1. Na figura está representado o sólido [ABCDIJGH] que se pode decompor num prisma reto de bases quadradas e num prisma triangular reto.

Uma das faces laterais do prisma triangular coincide com uma das bases do prisma quadrangular.

1.1. Utilize letras da figura para indicar:

1.1.1. um plano paralelo ao plano FEI;

1.1.2. um plano concorrente não perpendicular com o plano ADE;

1.1.3. uma reta concorrente não perpendicular à reta BC;

1.1.4. duas retas não complanares.

1.2. Admita que cm , cm e cm.

1.2.1. Determine o volume do sólido [ABCDIJGH].

1.2.2. Determine a área total do sólido [ABCIJGH].

Apresente o resultado em cm2, arredondado às décimas.

2. Na figura está representado o sólido [ABCDEFGHI] que pode ser decomposto no prisma quadrangular regular [ABCDEFGH] e na pirâmide regular [EFGHI].

2.1. Utilize letras da figura para indicar:

2.1.1. a interseção da reta EH com o plano FAC;

2.1.2. a interseção do plano ADC com o plano AEH.

2.2. Qual das seguintes retas é concorrente com plano ABC?

(A) Reta FG (B) Reta EG

(C) Reta AC (D) Reta IG

2.3. Seja V o volume do prisma [ABCDEFGH] e o volume do pirâmide [EFGHI].

Admita que a altura da pirâmide é a quarta parte da altura do prisma.

Qual é o valor do quociente ?

Ficha de revisão 4Nome da Escola Ano letivo 20 /20 Matemática A | 10.º ano

Nome do Aluno Turma N.º Data

Professor / /20

Ficha de revisão 4

3. Na figura está representado um prisma hexagonal regular [ABCDEFGHIJKL].

Sabe-se que e .

3.1. Determine o valor exato do volume do prisma hexagonal regular [ABCDEFGHIJKL].

Apresente o resultado em cm3.

3.2. Justifique que:

3.2.1. a reta GH é paralela ao plano ABC;

3.2.2. os planos ABC e LKE são perpendiculares.

4. Na figura está representado o sólido [ABCDEFGHIJ] o qual pode ser decomposto em dois prismas retos: o paralelepípedo retângulo [ACDEFGIJ] e o prisma, cujas bases são os triângulos [ABC] e [GHI].

4.1. Indique o valor lógico das proposições seguintes.

4.1.1. A reta BC é concorrente ao plano EFJ.

4.1.2. A reta HA é concorrente ao plano EDJ.

4.1.3. Os planos ABH e EFJ são concorrentes.

4.2. Admita que:

cm

cm a altura do triângulo [ABC] relativa à base [AC] tem 6 cm de comprimento.

Determine o volume do sólido [ABCDEFGHIJ].

Apresente o resultado em m3.

Ficha de revisão 1

Nome da Escola Ano letivo 20 /20 Matemática A | 10.º ano

Nome do Aluno Turma N.º Data

Professor / /20

Miniteste 1 (20 min)

1. Na figura está representado um prisma quadrangular regular [ABCDEFGH]. Sabe-se, fixado um referencial cartesiano do espaço, que: ● as arestas do prisma são paralelas aos eixos coordenados; ● o ponto E tem coordenadas (0 , –6 , 3); ● o prisma tem altura 9. 1.1. Defina analiticamente:

1.1.1. o plano que contém a base [ABCD] do prisma; 1.1.2. o plano mediador da aresta [EA]; 1.1.3. a reta BC; 1.1.4. a aresta [DC];

1.1.5. a semirreta ; 1.1.6. a face [ADHE]. 1.2. Determine uma equação do plano mediador do segmento de reta [TR] tal que:

● T é o centro da face [CDHG]; ● R é o ponto médio da aresta [BC].

Apresente a equação pedida na forma , onde a, b, c e d são números reais.

1.3. Determine uma equação da superfície esférica de centro no centro do prisma [ABCDEFGH] tangente às faces laterais do prisma.

Item de seleção

1. Considere, fixado um referencial cartesiano do espaço, os pontos e

.O volume da esfera de diâmetro [AB] é igual a:

(A) (B) (C) (D)

Item de construção

Nome da Escola Ano letivo 20 /20 Matemática A | 10.º ano

Nome do Aluno Turma N.º Data

Professor / /20

Questão-aula 1

Teste de avaliação 1

2. Considere, fixado um referencial cartesiano do espaço, os pontos

e .

2.1. Mostre que o plano mediador do segmento de reta [AB] é definido por:

2.2. Determine os valores reais de k para os quais o ponto P pertence ao plano mediador do segmento de reta [AB].

Nome da Escola Ano letivo 20 /20 Matemática A | 10.º ano

Nome do Aluno Turma N.º Data

Professor / /20

Miniteste 2 (20 min)

1. Considere, fixado um referencial ortonormado do espaço, o ponto e o vetor

.

1.1. Escreva as equações paramétricas da reta r que tem a direção de e passa no ponto A.

1.2. Mostre que o ponto pertence à reta r.1.3. Utilizando as equações obtidas em 1.1., determine as coordenadas do ponto P,

interseção da reta r com o plano yOz.

1.4. Os pontos A e são as extremidades de um diâmetro de uma esfera de centro C. Determine as coordenadas de C e o raio dessa esfera.

2. Considere, fixado um referencial ortonormado do espaço, o segmento de reta definido por:

Determine o comprimento deste segmento de reta.

Item de seleção

1. Considere, fixado um referencial o. n. do espaço, a reta r definida por Um vetor diretor da reta r tem coordenadas:

(A) (B) (C) (D)

Item de construção2. Considere, fixado um referencial cartesiano do espaço, um prisma

quadrangular regular [ABCDEFGH] tal que os vértices ,

e pertencem a uma das bases e o vértice

pertence à outra base, como ilustra a figura ao lado.

2.1. Seja M o ponto médio da aresta [AE]. Determine as coordenadas do vetor .

Nome da Escola Ano letivo 20 /20 Matemática A | 10.º ano

Nome do Aluno Turma N.º Data

Professor / /20

Questão-aula 2

Teste de avaliação 1

2.2. Determine os números reais, a, b e c, tais que .

2.3. Determine as coordenadas do vetor .

2.4. Escreva as equações paramétricas da reta que passa em G e é paralela ao eixo Ox.

Nome da Escola Ano letivo 20 /20 Matemática A | 10.º ano

Nome do Aluno Turma N.º Data

Professor / /20

Ficha de preparação para o teste de avaliação 4

1. Considere, fixado um referencial cartesiano do espaço, a esfera definida por:

1.1. Indique o centro C e o raio da esfera.

1.2. Determine os valores reais de a para os quais a interseção da esfera com o plano de equação:

1.2.1. x = a é o conjunto vazio; 1.2.2. y = a é um ponto;

1.2.3. z = a é um círculo.

2. Na figura estão representados dois cubos, [ACDEFGHI] e [BJLMFNOP].

Sabe-se, fixado um referencial cartesiano do espaço, que:

● o ponto A tem coordenadas (–2 , –2 , 2);

● as faces inferiores dos cubos estão contidas no plano xOy;

● os cubos têm as faces paralelas aos planos coordenados;

● o vértice A do cubo menor pertence à mesma reta que o vértice B do cubo maior;

● o volume do cubo maior é oito vezes maior que o volume do cubo menor.

2.1. Defina analiticamente:

2.1.1. o plano que contém a face [DEIH] do cubo menor;

2.1.2. o plano mediador da aresta [BM] do cubo maior;

2.1.3. a reta JN;

2.1.4. a semirreta .

2.2. Determine uma equação da superfície esférica que contém os oito vértices do cubo [BJLMFNOP].

3. Na figura está representado um sólido que pode ser decomposto no cubo [ABCDEFGH] e na pirâmide triangular não regular [GIJK].

Sabe-se, fixado um referencial cartesiano do espaço, que:

● o cubo tem aresta 6;

● o ponto I é o ponto de interseção do segmento [BK] com a aresta [GF];

● o ponto J é o ponto de interseção do segmento [DK] com a aresta [GH];

● o ponto G é o ponto médio do segmento [CK];

● o ponto B tem coordenadas (1 , 4 , 2);

Ficha de preparação para o teste 1

● as faces do cubo são paralelas aos planos coordenados.

Ficha de preparação para o teste de avaliação 4

3.1. Identifique, justificando, as coordenadas do ponto I e as coordenadas do ponto J, e em seguida, determine o volume do sólido [CBDGIJ].

3.2. Determine uma equação do plano EAC.

Apresente a equação pedida na forma , com a, b, c e d números reais.

4. Considere, fixado um referencial ortonormado do espaço, os pontos A(5 , 0 , 0) e B(0 , 3 , 1), como ilustra a figura seguinte.

4.1. Mostre que a reta AB pode ser definida por:

4.2. Determine o volume do cone que resulta da rotação do triângulo [AOB] em torno do eixo Ox.

4.3. Determine as coordenadas do ponto de interseção do plano mediador do segmento de reta [AB] com o eixo Oz.

5. Na figura está representado o paralelepípedo [ABCDEFGH].

Sabe-se, fixado um referencial ortonormado do espaço, que:

● a condição define o paralelepípedo [ABCDEFGH];

● as faces do paralelepípedo [ABCDEFGH] são paralelas aos planos coordenados.

5.1. Determine um sistema de equações paramétricas para definir a reta AG e, em seguida, determine as coordenadas do ponto em que esta reta interseta o plano xOy.

5.2. Determine a equação reduzida da superfície esférica de diâmetro [DF].

Ficha de preparação para o teste 1

Nome da Escola Ano letivo 20 /20 Matemática A | 10.º ano

Nome do Aluno Turma N.º Data

Professor / /20

Teste de avaliação 4 (90 min)

1. Considere, fixado um referencial do espaço, os pontos .

Sabe-se que . Qual dos seguintes pode ser o valor de a?

(A) (B) 5 (C) (D)

2. Considere, fixado um referencial cartesiano do espaço, os pontos ,

e .O plano que contém os pontos A, B e C é:(A) paralelo ao plano xOz; (B) perpendicular ao eixo Ox;(C) perpendicular ao eixo Oz; (D) paralelo ao plano de equação y = 0.

3. Considere, fixado um referencial do espaço, a esfera definida por

e o plano definido pela equação .

A interseção da esfera com o plano é:(A) um círculo de centro no ponto de coordenadas (–1 , 3 , 2) e raio 3;(B) o conjunto vazio;(C) o ponto de coordenadas (–4 , 3 , 2);(D) um círculo de centro no ponto de coordenadas (–4 , 3 , 2) e raio 3.

4. Considere, fixado um referencial cartesiano do espaço, a esfera definida por:

A área da secção obtida na esfera por um plano que passa pelo seu centro é igual a:

(A) (B) (C) (D)

5. Considere, fixado um referencial ortonormado do espaço, a reta t definida por:

Quais são as coordenadas do ponto de interseção da reta t com o plano xOz?

(A) (B) (C) (D)

6. Considere, fixado um referencial ortonormado do espaço, os pontos e

tal que [AB] é um diâmetro de uma superfície esférica S.Qual das seguintes opções corresponde à equação reduzida da superfície esférica S?

Teste de avaliação 4 (90 min)

(A) (B)

(C) (D)

Teste de avaliação 4 (90 min)

7. Considere, fixado um referencial ortonormado do espaço, os pontos e

. Qual das seguintes é uma equação vetorial do segmento de reta [AB]?

(A)

(B)

(C)

(D)

8. Na figura está representada uma pirâmide quadrangular regular [VOABC].

Sabe-se, fixado um referencial cartesiano do espaço, que:

● o ponto A pertence ao eixo Ox;

● o ponto C pertence ao eixo Oy;

● é uma equação da superfície esférica S que tem centro no ponto V e que contém os quatro vértices da base da pirâmide [VOABC];

● o quadrado [DEFG] é a secção produzida na pirâmide [VOABC] por um plano paralelo ao plano xOy;

● o volume da pirâmide [VDEFG] é a oitava parte do volume da pirâmide [VOABC].

8.1. Indique o centro e o raio da superfície esférica S.

8.2. Determine as coordenadas de A, B e C.

8.3. Determine as coordenadas dos vértices da base da pirâmide [VDEFG].

8.4. Defina analiticamente:

8.4.1. o plano mediador do segmento de reta [DV];

Teste de avaliação 4 (90 min)

8.4.2. a linha descrita pelo ponto V quando a pirâmide [VOABC] dá uma volta completa em torno da aresta [AO].

Teste de avaliação 4 (90 min)

9. Considere, fixado um referencial ortonormado do espaço, o vetor .

Determine as coordenadas do vetor colinear a , com o mesmo sentido e de norma .

10. Considere, fixado um referencial ortonormado do espaço, os pontos e

.

10.1. Determine as coordenadas do ponto do eixo Ox equidistante de A e de B.

10.2. Escreva um sistema de equações paramétricas para definir a reta AB e em seguida determine, caso existam, as coordenadas do ponto de interseção desta reta com o eixo Oy.

11. Na figura está representado um prisma triangular regular [ABCDEF].

Sabe-se, fixado um referencial ortonormado do espaço, que:

● o ponto A tem coordenadas ;

● o ponto C tem coordenadas ;

● o volume do prisma triangular regular [ABCDEF] é igual a 36 unidades cúbicas.

11.1. Determine as coordenadas de B, D, E e F.

11.2. Defina analiticamente a face [ACDF].

11.3. Determine equações paramétricas da reta AF.

11.4. Defina analiticamente o segmento da reta [DE].