Date post: | 10-Apr-2016 |
Category: |
Documents |
Upload: | indah-yanti |
View: | 241 times |
Download: | 6 times |
KALKULUS IIIBAB 1Fungsi dari ℝ ke ℝn
2
Single Variable
Multi Variable
Real Valued
Vector Valued
FUNGSIBentuk umum f : ℝm ℝn
f : ℝm ℝf : ℝ ℝn f : ℝm ℝn
f : ℝ ℝ
Indah Yanti
Indah Yanti 3
( , , )
LINTASANLintasan di ℝn adalah pemetaan c dari ℝ atau interval pada ℝ ke ℝn.
c : ℝ ℝn t ( f1(t), …, fn(t))
Jika c lintasan di ℝ3 maka c(t) dapat ditulis dalam bentuk
c(t) =x(t) y(t) z(t)
fungsi komponen
Indah Yanti 4x
y
z
a b
c(a)
c(b)
c = lintasan
Kurva C = bayangan dari c
Indah Yanti 5
Contoh 1.1c : ℝ ℝ2 t[a, b] ( ,
)
t[0, 2] (cos t, sin t)
x(t) y(t)t cos t sin t0 1 0
/2 0 1 -1 0
3/2 0 -12 1 0
Indah Yanti 6
Contoh 1.1 2
0
/2
3/2
ty
x
x2+ y2 = 1
berlawanan arah jarum jam
Indah Yanti 7
CONTOH 1.2Gambarlah lintasan – lintasan berikut ini:a. c1 : (r cos , r sin ); [0, 2]b. c2 : (r sin , r cos ); [0, 2]c. c3 : (r cos 2t, r sin 2t); t [0, 1]d. c3 : (r cos 4t, r sin 4t); t [0, 1]
Indah Yanti 8
SOLUSIc1 : (r cos , r sin ); [0, 2]Misal x = r cos , y = r sin , maka x2 + y2 = (r cos )2 + (r sin )2
= r2 cos2 + r2 sin2 = r2 (cos2 + sin2 )= r2
yang merupakan lingkaran dengan titik awal (r, 0) dan titik akhir (r, 0) dengan arah berlawanan arah jarum jam.
Indah Yanti 9
SOLUSIc1 : (r sin , r cos ); [0, 2]Misal x = r sin , y = r cos , maka x2 + y2 = (r sin )2 + (r cos )2
= r2 sin2 + r2 cos2 = r2 (sin2 + cos2 )= r2
yang merupakan lingkaran dengan titik awal (0, r) dan titik akhir (0, r) dengan arah searah jarum jam.
Indah Yanti 10
SOLUSIc1 : (r cos 2t, r sin 2t); t [0, 1]Misal x = r cos 2t, y = r sin 2t, maka x2 + y2 = (r cos )2 + (r sin 2t)2
= r2 cos2 2t + r2 sin2 2t = r2 (cos2 2t + sin2 2t)= r2
yang merupakan lingkaran dengan titik awal (r, 0) dan titik akhir (r, 0) dengan arah berlawanan arah jarum jam.
Indah Yanti 11
SOLUSIc1 : (r cos 4t, r sin 4t); t [0, 1]Misal x = r cos 4t, y = r sin 4t, maka x2 + y2 = (r cos )2 + (r sin 4t)2
= r2 cos2 4t + r2 sin2 4t = r2 (cos2 4t + sin2 4t)= r2
yang merupakan lingkaran dengan titik awal (r, 0) dan titik akhir (r, 0) dengan arah berlawanan arah jarum jam dan berputar sebanyak dua kali.
Indah Yanti 12
LINTASANPandang lintasan c(t) = ( f1(t), …, fn(t)). Misalkan Di, i = 1, …, n adalah daerah definisi dari fi(t) maka daerah definisi untuk c(t) adalah D = D1 D2 … Dn.
Indah Yanti 13
CONTOH 1.3Diketahui lintasan , tentukan daerah asal lintasan sehingga terdefinisi.
SOLUSIf1(t) = 9 – x2 terdefinisi jika dan hanya jika memenuhi 9 – x2 0.
9 – x2 0Û (3 – x)(3 + x) 0Û – 3 x 3
c(t) = (9 – x2 , )1x – 3
Indah Yanti 14
CONTOH 1.3f2(t) = terdefinisi jika dan hanya jika memenuhi x 3.
Diperoleh D1: – 3 x 3D2: x 3
sehinggaDc(t): – 3 x < 3
1x – 3
Indah Yanti 15
LIMIT LINTASANMisalkan c(t) = (f1(t), …, fn(t)) terdefinisi dan l = (l1, …, ln) adalah vektor di ℝn. Limit c(t) jika t mendekati a sama dengan l, ditulis limit c(t) = l
t aapabila ( > 0) ( > 0) sehingga
0 < t – a< ∥c(t) – l∥ < Secara intuitif, semakin dekat t ke a, semakin dekat c(t) ke l.
16
LIMIT LINTASANCatatan
Pertidaksamaan segitiga di ℝ3
dimana
Indah Yanti
∥c(t) – l∥ = √(f1(t) – l1)2 + … + (fn(t) – ln)2
√(f1(t) – l1)2 + (f2(t) – l2)2 + (f3(t) – l3)2 f1(t) – l1+ f2(t) – l2+ f3(t) – l3fi(t) – li √ (f1(t) – l1)2 + (f2(t) – l2)2 + (f3(t) – l3)2 fi(t) – li= √ (fi(t) – li)2
Indah Yanti 17
TEOREMA 1.1Misalkan c(t) = (f1(t), …, fn(t)). Maka
limit c(t) = lt a
Û limit ∥c(t) – l∥ = 0t a
Indah Yanti 18
TEOREMA 1.2Misalkan c(t) = (f1(t), …, fn(t)). Maka c mempunyai limit di a jika dan hanya jika f1(t), …, fn(t) mempunyai limit di a. Dalam hal ini
limit c(t) = lt a
Û limit fi (t) = lit auntuk i = 1, 2, …, n.
19
BUKTI TEOREMA 1.2() Diketahui artinya
( > 0) ( > 0) 0 < t – a< ∥c(t) – l∥< dari pertaksamaan segitiga fi(t) – li ∥c(t) – l∥ < , i = 1, …, nJadi ( > 0) ( > 0) 0 < t – a< fi(t) – li< atau
Indah Yanti
limit c(t) = lt a
limit fi (t) = lit a
Indah Yanti 20
Bukti TEOREMA 1.2() Diketahui , artinya
( > 0) ( > 0) 0 < t – a< fi(t) – li< /3diketahui ∥c(t) – l∥< f1(t) – l1+ … + fn(t) – ln< /3 + /3
+ /3Û ∥c(t) – l∥< .Jadi ( > 0) ( > 0) 0 < t – a< ∥c(t) – l∥<
atau
limit fi (t) = lit a
limit c(t) = lt a
Indah Yanti 21
TEOREMA 1.3Misalkan c(t) = (f1(t), …, fn(t)), d(t) = (g1(t), …, gn(t)) dan h(t) fungsi real. Jika , , dan ada dan berhingga, maka
limit c(t)t a
limit d(t)t a
limit h(t)t a
limit c(t) tunggalt a
1.2.limit (c(t) + d(t)) =
t a
limit c(t) +t a
limit d(t)t a
Indah Yanti 22
TEOREMA 1.33.limit (c(t) – d(t)) =
t a
limit c(t) –t a
limit d(t)t a
4.limit kc(t) =
t a
k limit c(t), k adalah konstanta realt a
5.limit (c(t).d(t)) =
t a
limit c(t).t a
limit d(t)t a6
.limit (h(t).d(t)) =
t a
limit h(t).t a
limit d(t)t a
Indah Yanti 23
KONTINUITASMisalkan c(t) = (f1(t), …, fn(t)) terdefinisi pada D ℝ. Lintasan c dikatakan kontinu di a D jika dan hanya jika
limit c(t) = c(a)t aatau ( > 0) ( > 0) sehingga
0 < t – a< ∥c(t) – c(a)∥ <
Lintasan c(t) = (f1(t), …, fn(t)) dikatakan kontinu di D ℝ jika c kontinu di setiap titik pada D.
Indah Yanti 24
SoalTentukan nilai c(0) agar fungsi c yang didefinisikan sebagai
kontinu di setiap titik.
c(t) = , , t 0sin t t
1 – et t
25
Solusilim = 1
lim = lim = lim – et = –1 (aturan L’Hospital)
Sehingga fungsi menjadi
Indah Yanti
sin t tt 0
t 01 –
et td(1 – et)/dtdt/dt
t 0
c(t) =sin t t
1 – et t, , untuk t
0(1, –1) , untuk t = 0
Indah Yanti 26
TURUNAN LINTASANMisalkan c(t) = (f1(t), …, fn(t)). Turunan c di a didefinisikan sebagai
c’(a) =
limit c(t) – c(a)t a t – a
c’(t) =
limit c(t + h) – c(t)h 0 h
atau secara umum
dengan asumsi nilai limit tersebut ada.
Indah Yanti 27
TURUNAN LINTASANJika lintasan diferensiabel, maka turunannya adalah matriks berukuran n 1.
c’(t) =
=
df1
dt, ,
dfn
dt=(f1’(t), …, fn’(t))
dfn
dt
df1
dt
Jika salah satu fungsi komponen tidak memiliki turunan maka lintasan disebut tidak mempunyai turunan.
Indah Yanti 28
TEOREMA 1.4Aturan TurunanMisal b(t) dan c(t) adalah lintasan yang diferensiabel di ℝn serta p(t) dan q(t) adalah dua fungsi skalar yang diferensiabel, maka
ddt [b(t) + c(t)] = b’(t) + c’(t)
ddt [p(t)c(t)] = p’(t)c(t) +
p(t)c’(t)ddt [b(t) c(t)] = b’(t) c(t)+ b(t)
c’(t)ddt [c(q(t))] =
q’(t)c’(q(t))
Aturan Penjumlahan
Aturan Perkalian Skalar
Aturan Dot Product
Aturan Rantai
Indah Yanti 29
TEOREMA 1.5Aturan TurunanMisal b(t) dan c(t) adalah lintasan yang diferensiabel di ℝ3
ddt [b(t) c(t)] = b’(t) c(t)+ b(t)
c’(t)Aturan Cross Product
Indah Yanti 30
Soal Diberikan c(t) = (e2t, , t cos t). Maka
c’(t) = (2e2t, , cos t – t sin t).
Jika c(t) = (e2t, |t|, t cos t). Maka c(t) tidak mempunyai turunan di t = 0 karena fungsi |t| tidak mempunyai turunan di t = 0.
t2 cos t – 2t sin t t4
sin tt2
Indah Yanti 31
KECEPATAN DAN KELAJUANJika c lintasan dan diferensiabel, maka c disebut lintasan yang diferensiabel. Kecepatan c pada saat t didefinisikan
c’(t) =
limit c(t + h) – c(t)h 0 h
dan kelajuan dari lintasan c(t) adalah s = ∥c’(t)∥, yang merupakan panjang dari vektor kecepatan.
Indah Yanti 32
Soal Diberikan c(t) = (cos t, sin t, t). Tentukan vektor kecepatan pada saat t = /2.
Indah Yanti 33
Solusi c’(t) = (– sin t, cos t, 1) c’(/2) = (– sin (/2), cos (/2), 1)
= (–1, 0, 1)
x
y
z
2
Indah Yanti 34
Soal Diketahui lintasan c(t): [0, 2] (cos3 t, sin3 t).a. Gambarlah lintasan tersebutb. Tentukan vektor kecepatan dari lintasan tersebutc. Tentukan kelajuan dari lintasan tersebut.
Indah Yanti 35
GARIS SINGGUNG LINTASANJika c(t) sebuah lintasan, dan c’(t0) 0, persamaan garis singgung di titik c(t0) adalah
l(t) = c(t0) + (t – t0)c’(t0)
Pada saat t = t0 makal(t0) = c(t0) + (t0 – t0)c’(t0)
Û l(t0) = c(t0) l(t)
l(t0) c(t0) c(t)
Indah Yanti 36
Soal Sebuah lintasan di ℝ3 melalui titik (3, 6, 5) pada saat t = 0 dengan vektor singgung i – j. Tentukan persamaan garis singgung di titik tersebut.
Indah Yanti 37
Solusi c(t0) = (3, 6, 5)t0 = 0c’(t0) = i – j = (1, –1, 0)
l(t) = c(t0) + (t – t0)c’(t0) = (3, 6, 5) + (t – 0)(1, –1, 0) = (3 + t, 6 – t, 5)
Indah Yanti 38
Soal Tentukan panjang busur untuk setiap lintasan berikut:1. c(t): [0, 2] (t – sin t, 1 – cos t)2. c(t): [0, 2] (cos t, sin t, t)3. c(t): [0, 2] (cos3 t, sin3 t).
39
INTEGRAL LINTASANIntegral lintasan, atau integral dari fungsi f(x, y, z) sepanjang lintasan c, terdefinisi jika c : I = [a, b] ℝ3
adalah kelas C1 dan jika fungsi komposit t f(x(t), y(t), z(t)) kontinu pada I. Integral fungsi didefinisikan sebagai berikut
Indah Yanti
f ds = c [ f(x(t), y(t), z(t)) . ∥c’(t)∥] dta
b
Indah Yanti 40
Soal Misal diketahui c(t): [0, 2] (cos t, sin t, t) dan f(x, y, z) = x2 + y2 + z2.Hitung
f dsc
Indah Yanti 41
Indah Yanti 42
PANJANG BUSURMisal c(t) adalah sebuah lintasan yang kontinu diferensiabel. Maka
ℓ(c) = ∥c’(t)∥ dt
c(t): [a, b] ℝn
ℓ(c) = ∥c’(t)∥ dta
b
Indah Yanti 43
Soal Diketahui lintasan c(t) = (r cos t, r sin t), dimana t berada di interval [0, 2]. Tentukan panjang busur dari lintasan c(t).
Indah Yanti 44
Indah Yanti 45
Daftar tambahan nilai kuis1. Ongky2. Sigit