01_fundamentos_numericos

FUNDAMENTOS NUMRICOS

SEMANA 1

ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 1 2

NDICE NMEROS REALES ......................................................................................................................... 3 APRENDIZAJES ESPERADOS ........................................................................................................... 3 INTRODUCCIN ............................................................................................................................. 3 NMEROS REALES (R) ................................................................................................................... 5

PROPIEDADES DE LOS NMEROS REALES ................................................................................. 5 LA RECTA NUMRICA ............................................................................................................ 8

CONJUNTOS E INTERVALOS .......................................................................................................... 9 OPERACIONES CON CONJUNTOS ............................................................................................ 10

INTERVALOS ........................................................................................................................ 10 VALOR ABSOLUTO Y DISTANCIA .................................................................................................. 11 EXPONENTES Y RADICALES .......................................................................................................... 12

EXPONENTES ENTEROS ........................................................................................................... 13 NOTACIN EXPONENCIAL ................................................................................................... 13 EXPONENTES CERO Y NEGATIVOS ....................................................................................... 14 LEYES DE LOS EXPONENTES ................................................................................................. 14 LEYES DE LOS EXPONENTES NEGATIVOS ............................................................................. 15 NOTACIN CIENTFICA ........................................................................................................ 15

DEFINICIN DE LA RAZ N-SIMA ................................................................................................ 16 PROPIEDADES DE LAS RACES N-SIMAS................................................................................. 16

COMENTARIO FINAL .................................................................................................................... 17 REFERENCIAS ............................................................................................................................... 17


NMEROS REALES

APRENDIZAJES ESPERADOS Esta semana usted aprender o reforzar las operaciones bsicas que se realizan en

matemticas con los nmeros reales: suma, resta, multiplicacin y divisin. En particular,

operaciones con fracciones y radicales.

INTRODUCCIN

El trabajo se iniciar con un repaso de los nmeros reales, ecuaciones y el plano coordenado.

Es probable que usted ya est familiarizado con los conceptos, pero es til hacer una revisin

para ver cmo estas ideas trabajan juntas para resolver problemas y modelar o describir

situaciones del mundo cotidiano.

Se puede ver cmo todas estas ideas se usan en la siguiente situacin real: suponga que a un

individuo le pagan 8 mil pesos por hora en su trabajo. Lo que interesa saber es cunto dinero

recibe.

Para describir ese salario se emplean los nmeros reales. En efecto, se usan los nmeros reales

todos los das, por ejemplo, para describir cul es la estatura, cunto dinero ganan las

personas, qu tanto fro o calor hace, etctera. En lgebra, se expresan las propiedades de los

nmeros reales mediante letras que representan nmeros. Una propiedad importante es la

propiedad distributiva:

A (B+C)=AB+AC Para encontrar el sentido de esta propiedad, se puede volver a citar el salario de 8 mil pesos

por hora, si se trabaja 6 horas un da y 5 horas el siguiente. El salario de los dos das se puede

determinar de dos maneras distintas:

8 (6 + 5) O bien, 8 mil pesos por 6 + 8 mil pesos por 5 y ambos procedimientos dan la misma respuesta.

Esta y otras propiedades de los nmeros reales constituyen las reglas para trabajar con los

nmeros, es decir, son reglas del lgebra. Tambin se puede determinar el salario para

cualquier nmero de horas mediante una frmula. Si usted trabaja horas, entonces su

salario es miles de pesos, donde se encuentra mediante la frmula algebraica:

Entonces, si trabaja 10 horas, el salario ser miles de pesos.


Una ecuacin es un enunciado escrito en el lenguaje del lgebra que expresa un hecho con

respecto a una cantidad desconocida . Por ejemplo, cuntas horas se necesitara trabajar

para obtener 60 mil pesos? Para responder esta pregunta es necesario resolver la ecuacin:

Se aplican las reglas del lgebra para encontrar . En este caso se dividen ambos miembros de

la ecuacin por 8, de modo que = 60/8 = 7,5 horas.


NMEROS REALES (R)

Para comenzar a entender se partir con un repaso de los tipos de nmeros que constituyen el

sistema de los nmeros reales. En primer lugar, los nmeros naturales son:

1, 2, 3, 4,

Los enteros estn formados por los nmeros naturales junto con los negativos y el cero:

,-3,-2,- 1, 0, 1, 2, 3, 4,

Los nmeros racionales se construyen al formar cocientes con los enteros. Por lo tanto,

cualquier nmero racional , se puede expresar como:

Donde y son nmeros enteros y . Ejemplos son:

Recuerde que la divisin por cero es indeterminada, por lo que expresiones como y no

estn definidas. Tambin hay nmeros reales, como , que no pueden ser expresados como

un cociente de enteros y, por lo tanto, se llaman nmeros irracionales. Se puede demostrar

que, con diferentes grados de dificultad, estos nmeros son tambin irracionales:

El conjunto de todos los nmeros reales se denota mediante el smbolo . Cuando se usa la

palabra nmero sin calificativo, se entiende que se refiere a un nmero real.

PROPIEDADES DE LOS NMEROS REALES

Desde siempre se sabe que 2 + 3 = 3 + 2 y que 5 + 7 = 7 + 5 y que 513 + 87 = 87 + 513 y as

sucesivamente. En lgebra, se expresan estos hechos, que son infinitos, mediante la expresin:

Donde y son dos nmeros cualquiera. En otras palabras, es una manera

concisa de decir que cuando se suman dos nmeros, no importa el orden en que se sumen.

Este hecho, se conoce como propiedad conmutativa de la suma.

Segn Stewart (1999), las propiedades de los nmeros reales son:


1) Propiedades conmutativas:

a) , cuando se suman dos nmeros, no importa el orden.

b) , cuando se multiplican dos nmeros no importa el orden.

2) Propiedades asociativas:

a) , cuando se suman tres nmeros no importa cules se

suman primero.

b) , cuando se multiplican tres nmeros no importa cules se

multiplican primero.

3) Propiedades distributivas:

a)

b) , cuando se multiplica un nmero por una suma de dos

nmeros, se obtiene el mismo resultado al multiplicar el nmero por cada uno de

los trminos y luego sumar los resultados.

La propiedad distributiva se aplica siempre que se multiplica un nmero por una

suma.

Ejemplos de la propiedad distributiva:

a)

b)

En el ltimo paso los parntesis se eliminan porque, de acuerdo con la propiedad asociativa,

no importa el orden de la suma.

El nmero cero es especial para la adicin, se le llama elemento neutro, porque

para cualquier nmero real . Todo nmero real tiene un negativo,

que cumple .

La sustraccin es la operacin inversa a la adicin. Para restar un nmero de otro,

simplemente se suma el negativo de ese nmero. Por definicin:

Para combinar los nmeros reales que contienen negativos, se utilizan, las siguientes

propiedades.

Propiedades de los negativos:

1.

2.

3.

4.


5.

6.

La propiedad 6 establece el hecho intuitivo de que es el negativo de .

La propiedad 5 se usa a menudo con ms de dos trminos:

Ejemplos de las propiedades de los negativos:

Sean y nmeros reales.

a)

b)

El nmero uno es especial para la multiplicacin, se le llama elemento neutro, pues

para cualquier nmero real .

Todo nmero real diferente de cero tiene un inverso, , que cumple . La

divisin es la operacin inversa de la multiplicacin. Para dividir un nmero se multiplica por el

inverso de ese nmero. Si , entonces, por definicin:

Se escribe simplemente como . Se refiere a como el cociente de y o bien,

como la fraccin de con ; es el numerador y es el denominador (o divisor). Para

combinar los nmeros reales aplicando la operacin de divisin se usan las propiedades

siguientes:

Las propiedades de las fracciones son:

1) , cuando se multiplican fracciones, se multiplican los numeradores y los

denominadores.

2) , cuando se dividen fracciones, se invierte el divisor y se multiplica.

3) cuando se suman fracciones con el mismo denominador se suman los

numeradores.

4) , cuando se suman fracciones con denominadores diferentes, se busca

un denominador comn. Luego se suman todos los numeradores.


5) se anulan los nmeros que son factores comunes en el numerador y en el

denominador.

6) Si , entonces . Multiplicacin cruzada.

Por lo regular, cuando se suman fracciones con denominadores diferentes altos, no se usa

exactamente la propiedad 4. En lugar de eso, se vuelven a escribir las fracciones de modo que

tengan el denominador comn ms pequeo posible (con frecuencia ms pequeo que el

producto de los denominadores) y luego se aplica la propiedad 3. Este denominador es el

mnimo comn denominador (MCD).

Ejemplo:

Al factorizar cada denominador en sus factores primos se tiene:

Se encuentra el MCD efectuando el producto de todos los factores que hay en estas

factorizaciones y se usa Ia potencia ms alta de cada factor. Por consiguiente, el MCD es:

Entonces:

LA RECTA NUMRICA

Los nmeros reales se pueden representar mediante puntos sobre una recta, como se muestra

en la figura:

La direccin positiva, hacia la derecha, se seala por medio de una flecha. Se escoge un punto

de referencia 0 arbitrario, llamado origen, el cual corresponde al nmero real 0. Dada una


unidad conveniente de medicin, cada nmero positivo se representa por un punto en la

recta a una distancia de unidades a Ia derecha del origen y cada nmero negativo se

representa mediante un punto a unidades a la izquierda del origen. El nmero asociado con

el punto se llama coordenada de P y la recta recibe el nombre de eje coordenado o de recta

de los nmeros reales o simplemente recta real. Con frecuencia se identifica el punto con su

coordenada y se piensa que un nmero es el inicio de la recta numrica.

Los nmeros reales estn ordenados. Se dice que es menor que y se escribe si

es un nmero positivo. Desde el punto de vista geomtrico, esto quiere decir que

queda a la izquierda de en la recta numrica. Es lo mismo que decir que es mayor que y

escribir . El smbolo (o ), quiere decir que o y se lee como

es menor que o igual que . Por ejemplo, las siguientes son desigualdades verdaderas:

1)

2)

3)

4)

CONJUNTOS E INTERVALOS

Un conjunto es una coleccin de objetos, y estos objetos se denominan elementos del

conjunto. Si es un conjunto, la notacin: significa que es un elemento que pertenece

a y quiere decir que no es un elemento de . Por ejemplo, si representa el

conjunto de los enteros, entonces, pero .

Algunos de los conjuntos se pueden describir acomodando sus elementos dentro de corchetes.

Por ejemplo, un conjunto que consiste en todos los enteros positivos menores que 7, se

expresa como:

Tambin se puede escribir en la notacin de conjuntos:

Que se lee es el conjunto de todas las tales que es un entero y .


OPERACIONES CON CONJUNTOS

Si y son conjuntos, entonces la unin es el conjunto que consta de todos los

elementos que estn en o en o en ambos, Ia interseccin de y de es el conjunto

que consiste en todos los elementos que estn tanto en como en . En otras palabras,

es la parte que es comn a y a . El conjunto vaco, denotado por es el conjunto que no

contiene elementos.

Ejemplo de unin e interseccin de conjuntos:

Si y , determine los conjuntos

Solucin:

es el conjunto de elementos que estn tanto en como en .

es el conjunto formado por los elementos comunes tanto a como a .

y no tienen elementos en comn, por lo que su interseccin es vaca.

INTERVALOS

Ciertos conjuntos de nmeros reales, llamados intervalos, se presentan con mucha frecuencia

en matemtica y corresponden geomtricamente a segmentos lineales.

a) Si , entonces el intervalo abierto desde hasta consta de todos los nmeros

entre y y se denota con . El intervalo cerrado desde hasta comprende los

extremos y se denota con . Usando la notacin de conjuntos, se escribe:

Observe que el parntesis en la notacin de los intervalos y los crculos abiertos en la

grfica de la figura indican que los extremos estn excluidos en el intervalo. Por otro lado, los

corchetes y los crculos llenos de la tabla indican que los extremos estn incluidos. Los

intervalos pueden incluir solo un punto extremo o se podran prolongar hasta el infinito en una

direccin o en ambas direcciones. En Ia siguiente tabla se ilustran algunos de los tipos posibles

de intervalos:


Fuente: Material elaborado para este curso Costa, T. 2012.

VALOR ABSOLUTO Y DISTANCIA

El valor absoluto de un nmero , denotado por , es la distancia desde hasta cero sobre

la recta de los nmeros reales. La distancia es siempre positiva o cero, de modo que

para cada nmero . Se debe tener en cuenta que es positiva cuando es negativa y,

entonces, se tiene la siguiente definicin:

Definicin de valor absoluto:

Si es un nmero real, entonces el valor absoluto de es

Ejemplos de determinacin de los valores absolutos de nmeros:

a) |3| = 3

b)

c) |0| = 0

d) (puesto que )

Propiedades del valor absoluto:

a) Por ejemplo . El valor absoluto de un nmero es siempre positivo o

cero.

b) . Por ejemplo . Un nmero y su negativo tienen el mismo valor

absoluto.


c) . Por ejemplo |25|=|2||5|. El valor absoluto de un producto es el

producto de los valores absolutos.

d) el valor absoluto de un cociente es el cociente de los valores absolutos.

Cul es la distancia entre los nmeros -2 y 11?

Fuente: Material elaborado para este curso: Costa, T. 2012.

Como se ve en la figura la distancia entre -2 y 11 es 13. Se llega a esto luego de determinar que

De acuerdo con esta observacin se entiende lo siguiente:

Definicin de distancia entre puntos de la recta de los nmeros reales:

Si y son nmeros reales, entonces la distancia entre los puntos y en la recta numrica

es:

De acuerdo con la propiedad distributiva de los negativos se infiere que .

Esto confirma que, como es de esperarse, la distancia de a es la misma que Ia distancia de

a .

Ejemplo:

La distancia entre los nmeros 8 y 2 es:

EXPONENTES Y RADICALES

En esta seccin se dar el significado de expresiones como en las cuales el exponente es

un nmero racional. Para hacerlo, es necesario recordar algunos hechos con respecto a los

exponentes, radicales y races -simas de enteros.


EXPONENTES ENTEROS

Por lo regular, un producto de nmeros idnticos se expresa mediante la notacin

exponencial. Por ejemplo, 5 5 5 se escribe como .

NOTACIN EXPONENCIAL

Si es un nmero real cualquiera y es un entero positivo, entonces la potencia -sima de

es:

Donde al lado derecho aparece como factor veces.

El nmero se denomina base y es el exponente.

Ejemplos de notacin exponencial:

a)

b)

c)

Existen varias reglas tiles para trabajar con la notacin exponencial. Para descubrir la regla de

la multiplicacin. Se observa el siguiente ejemplo:

por :

Al multiplicar dos potencias de la misma base, se suman los exponentes. En general, para

cualquier nmero real y los enteros positivos y , se tiene:

Donde el primer parntesis de la segunda parte de la igualdad tiene factores , el segundo

parntesis tiene factores y la tercera igualdad tiene factores .

Entonces, se puede afirmar que:

Esta regla es vlida incluso cuando y sean cero o enteros negativos. Por ejemplo:

Pero esto solo puede suceder si . Entonces:


Y esto ser cierto que

EXPONENTES CERO Y NEGATIVOS

Si es un nmero real y es un entero positivo, entonces:

y

Ejemplos de exponentes cero y negativos:

a)

b) si

c)

Es esencial conocer las reglas siguientes para trabajar con los exponentes y las bases. En el

listado siguiente, las bases y son nmeros reales y los exponentes y son enteros.

LEYES DE LOS EXPONENTES

a) . Para multiplicar dos potencias del mismo nmero, se suman los exponentes.

b) Para dividir dos potencias del mismo nmero, se restan los

exponentes.

c) Para elevar una potencia a una nueva potencia, se multiplican los

exponentes.

d) Para elevar un producto a una potencia, se eleva cada factor a la

potencia.

e) . Para elevar un cociente a una potencia, se elevan tanto el numerador y

denominador a la potencia.

Ejemplos de aplicacin de las leyes de los exponentes:

a)


b)

c)

Al simplificar una expresin, se encontrar que se llega al mismo resultado mediante

diferentes mtodos. Se puede usar cualquiera de las reglas de los exponentes. A continuacin

se presentarn otras dos leyes que son tiles para simplificar expresiones con exponentes

negativos.

LEYES DE LOS EXPONENTES NEGATIVOS

a) , para elevar una fraccin a una potencia negativa, invierta la fraccin y

cambie el signo del exponente.

b) , para pasar un nmero elevado a una potencia desde el numerador al

denominador o desde el denominador al numerador, cambie el signo del exponente.

NOTACIN CIENTFICA

Los cientficos usan la notacin exponencial para compactar la escritura de nmeros muy

grandes o de los muy pequeos. Por ejemplo, la estrella ms cercana despus del Sol, Alfa

Centauro, est a casi 40 000 000 000 000 kilmetros. Por otro lado, la masa de un tomo de

hidrgeno es de 0,000000000000000000000166 gramos. Estos nmeros son difciles de leer y

de escribir, de modo que se expresan casi siempre en notacin cientfica.

Se dice que un nmero positivo est escrito en notacin cientfica si est expresado como:

Donde y es un nmero entero.

Por ejemplo, la distancia de la Tierra a Alfa Centauro es , el exponente 13 indica que

el punto decimal se debe desplazar 13 lugares a la derecha:

Respecto a la masa de un tomo de hidrgeno es g, el exponente -24 indica que

el punto decimal debe pasarse 24 lugares a la izquierda:


Ejemplos de escritura de nmeros en notacin cientfica:

a)

b)

RADICALES: Ya se sabe que significa siempre que es un entero. Para dar el significado de una potencia

como , cuyo exponente es un nmero racional, se necesita estudiar a los radicales.

El smbolo significa la raz cuadrada de, por lo tanto:

Puesto que , el smbolo tiene sentido solo cuando Por ejemplo:

porque y

DEFINICIN DE LA RAZ N-SIMA

Si es un nmero entero positivo, entonces la raz -sima de se define como:

si y solo si

Si es par, se tiene que y .

De la definicin anterior se puede desprender que la expresin no siempre es cierta,

solo es una proposicin verdadera cuando No obstante, siempre se puede escribir

.

PROPIEDADES DE LAS RACES N-SIMAS

1)

2) , si es impar

3) , si es par


Tener presente que:

COMENTARIO FINAL En todos los aspectos de la vida aparecen las matemticas y es de suma importancia aprender

a operar con ellas.

En este curso se estudiar cmo operar con nmeros reales y muchas aplicaciones que hacen

uso de estos, es por eso que el dominio de esta primera semana es fundamental para los

contenidos venideros. Las operaciones de los nmeros reales son la base de todas las

matemticas que se aprendern en este curso y en otros, por tanto, es de gran importancia

aprender las reglas de suma de fracciones y de los radicales. Del mismo modo, es relevante

tambin dominar la suma, la multiplicacin, la divisin y las races, entre nmeros reales as

como algunas expresiones nuevas que operan con estos nmeros, como por ejemplo el valor

absoluto, la raz cuadrada, la notacin cientfica, etc.

REFERENCIAS

Baldor, A. (2004). lgebra. Mxico D. F.: Publicaciones Cultural S. A.

Stewart, J. (1999). Clculo, trascendentes tempranas. Mxico: Thomson.

Purcell, E. & Varberg, D. (1993). Clculo con geometra analtica. Prentice-Hall

Hispanoamericana.

Date post:	16-Nov-2015
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