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A c t i v e A x l e t r e e S u s p e n s i o n f o r R o a d V e h i c l e s w i t h
G a i n - S w i t c h i n g
A l e s s a n d r o G i u a , C a r l a S e a t z u , G i a m p a o l o U s a i ,
D i p . d i I n g e g n e r i a E l e t t r i c a e d E l e t t r o n i c a , U n i v e r s i t a d i C a g l i a r i ,
P i a z z a d ' A r m i | 0 9 1 2 3 C a g l i a r i , I t a l y
P h o n e : + 3 9 - 7 0 - 6 7 5 . 5 8 . 5 3 { F a x : + 3 9 - 7 0 - 6 7 5 . 5 9 . 0 0 { E m a i l : f g i u a , s e a t z u , g u s a i g @ d i e e . u n i c a . i t .
A b s t r a c t
I n t h i s p a p e r w e r e a l i z e t h e d e s i g n o f a n a c t i v e { p a s s i v e
s u s p e n s i o n s y s t e m f o r t h e a x l e t r e e o f a r o a d v e h i c l e
b a s e d o n a l i n e a r m o d e l w i t h f o u r d e g r e e s o f f r e e d o m .
T h e o p t i m a l c o n t r o l l a w w e p r o p o s e a i m s t o o p t i m i z e t h e
s u s p e n s i o n p e r f o r m a n c e w h i l e e n s u r i n g t h a t t h e m a g n i -
t u d e o f t h e f o r c e s g e n e r a t e d b y t h e t w o a c t u a t o r s a n d t h e
t o t a l f o r c e s a p p l i e d b e t w e e n w h e e l a n d b o d y n e v e r e x c e e d
g i v e n b o u n d s . W e d e r i v e a s o l u t i o n t h a t t a k e s t h e f o r m
o f a n a d a p t i v e c o n t r o l l a w t h a t s w i t c h e s b e t w e e n d i e r -
e n t c o n s t a n t s t a t e f e e d b a c k g a i n s . T h e r e s u l t s o f o u r
s i m u l a t i o n s s h o w t h a t t h e b o u n d o n t h e a c t i v e f o r c e s i s
a d e s i g n p a r a m e t e r u s e f u l f o r e s t a b l i s h i n g a t r a d e - o
b e t w e e n p e r f o r m a n c e a n d p o w e r r e q u i r e m e n t .
1 I n t r o d u c t i o n
T h e s u s p e n s i o n s y s t e m o f m o s t v e h i c l e s i s p u r e l y p a s -
s i v e , i . e . , c a n b e s c h e m a t i z e d a s c o m p o s e d o f p a s s i v e
e l e m e n t s , e . g . , d a m p e r s a n d s p r i n g s .
I n a n a c t i v e s u s p e n s i o n t h e i n t e r a c t i o n b e t w e e n v e h i c l e
b o d y a n d w h e e l i s r e g u l a t e d b y a n a c t u a t o r o f v a r i a b l e
l e n g t h . T h e a c t u a t o r i s u s u a l l y h y d r a u l i c a l l y c o n t r o l l e d
a n d a p p l i e s b e t w e e n b o d y a n d w h e e l a f o r c e t h a t r e p -
r e s e n t s t h e c o n t r o l a c t i o n g e n e r a l l y d e t e r m i n e d w i t h a n
o p t i m i z a t i o n p r o c e d u r e .
A c t i v e s u s p e n s i o n s 2 , 8 , 9 ] h a v e b e t t e r p e r f o r m a n c e
t h a n p a s s i v e s u s p e n s i o n s . H o w e v e r , t h e a s s o c i a t e d
p o w e r , t h a t m u s t b e p r o v i d e d b y t h e v e h i c l e e n g i n e ,
m a y r e a c h t h e o r d e r o f s e v e r a l 1 0 K W 7 ] d e p e n d i n g
o n t h e r e q u i r e d p e r f o r m a n c e . A s a v i a b l e a l t e r n a t i v e
t o a p u r e l y a c t i v e s u s p e n s i o n s y s t e m , t h e u s e o f m i x e d
a c t i v e { p a s s i v e s u s p e n s i o n s ( a n a c t u a t o r i n p a r a l l e l w i t h
a p a s s i v e s u s p e n s i o n ) h a s b e e n c o n s i d e r e d 1 , 4 , 7 ] . S u c h
a s y s t e m r e q u i r e s a l o w e r p o w e r c o n t r o l l e r . F u r t h e r -
m o r e , e v e n i n c a s e o f m a l f u n c t i o n i n g o f t h e a c t i v e s u b -
s y s t e m t h e v e h i c l e n e e d s n o t h a l t b e c a u s e t h e p a s s i v e
s u s p e n s i o n c a n s t i l l f u n c t i o n .
I n t h i s p a p e r w e r s t c o n s i d e r a l i n e a r m a t h e m a t i c a l
m o d e l o f t h e a x l e t r e e s u s p e n s i o n s y s t e m s c h e m a t i z e d
i n g u r e 1 . T h e n , w e p r o p o s e a n o p t i m a l c o n t r o l l a w
f o r a c t i v e - p a s s i v e s u s p e n s i o n s t h a t a i m s t o o p t i m i z e t h e
s y s t e m p e r f o r m a n c e w h i l e e n s u r i n g t h a t t h e m a g n i t u d e
o f t h e f o r c e s g e n e r a t e d b y t h e a c t u a t o r s n e v e r e x c e e d
a d e s i r e d v a l u e u
m a x
a n d t h e m a g n i t u d e o f t h e t o t a l
f o r c e s a p p l i e d b e t w e e n w h e e l a n d b o d y n e v e r e x c e e d a
d e s i r e d v a l u e u
T m a x
.
T h i s o p t i m i z a t i o n p r o b l e m t a k e s t h e f o r m :
x4
x8
x3
x2 x6
x7
x1x5ft
ft
KKff
Kb
M2,J2
M1 M1
u1 u2
wL wR
F i g u r e 1 : M i x e d s u s p e n s i o n .
m i n J =
P
1
k = 0
x
T
( k ) Q x ( k )
s . t .
( a ) x ( k + 1 ) = G x ( k ) + H u ( k )
( b ) j u
i
( k ) j u
m a x
i = 1 2
( b
0
) j u
i
( k ) ; u
p i
( k ) j u
T m a x
i = 1 2
( 1 )
w h e r e x i s t h e s y s t e m s t a t e , u i s a v e c t o r w h o s e c o m p o -
n e n t s a r e t h e c o n t r o l f o r c e s p r o v i d e d b y t h e a c t u a t o r s ,
u
p
; k
p
x i s a v e c t o r w h o s e c o m p o n e n t s a r e t h e f o r c e s
g e n e r a t e d b y t h e p a s s i v e s u s p e n s i o n s , a n d u
T
u ; k
p
x
i s t h e v e c t o r o f t o t a l f o r c e s . T h e o p t i m a l s o l u t i o n o f t h i s
p r o b l e m i s d e n o t e d u
.
T h e p e r f o r m a n c e o f t h e s u s p e n s i o n s y s t e m i s r e l a t e d t o
t h e m i n i m i z a t i o n o f t h e t e r m x
T
Q x . T h e c o n s t r a i n t
( b ) o n t h e a c t i v e f o r c e s l i m i t s t h e m a x i m a l f o r c e r e -
q u i r e d f r o m e a c h c o n t r o l l e r , i . e . , i t l e a d s t o t h e c h o i c e
o f s u i t a b l e a c t u a t o r s . T h e c o n s t r a i n t ( b ' ) o n t h e t o t a l
f o r c e s b o u n d s t h e a c c e l e r a t i o n o f t h e s p r u n g m a s s e s s o
a s t o e n s u r e t h e c o m f o r t o f p a s s e n g e r s a n d t o r e d u c e
t h e r i s k o f l o s s o f c o n t a c t b e t w e e n w h e e l a n d r o a d .
T h e m a i n p r o b l e m w i t h t h i s a p p r o a c h i s t h a t i n g e n -
e r a l t h e l a w u
c a n n o t b e i m p l e m e n t e d a s a f e e d b a c k
l a w w i t h c o n s t a n t g a i n s a n d i t i s d i c u l t t o c o m p u t e
1 0 ] . T h u s i t s i m p l e m e n t a t i o n o n o n - b o a r d c o n t r o l l e r s
i s u n f e a s i b l e .
A v a l i d s o l u t i o n t o a n o p t i m i z a t i o n p r o b l e m o f t h e f o r m
( 1 ) w i t h o n l y o n e c o n s t r a i n t o f t h e f o r m ( b ) a n d w i t h
s c a l a r i n p u t u , h a s b e e n p r o p o s e d b y Y o s h i d a e t a l . i n
1 1 ] . T h e p r o p o s e d m e t h o d o l o g y c o n s i s t s i n t h e a p p r o x -
i m a t i o n o f t h e o p t i m a l l a w u
b y m e a n s o f a n a d a p t i v e
c o n t r o l l e r t h a t s w i t c h e s b e t w e e n d i e r e n t c o n s t a n t s t a t e
f e e d b a c k g a i n s . E a c h k
%
i s t h e s t a t e f e e d b a c k g a i n t h a t
g i v e s t h e u n c o n s t r a i n e d o p t i m a l f e e d b a c k l a w t h a t m i n -
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i m i z e s a p e r f o r m a n c e i n d e x o f t h e f o r m
J
%
=
1
X
k = 0
% x
T
( k ) Q x ( k ) + r u
2
( k )
w h e r e % b e l o n g s t o a d i s c r e t e s e t . Y o s h i d a p r o v i d e s a
s i m p l e a l g o r i t h m f o r c h o o s i n g t h e s u i t a b l e % ( i . e . , s u i t -
a b l e g a i n s ) a s a f u n c t i o n o f t h e p r e s e n t s y s t e m s t a t e
w h i l e a l w a y s e n s u r i n g t h a t j u j u
m a x
h o l d s . W h e n t h e
s y s t e m s t a t e i s f a r f r o m t h e o r i g i n a l a r g e % ( i . e . , s m a l l
g a i n s ) i s s e l e c t e d , w h i l e f o r s m a l l d i s t u r b a n c e s a s m a l l %
( i . e . , l a r g e g a i n s ) m a y b e u s e d . Y o s h i d a ' s p r o c e d u r e c a n
a l s o e n s u r e t h e s t a b i l i t y o f t h e g a i n { s c h e d u l e d s y s t e m :
t h i s i s a n i m p o r t a n t i s s u e b e c a u s e i n g e n e r a l s t a b i l i t y
o f a s y s t e m c o n t r o l l e d b y g a i n { s c h e d u l i n g i s d i c u l t t o
p r o v e .
I n t h i s p a p e r w e u s e a n e x t e n s i o n o f Y o s h i d a ' s p r o c e -
d u r e r s t l y p r o p o s e d b y t h e a u t h o r s i n 6 ] w h e r e t h e
i n p u t i s n o t n e c e s s a r i l y a s c a l a r e n t r y a n d m o r e t h a n
o n e c o n s t r a i n t i s p r e s e n t , e a c h c o n s t r a i n t b e i n g i n g e n -
e r a l a l i n e a r c o m b i n a t i o n o f t h e i n p u t a n d o f t h e s t a t e ,
a s i t i s t h e c a s e w i t h c o n s t r a i n t ( b ' ) o f ( 1 ) . W e c a l l t h e
c o r r e s p o n d i n g l a w O p t i m a l G a i n S w i t c h i n g ( O G S ) a n d
d e n o t e i t u
O G S
.
W h e n c o m p a r e d w i t h t h e L Q R c o n t r o l l e r 1 , 2 , 9 ] ,
t h e O G S c o n t r o l l e r h a s t w o f u n d a m e n t a l a d v a n t a g e s .
F i r s t l y , i t e n s u r e s a b o u n d o n t h e m a g n i t u d e o f t h e
f o r c e s t h a t e a c h a c t u a t o r n e e d s t o p r o v i d e . A s w e i m -
p o s e m o r e s t r i c t b o u n d s o n t h e m a g n i t u d e o f t h e a c t i v e
f o r c e s , w e h a v e w o r s e p e r f o r m a n c e i n t e r m s o f s p r u n g
m a s s d i s p l a c e m e n t . T h u s , t h i s b o u n d c a n b e s e e n a s a
d e s i g n p a r a m e t e r t o e s t a b l i s h a t r a d e - o b e t w e e n g o o d
p e r f o r m a n c e a n d p o w e r r e q u i r e m e n t . S e c o n d l y , w h i l e
L Q R c o n t r o l l e r s r e a l i z e a p a r t i c u l a r t r a d e - o b e t w e e n
p e r f o r m a n c e ( t e r m x
T
Q x ) a n d c o m f o r t ( t h a t d e p e n d s
o n t h e t o t a l f o r c e s ) , t h e O G S c o n t r o l l e r s a d a p t t h e
t r a d e - o t o d i e r e n t r o a d c o n d i t i o n s a n d c a r v e l o c i t i e s ,
a p p l y i n g d i e r e n t c o n t r o l l a w s d e p e n d i n g o n t h e m a g -
n i t u d e o f t h e d i s t u r b a n c e .
2 O p t i m a l G a i n S w i t c h i n g P r o c e d u r e
L e t
x ( k + 1 ) = G x ( k ) + H u ( k ) ( 2 )
b e a l i n e a r t i m e - i n v a r i a n t d y n a m i c s y s t e m , w h e r e x 2
R
n
i s t h e s y s t e m ' s s t a t e , u 2 R
m
i s t h e s y s t e m i n p u t ,
G 2 R
n n
a n d H 2 R
n m
.
L e t u s c o n s i d e r t h e f o l l o w i n g o p t i m i z a t i o n p r o b l e m :
m i n J =
1
X
k = 0
x
T
( k ) Q x ( k )
s . t .
( a ) x ( k + 1 ) = G x ( k ) + H u ( k )
( b ) j
T
j
u ( k ) +
T
j
x ( k ) j
j
k 0
j = 1 : : : p
( 3 )
w h e r e Q i s p o s i t i v e s e m i d e n i t e ,
j
2 R
m
a n d
j
2
R
n
. I n t h i s p r o b l e m , i n a d d i t i o n t o c o n s t r a i n t ( a ) t h a t
r e p r e s e n t s t h e s y s t e m ' s d y n a m i c s , w e h a v e p c o n s t r a i n t s
o f t h e f o r m ( b ) : e a c h o n e l i m i t s t h e m a g n i t u d e o f a
l i n e a r c o m b i n a t i o n o f t h e i n p u t a n d o f t h e s t a t e e n t r i e s .
T h i s o p t i m a l c o n t r o l p r o b l e m h a s a l r e a d y b e e n s t u d i e d
i n t h e p a r t i c u l a r c a s e o f a s c a l a r i n p u t a n d a s i n g l e c o n -
s t r a i n t ( p = 1 ) o n t h e i n p u t m a g n i t u d e (
1
= 1
1
=
0 ) . I n s u c h a c a s e t h e c o n s t r a i n t t a k e s t h e s i m p l e r f o r m :
j u ( k ) j k 0 : ( 4 )
W o n h a m a n d J o h n s o n 1 0 ] d e m o n s t r a t e d t h a t i n t h i s
c a s e t h e o p t i m a l s o l u t i o n u
( ) d o e s n o t c o r r e s p o n d i n
g e n e r a l t o a f e e d b a c k c o n t r o l l a w a n d f u r t h e r m o r e , i t s
c o m p u t a t i o n i s q u i t e b u r d e n s o m e . Y o s h i d a e t a l . 1 1 ]
h a v e p r o p o s e d a s i m p l e p r o c e d u r e t h a t a p p r o x i m a t e s
s u c h o p t i m a l c o n t r o l l a w u
( ) b y s w i t c h i n g a m o n g f e e d -
b a c k c o n t r o l l a w s w h o s e g a i n s c a n b e c o m p u t e d s o l v i n g
a f a m i l y o f L Q R p r o b l e m s .
I n t h i s p a p e r w e u s e a n e x t e n s i o n o f Y o s h i d a ' s p r o c e -
d u r e t o s o l v e t h e m o r e g e n e r a l p r o b l e m ( 3 ) r s t l y p r o -
p o s e d b y t h e a u t h o r s i n 6 ] . W e c a l l t h i s p r o c e d u r e
O p t i m a l G a i n S w i t c h i n g ( O G S ) a n d t h e c o r r e s p o n d i n g
f e e d b a c k l a w w i l l b e d e n o t e d a s u
O G S
( ) .
2 . 1 S i n g l e c o n s t r a i n t
L e t u s c o n s i d e r a l i n e a r t i m e - i n v a r i a n t s y s t e m o f t h e
f o r m ( 2 ) a n d t h e c o r r e s p o n d i n g o p t i m i z a t i o n p r o b l e m o f
t h e f o r m ( 3 ) w i t h a s i n g l e c o n s t r a i n t ( b ) . F u r t h e r m o r e ,
l e t u s c o n s i d e r a f a m i l y o f p e r f o r m a n c e i n d e x e s J
%
o f
t h e f o r m
J
%
=
1
X
k = 0
% x
T
( k ) Q x ( k ) + u
T
( k ) R u ( k ) : ( 5 )
F o r a g i v e n v a l u e o f % t h e u n c o n s t r a i n e d c o n t r o l l a w
u
%
( ) t h a t m i n i m i z e s J
%
f o r s y s t e m ( 2 ) c a n b e w r i t t e n
a s
u
%
( k ) = ; k
%
x ( k ) ( 6 )
w h e r e t h e g a i n m a t r i x k
%
c a n b e c o m p u t e d b y s o l v i n g
a n a l g e b r a i c R i c c a t i e q u a t i o n . F u r t h e r m o r e , f o r e v e r y
g a i n f a c t o r % i t i s p o s s i b l e t o c o m p u t e a l i n e a r r e g i o n
;
%
i n t h e s t a t e s p a c e s u c h t h a t f o r a n y p o i n t x
0
w i t h i n
t h i s r e g i o n t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n h o l d s 8 k 0 :
j
T
u
%
( k ) +
T
x ( k ) j j ( ;
T
k
%
+
T
)
G
k
%
x
0
j ( 7 )
w h e r e
G
%
= G ; H k
%
. T h u s , i f w e c o n s i d e r t h e s y s t e m
( 2 ) w i t h c o n t r o l f e e d b a c k l a w u
%
a n d a n i n i t i a l s t a t e
x
0
2 ;
%
w e c a n b e s u r e t h a t i n i t s f u t u r e e v o l u t i o n t h e
v a l u e o f t h e c o n t r o l i n p u t a n d o f t h e s t a t e a r e s u c h t h a t
e q u a t i o n ( 3 . b ) i s a l w a y s s a t i s e d .
T h e f o l l o w i n g p r o p o s i t i o n a n d c o n s t r u c t i v e a l g o r i t h m
p r o v i d e a s i m p l e p r o c e d u r e t o d e t e r m i n e i f x
0
2 ;
%
.
P r o o f s a r e o m i t t e d h e r e b e c a u s e t h e y a r e s i m i l a r t o
t h o s e r e p o r t e d i n 1 1 ] a l t h o u g h w e c o n s i d e r t h e c a s e
o f a m o r e g e n e r a l c o n s t r a i n t o f t h e f o r m ( 3 . b ) .
P r o p o s i t i o n 1 . L e t ;
%
b e a l i n e a r r e g i o n d e n e d a s
a b o v e a n d x
0
a g e n e r i c i n i t i a l s t a t e v e c t o r . T h e r e e x i s t s
a n i t e q
%
2 N s u c h t h a t x
0
2 ;
%
i e q u a t i o n ( 7 ) i s
s a t i s e d f o r k = 0 1 q
%
.
T h e v a l u e o f q
%
c a n b e e a s i l y c o m p u t e d . I n f a c t , l e t u s
d e n e f o r k 2 N t h e s e q u e n c e o f v e c t o r s z
T
k
= ( ;
T
k
%
+
T
)
G
k
%
a n d l e t
C ( z
0
z
q
) : =
f z = a
0
z
0
+ + a
q
z
q
j j a
0
j + + j a
q
j 1 g
b e t h e s e t o f c o n v e x c o m b i n a t i o n s o f t h e v e c t o r s z
0
,
, z
q
.
8/6/2019 00cdc_b
3/6
I n 1 1 ] i t w a s p r o v e d t h a t q
%
i s t h e s m a l l e s t n o n n e g a t i v e
i n t e g e r s u c h t h a t z
q
%
+ 1
2 C ( z
0
z
q
%
) . F u r t h e r m o r e ,
t o c h e c k i f a v e c t o r z b e l o n g s t o C ( z
0
z
q
) w e m a y
c o m p u t e t h e n ( 2 q + 2 ) m a t r i x D : =
z
0
z
1
: : :
z
2 q + 1
]
w h e r e
z
i
: = z
i
; z
z
i + q + 1
: = ; z
i
; z
i = 0 : : : q
a n d s o l v e t h e f o l l o w i n g l i n e a r p r o g r a m m i n g p r o b l e m
( L P P ) w h e r e w e h a v e d e n o t e d 1 a v e c t o r o f 1 ' s
m a x 1
T
y
s . t .
D y = 0
y 0 :
T h e v e c t o r z b e l o n g s t o C ( z
0
z
q
) i t h e o p t i m a l
s o l u t i o n o f t h i s L P P i s u n b o u n d e d .
T h u s , h a v i n g c o m p u t e d t h e v a l u e o f q
%
, i f w e c h o o s e
Z
%
=
1
2
6
6
6
4
z
T
0
z
T
1
.
.
.
z
T
q
%
3
7
7
7
5
:
w e h a v e t h a t x
0
2 ;
%
i f a n d o n l y i f
; 1 Z
%
x
0
1 :
T h e c o n t r o l p r o c e d u r e c a n b e b r i e y s u m m a r i z e d a s
f o l l o w s . A s e t o f L Q R o p t i m a l f e e d b a c k g a i n s c o r r e -
s p o n d i n g t o d i e r e n t w e i g h t i n g f a c t o r s i n t h e q u a d r a t i c
f u n c t i o n J
%
i s c h o s e n , a n d t h e n , a t e a c h s a m p l i n g i n -
s t a n t , t h e h i g h e s t g a i n % s u c h t h a t t h e c u r r e n t s t a t e
x ( k ) b e l o n g s t o ;
%
i s a p p l i e d . N o t e t h a t i n Y o s h i d a ' s
a p p r o a c h t h e s w i t c h i n g o f g a i n s l e a d s t o a m o n o t o n i -
c a l l y n o n d e c r e a s i n g s e q u e n c e o f % i f w e a s s u m e n o e x -
t e r n a l d i s t u r b a n c e i s a c t i n g o n t h e s y s t e m . T h i s i s t h e
e s s e n t i a l f e a t u r e o f t h e m e t h o d a n d a l l o w s u s t o e x -
t e n d t o t h e O G S l a w t h e s t a b i l i t y p r o p e r t y e n j o y e d b y
L Q R c o n t r o l l a w s , w h i l e r e d u c i n g t h e p e r f o r m a n c e i n -
d e x
1
X
k = 0
x ( k )
T
Q x ( k ) w i t h r e s p e c t t o a x e d g a i n .
A n a l c o m m e n t r e g a r d i n g t h e O G S p r o c e d u r e . E a c h
g a i n m a t r i x i s c o m p u t e d f o r a n i n n i t e t i m e h o r i z o n
s o l v i n g a n a l g e b r a i c R i c c a t i e q u a t i o n , b u t i s u s e d o n l y
f o r a n i t e t i m e h o r i z o n ( w i t h t h e e x c e p t i o n o f t h e g a i n
m a t r i x c o r r e s p o n d i n g t o t h e h i g h e s t % ) . T h e i d e a o f
c o m p u t i n g t h e O G S g a i n s f o r a n i t e h o r i z o n ( s o l v i n g
a d y n a m i c R i c c a t i e q u a t i o n ) i s n o t p r a c t i c a l , b e c a u s e
t h e s w i t c h i n g t i m e s a r e n o t e a s y t o c o m p u t e a n d t h i s
l a w w o u l d l e a d t o t i m e - v a r y i n g g a i n s .
2 . 2 M u l t i p l e c o n s t r a i n t s
N o w , l e t u s c o n s i d e r t h e m u l t i p l e c o n s t r a i n t o p t i m i z a -
t i o n p r o b l e m o f t h e f o r m ( 3 ) . I n s u c h a c a s e t h e s a m e
d i s c u s s i o n a s a b o v e c a n b e r e p e a t e d f o r e v e r y c o n -
s t r a i n t . S o w e c a n d e n e :
Z
%
=
2
6
6
4
Z
% 1
Z
% 2
.
.
.
Z
% p
3
7
7
5
Z
% j
=
1
j
2
6
6
6
4
;
T
j
k
%
+
T
j
( ;
T
j
k
%
+
T
j
)
G
%
.
.
.
( ;
T
j
k
%
+
T
j
)
G
q
% j
%
3
7
7
7
5
w h e r e e a c h m a t r i x Z
% j
i s r e l a t i v e t o t h e j { t h c o n s t r a i n t
o f t y p e ( 3 . b ) . N o t e , h o w e v e r , t h a t i n g e n e r a l t h e m a t r i x
Z
%
m a y h a v e r e d u n d a n t r o w s ( i . e . , r o w s t h a t b e l o n g t o
t h e c o n v e x c o m b i n a t i o n o f t h e o t h e r o n e s ) a n d t h a t c a n
b e d e t e r m i n e d s o l v i n g a n L P P a s o u t l i n e d a b o v e . W e
d i s c a r d t h e r e d u n d a n t r o w s t h u s o b t a i n i n g a m a t r i x o f
~q r o w s t h a t w e c a l l
~
Z
%
. A s i n t h e s i n g l e c o n s t r a i n t
p r o b l e m w e h a v e t h a t
; 1
~
Z
%
x
0
1 , x
0
2
p
\
j = 1
;
% j
:
W e p r o p o s e t o c h o o s e , a t e a c h s a m p l i n g i n s t a n t , t h e
h i g h e s t g a i n % f r o m a g i v e n n i t e s e t , s u c h t h a t t h e
c u r r e n t s t a t e x b e l o n g s t o ;
%
=
T
p
j = 1
;
% j
. T h e r e f o r e ,
t h e c o n t r o l p r o c e d u r e c o n s i s t s i n t w o p h a s e s a n d c a n b e
b r i e y s u m m a r i z e d w i t h t h e f o l l o w i n g a l g o r i t h m .
A l g o r i t h m 2 . O p t i m a l G a i n S w i t c h i n g ( O G S ) . T h e
a l g o r i t h m i s d i v i d e d i n t o o - l i n e a n d o n - l i n e p o r t i o n s .
O - l i n e p h a s e
1 . C h o o s e a n i t e s e t o f r v a l u e s f o r % , n a m e l y
f %
1
%
2
: : : %
r
g , w i t h %
1
< %
2
< %
r
.
2 . D e t e r m i n e f o r e a c h %
i
t h e c o r r e s p o n d i n g g a i n m a -
t r i x k
%
i
b y s o l v i n g a n L Q R p r o b l e m w i t h p e r f o r -
m a n c e i n d e x o f t h e f o r m ( 5 ) .
3 . C o n s t r u c t f o r e a c h
i
t h e c o r r e s p o n d i n g m a t r i x
~
Z
%
, f o l l o w i n g t h e p r o c e d u r e d e s c r i b e d a b o v e .
O n - l i n e p h a s e
1 . L e t k : = 0 .
2 . L e t % : = m a x
i
f %
i
j x ( k ) 2
T
p
j = 1
;
%
i
j
g .
3 . S e t u p t h e c o n t r o l a c c o r d i n g t o u ( k ) = ; k
%
x ( k ) .
4 . P u t k : = k + 1 a n d r e t u r n t o S t e p 2 .
I f t h e i n i t i a l s t a t e x ( 0 ) 2 ;
%
f o r % 2 f %
1
%
r
g , t h e n
w e c a n b e s u r e t h a t , i n t h e a b s e n c e o f e x t e r n a l d i s t u r -
b a n c e s , a t S t e p 3 o f t h e o n - l i n e p h a s e a v a l u e % a l w a y s
e x i s t s . I n f a c t , t h e v a l u e o f % d e t e r m i n e d a t t h e p r e v i -
o u s i t e r a t i o n c a n s t i l l b e u s e d i f a h i g h e r v a l u e c a n n o t
b e f o u n d . T h u s w e c a n b e s u r e t h a t i n t h e a b s e n c e o f
e x t e r n a l d i s t u r b a n c e s t h e s w i t c h i n g o f f e e d b a c k g a i n s
l e a d s t o a m o n o t o n i c a l l y n o n d e c r e a s i n g v a l u e o f % , s o
s t a b i l i t y i s e n s u r e d .
I t i s i m p o r t a n t t o h i g h l i g h t t h e a d v a n t a g e s a n d l i m -
i t s o f t h e O G S c o n t r o l s c h e m e . I t h a s b e e n s h o w n b y
Y o s h i d a , i n t h e c a s e o f a s i n g l e c o n s t r a i n t o f t h e f o r m
( 4 ) , t h a t t h e c o n t r o l l a w u
O G S
( ) l e a d s t o v a l u e s o f t h e
p e r f o r m a n c e i n d e x i n ( 3 ) t h a t a r e c l o s e t o t h e a b s o l u t e
m i n i m u m g i v e n b y t h e o p t i m a l c o n t r o l l a w u
( ) . I n
t h e f o l l o w i n g w e w i l l s h o w , b y n u m e r i c a l s i m u l a t i o n s ,
t h a t t h e s a m e c o n c l u s i o n s a r e s t i l l v a l i d i n p r e s e n c e o f
m u l t i p l e c o n s t r a i n t s .
T h e c o m p u t a t i o n a l c o m p l e x i t y o f t h e O G S c o n t r o l l a w
w a r r a n t s c o m m e n t . T h e m o s t b u r d e n s o m e p a r t o f t h i s
p r o c e d u r e i s t h e o - l i n e p h a s e , w h e r e t h e m a t r i c e s Z
% j
a r e c o m p u t e d . D u r i n g t h e o n - l i n e p h a s e , i t i s n e c e s s a r y
t o c o m p u t e a t m o s t r p m a t r i x p r o d u c t s Z
%
i
j
x ( k )
a t e a c h s a m p l i n g i n s t a n t k . T h e n u m b e r o f r o w s o f t h e
d i e r e n t Z
%
i
j
i s n o t c o n s t a n t a n d i s e q u a l t o q
%
i
j
+ 1 . I n
S e c t i o n 5 , w e w i l l d i s c u s s t h e c o m p u t a t i o n a l c o m p l e x i t y
r e l a t i v e t o t h e d e t e r m i n a t i o n o f t h e O G S c o n t r o l l a w .
8/6/2019 00cdc_b
4/6
x4
x8
x3
x2 x6
x7
x1x5ft
ft
M2,J2
M1 M1
uT1uT2
wL wR
F i g u r e 2 : A c t i v e s u s p e n s i o n .
3 D y n a m i c a l m o d e l o f t h e s u s p e n s i o n s y s t e m
W e r e f e r t o t h e c o m p l e t e l y a c t i v e s u s p e n s i o n w i t h f o u r
d e g r e e s o f f r e e d o m s c h e m a t i z e d i n g u r e 2 . W e u s e d t h e
f o l l o w i n g n o t a t i o n : M
1
i s t h e e q u i v a l e n t u n s p r u n g m a s s
o f t h e w h e e l a n d o f t h e m o v i n g p a r t s o f t h e s u s p e n s i o n
c o n n e c t e d t h e r e t o M
2
i s t h e s p r u n g m a s s , i . e . , t h e p a r t
o f t h e w h o l e b o d y m a s s a n d t h e l o a d m a s s p e r t a i n i n g t o
t h e a x l e t r e e J
2
i s t h e m o m e n t o f i n e r t i a o f t h e s p r u n g
m a s s w i t h r e s p e c t t o t h e b a r y c e n t r i c a x i s p e r p e n d i c u -
l a r t o t h e d r a w i n g p l a n e i s t h e e l a s t i c c o n s t a n t o f
t h e t i r e f
t
i s t h e c o e c i e n t t h a t t a k e s i n t o a c c o u n t
t h e d a m p i n g o f t h e t i r e 2 d i s t h e w h e e l { t r a c k x
1
( t ) ,
x
3
( t ) , x
5
( t ) , x
7
( t ) r e p r e s e n t t h e d e f o r m a t i o n s w i t h r e -
s p e c t t o t h e s t a t i c e q u i l i b r i u m c o n g u r a t i o n , t a k e n a s
p o s i t i v e i f t h e y a r e e l o n g a t i o n s , o f t h e l e f t t i r e , l e f t s u s -
p e n s i o n , r i g h t t i r e a n d r i g h t s u s p e n s i o n , r e s p e c t i v e l y
x
2
( t ) , x
6
( t ) , x
4
( t ) r e p r e s e n t t h e a b s o l u t e v e r t i c a l v e -
l o c i t i e s , t a k e n a s p o s i t i v e i f d i r e c t e d u p w a r d s , o f t h e
b a r y c e n t r e s o f t h e u n s p r u n g l e f t a n d r i g h t { h a n d m a s s
a n d s p r u n g m a s s r e s p e c t i v e l y x
8
( t ) r e p r e s e n t s t h e a n -
g u l a r v e l o c i t y , t a k e n a s p o s i t i v e w h e n c l o c k w i s e , o f t h e
s p r u n g m a s s u
T 1
, u
T 2
r e p r e s e n t t h e l e f t a n d r i g h t t o t a l
c o n t r o l f o r c e s r e s p e c t i v e l y .
T h e a b o v e s y s t e m c a n b e m o d e l e d w i t h t h e f o l l o w i n g
e q u a t i o n
_
x ( t ) = A x ( t ) + B u
T
( t ) ( 8 )
w h e r e x ( t ) 2 R
8
i s t h e s t a t e , u
T
( t ) 2 R
2
i s t h e c o n t r o l
i n p u t , A 2 R
8 8
a n d B 2 R
8 2
a r e c o n s t a n t m a t r i c e s
6 ] .
4 D e s i g n o f a n a c t i v e - p a s s i v e s u s p e n s i o n
A c o m p l e t e l y a c t i v e s u s p e n s i o n c o m p r i s e s n u m e r o u s
p a r t s , w h e r e t h e m a i n c o m p o n e n t i s a n a c t u a t o r t h a t i s
c a p a b l e o f s u p p l y i n g t h e e n t i r e c o n t r o l f o r c e , a n d i t s
d i m e n s i o n s a t i s e s t h e s y s t e m ' s m a x i m u m p o w e r r e -
q u i r e m e n t s . W e e x a m i n e t h e p o s s i b i l i t y o f r e d u c i n g t h e
p o w e r r e q u i r e m e n t s , a n d h e n c e t h e s i z e o f t h e a c t i v e
p a r t o f t h e s u s p e n s i o n s , u s i n g a c o m b i n a t i o n o f a c t i v e
a n d p a s s i v e c o m p o n e n t s a s s h o w n i n g u r e 1 , w h e r e
t h e p a s s i v e c o m p o n e n t s a r e a s s i g n e d t h e t a s k o f p r o -
v i d i n g p a r t o f t h e c o n t r o l a c t i o n s t h e r e b y m i n i m i z i n g
t h e p o w e r a b s o r b e d b y t h e a c t i v e p a r t .
T h e f o l l o w i n g n o t a t i o n h a s b e e n u s e d i n t h e g u r e : K i s
t h e e l a s t i c c o n s t a n t o f t h e s p r i n g f i s t h e c h a r a c t e r i s t i c
c o e c i e n t o f t h e d a m p e r K
b
i s t h e e l a s t i c c o n s t a n t
o f t h e s t a b i l i z i n g b a r u = u
1
u
2
]
T
i s t h e v e c t o r o f
c o n t r o l f o r c e s t h a t m u s t b e r e a l i z e d b y t h e a c t u a t o r s .
T h e p a s s i v e c o m p o n e n t s a r e a s s u m e d t o e x h i b i t l i n e a r
b e h a v i o u r .
I t i s e a s i l y s h o w n t h a t t h e p a s s i v e s u s p e n s i o n p r o v i d e s
a c o n t r i b u t i o n u
p
( t ) t o t h e t o t a l c o n t r o l f o r c e s u
T
( t )
w h i c h c a n b e e x p r e s s e d a s :
u
p
( t ) = ; k
p
x ( t ) ( 9 )
b e i n g :
k
p
=
0 ; f K + K
b
f 0 0 ; K
b
d f
0 0 ; K
b
f 0 ; f K + K
b
; d f
:
( 1 0 )
S o , a t e v e r y i n s t a n t , i t i s :
u
T
( t ) = u
p
( t ) + u ( t ) : ( 1 1 )
L e t u s o b s e r v e t h e d y n a m i c a l s y s t e m s c h e m a t i z e d i n
g u r e 1 a n d d e s c r i b e d b y e q u a t i o n ( 8 ) . I t c a n a l s o b e
t h o u g h t o f a s a s y s t e m w i t h o n l y t h e a c t i v e c o n t r o l i n -
p u t a n d a d i e r e n t d y n a m i c a l m a t r i x , s o e q u a t i o n ( 8 )
c a n b e r e w r i t t e n a s :
_
x ( t ) = ( A ; B k
p
) x ( t ) + B u ( t ) = A
p
x ( t ) + B u ( t ) : ( 1 2 )
N o t e t h a t t h e c o n t r o l l a w w e w i l l d e s i g n i n t h e f o l l o w -
i n g s e c t i o n s r e q u i r e s t h e k n o w l e d g e o f t h e s y s t e m s t a t e ,
t h a t i s n o t d i r e c t l y m e a s u r a b l e . H o w e v e r i t c a n b e r e -
c o n s t r u c t e d t h r o u g h a n a p p r o p r i a t e s t a t e o b s e r v e r , a s -
s u m i n g a v a i l a b l e t h e m e a s u r e m e n t s o f t h e s u s p e n s i o n
d e f o r m a t i o n s a n d t h e s p r u n g m a s s v e l o c i t y ( v i a a n a c -
c e l e r o m e t e r ) 5 ] .
T h e c o n t r o l a p p r o a c h w e w i l l f o l l o w u s e s a d i s c r e t e - t i m e
s t a t e s p a c e m o d e l . T h u s w e c h o o s e a s a m p l i n g i n t e r v a l
T a n d d i s c r e t i z e e q u a t i o n ( 1 2 ) t o o b t a i n
x ( k + 1 ) = G
p
x ( k ) + H u ( k ) ( 1 3 )
w h e r e
G
p
= e
A
p
T
H =
Z
T
0
e
A
p
d
!
B :
N o w , l e t u s c o n s i d e r a f a m i l y o f p e r f o r m a n c e i n d e x e s :
J
%
=
1
X
k = 0
% x
T
( k ) Q x ( k ) + u ( k ) R u ( k ) : ( 1 4 )
W e w a n t t o a p p l y t h e O G S p r o c e d u r e t o s y s t e m ( 1 3 )
a n d d e t e r m i n e t h e c o r r e s p o n d i n g f e e d b a c k c o n t r o l l a w
s u c h t h a t t h e f o l l o w i n g c o n s t r a i n t s h o l d :
j u
i
( k ) j u
m a x
i = 1 2 ( 1 5 )
j u
T
i
( k ) j u
T m a x
i = 1 2 : ( 1 6 )
T h i s m e a n s t h a t w e c a n d e t e r m i n e a c o n t r o l l a w w h o s e
m a g n i t u d e i s b o u n d e d i n o r d e r t o r e a c h a g o o d t r a d e - o
b e t w e e n r o a d h o l d i n g a n d c o m f o r t o f p a s s e n g e r s . U n d e r
a p p r o p r i a t e a s s u m p t i o n s o n t h e m a x i m u m v a l u e o f t h e
8/6/2019 00cdc_b
5/6
s u s p e n s i o n d e f o r m a t i o n v e l o c i t y , t h e b o u n d o n t h e a c -
t i v e c o n t r o l f o r c e s a l l o w s u s t o c o n s t r a i n t h e p o w e r s u p -
p l i e d b y t h e a c t u a t o r s a n d c a n b e u s e d t o d e s i g n e a c h
a c t u a t o r i n t e r m s o f t h e r e q u i r e d p o w e r . C o n s t r a i n t s
( 1 5 ) a n d ( 1 6 ) a r e o f t h e f o r m ( 3 . b ) w i t h
1
= e
1
,
1
= 0 ,
1
= u
m a x
,
2
= e
2
,
2
= 0 ,
2
= u
m a x
,
3
= e
1
,
T
3
= ; e
T
1
k
p
,
3
= u
T m a x
a n d
4
= e
2
,
T
4
= ; e
T
2
k
p
,
4
= u
T m a x
, r e s p e c t i v e l y , b e i n g e
i
t h e
i - t h c o l u m n o f t h e 2 n d o r d e r i d e n t i t y m a t r i x .
5 A p p l i c a t i o n e x a m p l e
I n t h i s s e c t i o n w e d i s c u s s t h e r e s u l t s o f s o m e n u m e r i c a l
s i m u l a t i o n s .
T h e p r o p o s e d p r o c e d u r e h a s b e e n a p p l i e d t o t h e h a l f {
c a r v e h i c l e m o d e l s h o w n i n g u r e 1 , w i t h v a l u e s o f t h e
p a r a m e t e r s t a k e n f r o m 3 ] : M
1
= 2 8 : 5 8 K g , M
2
= 2
2 8 8 : 9 0 K g = 5 7 7 : 8 K g , = 1 5 5 9 0 0 N / m , f
t
= 4 0 0 N s / m ,
J
2
= 1 0 8 : 3 K g m
2
d = 0 : 7 5 m . M a t r i c e s Q a n d R
h a v e b e e n c h o s e n a s i n 3 ] , a s w e l l a s t h e v a l u e s o f
f = 1 0 8 1 N s / m , K = 1 5 4 3 8 N / m , K
b
= 5 4 9 6 N / m .
T h e c o n t r o l a p p r o a c h w e h a v e f o l l o w e d i n t h i s p a p e r
m a k e s u s e o f a d i s c r e t e - t i m e s t a t e s p a c e m o d e l . A s u i t -
a b l e c h o i c e o f t h e s a m p l i n g i n t e r v a l i s T = 0 : 0 1 s a s
d i s c u s s e d i n 5 ] .
W e h a v e t a k e n u
T m a x
= 3 0 0 0 N t h a t i s s l i g h t l y l e s s
t h a n t h e t o t a l w e i g h t r e s t i n g o n o n e w h e e l . A h i g h e r
t o t a l c o n t r o l f o r c e m a y c a u s e t h e l o s s o f c o n t a c t b e t w e e n
w h e e l a n d r o a d . F u r t h e r m o r e , t h i s c o n s t r a i n t a l s o l i m -
i t s t h e a c c e l e r a t i o n o f t h e s p r u n g m a s s a n d t h i s i s a
n e c e s s a r y c o n d i t i o n f o r t h e c o m f o r t o f p a s s e n g e r s .
A n o t h e r i m p o r t a n t a s p e c t o f t h e p r o p o s e d d e s i g n p r o -
c e d u r e d e a l s w i t h t h e c h o i c e o f t h e w e i g h t i n g c o -
e c i e n t s f %
1
%
2
: : : %
r
g . T h e w e i g h t i n g c o e c i e n t
%
1
s h o u l d b e d e t e r m i n e d s o t h a t t h e l i n e a r r e g i o n
;
%
1
1
T
;
%
1
2
T
;
%
1
3
T
;
%
1
4
c o n t a i n s a l l i n i t i a l c o n d i -
t i o n s o f i n t e r e s t . T h e w e i g h t i n g c o e c i e n t %
r
s h o u l d b e
s e l e c t e d s o t h a t t h e r e g i o n ;
%
r
1
T
;
%
r
2
T
;
%
r
3
T
;
%
r
4
c o v e r s s m a l l d i s t u r b a n c e s o r v e r y l i t t l e s y s t e m n o i s e s .
T h e o t h e r w e i g h t i n g c o e c i e n t s h a v e b e e n c h o s e n , f o l -
l o w i n g Y o s h i d a 1 1 ] , s o t h a t t h e r a t i o o f t h e 2 - n o r m f o r
t w o a d j a c e n t t o t a l g a i n s ( k
%
i
+ k
p
) i s ' 1 : 6 1 : 8 . W e
h a v e a s s u m e d r = 1 0 a s i t s e e m s a g o o d t r a d e - o b e -
t w e e n c o m p u t a t i o n a l e c i e n c y a n d p e r f o r m a n c e i n d e x .
I n t h e f o l l o w i n g w e p r o v i d e t h e r e s u l t s o f t w o s e r i e s o f
n u m e r i c a l s i m u l a t i o n s i n o r d e r t o u n d e r l i n e t h e m a i n
c o n c l u s i o n s r e l a t i v e t o t h e p r o p o s e d p r o c e d u r e .
5 . 1 S i m u l a t i o n 1
I n t h e r s t s i m u l a t i o n w e c o m p a r e t h e p e r f o r m a n c e s
o f a c o m p l e t e l y p a s s i v e s u s p e n s i o n s y s t e m w i t h a c t i v e -
p a s s i v e s u s p e n s i o n s y s t e m s c h a r a c t e r i z e d b y d i e r e n t
v a l u e s o f t h e c o n s t r a i n t o n t h e a c t i v e f o r c e s .
T h e n u m e r i c a l v a l u e s o f t h e p a r a m e t e r s r e l a t i v e t o t h e
c o m p l e t e l y p a s s i v e s u s p e n s i o n a r e t h e s a m e a s t h o s e o f
t h e p a s s i v e p a r t i n t h e t a n d e m s u s p e n s i o n s y s t e m . W e
a s s u m e x
1
( 0 ) = ; x
5
( 0 ) = 0 : 0 2 m , x
3
( 0 ) = ; x
7
( 0 ) =
0 : 1 m , x
2
( 0 ) = x
4
( 0 ) = x
6
( 0 ) = 0 m / s , x
8
( 0 ) = 0 r a d / s .
T h e m a i n r e s u l t s o f t h e c o m p a r i s o n a r e r e p o r t e d i n g -
u r e 3 w h e r e w e c a n o b s e r v e t h e v a r i a t i o n s o f t h e s y s t e m
e v o l u t i o n i n p r e s e n c e o f a c t u a t o r s o f i n c r e a s i n g s i z e . W e
h a v e c o n s i d e r e d f o u r d i e r e n t v a l u e s f o r u
m a x
: 4 0 0 , 7 0 0 ,
1 0 0 0 , 1 3 0 0 N w h o s e i n c r e a s i n g v a l u e i s d e n o t e d b y a n a r -
r o w . F i g u r e s 3 . a a n d 3 . c c o m p a r e s t h e d e f o r m a t i o n o f
0 0.5 1 1.50.1
0.05
0
0.05
0.1
x7
[m]
t[s]
(d)
0 0.5 1 1.50.02
0.01
0
0.01
0.02
x1
[m]
(a)
0 0.5 1 1.50.05
0
0.05
0.1
0.15
x3
[m]
(b)
0 0.5 1 1.50.02
0.01
0
0.01
0.02
x5
[m]
(c)
F i g u r e 3 : T h e r e s u l t s o f s i m u l a t i o n 1 .
t h e l e f t a n d r i g h t t i r e , r e s p e c t i v e l y , f o r t h e c o m p l e t e l y
p a s s i v e s u s p e n s i o n w i t h t h o s e o f t h e a c t i v e - p a s s i v e s u s -
p e n s i o n s . I n t h e s e g u r e s w e c a n n o t e t h a t a s u
m a x
i s
i n c r e a s e d t h e u n s p r u n g m a s s r e a c h e s s o o n e r t h e e q u i -
l i b r i u m s t a t e a l b e i t w i t h a g r e a t e r o v e r s h o o t i n t h e r s t
t i m e i n s t a n t s . F i g u r e s 3 . b a n d 3 . d c o m p a r e t h e d e f o r -
m a t i o n o f t h e l e f t a n d r i g h t s u s p e n s i o n r e s p e c t i v e l y , f o r
t h e c o m p l e t e l y p a s s i v e s y s t e m , w i t h t h o s e o f t h e a c t i v e {
p a s s i v e s u s p e n s i o n s . I n t h e s e g u r e s w e o b s e r v e t h a t a s
u
m a x
i s i n c r e a s e d t h e s p r u n g m a s s r e a c h e s s o o n e r t h e
e q u i l i b r i u m s t a t e w i t h d e c r e a s i n g o v e r s h o o t s . W e c a n
a l s o o b s e r v e t h a t t h e l e s s e n i n g o f t h e s u s p e n s i o n d e -
f o r m a t i o n s a r e a l w a y s l e s s s i g n i c a n t a s u
m a x
e x c e e d s
7 0 0 N . T h e r e f o r e , w e c o n c l u d e t h a t i t i s p o s s i b l e t o g u a r -
a n t e e g o o d p e r f o r m a n c e s e v e n w i t h r e l a t i v e l y s m a l l s i z e
a c t u a t o r s w h i c h , f u r t h e r m o r e , l i m i t t h e o v e r s h o o t s o f
t h e t i r e s d e f o r m a t i o n s .
5 . 2 S i m u l a t i o n 2
I n t h i s s u b s e c t i o n w e i n t r o d u c e a n e x t e r n a l d i s t u r b a n c e
g i v e n b y t h e r o a d p r o l e .
L e t u s r s t d i s c u s s h o w i t s p r e s e n c e m o d i e s t h e s t a t e
s p a c e e q u a t i o n ( 8 ) . L e t w
L
( t ) a n d w
R
( t ) r e p o r t e d i n
g u r e s 1 { 2 , b e t h e a b s o l u t e v e r t i c a l v e l o c i t i e s o f t h e
p o i n t s o f c o n t a c t w i t h t h e r o a d o f t h e l e f t a n d r i g h t t i r e
r e s p e c t i v e l y . S u c h v e l o c i t i e s a r e c a u s e d b y t h e u n e v e n
r o a d p r o l e a n d c a n b e w h i t e n o i s e s i g n a l s , w h i c h i s
e q u i v a l e n t t o s a y i n g t h a t a n y l o n g i t u d i n a l r o a d p r o l e
c a n b e r e p r e s e n t e d b y a n i n t e g r a t e d w h i t e n o i s e 5 , 8 , 9 ] .
H e r e , t h e r o a d r o u g h n e s s c h a r a c t e r i s t i c s a r e e x p r e s s e d
b y a s i g n a l w h o s e P S D d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n i s 8 ] :
( ! ) =
c V
!
2
+
2
V
2
( 1 7 )
w h e r e c = (
2
= ) . H e r e
2
d e n o t e s t h e r o a d r o u g h -
8/6/2019 00cdc_b
6/6
0 0.5 1 1.50.04
0.02
0
0.02
0.04
(a)
0 0.5 1 1.50.04
0.02
0
0.02
0.04
(b)
0 0.5 1 1.5500
0
500
(c)
0 0.5 1 1.52000
1000
0
1000
2000
t[s]
(d)
F i g u r e 4 : T h e r e s u l t s o f s i m u l a t i o n 2 .
n e s s v a r i a n c e a n d V t h e v e h i c l e s p e e d , w h e r e a s t h e c o -
e c i e n t s c a n d d e p e n d o n t h e t y p e o f r o a d s u r f a c e .
T h e p r o d u c t i s t h e p o w e r s p e c t r u m o f t h e w h i t e n o i s e .
T h e s i g n a l x
0 L
( t ) , w h o s e P S D i s g i v e n b y ( 1 7 ) , m a y b e
o b t a i n e d a s t h e o u t p u t o f a l i n e a r l t e r e x p r e s s e d b y
t h e d i e r e n t i a l e q u a t i o n
_x
0 L
( t ) = ; V x
0 L
( t ) + w
L
( t ) ( 1 8 )
w h e r e t h e s u b s c r i p t L s t a n d s f o r l e f t . T h e s a m e h o l d s
f o r t h e r i g h t d i s t u r b a n c e .
B y t a k i n g i n t o a c c o u n t t h e a b o v e d i s t u r b a n c e s , s t a t e
e q u a t i o n ( 8 ) c a n b e r e w r i t t e n a s
_
x ( t ) = A x ( t ) + B u
T
( t ) + L w ( t ) ( 1 9 )
w h e r e w = w
L
( t ) w
R
( t ) ]
T
i s t h e d i s t u r b a n c e v e c t o r
a n d L 2 R
8 2
6 ] .
I n t h i s s i m u l a t i o n t e s t w e a s s u m e t h a t t h e d i s t u r b a n c e
a c t i n g o n t h e s y s t e m i s c a u s e d b y a v e r y r o u g h r o a d
p r o l e . C r o s b y a n d K a r n o p p 4 ] g a v e t h e p o w e r s p e c t r a l
d e n s i t y f o r s u c h a n i n p u t d i s t u r b a n c e . W e w e r e a b l e 5 ]
t o o b t a i n a s i m i l a r p o w e r s p e c t r a l d e n s i t y b y c h o o s i n g
i n e q u a t i o n ( 1 7 ) t h e f o l l o w i n g p a r a m e t e r v a l u e s : =
0 : 2 m
; 1
,
2
= 0 : 1 m
2
a n d V = 2 0 m / s . F u r t h e r m o r e ,
w e a s s u m e u
m a x
= 5 0 0 N a n d a n u l l i n i t i a l s t a t e .
T h e r e s u l t s o f s i m u l a t i o n 2 a r e s h o w n i n g u r e 4 . F i g -
u r e 4 . a ( 4 . b ) s h o w s t h e l e f t ( r i g h t ) r o a d p r o l e a l o n g
w i t h t h e l e f t ( r i g h t ) w h e e l a n d l e f t ( r i g h t ) s p r u n g m a s s
d i s p l a c e m e n t . I t i s p o s s i b l e t o o b s e r v e t h a t t h e s u s p e n -
s i o n l t e r s t h e h i g h f r e q u e n c i e s s m o o t h i n g t h e m o v e -
m e n t o f t h e s p r u n g m a s s . F i g u r e 4 . c s h o w s t h e a c t i v e
f o r c e s u
1
a n d u
2
, w h i l e t h e t o t a l f o r c e s u
T 1
a n d u
T 2
a r e
r e p o r t e d i n g u r e 4 . d .
6 C o n c l u s i o n s
I n t h i s w o r k w e h a v e p r e s e n t e d a d e s i g n m e t h o d o l o g y
f o r a c t i v e - p a s s i v e s u s p e n s i o n s y s t e m s . T h e d e s i g n p r o -
c e d u r e i s b a s e d o n t h e m i n i m i z a t i o n o f a q u a d r a t i c p e r -
f o r m a n c e i n d e x t h a t p e n a l i z e s t h e t i r e s a n d t h e s u s p e n -
s i o n d e f o r m a t i o n s , w h i l e r e q u i r i n g t h a t t h e t o t a l f o r c e s
a p p l i e d b e t w e e n w h e e l a n d b o d y a n d t h a t t h e f r a c t i o n
o f t h e f o r c e s g e n e r a t e d b y t h e a c t u a t o r s n e v e r e x c e e d
g i v e n b o u n d s .
T h e c o n s t r a i n t o n t h e a c t u a t o r f o r c e s c a n b e u s e d t o
d i m e n s i o n t h e a c t u a t o r s , s o t h a t i t i s r e q u i r e d t o p r o -
v i d e o n l y a f r a c t i o n o f t h e t o t a l f o r c e s g e n e r a t e d b y t h e
s u s p e n s i o n s y s t e m s .
T h e c o n s t r a i n t o n t h e t o t a l f o r c e s b o u n d s t h e a c c e l e r a -
t i o n o n t h e s p r u n g m a s s e s s o a s t o e n s u r e t h e c o m f o r t o f
p a s s e n g e r s a n d t o r e d u c e t h e r i s k o f l o s s o f c o n t a c t b e -
t w e e n w h e e l s a n d r o a d . S i m u l a t i o n s s h o w e d t h a t t h e s e
c o n s t r a i n t s a r e a c t i v e o n l y w h e n t h e s y s t e m s t a t e i s f a r
f r o m t h e o r i g i n .
T h e r e s u l t s o f s a m e n u m e r i c a l s i m u l a t i o n s f o r a h a l f { c a r
v e h i c l e m o d e l h a v e a l s o b e e n p r e s e n t e d .
R e f e r e n c e s
1 ] K . C . C h e o k , N . K . L o h , H . D . M c G r e e , T . F . P e t i t ,
\ O p t i m a l m o d e l f o l l o w i n g s u s p e n s i o n w i t h m i c r o c o m p u t e r -
i z e d d a m p i n g , " I E E E T r a n s . o n I n d u s t r i a l E l e c t r o n i c s , V o l .
3 2 , N o . 4 , N o v e m b e r 1 9 8 5 .
2 ] G . C o r r i g a , S . S a n n a , G . U s a i , \ A n o p t i m a l t a n d e m
a c t i v e - p a s s i v e s u s p e n s i o n f o r r o a d v e h i c l e s w i t h m i n i m u m
p o w e r c o n s u m p t i o n , " I E E E T r a n s . o n I n d u s t r i a l E l e c t r o n -
i c s , V o l . 3 8 , N o . 3 , p p . 2 1 0 { 2 1 6 , 1 9 9 1 .
3 ] G . C o r r i g a , V . P r e s i c c i , S . S a n n a , G . U s a i , \ M i n i m u m
e n e r g y o p t i m a l s u s p e n s i o n f o r r o a d v e h i c l e s , " P r o c . C a n a -
d i a n C o n f e r e n c e a n d E x h i b i t i o n o n I n d u s t r i a l A u t o m a t i o n ,
p p . 2 6 . 5 { 2 6 . 1 2 , J u n e 1 9 9 2 .
4 ] M . J . C r o s b y , D . C . K a r n o p p , \ T h e a c t i v e d a m p e r : a
n e w c o n c e p t i n s h o c k a n d v i b r a t i o n c o n t r o l , " 4 3 r d S h o c k
a n d V i b r a t i o n B u l l e t i n , J u n e 1 9 7 3 .
5 ] A . G i u a , C . S e a t z u , G . U s a i , \ S e m i a c t i v e s u s p e n s i o n
d e s i g n w i t h a n O p t i m a l G a i n S w i t c h i n g t a r g e t , " V e h i c l e
S y s t e m D i n a m i c s , V o . 3 1 , N . 4 , p p . 2 1 3 { 2 3 2 , A p r i l 1 9 9 9 .
6 ] A . G i u a , C . S e a t z u , G . U s a i , \ A m i x e d s u s p e n s i o n
s y s t e m f o r a h a l f { c a r v e h i c l e m o d e l , " D y n a m i c s a n d C o n -
t r o l , ( c o n d i t i o n a l l y a c c e p t e d ) .
7 ] E . G o r i n g , E . C . v o n G l a s n e r , R . P o v e l , P . S c h u t z n e r ,
\ I n t e l l i g e n t s u s p e n s i o n s y s t e m s f o r c o m m e r c i a l v e h i c l e s , "
P r o c . I n t . C o n g . M V 2 , A c t i v e C o n t r o l i n M e c h a n i c a l E n -
g i n e e r i n g ( L y o n , F r a n c e ) , p p . 1 { 1 2 , J u n e 1 9 9 3 .
8 ] A . H a c , \ S u s p e n s i o n o p t i m i s a t i o n o f a 2 - D O F v e h i c l e
m o d e l u s i n g a s t o c h a s t i c o p t i m a l c o n t r o l t e c h n i q u e , " J o u r -
n a l o f S o u n d a n d V i b r a t i o n , V o l . 1 0 0 , N o . 3 , p p . 3 4 3 { 3 5 7 ,
1 9 8 5 .
9 ] A . G . T h o m p s o n , \ A n a c t i v e s u s p e n s i o n w i t h o p t i m a l
l i n e a r s t a t e f e e d b a c k , " V e h i c l e S y s t e m D y n a m i c s , V o l . 5 ,
p p . 1 8 7 { 2 0 3 , 1 9 7 6 .
1 0 ] W . M . W o n h a m , C . D . J o h n s o n , \ O p t i m a l b a n g - b a n g
c o n t r o l w i t h q u a d r a t i c p e r f o r m a n c e i n d e x , " T r a n s . A S M E
J o u r n a l o f B a s i c E n g i n e e r i n g , V o l . 8 6 , p p . 1 0 7 { 1 1 5 , M a r c h
1 9 6 4 .
1 1 ] K . Y o s h i d a , Y . N i s h i m u r a , Y . Y o n e z a w a , \ V a r i a b l e
g a i n f e e d b a c k f o r l i n e a r s a m p l e d - d a t a s y s t e m s w i t h b o u n d e d
c o n t r o l , " C o n t r o l T h e o r y a n d A d v a n c e d T e c h n o l o g y , V o l . 2 ,
N o . 2 , p p . 3 1 3 { 3 2 3 , J u n e 1 9 8 6 .
