , , , , , ,implicitplot implicitplot3d inequal listcontplot listcontplot3d listdensityplot, , , , , ,listplot listplot3d loglogplot logplot matrixplot odeplot pareto pointplot, , , , , , , ,

pointplot3d polarplot polygonplot polygonplot3d polyhedra_supported, , , , ,polyhedraplot replot rootlocus semilogplot setoptions setoptions3d spacecurve, , , , , , ,sparsematrixplot sphereplot surfdata textplot textplot3d tubeplot, , , , , ]

در[a,b]فاصـــــله در)f)xتـــــابع رسمبعدي دو دكارتي دستگاه

plot)f)x(,x=a..b(;

مثال:> plot(exp(x),x=-1..2);

در)f)x تــــــــــابع رسم

ــتگاه ــارتي دسـ سه دكـبعدي

plot3d(f(x,y(,x=a..b,y=c..d(;

مثال:> f:=(x,y)->x^2-y^2;> plot3d(f(x,y),x=-2..2,y=-2..2);

;)plot({f(x(,g(x(},x=a..bتوام بطورf,g توابع رسم

مثال:

> f:=sin(x);g:=cos(x);> plot({f,g},x=-2*Pi..2*Pi);

(,)a,b) نقــــــاط رسمc,d)..و

pointplot({[a,b],[c,d],...}(;

مثال:> pointplot([[1,1],[2,3],[4,3]]);

(,a,b)نقــاط بين واصل خطوط رسم(c,d)

plot([a,b],[c,d](;

مثال:> plot({[1,2],[2,4]});

. نمود رسم را خط چند بين واصل خط توان مي چگونه كه دهد مي نشان زير مثال> plot([[2,2],[2,4],[4,4],[4,3],[3,3],[3,3.5],[3.5,3.5]]);

رسم توابع

ضمني

implicitplot({f(x,y(,g(x(},x=a..b,y=c..d(;

مثال:> implicitplot({x^2+y^2=1,y=exp(x)},x=-Pi..Pi,y=-Pi..Pi);

هاي منحني رسم در پارامتريقطبي مختصات

polarplot([x(t(,y(t(],t=a..b(;

مثال: بازه در منحني رسم

> polarplot([cos(8*t),sin(8*t)],t=-Pi..Pi);

منحــــــــني رسم فضـــــــــــــــائيf)t(=)x)t(,y)t(,z)t((

b تاa فاصله در

Spacecurre([x(t(,y(t(,z(t(],t=a..b(;

مثال:درفاصله )f)t(=)tsin)t(,tcos)t(,t فضائي منحني رسم

> spacecurve([t*sin(t),t*cos(t),t],t=Pi..6*Pi);

درمختص)f)tرسم

اي استوانه ات فاصله در

a<z<b,c<<d

cylinderplot(f(t(,theta=c..d,z=a..b(;

مثال: theta<2*pi and -1<z<1>0فاصله در استوانه رسم

> with(plots); > cylinderplot(1,theta=0..2*Pi,z=-1..1);

مختصات در)f)t رسم> 0 فاصله در كروي

< and a<<b

Sphereplot(f(t(, =a..b, =0..Pi(;

مثال:t< , -1<x<2>0 فاصله در كروي مختصات در رويه رســـــــم

> sphereplot((1.3)^x * sin(t),x=-1..2*Pi,t=0..Pi);

هـــاي منحـــني رسم

فاصـــــله در تـــــرازa<x<b, c<y<d

contourplot(f(x,y(,x=a..b,y=c..d(;

مثال:)sin)xy تراز هاي منحني رسم

> contourplot(sin(x*y),x=-4..4,y=-4..4);

هــاي منحني رسم بعدي سه تراز

Contourplot3d(f(x,y(,x=a..b,y=c..d(;

مثال: فضا در)sin)xy تراز هاي منحني رسم

> contourplot3d(sin(x*y),x=-4..4,y=-4..4);

به تيـــــــــوپ يك رسمــات t(,y)t(,z)t(x) مختص

a<t<b فاصله در()

tubeplot([x(t(,y(t(,z(t(],t=a..b(;

مثال:> tubeplot([cos(t),sin(t),ln(t)],t=0..2*Pi);

f)x,y تــابع گراديان رسم a<x<b,c<y<dفاصله در)

gradplot(f(x,y(,x=a..b,y=c..d(;

مثال:>x,y < - فاصله در)cos)xy گراديان رسم

gradplot(cos(x*y),x=-Pi..Pi,y=-Pi..Pi);

;)complexplot(f(x+iy(,x=a..b مختلط تابع تصوير رسم

bتاa فاصله درمثال:

> complexplot(sin(9*x+I)+cos(x+2*I),x=-Pi..Pi);

مختلط نگاشت رسمf)z(فاصله در aتاb

conformal)1/2, z = a..b(;

برد در و بازه در مختلط تابع رسم: مثال> conformal(1/z,z=-1-I..1+I,-6-6*I..6+6*I);

)f)z مختلط رويه رسم در بعــدي سه فضــاي در

bتاaفاصله

complexplot3d)f)z(,z=a..b(;

مثال:> f:=z->sec(z)+tan(z);

:= f z ) (sec z ) (tan z

> complexplot3d(f(z),z=-(2+2*I)..(2+2*I));

ــده منحني رسم از گذرن(,..a,b(,)c,d) نقاط

listplot)[a,b],[c,d],...(;

مثال:> listplot([[2,1],[3,4],[5,2]]);

از گذرنـــــده رويه رسم(,..a,b,c(,)e,f,g) نقاط

listplot3d)[a,b,c],[e,f,g],...(;

: مثال> listplot3d([[1,2,3],[4,2,3],[5,4,6]]);

)animate)f)x,t(,x=a..b,t=.. متحرك نمودار رسم

. كنيم مي بررسي x<3 , 0<t<2>3- وقتي را ارتعاش تابع : مثال> animate(sin(x^2*t),x=-3..3,t=0..2);

ظــاهر ابــزار نــوار بر كه شكل به آيكوني بر است الزم فوق دستور اجراء از پس: تذكر. كنيد كليك گردد مي

ــودار رسم ــرك نمـ متحـ بعدي سه

animate3d)f)x,y,t(,x=a..b,y=c..d ,t=..(

: مثال> animate3d(sin(x^2*y*t),x=-3..3,y=-1..1,t=0..2);

نمودارها و توابع رسم مورد در نكاتيــابع رسم - در1 حــال هر به ولي كــنيم مشــخص راx تغــيرات دامنه كافيست فقط)f)x ت

( ببينيد را زير . ) مثال كرد مشخص توان مي نيز را)f)x حدود. كنيم مي رسمx<2>0 فاصله در را )f)x( = ln)x تابع

> plot(ln(x),x=0..2);

مي عمل زير دســتور با كــنيم بررسيf)x(<1>1- وقــتي را تابع همين تا باشد الزم چنانچه. كنيم

> plot(ln(x),x=0..2,-1..1);

بــراي اينكــار و نمــود تعيين را آن رنگ توان مي ها نمودار و توابع رسم - در2 جهت كــنيم مي رسم مختصــات محــور يك بر هم با را نمودار چند يا دو وقتي با را)sin(x تــابع زير دســتور با مثــال .بطــور است مناسب ها نمــودار تمــايز

مي رسم مختصــات دســتگاه يك در ســبز رنگ با را)cos(x تابع و قرمز رنگ. كنيم

> p1:=plot(sin(x),x=-3..3,color=red): p2:=plot(cos(x),x=-3..3,color=green):> display({p1,p2});

يا كوچك را آن تــوان مي ها لبه كشــيدن با و انتخــاب را آن نمــودار روي كــردن كليك - با3 ، گردد مي ظاهر ابزار نوار در نمودار انتخاب از پس كه آيكونهايي از . همچنين كرد بزرگ

1:1 عالمت كه آيكــوني روي كــردن كليك با . بخصــوص داد آن به مختلفي حالتهاي ميتوان. كرد اعمال نمودار به را1/1 مقياس توان مي دارد

ديفرانسيل معادالت

به نســبتP ديفرانســيل معادله حلy)x(

dsolve(p);

معادله : حل مثال> p:=diff(y(x),x)=y(x)+x^2;

:= p x ) (y x ) (y x x2

> dsolve(p);) (y x x2 2 x 2 e x _C1

. است اختياري ثابتC1_ آن در كه

ــيل معادله حل ــرايط با ديفرانسـ شـ b اوليه

dsolve({p,b});

y)0( = 1 اوليه شرايط با فوق مثال معادله حل : مثال> p:=diff(y(x),x)=y(x)+x^2:> dsolve({p,y(0)=1});

) (y x x2 2 x 2 3 e x

p ديفرانســيل معادله جوابq آيا اينكه تحقيق خير يا هست

odetest(q,p);

: مثال> := p

x ) (y x ) (y x x2

> q:=dsolve(p); := q ) (y x x2 2 x 2 e x _C1

> odetest(q,p);0

. است p ديفرانسيل معادله جواب q كه است اين نشانگر باشد صفر جواب هرگاه

;podeadvisor(p) ديفرانسيل معادله نوع تعيين

، ريكــاتي ، همگن ، پــذير جــدائي ، لحــاظ از را ديفرانســيل معادله نــوع دستور اين: تذكر كه تخصصي دستورات از بسياري و دستور اين اجراء از . قبل كند مي ... تعييين و برنولي

. شود سازي بارDetools بسته تا است الزم ، آمد خواهد ذيل در يك معادله اين شــود مي مالحظه كه ، آن نــوع تعيين وp ديفرانسيل معادله تعريف: مثال

. است ريكاتي ديفرانسيل معادله> with(DEtools):> p:= diff(y(x),x)-y(x)^2+y(x)*sin(x)-cos(x);

:= p

x ) (y x ) (y x 2 ) (y x ) (sin x ) (cos x

> odeadvisor(p);[ ]_Riccati

انتگراســاز عامل عنــوان بهq تعــيينp معادله

q:=intfactor(p);

دســتور با افــزار نــرم كه گـرديم مي مواجه معـادالتي با كه افتد مي اتفــاق : بســيار تــذكرــبگر مواقع اينگونه . در نمايد نمي حل مطلوب بطور را معادالت اينdsolve اصلي محاس

. نمايد كمك معادله حل در افزار نرم به معادالت حل مختلف روشهاي بستن بكار با بايد حل در عامل اين از اســتفاده و مناسب ســاز انتگرال عامل يك تعيين روشهاي اين از يكي

. باشد مي معادله. كنيم مي تعريف زير صورت به راp معادله: مثال

> p:= diff(y(x),x) = x*(-x-1+x^2-2*x^2*y(x)+2*x^4)/((x^2-y(x))*(x+1));

:= p x ) (y x

x ) ( x 1 x2 2 x2 ) (y x 2 x4

) (x2 ) (y x ) (x 1

. كنيم حل را معادله اين dsolve ساده دستور با كنيم مي سعي حال> dsolve(p);

) (y x

12

2 x2 e ) (RootOf 3 _Z e _Z 12 e _Z x2 27 4 x3 e _Z 12 x e _Z 9 _C1 e_Z 3 e_Z ) (ln /1 2 ) (9 e_Z ) (x 1 49

e ) (RootOf 3 _Z e _Z 12 e _Z x2 27 4 x3 e _Z 12 x e _Z 9 _C1 e_Z 3 e_Z ) (ln /1 2 ) (9 e_Z ) (x 1 4

q ســاز انتگــرال عامل تعيين با . لذا گردد نمي محاسبه صريح جواب كه گردد مي مالحظه زير صورت به

> q:= intfactor(p);

:= qx2 ) (y x

2 x2 1 2 ) (y x

. كنيم مي حل را ديفرانسيل معادله> dsolve( q*p);

) (y x 12

LambertW

e ) (/4 3 x3) (e x 4

e ) (-1 _C1

) (e ) (x2 4

) (x 1 4

x2 12

ديفرانسيل: معادالت جواب رسم نمود عمل توان مي زير روشهاي به معادالت عمومي جواب رسم براي تراز هاي منحني از استفاده – الف بگيريد نظر در را زير ديفرانسيل معادله مثال بطور

> := p x ) (y x ) (y x x2

كنيم مي حل زير دستور با را معادله اين حال> q:=dsolve(p);

:= q ) (y x x2 2 x 2 e x _C1

ــانواده اين رسم . براي است فوق معادله عمومي جوابq كه راq است الزم جوابها از خ نمائيم حلC1_ اختياري ثابت حسب بر

> solve(q,_C1); ) (y x x2 2 x 2

e x

نمائيم مي تعويضy با را)y)x فوق مقدار در> c:=subs(y(x)=y,%);

:= c y x2 2 x 2

e x

كنيم مي رسم آمده بدست باال كهc معادله تراز هاي منحني حال> with(plots):> contourplot(c,x=-3..3,y=-3..7);

. باشد مي ديفرانسيل معادله جوابهاي خانواده نمودار اين

. اختياري ثابت چند براي معادله جواب - رسم بگيريم مي نظر در را فوق ديفرانسيل معادله

> p:=D(y)(x)=y(x)+x^2;

> dsolve(p);) (y x x2 2 x 2 e x _C1

ناميم ميm را آن ، كرده پيدا دسترسي جواب راست سمت به زير دستور با> m:=rhs(%);

:= m x2 2 x 2 e x _C1

دهيم مي قرار مختلف مقدار چندC1_ اختياري ثابت بجاي حال> p1:=subs(_C1=1,m);p2:=subs(_C1=0,m);p3:=subs(_C1=-2,m);p4:=subs(_C1=4,m);

. كنيم مي رسم را p1, p2 , p3 , p4 حال> plot({p1,p2,p3,p4},x=-3..3);

Deplot دستور از - استفاده ج. كرد اعمال را اوليه شرط بايد دستور اين از استفاده جهت. بگيريد نظر در را فوق معادله مثال بطور

> p:=D(y)(x)=y(x)+x^2;> dsolve(p);

) (y x x2 2 x 2 e x _C1

. كنيم مي اجراء را زير دستورDetools بسته بارسازي از پس> DEplot(p,y(x),x=-3..3,[[y(0)=1]]);

. است پذير امكان فوق دستورات با نيز باالتر و دوم مرتبه معادالت حل. بگيريد نظر در زير صورت به را p دوم مرتبه ديفرانسيل معادله: مثال

> p:=D(D(y))(x)+3*D(y)(x)=y(x); := p ) () () (D) (2 y x 3 ) () (D y x ) (y x

كنيم مي حل را دو مرتبه معادله اين ، ديديم باال در كهdsolve دستور همان با> dsolve(p);

) (y x _C1 e ) ( /1 2 ) (3 13 x _C2 e ) (/1 2 ) ( 3 13 x

. باشد مي اختياري ثابتهايC1 , _C2_ كه كنيم مي حلy)0( = 0 , Dy)0( = 1 اوليه شرايط با را فوق معادله: مثال

> b:=y(0)=0,D(y)(0)=1;> dsolve({p,b});

) (y x 1

13 13 e ) ( /1 2 ) (3 13 x 113 13 e ) (/1 2 ) ( 3 13 x

نمود حل فوق دستورات با توان مي نيز را باالتر مرتبه معادالت

ديفرانسيل معادالت دستگاه حل

ـــــــــــــــادالت حل مـعــيل ــ pn تا p1 ديفرانس

y1,...,yn به نسبت

dsolve({p1,...,pn},{y1(x),...,yn})

بگيريد نظر در را ديفرانسيل معادالت دستگاه : مثال> ; := p1 ) () (D y1 x ) (y2 x 2 := p2 ) () () (D) (2 y2 x ) (y1 x 5

. شود مي حل دستگاه اين زير دستور با> dsolve({p1,p2},{y1(x),y2(x)});

) (y2 x 2 e x _C1 _C2 e ) ( /1 2 x

sin

12 3 x _C3 e ) ( /1 2 x

cos

12 3 x ) (y1 x ,{

e x _C112 _C2 e ) ( /1 2 x

sin

12 3 x

12 _C2 e ) ( /1 2 x

cos

12 3 x 3

12 _C3 e ) ( /1 2 x

cos

12 3 x

12 _C3 e ) ( /1 2 x

sin

12 3 x 3 5 }

كنيم مي حل زير صورت به اوليه شرايط با را فوق دستگاه

> dsolve({p1,p2,y1(0)=1,y2(0)=1,D(y2)(0)=0});) (y2 x 2 e x 4

3 3 e ) ( /1 2 x

sin

12 3 x 2 e ) ( /1 2 x

cos

12 3 x ,{

) (y1 x e x 13 3 e ) ( /1 2 x

sin

12 3 x 3 e ) ( /1 2 x

cos

12 3 x 5}

نمود رسم زير صورت به توان مي را معادالت دستگاه نيزDeplot دستور با كه> DEplot([p1,p2],[y1(x),y2(x)],x=-8..5,[[y1(0)=1,y2(0)=1,D(y2)(0)=0],[y1(0)=2,y2(0)=-1,D(y2)(0)=0]]);

استفاده باp ديفرانسيل معادله حلتواني سريهاي از

dsolve(p,y(x),type=series);

دسـتورات با كه را خطي غـير معـادالت بخصــوص ، ديفرانسـيل معـادالت از برخي: تذكر نمود حل توان مي تواني سريهاي از استفاده با ، نيستند حل قابل معمولي

: گيريم مي نظر در را خطي غير ديفرانسيل معادله: مثال> p:=D(y)(x)+x*(D(y)(x))^3=y(x)*exp(x);

:= p ) () (D y x x ) () (D y x 3 ) (y x e x

كنيم مي حل زير دستور با را فوق خطي غير معادله> dsolve(p,y(x),type=series);

) (y x ) (y 0 ) (y 0 x

12 ) (y 0 3 ) (y 0 x2

56 ) (y 0

136 ) (y 0 3 ) (y 0 5 x3

13324 ) (y 0 3 5

8 ) (y 0658 ) (y 0 5 3 ) (y 0 7 x4

36310 ) (y 0 7 1283

120 ) (y 0 3 11 ) (y 0 9 2898 ) (y 0 5 13

30 ) (y 0 x5 ) (O x6

الپالس تبديالت

;slaplace(g(t),t,s) حسب بر)g)t الپالس تبديل بسته اين . در گردد سازي بار inttrans بسته است الزم فوق دستور اجراء از قبل: تذكر

ــديل و هيلبرت تبديل ، فوريه تبديل نظير انتگرالي تبديالت از بسياري ، دارد وجــود ميلن تبنمود استفاده تبديالت اين از توان مي معادالت حل براي كه

كنيم مي محاسبه را زير دستور باg تابع الپالس تبديل: مثال> g:=exp(t)+4*t*sin(5*t);

:= g e t 4 t ) (sin 5 t

> laplace(g,t,s);

1s 1

40 s

) (s2 252

نويسيم مي را آن نرمال و شده ساده شكل زير دستور با كه> F:=normal(%);

:= F s4 90 s2 625 40 s

) (s 1 ) (s2 252

;F)s(invlaplace(F(s),s,t) الپالس معكوس تبديل

. ميگيريم معكوس تبديل ، گرفتيم الپالس تبديل فوق مثال در كهF تابع از: مثال> invlaplace(F,s,t);

e t 4 t ) (sin 5 t

. است فوق مثال در شده تعريفg تابع همان جواب كه گردد مي مالحظه

Dsolve({p,b},y(x),method=laplace);

كنيم مي تعريف زير صورت به راp ديفرانسيل معادله: مثال> p:= diff(y(t),t$2) + 5*diff(y(t),t) + 6*y(t) = 0;

:= p

2

t2 ) (y t 5

t ) (y t 6 ) (y t 0

: كنيم مي حل زير صورت بهb اوليه شرايط با و الپالس تبديالت كمك به را معادله اين> b:=y(0)=0, D(y)(0)=1;> dsolve({p, b}, y(t),method=laplace);

) (y t e ) ( 2 t e ) ( 3 t

;dsolve({p,b},y(x),numeric) با p ديفرانسيل معادله عددي حل

b اوليه شرايط

گيريم مي نظر در زير صورت به راp سه مرتبه ديفرانسيل معادله: مثال

> p:= diff(y(t),t$3) - 2*diff(y(t),t$2) + 2*y(t);

:= p

3

t3 ) (y t 2

2

t2 ) (y t 2 ) (y t

. كنيم مي تعريف زير صورت به راb اوليه شرايط> b:= y(0)=1, D(y)(0)=1, (D@@2)(y)(0)=1 ;

. كنيم مي حل عددي صورت بهb اوليه شرايط با را p معادله حال> g := dsolve({p,b}, y(t), type=numeric);

:= g proc) ( ... end procrkf45_x

آورد بدست مختلف هايt براي را تقريبي مقدار توان مي شده تعريفg به توجه با> g(.2);

t .2 ) (y t 1.21984954812209234 t ) (y t 1.19689948356132490, , ,

2

t2 ) (y t .951144096584697452

> g(2.2);

t 2.2 ) (y t -2.28891913815998516 t ) (y t -16.3844038598544764, , ,

2

t2 ) (y t -40.9797882466347688

جزئي مشتقات با ديفرانسيل معادالت حل

مشــتقات با ديفرانســيل معادله حلp جزئي

Pdsolve(p)

pdtools بسته تا است الزم ، جزئي مشتقات با ديفرانسيل معادالت با كار هنگام در: تذكر مشــتقات با معــادالت حل بــاره در اي پيشــرفته دســتورات بســته اين . در شــود بارسازي

. نمود استفاده آنها از توان مي محاسباتي كارهاي در كه است موجود جزئي

. كنيم مي تعريف زير صورت به راp جزئي مشتقات با ديفرانسيل معادله: مثال> p:= x*diff(u(x,y),y)-diff(u(x,y),x)=u(x,y)^2;

:= p x

y ) (u ,x y

x ) (u ,x y ) (u ,x y 2

. كنيم مي حل زير صورت به را معادله اينpdsolve دستور با و> pdsolve(p);

) (u ,x y1

x

_F1 y

12 x2

نويسي برنامه مقدماتي دستورات

for - do - end do حلقه دستورات- الف

I وقــتيpi محاسبه براي حلقه تكرار كند مي تغييرn تا r از

for i from r to n do p[i];od;

maple6 ويــرايش در ولي ، گـردد مي اســتفادهod دستور از حلقه اتمام اعالم براي: تذكر. نمود استفاده توان مي نيزend do دستور از

100 تا زوج اعداد چاپ: مثال> p[0]:=0; for i from 1 to 50 do p[i]:=p[i-1]+2; end do;

for - by -do-end do حلقه ب- دستورات

ــرار ــراي حلقه تك ــبه ب pi محاس

s گام طول باn تا r ازi وقتي كند مي تغيير

for i from r by s to n do p[i];od;

10 تا صفر از زوج اعداد چاپ: مثال> for i from 0 by 2 to 10 do print(i) end do;

for-while-do-end do حلقه - دستورات ج

ــرار ــراي حلقه تك ــبه ب pi محاس

وقــتي تا و شــروع r ازi وقتي حلقه باشد برقرار Mi شرط كه. دهد مي ادامه را

for i from r while Mi do p[i];od;

100 تا صفر از صحيح د اعدا جمع محاسبهمثال: > t := 0:for i from 1 while i <= 100 do t := t + iend do:print(t);

5050

if - elif -else-end if شرطي دستورات

: شرطي دستورــراءp1 عمل باشد برقرارM1 اگرشرط اج

گرددــراءp2 عمل باشد برقراM2 شرط اگر اج

گردد............

گردد اجراءpm عمل اينصورت غير درشرط پايان

if M1 then p1

elif M2 then p2

elif Mn then pn

else pm

end if;

مي اســتفادهfi دســتور از شــرط پايان اعالم برايmaple تر پائين هاي ويرايش در: تذكر. گرددــائين بطوريكهA پنج مرتبه ماتريس تعريف: مثال زير و يك آن قطر روي و باشد مثلــثي پ. باشد3 ثابت عدد قطر

> A:=matrix(5,5):> for i to 5 do for j to 5 do if i<j then A[i,j]:=0:elif i=j then A[i,j]:=1:else A[i,j]:=3:end if; end do ;end do ;print(A);

1 0 0 0 03 1 0 0 03 3 1 0 03 3 3 1 03 3 3 3 1

منوها عملكرد نحوه ويندوز تحت هاي برنامه از بسياري همانند ، شود مي بازmaple اصلي صفحه كه هنگامي

از يك هر روي كــردن كليك با كه دارد قــرار زير صــورت به منو رديف آن بــاالي رديف در ، كليك با كه دارد وجــود گزينه سري يك نوار اين در ، شود مي باز پائين به رو نوار يك منوها كاربران چون ، گيرد مي انجام بخصوص عملي گزينه هر روي كردن مختصر آشــنايي اكثرا

تحت هــاي برنامه تمــام در كه هــايي گزينه توضــيح از گــردد مي سعي پس دارند ويندوز با مي توضــيح زير در اختصار به راmaple به مختص هاي گزينه و خودداري مشتركند ويندوز. دهيم

file edit view insert format spread sheet option windows help

file منوي هاي گزينه.با كليك كردن روي هر يك از گزينه هاي زير اعمال زير انجام مي پذيرد

openفايلها كردن باز

پســوند با فايلهــايي است آن كــردن بــاز به قادر maple كه فايلهايي كه شود توجه: تذكرmws,ms,text,htm باشد. مي

ــيره ــاي با فايل يك ذخـ فرمتهـ مختلف

Export as

Export : تذكر asفايلهــاي ن تــوا مي كه است جالبي خاصيت mapleو پســوندها رابا

كرد. ذخيره زير صورت به باشد ديگر افزارهاي نرم براي خواندن قابل كه فرمتهايي plain text معمولي متن maple maple text متنlatext latex افزار نرم براي خواندن قابلHtml وب گر مرور و html نويسي برنامه زبان

ــرم كــاركرد نحوه در تغييرات ذخيره ن افزار

Save setting

ــيح ــتفاده با : اگر توضـ ــرد,… ياedit ياoption منـــوي هـــاي گزينه از اسـ maple درعملكـ

ــيراتي ــاد تغي ــنيم ايج ــنيم تعريف اينكه مثال ك ــروجيmaple ك ــان را ها خ يا ندهد نشــــــsave گزينه بـــاشدو... باانتخــاب ســياه رنگ به وخروجي سبز رنگ به دستـــورات setting

شد. ظاهرخواهد تغييرات همين باmaple بعدي مراجعات ودر ضبط تغييرات اين

Auto save setting تغييرات آخرين خودكار ذخيره

بــاال در كهmaple تغيــيرات كــنيم درج عالمت گزينه كناراين در كردن كليك با : اگر توضيحگردد. مي ذخيره اتوماتيك بطور همواره شد داده توضيح

Edit منوي هاي گزينه

وجــودundo,Redo,cut,copy,past هــاي گزينه نيزmaple درwindowsهاي اكثربرنامه همانندنيست توضيح نيازبه كه دارد

در خــاص دســتوري يا عبــارت يــافتنصفحه

Find

اگر در يك صفحه به دنبــال متن ياعبــارت بخصوصــي باشــيم از اين گزينــه اســتفاده ميــمتfindكنيم با انتــــــخاب اين گزينه پنجره باز مي شود و عبارت موردنظررا در قس

findtxet، درج نموده find previous.راكليك مي كنيم hyperlink متني پيوندها ويرايش

صـــفحه از قســـمتي درInsert منـــوي درhyperlink گزينه از اســـتفاده با چنانچه: تـــذكر ويــرايش را پيونــدها اين گزينه اين از اســتفاده با تــوان مي ، باشيم ساخته متني پيوندهاي

. كرد

Entry Mode متني تايپ حالت به ورود

بعنــوان معــادل صــفحه كليــدي آن ميF5توضيح : با انتخاب اين گزينه يا فشردن كليد راF5توان در صفحه كار شروع به تايپ متني و توضيحات نمــود . چنانچــه دو بــار كليــد

فشار دهيم عالمت ؟ ظاهر مي گردد با درج يك عبارت رياضــي بــه صــورت دســتورات. عبارت رياضي به صورت استاندارد رياضي نمايش داده مي شود Enterنرم افزار و فشار دادن دكمه

گـروه يك تلفيق يا شكســتن اجرائي

Split or join

گروههاي در توان مي را هستند اجرائي گروه يك در كه دستوراتي ،split گزينه انتخاب با. نشانيد مستقل

، دستوراتي را كه در گروههاي متعدد درج شده انــد ، مي تــوان تلفيــق و در يــك گــروه واحــدjoinبا انتخاب گزينه .نشاند

يا شده انتخاب بخش دستورات اجراء كاري صفحه تمام در دستورات

Excute

بخــواهيم و كـرده بــاز را ايم داده انجــام آن در محاســباتي قبال كه فايل يك وقــتي: توضيح مجددشــده اجراء تا بزنيمenterدستور هر براي پايين باالبه از بايد دهيم انجام را كار ادامه

دهــد. روش راانجــام كــار ادامه بتواند و بــوده تعريف قابلmaple بــراي قبلي دستورات وwork كــنيم. باانتخــاب اســتفاده گزينه اين از كه است تراين ساده sheetدســتورات تمــام

اجــرا شــده انتخاب قسمت همانsection ب انتخا با و شود مي مجدد اجراء كاري صفحه.شود مي

Remove Output دستورات خروجي حذف

قطعه يا تصــوير يك افزودن در شئ بعنــــوان صــــوتي

صفحه

Insert ole object

ــرخي : همانند توضــيح ــرم ب ــوان ميword مانند افزارها ازن به را شئ عنصــربنام يك تو... باشد. متن- image-تصويري – صوتي تواند مي اشياء اين كه افزود صفحات

view منوي

Tool Bar ابزار آيكون جعبه نمايش

Context Barمتني ابزار جعبه نمايش

كليك ابزار نوار از x برعالمت و داده قرار mapleدر عبارتي روي را زن چشمك هرگاه بخواهيم وقتي براي اين ) شود مي داده نشان آن رياضي ونمادين استاندارد صورت كنيم

( است مفيد خير يا ايم نوشته درست را دستور يك آيا كه بدانيم

اشكال و يوناني عالمات صفحه نمايشرياضي

Palettes

ــراي معمــوال گزينه اين ــدي كــاربران ب آشــناييmaple دســتورات به كه دبيرســتاني مبت

ــداني ــرار ندارند چنـ ــده داده قـ ــاب با كه . بدينگونه است شـ ــاز اي جعبهsymbol انتخـ بـ. گردد مي درج صفحه در آنmapleدستور يوناني حرف هر روي كردن باكليك ميشودكه

اعمــال استانداردبرخي صورتهاي شامل كه گردد مي باز اي جعبه Expressionانتخاب با كند حسـاب را بخواهد كسي اگر باشــد. مثال مي نظـير رياضي

صورت بهmapleكند. دستور راكليك گزينه كافيست نداند را آنmaple دستور ولي>int)%?,%?=%?,...%?(

. كنيم مي درج را مطلوب ؟% عبارت بجاي و گردد مي درج به فــوق دســتور ، انتخــاب را x ابزاردكمه جعبه از باشد نــامفهوم بــازهم دســتور اين اگر

و رادرجx و x2و 5 و3 تــرتيب ؟به جــاي حاالبه كه شــود مي تبــديل< صــورتEnterزنيم. ميmatrix گزينه paletteتوضــيحات همانند و است مناسب بــردار و ماتريســها درج بــراي نيز شود. عمل فوق

نمــــائي بــــزرگ مــــيزان صفحات

Zoom factor

ــودن مشـــخص ــتوري يا متن نمـ دسـ جهت اختصــــاري نــــام با دلخــــواه كاري صفحه در سريع دسترسي

bookmarks

شــده انتخــاب متن به و انتخــاب را گزينه اين نظر مــورد دســتور يا متن انتخاب با: توضيحــرف ــاري كلمه يا حـ ــبت اختصـ ــام اين اين از . پس دهيم مي نسـ ــاري نـ رديف در اختصـ

bookmarksــرار ــاب با و گرفته ق ــمك عالمت آن انتخ صــفحه در متن اين محل به زن چش. رفت خواهد كاري

ها خــروجي ، وروديها كردن پنهان كاري صفحه در ها نمودار يا و

Hied content

Insert منوي هاي گزينه

Text متن به كاري محيط تبديل

متن درج صــورت به كاري محيط تبديل رياضي

Standard Math

صـــورت به كـــاري محيط تبـــديلmaple دستورات وردي

Maple Input

ــديل ــاري محيط تبـ ــورت به كـ صـ عبــــــارات شــــــكل به و ورودي

رياضي استاندارد

Standard Math input

متن توان مي اينصورت در ، گردد مي ظاهر ؟ عالمت رياضي استاندارد حالت در: توضيح. گردد مي درج آن وار رياضي شكلenter دكمه فشار با و درج را رياضي حــالت در يا متني حالت ) در گردد درج عبارت بخواهيم كنيم فرض مثال بعنوان-x^3+3*x كــنيم مي تــايپ شد ظــاهر ؟ عالمت كه هنگامي فوق گزينه انتخاب ( با وروديexp)x(دادن فشار با و enterشد خواهد ظاهر وار رياضي شكل همان .

ــاد ــروه ايج ــرايي گ و قبل جديد اج زن) اضــافه چشمك عالمت از بعد

)]>|يك كردن

Execution Grop)Befor,After(

نظير مواردي به متني پيوند يك ايجاد Help از قسمتي يا وbookmark يك ، فايل يك

افزار نرم

Hyper link

format منوي

style رنگ و متني هاي مؤلفه تغير– خطا پيغــام متن مانند متــني هــاي مشخصه تــوان مي گزينه اين از استفاده : با توضيح

كر و... تنظيمsize – رنگ– فــونت لحــاظ از و... را ها -خروجيmaple-textت دستورا متند.

Indent بخش زير و دروني بخشهاي ايجادoutdent

را ها خروجي يا ورديها از برخي توان مي ، كاري صفحه نشدن شلوغ براي گاهي: توضيح. كرد باز يا و بسته را بخشها اين بخش سر روي كردن كليك با و داده قرار بخشها داخل

زيادي فضاي ماتريس اين ، داريم نياز را A 100 مرتبه ماتريس كنيم فرض مثال بعنوانــاتريس و كرده باز بخش يك مشكل اين رفع براي ، كند مي اشغال را صفحه از داخل را م مي راحــتي به ماتريس ديدن و دسترسي . جهت بنديم مي را بخش سپس و داده قرار آن

ابــزار جعبه آيكونهــاي از بخش ايجــاد براي است آوري ياد به . الزم نمود باز را بخش توان نمود استفاده توان مي نيز

> A:=randmatrix(5,5);

:= A

-21 -1 -12 64 7555 -96 83 0 -62

-51 56 -72 -69 -11-45 -7 63 -38 471 -38 78 86 -66

. بست را آن توان مي سربخش دكمه روي كردن كليك با كهspreadsheet منوي

Excel افــزار نــرم صــفحه نظــير اي صــفحه كنيم انتخاب را گزينهinsert منوط از گاه هرــات صــفحه آن در توان مي منو اين هاي گزينه با كه شود مي ايجاد انجــام را دلخــواه عملي

. داد

optionمنوي

raplace out put قبلي خروجي بجاي جديد خروجي جايگزيني

جــايگزين جديد خــروجي دســتور يك مجــدد اجــرا با گــردد انتخــاب گزينه اين اگر : توضيحشود. مي داده نمايش ها خروجي م تما صورت اين غير در شود مي اول خروجي

زبان صورت به ورودي هاي دادهmapleمي داده نمايش

شود)معمولي(

Input display)maple notation(

Plot displayها ورويه نمودارها نمايش نوع تنظيم

Print qualityچاپ كيفيت تنظيم

Help منوي

Introdoctionگردد. ميmaple مقدمه صفحه وارد

)انتخاب( شدهselectكه قسمتي به نسبت آن براي توضيحيhelpدر كندتا مي جستجو

بيابد.

Help on...

ــوان ميhelp در شده انتخاب دستور يا كلمه به مربوط توضيحاتي يافتن براي: تذكر از ت نمود استفاده نيزF1 كليد

است بار اولين كه كساني براي توضيحاتياند شدهmapleوارد

New user ‘s tour

نمايش از استفاده هنگام توضيحات نمايش ماوس گر

Balloon Help

ــرار كه قسمتي هر در موس پيكان آن انتخاب با كه استhelpدر جالبي قابليت: توضيح قدهد. مي نشان را آن عمل نحوه از مفيد و مختصر توضيح يك گيرد مي