1 สสสสสสสสสสสสสสสสสสสสสสสสสส สสส สสสสสสสสสสสสสสสส ( Equation of Tangent and Normal ) สสสสสส สสสสสสส L 1 สสสสสสสสสสสสสส (Tangent line ) สสสสสสสสสสส L 2 สสสสสสสสสสสส ( Normal line )สสสสสสสสสสส y = f(x) สสสสสส P ( x 1 , y 1 ) สสส สสสสสสสสสสสสสสส( gradient )สสสสสสส สสสสสสสสสสสสสส สสสสสสสสส สสสสสสสสสสสสสสสสสสสส ส สสสสสสสสสสสสส สสส m L 1 สสส สสสสสสสสสสสสสสสสส L 1 สสสสสสสสสสส m L 1 =f ' ( x 1 ) = dy dx สสสสสส ( x 1 ,y 1 ) สสสสสสสสสสสสสสส Tangent line สสส y−y 1 =f ' ( x 1 ) ( x−x 1 ) สสสสสสสสส www. สสสส ................ ....................... .......... สสสส ................ ........ สสสสสส ...................
Transcript
1
สมการของเสน้สมัผัสเสน้โค้ง และสมการของเสน้ปกติ( Equation of Tangent and Normal )
จาก ภาพ เสน้ตรง L1 เป็นเสน้สมัผัส (Tangent line ) สว่นเสน้ตรง L2 เป็นเสน้ปกติ ( Normal line )ของเสน้โค้ง y = f(x) ท่ีจุด P ( x1 , y1 ) เรา จะได้วา่ความชนั( gradient )ของเสน้สมัผัสเสน้โค้ง คือค่าของอนุพนัธุข์องเสน้โค้ง ณ จุดสมัผัสนัน้ ให ้ mL1 แทน ความชนัของเสน้ตรง L1 เราจะได้วา่
mL1=f ' (x1 )=dydx ที่ จุด(x1 , y1 )
ดังนัน้สมการของ Tangent line คือ y− y1=f ' (x1) (x−x1) สว่นเสน้ตรง L2 เป็นเสน้ตรงที่ตัง้ฉาก ( perpendicular) กับเสน้ตรง L1 เรยีกเสน้ตรง L2 วา่เป็นเสน้ปกติ (Normal line ) ของเสน้โค้ง y = f(x) ท่ีจุด P ( x1 , y1 ) ดังนัน้
ตัวอยา่งท่ี 1 A tangent and a normal are drawn to the curve y3−5 x+8at x=1.Find ( a) the equation of the tangent , (b) the equation of the normal.Solution………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………ตัวอยา่งท่ี 2 The diagram shows part of the curve y=x2−2 x+3 and the tangent liney=2 x+c to the curve at point A. Find
( a) the coordinate of A( b) the value of the constant, C. Solution
ครูวยิะดา ทองwww. mathsolution.org
3
ตัวอยา่งท่ี 3 The curve y=x2−3 x+4 passes through the point P( 1 , 2 ) and Q( 3 , 4 ).Find ( a ) the equation of the tangent at P,
( b) the equation of the normal at Q,( c ) the coordinate of R , the point where the
tangent intersects the normal.……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………ตัวอยา่งท่ี 4 The diagram show part of the curve y=x2−4 x+1 and the tangent line at P( a , b ).The tangent line is perpendicular to the line 2 y+ x=4Find ( a) the value of a and b ,
( b ) y=x3+3 x2 ท่ีจุด x = -1………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
(c) y=x √1−2 x ท่ีจุด ( -4 , -12 )………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………2. Find the equation of the tangent to the curve y= x
2+5x+1
at x = 1 and x = 3 . Find the coordinate of the point where these tangent meet.………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
6
3. Find the equation of the normal to the curve y=2x+ 8x at x = 1 and x = 4 . Find the coordinate of the point where these normal intersect.………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………4. ( a ) Find the equation of the tangent and normal to the curve y=√4 x−x2+1 at ( 1 , 2 ) Show that the tangent is parallel to the line 6y -3x = 1. ( b ) Find the equation of the tangent to the curve y=3 x2−2 x+5 which is perpendicular To the line 4y + x = 2………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………5. The equation of a curve is y=2x2−kx+3 , where k is a constant .
( a ) Find , in terms of k , the gradient of the tangent at point A where x = 1.
ครูวยิะดา ทอง
www. mathsolution.org
7
( b ) Given that the tangent at point A passes through the point B( 5 , 1 ), Find the value of k.……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………17. กำาหนดใหเ้สน้ตรง L มคีวามชนัเท่ากับ 2 และสมัผัสเสน้โค้ง y=x2+2 ถ้าจุด ( a , b ) อยูบ่นเสน้ตรง L และอยูใ่กล้จุดกำาเหนิดมากที่สดุ จงหาค่าของ a + b………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………18. ถ้า T เป็นจุดบนเสน้โค้ง y=2x2+1 และสมัผัสเสน้โค้งที่จุด T ขนานกับเสน้ตรง y = -4x จงหาสมการเสน้ตรงท่ีผ่านจุด T และตัง้ฉากกับเสน้สมัผัส
